文档文本内容
八年级
下册
数学
数学
义务教育教科书
（五·四学制）
上海教育出版社
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数学
数学
八年级
下册
主编 李大潜
义务教育教科书
（五·四学制）
上海教育出版社
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主 编：李大潜
本册主编：王志强
本册编写人员：应坚刚 钟菊红 朱 雁 许亚善 鲁海燕 叶莎莎 陆立强 徐 颖
责任编辑：周明旭
装帧设计：王 捷 周 吉
本册教科书中的图片由视觉中国、图虫·创意、壹图等图片网站提供
义务教育教科书（五·四学制） 数学 八年级 下册
出 版 上海教育出版社（上海市闵行区号景路159弄C座）
版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究
上海教育出版社
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世间的万事万物都有数和形这两个侧面，数学这门学科是忽略了事物的其他属
性，仅仅从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界的.
初中的数学，介于小学数学与高中数学之间，以往偏向于直观的数学教学将开始逐步
走向理性的阶段，对学生逻辑思维的训练会提出较高的要求，其认识也将不断得到深化.
数学是一门重理解和思考的学科. 数学学得好，主要看三条：一是理解要深入，
二是运作要熟练，三是表达要清晰. 这儿所提的“运作”，泛指推理及计算. 这三者中
最重要的是理解，只有理解深入，才能实现运作熟练和表达清晰这样一些外在层面上
的表现，才能真正掌握数学的精髓.
这些年参加了上海市的一些基础数学教科书的编写工作，常常听到一种说法：数
学是绝大多数学生一生中学得最多的一门功课，不少学生对数学是喜欢和热爱的，但
不太注意对数学真正的理解和感悟，花费了不少时间去刷题，学习负担虽重，却远未
达到应有的收获；还有相当一部分学生觉得数学抽象、难懂、神秘，从而望而生畏，甚
至避之唯恐不及. 所有这些，都不是我们希望看到的.
我们希望通过教师及学生的共同努力，使数学成为一门容易为学生接受，真正喜
闻乐见、可近可亲的课程；不仅负担不重，而且愈学愈想学，愈学愈有趣味，愈学愈觉
得数学内容丰富、奥妙无穷，深深地为其吸引和陶醉. 这是我们的一个理想，并相信
它是一定可以实现的.
为了实现我们的理想，我们希望这套教科书能真正抓住初中数学的真谛，用朴实
无华且单刀直入的方式展现初中阶段应该学习的基本数学内容，努力给学生带来明确
而清晰的印象，真正帮助他们理解与掌握有关的数学内容，使学生的数学知识随着年
龄的增长逐步增进，充分体现数学学科的育人价值.
本册包含4 章及2 个实践活动. 首先在“四边形”一章中学习利用三角形的性质
研究多边形，重点学习平行四边形，并利用平行四边形的性质研究三角形的中位线与
重心. 然后在下一章中学习平面直角坐标系，它是几何与代数之间的桥梁. 在“一次
函数”“反比例函数”两章中，学习函数的概念，并从几何和代数两个角度研究这两个
简单的函数. 在综合与实践中，将动手折纸，从数学角度研究折纸中的数学问题，还
将探索神奇的密码.
主编的话
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目 录
23.1 多边形
2
23.2 平行四边形
8
23.3 矩形、菱形与正方形
22
23.4 三角形的中位线与重心
37
阅读材料
44
几何与建筑窥探
内容提要
46
复习题
48
第23 章
四边形
24.1 平面直角坐标系
52
24.2 两点间的距离公式
67
24.3 平移与轴对称
72
内容提要
81
复习题
82
第24 章
平面直角坐标系
25.1 变量与函数
86
25.2 正比例函数
91
25.3 一次函数
100
25.4 一次函数的应用
113
内容提要
117
复习题
118
第25 章
一次函数
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26.1 反比例函数的概念
122
26.2 反比例函数的图像与性质
125
26.3 反比例函数的应用
132
内容提要
135
复习题
136
第26 章
反比例函数
附录 部分中英文词汇索引
144
折纸与数学
139
神奇的密码
142
综合与实践
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第２３章
四边形
像三角形、长方形、正方形等由线段围成的几何图形称为多边形．
现实生活中随处可见各种各样的多边形．
本章将主要从内角和与外角和的视角来认识多边形．着重学习平
行四边形及其相关性质，并对长方形（矩形）、菱形与正方形这些生活
中最常见的四边形做主题性研究．此外，我们还将学习利用平行四边
形的性质研究三角形的中位线与重心．
通过本章的学习，可以提升几何直观和推理能力，为认识和分析
更复杂的平面图形打下基础．
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２
第２３章四边形
１．多边形的内角和
我们知道，三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成
的封闭图形．一般地，在同一平面上，由不在同一直线上的三条或三条以上的
线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作多边形．
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形等，三角形
是最简单的多边形．如果一个多边形由狀条线段组成，那么这个多边形就叫作
狀边形（狀为正整数，且狀≥３）．现实世界中，可以在很多物体上看到多边形，
如图２３１１中的屋顶、窗户、地砖等，从中可见三角形、四边形、五边形、
六边形、八边形等多边形．
图２３１１
A
B
C
D
E
图２３１２
组成多边形的每一条线段叫作多边形的边；相邻
的两条线段的公共端点叫作多边形的顶点．
多边形各顶点通常用大写英文字母表示．在图
２３１２中，五边形的顶点依次分别是犃、犅、犆、犇、
犈，记作五边形犃犅犆犇犈．
多边形相邻两边所成的角叫作多边形的内角．在
A
B
C
D
E
图２３１３
图２３１２中，∠犃、∠犅、∠犆、∠犇、∠犈都是五边
形犃犅犆犇犈的内角．
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形
的对角线．在图２３１３中，犃犆、犃犇就是五边形
犃犅犆犇犈的两条对角线．
２３．１多边形
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２３．１ 多边形３
对于一个多边形，如果画出它的任意一边所在的直线时，其余各边都在这
条直线的同一侧，那么这个多边形叫作凸多边形．图２３１２、图２３１４都是凸
多边形，图２３１５不是凸多边形．如无特别说明，本套教科书中所说的多边
形都指凸多边形．
A
B
E
D
C图２３１４ B
D
A
C
图２３１５
已知三角形的内角和等于１８０°，那么四边形的内角和等于多少？
五边形呢？六边形呢？由此，你能推出狀边形的内角和公式吗？
在四边形中，一条对角线把这个四边形分成两个三角形，这样四边形的
内角和就等于两个三角形的内角和之和．由此想到，可通过画出多边形的对角
线，把求多边形的内角和的问题转化成计算几个三角形的内角和之和（图
２３１６）．
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
܄ᅊ܅
图２３１６
图２３１６（１）中，四边形被分成２个三角形，其内角和为２×１８０°；
图２３１６（２）中，五边形被分成３个三角形，其内角和为３×１８０°；
图２３１６（３）中，六边形被分成４个三角形，其内角和为４×１８０°．
多边形的内角和定理 狀边形的内角和等于（狀－２）·１８０°．
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４
第２３章四边形
证明 设多边形是狀边形．任取多边形的一个顶点，分别连接该顶点与其
他不相邻的各个顶点，这个狀边形被分成（狀－２）个三角形，这样狀边形的内
角和等于（狀－２）个三角形的内角和之和．因为（狀－２）个三角形的内角和之和
等于（狀－２）·１８０°，所以狀边形的内角和等于（狀－２）·１８０°．
例１ 求十边形的内角和．
解 根据多边形的内角和定理，得
（１０－２）×１８０°＝８×１８０°＝１４４０°．
所以，十边形的内角和为１４４０°．
例２ 已知一个多边形的内角和等于２１６０°，求这个多边形的边数．
解 设这个多边形的边数为狀．根据题意，得
（狀－２）·１８０°＝２１６０°，
即
狀－２＝１２．
解得狀＝１４．
所以，这个多边形的边数为１４．
课堂练习２３．１（１）
x°
x°
2x°
x°
150°
160°
80°
90°
110°
（第１题）
１．求下列图形中狓的值．
２．请分别用图中添辅助线的方法推导出五边形的内角和．
A
E
D
B
O
C
D
E
A
C
O
B
（第２题）
３．已知一个多边形的每个内角都是１６０°，求这个多边形的边数．
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２３．１ 多边形５
２．多边形的外角和
多边形内角的一边的延长线与另一边所组成的角叫作多边形的外角．图
２３１７中，∠犈犇犉是五边形犃犅犆犇犈的一个外角．多边形的外角与它相邻的
内角互补．
A
B
C
D
F
E
图２３１７
A
B
C
D
G
F
E
图２３１８
多边形的外角中，与同一个内角相邻的外角有两个，这两个角为对顶角，
它们相等．图２３１８中，∠犆犇犌和∠犈犇犉是五边形犃犅犆犇犈的外角中具有
这种关系的两个外角．
对多边形的每个内角，从与它相邻的两个外角中任取一个，这样得到的
所有外角的和，叫作多边形的外角和．
狀边形的内角和随着边数的增加而增大，那么狀边形的外角和是
否也随着边数的变化而变化呢？
多边形的外角和定理 多边形的外角和等于３６０°．
l
图２３１９
证明 设多边形是狀边形．因为多边形的任意一个
外角与同它相邻的内角互补，即它们的和等于１８０°（图
２３１９），所以狀边形的外角和加内角和等于狀·１８０°，
于是狀边形的外角和等于狀·１８０°减去狀边形的内角和，
即狀·１８０°－（狀－２）·１８０°＝３６０°，所以狀边形的外角和
等于３６０°．
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６
第２３章四边形
多边形的外角和不随着多边形边数的变化而变化，是一个常数．
例３ 如果一个多边形的每个外角都是７２°，那么这个多边形是几边形？
解 设这个多边形是狀边形．根据题意，得
狀·７２°＝３６０°．
解得狀＝５．
所以，这个多边形是五边形．
例４ 已知一个多边形的内角和是外角和的６倍，问：这个多边形是几
边形？
解 设这个多边形是狀边形，则它的内角和是（狀－２）·１８０°，而外角和
等于３６０°．根据题意，得
（狀－２）·１８０°＝６×３６０°．
解得狀＝１４．
所以，这个多边形是十四边形．
课堂练习２３．１（２）
１．如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数
是多少？
２．如果一个多边形的每个外角都等于２０°，那么这个多边形的内角
和是多少？
习题２３．１
１．填空题：
（１）十二边形的内角和是 ；
（２）如果一个狀边形的内角和是１２６０°，那么狀＝ ；
（３）如果过多边形的一个顶点共有８条对角线，那么这个多边形是
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２３．１ 多边形７
边形，它的内角和是 ．
２．在四边形犃犅犆犇中，四个内角的度数之比∠犃∶∠犅∶∠犆∶∠犇＝
２∶３∶４∶３．求这四个内角的度数．
３．已知一个多边形的每个外角都等于４５°，问：这个多边形的边数是
多少？
４．如果一个多边形的内角和是它的外角和的５倍，那么这个多边形的边
数是多少？
D
C
B
A
E
（第５题）
５．如图，以五边形的每个顶点为圆心、以１为半
径画圆．求这些圆与五边形重合部分（涂色部分）的
面积．
６．小华和小海的对话如下：
小华说：“我发现一个多边形的内角和是２０００°．”
小海说：“这是不可能的！你一定是把一个外角当
作内角加在了一起．”
根据对话信息回答下列问题：
（１）小华的说法对吗？为什么？
（２）如果小海的说法是对的，那么请求出“小华错把外角当作内角”的那
个外角的度数．
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８
第２３章四边形
平行四边形在现实生活中随处可见，在图２３２１所示的图片中，教室里
的黑板和课桌桌面、小区门口的电动伸缩门、楼梯的栏杆等，都给我们以平
行四边形的形象．你还能举出一些例子吗？
在图２３２１中，找出每幅图中的一个平行四边形，并把它们勾画
出来．
图２３２１
定义 有一组对边平行的四边形叫作梯形．两组对边分别平行的四边形叫
作平行四边形．
也有一些书中定义的梯形不
包括平行四边形．
由上述定义，可知平行四边形是梯形的
一种特殊情形．
在梯形中，把一组平行的边称为梯形的
底，另外的两边称为梯形的腰，如图２３２２（１）所示．
A
D
B
C
Ꮒ
Ꮒ
6
6
（１）
A
D
B
C
（２）
图２３２２
２３．２平行四边形
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２３．２ 平行四边形９
平行四边形用符号“”表示，如图２３２２（２）所示的平行四边形犃犅犆犇，
记作“犃犅犆犇”．
１．平行四边形的性质
平行四边形除了具有两组对边分别平行的性质外，还有其他性质吗？
根据定义画一个平行四边形，观察所画图形的边与角，它的对边
之间有怎样的数量关系？它的对角之间有怎样的数量关系？
根据平行四边形的定义，可以推出平行四边形的一个性质定理：
定理１ 平行四边形的对边相等．
如图２３２３，已知：四边形犃犅犆犇是平行四边形．
求证：犃犅＝犆犇，犅犆＝犃犇．
A
D
B
C
图２３２３
1 4
3 2
A
D
B
C
图２３２４
证明 如图２３２４，连接犃犆．
因为四边形犃犅犆犇是一个平行四边形，由平行四边形的定义，得犃犅∥犇犆，
犃犇∥犅犆．所以∠１＝∠２，∠３＝∠４．又因为犃犆是△犃犅犆和△犆犇犃的公共
边，所以△犃犅犆≌△犆犇犃．由此可得犃犅＝犆犇，犅犆＝犃犇．
平行四边形的对角相等吗？为什么？
利用平行四边形的定义或性质定理１，又可以得到平行四边形的一个性质
定理：
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１０
第２３章四边形
定理２ 平行四边形的对角相等．
请自行证明该定理．
A
D
B
C
图２３２５
例１ 如图２３２５，在犃犅犆犇中，∠犃比∠犅
大６０°．求这个平行四边形各个内角的度数．
解 ∵ 四边形犃犅犆犇是一个平行四边形，
∴ ∠犅＝∠犇，∠犃＝∠犆（平行四边形的对角
相等）．
∵ 犃犇∥犅犆，
∴ ∠犃＋∠犅＝１８０°．
设∠犅＝狓°，由“∠犃比∠犅大６０°”，知∠犃＝狓°＋６０°，于是可得
狓＋６０＋狓＝１８０．
解得狓＝６０．
于是狓＋６０＝１２０．
所以，∠犅＝∠犇＝６０°，∠犃＝∠犆＝１２０°．
例２ 如图２３２６，已知直线犾１∥犾２，犃、犆是直线犾１上两点，犃犅⊥
犾２，犆犇⊥犾２，垂足分别为犅、犇．试问：犃犅与犆犇是否相等？为什么？
A
B
C
l1
l2
D
图２３２６
解 犃犅＝犆犇．证明如下：
∵ 犃犅⊥犾２，犆犇⊥犾２，垂足分别为犅、犇，
∴ ∠犃犅犇＝∠犆犇犅＝９０°．
∴ ∠犃犅犇＋∠犆犇犅＝１８０°．
∴ 犃犅∥犆犇．
又∵ 犾１∥犾２，
∴ 四边形犃犅犇犆是一个平行四边形．
∴ 犃犅＝犆犇（平行四边形的对边相等）．
我们知道，例２中的两条垂线段犃犅、犆犇的长度相等．类似地，犾１上任
意给定一点犘到直线犾２的垂线段的长度都相等．这个长度叫作这两条平行线
之间的距离．
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２３．２ 平行四边形１１
如图２３２６，直线犾１、犾２平行，犃是直线犾１上任意一点，犃犅⊥犾２，垂足
为犅，线段犃犅的长度就是直线犾１、犾２之间的距离．
“两条平行线之间的距离”与前面已经学过的“点与点之间的距离”
“点到直线的距离”有何区别与联系？
我们知道三角形具有稳定性，那么四边形也具有稳定性吗？
如图２３２７，用４根木条制作四边形的木框，随意拉动木框的边，
它的形状和大小会发生变化吗？
图２３２７
我们发现，四边形的边长确定后，其形状和大小不能完全确定，这说明
四边形具有不稳定性．
四边形的不稳定性在日常生活和生产中有许多应用，如升降机、伸缩晾
衣架、拉伸门（图２３２８）等．你还能举出日常生活中利用四边形不稳定性的
一些例子吗？
图２３２８
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１２
第２３章四边形
课堂练习２３．２（１）
E
F
D
B
C
A
（第３题）
１．四边形的不稳定性是指当四边形的边长一定时，不能确定的是（ ）
Ａ．四边形的外角和；
Ｂ．四边形的周长；
Ｃ．四边形的内角大小；
Ｄ．四边形的内角和．
２．（１）在犃犅犆犇中，∠犃＝６０°．求其他各内角的度数．
（２）已知犃犅犆犇的周长等于４８，犃犅＝２犅犆．求各边的长．
３．如图，已知犈犉、犈犇、犉犇分别过△犃犅犆的
顶点犃、犅、犆，且犈犉∥犅犆，犈犇∥犃犆，犉犇∥犃犅．
（１）指出图中所有的平行四边形；
（２）求证：犃、犅、犆分别是线段犈犉、犈犇、
犇犉的中点．
我们已经研究了平行四边形的边、角的性质，那么平行四边形的对角线
有什么性质呢？
A
D
C
O
B
图２３２９
如图２３２９，已知犃犅犆犇的两条对角
线犃犆、犅犇相交于点犗，观察线段犗犃、犗犆、
犗犅、犗犇，你发现哪些线段相等？
根据平行四边形的定义和性质定理１，又可以得到平行四边形的一个性质
定理：
定理３ 平行四边形的对角线互相平分．
A
D
C
O
B
1
3
2
4
图２３２１０
如图２３２１０，已知：在犃犅犆犇中，对角线
犃犆、犅犇相交于点犗．
求证：犗犃＝犗犆，犗犅＝犗犇．
证明 因为四边形犃犅犆犇是一个平行四边形，
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２３．２ 平行四边形１３
由平行四边形的定义和性质定理１，得犃犇∥犅犆，犃犇＝犅犆，所以∠１＝∠２，
∠３＝∠４．所以△犃犗犇≌△犆犗犅．由此可得犗犃＝犗犆，犗犅＝犗犇．
平行四边形是中心
对称图形，对称中心是
对角线的交点．
平行四边形是中心对称图形吗？如果
是，你能找出它的对称中心吗？
A
D
C
B
O
图２３２１１
例３ 如图２３２１１，已知犃犅犆犇的两条对角
线犃犆、犅犇相交于点犗，且两条对角线长的和为３０，
犆犇的长为９．求△犆犗犇的周长．
解 ∵ 四边形犃犅犆犇是一个平行四边形，
∴ 犗犆＝１２犃犆，犗犇＝１２犅犇（平行四边形的对角线互相平分）．
又∵ 犃犆＋犅犇＝３０，
∴ 犗犆＋犗犇＝１２（犃犆＋犅犇）＝１５．
∵ 犆犇＝９，
∴ △犆犗犇的周长＝犗犆＋犗犇＋犆犇＝１５＋９＝２４．
D
F
A
E
B
O
C
图２３２１２
例４ 如图２３２１２，已知：在犃犅犆犇中，对
角线犃犆、犅犇相交于点犗，直线犈犉过点犗且与边
犃犅、犆犇分别相交于点犈、犉．
求证：犗犈＝犗犉．
证明 ∵ 四边形犃犅犆犇是一个平行四边形，
∴ 犗犅＝犗犇（平行四边形的对角线互相平分）．
∵ 犃犅∥犆犇，
∴ ∠犈犅犗＝∠犉犇犗．
又∵ ∠犈犗犅＝∠犉犗犇，
∴ △犈犗犅≌△犉犗犇．
∴ 犗犈＝犗犉．
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１４
第２３章四边形
课堂练习２３．２（２）
E
A
D
O
B
C
F
（第３题）
１．如图，在犃犅犆犇中，对角线犃犆、犅犇相交于点犗，且犃犅＝５，
△犆犗犇的周长为１２．求犃犅犆犇的两条对角线长的和．
D
C
B
O
A
（第１题）
B
A
D
C
O
（第２题）
２．如图，在犃犅犆犇中，对角线犃犆、犅犇相交
于点犗，∠犃犇犅＝９０°，犃犆＝１２，犅犇＝６．求犃犇
的长．
３．如图，已知：在犃犅犆犇中，对角线犃犆、
犅犇相交于点犗，过点犗作一条直线，分别交犅犃、
犇犆的延长线于点犈、犉．求证：犗犈＝犗犉．
２．平行四边形的判定
判定一个平行四边形，除了运用平行四边形的定义外，还有其他的方
法吗？
“平行四边形的对边相等”，它的逆命题是真命题还是假命题？
这个逆命题是真命题，由此得到平行四边形的一个判定定理：
定理１ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
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２３．２ 平行四边形１５
如图２３２１３，已知：在四边形犃犅犆犇中，犃犅＝犆犇，犅犆＝犃犇．
求证：四边形犃犅犆犇是一个平行四边形．
A
D
B
C
图２３２１３
1 4
3 2
A
D
B
C
图２３２１４
证明 如图２３２１４，连接犃犆．在△犃犅犆和△犆犇犃中，因为犃犅＝犆犇，
犅犆＝犃犇，犃犆＝犆犃，所以△犃犅犆≌△犆犇犃．由此推出∠１＝∠２，∠３＝∠４．
所以犃犅∥犆犇，犅犆∥犃犇．由平行四边形的定义，得四边形犃犅犆犇是一个平
行四边形．
如果将平行四边形的判定定理１中的“两组对边”改成“一组对边”，
这一组对边还需要满足什么条件，才可以保证这个四边形一定是平行
四边形呢？为什么？
易知“平行四边形的任意一组对边平行且相等”，反过来，可以得到平行
四边形的一个判定定理：
定理２ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
如图２３２１５，已知：在四边形犃犅犆犇中，犃犅∥犆犇，且犃犅＝犆犇．
求证：四边形犃犅犆犇是一个平行四边形．
A
D
B
C
图２３２１５
1
2
A
D
B
C
图２３２１６
证明 如图２３２１６，连接犃犆．在△犃犅犆和△犆犇犃中，因为犃犅∥犆犇，
所以∠１＝∠２．又因为犃犅＝犆犇，犃犆＝犆犃，所以△犃犅犆≌△犆犇犃．由此推
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１６
第２３章四边形
出犅犆＝犇犃．由平行四边形的判定定理１，得四边形犃犅犆犇是一个平行四
边形．
D
C
A
B
E
F
图２３２１７
例５ 如图２３２１７，已知：在犃犅犆犇中，
点犈、犉分别在边犃犅、犆犇上，犃犈＝犆犉．
求证：四边形犇犈犅犉是一个平行四边形．
分析 由已知条件，可知犈犅∥犇犉，且犈犅＝犇犉．
根据平行四边形的判定定理２，可以推出结论．
证明 ∵ 四边形犃犅犆犇是一个平行四边形，
∴ 犃犅∥犆犇，
犃犅＝犆犇（平行四边形的对边相等）．
又∵ 点犈、犉分别在边犃犅、犆犇上，犃犈＝犆犉，
∴ 犇犉∥犈犅，犆犇－犆犉＝犃犅－犃犈，
即犇犉∥犈犅，犇犉＝犈犅．
∴ 四边形犇犈犅犉是一个平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形）．
课堂练习２３．２（３）
１．如图，已知：在犃犅犆犇中，犈、犉分别是边犃犅、犆犇的中点．
求证：犈犉＝犅犆．
B
C
F
E
A
D
（第１题）
B
C
D
H
F
A
E
G
（第２题）
２．如图，已知：在犃犅犆犇中，犈、犉、犌、犎分别是边犃犅、犅犆、
犆犇、犇犃的中点．求证：四边形犈犉犌犎是一个平行四边形．
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２３．２ 平行四边形１７
A
D
B
C
图２３２１８
例６ 如图２３２１８，已知：在四边形犃犅犆犇
中，∠犃＝∠犆，∠犅＝∠犇．
求证：四边形犃犅犆犇是一个平行四边形．
证明 在四边形犃犅犆犇中，∠犃＋∠犅＋∠犆＋
∠犇＝３６０°（多边形的内角和定理）．
又∵ ∠犃＝∠犆，∠犅＝∠犇，
∴ ∠犃＋∠犅＝１８０°，∠犃＋∠犇＝１８０°．
∴ 犃犇∥犅犆，犃犅∥犆犇．
∴ 四边形犃犅犆犇是一个平行四边形．
“平行四边形的对角线互相平分”，它的逆命题是真命题还是假
命题？
这个逆命题是真命题．由此，又得到平行四边形的一个判定定理：
定理３ 对角线互相平分的四边形是平行四边形．
A
O
D
B
C
图２３２１９
如图２３２１９，已知：四边形犃犅犆犇的对角线
犃犆、犅犇相交于点犗，且犃犗＝犆犗，犅犗＝犇犗．
求证：四边形犃犅犆犇是一个平行四边形．
证明 在△犃犗犅和△犆犗犇中，因为犃犗＝犆犗，
∠犃犗犅＝∠犆犗犇，犅犗＝犇犗，所以△犃犗犅≌△犆犗犇．
由此推出犃犅＝犆犇，∠犃犅犗＝∠犆犇犗，所以犃犅∥
犆犇．由平行四边形的判定定理２，得四边形犃犅犆犇是一个平行四边形．
例７ 如图２３２２０，已知：在犃犅犆犇中，点犈、犉在对角线犃犆上，
且犃犈＝犆犉．
求证：四边形犅犉犇犈是一个平行四边形．
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１８
第２３章四边形
A
E
F
D
B
C
图２３２２０
A
E
F
O
D
B
C
图２３２２１
分析 由已知条件，可推出△犃犈犇≌△犆犉犅，△犃犈犅≌△犆犉犇．于是可
以利用平行四边形的定义或判定定理１、２获得证明结论所需的条件．因此，
可以有多条证明路径．
注意犈、犉是对角线上的两点，从判定定理３所需的条件考虑，想到
连接犅犇．设犅犇、犃犆相交于点犗，则只需要证明犗犈＝犗犉，就可推出
结论．
证明 如图２３２２１，连接犅犇，并设其与犃犆相交于点犗．
∵ 四边形犃犅犆犇是一个平行四边形，
∴ 犅犗＝犇犗，犃犗＝犆犗（平行四边形的对角线互相平分）．
∵ 犃犈＝犆犉，
∴ 犃犗－犃犈＝犆犗－犆犉，
∴ 犈犗＝犉犗．
∴ 四边形犅犉犇犈是一个平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行
四边形）．
课堂练习２３．２（４）
１．用两个全等的三角形（每个三角形的三边互不相等），按照不同的
方法可以拼成一些不同的四边形．这些四边形都是平行四边形吗？为
什么？
２．已知：在四边形犃犅犆犇中，∠犃和∠犅互补，∠犃＝∠犆．求证：
四边形犃犅犆犇是一个平行四边形．
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２３．２ 平行四边形１９
B
C
A
D
（第３题）
３．如图，犅犇是△犃犅犆的中线．按以下要求
作图：
①延长犅犇至点犈，使犇犈＝犅犇；
②连接犃犈、犆犈．
四边形犃犅犆犈是一个平行四边形吗？为什么？
习题２３．２
１．填空题：
（１）在犃犅犆犇中，如果∠犃∶∠犅＝２∶３，那么∠犆、∠犇的度数分别
是
；
（２）已知平行四边形的周长是２４，相邻两边的长相差４，那么相邻两边的
长分别是
；
（３）已知犗是犃犅犆犇的对角线犃犆、犅犇的交点，犃犆＝２４ｍｍ，
犅犇＝３８ｍｍ，犃犇＝２８ｍｍ，则△犗犅犆的周长等于 ．
２．如图，已知：在犃犅犆犇中，∠犃犇犆的平分线与边犃犅相交于点犈．
求证：犅犈＋犅犆＝犆犇．
A
D
C
E
B
（第２题）
C
B
A
D
E
（第３题）
３．如图，在梯形犃犅犆犇中，犃犇∥犅犆，∠犅＝９０°，犃犇＝２，犃犅＝３，
犅犆＝４，犇犈⊥犃犆，垂足为犈．求犇犈的长．
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２０
第２３章四边形
４．已知犃犅犆犇的对角线犃犆、犅犇相交于点犗，这个平行四边形的周长
是１６，且△犃犗犅的周长比△犅犗犆的周长小２．求边犃犅、犅犆的长．
５．如图，已知：四边形犃犈犉犇和四边形犈犅犆犉都是平行四边形．求证：
四边形犃犅犆犇是一个平行四边形．
A
D
F
E
C
B
（第５题）
B
C
G
E
F
H
A
D
（第６题）
６．如图，已知：在犃犅犆犇中，犈、犉、犌、犎分别是边犃犅、犅犆、犆犇、
犇犃上的点，且犃犈＝犆犌，犅犉＝犇犎．求证：四边形犈犉犌犎是一个平行四
边形．
７．如图，已知：犌、犎是犃犅犆犇对角线犃犆上两点，且犃犌＝犆犎，犈、
犉分别是边犃犅、犆犇的中点．求证：四边形犈犎犉犌是一个平行四边形．
B
C
G
H
E
F
A
D
（第７题）
B
C
E
F
A
D
（第８题）
B
C
F
E
A
D
G
（第９题）
８．如图，已知：犈、犉是犃犅犆犇对角线犃犆的三
等分点．求证：四边形犅犉犇犈是一个平行四边形．
９．如图，已知：在△犃犅犆中，犇、犈、犉分别为
边犅犆、犃犅、犃犆上的点，犃犉∥犈犇，且犃犉＝犈犇，
延长犉犇到点犌，使犇犌＝犉犇．求证：犈犇、犃犌互相
平分．
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２３．２ 平行四边形２１
１０．如图，已知：犃犅犆犇的对角线犃犆、犅犇相交于点犈，犇犉∥犃犆，
∠犇犉犆＝∠犃犈犅，连接犈犉．
（１）求证：犇犉＝犃犈；
（２）求证：四边形犅犆犉犈是一个平行四边形．
D
C
B
F
A
E
（第１０题）
D
E
C
B
F
A
（第１１题）
１１．如图，已知：在犃犅犆犇中，犃犈平分∠犇犃犅交边犆犇于点犈，犆犉
平分∠犇犆犅交边犃犅于点犉．
（１）求证：四边形犃犉犆犈是一个平行四边形；
（２）若犅犌平分∠犃犅犆交线段犇犈于点犌，且犃犇＝２犈犌＝２，求四边形
犃犅犆犇的周长．
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２２
第２３章四边形
在本节中，我们将研究几类特殊的四边形———矩形、菱形与正方形．在小学
阶段，我们已经了解过长方形与正方形，其中长方形就是我们将要介绍的矩形．
１．矩形
定义 四个内角都是直角的四边形叫作矩形．
生活中有很多矩形的实例，如图２３３１，黑板、教科书、地砖，它们的
边框都可以看作矩形．
A
D
B
C
图２３３２
图２３３１
如图２３３２，在矩形犃犅犆犇中，由矩形的定义，
可知∠犃＝∠犅＝∠犆＝∠犇＝９０°．所以∠犃＋∠犅＝
１８０°，∠犃＋∠犇＝１８０°，所以犃犇∥犅犆，犃犅∥犆犇，
即矩形犃犅犆犇的两组对边平行．根据平行四边形的定
义，可知矩形必然是平行四边形．所以，矩形是一种
特殊的平行四边形．
作为一种特殊的平行四边形，矩形除了具有平行四边形的所有性
质，还可能具有哪些性质呢？
我们仍然可以从边、角和对角线来研究矩形的性质．
利用矩形的定义和平行四边形的性质，可以得到矩形的性质定理：
定理 矩形的两条对角线相等．
２３．３矩形、菱形与正方形
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２３．３ 矩形、菱形与正方形２３
A
D
B
C
图２３３３
如图２３３３，已知：四边形犃犅犆犇是一个矩形，
犃犆、犅犇是它的对角线．
求证：犃犆＝犅犇．
证明 因为矩形犃犅犆犇是一个平行四边形，由平
行四边形的性质定理１，得犃犅＝犇犆．又因为∠犃犅犆＝
∠犇犆犅＝９０°，犅犆＝犆犅，所以△犃犅犆≌△犇犆犅．所以
犃犆＝犅犇．
由于平行四边形是中心对称图形，因此矩形也是中心对称图形，其两条
对角线的交点是对称中心．
矩形是轴对称图形吗？如果是，请找出其对称轴．
A
D
O
B
C
图２３３４
例１ 如图２３３４，矩形犃犅犆犇的对角线
犃犆、犅犇相交于点犗，且∠犃犗犇＝１２０°，犃犅＝
４ｃｍ．求犃犆、犅犇的长．
解 ∵ 四边形犃犅犆犇是一个矩形，
∴ 犃犆＝犅犇（矩形的两条对角线相等）．
∵ 四边形犃犅犆犇是一个平行四边形，
∴ 犗犃＝犗犆＝１２犃犆，犗犅＝犗犇＝１２犅犇（平行四边形的对角线互相平分）．
∴ 犗犃＝犗犅．
∴ ∠犃犅犗＝∠犅犃犗．
∵ ∠犃犗犇＝１２０°，
∴ ∠犃犗犅＝６０°．
∴ ∠犃犅犗＝∠犅犃犗＝６０°．
∴ △犃犗犅是一个等边三角形．
∴ 犗犃＝犃犅＝４（ｃｍ）．
∴ 犅犇＝犃犆＝２犗犃＝８（ｃｍ）．
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２４
第２３章四边形
由矩形的定义可以判定一个四边形是矩形．除此之外，矩形还有
其他的判定方法吗？
由于矩形是四个内角均为直角的平行四边形，那么对于平行四边形而言，
有几个角是直角就能保证它是一个矩形呢？
利用矩形的定义和平行四边形的性质，可以推出矩形的一个判定定理：
定理１ 有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
A
D
B
C
图２３３５
如图２３３５，已知：在平行四边形犃犅犆犇中，
∠犃＝９０°．
求证：平行四边形犃犅犆犇是一个矩形．
证明 因为四边形犃犅犆犇是一个平行四边形，由
平行四边形的性质定理２，得∠犃＝∠犆，∠犅＝∠犇．
由多边形的内角和定理，得∠犃＋∠犅＋∠犆＋∠犇＝
３６０°，又因为∠犃＝９０°，所以∠犆＝９０°，２∠犅＝１８０°．所以∠犃＝∠犅＝∠犆＝
∠犇＝９０°．由矩形的定义，得平行四边形犃犅犆犇是一个矩形．
如果一个平行四边形是矩形，那么它的对角线相等．这个命题的逆命题也
是真命题．由此，又得到矩形的一个判定定理：
定理２ 对角线相等的平行四边形是矩形．
A
D
B
C
图２３３６
如图２３３６，已知：在平行四边形犃犅犆犇中，
犃犆＝犅犇．
求证：平行四边形犃犅犆犇是一个矩形．
证明 因为四边形犃犅犆犇是一个平行四边形，由平
行四边形的性质定理１，得犃犅＝犇犆．又因为犃犆＝犅犇，
犅犆＝犆犅，所以△犃犅犆≌△犇犆犅．所以∠犃犅犆＝∠犇犆犅．由平行四边形的定
义，知犃犅∥犇犆，进而∠犃犅犆＋∠犇犆犅＝１８０°．所以∠犃犅犆＝９０°．由矩形
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２３．３ 矩形、菱形与正方形２５
的判定定理１，得平行四边形犃犅犆犇是一个矩形．
A
D
B
C
G
F
H
O
E
图２３３７
例２ 如图２３３７，已知：矩形犃犅犆犇的对角
线犃犆、犅犇相交于点犗，点犈、犉、犌、犎分别在
犃犗、犅犗、犆犗、犇犗上，且犃犈＝犅犉＝犆犌＝犇犎．
求证：四边形犈犉犌犎是一个矩形．
分析 根据已知条件，可以先证明四边形犈犉犌犎是平行四边形，再证明
对角线犈犌、犉犎相等就可以了．
证明 ∵ 四边形犃犅犆犇是一个矩形，
∴ 犃犆＝犅犇（矩形的两条对角线相等）．
∵ 四边形犃犅犆犇是一个平行四边形，
∴ 犗犃＝犗犆＝１２犃犆，犗犅＝犗犇＝１２犅犇（平行四边形的对角线互相平分）．
∴ 犗犃＝犗犆＝犗犅＝犗犇．
又∵ 犃犈＝犅犉＝犆犌＝犇犎，
∴ 犗犈＝犗犉＝犗犌＝犗犎．
∴ 四边形犈犉犌犎是一个平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行
四边形）．
∵ 犈犗＋犗犌＝犉犗＋犗犎，
∴ 犈犌＝犉犎．
∴ 平行四边形犈犉犌犎是一个矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
课堂练习２３．３（１）
（第１题）
１．工人师傅在做矩形门窗或零件时，不仅要测量
两组对边是否分别相等，常常还要测量它们的两条对
角线是否相等，以确保图形是矩形，请说明理由．
２．已知一个矩形的一条对角线长为８ｃｍ，两条对
角线的夹角是６０°．求这个矩形相邻两边的长．
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２６
第２３章四边形
B
D
C
F
E
A
（第３题）
３．如图，已知：犅犉、犅犈分别是∠犃犅犆与它
的补角∠犃犅犇的平分线，犃犈⊥犅犈，犃犉⊥犅犉，
垂足分别为犈、犉．求证：四边形犃犈犅犉是一个
矩形．
２．菱形
定义 四条边都相等的四边形叫作菱形．
如图２３３８，伸缩晾衣架、自动伸缩门、衣服都有菱形图案．
图２３３８
A
D
B
C
图２３３９
如图２３３９，在菱形犃犅犆犇中，由菱形的定义，
可知犃犅＝犅犆＝犆犇＝犃犇．因为菱形犃犅犆犇的两组
对边分别相等，根据平行四边形的判定定理１，得到
菱形必然是平行四边形．所以，菱形是一种特殊的平
行四边形．
图２３３１０
如图２３３１０，将四个大小相同的矩形拼在一
起，根据矩形的性质定理，里面蕴含了一个菱形．
这个菱形可能有什么性质？这些性质其他菱形也
具备吗？
我们仍然从边、角和对角线来研究菱形的性质．
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２３．３ 矩形、菱形与正方形２７
利用菱形的定义和平行四边形的性质，可以得到菱形的性质定理：
定理 菱形的两条对角线互相垂直．
A
D
O
B
C
图２３３１１
如图２３３１１，已知：四边形犃犅犆犇是一个菱
形，犃犆、犅犇是它的对角线．
求证：犃犆⊥犅犇．
证明 记犗为对角线犃犆、犅犇的交点．因为菱
形犃犅犆犇是一个平行四边形，由平行四边形的性质
定理３，得犅犗＝犇犗．又因为犃犅＝犃犇，根据“等腰
三角形三线合一”，可得犃犗⊥犅犇，即犃犆⊥犅犇．
由于平行四边形是中心对称图形，因此菱形也是中心对称图形．
菱形是轴对称图形吗？如果是，找出其对称轴，并尝试与矩形的
对称轴作比较．
A
B
C
D
O
图２３３１２
例３ 如图２３３１２，已知菱形犃犅犆犇的对角
线犃犆、犅犇相交于点犗，犃犅＝１３ｃｍ，犃犆＝２４ｃｍ．
求这个菱形的面积．
分析 由菱形的性质定理，可知犃犆⊥犅犇，从
而菱形的面积等于四个直角三角形的面积之和．由
平行四边形的性质，可知犗是犃犆和犅犇的中点，从而这四个直角三角形面
积相等．
对于Ｒｔ△犃犗犅而言，斜边犃犅已知，如果能求得其一条直角边，那么就
能求得另一条直角边，进而可求得其面积，从而可得菱形犃犅犆犇的面积．
解 ∵ 四边形犃犅犆犇是一个菱形，
∴ 犃犆⊥犅犇（菱形的两条对角线互相垂直）．
∴ ∠犃犗犅＝９０°，△犃犗犅为直角三角形．
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２８
第２３章四边形
∵ 四边形犃犅犆犇是一个平行四边形，
∴ 犗犃＝犗犆，犗犅＝犗犇（平行四边形的对角线互相平分）．
∴ 犛菱形犃犅犆犇＝４犛Ｒｔ△犃犗犅．
在Ｒｔ△犃犗犅中，犗犃２＋犗犅２＝犃犅２．
∵ 犃犆＝２４ｃｍ，
∴ 犗犃＝１２犃犆＝１２×２４＝１２（ｃｍ）．
又∵ 犃犅＝１３ｃｍ，
∴ 犗犅＝犃犅２－犗犃
槡
２＝１３２－１２
槡
２＝５（ｃｍ）．
∴ 犛菱形犃犅犆犇＝４犛Ｒｔ△犃犗犅＝２犗犃·犗犅＝２×１２×５＝１２０（ｃｍ２）．
由例３可以知道，已知菱形的两条对角线可以直接计算菱形的面积，即
菱形的面积等于其对角线乘积的一半．
例４ 如图２３３１３，已知：在菱形犃犅犆犇中，∠犃＝６０°，点犈、犉分
别在边犃犅、犅犆上，∠犈犇犉＝６０°．
求证：犇犈＝犇犉．
D
B
A
C
F
E
图２３３１３
D
B
A
C
F
E
图２３３１４
分析 已知四边形犃犅犆犇是一个菱形，且∠犃＝６０°，由此想到，连接对
角线犇犅后，可以得到两个等边三角形．若要证明犇犈＝犇犉，只要证明它们分
别所在的两个三角形全等即可．
证明 如图２３３１４，连接对角线犇犅．
∵ 四边形犃犅犆犇是一个菱形，
∴ 犃犇＝犃犅．
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２３．３ 矩形、菱形与正方形２９
∴ ∠犃犇犅＝∠犃犅犇．
又∵ ∠犃＝６０°，
∴ ∠犃犇犅＝∠犃犅犇＝６０°．
∴ △犃犇犅是一个等边三角形．
∴ 犃犇＝犅犇．
又∵ ∠犈犇犉＝６０°，
∴ ∠犃犇犅＝∠犈犇犉．
∴ ∠犃犇犅－∠犈犇犅＝∠犈犇犉－∠犈犇犅．
∴ ∠犃犇犈＝∠犅犇犉．
∵ 犃犇∥犅犆，
∴ ∠犇犅犉＝∠犃犇犅＝６０°．
又∵ ∠犃＝６０°，
∴ ∠犇犅犉＝∠犃．
∴ △犃犇犈≌△犅犇犉．
∴ 犇犈＝犇犉．
由菱形的定义可以判定一个四边形是菱形．对于平行四边形而言，
如果要判定它是一个菱形，那么它的边至少还要满足怎样的条件？
利用菱形的定义和平行四边形的性质，可以推出菱形的一个判定定理：
定理１ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
A
D
B
C
图２３３１５
如图２３３１５，已知：在平行四边形犃犅犆犇
中，犃犅＝犃犇．
求证：平行四边形犃犅犆犇是一个菱形．
证明 因为四边形犃犅犆犇是一个平行四边形，
由平行四边形的性质定理１，得犃犅＝犆犇，犅犆＝
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３０
第２３章四边形
犃犇．又因为犃犅＝犃犇，所以犃犅＝犆犇＝犅犆＝犃犇．根据菱形的定义，得平行
四边形犃犅犆犇是一个菱形．
仅有三条边相等的四边形一定是菱形吗？
如果一个平行四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直．这个命题的逆命
题也是真命题．由此，又得到菱形的一个判定定理：
定理２ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
A
O
D
C
B
图２３３１６
如图２３３１６，已知：在平行四边形犃犅犆犇中，
犃犆⊥犅犇．
求证：平行四边形犃犅犆犇是一个菱形．
证明 记犗为对角线犃犆、犅犇的交点．因为
四边形犃犅犆犇是一个平行四边形，由平行四边形
的性质定理３，得犅犗＝犇犗．又因为犃犆⊥犅犇，根据线段垂直平分线的性
质定理，得犃犅＝犃犇．进一步由菱形的判定定理１，得平行四边形犃犅犆犇
是一个菱形．
例５ 如图２３３１７，已知：犈犉是平行四边形犃犅犆犇的对角线犃犆的垂
直平分线，且分别与边犃犇、犅犆交于点犈、犉，垂足为犗．
A
D
E
O
F
C
B
图２３３１７
求证：四边形犃犉犆犈是一个菱形．
分析 已知犈犉⊥犃犆，所以要证四边形犃犉犆犈是
一个菱形，只要证明四边形犃犉犆犈是一个平行四边形．
证明 ∵ 四边形犃犅犆犇是一个平行四边形，
∴ 犃犈∥犉犆．
∴ ∠犈犃犆＝∠犃犆犉．
∵ 犈犉垂直平分犃犆，
∴ 犃犗＝犆犗，∠犃犗犈＝∠犆犗犉＝９０°．
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２３．３ 矩形、菱形与正方形３１
∴ △犃犗犈≌△犆犗犉．
∴ 犈犗＝犉犗．
∴ 四边形犃犉犆犈是一个平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行
四边形）．
又∵ 犈犉⊥犃犆，
∴ 四边形犃犉犆犈是一个菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
课堂练习２３．３（２）
E
A
D
C
B
（第３题）
１．填空题：
（１）矩形和菱形都具有的性质是
；
（２）矩形具有而菱形不一定具有的性质是
；
（３）菱形具有而矩形不一定具有的性质是
．
２．已知一个菱形的两条对角线的长分别是１２
和６槡５，求它的面积．
３．如图，已知：在四边形犃犅犆犇中，犃犇∥
犅犆，犃犇＝犆犇，犈是对角线犅犇上一点，且犈犃＝
犈犆．求证：四边形犃犅犆犇是一个菱形．
３．正方形
定义 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形．
因为正方形的四个内角都是直角，结合矩形的定义，可知正方形必为矩
形．另一方面，因为正方形的四条边都相等，由菱形的定义，可知正方形必为
菱形．所以正方形既是矩形又是菱形．反过来，根据矩形的定义和菱形的定
-ᒏ
9ᒏ
ᒏ
图２３３１８
义，可知既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
矩形、菱形、正方形的关系如图２３３１８所示．
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３２
第２３章四边形
因为正方形既是矩形又是菱形，所以正方形具有矩形与菱形的所有性质．
例６ 证明：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直
角三角形．
A
D
B
O
C
图２３３１９
如图２３３１９，已知：四边形犃犅犆犇是一个正方
形，对角线犃犆、犅犇相交于点犗．
求证：△犃犅犗、△犅犆犗、△犆犇犗、△犇犃犗是全等
的等腰直角三角形．
证明 ∵ 四边形犃犅犆犇是一个正方形，
∴ 犃犆＝犅犇（矩形的两条对角线相等），
犗犃＝犗犆＝１２犃犆，犗犅＝犗犇＝１２犅犇（平行四边形的对角线互相平分）．
∴ 犗犃＝犗犆＝犗犅＝犗犇．
∵ 四边形犃犅犆犇是一个正方形，
∴ 犃犆⊥犅犇（菱形的两条对角线互相垂直）．
∴ ∠犃犗犅＝∠犅犗犆＝∠犆犗犇＝∠犇犗犃＝９０°．
∴ △犃犅犗、△犅犆犗、△犆犇犗、△犇犃犗都是等腰直角三角形．
根据“边角边”，得△犃犅犗≌△犅犆犗≌△犆犇犗≌△犇犃犗．
正方形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴有几条？
反过来，要判定一个四边形是正方形，可以判定其既是矩形又是菱形．
A
E
B
C
M
D
N
F
图２３３２０
例７ 如图２３３２０，已知：犈、犉、犕、犖分别
是正方形犃犅犆犇四条边上的点，犃犈＝犅犉＝犆犕＝犇犖．
求证：四边形犈犉犕犖是一个正方形．
证明 ∵ 四边形犃犅犆犇是一个正方形，
∴ 犃犅＝犅犆＝犆犇＝犇犃．
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２３．３ 矩形、菱形与正方形３３
∵ 犃犈＝犅犉＝犆犕＝犇犖，犅犈＝犃犅－犃犈，犆犉＝犅犆－犅犉，犇犕＝犆犇－
犆犕，犃犖＝犃犇－犇犖，
∴ 犅犈＝犆犉＝犇犕＝犃犖．
又∵ ∠犃＝∠犅＝∠犆＝∠犇＝９０°，
∴ △犅犈犉≌△犆犉犕≌△犇犕犖≌△犃犖犈．
∴ 犈犉＝犉犕＝犕犖＝犖犈．
∴ 四边形犈犉犕犖是一个菱形．
∵ △犅犈犉≌△犆犉犕，
∴ ∠犅犈犉＝∠犆犉犕．
∵ ∠犅犈犉＋∠犅犉犈＝１８０°－∠犅＝９０°，
∴ ∠犆犉犕＋∠犅犉犈＝９０°．
∴ ∠犈犉犕＝９０°．
∴ 四边形犈犉犕犖是一个矩形（有一个内角是直角的平行四边形是
矩形）．
∴ 四边形犈犉犕犖是一个正方形（既是矩形又是菱形的四边形是正
方形）．
课堂练习２３．３（３）
１．根据图形求出相应的狓、狔、狕的值（两个图形都是正方形，第２
个图形中的狓表示正方形对角线一半的长）：
A
B
C
D
y°
x°
z°
A
B
C
D
yᅂ2
x
3yᅄ6
（第１题）
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３４
第２３章四边形
２．如图，已知：在正方形犃犅犆犇中，犘是边犅犆上一点，犅犈⊥犃犘，
犇犉⊥犃犘，垂足分别为犈、犉．求证：犈犉＝犇犉－犅犈．
A
B
P
C
D
E
F
（第２题）
A
B
C
D
E
F
（第３题）
３．如图，已知：在△犃犅犆中，∠犃犆犅＝９０°，犆犇平分∠犃犆犅，犇犈⊥犃犆，
犇犉⊥犅犆，垂足分别为犈、犉．求证：四边形犆犈犇犉是一个正方形．
习题２３．３
１．填空（将序号填写在相应的横线上）：
分析下列图形：①平行四边形（非矩形、菱形），②矩形（非正方形），
③菱形（非正方形），④正方形．
（１）必然是中心对称图形的有 ；
（２）必然是轴对称图形的有 ；
（３）必然满足对角线互相垂直平分的有 ；
（４）必然满足对角线互相平分且相等的有 ；
（５）必然满足对角线互相垂直平分且相等的有 ．
２．如图（１），矩形犃犅犆犇的对角线犃犆、犅犇相交于点犗，试找出图中相
等的线段与相等的角．如图（２），菱形犃犅犆犇的对角线犃犆、犅犇相交于点犗，
试找出图中相等的线段与相等的角．
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２３．３ 矩形、菱形与正方形３５
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
（第２题）
３．如图，矩形犃犅犆犇的对角线犃犆、犅犇相交于点犗，犃犈垂直且平分线
段犅犗，垂足为犈，犅犇＝１５ｃｍ．求犃犆、犃犅的长．
A
B
D
E
O
C
（第３题）
E
A
B
C
O
D
（第４题）
４．如图，菱形犃犅犆犇的对角线犃犆、犅犇相交于点犗，犃犈垂直且平分边
犆犇，垂足为犈．求∠犅犆犇的度数．
５．如图，已知：正方形犃犅犆犇的对角线犃犆、犅犇相交于点犗，犈是犗犅
上一点，犇犌⊥犆犈，垂足为犌，犇犌与犗犆相交于点犉．求证：犗犈＝犗犉．
A
B
C
G
F
O
E
D
（第５题）
A
E
F
G
H
B
C
D
（第６题）
６．如图，已知：矩形犃犅犆犇的外角的平分线分别交于点犈、犉、犌、犎．
求证：四边形犈犉犌犎是一个正方形．
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３６
第２３章四边形
７．如图（１），已知犆是线段犃犅上一点，分别以犃犆、犅犆为边，在线段
犃犅的同侧作正方形犃犆犇犈和正方形犆犅犌犉，分别连接犃犉、犅犇．犃犉与犅犇
是否相等？为什么？
思考：如图（２），如果点犆在线段犃犅的延长线上，那么犃犉与犅犇是否
相等？请说明理由．
E
A
F
G
B
C
D
（１）
E
A
F
G
B
C
D
（２）
（第７题）
８．有一块正方形的草地，要在上面修建两条交叉的宽度相同的笔直小路，
使得这两条小路将草地分成的四个部分面积相等，你有多少种方法？与你的
同学交流一下．
A
D
D′
A′
B′
C′
B
C
（第９题）
９．如图，已知：点犃′、犅′、犆′、犇′分别在正方形
的边犃犅、犅犆、犆犇、犇犃上，且犃犃′＝犅犅′＝犆犆′＝
犇犇′．
（１）当犃犃′＝１２犃犅时，四边形犃′犅′犆′犇′的面积是
正方形犃犅犆犇面积的几分之几？
（２）当点犃′、犅′、犆′、犇′处在什么位置时，四边形犃′犅′犆′犇′的面积是
正方形犃犅犆犇面积的５９？请写出计算过程．
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２３．４ 三角形的中位线与重心３７
在研究四边形时，通常会把它转化为三角形的问题，并利用三角形来研
究四边形的有关问题．现在我们学习了平行四边形，反过来，也可以利用平行
四边形来研究三角形的有关问题．
任意画一个△犃犅犆，然后分别取边犃犅、犃犆的中点犇、犈，连接
犇犈．通过观察或测量等方法，你发现犇犈与犅犆之间有怎样的位置关
系？有怎样的数量关系？据此，你能得到什么结论？
A
D
E
C
B
图２３４１
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．
如图２３４１，在△犃犅犆中，犇、犈分别是边犃犅、犃犆
的中点，于是线段犇犈就是△犃犅犆的一条中位线．每
一个三角形有三条中位线．
三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并
且等于第三边的一半．
如图２３４１，已知：在△犃犅犆中，犇、犈分别是边犃犅、犃犆的中点．
求证：犇犈∥犅犆，且犇犈＝１２犅犆．
分析 考虑延长犇犈到点犉，使得犈犉＝犇犈，这时△犃犇犈≌△犆犉犈．于
是，证明犇犈∥犅犆且犇犈＝１２犅犆可转化为证明犇犉∥犅犆且犇犉＝犅犆．这只需
A
D
E
F
C
B
图２３４２
要证明四边形犅犆犉犇是一个平行四边形即可．
证明 如图２３４２，延长犇犈到点犉，使得
犈犉＝犇犈，连接犉犆．因为犃犈＝犈犆，∠犃犈犇＝
∠犆犈犉，所以△犃犇犈≌△犆犉犈．由此推出犃犇＝犆犉，
∠犃＝∠犈犆犉，所以犃犅∥犆犉，即犅犇∥犆犉．又因
为犃犇＝犇犅，犃犇＝犆犉，所以犇犅＝犆犉．由平行四边形的判定定理２，得四
２３．４三角形的中位线与重心
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３８
第２３章四边形
边形犅犆犉犇是一个平行四边形，所以犇犉∥犅犆，且犇犉＝犅犆．又因为犇犈＝
１２犇犉，所以犇犈∥犅犆，且犇犈＝１２犅犆．
O
C
A
B
E
D
F
G
图２３４３
例１ 如图２３４３，已知：犗是△犃犅犆内任意一
点，犇、犈、犉、犌分别是犗犃、犗犅、犅犆、犃犆的中点．
求证：四边形犇犈犉犌是一个平行四边形．
证明 ∵ 犉、犌分别是犅犆、犃犆的中点，
∴ 犌犉∥犃犅，且犌犉＝１２犃犅（三角形的中位线定理）．
同理，可得犇犈∥犃犅，且犇犈＝１２犃犅．
∴ 犌犉∥犇犈，且犌犉＝犇犈．
∴ 四边形犇犈犉犌是一个平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形）．
课堂练习２３．４（１）
１．填空：如图，在△犃犅犆中，犇、犈分别是边犃犅、犃犆上的点，
且犃犇＝犇犅，犃犈＝犈犆．
（１）如果犅犆＝槡３，那么犇犈＝ ；
（２）如果犇犈＝５，那么犅犆＝ ．
B
C
E
D
A
（第１题）
#
&
"
'
$
（第２题）
２．如图，犅、犆两点被海水隔开，在犅、犆外选择一点犃，找到
犃犅、犃犆的中点犈、犉，测得犈犉＝２２ｍ，这样就能求出犅、犆两点间的
距离．请说明理由．
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２３．４ 三角形的中位线与重心３９
A
H
D
G
C
B
E
F
（第３题）
３．如图，已知：在四边形犃犅犆犇中，犈、犉、
犌、犎分别是边犃犅、犅犆、犆犇、犃犇的中点．求
证：四边形犈犉犌犎是一个平行四边形．
任意一个三角形的三条角平分线相交于一点，三条边的垂直平分线也相
交于一点．试问：任意一个三角形的三条中线是否也相交于一点？它又有怎样
的性质呢？
A
E
D
O
B
C
F
图２３４４
任意一个三角形都有三条中线．如图２３４４，已
知犅犇、犆犈分别是△犃犅犆的边犃犆、犃犅上的中线，
它们交于点犗，连接犃犗并延长交边犅犆于点犉．
犃犉是边犅犆上的中线吗？线段犃犗与线段犗犉
有怎样的数量关系？线段犆犗与线段犗犈呢？线段
犅犗与线段犗犇呢？据此，你能得到什么结论？
例２ 如图２３４４，已知：在△犃犅犆中，犅犇、犆犈分别是边犃犆、犃犅
上的中线，犅犇和犆犈交于点犗，连接犃犗并延长交边犅犆于点犉．
A
E
D
O
B
C
F
G
图２３４５
求证：犃犉是边犅犆上的中线．
证明 如图２３４５，延长犃犉到点犌，使犗犌＝
犃犗，分别连接犅犌、犆犌．
∵ 犈犅＝犈犃，犗犌＝犃犗，
∴ 犈犗∥犅犌（三角形的中位线定理）．
∴ 犗犆∥犅犌．
同理，可得犗犅∥犆犌．
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４０
第２３章四边形
取一块质地均匀的三角形硬纸
片，在三条中线的交点处用细绳将
其挂住，该硬纸片将会保持水平，
这说明整个三角形硬纸片所受重力
的合力可视为集中作用在此点，
“重心”因而得名．
∴ 四边形犅犌犆犗是一个平行四边形．
∴ 犅犉＝犉犆（平行四边形的对角线互
相平分）．
∴ 犃犉是边犅犆上的中线．
本题的结论表明：三角形的三条中线交
于一点，此交点叫作三角形的重心．
三角形重心定理 三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点
对边中点的距离的两倍．
如图２３４６，已知：在△犃犅犆中，犃犉、犅犇、犆犈分别是边犅犆、犃犆、
犃犅上的中线，并交于点犗．
求证：犃犗＝２犗犉．
A
E
D
O
B
C
F
图２３４６
A
E
D
O
B
C
F
G
图２３４７
证明 如图２３４７，延长犃犉到点犌，使犗犌＝犃犗，分别连接犅犌、犆犌．
在例２中已经证明了四边形犅犌犆犗是一个平行四边形，所以犗犌＝２犗犉．又因
为犗犌＝犃犗，所以犃犗＝２犗犉．
例３ 如图２３４８，已知：在△犃犅犆中，犗是△犃犅犆的重心，分别连
接犗犃、犗犅和犗犆．
求证：犛△犗犃犅＝犛△犗犅犆＝犛△犗犃犆．
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２３．４ 三角形的中位线与重心４１
A
O
B
C
图２３４８
A
E
D
O
B
C
F
图２３４９
证明 如图２３４９，延长犆犗、犅犗和犃犗，与边犃犅、犃犆、犅犆分别交
于点犈、犇、犉．
∵ 犗是△犃犅犆的重心，
∴ 犉是边犅犆的中点．
为什么可以得到
犛△犗犅犉＝犛△犗犆犉＝１２犛△犗犅犆，
犛△犗犃犅＝２犛△犗犅犉，
犛△犗犃犆＝２犛△犗犆犉？
∴ 犅犉＝犉犆．
∴ 犛△犗犅犉＝犛△犗犆犉＝１２犛△犗犅犆．
∵ 犗是△犃犅犆的重心，
∴ 犃犗＝２犗犉（三角形重心定理）．
∴ 犛△犗犃犅＝２犛△犗犅犉，犛△犗犃犆＝２犛△犗犆犉．
∴ 犛△犗犃犅＝犛△犗犅犆＝犛△犗犃犆．
课堂练习２３．４（２）
A
E
D
O
B
C
F
（第１题）
１．填空：如图，已知犗是△犃犅犆的重心．
（１）犃犅＝２ ＝２ ；
（２）犅犉＝ ＝１２ ；
（３）犛△犗犃犇＝ ＝１２ ．
２．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犃犆犅＝９０°，犃犅＝２４，犌是△犃犅犆的重心，
连接犆犌并延长，交边犃犅于点犇．求犇犌的长．
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４２
第２３章四边形
３．在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆＝１７，犅犆＝１６，犌是△犃犅犆的重心．
（１）求犃犌的长；
（２）求犛△犌犅犆．
习题２３．４
１．如图，在四边形犃犅犆犇中，犘是对角线犅犇的中点，犈、犉分别是边
犃犅、犆犇的中点，犃犇＝犅犆，∠犘犈犉＝２３°．求∠犘犉犈的度数．
A
B
E
D
C
F
P
（第１题）
B
C
A
E
D
（第２题）
２．如图，在△犃犅犆中，犇、犈分别是边犅犆、犃犆的中点，犃犇⊥犃犅，垂足为
犃，犃犅＝６，犃犇＝４．求犃犆的长．
３．已知犌是面积为２７ｃｍ２的△犃犅犆的重心，那么△犃犌犆的面积是多少？
４．如图，△犃犅犆的中线犃犇、犅犈相交于点犉．若△犃犅犉的面积是４，求
四边形犉犇犆犈的面积．
A
C
B
D
E
F
（第４题）
B
C
F
D
E
A
（第５题）
５．如图，已知：在△犃犅犆中，犇、犈分别是边犃犅、犃犆的中点，延长
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２３．４ 三角形的中位线与重心４３
犇犈到点犉，使犈犉＝２犇犈．求证：四边形犅犆犉犈是一个平行四边形．
６．如图，已知：在△犃犅犆中，∠犃犅犈＝∠犈犅犆，犃犈⊥犅犈，垂足为犈，
犉是边犃犆的中点．求证：犈犉＝１２（犅犆－犃犅）．
A
C
B
E
F
（第６题）
A
M
B
C
N
D
（第７题）
７．如图，已知：在梯形犃犅犆犇中，犃犇∥犅犆，犃犇＜犅犆，犃犕＝犕犅，
犇犖＝犖犆．求证：犕犖∥犅犆，且犕犖＝１２（犃犇＋犅犆）．
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４４
第２３章四边形
几何与建筑窥探
几何形态是人类建筑最早的构造形式，无论是古埃及的金字塔、古希腊
的帕提农神庙，还是中国的万里长城，都蕴含着丰富的几何形态．现代主义建
筑作品中也大量使用了几何形态．
几何形态的构思设计在上海的建筑里也有很好的呈现．有着“上海之根，
海派之源”之称的广富林文化遗址公园，侧面是三角形形状的建筑群倒映湖
中，形成美轮美奂的菱形镜像．坐落在浦江之滨的中华艺术宫，采用逐层出挑
的梯形设计．俯瞰中华艺术宫，其外框呈一个大正方形，大正方形里包含五个
小正方形———中心的一个和四个角上的各一个，这五个正方形对应了五个展厅．
广富林文化遗址公园建筑
中华艺术宫
苏州博物馆
中国工程院外籍院士、建筑大师贝聿铭设
计的苏州博物馆带有丰富的几何元素．从建筑
结构看，现代几何体构成的坡顶隐含着苏州古
建筑传统的斜坡屋顶的基本概念，三角形、正
方形不断地出现与重构．大厅位于入口处庭院
与山水主庭院之间，大小正方形和三角形的屋
顶框架线与几何形的吊灯交错在一起，构成了
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阅读材料４５
一道错综复杂的视觉谜题．设计师对于博物馆内的摆设也做了精心的设计，甚
至连灯具也是由简单的几何体组成的．这些强烈的现代几何形态和中国传统园
林的雅致意味巧妙融合，相得益彰．
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４６
第２３章四边形
１．基本概念：多边形，梯形，平行四边形，矩形，菱形，正方形．
２．多边形：
多边形的内角和定理：狀边形的内角和等于（狀－２）·１８０°．
多边形的外角和定理：多边形的外角和等于３６０°．
３．平行四边形：
（１）两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
（２）平行四边形的性质定理：
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分．
（３）平行四边形的判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
４．矩形：
（１）四个内角都是直角的四边形叫作矩形．
（２）矩形的性质定理：矩形的两条对角线相等．
（３）矩形的判定定理：
有一个内角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形．
５．菱形：
（１）四条边都相等的四边形叫作菱形．
（２）菱形的性质定理：菱形的两条对角线互相垂直．
（３）菱形的判定定理：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
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内容提要４７
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
６．正方形：
（１）四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形．
（２）正方形既是矩形又是菱形．
（３）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
７．中位线与重心：
（１）三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并
且等于第三边的一半．
（２）三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的重心．
（３）三角形重心定理：三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点
对边中点的距离的两倍．
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４８
第２３章四边形
１．选择题：
（１）如果一个多边形的边数增加１，那么它的内角和
（ ）
Ａ．不变；
Ｂ．增加１°；
Ｃ．增加１８０°；
Ｄ．增加３６０°．
（２）若一个多边形的内角和是它的外角和的２倍，则这个多边形的边数为
（ ）
Ａ．４；
Ｂ．５；
Ｃ．６；
Ｄ．７．
（３）如图所示的伸缩门，其原理是
（ ）
（第１（３）题）
Ａ．三角形的稳定性；
Ｂ．四边形的不稳定性；
Ｃ．两点之间线段最短；
Ｄ．两点确定一条直线．
２．填空题：
（１）已知矩形犃犅犆犇的对角线犃犆、犅犇相交于点犗，△犗犃犅是等边三
角形．如果犃犅＝４ｃｍ，那么矩形犃犅犆犇的面积是 ｃｍ２；
（２）已知菱形的两条对角线的长分别是６和８，那么它的周长和面积分别
等于 和 ．
３．如图，已知：在犃犅犆犇中，犈、犉为对角线犅犇上两点，且
∠犅犃犈＝∠犇犆犉．求证：犅犉＝犇犈．
E
F
A
B
C
D
（第３题）
E
A
F
B
O
C
D
（第４题）
４．如图，已知：在四边形犃犅犆犇中，犃犇∥犅犆，犈、犉分别是边犃犅、
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复习题４９
犆犇上的点，犃犆、犈犉相交于点犗，犗犃＝犗犆，犗犈＝犗犉．求证：四边形
犃犅犆犇是一个平行四边形．
５．如图，已知：在△犃犅犆中，犅犇是∠犃犅犆的平分线，犃犈⊥犅犇交边
犅犆于点犈，垂足为犉，犌是边犃犅的中点，连接犉犌．求证：△犃犉犌是一个
等腰三角形．
A
D
B
C
F
E
G
（第５题）
E
A
F
B
C
D
（第６题）
６．如图，在△犃犅犆中，犇、犈、犉分别是边犃犅、犅犆、犆犃的中点．
（１）如果犃犅＝８，犅犆＝９，犃犆＝６，求△犇犈犉的周长；
（２）如果∠犃＝７８°，求∠犇犈犉的度数；
（３）如果△犇犈犉的面积为８，求△犃犅犆的面积．
７．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犅犃犆＝９０°，犃犅＝５，犃犆＝１２，犌是△犃犅犆的重
A
B
C
M
D
（第８题）
心，连接犃犌．求犃犌的长．
８．如图，已知：犕是矩形犃犅犆犇的边犅犆的中
点，犅犆＝２犃犅．求证：犕犃⊥犕犇．
９．已知菱形的一条边与它的两条对角线所成的两
个角的度数之比为３∶２，求这个菱形的各个内角的
度数．
A
B
C
（第１０题）
１０．如图，在△犃犅犆中，问：边犅犆上是否存在点
犘，过点犘分别作犃犅和犃犆的平行线，分别交边犃犆、
犃犅于点犇、犈，使四边形犃犈犘犇为菱形？如果不存在，
请说明理由；如果存在，作出点犘（保留作图痕迹），并加
以证明．
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５０
第２３章四边形
１１．如图，四边形犃犅犆犇的对角线犃犆、犅犇相交于点犗，给出下列６个
条件：
①犃犅∥犇犆；
②犃犅＝犇犆；
③犃犆＝犅犇；
④∠犃犅犆＝９０°；⑤犗犃＝犗犆；
⑥犗犅＝犗犇．
请从中选取３个条件，使四边形犃犅犆犇为矩形，并加以证明．
A
B
C
O
D
（第１１题）
A
B
C
O
D
E
（第１２题）
１２．如图，已知：矩形犃犅犆犇的对角线犃犆、犅犇相交于点犗，犇犈∥犆犃，
犃犈∥犅犇．
（１）求证：四边形犃犗犇犈是一个菱形．
（２）如果将条件中的“矩形犃犅犆犇”改为“菱形犃犅犆犇”，其余条件不变，
那么四边形犃犗犇犈是一个怎样的四边形？请给出说明．
１３．用纸板剪成的两个全等三角形能够拼成什么四边形？要想拼成一个矩
形，需要两个什么样的全等三角形？要想拼成菱形或正方形呢？动手剪一剪，
拼一拼，并想一想理由．
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第２４章
平面直角坐标系
平面直角坐标系由平面上两条互相垂直且有公共原点的数轴组成．
本章将通过建立平面直角坐标系，用坐标表示点的位置，用坐标表达
简单图形；学习用坐标计算两点间的距离；体会用坐标的变化来刻画
点的变换，如平移与轴对称．用数来表示位置是数学中一种具有突破
性的思想，它架起了数与形之间的桥梁．
通过本章的学习，可以更好地感受坐标在表示点的位置、表达简
单图形时的作用，进一步理解图形与数量之间的联系，为下一步在平
面直角坐标系中用函数图像表达函数关系打下基础．
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５２
第２４章平面直角坐标系
１．平面直角坐标系的引入
在生活中，常常需要确定位置．例如，在电影院里寻找自己的座位，
在围棋棋盘上确定某个棋子的位置，在一个队伍方阵中明确某个成员的位
置等．问题 在数学中，有什么方法可以确定平面上一个点的位置呢？
回顾确定直线上一个点的位置的方法，在直线上规定原点、正方向和单
位长度，就得到了一条数轴．数轴上的点与实数是一一对应的．所以利用数
轴，可以用一个实数来确定直线上一个点的位置．
如何确定平面上一个点的位置？先来看一个生活中的例子．看电影时根据
电影票上的信息“４排５座”（图２４１１），能确定这个座位在影院放映厅中的位
置，这个座位可以用（４，５）表示．事实上，放映厅里每个座位都可以用一个由
两个正整数组成的数对来表示．此外，不同顺序的数对（４，５）与（５，４）表示的座
位不同，像这样的数对叫作有序数对．由此联想，是否可以用一个由两个实数
组成的有序数对（犪，犫）来确定平面上一个点的位置呢？
图２４１１
参照利用数轴确定直线上点的方法，我们在平面上画两条互相垂直且有
公共原点的数轴，建立一个直角坐标系．这两条数轴称为坐标轴，通常分别记
为狓轴与狔轴．这两条数轴的公共原点称为该坐标系的原点，通常记为犗．坐
标系记作平面直角坐标系狓犗狔，如图２４１２所示．
２４．１平面直角坐标系
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２４．１ 平面直角坐标系５３
O
ᅄ1ᅄ1
y
x
ᅄ2
ᅄ3
1
1
2
2
3
3
ᅄ2
ᅄ3
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
O
ᅄ1ᅄ1
y
x
ᅄ2
ᅄ3
1
1
2
3
2
3
ᅄ2
ᅄ3
图２４１２
平面上两条互相垂直的数轴确定了平面直角坐标系．习惯上，分别在水平
和竖直方向画出这两条坐标轴，如图２４１２（２）所示．水平方向的坐标轴称为
横轴，记作狓轴，正方向向右；竖直方向的坐标轴称为纵轴，记作狔轴，正
方向向上．如无特别说明，两条坐标轴的单位长度是一致的．
有了平面直角坐标系，平面上任意给定的点就可以用一个有序数对来表
示了．例如，图２４１３中，过点犃分别向狓轴和狔轴作垂线，垂足犃１在狓
轴上所对应的数是３，垂足犃２在狔轴上所对应的数是２．５．因为平面上经过
一点有且只有一条直线垂直于已知直线，所以点犃１、犃２是由点犃唯一确定
的，从而点犃１、犃２分别所对应的数３、２．５也是唯一确定的．把点犃１所对
应的数３写在前，点犃２所对应的数２．５写在后，组成有序数对（３，２．５）．在
此平面直角坐标系中，（３，２．５）就表示点犃．
A
A1
A2
O
ᅄ1
ᅄ1
y
x
ᅄ2
ᅄ3
1
1
2
3
2
3
ᅄ2
ᅄ3
图２４１３
P
M
N
O
ᅄ1
ᅄ1
y
x
ᅄ2
ᅄ3
1
1
2
3
2
3
ᅄ2
ᅄ3
图２４１４
一般地，对于平面直角坐标系中任意给定的一点犘，如图２４１４，过
点犘作狓轴的垂线，垂足为犕，点犕在狓轴上所对应的数为犪；过点犘
作狔轴的垂线，垂足为犖，点犖在狔轴上所对应的数为犫，有序数对
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５４
第２４章平面直角坐标系
（犪，犫）就表示点犘．这样的有序数对是由点犘唯一确定的．反过来，任意
给定有序数对（犪，犫），可在狓轴上描出数犪所对应的点犕，在狔轴上描出
数犫所对应的点犖；过点犕作狓轴的垂线，过点犖作狔轴的垂线，这两
条垂线的交点犘就表示有序数对（犪，犫），这样的点也是唯一确定的．于
是，给定平面直角坐标系，平面上的每一个点都有唯一的有序数对与之对
应；反过来，对于任意给定的有序数对，平面上都有唯一的点与之对应．
所以，给定平面直角坐标系，平面上的点与有序数对是一一对应的．
要注意的是，平面上可以建立不同的直角坐标系，同一个点在不同坐标
系中所对应的有序数对可能是不同的．
在同一平面直角坐标系中，有序数对（犪，犫）与（犫，犪）表示同一个
点吗？
在平面直角坐标系狓犗狔中，点犘所对应的有序数对（犪，犫）叫作点犘的坐
标，记作“犘（犪，犫）”，其中犪叫作横坐标，犫叫作纵坐标．
建立了平面直角坐标系后，两个坐标轴将平面（除了坐标轴）按照横坐标
与纵坐标的符号分成四个部分：（正，正）、（负，正）、（负，负）、（正，负），每
个部分称为一个象限，依次记为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，
如图２４１５所示．坐标轴上的点不属于任何象限．
0̭
AK
0ιAK
0 AK
0̶
AK
O
ᅄ1
ᅄ1
y
x
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
1
1
2
3
4
5
2
3
4
5
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
图２４１５
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２４．１ 平面直角坐标系５５
例１ 写出平面直角坐标系（图２４１６）中各点的坐标．
A
D
C
B
O
ᅄ1
ᅄ1
y
x
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
1
1
2
3
4
5
2
3
4
5
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
图２４１６
向狓轴作垂线确定
横坐标，向狔轴作垂线
确定纵坐标．
解 如图２４１６，过点犃作狓轴的垂线，垂足
在狓轴上所对应的数是３；过点犃作狔轴的垂线，垂
足在狔轴上所对应的数是４．所以点犃的坐标是（３，４）．
同理，点犅的坐标是（－３，１）；点犆的坐标是
（－２，－３）；点犇的坐标是（５，－２）．
例２ 在平面直角坐标系（图２４１７）中描出下列各点：
犃（２．５，－５）、犅（４，３）、犆（－３，１）、犇（－４，－２）、犈（０，４）．
O
ᅄ1
ᅄ1
y
x
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
1
1
2
3
4
5
2
3
4
5
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
A
M
N
图２４１７
解 如图２４１７，在狓轴上找出２．５所对应的点犕，在狔轴上找出－５
所对应的点犖．过点犕作狓轴的垂线，过点犖作狔轴的垂线，这两条垂线的
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５６
第２４章平面直角坐标系
交点就是犃．
类似地，请你在图２４１７中描出点犅、犆、犇、犈．
课堂练习２４．１（１）
１．填空题：
（１）第 象限内的点的横坐标和纵坐标都是负数；
（２）第 象限内的点的横坐标和纵坐标异号；
（３）点犃（－２，３）在第 象限，到狓轴的距离为 ，
到狔轴的距离为 ；
（４）点犅（０，－４）在 轴上，到狓轴的距离为 ，到狔
轴的距离为 ．
２．写出图中各点的坐标：
犃 、犅 、犆 、犇 、
犈 、犉 、犌 ．
y
1
1
B
C
O
D
E
A
G
F
x
（第２题）
O
ᅄ1
ᅄ1
y
x
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
1
1
2
3
4
5
2
3
4
5
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
（第３题）
３．在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点：
犃（５，３）、犅（－４，０）、犆（－２，４）、犇（３．５，－３）、犈（－３，－２．５）．
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２４．１ 平面直角坐标系５７
２．简单图形的坐标表达
利用平面直角坐标系，可以表达平面上的简单图形，如可以用坐标表达
坐标轴所在的直线．为此，我们先讨论坐标轴上的点的坐标特征．
例３ 写出图２４１８中坐标轴上的点犈、犉的坐标．
O
ᅄ1
ᅄ1
y
E
F
x
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
1
1
2
3
4
2
3
4
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
图２４１８
解 点犈在狓轴上所对应的数是－４；过点犈作狔轴的垂线，垂足为
犗，它在狔轴上所对应的数是０．因此，点犈的横坐标是－４，纵坐标是０，
即点犈的坐标是（－４，０）．
用类似的方法，可得点犉的坐标是（０，２）．
在狓轴上的点的纵坐标为０；反之，纵坐标为０的点一定在狓轴上．因
此，可以把狓轴记为直线狔＝０．
在狔轴上的点的横坐标为０；反之，横坐标为０的点一定在狔轴上．因
此，可以把狔轴记为直线狓＝０．
平行于坐标轴的直线又如何表示呢？为此，我们讨论平行于坐标轴的直
线上的点的坐标特征．
如图２４１９，经过点犃（２，３）分别作狓轴的平行线犃犕和狔轴的
平行线犃犖，它们与坐标轴的交点分别是犕、犖．直线犃犕上的点的
坐标有什么特征？直线犃犖上的点的坐标又有什么特征呢？
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５８
第２４章平面直角坐标系
O
ᅄ1
ᅄ1
y
x
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
1
1
2
3
4
5
2
3
4
5
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
A(2,3)
M
N
图２４１９
过直线犃犕上任意给定一点作狔轴的垂线，垂足都是犕，所以直线
犃犕上的点的纵坐标都是３，横坐标可以是任意实数；反之，纵坐标为３的
点一定在直线犃犕上．因此，直线犃犕可记为直线狔＝３．
同理，直线犃犖上的点的横坐标都是２，纵坐标可以是任意实数；反
之，横坐标为２的点一定在直线犃犖上．因此，直线犃犖可记为直线狓＝２．
纵坐标等于犫的点的全体是经过点犃（０，犫）且平行于狓轴的直线，它可
记为直线狔＝犫；
横坐标等于犪的点的全体是经过点犃（犪，０）且平行于狔轴的直线，它可
记为直线狓＝犪．
在平面直角坐标系中，图形上的点都有相应的坐标，我们可以用坐标表
示简单图形的顶点位置，进而确定该图形的形状和大小，用坐标来表达图形．
例４ 写出图２４１１０中两个图形各个顶点的坐标，指出它们分别是什
么图形，并计算面积．
解 （１）△犃犅犆顶点的坐标分别是犃（－２，－２）、犅（１，３）、犆（１，－２），
因为点犃与点犆的纵坐标都是－２，所以犃犆∥狓轴．因为点犅与点犆的横坐
标都是１，所以犅犆∥狔轴．于是犃犆⊥犅犆．从而△犃犅犆是直角三角形，它的
面积是１２×３×５＝１５２．
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２４．１ 平面直角坐标系５９
O
ᅄ1
ᅄ1
y
x
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
1
1
2
3
4
5
2
3
4
5
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
A
C
B
O
ᅄ1
ᅄ1
y
x
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
1
1
2
3
4
5
2
3
4
5
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
B
C
D
A
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
图２４１１０
（２）四边形犃犅犆犇顶点的坐标分别是犃（－１，１）、犅（－３，－２）、
犆（２，－２）、犇（４，１），因为点犃与点犇的纵坐标都是１，所以犃犇∥狓轴．因
为点犅与点犆的纵坐标都是－２，所以犅犆∥狓轴．于是犃犇∥犅犆．又犃犇＝
犅犆＝５，所以四边形犃犅犆犇是平行四边形，它的面积是５×３＝１５．
对于平面上的图形，有时需要建立合适的平面直角坐标系，用坐标来表
达图形．
例５ 已知正方形犃犅犆犇的边长为４．
（１）如果以犃为原点，犃犅所在直线为狓轴，建立平面直角坐标系，那
么狔轴是哪条直线？在图２４１１１（１）中画出狔轴，标出单位长度，并写出正
方形顶点犃、犅、犆、犇的坐标；
（２）你还有其他建立平面直角坐标系的方法吗？在图２４１１１（２）中画出
你所建立的平面直角坐标系，并写出正方形顶点犃、犅、犆、犇的坐标．
A
x
A
B
B
D
D
C
C
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
图２４１１１
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６０
第２４章平面直角坐标系
解 （１）狔轴是直线犃犇，规定图中小方格的边长代表一个单位长度，那
么建立的平面直角坐标系如图２４１１２（１）所示，此时正方形顶点的坐标分别
是犃（０，０）、犅（４，０）、犆（４，４）、犇（０，４）．
（２）有其他建立平面直角坐标系的方法．例如，建立如图２４１１２（２）所示
的平面直角坐标系，此时正方形顶点的坐标分别是犃（－２，－２）、犅（２，－２）、
犆（２，２）、犇（－２，２）．
(O) A
y
x
1
1
2
3
4
2
3 4
A
B
B
D
O
D
C
C
y
x
1 2
1
ᅄ1
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ2
2
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
图２４１１２
建立的平面直角坐标系不同，同一个图形的顶点坐标也可能不同，应根
据具体情况建立合适的平面直角坐标系．
课堂练习２４．１（２）
１．填空题：
（１）经过点犘（０，１）且平行于狓轴的直线可记为直线 ；
（２）经过点犙（１，－５）且平行于狔轴的直线可记为直线 ；
（３）在平面直角坐标系中，已知点犃（－１，３）、犅（２，３），如果犕为
直线犃犅上任意给定的一点，那么点犕的纵坐标为 ；
（４）在平面直角坐标系中，已知点犆（－４，１）、犇（－４，－２），如果
犖为直线犆犇上任意给定的一点，那么点犖的横坐标为 ．
２．已知四边形犃犅犆犇顶点的坐标分别是犃（－１，３）、犅（－１，－２）、
犆（３，－２）、犇（１，３）．
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２４．１ 平面直角坐标系６１
（１）在如图所示的平面直角坐标系中画出四边形犃犅犆犇；
（２）判断四边形犃犅犆犇的形状，并计算它的面积．
y
x
O
1 2
3
1
ᅄ1
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ2
ᅄ3
2
3
（第２题）
B
C
A
（第３题）
３．如图，等边三角形犃犅犆的边长为３，请建立一个平面直角坐标系，
并写出等边三角形三个顶点犃、犅、犆在这个平面直角坐标系中的坐标．
３．物体位置的坐标表示
在实际生活中，我们还经常需要建立合适的平面直角坐标系，用坐标来
描述物体的位置．
图２４１１３是学校与欢欢家位置的示意图，图中小方格的边长是
１００ｍ．请在图中建立平面直角坐标系，并写出学校与欢欢家的坐标．
უ
႓ᵎ
图２４１１３
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６２
第２４章平面直角坐标系
例６ 某游乐园的游览简图如图２４１１４所示，请建立一个平面直角坐
标系，并用坐标表示各个主题园的位置．
ͽ#
ჿᮾK
:᳄
ڿKᅸ
Ꭸᶒ
图２４１１４
解 如图２４１１５，现以“幻方桥”所在位置为原点，分别以正东、正北
方向为狓轴、狔轴正方向，规定简图中小方格的边长代表一个单位长度，建
立平面直角坐标系．“幻方桥”的坐标为（０，０），“冒险屋”的坐标为（９，３），
“藏宝林”的坐标为（８，８），“寒暑院”的坐标为（－５，５），“乐游园”的坐标为
（－７，－３）．
你还有其他建立
平面直角坐标系的方
法吗？
y
O
ͽ#
ჿᮾK
:᳄
ڿKᅸ
Ꭸᶒ
x
2
2
4
6
8
ᅄ2
ᅄ2
ᅄ4
ᅄ4
ᅄ6
ᅄ8
4
6
8
图２４１１５
20 cm
30 cm
图２４１１６
例７ 如图２４１１６，将一块３０ｃｍ×２０ｃｍ
的矩形钢板分割成六个大小相等的正方形．试通
过建立平面直角坐标系，确定各个正方形中心的
坐标．
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２４．１ 平面直角坐标系６３
解 建立如图２４１１７所示的平面直角坐标系，规定１ｃｍ为一个单位长
度．因为矩形的长和宽分别为３０ｃｍ和２０ｃｍ，所以小正方形的边长为１０ｃｍ．
各个正方形中心的坐标分别为（５，５）、（１５，５）、（２５，５）、（５，１５）、（１５，１５）、
（２５，１５）．
你还有其他建立
平面直角坐标系的方
法吗？
O
y
x
20 cm
30 cm
10
10
20
30
20
图２４１１７
课堂练习２４．１（３）
１．建立一个平面直角坐标系，并用坐标表示图中各点的位置．
ߕ'
ΓN
"ߕ͚
ᓰ
%D0
Ḻ'
ᱧ
'N
#ͽ
（第１题）
y
x
15
17
5
1
9
11
19
13
12
10
4
6
14
2
18
16
8
3
7
O
（第２题）
２．一局五子棋的棋谱如图所示．
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６４
第２４章平面直角坐标系
（１）如图，以棋盘上的黑１所在位置为原点，分别以黑１所在横线、
纵线为狓轴、狔轴，规定每个小方格的边长代表一个单位长度，建立平
面直角坐标系，请用坐标表示黑１９、白１６、黑７的位置；
（２）请再描述一种建立平面直角坐标系的方法，并用坐标表示黑１、
白１２、白１６的位置．
习题２４．１
１．一个纸风车模型如图所示，写出图中各点的坐标．
犃 、犅 、犆 、
犇 、犈 、犉 ．
y
x
A
F
D
E
C
B
O
1
1
（第１题）
y
x
O
1
1
（第２题）
２．在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：
犃１（－１，－１）、犃２（－１，１）、犃３（－４，１）、犃４（－１，３）、犃５（－３，３）、
犃６（－１，５）、犃７（－１．５，５）、犃８（０，７）、犃９（１．５，５）、犃１０（１，５）、犃１１（３，３）、
犃１２（１，３）、犃１３（４，１）、犃１４（１，１）、犃１５（１，－１）．
顺次连接这些点（最后一点不再与其他点连接），观赏所得的图形．
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２４．１ 平面直角坐标系６５
３．请在图中建立一个平面直角坐标系，使点犈的坐标为（－２，１），点犉
的坐标为（１，－１），并写出点犎、犌的坐标．
E
F
H
G
（第３题）
y
x
O
1
1
（第４题）
４．（１）请你写出一个位于第一象限且横坐标与纵坐标相同的点的坐标，
并在如图所示的平面直角坐标系中描出这个点；
（２）把第（１）小题中的点记为犃，连接犗犃（犗为原点），说出线段犗犃与狓
轴正方向夹角的度数，并说明理由．
５．在平面直角坐标系中，已知点犃（２，槡６）、犅（槡５，５）、犆（－槡３，２．６）、
犇（－槡７，３）、犈（０，槡１７），这些点中，哪些在图中的阴影区域内？哪些不在图
中的阴影区域内？
y
x
O
1
1
（第５题）
（第６题）
６．已知小华家在市图书馆向东走５００ｍ、向北走１５００ｍ处，小海家在该
图书馆向西走２０００ｍ、向南走５００ｍ处．请在图中建立一个平面直角坐标系，
在坐标系中标出小华家、小海家的位置并用坐标表示它们．
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６６
第２４章平面直角坐标系
７．（１）写出图中点犃、犅、犆的坐标．
（２）△犃犅犆是否为等腰三角形？为什么？
y
x
O
B
C
A
1
1
（第７题）
y
x
O
A
1 2
3
1
ᅄ1
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ2
ᅄ3
2
3
（第８题）
８．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点；顶点
都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知格点犃（－２，１），请画一个格
点三角形，使点犃在它的内部且其面积小于２，并写出这个三角形各个顶点
的坐标．
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２４．２ 两点间的距离公式６７
问题 对于平面直角坐标系中的两点犃（狓１，狔１）、犅（狓２，狔２），如何计算
这两点间的距离呢？
y
x
O
A(x1,y1)
C(x1,y2)
B(x2,y2)
1
1
图２４２１
如图２４２１，过点犃作平行于狔轴的直线，
过点犅作平行于狓轴的直线，两直线相交于点
犆．所以点犆的坐标是（狓１，狔２），犃犆＝｜狔１－狔２｜，
犅犆＝｜狓１－狓２｜．
因为狓轴、狔轴互相垂直，所以∠犃犆犅＝
９０°．
在Ｒｔ△犃犅犆中，因为犃犅２＝犃犆２＋犅犆２，
所以犃犅＝（狓１－狓２）２＋（狔１－狔２）
槡
２．
如果点犃（狓１，狔１）、犅（狓２，狔２）同在狓轴或平行于狓轴的直线上，
犃犅＝（狓１－狓２）２＋（狔１－狔２）
槡
２还适用吗？如果这两点同在狔轴或平行
于狔轴的直线上呢？
两点间的距离公式 对于平面直角坐标系中的两点犃（狓１，狔１）、
犅（狓２，狔２），其距离为
犃犅＝（狓１－狓２）２＋（狔１－狔２）
槡
２．
例１ 在平面直角坐标系中，已知△犃犅犆三个顶点犃、犅、犆的坐标分
别为（－１，４）、（－４，－２）、（２，－５）．
（１）△犃犅犆的三条边长分别为多少？
（２）试判断△犃犅犆的形状．
２４．２两点间的距离公式
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６８
第２４章平面直角坐标系
解 （１）因为点犃、犅、犆的坐标分别为（－１，４）、（－４，－２）、（２，－５），
由两点间的距离公式，可得
犃犅＝（－１＋４）２＋（４＋２）
槡
２＝槡４５＝３槡５，
犅犆＝（－４－２）２＋（－２＋５）
槡
２＝槡４５＝３槡５，
犃犆＝（－１－２）２＋（４＋５）
槡
２＝槡９０＝３槡１０．
（２）因为犃犅＝３槡５，犅犆＝３槡５，所以犃犅＝犅犆．所以△犃犅犆是等腰三
角形．
由犃犅２＋犅犆２＝４５＋４５＝９０，犃犆２＝９０，可得犃犅２＋犅犆２＝犃犆２，所以
△犃犅犆是直角三角形．
所以△犃犅犆是等腰直角三角形．
例２ 如图２４２２，在平面直角坐标系中，已知两点犃（３，３）、犅（６，１）．
（１）求犃、犅两点间的距离；
（２）若点犘在狓轴上，且满足犘犃＝犘犅，求点犘的坐标．
y
x
O
4
5
5
3
3
1
1
6
2
2
4
6
A(3,3)
B(6,1)
图２４２２
解 （１）由两点间的距离公式，可得
犃犅＝（３－６）２＋（３－１）
槡
２＝槡１３．
（２）因为点犘在狓轴上，可设其坐标为（犿，０）．由两点间的距离公式，
可得
犘犃＝（犿－３）２＋（０－３）
槡
２＝（犿－３）２
槡
＋９，
犘犅＝（犿－６）２＋（０－１）
槡
２＝（犿－６）２
槡
＋１．
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２４．２ 两点间的距离公式６９
因为犘犃＝犘犅，所以犘犃２＝犘犅２，即
（犿－３）２＋９＝（犿－６）２＋１．
解得犿＝１９６．
所以点犘的坐标为（１９６，０）．
在平面直角坐标系中，已知两点犃（狓１，狔１）、犅（狓２，狔２）．你能写
出线段犃犅中点的坐标吗？
例３ 如图２４２３，海边有一个用于检测海面上船只位置的检测点．以此
检测点为原点，分别以正东、正北方向为狓轴、狔轴正方向，以１ｋｍ为单位长
度建立平面直角坐标系．已知某一时刻甲、乙两艘船的坐标分别为（５０，２０）、
（７０，４０），求此时两船的距离并描述乙船相对于甲船的位置．
x/km
y/km
O
40
60
20
20
40
60
45°
C
B
Uᷭ
"%U
A
*
Ά
图２４２３
解 记甲、乙两艘船所在的点分别为犃、犅．
由两点间的距离公式，可得甲、乙两艘船的距离为
犃犅＝（７０－５０）２＋（４０－２０）
槡
２＝２０槡２（ｋｍ）．
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７０
第２４章平面直角坐标系
像这种“北偏东
４５°”的角称为方位角，
方位角和距离也可以表
示物体的相对位置．
过点犃作狔轴的平行线，过点犅作狓轴的平行
线，相交于点犆，则∠犃犆犅＝９０°．
又因为犃犆＝犅犆＝２０（ｋｍ），所以△犃犆犅是一
个等腰直角三角形，可得∠犅犃犆＝４５°．
此时，乙船在甲船的北偏东４５°方向（东北方向）
上，距离甲船２０槡２ｋｍ．
课堂练习２４．２
１．求平面直角坐标系中两点间的距离：
（１）犃（１，２）和犅（４，６）；
（２）犆（－３，５）和犇（７，－２）；
（３）犈（－４，３）和犉（１，３）；
（４）犌（－５，６）和犎（－３，－４）．
２．已知等边三角形犃犅犆的顶点犅、犆的坐标分别为（０，０）和（４，０），
求顶点犃的坐标．
３．欢欢家在市体育馆向东走１０００ｍ，再向北走２０００ｍ处；小华家
在市体育馆向南走５００ｍ，再向西走１５００ｍ处．以市体育馆所在位置为
原点，分别以正东、正北方向为狓轴、狔轴正方向，以５００ｍ为单位长
度建立平面直角坐标系．
（１）根据要求画出平面直角坐标系，在坐标系中分别标出欢欢家和
小华家所在的位置，并写出坐标；
（２）计算欢欢家和小华家的距离；
（３）描述小华家相对于欢欢家的位置．
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２４．２ 两点间的距离公式７１
习题２４．２
１．求平面直角坐标系中两点间的距离：
（１）犃（０，１２）和犅（９，０）；
（２）犆（－５，３）和犇（－３，－４）；
（３）犈（槡２，－５）和犉（－３槡２，１）；
（４）犕（３槡３，槡２）和犖（－槡３，－２槡２）．
２．已知平面直角坐标系中三角形三个顶点的坐标，试判断这个三角形的
形状：
（１）犃（－２，１）、犅（２，３）、犆（０，－１）；
（２）犇（２，４）、犈（－１，－３）、犉（－３，２）；
（３）犕（１，３）、犖（－２，２）、犘（０，－４）．
３．在平面直角坐标系中，已知点犘的坐标为（犿，犿），且点犘到点犃（－２，３）、
犅（－１，－２）的距离相等．求犿的值．
４．在平面直角坐标系中，已知点犃（－３，２）、犅（１，４），试分别求出满足下
列条件的点犆的坐标：
（１）点犆在狓轴上，且△犃犅犆是等腰三角形；
（２）点犆在狔轴上，且△犃犅犆是直角三角形．
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７２
第２４章平面直角坐标系
１．平移
如图２４３１，已知点犃（－２，３），在平面直角坐标系中描出点犃
向右平移５个单位长度后的对应点犃１，并写出它的坐标．如果将点犃
向左平移５个单位长度呢？向上或向下平移５个单位长度呢？
观察平移前后点的坐标变化，你能从中发现什么规律吗？
在平面直角坐标系中再任取几个点，沿着与坐标轴平行的方向平
移，平移前后点的坐标变化仍符合你所发现的规律吗？
O
ᅄ1ᅄ1
y
x
A
ᅄ2
1
1
2
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
2
3
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ6
ᅄ7
图２４３１
一般地，如果点犕（狓，狔）沿着与狓轴或狔轴平行的方向平移
犿（犿＞０）个单位长度，那么
向右平移所对应的点的坐标为（狓＋犿，狔）；
向左平移所对应的点的坐标为（狓－犿，狔）；
向上平移所对应的点的坐标为（狓，狔＋犿）；
向下平移所对应的点的坐标为（狓，狔－犿）．
２４．３平移与轴对称
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２４．３ 平移与轴对称７３
例１ 如图２４３２，△犃犅犆三个顶点的坐标分别是犃（－３，－２）、
犅（－５，－５）、犆（－２，－６）．
（１）将△犃犅犆向上平移７个单位长度，得到△犃１犅１犆１，写出△犃１犅１犆１
各个顶点的坐标；
（２）将△犃犅犆向右平移６个单位长度，得到△犃２犅２犆２，写出△犃２犅２犆２
各个顶点的坐标．
y
x
O
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ6
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
A
B
C
图２４３２
y
x
O
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ6
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
A
B
C
A2
B2
C2
A1
B1
C1
图２４３３
解 （１）如图２４３３，将△犃犅犆向上平移７个单位长度，此时△犃犅犆三
个顶点犃、犅、犆都向上平移７个单位长度．
由犃（－３，－２）、犅（－５，－５）、犆（－２，－６），得△犃１犅１犆１各个顶点的坐
标分别为犃１（－３，５）、犅１（－５，２）、犆１（－２，１）．
（２）如图２４３３，同样可得△犃２犅２犆２各个顶点的坐标分别为犃２（３，－２）、
犅２（１，－５）、犆２（４，－６）．
在给定的平面直角坐标系中，
如果把一个图形向右（或向左）平移犿（犿＞０）个单位长度，那么这个图形
各个点的横坐标都加（或减）犿；
如果把一个图形向上（或向下）平移犿（犿＞０）个单位长度，那么这个图形
各个点的纵坐标都加（或减）犿．
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７４
第２４章平面直角坐标系
如图２４３４，正方形犃犅犆犇四个顶点的坐标分别为犃（１，５）、
犅（１，２）、犆（４，２）、犇（４，５）．将正方形犃犅犆犇向左平移７个单位长度，
得到正方形犃１犅１犆１犇１；再将正方形犃１犅１犆１犇１向下平移８个单位长
度，得到正方形犃２犅２犆２犇２．如果将正方形犃犅犆犇作一次平移，可以
得到正方形犃２犅２犆２犇２吗？
y
x
O
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ6
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ6
1 2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
A
D
B
C
A1
D1
B1
C1
A2
D2
B2
C2
图２４３４
分析 两次平移后，四个顶点犃２、犅２、犆２、犇２的坐标分别是犃２（－６，－３）、
犅２（－６，－６）、犆２（－３，－６）、犇２（－３，－３）．如果将正方形犃犅犆犇作一次平移，使
点犃移到点犃２的位置，就得到了正方形犃２犅２犆２犇２（图２４３４）．
一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来
的图形形状、大小完全相同，且可以通过将原来的图形作一次平移得到．
课堂练习２４．３（１）
１．填空题：
（１）点犘（４，－２）向左平移７个单位长度后所对应的点的坐标
是 ；
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２４．３ 平移与轴对称７５
y
x
O
A
B
C
1
1
（第２题）
（２）点犙（－３，－１）向上平移５个单位长度后所对应的点的坐标
是 ；
（３）点犕（－６，－４）向 平移
个单位长度后所对应的点的坐
标是（３，－４）；
（４）点犖（－１，５）向 平移
个单位长度后所对应的点的坐
标是（－１，０）．
２．如图，将△犃犅犆先向上平移８个
单位长度，再向右平移６个单位长度，
得到△犃′犅′犆′，画出平移后的图形，并
写出其各个顶点的坐标．
２．轴对称
y
x
O
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ4
1
2
3
4
1
2
3
4
A
B
C
ᅄ3
图２４３５
如图２４３５，已知点犃（－４，３），在平面
直角坐标系中分别描出点犃关于狓轴对称的
点犅、关于狔轴对称的点犆，并写出点犅、
犆的坐标．
观察点犃与点犅，点犃与点犆坐标之
间的关系，你能从中发现什么规律吗？
在平面直角坐标系中再任取几个点，写
出它们关于坐标轴对称的点的坐标，这些坐
标之间的关系仍符合你所发现的规律吗？
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７６
第２４章平面直角坐标系
一般地，在平面直角坐标系中，
点犕（狓，狔）关于狓轴对称的点的坐标为（狓，－狔）；
点犕（狓，狔）关于狔轴对称的点的坐标为（－狓，狔）．
反过来，坐标具有上述关系的两个点关于坐标轴对称吗？
例２ 如图２４３６，△犃犅犆三个顶点的坐标分别是犃（－３，－２）、
犅（－５，－５）、犆（－２，－６），画出△犃犅犆关于狓轴对称的△犃１犅１犆１，并写出
其各个顶点的坐标．
y
x
O
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ6
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
ᅄ3
A
C
B
图２４３６
y
x
O
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ6
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
ᅄ3
A
A1
B1
C1
C
B
图２４３７
解 △犃１犅１犆１与△犃犅犆关于狓轴对称，从而△犃１犅１犆１顶点犃１、犅１、
犆１与△犃犅犆顶点犃、犅、犆分别关于狓轴对称．
如图２４３７，分别描出点犃、犅、犆关于狓轴对称的点犃１、犅１、犆１，顺
次连接即得△犃１犅１犆１．
由犃（－３，－２）、犅（－５，－５）、犆（－２，－６），得犃１（－３，２）、犅１（－５，５）、
犆１（－２，６）．
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２４．３ 平移与轴对称７７
在给定的平面直角坐标系中，
如果两个图形关于狓轴对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标相
同，纵坐标互为相反数；如果点（狓，狔）在一个关于狓轴对称的图形上，那么
以（狓，－狔）为坐标的点也在这个图形上．
如果两个图形关于狔轴对称，那么这两个图形上各组对应点的纵坐标相
同，横坐标互为相反数；如果点（狓，狔）在一个关于狔轴对称的图形上，那么
以（－狓，狔）为坐标的点也在这个图形上．
如图２４３８，菱形犃犅犆犇四个顶点的坐标分别是犃（３，６）、
犅（０，４）、犆（３，２）、犇（６，４）．在平面直角坐标系中先画出菱形犃犅犆犇
关于狔轴对称的菱形犃１犅１犆１犇１，再画出菱形犃１犅１犆１犇１关于狓轴
对称的菱形犃２犅２犆２犇２．问：菱形犃犅犆犇和菱形犃２犅２犆２犇２的顶点
关于原点对称吗？它们的坐标之间有什么关系？
y
x
O
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ6
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
ᅄ3
A
C
D
B
图２４３８
一般地，在平面直角坐标系中，点犕（狓，狔）关于原点对称的点的坐标为
（－狓，－狔）．
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７８
第２４章平面直角坐标系
课堂练习２４．３（２）
１．填空题：
（１）与点犘（－４，－槡２）关于狓轴对称的点的坐标是 ；
（２）与点犙（槡３，－１）关于狔轴对称的点的坐标是 ；
（３）与点犕（０，－槡２）关于狓轴对称的点的坐标是 ；
（４）与点犖（狓，０）关于狔轴对称的点的坐标是 ．
２．在图中，画出△犃犅犆分别关于狓轴、狔轴对称的△犃１犅１犆１和
△犃２犅２犆２，再写出各个三角形的顶点坐标．
犃 、犅 、犆 ；
犃１ 、犅１ 、犆１ ；
犃２ 、犅２ 、犆２ ．
y
x
O
1
1
C
A
B
（第２题）
y
x
O
1
1
Ά
*̮͆
（第３题）
３．如图，在平面直角坐标系中，有标记为甲、乙、丙、丁的四个三
角形．
（１）哪两个三角形关于狓轴对称？
（２）哪两个三角形关于狔轴对称？
（３）哪个三角形经过平移可以得到另一个三角形？请说明怎样平移．
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２４．３ 平移与轴对称７９
习题２４．３
１．填空题：
（１）点犃（－２，３）向右平移４个单位长度后所对应的点的坐标是 ，
落在第 象限；
（２）点犅（槡２，槡３）向下平移槡３个单位长度后所对应的点的坐标是 ，
落在 ；
（３）点犆（－３，４）向 平移 个单位长度后落在狔轴上；
（４）点犇（－槡３，－４）向 平移 个单位长度后落在狓轴上；
（５）点犈（－５，０）向 平移犿（犿＞０）个单位长度后落在第三象限；
（６）点犉（０，槡３）向 平移犿（犿＞０）个单位长度后落在第二象限．
２．填空题：
（１）与点犃（－２，３）关于狓轴对称的点在第 象限，坐标是
；
（２）与点犅（槡２，槡３）关于狔轴对称的点在第 象限，坐标是
；
（３）点犘（－３，４）与点犙（３，４）关于 对称；
（４）点犕（－槡３，－４）与点犖（－槡３，４）关于 对称．
３．下列各图中从图形①到图形②的变化，是平移还是轴对称？如果是平
移，请说明怎样平移；如果是轴对称，请指出对称轴．
y
x
O
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ4
1 2 3 4
1
2
3
4
ᅄ3
?
?
܄ᅊ܅
܄ᅉ܅
܄ᅈ܅
y
x
O
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ4
1 2 3 4
1
2
3
4
ᅄ3
?
?
y
x
O
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ6
1 2 3 4
1
2
ᅄ3
?
?
（第３题）
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８０
第２４章平面直角坐标系
A
D
C
B
y
x
O
1
1
（第４题）
４．在平面直角坐标系中，将犃（－４，３）、犅（－１，２）、
犆（－４，１）、犇（－３，２）四个点用线段顺次连接成一个图
案，如图所示．
（１）如果原来四个点的纵坐标保持不变，横坐
标都加上４，将对应所得的点相应地用线段顺次连
接起来，那么所得的图案与原来的图案有怎样的位
置关系？
（２）如果原来四个点的横坐标保持不变，纵坐
标都减去３，将对应所得的点相应地用线段顺次连接起来，那么所得的图
案与原来的图案有怎样的位置关系？
５．如图，在平面直角坐标系中，圆心犃、犅、犆的坐标分别是（２，３）、
（３，３）、（４，３），画出这个图案关于狓轴对称的图案．
y
x
O
1
1
A
B
C
（第５题）
y
x
O
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ6
ᅄ7
ᅄ1
ᅄ2
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
A
（第６题）
６．如图，在平面直角坐标系中，△犃犅犆三个顶点的坐标分别为犃（３，７）、
犅（－４，５）、犆（－３，１）．画出△犃犅犆关于直线狓＝１对称的三角形，并写出其
各个顶点的坐标．
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内容提要８１
１．基本概念：平面直角坐标系．
２．平面直角坐标系：
两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．
给定平面直角坐标系，平面上的点与有序数对是一一对应的．
３．直线的坐标表示：
纵坐标等于犫的点的全体是经过点犃（０，犫）且平行于狓轴的直线，记为直
线狔＝犫．特别地，狓轴可以记为直线狔＝０．
横坐标等于犪的点的全体是经过点犃（犪，０）且平行于狔轴的直线，记为
直线狓＝犪．特别地，狔轴可以记为直线狓＝０．
４．两点间的距离公式：
对于平面直角坐标系中的两点犃（狓１，狔１）、犅（狓２，狔２），其距离为
犃犅＝（狓１－狓２）２＋（狔１－狔２）
槡
２．
５．平移与轴对称：
（１）平移：如果点犕（狓，狔）沿着与狓轴或狔轴平行的方向平移犿（犿＞０）
个单位长度，那么
向右平移所对应的点的坐标为（狓＋犿，狔）；
向左平移所对应的点的坐标为（狓－犿，狔）；
向上平移所对应的点的坐标为（狓，狔＋犿）；
向下平移所对应的点的坐标为（狓，狔－犿）．
（２）轴对称：在平面直角坐标系中，点犕（狓，狔）关于狓轴对称的点的坐
标为（狓，－狔）；点犕（狓，狔）关于狔轴对称的点的坐标为（－狓，狔）．
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８２
第２４章平面直角坐标系
１．在平面直角坐标系中，如果犪、犫都是正数，判断下列各点分别在什么
位置：
（１）点（犪，犫）在第 象限；
（２）点（－犪，犫）在第 象限；
（３）点（犪，－犫）在第 象限；
（４）点（－犪，－犫）在第 象限；
（５）点（犪，０）在 ；
（６）点（０，－犫）在 ．
２．在平面直角坐标系中，写出下列各点的坐标：
（１）点犃在狓轴的负半轴上，与原点的距离为５个单位长度；
（２）点犅在狔轴的正半轴上，与原点的距离为３个单位长度；
（３）点犆在第二象限，它到狓轴、狔轴的距离分别为３个单位长度和４
个单位长度．
A
B
6 cm
D
C
4 cm
（第３题）
３．如图，矩形犃犅犆犇的两条邻边长分别为６ｃｍ、
４ｃｍ．现规定１ｃｍ为１个单位长度．请画出一个平面
直角坐标系，使狓轴与犅犆平行，且点犅的坐标是
（－３，－２），并写出其他三个点的坐标．
４．已知平面直角坐标系中两点犃（－５，２）、
犅（－１，７），在坐标轴上求点犘，使犘犃＝犘犅．
y
A
B
C
D
x
O
（第５题）
５．如图，在平行四边形犃犅犆犇中，边犅犆
在狓轴上，点犃在狔轴上，已知点犃的纵坐标
是４，点犇的横坐标是７．求这个平行四边形的
面积．
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复习题８３
６．如图，每个小方格的边长都为１个单位长度，在平面直角坐标系中，
已知点犃（－４，５）、犅（－５，－１）、犆（－２，－２）．
（１）在图中描出犃、犅、犆三个点，并画出△犃犅犆；
（２）把△犃犅犆向右平移５个单位长度，再向下平移１个单位长度，得到
△犃′犅′犆′，在图中画出△犃′犅′犆′，并写出点犃′、犅′、犆′的坐标；
（３）在（２）的条件下，如果△犃犅犆内的一个点犘平移后得到点犘′，且点
犘′的坐标为（犪，犫），写出点犘的坐标（用犪、犫表示）．
y
x
O
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ1
ᅄ2
1
2
3
4
1
2
3
4
5
ᅄ3
（第６题）
O
y
C
B
D
A
E
x
1
1
（第７题）
７．在平面直角坐标系中，由犃（－３，４）、犅（－３，２）、犆（－３，０）、犇（－１，２）、
犈（－１，４）五个点用线段连接成一面如图所示的小旗图案．
（１）如果原来五个点的纵坐标保持不变，横坐标都乘－１，再将对应所得
的点相应地用线段连接起来，所得的图案与原来的图案有什么位置关系？
（２）如果原来五个点的横坐标保持不变，纵坐标都乘－１，再将对应所得
的点相应地用线段连接起来，所得的图案与原来的图案有什么位置关系？
（３）如果原来五个点的横、纵坐标都乘－１，再将对应所得的点相应地用
线段连接起来，所得的图案与原来的图案有什么位置关系？
８．如图，点犃的坐标是（０，４），点犅的坐标是（４，０）．
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８４
第２４章平面直角坐标系
（１）以犃犅为腰，在平面直角坐标系中画一个等腰直角三角形，符合这样
条件的三角形有几个？写出符合条件的三角形的第三个顶点的坐标．
（２）以犃犅为底，在平面直角坐标系中画一个等腰直角三角形，符合这样
条件的三角形有几个？写出符合条件的三角形的第三个顶点的坐标．
y
A
B
x
O
1
1
（第８题）
y
x
O
1
1
（第９题）
９．已知点犃（０，０）、犅（２，３）、犆（２，４）、犇（５，５）、犈（１，４）、犉（０，６）．
（１）在如图所示的平面直角坐标系中画出线段犃犅、犆犇、犈犉．
（２）线段犃犅、犆犇、犈犉中，一条保持不动，将另两条平移，使它们首尾
相接组成一个三角形．在如图所示的平面直角坐标系中画出所有符合条件的三
角形，并写出三角形三个顶点的坐标．
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第２５章
一次函数
在现实生活中，有些数量之间存在依赖关系．例如，路程依赖于
行进速度，也依赖于时间．这样的依赖关系是确定的，称之为函数．
对函数的研究是数学中的一个重要课题．
在本章中，我们将初步介绍变量与函数的概念，重点学习正比例
函数与一次函数的表达式、图像和基本性质．作为应用，将通过一次
函数来重新认识一元一次方程与一元一次不等式．
在具体的问题中，我们要特别注意区分变量和常量，识别一个变
量对另一个变量的依赖性及有关变量的变化范围，并学会用图像来理
解和表达函数关系．
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８６
第２５章一次函数
考察下面的例子：
（１）一辆汽车以８０ｋｍ／ｈ的速度匀速行驶，它行驶的路程狊（单位：ｋｍ）
与行驶的时间狋（单位：ｈ）之间的关系是狊＝８０狋；
（２）一个圆的面积犛（单位：ｃｍ２）与它的半径狉（单位：ｃｍ）之间的关系是
犛＝π狉２．
可以发现：在（１）中，利用公式狊＝８０狋计算汽车在不同的时间内所行驶
的路程时，狋、狊可以取不同的数值，而速度的数值保持不变；在（２）中，利用
公式犛＝π狉２计算不同半径的圆的面积时，狉、犛可以取不同的数值，而π的
数值保持不变．
在考察某个问题的过程中，保持数值不变的量称为常量．如上例中的
８０ｋｍ／ｈ、π均为常量；可以取不同数值的量称为变量，如上例中的时间狋、
路程狊、半径狉、面积犛．
在很多问题中，一个变量往往依赖于另外一个变量．在上例中，行驶的路
程会随着行驶的时间的变化而变化，当行驶的时间确定时，行驶的路程也随
之唯一确定，即变量狊依赖于变量狋，两者的依赖关系为狊＝８０狋．圆的面积会
随着半径的变化而变化，当半径确定时，圆的面积也随之唯一确定，即变量犛
依赖于变量狉，两者的依赖关系为犛＝π狉２．
一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为狓和狔．当狓在取值范围
内变化时，狔随着狓的变化而变化；当狓的值确定时，狔的值也随之唯一确
定．变量狔关于变量狓的这种依赖关系叫作函数，或者说变量狔是变量狓的
函数，狓称为自变量．
在上例（１）中，我们用狔＝８０狓表示狔随着狓的变化而变化的规律．像这
种左边是狔而右边是关于狓的代数式的等式常用于表示函数，通常称为函数
的表达式．
如果当狓＝犪时狔＝犫，那么称犫为函数在狓＝犪时相应的函数值．
例１ 设某地的气温为狓摄氏度（℃），又可以表示为狔华氏度（），其
中狓与狔可以按如图２５１１的方式转化．问：狔是不是狓的函数？为什么？
２５．１变量与函数
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２５．１ 变量与函数８７
10Ƞ0Ƞ25Ƞ
35Ƞ100ć
U
yᅔ x 32
9
5
xȪ
yȬ
图２５１１
解 在把摄氏度转化为华氏度的过程中，狔随着狓的变化而变化；当狓
取定一个值时，狔的值随之唯一确定，如表２５１所示：
表２５１
狓／℃
－１０
０
２５
３５
１００
…
狔／
１４
３２
７７
９５
２１２
…
事实上，狔是狓的函数，狔＝９５狓＋３２是这个函数的表达式．
如表２５１所示，我们可以通过列表展示自变量的值与相应的函数值之间
的依赖关系．
例２ 求下列函数当狓＝４时的函数值：
（１）狔＝２狓－５； （２）狔＝槡狓．
解 （１）把狓＝４代入函数狔＝２狓－５的表达式，得
狔＝２狓－５＝２×４－５＝８－５＝３．
所以，当狓＝４时，狔＝２狓－５的函数值为３．
（２）把狓＝４代入函数狔＝槡狓的表达式，得
狔＝槡狓＝槡４＝２．
所以，当狓＝４时，狔＝槡狓的函数值为２．
（１）已知函数狔＝槡狓，自变量狓的取值范围是什么？
（２）设正方形的边长为狓ｍ，面积为狔ｍ２，那么狔关于狓的函数
表达式为狔＝狓２，自变量狓的取值范围是什么？
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８８
第２５章一次函数
对于思考中的问题（１），由于狓取负实数时槡狓没有意义，函数狔＝槡狓中
的自变量狓只能取大于等于０的实数，因此自变量狓的取值范围是狓≥０；对
于问题（２），狓的取值范围不仅要保证函数的表达式有意义，还必须符合问题
的实际意义，因此自变量狓的取值范围是狓＞０．
除了表达式和列表，我们还可以利用图像直观地表示函数．若变量狔是变
量狓的函数，狓在取值范围内任取一个数犪，记犫为当狓＝犪时的函数值，
犘（犪，犫）为平面直角坐标系狓犗狔中的一个点．由所有这样的点组成的图形，称
为这个函数的图像．
例３ 某气象站测得当地某一天的气温变化情况，如图２５１２所示．
2
2
ᅄ2
ᅄ4
O
4
6
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22 24
ᬣݨt/ᬣ
!#T/℃
图２５１２
（１）如何选取两个变量，使得其中一个变量是另一个变量的函数？
（２）根据图２５１２的信息，填写表２５２：
表２５２
时刻狋／时
０
３
８
１４
２１
２４
气温犜／℃
－３
解 （１）设这一天中狋时的气温为犜℃．根据图２５１２，当时刻狋变化
时，相应的气温犜也随之变化；当某一时刻狋确定时，该时刻的气温犜也随
之唯一确定．由此可见，犜是狋的一个函数．
（２）根据图２５１２的信息，表２５２填写如下（表２５３）：
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２５．１ 变量与函数８９
表２５３
时刻狋／时
０
３
８
１４
２１
２４
气温犜／℃
－１
－３
０
５
０
－３
课堂练习２５．１
A
B
C
E
D
（第２题）
１．下列各表述中，哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写
出函数的表达式．
（１）圆的周长犆（单位：ｃｍ）随着半径狉（单位：ｃｍ）的变化而变化；
（２）等腰三角形中，顶角的度数狔随着底角的度数狓的变化而变化；
（３）一支笔的单价为２元，购买狀支笔的总价犛（单位：元）随着购
买笔的数量狀（单位：支）的变化而变化．
２．如图，线段犃犅＝犪，犇为犃犅上一定点，在
垂直于犃犅的射线犇犈上有一个动点犆（点犆与点犇
不重合），分别连接犆犃、犆犅，得到△犃犅犆．
（１）指出在点犆运动使△犃犅犆的面积发生变化
的过程中，线段犃犅、犆犇的长哪一个是常量？哪一
个是变量？
（２）设犆犇的长为犺，△犃犅犆的面积为犛，试写出犛关于犺的函数
表达式．
习题２５．１
１．下列各表述中，哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函
数的表达式．
（１）每分钟向一个水池注水０．１ｍ３，注水量狔（单位：ｍ３）随着注水时间
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９０
第２５章一次函数
狓（单位：ｍｉｎ）的变化而变化；
（２）周长为１５ｃｍ的等腰三角形，腰长犪（单位：ｃｍ）随着底边长犫（单位：
ｃｍ）的变化而变化；
（３）把２５ｋｇ的米分两袋装，乙袋装的质量狔（单位：ｋｇ）随着甲袋装的质
量狓（单位：ｋｇ）的变化而变化．
２．求下列函数当狓＝３时的函数值：
（１）狔＝１２狓２；
（２）狔＝１
３狓－１．
Q/L
t/h
O
7
3
2
10
30
40
（第３题）
３．一辆机动车行驶在路途中，出发时，油
箱里存油４０Ｌ．行驶若干小时后司机在服务区
停车吃饭，饭后继续行驶一段时间后到某加油
站准备加油．图中表示的是该过程中油箱里剩
余油量犙（单位：Ｌ）与行驶时间狋（单位：ｈ）之
间的函数关系．
（１）行驶几小时后司机在服务区停车吃
饭？吃饭用了多长时间？
（２）饭后行驶几小时到加油站？到加油站时油箱里还剩多少油？
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２５．２ 正比例函数９１
１．正比例函数的概念
设某种水果的单价为２５元／千克，售出的数量为狓千克，销售金额为狔
元，于是狔＝２５狓或狔狓＝２５．
一个正方形的周长随着它的边长的变化而变化．设正方形的边长为狓
（狓＞０），则其周长为狔＝４狓，也可表示为狔狓＝４．
如果变量狔与变量狓的比值是一个不等于０的常数，那么就说变量狔与
变量狓成正比例．用数学式子表示为狔狓＝犽或狔＝犽狓，其中犽是一个不等于０
的常数．
下列各表述中的变量狔与变量狓是否成正比例？
（１）铁的密度为７．９ｇ／ｃｍ３，铁块的质量狔（单位：ｇ）与它的体积
狓（单位：ｃｍ３）；
（２）圆的面积随着半径的变化而变化，圆的面积狔（单位：ｍ２）与
它的半径狓（单位：ｍ）．
变量狔与变量狓成正比例，说明狔是狓的一个函数．
形如狔＝犽狓（犽是常数，犽≠０）的函数叫作正比例函数，其中非零常数犽
称为比例系数，自变量狓的取值范围是一切实数．
确定了比例系数犽，就可以给出正比例函数的表达式：狔＝犽狓（犽≠０）．
例１ 已知正比例函数狔＝－４狓，指出此函数的比例系数，并求当自变
量狓分别取－５、０、３时的函数值．
解 函数狔＝－４狓的比例系数是－４．
当狓＝－５时，狔＝（－４）×（－５）＝２０；
２５．２正比例函数
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９２
第２５章一次函数
当狓＝０时，狔＝（－４）×０＝０；
当狓＝３时，狔＝（－４）×３＝－１２．
例２ 已知狔是狓的正比例函数，当狓＝３时函数值为２４．
（１）求该函数的表达式；
（２）当函数值分别为－５、０、３时，求自变量狓的值．
这里求正比例函数
表达式的方法是待定系
数法．表达式中犽是待
定系数，利用已知条件
列出关于犽的方程再求
解，可确定犽的值．
解 （１）因为狔是狓的正比例函数，可设其表
达式为狔＝犽狓（犽≠０）．
根据题意，３犽＝２４，解得犽＝８．
所以该函数的表达式为狔＝８狓．
（２）由狔＝８狓，知
当狔＝－５时，－５＝８狓，解得狓＝－５８；
当狔＝０时，０＝８狓，解得狓＝０；
当狔＝３时，３＝８狓，解得狓＝３８．
课堂练习２５．２（１）
１．下列各表述中的变量狔与变量狓是否成正比例？为什么？
（１）菱形的一条对角线长为４，它的面积狔与另一条对角线的长狓；
（２）等腰三角形的周长一定，它的底边长狔与它的腰长狓．
２．下列函数中，哪些是正比例函数？
（１）狔＝狓５； （２）狔＝－１５狓；
（３）狔＝５狓； （４）狔＝５狓＋２．
３．已知狔是狓的正比例函数，且当狓＝２时，狔＝１２．求该函数的比
例系数，并写出该函数的表达式．
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２５．２ 正比例函数９３
２．正比例函数的图像
已知正比例函数狔＝２狓．
（１）列表：取自变量狓的一些值，计算出相应的函数值狔，见表２５４．
表２５４
狓
…
－２－３２－１－１２０
１２
１
３２
２
…
狔＝２狓
…
－４－３－２－１０
１
２
３
４
…
（２）描点：分别以所取狓的值和相应的函数值狔作为点的横坐标和纵坐
标，描出这些坐标所对应的各点，如图２５２１（１）所示，不难发现上述所有点
均落在同一条过原点的直线上．
（３）连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用直线连接起
来，如图２５２１（２）所示．
y
x
O
ᅄ2
ᅄ4
ᅄ2
ᅄ4
2
4
2
4
ᅄ1ᅄ1
ᅄ3
ᅄ3
3
3
1
1
（１）
y
x
O
ᅄ2 ᅄ1ᅄ1
ᅄ3
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ2
ᅄ4
2
3
3
1
1
4
2
4
yᅔ2x
（２）
图２５２１
注意到所画直线上任意一点的坐标都满足函数的表达式狔＝２狓；同时，
对于任意一对满足这个函数表达式的狓、狔，以（狓，狔）为坐标的点都在所画的
直线上．因此，函数狔＝２狓的图像就是这条直线．
画出函数狔＝－２狓的图像．
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９４
第２５章一次函数
函数狔＝－２狓的图像也是一条直线，如图２５２２所示．
y
x
O
ᅄ2
ᅄ4
ᅄ2
ᅄ4
2
4
2
4
yᅔᅄ2x
ᅄ1ᅄ1
ᅄ3
ᅄ3
3
3
1
1
图２５２２
函数狔＝－２狓与狔＝２狓的图像有哪些共同的特点？
观察可见，函数狔＝２狓与狔＝－２狓的图像都经过原点．实际上，原点犗
的坐标（０，０）满足这两个函数的表达式．
我们知道，两点确定一条直线．例如，函数狔＝２狓的图像可以由原点
犗（０，０）和点（１，２）确定；函数狔＝－２狓的图像可以由原点犗（０，０）和点
（１，－２）确定．
正比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的图像是一条经过原点的直线，这条直线称为
直线狔＝犽狓．
例３ 在同一平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图像：
狔＝３狓，狔＝狓，狔＝１３狓．
分析 画正比例函数的图像，可先找函数图像上的两个点，再经过这两
点画一条直线．为了方便，其中一点通常取原点．
解 选取点犗（０，０）和点犃（１，３），经过这两点画一条直线，就得到函数
狔＝３狓的图像．
选取点犗（０，０）和点犅（２，２），经过这两点画一条直线，就得到函数狔＝狓
的图像．
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２５．２ 正比例函数９５
选取点犗（０，０）和点犆（３，１），经过这两点画一条直线，就得到函数狔＝
１３狓的图像．
这三个函数的图像如图２５２３所示．
y
x
O
ᅄ2
ᅄ4
ᅄ2
ᅄ4
2
4
2
4
A
B
C
yᅔ3x
yᅔx
yᅔx
1
3
ᅄ1ᅄ1
ᅄ3
ᅄ3
3
3
1
1
图２５２３
课堂练习２５．２（２）
１．若函数狔＝犽狓（犽≠０）的图像经过点犃（－１２，５），请写出该函数的
表达式．
２．在同一平面直角坐标系中，分别画出下列两个函数的图像：
（１）狔＝６狓与狔＝－１６狓； （２）狔＝１３狓与狔＝－３狓．
３．正比例函数的性质
在同一平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图像：
狔＝－４狓，狔＝－狓，狔＝－１４狓．
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９６
第２５章一次函数
所画图像如图２５２４所示．
y
x
O
ᅄ2
ᅄ4
ᅄ2
ᅄ4
4
2
4
yᅔᅄ4x
yᅔᅄx
yᅔᅄx
1
4
2
ᅄ1ᅄ1
ᅄ3
ᅄ3
3
3
1
1
图２５２４
观察图２５２３和图２５２４，回答下列问题：
（１）图２５２３中的函数图像经过哪两个象限？图２５２４中的函数
图像呢？
（２）正比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的图像所经过的两个象限与常数犽
有什么关系？
（３）图２５２３中，当一条直线上的点的横坐标从小到大逐渐变化
时，点的位置随之从 到 逐渐变化（填“高”或“低”）；
这就是说，当自变量狓的值从小到大逐渐变化时，函数值狔相应地从
到 逐渐变化（填“大”或“小”）．
（４）图２５２４中，当一条直线上的点的横坐标从小到大逐渐变化
时，点的位置随之从 到 逐渐变化（填“高”或“低”）；
这就是说，当自变量狓的值从小到大逐渐变化时，函数值狔相应地从
到 逐渐变化（填“大”或“小”）．
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２５．２ 正比例函数９７
通过观察，可以归纳正比例函数狔＝犽狓（犽≠０）有如下性质：
（１）当犽＞０时，正比例函数的图像经过第一、三象限，函数值狔随
着自变量狓的增大而增大；
（２）当犽＜０时，正比例函数的图像经过第二、四象限，函数值狔随
着自变量狓的增大而减小．
（１）（２）这两个性质的逆命题也是成立的．
例４ 已知正比例函数狔＝（１－２犪）狓（犪是常数），狔随着狓的增大而减
小，那么犪的取值范围是什么？
解 对于正比例函数狔＝（１－２犪）狓，由狔随着狓的增大而减小，可知
１－２犪＜０．
解得犪＞１２．
所以，犪的取值范围是犪＞１２．
例５ 在水管放水的过程中，放水的时间狓（单位：ｍｉｎ）与流出的水量
狔（单位：ｍ３）是两个变量．已知每分钟流出的水量是０．２ｍ３，放水的过程持续
１０ｍｉｎ．写出狔关于狓的函数表达式，并指出自变量狓的取值范围，再画出这
个函数的图像．
解 在水管放水的过程中，变量狔与变量狓成正比例，比例系数是０．２．
相应函数的表达式是狔＝０．２狓，自变量狓的取值范围是０≤狓≤１０．这个函数
的图像是一条线段，如图２５２５所示．
y/m
3
x/min
O
2
3
5
7
9
4
6
8
10
2
1
1
图２５２５
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９８
第２５章一次函数
课堂练习２５．２（３）
１．如果正比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的图像经过第一、三象限，那么狔
随着狓的增大而 ；如果正比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的图像经过第
二、四象限，那么狔随着狓的增大而 ．
２．已知常数犿、狀满足犿狀＜０，那么函数狔＝犿狀狓的图像经过第
象限．
３．（１）在同一平面直角坐标系中，画出正比例函数狔＝５狓和狔＝
－５狓的图像；
（２）观察（１）中所画的两个函数图像，它们关于狓轴对称吗？关于狔
轴对称吗？
习题２５．２
１．下列各表述中的变量狔与变量狓是否成正比例？为什么？
（１）正方形的周长狔与它的边长狓；
（２）某学生把每个月节约的１０元零用钱存起来，存款总数狔（单位：元）
与存款时间狓（单位：月）；
（３）有一款笔记本，每本的厚度为０．７５ｃｍ，将若干本笔记本叠在一起，
总厚度狔（单位：ｃｍ）与笔记本的数量狓（单位：本）；
（４）分针在钟面上旋转，在一周内，分针旋转的角度狔（单位：度）与旋转
的时间狓（单位：ｍｉｎ）．
２．请判断下列函数是不是正比例函数．如果是，请写出比例系数．
（１）狔＝２狓；
（２）狔＝－狓； （３）狔＝－狓２；
（４）狔＝２狓；
（５）狔＝２狓＋１； （６）狔＝狓２．
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２５．２ 正比例函数９９
３．已知正比例函数狔＝－狓５，写出该函数的比例系数，并求当自变量狓分
别取－５、０、槡３时的函数值．
４．在同一平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图像：
（１）狔＝－７狓； （２）狔＝－１２狓； （３）狔＝狓２； （４）狔＝４３狓．
５．填空题：
（１）正比例函数狔＝槡３３狓的图像经过第 象限，狔随着狓的增大
而 ；
(2,ᅄ5)
O
x
y
1
（第６题）
（２）正比例函数狔＝－狓的图像经过第 象
限，狔随着狓的增大而 ；
（３）直线狔＝（３－π）狓经过第 象限，以此
直线为图像的函数，狔随着狓的增大而 ；
（４）直线狔＝（犽２＋１）狓（犽是常数）经过第 象
限，以此直线为图像的函数，狔随着狓的增大而 ．
６．一个正比例函数的图像如图所示，写出这个函数
的表达式．
７．已知函数狔＝（犿－３）狓＋犿２－２犿－３（犿是常数）的图像经过原点，且
经过第二、四象限．求犿的值．
８．已知犃（－２，－１）和犅（犿，３）是一个正比例函数图像上的两个点，求犿
的值．
O
x
y
A
B
C
D
（第９题）
９．如图，矩形犃犅犆犇的对角线犃犆与犅犇相交于
点犗，以犗为原点，建立平面直角坐标系，使狓轴和
狔轴分别与矩形两邻边平行．已知犃犇＝９，犃犅＝４．
（１）求以直线犅犇为图像的函数的表达式；
（２）求以直线犃犆为图像的函数的表达式．
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１００
第２５章一次函数
１．一次函数的概念
问题１ 弹簧下端悬挂重物，弹簧会伸长．弹簧的长度狔（单位：ｃｍ）是
所挂重物质量狓（单位：ｋｇ）的函数．已知一根弹簧在不挂重物时长６ｃｍ．在一
定的弹性限度内，每挂１ｋｇ重物弹簧伸长０．３ｃｍ．试写出狔关于狓的函数表
达式．
分析 因为每挂１ｋｇ重物弹簧伸长０．３ｃｍ，所以挂狓ｋｇ重物时弹簧伸长
０．３狓ｃｍ．又因不挂重物时弹簧的长度为６ｃｍ，所以挂狓ｋｇ重物时弹簧的长度
为（０．３狓＋６）ｃｍ，从而相应函数的表达式为
狔＝０．３狓＋６，
其中自变量狓的取值范围由弹簧的“弹性限度”确定．
问题２ 一辆汽车行驶在国道上，汽车油箱里原有汽油６０Ｌ，每行驶
１０ｋｍ耗油１Ｌ，当汽车行驶６００ｋｍ后油箱里的油就耗尽了．设汽车行驶的路
程为狓ｋｍ，油箱里剩余的油量为狔Ｌ，试写出狔关于狓的函数表达式．
分析 因为每行驶１０ｋｍ耗油１Ｌ，即每行驶１ｋｍ耗油０．１Ｌ，所以汽车
行驶狓ｋｍ需耗油０．１狓Ｌ．又因汽车油箱里原有汽油６０Ｌ，所以剩余的油量为
（６０－０．１狓）Ｌ，从而相应函数的表达式为
狔＝－０．１狓＋６０，
其中自变量狓的取值范围是０≤狓≤６００．
函数的表达式狔＝０．３狓＋６与狔＝－０．１狓＋６０的一个共同点是：表达式的
右边都是关于自变量狓的一次式．
当犽＝０时，狔＝犫
也是一个函数，称为常
值函数．
形如狔＝犽狓＋犫（犽、犫是常数，犽≠０）的函数叫
作一次函数．一次函数自变量狓的取值范围是一切
实数．特别地，当犫＝０时，狔＝犽狓＋犫（犽≠０）即为
正比例函数狔＝犽狓（犽≠０），即正比例函数是一种特
２５．３一次函数
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２５．３ 一次函数１０１
殊的一次函数．
例１ 根据下列变量狓、狔之间的关系式，判断狔是不是狓的一次函数：
（１）狔＝２狓；
（２）狔＝１－１２狓；
（３）狔＝２狓＋３．
解 （１）因为狔是狓的正比例函数，所以狔是狓的一次函数．
（２）因为１－１２狓是一次式，所以狔是狓的一次函数．
（３）因为２狓＋３不是一次式，所以狔不是狓的一次函数．
例２ 已知变量狓、狔之间的关系式是狔＝（犪＋１）狓＋犪（犪是常数），那
么狔是狓的一次函数吗？
解 当犪＋１≠０，即犪≠－１时，（犪＋１）狓＋犪是关于狓的一次式，这
时狔是狓的一次函数；但当犪＝－１时，得狔＝－１，这时狔不是狓的一次
函数．
例３ 已知狔是狓的一次函数，当狓＝２时，狔＝－１；当狓＝５时，狔＝
８．求这个一次函数的表达式．
解 设所求一次函数的表达式为狔＝犽狓＋犫（犽≠０）．
因为当狓＝２时，狔＝－１，当狓＝５时，狔＝８，
所以
这里求一次函数表
达式的方法是待定系数
法．表达式中犽、犫是
待定系数，利用两个已
知条件列出关于犽、犫
的方程组再求解，可确
定它们的值．
－１＝２犽＋犫，
８＝５犽＋犫．
烅烄
烆
解二元一次方程组，得
犽＝３，
犫＝－７．
烅烄
烆
所以，这个一次函数的表达式为狔＝３狓－７．
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１０２
第２５章一次函数
课堂练习２５．３（１）
１．下列函数中，哪些是一次函数？
（１）狔＝１狓＋１； （２）狔＝－２狓；
（３）狔＝狓２＋２； （４）狔＝犽狓＋犫（犽、犫是常数）．
２．已知一次函数狔＝１２狓－２．
（１）当自变量狓分别等于－１、２时，求函数值；
（２）当函数值为４时，求自变量狓的值．
３．已知狔是狓的一次函数，当狓＝－３时，狔＝１１；当狓＝５时，
狔＝－５．求这个一次函数的表达式．
２．一次函数的图像
已知一次函数狔＝２狓＋２．
（１）列表：取自变量狓的一些值，计算出相应的函数值狔，见表２５５．
表２５５
狓
…
－２－３２－１－１２０
１２
１
３２
２
…
狔＝２狓＋２
…
－２－１０
１
２
３
４
５
６
…
（２）描点：分别以所取狓的值和相应的函数值狔作为点的横坐标和纵坐
标，描出这些坐标所对应的各点，如图２５３１（１）所示，可以发现上述所有点
均落在同一条过点（０，２）的直线上．
（３）连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用直线连接起
来，如图２５３１（２）所示．
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２５．３ 一次函数１０３
y
x
O
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ2
ᅄ1
ᅄ1
ᅄ3
2
1
1
3
2
4
3
5
6
（１）
y
x
O
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ2
ᅄ1
ᅄ1
ᅄ3
2
1
1
3
2
4
3
5
6
yᅔ2xᅂ2
（２）
图２５３１
注意到所画直线上任意一点的坐标都满足函数的表达式狔＝２狓＋２；同
时，对于任意一对满足这个函数表达式的狓、狔，以（狓，狔）为坐标的点都在所
画的直线上．因此，函数狔＝２狓＋２的图像就是这条直线．
如图２５３２，比较函数狔＝２狓与狔＝２狓＋２的图像，找出相同点
与不同点．
y
x
O
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
1
2 3
4
2
3
4
yᅔ2xᅂ2
yᅔ2x
ᅄ1
ᅄ3
ᅄ3
3
1
1
图２５３２
这两个函数的图像是两条互相平行的直线．函数狔＝２狓的图像经过原点，
函数狔＝２狓＋２的图像与狔轴交于点（０，２）．函数狔＝２狓＋２的图像可以看作
将函数狔＝２狓的图像向上平移２个单位长度得到．
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１０４
第２５章一次函数
一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图像是什么形状？它与正比例函数
狔＝犽狓（犽≠０）的图像有什么关系？
一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图像是一条直线，也称为直线狔＝犽狓＋犫．
一次函数的表达式狔＝犽狓＋犫（犽≠０）称为这条直线的表达式．从函数的图像
看，一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图像就是将正比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的图像
沿狔轴平移｜犫｜个单位长度．若犫＞０，则向上平移；若犫＜０，则向下平移．
例４ 在平面直角坐标系狓犗狔中，画出一次函数狔＝２３狓－２的图像．
解 由狔＝２３狓－２，可知当狓＝０时，狔＝－２；当狓＝３时，狔＝０．所以
犃（０，－２）、犅（３，０）是函数狔＝２３狓－２的图像上的两点．
经过点犃、犅画直线犃犅，即为函数狔＝２３狓－２的图像，如图２５３３所示．
y
x
O
B
A
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ3
ᅄ1
ᅄ2
1
2
3
4
5
1
2
3
图２５３３
图２５３３中，由点犃的横坐标狓＝０，可知点犃在狔轴上；由点犅的纵
坐标狔＝０，可知点犅在狓轴上．犃、犅分别是函数狔＝２３狓－２的图像与狔轴、
狓轴的交点．
画直线狔＝犽狓＋犫（犽≠０）时，通常先描出该直线与狓轴、狔轴的交点．例
４给出了求直线与坐标轴交点的方法．
一条直线与狔轴交点的纵坐标称为这条直线在狔轴上的截距，简称直线
的截距．直线狔＝犽狓＋犫（犽≠０）与狔轴交点的坐标是（０，犫），故直线狔＝犽狓＋犫
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２５．３ 一次函数１０５
（犽≠０）的截距是犫．
例５ 已知一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图像经过点犃（－２０，５）、犅（１０，２０）．
（１）求犽、犫的值；
（２）求该一次函数的图像与坐标轴交点的坐标．
解 （１）因为一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图像经过点犃（－２０，５）、
犅（１０，２０），所以
－２０犽＋犫＝５，
１０犽＋犫＝２０．
烅烄
烆
解这个方程组，得犽＝１２，犫＝１５．
（２）该一次函数的表达式为狔＝１２狓＋１５．
令狔＝０，得１２狓＋１５＝０，解得狓＝－３０；令狓＝０，得狔＝１５．
所以，该一次函数的图像与狓轴交点的坐标为（－３０，０），与狔轴交点的
坐标为（０，１５）．
课堂练习２５．３（２）
１．求一次函数狔＝１２狓＋３的图像与坐标轴交点的坐标．
２．分别在同一平面直角坐标系中画出下列各小题中函数的图像，并
指出每小题中两个函数图像的位置关系．
（１）狔＝２狓－１，狔＝２狓＋１； （２）狔＝－１３狓－２，狔＝－１３狓－２３．
３．分别在同一平面直角坐标系中画出下列各小题中函数的图像，并
指出每小题中两个函数图像的共同的特点．
（１）狔＝４狓－１，狔＝－１３狓－１； （２）狔＝－１３狓＋２，狔＝３狓＋２．
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１０６
第２５章一次函数
３．一次函数的性质
借助一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图像与正比例函数狔＝犽狓（犽≠０）
的图像的关系，讨论当自变量狓增大时，函数值狔随之怎样变化．
一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）具有以下性质：
（１）当犽＞０时，函数值狔随着自变量狓的增大而增大；
（２）当犽＜０时，函数值狔随着自变量狓的增大而减小．
上面这两个性质的逆命题也是成立的．
例６ 已知一次函数狔＝犽狓＋２（犽≠０）的图像经过点犃（－１，１）．
（１）求犽的值；
（２）当自变量狓增大时，函数值狔随之增大还是减小？
解 （１）因为一次函数狔＝犽狓＋２（犽≠０）的图像经过点犃（－１，１），所以
１＝－犽＋２，解得犽＝１．
（２）因为犽＞０，所以狔随着狓的增大而增大．
例７ 已知一次函数狔＝（１－２犿）狓＋犿＋１（犿是常数），且狔随着狓的
增大而减小．
（１）求犿的取值范围；
（２）在平面直角坐标系狓犗狔中，这个函数的图像与狔轴的交点犕位于狔
轴的正半轴还是负半轴？
解 （１）由已知条件，得１－２犿＜０，解得犿＞１２．所以，犿的取值范围
是犿＞１２．
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２５．３ 一次函数１０７
y
x
O
M
3
2
图２５３４
（２）函数狔＝（１－２犿）狓＋犿＋１的图像在狔轴上
的截距是犿＋１，可知该图像与狔轴交点犕的坐标是
（０，犿＋１）．
由犿＞１２，得犿＋１＞３２，可知点犕（０，犿＋１）位
于狔轴的正半轴（图２５３４）．
例８ 已知一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图像可
以由函数狔＝４狓的图像平移得到．
（１）随着自变量狓的增大，函数值狔是增大还是减小？
（２）当犫＝２时，函数狔＝犽狓＋犫的图像经过哪几个象限？
（３）当犫≠０时，函数狔＝犽狓＋犫的图像经过哪几个象限？
解 （１）因为一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图像可以由函数狔＝４狓的图像
平移得到，所以犽＝４，从而这个一次函数的表达式为狔＝４狓＋犫．
y yᅔ4xᅂb(bܚ0)
yᅔ4xᅂb(bܘ0)
yᅔ4x
x
O
图２５３５
由犽＞０，可知狔随着狓的增大而增大．
（２）当犫＝２时，函数狔＝４狓＋２的图像可由
函数狔＝４狓的图像向上平移２个单位长度得到，
因此它的图像经过第一、二、三象限．
（３）当犫＞０时，函数狔＝４狓＋犫的图像可由
函数狔＝４狓的图像向上平移犫个单位长度得到，
因此经过第一、二、三象限；当犫＜０时，函数
狔＝４狓＋犫的图像可由函数狔＝４狓的图像向下平移
｜犫｜个单位长度得到，因此经过第一、三、四象限
（图２５３５）．
在平面直角坐标系狓犗狔中，函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图像所经过
的象限与犽、犫的符号有怎样的关系？
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１０８
第２５章一次函数
课堂练习２５．３（３）
１．已知函数：①狔＝－３狓＋１；②狔＝２狓；③狔＝狓－１；④狔＝１５狓－
５．在这些函数中，狔随着狓的增大而增大的函数有 （填序号）．
２．已知一次函数狔＝（２－犪）狓－３（犪是常数），且狔随着狓的增大而
增大．
（１）求犪的取值范围；
（２）指出这个函数的图像所经过的象限．
３．已知一次函数狔＝（１－３犿）狓＋（２犿－１）（犿是常数）的图像经过原
点，求犿的值．
４．一次函数、一次方程与一次不等式
一次函数与二元一次方程之间有密切的联系．
通过前面作函数的图像，我们已经知道一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图像
是一条直线．也就是说，该直线上任意一点的坐标（狓，狔）都满足二元一次方程
狔＝犽狓＋犫；同时，对于任意一对满足二元一次方程狔＝犽狓＋犫的狓、狔，以
（狓，狔）为坐标的点都在该直线上．
下面，我们来讨论一次函数与一元一次方程以及一元一次不等式之间的
关系．
y
x
l
O
A
B
2
ᅄ1
图２５３６
问题３ 在平面直角坐标系狓犗狔中，函数狔＝
１２狓－１的图像为直线犾，如图２５３６所示．根据图像
回答：
（１）当狓取何值时，狔＝０？
（２）当狓取何值时，狔＞０？
（３）当狓取何值时，狔＜０？
观察图２５３６，可以发现：
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２５．３ 一次函数１０９
（１）直线犾与狓轴交点的横坐标为２．因此，当狓＝２时，狔＝０．
（２）在直线犾上且位于狓轴上方的点，其横坐标的取值范围是狓＞２．因
此，当狓＞２时，狔＞０．
（３）在直线犾上且位于狓轴下方的点，其横坐标的取值范围是狓＜２．因
此，当狓＜２时，狔＜０．
设一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图像所表示的直线为犾，直线犾与狓轴交
点的横坐标是关于狓的一元一次方程犽狓＋犫＝０的解；在直线犾上且位于狓轴
上方的点的横坐标是关于狓的一元一次不等式犽狓＋犫＞０的解；在直线犾上且
位于狓轴下方的点的横坐标是关于狓的一元一次不等式犽狓＋犫＜０的解．
例９ 已知函数狔＝２３狓＋１．
（１）当狓取何值时，狔＝５？
（２）当狓取何值时，狔＞５？
（３）在平面直角坐标系狓犗狔中，在直线狔＝２３狓＋１上且位于狓轴下方的
所有点，它们的横坐标的取值范围是什么？
解 （１）要使函数狔＝２３狓＋１的值狔＝５，只要使２３狓＋１＝５．
解方程，得狓＝６．
所以，当狓＝６时，狔＝５．
（２）要使函数狔＝２３狓＋１的值狔＞５，只要使２３狓＋１＞５．
解不等式，得狓＞６．
所以，当狓＞６时，狔＞５．
（３）因为所求的点在直线狔＝２３狓＋１上且位于狓轴下方，所以它们的纵
坐标狔应小于零，即２３狓＋１＜０，解得狓＜－３２．
因此，所有这样的点的横坐标的取值范围是狓＜－３２．
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１１０
第２５章一次函数
在同一平面直角坐标系中，分别画出一次函数狔＝－狓＋４与
狔＝３狓的图像．这两个函数的图像有交点吗？如果有交点，怎样求它
的坐标？
课堂练习２５．３（４）
y
x
O
A
B
1
1
2
2
3
3
ᅄ1
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ3
（第２题）
１．已知一次函数狔＝３狓＋２．
（１）当狓取何值时，狔＝１？
（２）当狓取何值时，狔＞１？
（３）当狓取何值时，狔＜１？
２．如图，已知一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图
像经过点犃（－３，０）、犅（０，－２）．
（１）求这个一次函数的表达式；
（２）当狓取何值时，狔＞－２？
３．已知一次函数狔＝－１２狓＋３，求在这个一次函数的图像上且位于狓
轴上方的所有点的横坐标的取值范围．
习题２５．３
１．已知下列表达式：
（１）狔＝－２狓－１
５； （２）狔＝１２狓＋１；
（３）狔＝槡２；
（４）狔＝狓２；
（５）狓＋３狔＝１； （６）２狓＋３狔＝０．
其中，狔是狓的正比例函数的有 ；狔是狓的一次函数的有
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２５．３ 一次函数１１１
．（填写表达式的序号）
２．已知狔与狓－２成正比例，且当狓＝－１时，狔＝１．求狔关于狓的函数
表达式，并求当狓＝５时，狔的值．
３．已知狔是狓的一次函数，当狓＝－３时，狔＝－６；当狓＝３时，狔＝
－２．求这个一次函数的表达式．
４．画出下列函数的图像，并求其图像与狓轴、狔轴交点的坐标：
（１）狔＝４狓－２； （２）狔＝－３狓＋１；
（３）狔＝１２狓＋５；
（４）狔＝－１３狓－１．
５．根据下列条件，确定一次函数的表达式：
（１）一次函数的图像经过犃（２，－１）、犅（３，２）两点；
（２）一次函数的图像经过点犕（１，－３），且与狓轴交点的横坐标为６．
６．已知一次函数狔＝－３狓＋７．
（１）当狓＞２时，求狔的取值范围；
（２）当狔＞２时，求狓的取值范围．
７．已知一次函数狔＝（３犿－１）狓＋犿（犿是常数）的图像经过点犘（２，２）．
（１）求犿的值；
（２）随着自变量狓的增大，函数值狔是增大还是减小？
８．已知函数狔＝（２犿－３）狓＋犿－１（犿是常数），根据下列条件分别确定
犿的取值范围：
（１）狔随着狓的增大而增大；
（２）该函数的图像与狔轴的交点在负半轴上．
９．已知一次函数狔＝（犽＋２）狓＋１－犽
２（犽是常数）的图像与狔轴的交点为
（０，１），求该一次函数的图像与狓轴交点的坐标，并在平面直角坐标系中画出
该函数的图像．
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１１２
第２５章一次函数
１０．已知一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图像可以由函数狔＝１３狓＋３的图像
平移得到，该一次函数的图像与狓轴交点的坐标为（２，０）．
（１）求该一次函数的表达式；
（２）求该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形的面积．
１１．已知一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图像经过点犃（３，－１）与点犅（－６，５）．
（１）求犽与犫的值；
（２）该一次函数的图像经过点犘（犿，狀），当犿＞－３时，求纵坐标狀的取
值范围；
（３）对于该一次函数图像上的点犕（狓，狔），当狓取何值时，狔＜－３？
１２．已知一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）．
（１）若狔随着狓的增大而增大，且犽犫＜０，试确定这个函数的图像所经过
的象限；
（２）若狔随着狓的增大而减小，且犽犫＞０，试确定这个函数的图像所经过
的象限．
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２５．４ 一次函数的应用１１３
一次函数在现实生活中有广泛的应用，我们利用一次函数来解决一些简
单的实际问题．
例１ 一根蜡烛长３０ｃｍ，点燃后匀速燃烧５０ｍｉｎ后的长度恰为原来长
度的一半．设燃烧时间为狋ｍｉｎ，蜡烛的长度为狔ｃｍ．
（１）写出狔关于狋的函数表达式以及该函数自变量的取值范围；
（２）燃烧４０ｍｉｎ后，蜡烛还剩多长？
解 （１）根据题意，经过５０ｍｉｎ燃烧掉的蜡烛长度也为原来的一半，即
１５ｃｍ，可得每分钟燃烧蜡烛的长度为
１５÷５０＝３１０（ｃｍ）．
所以狔关于狋的函数表达式为狔＝３０－３１０狋．
因为蜡烛长３０ｃｍ，所以总的燃烧时间为３０÷３１０＝１００（ｍｉｎ），从而自变
量狋的取值范围是０≤狋≤１００．
（２）因为函数的表达式为狔＝３０－３１０狋，当狋＝４０时，狔＝１８．所以蜡烛还
剩１８ｃｍ．
y/°C
x/km
O
4
10
ᅄ16
图２５４１
例２ 某登山运动员由大本营出发向上攀登，他所
在位置的气温狔（单位：℃）与攀登的高度狓（单位：ｋｍ）
之间满足一次函数的表达式狔＝犽狓＋犫（犽≠０），且函数的
图像如图２５４１所示，根据图像回答下列问题：
（１）求该一次函数的表达式；
（２）解释该一次函数的表达式中犽、犫的含义；
（３）如果该登山运动员继续向上攀登，假设他所在
位置的气温狔（单位：℃）与攀登的高度狓（单位：ｋｍ）之
２５．４一次函数的应用
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１１４
第２５章一次函数
间的关系仍满足（１）确定的函数表达式，且零下２９℃是该运动员能承受的极限
温度，那么他能到达的最大攀登高度为多少？
解 （１）由图２５４１，可知该一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图像经过点
（０，１０）与点（４，－１６）．所以
犫＝１０，
４犽＋犫＝－１６．
烅烄
烆
解得犽＝－６．５，犫＝１０．
所以，该一次函数的表达式为狔＝－６．５狓＋１０．
（２）根据函数的表达式狔＝－６．５狓＋１０，可知犽＝－６．５表示海拔高度每
上升１ｋｍ温度下降６．５℃；而犫＝１０表示大本营所在位置的气温是１０℃．
（３）因为函数的表达式为狔＝－６．５狓＋１０，当狔＝－２９时，狓＝６．所以该
运动员能到达的最大攀登高度为６ｋｍ．
例３ 一家公司招聘销售员，给出以下两种薪金方案供求职人员选择：
方案甲：每月的底薪为５０００元，再加每月销售额的２％；
方案乙：每月的底薪为２５００元，再加每月销售额的４％．
（１）当月销售额为多少时，这两种方案所定的月薪相同？
（２）当月销售额满足什么条件时，方案甲所定的月薪高于方案乙？
解 设月薪为狔元，月销售额为狓元．根据题意，可得两种方案中狔与狓
之间的函数关系分别为：
方案甲：狔＝５０００＋１５０狓（狓≥０）；
方案乙：狔＝２５００＋１２５狓（狓≥０）．
（１）解方程组狔＝５０００＋１５０狓，
狔＝２５００＋１２５狓，
烅
烄
烆
得狓＝１２５０００，
狔＝７５００．
烅烄
烆
因此，当月销售额为１２５０００元时，这两种方案所定的月薪相同．
（２）在同一平面直角坐标系中画出两种方案中狔关于狓的函数图像，如
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２５．４ 一次函数的应用１１５
图２５４２所示．
y/ٰ
y=2 500+ x
x/ٰ
O
50 000
2 500
5 000
7 500
10 000
100 000 150 000 200 000
125 000 7 500
y=5 000+ x
50
1
25
1
图２５４２
观察图像，可知当月销售额小于１２５０００元时，方案甲所定的月薪高于方
案乙．
课堂练习２５．４
１．某校共有１２００名学生，每天实际到校的学生人数狀与学生的!
勤率狆是变量．试说明狆是狀的函数，并写出这个函数的表达式．
２．张先生准备租一处临街房屋开一家电脑公司．现有甲、乙两套房
屋出租，甲屋已装修好，每月租金６０００元；乙屋每月租金４０００元，但
需要先一次性花费４００００元装修．分别写出张先生租用两套房屋所需费
用狔（单位：元）关于租用时间狓（单位：月）的函数表达式．
习题２５．４
１．某长途汽车运输公司对乘客携带行李作如下规定：一位乘客可免费携
带３０ｋｇ行李，如果行李超过３０ｋｇ，那么超过部分每千克收行李费１元．设一
位乘客的行李质量为狓ｋｇ（狓＞３０），试写出行李费狔（单位：元）关于行李质量
狓（单位：ｋｇ）的函数表达式及自变量狓的取值范围，并画出函数的图像．
２．一个水池的容积是９０ｍ３，其内蓄有一定量的水，如果保持一定的速度
向水池中蓄水，那么１ｈ后水池的水量为１５ｍ３，５ｈ后水池的水量为３５ｍ３．
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１１６
第２５章一次函数
（１）试写出水池的蓄水量犞（单位：ｍ３）关于蓄水时间狋（单位：ｈ）的函数
表达式；
（２）若要让水池蓄满水，总共需要蓄水几小时？
t/h
l2
l1
s/km
O
0.5
10
20
40
35
60
80
1
（第３题）
３．甲、乙两辆车正在同一条高速公路上同向匀速行
驶，甲车比乙车速度快．图中犾１、犾２分别表示某段时间
内，甲、乙两辆车的行驶路程狊（单位：ｋｍ）关于时间
狋（单位：ｈ）的函数关系，且当狋＝０ｈ时，乙车在甲车前
方若干千米处．试观察图像并回答下列问题：
（１）分别求出甲、乙两辆车行驶路程狊关于时间狋的
函数表达式；
（２）甲车出发多久后追上乙车？
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内容提要１１７
１．基本概念：函数，正比例函数，一次函数．
２．正比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的图像是一条经过原点的直线．当犽＞０时，
函数值狔随着自变量狓的增大而增大；当犽＜０时，函数值狔随着自变量狓的
增大而减小．
３．一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图像是一条直线．当犽＞０时，函数值狔
随着自变量狓的增大而增大；当犽＜０时，函数值狔随着自变量狓的增大而
减小．
４．一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０，犫≠０）的图像可由正比例函数狔＝犽狓（犽≠
０）的图像平移得到，是一条平行于直线狔＝犽狓（犽≠０）的直线．
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１１８
第２５章一次函数
１．已知函数狔＝（犿－３）狓＋犿＋２（犿是常数），当犿＝ 时，该函
数是正比例函数；当犿≠ 时，该函数是一次函数．
２．已知正比例函数狔＝（１－犪４）狓（犪是常数），且狔随着狓的增大而增大．
求犪的取值范围．
３．如果把一次函数狔＝２３狓＋１的图像向上平移３个单位长度，那么所得
x
y
O
yᅔkxᅂb
2
ᅄ2
（第４题）
图像的函数表达式为 ．
４．已知一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图像如图所
示，那么关于狓的不等式犽狓＋犫＞０的解集是（ ）
Ａ．狓＞０； Ｂ．狓＜０；
Ｃ．狓＜２； Ｄ．狓＞２．
５．已知一次函数狔＝３２狓＋犿（犿是常数）与狔＝－１２狓＋狀（狀是常数）的图
像都经过点犃（－２，０），且与狔轴分别相交于点犅和点犆．求犅、犆两点的
坐标．
６．已知等腰三角形的周长为８０，腰长为狓，底边长为狔．
（１）写出狔关于狓的函数表达式；
x
y
yᅔkxᅂb
O
2
2
ᅄ2
（第７题）
（２）当狓＝３０时，求狔的值；
（３）当狔＝８时，求狓的值；
（４）写出自变量狓的取值范围．
７．一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图像如图所示．
（１）根据图像，求犽、犫的值；
（２）在图中画出函数狔＝－２狓＋２的图像；
（３）当狔＝犽狓＋犫的函数值大于狔＝－２狓＋２的函
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复习题１１９
数值时，求狓的取值范围．
８．某电信公司手机话费的收费标准是：不管通话时间多长，每个手机号
码每月必须缴月租费２０元，且每通话一分钟再缴费０．１元．
（１）写出一个手机号码每月应缴费用狔（单位：元）与通话时间狓（单位：
ｍｉｎ）之间的函数表达式；
（２）某手机号码用户本月通话时间为１５２ｍｉｎ，该用户这个月应缴费用多
少元？
（３）如果某手机号码用户本月话费１００元，那么该用户这个月共通话多长
时间？
９．如果一次函数狔＝犿狓＋（４犿－２）（犿是常数）的图像经过原点，那么
犿＝ ；如果该函数的图像经过第一、三、四象限，那么犿的取值范
围是 ，此时狔随着狓的增大而 ．
１０．已知一次函数狔＝－２狓＋１，下列结论中正确的是
（ ）
Ａ．该函数的图像必经过点犘（－２，１）；
Ｂ．该函数的图像经过第一、二、三象限；
Ｃ．当狓＞１２时，狔＜０；
x/h
y/km
O
1
5
2
10
3
15
4
20
25
30
5
6
（第１１题）
Ｄ．狔随着狓的增大而增大．
１１．某人骑车往返于甲、乙两地，距甲地的路程
狔（单位：ｋｍ）与骑行时间狓（单位：ｈ）的函数图像如
图所示．
（１）甲、乙两地相距多远？此人在路上停留了
多久？
（２）此人在骑车去往乙地的过程中，停留前和停
留后的速度分别是多少？
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１２０
第２５章一次函数
（３）计算此人从乙地返回时的骑车速度．
１２．已知一次函数狔＝２狓＋犫（犫是常数），它的图像与两坐标轴所围成的三
角形的面积是４．求犫的值．
１３．甲骑自行车以１０ｋｍ／ｈ的速度匀速行驶，０．６ｈ后，乙骑摩托车从同一
地点出发与甲同线路且同向匀速行驶，速度为２５ｋｍ／ｈ．试回答下列问题：
（１）设甲出发后狓ｈ，甲离开出发地的路程为狔１ｋｍ，乙离开出发地的路
程为狔２ｋｍ．分别求出狔１、狔２与狓之间的函数表达式，并分别写出自变量狓
的取值范围．
（２）在同一平面直角坐标系中，画出（１）中两个函数的图像．
（３）当乙追上甲时，他们离出发地的路程是多少千米？
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第２６章
反比例函数
当矩形的一边长度固定时，其面积与另一边的长度成正比例．当
矩形的面积固定时，其两边的长度成反比例．
许多现实问题中数量之间呈现出反比例关系，由此得到的反比例
函数是又一种基本函数．相较于一次函数，反比例函数的图像与性质
有自己的特点．
通过本章的学习，可以认识到反比例函数也是表达现实世界的一
种有用的数学模型．
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１２２
第２６章反比例函数
在一块平地上，划出一个占地面积为１００ｍ２的矩形区域，这个矩形区域
相邻两边的长分别为狓ｍ、狔ｍ．变量狓与狔之间的相互关系可以表示为
狓狔＝１００，即狔＝１００狓．
如果变量狔与变量狓的乘积是一个不等于０的常数，那么就说变量狔与
变量狓成反比例，用数学表达式表示为狓狔＝犽或狔＝犽狓，其中犽是一个不等
于０的常数．
例１ 下列各表述中的两个变量是否成反比例？如果是，请用表达式表
示两者的关系．
（１）平行四边形的面积为２０ｃｍ２，变量分别是平行四边形的一条边长
犪（单位：ｃｍ）和这条边上的高犺（单位：ｃｍ）；
（２）在压力为１０Ｎ的情况下，变量分别是物体承受的压强狆（单位：Ｐａ）
和它的受力面积犛（单位：ｍ２）．
解 （１）因为平行四边形的面积等于其一条边长犪和这条边上的高犺的
乘积，可知犪犺＝２０，所以犪与犺成反比例，其关系可表示为犪＝２０犺．
（２）因为压力等于物体承受的压强狆和受力面积犛的乘积，当压力为
１０Ｎ时，狆犛＝１０，所以狆与犛成反比例，其关系可表示为狆＝１０犛．
如果两个变量成反比例，就可以把其中一个变量看作另一个变量的函数．
一般地，形如狔＝犽狓（犽是常数，犽≠０）的函数叫作反比例函数，其中自变
量狓的取值范围是不等于０的一切实数，狔是狓的函数．非零常数犽称为比例
系数．
要确定一个反比例函数，就是要确定比例系数犽的值．
２６．１反比例函数的概念
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２６．１ 反比例函数的概念１２３
例２ 已知狔是狓的反比例函数，且当狓＝２时，狔＝９．
（１）求狔关于狓的函数表达式；
（２）当狓＝７２时，求狔的值；
（３）当狔＝５时，求狓的值．
解 （１）因为狔是狓的反比例函数，可设函数表达式为狔＝犽狓（犽≠０）．
为确定比例系数犽的值，把狓＝２，狔＝９代入函数表达式，得
９＝犽２．
解得犽＝１８．
所以，狔关于狓的函数表达式是狔＝１８狓．
（２）当狓＝７２时，把狓＝７２代入函数表达式狔＝１８狓，得
狔＝１８７２
＝３６７．
（３）当狔＝５时，把狔＝５代入函数表达式狔＝１８狓，得
５＝１８狓．
解得狓＝１８５．
课堂练习２６．１
１．判断下列各表述中两个变量是否成反比例，并说明理由．
（１）等腰三角形的周长犆（犆＞０）一定时，它的腰长狓与它的底边
长狔；
（２）货物的总价犃（犃＞０）一定时，货物的单价犪与货物的数量狓．
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１２４
第２６章反比例函数
２．下列函数中，哪些是反比例函数？
（１）狔＝－１３狓；
（２）狔＝－１５狓；
（３）狔＝２犪狓（犪为常数，犪≠０）．
３．已知狔是狓的反比例函数，且当狓＝４时，狔＝７．
（１）写出狔关于狓的函数表达式；
（２）当狓＝５时，求狔的值．
习题２６．１
１．判断下列函数是否为反比例函数．如果是，请写出比例系数犽的值．
（１）狔＝１狓；
（２）狔＝－２狓； （３）狔＝１狓２；
（４）狔＝３２狓；
（５）狔＝狓２－１；
（６）狔＝３５狓．
２．已知反比例函数狔＝犽狓（犽≠０），当狓＝－２时，狔＝－槡３．求犽的值．
３．已知狔＝犽＋１
狓＋犽２－１（犽是常数）是关于狓的反比例函数，求犽的值，
并写出函数的表达式．
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２６．２ 反比例函数的图像与性质１２５
我们知道，一次函数狔＝犽狓＋犫（犽、犫是常数，犽≠０）的图像是一条直线．
那么，反比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的图像是什么呢？我们先用“描点”的方法，画
出反比例函数的图像，再利用图像来研究反比例函数的性质．
首先考察犽＞０的情形．以反比例函数狔＝１狓为例．
（１）列表：取自变量狓的一些值，计算出相应的函数值狔，见表２６１，
注意狓不能取０．
表２６１
狓
… －３－２－１－１２－１３１３
１２
１
２
３
…
狔＝１狓
… －１３－１２－１－２－３３
２
１
１２
１３
…
（２）描点：分别以所取狓的值和相应的函数值狔作为点的横坐标和纵坐
标，描出这些坐标所对应的点，如图２６２１所示．
ᅄ1
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
1
1
2
3
4
5
2 3 4 5
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
y
x
O
图２６２１
（３）连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用光滑的曲线
连接起来，就得到函数狔＝１狓的图像，如图２６２２所示．
按照前述操作的步骤，画出反比例函数狔＝３狓的图像，如图２６２３所示．
２６．２反比例函数的图像与性质
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１２６
第２６章反比例函数
ᅄ1
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
1
1
2
3
4
5
2 3 4 5
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
y
x
O
yᅔ1
x
图２６２２
ᅄ1
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ5
1
1
2
3
4
5
2 3 4 5
ᅄ2
ᅄ5
y
x
O
yᅔ3
x
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ3
ᅄ4
图２６２３
反比例函数狔＝１狓与狔＝３狓的图像有哪些共同特点？
图像的上升或下
降，是对图像变化规律
的直观描述．一般情况
下，观察方向都是沿着
狓轴正向从左向右看．
观察这两个函数的图像，可以发现：
（１）每个函数的图像都有两支曲线，分别位于
第一、三象限；
（２）在第一、三象限内，函数图像均下降；
（３）图像的每支都向两个方向无限延伸，分别
向狓轴、狔轴靠近，但不会与它们相交．
再考虑犽＜０的情形，可以通过描点法作出反比例函数狔＝－１狓与狔＝－３狓
的图像（图２６２４）．
ᅄ1
ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
1
1
2
3
4
5
2 3 4 5
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
y
x
O
yᅔᅄ1
x
ᅄ1ᅄ1
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
1
1
2
3
4
5
2 3 4 5
ᅄ2
ᅄ3
ᅄ4
y
ᅄ5
x
O
yᅔᅄ3
x
图２６２４
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２６．２ 反比例函数的图像与性质１２７
反比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的图像由两支曲线组成，它具有如下性质：
（１）图像的每支都无限接近于狓轴与狔轴，但不会与它们相交．
（２）当犽＞０时，狔与狓同号，两支曲线分别位于第一、三象限；在第一、
三象限内，其图像均下降，即狔随着狓的增大而减小．
（３）当犽＜０时，狔与狓异号，两支曲线分别位于第二、四象限；在第二、
四象限内，其图像均上升，即狔随着狓的增大而增大．
反比例函数的图像是双曲线．
课堂练习２６．２（１）
１．在同一平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图像：
（１）狔＝４狓；
（２）狔＝－４狓．
２．已知下列反比例函数：
狔＝２狓，狔＝－１狓，狔＝－１２狓，狔＝－３５０狓．
其中，图像位于第一、三象限的函数是 ；在其图像所
在的每个象限内，狔随着狓的增大而增大的函数是 ．
３．如果反比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的图像位于第二、四象限，那么
犽 ０；在图像的每一支上，狔随着狓的增大而 ．
例１ 已知某反比例函数的图像经过点犃（２，３）．
（１）这个函数的图像位于哪些象限？
（２）若点犅（３，犪）、犆（犫，－５）也在这个函数的图像上，求犪、犫的值．
解 （１）反比例函数图像的位置只有两种可能：位于第一、三象限，或
者位于第二、四象限．
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１２８
第２６章反比例函数
因为点犃（２，３）在第一象限，所以这个函数的图像位于第一、三象限．
（２）设这个反比例函数的表达式为狔＝犽狓（犽≠０）．
因为点犃（２，３）在其图像上，所以
３＝犽２．
解得犽＝６．
因此，这个反比例函数的表达式为狔＝６狓．
因为点犅、犆的坐标都满足狔＝６狓，代入得犪＝６３及－５＝６犫，从而解得
犪＝２，犫＝－６５．
A
y
x
B
O
C
图２６２５
例２ 如图２６２５，已知反比例函数
狔＝２犽＋１
狓（犽是常数）图像的一支，请回答下列
问题：
（１）图像的另一支位于哪个象限？犽的取值
范围是什么？
（２）在这个函数图像的某一支上任取点
犕（狓１，狔１）和点犖（狓２，狔２）．如果狓１＜狓２，那么
狔１和狔２有怎样的大小关系？
（３）如图２６２５，设犃是图像上任意一点，过点犃分别作狓轴、狔轴的
垂线，垂足分别为犅、犆，请用含犽的代数式表示矩形犗犅犃犆的面积．
解 （１）因为这个函数图像的一支位于第一象限，所以另一支必位于第
三象限．
因为这个函数的图像位于第一、三象限，所以
２犽＋１＞０．
解得犽＞－１２．
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２６．２ 反比例函数的图像与性质１２９
（２）因为２犽＋１＞０，所以在这个函数图像的任一支上，狔随着狓的增大
而减小，因此当狓１＜狓２时，狔１＞狔２．
（３）设点犃（狓０，狔０）（狓０＞０，狔０＞０）．
由点犃在这个函数的图像上，得
狔０＝２犽＋１
狓０．
在矩形犗犅犃犆中，犗犅＝狓０，犗犆＝狔０，则它的面积为
犛＝狓０狔０＝２犽＋１．
课堂练习２６．２（２）
１．当犽满足什么条件时，反比例函数狔＝３犽－１
狓（犽是常数）的图像
有一支在第二象限？
２．如图，点犃（－１，－３）、犅（２，犪）在某个反比例函数的图像上．求
这个反比例函数的表达式与犪的值．
y
x
O
2
4
ᅄ2
ᅄ4
2
ᅄ2
ᅄ4
4
B(2,a)
A(ᅄ1,ᅄ3)
（第２题）
y
C
B
A
x
O
2
3
1
4
5
6
2
1
3
5
6
4
yᅔ6
x
（第３题）
３．如图，已知点犅在函数狔＝６狓的图像上，且位于第一象限，过点
犅分别向狓轴、狔轴作垂线，垂足分别为犃、犆．求矩形犗犃犅犆的面积．
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１３０
第２６章反比例函数
习题２６．２
１．（１）已知反比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的图像经过点（４５，－３４），那么犽＝
，函数图像所在的每个象限内，狔随着狓的增大而 ；
（２）已知点犃（狓１，狔１）、犅（狓２，狔２）在反比例函数狔＝犽狓（犽＜０）的图像上，
且０＜狓１＜狓２，那么狔１ 狔２（填“＞”“＜”或“＝”）．
２．已知反比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的图像上一点的坐标为（－槡２，槡２），求这
个反比例函数的表达式，并画出它的图像．
３．分别根据下列条件判断反比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的图像所在的象限：
（１）犽＜０；
（２）犽＞０；
（３）图像上一点的坐标为（－槡２，π）；
（４）与正比例函数狔＝－２狓的图像有公共点．
４．选择题：
（１）设常数犽＜０，那么函数狔＝－狓犽与狔＝犽狓在同一平面直角坐标系中的
大致图像可能是
（ ）
O 1
ᅄ1
ᅄ1
1
x
y
Ａ．
O
1
ᅄ1
ᅄ1
1
x
y
Ｂ．
O
1
ᅄ1
ᅄ1
1
x
y
Ｃ．
x
y
O 1
ᅄ1
ᅄ1
1
Ｄ．
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２６．２ 反比例函数的图像与性质１３１
（２）在同一平面直角坐标系中，函数狔＝犽狓（犽≠０）与狔＝犽狓（犽≠０）的大致
图像可能是
（ ）
Ａ．①②；
Ｂ．①③；
Ｃ．②④；
Ｄ．③④．
O 1
ᅄ1
ᅄ1
1
x
y
①
O
1
ᅄ1
ᅄ1
1
x
y
②
O
1
ᅄ1
ᅄ1
1
x
y
③
x
y
O 1
ᅄ1
ᅄ1
1
④
（第４（２）题）
５．已知反比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的图像经过点犃（－２，３）．
（１）求这个反比例函数的表达式；
（２）如果正比例函数狔＝犽１狓（犽１是常数）的图像与这个反比例函数的图像
有公共点，那么犽１的取值范围是什么？
６．已知变量狔与狓成正比例，变量狕与狓（狓≠０）成反比例．判断狔与狕
是否成反比例，并说明理由．
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１３２
第２６章反比例函数
A
B
C
D
图２６３１
例１ 某一类帆船的主帆呈三角形，其示意图
如图２６３１所示．已知△犃犅犆的面积为５０ｍ２．设边
犅犆的长为狓ｍ，边犅犆上的高犃犇长为狔ｍ．
（１）求狔关于狓的函数表达式；
（２）考虑到船体的稳定性，需满足８≤狓≤１０．求
狔的取值范围．
解 （１）根据题意，得５０＝１２狓狔．所以，所求函数的表达式为狔＝１００狓．
（２）当狓＝８时，狔＝１２．５；当狓＝１０时，狔＝１０．
因为狓＞０且１００＞０，所以函数图像在第一象限，狔随着狓的增大而减
小．因此，若要满足８≤狓≤１０，狔的取值范围为１０≤狔≤１２．５．
例２ 如图２６３２，建筑工人欲用撬棒将生锈的钉子拔出．已知钉子产
生的最大阻力为２００Ｎ，阻力臂为０．０４ｍ．设动力为犉Ｎ，动力臂为犾ｍ．（撬棒
可看作杠杆，杠杆本身所受重力忽略不计．当杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻
力×阻力臂．）
K߈
K߈6
ߕ߈6
ߕ߈
图２６３２
（１）求犉关于犾的函数表达式，并判断这个函数是不是反比例函数．如果
是，请写出比例系数；
（２）若动力臂为０．２ｍ，当动力至少大于多少时，才能撬动钉子？
２６．３反比例函数的应用
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２６．３ 反比例函数的应用１３３
（３）利用犉关于犾的函数表达式，说明当动力臂扩大为原来的狀（狀＞１）倍
时，所需动力将如何变化．
解 （１）由动力×动力臂＝阻力×阻力臂，得
犉犾＝２００×０．０４＝８（Ｎ·ｍ）．
从而犉关于犾的函数表达式为
犉＝８犾．
这个函数是反比例函数，比例系数是８．
（２）当犾＝０．２时，
犉＝８０．２＝４０（Ｎ），
此时杠杆平衡，所以动力至少大于４０Ｎ．
（３）设原来的动力臂为犱ｍ，动力为犉１Ｎ；扩大后的动力臂为狀犱ｍ（狀＞１），
动力为犉２Ｎ．
将犾＝犱，犾＝狀犱分别代入犉＝８犾，得
犉１＝８犱，犉２＝８狀犱．
故犉２＝１狀犉１．
所以，当动力臂扩大为原来的狀倍时，所需动力缩小为原来的１狀．
课堂练习２６．３
１．已知△犃犅犆的面积等于２，设这个三角形的一边长为狓，此边上
的高为狔，那么狔关于狓的函数图像大致是
（ ）
y
x
O
1
1
Ａ．
y
x
O
1
1
Ｂ．
y
x
O
1
1
Ｃ．
y
x
O
1
1
Ｄ．
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１３４
第２６章反比例函数
２．从Ａ地到Ｂ地高速公路的路程为３００ｋｍ，假设汽车以狏ｋｍ／ｈ的
速度匀速行驶，速度限定为不低于６０ｋｍ／ｈ且不超过１２０ｋｍ／ｈ，记汽车
行驶的时间为狋ｈ．求狏关于狋的函数表达式和自变量狋的取值范围．
习题２６．３
１．已知一个矩形花坛的面积是２０ｍ２，相邻两边的长分别是狓ｍ及狔ｍ．
求狔关于狓的函数表达式．
２．某汽车的油箱一次加满汽油４５Ｌ，可行驶狔ｋｍ．设该汽车每行驶
１００ｋｍ耗油狓Ｌ，求狔关于狓的函数表达式（假设汽车能行驶至油用完）．
３．工厂要修建一个容积为２０００ｍ３的长方体蓄水池，受占地面积限制，
蓄水池的长和宽的限定范围均在２０ｍ至４０ｍ之间（包含２０ｍ与４０ｍ）．设蓄
水池的底面积为犛ｍ２，深度为犺ｍ．求犛关于犺的函数表达式和自变量犺的
取值范围．
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内容提要１３５
１．基本概念：反比例函数．
２．反比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的图像与性质．
（１）双曲线的两支分别无限接近于狓轴和狔轴，但不会与它们相交．
（２）当犽＞０时，狔与狓同号，双曲线的两支分别位于第一、三象限；在
第一、三象限内，其图像均下降，即狔随着狓的增大而减小．
（３）当犽＜０时，狔与狓异号，双曲线的两支分别位于第二、四象限；在
第二、四象限内，其图像均上升，即狔随着狓的增大而增大．
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１３６
第２６章反比例函数
１．用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出哪些是反
比例函数．
（１）面积为１２的三角形的底边长为狓，高为狔；
（２）购买单价为９元的圆珠笔狓支，共用了狔元；
（３）以狓Ｌ／ｍｉｎ的速度向容积为２Ｌ的饮料瓶中注水，注满水需要狔ｍｉｎ．
２．在同一平面直角坐标系中，分别画出函数狔＝３２狓，狔＝－３２狓的图像．
３．已知反比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的图像经过点（１，－２）．
（１）求这个反比例函数的表达式；
（２）当狓＝３时，求狔的值；
（３）当－２≤狓≤－１时，求狔的取值范围．
４．在反比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的图像上任取一点犘，分别向狓轴与狔轴
作垂线．求这两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积（用含犽的代数式表示）．
５．已知近视眼镜镜片的度数狔（单位：度）与镜片焦距狓（单位：ｍ）成反比
例．若２００度近视眼镜镜片的焦距为０．５ｍ，求狔关于狓的函数表达式．
６．在反比例函数狔＝３犽－２
狓（犽是常数）的图像的每一支上，狔都随着狓的
增大而减小．求犽的取值范围．
７．已知一个梯形的面积为６０，上底长是下底长的１３．设该梯形的下底长
为狓，高为狔，求狔关于狓的函数表达式．
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复习题１３７
８．一艘船计划装载９００ｔ货物，若以最快速度装船，需１ｈ完成．
（１）写出装完货物所需的时间狔（单位：ｈ）与装船速度狓（单位：ｔ／ｈ）之间
的函数表达式，并写出自变量狓的取值范围；
（２）若要求在１．５ｈ至２ｈ之间（包含１．５ｈ与２ｈ）装完这批货物，求装船
速度的取值范围．
９．如图，在反比例函数狔＝２狓（狓＞０）的图像上有点犘１、犘２、犘３、犘４，它
们的横坐标依次为１、２、３、４，分别过这些点作狓轴与狔轴的垂线．图中所
构成的涂色部分的面积从左到右依次为犛１、犛２、犛３，计算犛１＋犛２＋犛３的值．
y
x
P4
P3
P2
P1
S1
S2
S3
O
4
3
2
1
yᅔ2
x
（第９题）
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折纸与数学１３９
折纸与数学
折纸是一种比较普及的手工技艺，纸飞机、千纸鹤是我们常见的折纸作
品（图１）．折纸与数学有着密切的联系．例如，我们可以将几何学原理运用到
折纸中，也可以利用折纸来研究几何学．
图１
活动准备
１．班级分组：建议全班以小组为单位展开活动，每组４～６人．
２．活动工具：根据不同的活动准备各类纸片．
３．结合下面给出的活动内容，各小组成员进行任务分工．
活动１ 折纸与线段
操作
测量一张Ａ４纸长边和短边的长度，将其对折一次长边并裁切，得２张，
取其中一张重复上述过程．将数据记录下来，并填入表１．
表１
折叠次数
长边／ｃｍ
短边／ｃｍ
长边与短边的比值
０
１
２
３
…
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１４０
综合与实践
思考
１．表１中的纸片在折叠过程中，新图形的长边和短边都在不断缩短，长
边与短边的比值是否也会发生变化？
２．你能用一张长方形纸片折出一个正方形吗？
３．通过折纸，可以得到原图形的１２、１４、１８……，同样的办法也能得到已
知线段的１２、１４、１８……．那么，利用折纸，你是否能得到已知线段的槡２２、
槡３２、槡５２？
活动２ 折纸与角
操作
A
E
D
B
M
A′
C
N
图２
下面我们利用一张矩形纸片试折出一个６０°角．
第一步：对折矩形纸片犃犅犆犇，使犃犇与犅犆重
合，得到折痕犕犖，把矩形纸片展开；
第二步：再次折叠纸片，使点犃落在犕犖上，
记为点犃′，且使折痕经过点犅，得到折痕犅犈，同时
得到线段犃′犈（图２）．
思考
１．在图２中，你能找出６０°的角吗？还能找到哪些度数的角？证明你的结论．
２．在图２中，你能找到等边三角形吗？如果是一张正方形纸片，你有折
出一个等边三角形的方法吗？
３．你还能用一张正方形纸片折出哪些角度？请举例．
活动３ 折纸与正方形
创作折纸作品的基本材料通常是一张正方形纸片，人们通过合理的想象、
技巧的运用及不懈的努力把它转变为任意的形状．从折纸作品展开摊平后留在
正方形纸片上的折痕中，可以找出许多几何图形并发现一些有趣的数量与关系．
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折纸与数学１４１
操作与思考
１．请利用折纸来判断一张四边形纸片是否一定是正方形，并说明理由．
２．请把一张正方形纸片折成你喜欢的任意一种样式，如千纸鹤（图３）、
纸飞机、纸青蛙等，展开后研究折痕（长度、夹角等）．
折好的千纸鹤
将千纸鹤拆开，纸
张上布满了折痕
把折痕画在纸上，
就是一张折痕图
图３
活动４ 折纸与生活
生活中，有很多物品与折纸相关．纸质书信承载着深厚的情感，其传递信
息所依托的不仅是文字、书画等内容，也可以是信纸折叠出的各种丰富样式．
请自主设计并制作一款信纸折叠样式：在折叠过程中，你运用了哪些数学知
识？折叠样式想要传递怎样的信息？完成作品后，又有哪些新的数学发现？
请将思考与成品一并展示．
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１４２
综合与实践
神奇的密码
密码是一种将可识别的信息（明文）转换为秘密信息（密文）的技术，这个
过程称为“加密”；而密文是可以破解的，这个过程称为“解密”．明文与密文之
间转换的关键是密钥（常用犽表示）．
活动１ 恺撒密码
恺撒密码是世界上最古老的加密技术之一，采用位移加密方法：明文中
的所有字母都按照一个固定数值在字母表上向后（或向前）进行移位后形成密
文．例如，向前移动３位（密钥犽＝３）的恺撒密码如图１所示：
Y
Z
A
B
C
D
E
F
G
H
Y
Z
A
B
C
D
E
F
G
H
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
ᬻ᪴
ჳ᪴
ߍჳ
?ჳ
ćć
ćć
ćć
图１
这个密钥将Ａ变为Ｄ，将Ｄ变为Ｇ，以此类推，用这个密钥加密，ｅａｒｔｈ
就变成了ｈｄｕｗｋ．请利用恺撒密码的编码方式，完成以下任务：
问题１ 已知密钥犽＝２，加密ＩｌｏｖｅＳｈａｎｇｈａｉ，其中所示空格在密文中仍
为空格．
图２
问题２ 已知密钥犽＝３，密文
为ｖｗｘｇｈｑｗ所对应的明文是什么？
为方便使用恺撒密码进行加密
和解密，可以使用密码盘（图２）．通
过转动密码盘的内圈轮盘（密文），
获知的外圈轮盘（明文）字母所对应
的字母，即为加密后的密文字母．请
使用密码盘回答下列问题：
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神奇的密码１４３
问题３ 当密钥犽分别是５、８、１２的情况下，明文ｕ对应的密文分别是
什么？
问题４ 当明文ｓｋｙ对应的密文是ｉａｏ时，请找出密钥犽，并利用同一密
钥加密ｐｌａｎｅ．
活动２ 维吉尼亚密码
恺撒密码的弱点在于使用单一数值作为密钥进行移位加密，很容易被破
译，为此出现了使用一组不同数值来进行移位加密的方法———维吉尼亚密码．
该方法使用步骤如下：
１．将明文的字母转化为对应的数字：用数字０～２５顺次替代字母表中的
２６个字母，如ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎ转化为１２，０，１９，７，４，１２，０，１９，８，２，
８，０，１３．
２．确定密钥：选择一个单词或字母组合作为密钥，字母的个数称为密钥
长度，按如上方式将密钥转化成数字串，如ｗｏｒｌｄ转化为２２，１４，１７，１１，３．
３．将明文的字母根据以上密钥数字串依次进行移位．移位过程中，若明文
长度超过密钥长度，则将密钥数字串依次重复使用，具体如表１所示：
表１
明文
ｍ
ａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎ
１２
０１９７４１２０１９８２８０１３
密钥
ｗ
ｏｒｌｄｗｏｒｌｄｗｏｒ
２２１４１７１１３２２１４１７１１３２２１４１７
明文＋密钥＝
密文
３４（８）１４３６（１０）１８７３４（８）１４３６（１０）１９５３０（４）１４３０（４）
ｉ
ｏｋｓｈｉｏｋｔｆｅｏｅ
注：括号中的数字表示，当明文数字＋密钥数字≥２６时，需减２６，
如：８＝３４－２６．
问题１ 已知明文为Ｉａｍａｓｔｕｄｅｎｔ，密钥为ｓｈａｎｇｈａｉ，密文是什么？
问题２ 已知密文为Ｉａｍａｓｔｕｄｅｎｔ，密钥为ｓｈａｎｇｈａｉ，明文是什么？
问题３ 将明文Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ：Ｔｈｅｂｅａｕｔｉｆｕｌｌａｎｇｕａｇｅｏｆｔｈｅｕｎｉｖｅｒｓｅ利用维
吉尼亚密码加密后的密文为Ｅｕｉｌｖｅｕｉｍｔｋ：Ｎｗｉｓｗｕｊｘｚｘｏａｐｒｆａｊｅｘｗｉｕｘｙｗ
ｏｃｍｍｗｌｈｉ，请推算相应的密钥．
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144
23. 四边形
多边形，n 边形
polygon
2
梯形
trapezoid
8
平行四边形
parallelogram
8
矩形
rectangle
22
菱形
rhombus
26
正方形
square
31
（三角形的）重心
barycenter (of a triangle)
40
24. 平面直角坐标系
直角坐标系
Cartesian coordinate system
52
坐标轴
coordinate axes
52
原点
origin
52
横轴
axis of abscissas
53
纵轴
axis of ordinates
53
坐标
coordinate
54
横坐标
abscissa
54
纵坐标
ordinate
54
象限
quadrant
54
25. 一次函数
函数
function
86
图像
graph
88
正比例函数
proportional function
91
一次函数
linear function
100
26. 反比例函数
反比例函数
inversely proportional function
122
部分中英文词汇索引
附 录
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本套教科书根据教育部颁布的《义务教育数学课程标准（2022 年版）》
编写.
本册教科书是八年级下册. 在主编李大潜的主持下，由王志强任本册主
编，各章的具体分工为：
胡军、钟菊红、朱雁、许亚善、周子翔、应坚刚（第23 章），鲁海燕、许亚善、
应坚刚（第24 章），叶莎莎、许亚善、应坚刚（第25 章），叶莎莎、陆立强、王志强
（第26 章），徐颖、朱雁、陆立强、王鼎（综合与实践）.
感谢编写团队的团结协作和不懈努力，并对王建磐教授的协助表示衷心的
谢忱.
编写过程中，上海市课程教育教学研究基地（中小学课程方案基地）、上海
市心理教育教学研究基地、上海基础教育教材建设重点研究基地、两个上海市
数学教育教学研究基地（分别设在复旦大学和华东师范大学）等上海高校“立
德树人”人文社会科学重点研究基地对教科书编写工作给予了大力支持，在此
表示衷心的感谢.
我们要感谢一直支持、关心和帮助我们工作的同志和朋友们. 大家的热忱
指导和帮助，我们定会铭记于心，并化为我们的工作动力.
欢迎广大师生来电来函提出宝贵意见.
联系电话：021-64319241（内容） 021-64373213（印刷或装订）
电子邮箱：jcjy@seph.com.cn
地 址：上海市闵行区号景路159 弄C 座上海教育出版社（201101）
后 记
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SHUXUE
数学
八年级 下册
定 价： 9.80 元
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