文档文本内容
计数问题-植树 （笔记） 主讲教师：孙昊天 授课时间：2025.06.10 粉笔公考·官方微信 1 计数问题-植树（笔记） 【答案汇总】 1-5：DABBD；6-10：DBBAC；11-15：ABCBB；16：A 【注意】本节课讲解数量中的植树问题，比较好识别（例如挖坑、植树、插 小彩旗、电线杆、按照摄像头等），且比较套路，解题思路比较模板化，既好学 又好做。近些年植树问题考查情况：2020 年之前考得比较多，广东市考基本每 年必考，2020 年之后考频变少，2023、2025 年有卷土重来的感觉，考虑到该题 型是好识别、简单的题型，还是有学习的必要，如果是广东省考或深圳市考，该 题型是必学的，其他省份的同学也建议学习一下。 目录 01 基础型 02 不移动植树 03 植树与其他题型结合 04 随堂练习 【注意】目录： 1.基础型：两端植树、单端植树、楼间植树。 2.不移动植树问题。 2 3.植树与其他题型结合，例如植树问题与经济利润问题、几何问题、行程问 题、容斥问题、周期问题等的结合。 4.随堂练习。 01 基础型 识别：在一条道路上，根据给定的“道路总长度、间隔距离、植树棵树”等 要求进行植树的问题。 变形考法： ①插旗；②插木桩；③安装摄像头；④安装路灯等 【注意】基础型： 1.识别：在一条道路上，根据给定的“道路总长度、间隔距离、植树棵树” 等要求进行植树的问题。 2.变形考法：插旗（例如隔多少米插小彩旗）、插木桩（在一条50 米的道 路上插树桩）、安装摄像头、安装路灯等。 1.两端植树：棵数=段数+1=总长/间隔+1 【注意】两端植树： 1.棵数=段数+1=总长/间隔+1。 2.例如一段20 米长的道路，间隔5 米种一棵树，一共有20/5=4 段，两端都 要种树，还需要加上开头的一棵树，一共需要种4+1=5 棵树。 2.单端植树（环形植树）：棵数=段数=总长/间隔 3 【注意】单端植树（环形植树）：有一侧已经盖了大楼，没办法植树，只能 在一侧植树。 1.棵数=段数=总长/间隔。 2.例如一段20 米长的道路，间隔5 米种一棵树，一共有20/5=4 段，一端不 用种树，则棵树=段数=20/5=4 棵。 3.环形上植树，例如周长是20 米，间隔5 米种一棵树，棵树=段数=20/5=4 棵。理解：拿一个剪子把圆圈剪开，树归右侧，把圆拉直之后，就是左边图形的 样子；或者把左边图形圈起来，得到的就是右边环形的样子 3.楼间植树（两端都不植）：棵数=段数-1=总长/间隔-1 【注意】楼间植树（两端都不植）： 1.棵数=段数-1=总长/间隔-1。 2.例如一段20 米长的道路，间距5 米种一棵树，一共有20/5=4 段，两端都 不用种树，则棵树=段数=20/5-1=3 棵。 4 1.两端植树：棵数=段数+1=总长/间隔+1。 2.单端植树（环形植树）：棵数=段数=总长/间隔 3.楼间植树（两端都不植）：棵数=段数-1=总长/间隔-1 注意（“坑”点）： （1)分清是两端/单端（环形）/楼间 （2）注意是单侧种树还是两侧种树（两侧种树需要“*2”） 【注意】基础型： 1.两端植树：棵数=段数+1=总长/间隔+1。 2.单端植树（环形植树）：棵数=段数=总长/间隔 3.楼间植树（两端都不植）：棵数=段数-1=总长/间隔-1 4.注意“坑”点： （1)分清是两端/单端（环形）/楼间，公式不一样。 （2）注意是单侧种树还是两侧种树，一般求的都是单侧的数，两侧种树需 要“*2”。 1.（2023 福建事业单位）在一片长20 米宽10 米的长方形的地上植树，每 两棵树之间的行距和列距均为2 米，则在这片长方形的地上最多可以植（ ）棵 树。 A.50 B.55 C.60 D.66 【解析】1.题目没有图，可以自己画一个图；植树问题，先算出一行能植多 少棵树，一行的长是20 米，间距2 米种一棵树，是两端植树的模型，一行可以 5 种20/2+1=10+1=11 棵树；框的宽是10 米，宽上可以种10/2+1=6 棵树，相当于 有6 行，中间也可以种树，故可以种11*6=66 棵树，对应D 项。【选D】 【注意】两端植树：棵数=段数+1=总长/间隔+1。 2.（2022 广东）有一个长方形花坛，长为10 米，宽为8 米。现要在花坛四 周安装栅栏，要求4 个顶点处各插一根木桩，除顶点处的木桩外，每边还要插若 干木桩，且每两根木桩间的距离至少为3 米，则最多可以插（ ）根木桩。 A.10 B.12 C.14 D.16 【解析】2.插木桩和植树一样，都是植树问题。“距离至少为3 米”即≥3 米；总周长一定，要使木桩尽可能多，间距就要尽可能小，间距最小为3 米；分 别求出长和宽能植树的棵树。 方法一：两端都已经有木桩，相当于楼间植树，长为10 米，10/3-1=3 +-1=2 +， 说明上下两边分别可以插2 根，宽为8 米，8/3-1=2 +-1=1 +，说明左右两边分别可 以插1 根，四个角还有四根木桩，总共可以插2*2+1*2+4=6+4=10 根木桩，对应 A 项。 6 方法二：直接画图分析，长：3 米插一根，插入两根进去后还剩4 米，不能 再插，如果再插入一根，那么这一根和顶点处的木桩距离为1 米，不符合题意； 宽：3 米插一根，插入一根进去后还剩5 米，不能再插，如果再插入一根，那么 这一根和顶点处的木桩距离为2 米，不符合题意；说明长可以插入2 根、宽可以 插入1 根。【选A】 【注意】楼间植树（两端都不植）：棵数=段数-1=总长/间隔-1。 3.（2019 广东）某机构计划在一块边长为18 米的正方形空地开展活动，需 要在空地四边每隔2 米插上一面彩旗，若该空地的四个角都需要插上彩旗，那么 一共需要（ ）面彩旗。 A.32 B.36 C.44 D.48 【解析】3.植树模型问题，间距为2。 方法一：四个角已经插上小彩旗了，当作楼间植树问题，跟第2 题的思路一 样。 方法二：封闭图形，可以当作环形植树问题，直接代入公式，棵树=总长/ 间隔=18*4/2=2*18=36 棵，对应B 项。【选B】 【注意】 1.单端植树（环形植树）：棵数=段数=总长/间隔。 2.封闭图形都可以当作环形植树模型处理。看总长能否被间隔整除，如果能 整除的话，当作环形植树模型处理没有问题，如果不能整除，这么做可能就有问 7 题，例如边长为19 米，每隔2 米插上一面彩旗，最后会余出1 米，无法在角上 插上旗，就不符合题意，转化为楼间植树做题。 4.（2020 广东）为加强治安防控，现计划在一段L 形的围墙（如下图）上 安装治安摄像头，其中A 点到B 点长度为750 米，B 点到C 点长度为1350 米。 按要求ABC 三个位置必须安装一个摄像头，且相邻两个摄像头之间的距离要保持 一致，则整段围墙至少需要安装（ ）个摄像头。 A.14 B.15 C.16 D.17 【解析】4.植树模型问题，要使安装的摄像头数尽可能少，间隔就要尽可能 大；由于间隔要保持一致，就需要同时考虑到AB 和BC，即间隔需要是AB 和BC 的公约数，间隔要尽可能大，则需要找AB 和BC 的最大公约数，用短除法找750 和1350 的最大公约数，先提出50，落下15、27，再提出3，落下5 和9，没有 公约数，可得750 和1350 的最大公约数=50*3=150；所求=（750+1350）/150+1=15， 对应B 项。【选B】 【注意】拐角植树问题，间隔距离需为所有边长的公约数。 02 不移动植树问题 特征：在长12 米的路上，原来间隔2 米种一棵，现在间隔3 米种一棵，有 多少棵树不需要移动？ 方法：（段数的）最小公倍数法 8 1.求出段数 2.求不移动间隔（段数的最小公倍数） 3.求不移动棵树 ①两端植树：不移动棵数=总长/不移动间隔+1=段数最小公倍数+1 ②单端植树（环形植树)：不移动棵数=总长/不移动间隔=段数最小公倍数 ③楼间植树（两端不植树)：不移动棵数=总长/不移动间隔-1=段数最小公倍 数-1 【注意】不移动植树问题：重点会用结论即可，考查的概率不大，不需要花 太大精力。 1.特征：在长12 米的路上，原来间隔2 米种一棵，现在间隔3 米种一棵， 有多少棵树不需要移动？ 答： （1）如图所示，间隔2 米种一棵→有12/2=6 段，间隔3 米种一棵→有12/3=4 段，从图上分析可得一共有3 棵树不需要移动。 （2）两个间隔长度分别为2 和3，不移动间隔为2 和3 的最小公倍数6，说 明每隔6 米就不需要移动一棵；题目没有特殊强调，默认是两端植树，棵树 =12/6+1=3 棵。 2.方法：（段数的）最小公倍数。 （1）求出段数。 （2）求不移动间隔（段数的最小公倍数）。 （3）求不移动棵树： ①两端植树：不移动棵数=总长/不移动间隔+1=段数最小公倍数+1。 ②单端植树（环形植树)：不移动棵数=总长/不移动间隔=段数最小公倍数。 9 ③楼间植树（两端不植树)：不移动棵数=总长/不移动间隔-1=段数最小公倍 数-1。 特征：在长12 米的路上，原来间隔2 米种一棵，现在间隔3 米种一棵，有 多少棵树不需要移动？ 方法：（段数的）最大公约数法 1.求出段数 2.求出段数的最大公约数 3.求不移动棵树 ①两端植树：不移动棵数=总长/不移动间隔+1=段数最大公约数+1 ②单端植树（环形植树)：不移动棵数=总长/不移动间隔=段数最大公约数 ③楼间植树（两端不植树)：不移动棵数=总长/不移动间隔-1=段数最大公约 数-1 【注意】 1.特征：在长12 米的路上，原来间隔2 米种一棵，现在间隔3 米种一棵， 有多少棵树不需要移动？ 答：间隔2 米种一棵→段数=12/2=6 段，间隔3 米种一棵→12/3=4 段，4 和 6 有最大公约数2，说明两者都可以平均分，即1/2 处不用移动，同理，2/2 处 也不需要一定，第一棵也不需要移动，故有2+1=3 棵树不需要移动。 2.例如第一种分为9 段，第二种分为6 段，9 和6 的最大公约数是3，说明 两者都能被3 整除，即都有三等分点；对于9 段来讲，每段中间有3 段，对应6 10 段来讲，每段中间有2 段，两者在1/3、2/3、3/3 处的树不需要移动，再加上开 头的一棵，一共有3+1=4 棵树不需要移动。 3.方法：（段数的）最大公约数法。 （1）求出段数。 （2）求出段数的最大公约数。 （3）求不移动棵树： ①两端植树：不移动棵数=总长/不移动间隔+1=段数最大公约数+1。 ②单端植树（环形植树)：不移动棵数=总长/不移动间隔=段数最大公约数。 ③楼间植树（两端不植树)：不移动棵数=总长/不移动间隔-1=段数最大公约 数-1。 方法选择 1.给总长、间距→最小公倍数法 2.给棵树→最大公约数法 【注意】方法选择： 1.给总长、间距→最小公倍数法。 2.给棵树→最大公约数法。 5.（2018 重庆选调）某公路的一侧从一端到另一端每隔3 米植一棵树，一 共挖了49 个坑。现在要改成每隔4米植一棵树，那么可以不重新挖的坑共有（ ） 个。 A.8 B.9 C.11 D.13 11 【解析】5.“挖了49 个坑”意味着要植49 棵树，现在要改成每隔4 米植一 棵树，问可以不重新挖的坑有多少，为不移动植树问题。 方法一：最小公倍数法。间隔分别为3 和4，3 和4 互质，则不移动间隔是 3 和4 的最小公倍数3*4=12，棵树=总长/不移动间隔+1；49 个坑有48 段，总长 =48*3，则所求=48*3/12+1=13 棵，对应D 项。 方法二：最大公约数法。49 个坑有48 段，改成每隔4 米植一棵树，段数 =3*48/4=36 段，48 和36 的最大公约数是12，棵树=12+1=13 段，对应D 项。【选 D】 6.（2018 广州）某条道路进行灯光增亮工程，原来间隔35 米的路灯一共有 21 盏，现要将路灯的间隔缩短为25 米，那么有（ ）盏路灯无需移动。 A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】6.不移动植树问题。 方法一：最小公倍数法。间隔分别为35 和25，用短除法找25 和35 的最小 公倍数，提出5，落下7 和5，最小公倍数=5*7*5=175，所求=35*20/175+1=5 棵， 对应D 项。 方法二：最大公约数法。21 盏分为20 段，段数=总长/间隔=35*20/25=28 段，20 和28 的最大公约数为4，所求=4+1=5 棵，对应D 项。【选D】 7.（2020 深圳）某公园举办春节花展，在周长400 米的中心区布置了环形 花槽，并在花槽上每隔16 米挂一只灯笼，不久后元宵灯会临近，公园决定增加 12 并挪动一些灯笼，但仍保持灯笼间距相等。已知加入新灯笼后，共有5 只旧灯笼 没有移动，则调整后的灯笼间距最大为（ ）米。 A.12 B.10 C.8 D.5 【解析】7.“每隔16 米挂一只灯笼”为植树问题，是一个环形花槽，为环 形植树问题，公式不用“+1”也不用“-1”。平时的题目是给出两个间距，分析 不一定的棵树，而本题给出不移动的棵树，给出间距 1，求调整后的间距 2 最大 是多少。 方法一：选项就是间距2，用代入排除的思路；代入A 项：间距1是16 米、 间距2是12 米，16 和12 的最小公倍数是48，400/48≠5，排除A 项；代入B 项： 间距1是16 米、间距2是10 米，16 和10 的最小公倍数是80，400/80=5，符合， 当选。即使C、D 项数据正确，但不是最大的，也是选择B 项。 方法二：第一段的段数=400/16=25 段，第二段没有，已知两者的最大公约 数是5，代入选项分析；A 项：400/12=100/3，没办法整除，排除；B 项：400/10=40 段，25 和40 的最大公约数就是5，当选。【选B】 植树问题拓展： 1.植树问题和经济利润问题的几何 8.（2016 北京）某单位两座办公楼之间有一条长204 米的道路，在道路起 点的两侧和终点的两侧已各栽种了-棵树。现在要在这条路的两侧栽种更多的树， 使侮侧每两棵树之间的间隔不多于12 米，如栽种每棵树需要50 元人工费，则为 完成栽种工作，在人工费这一项至少需要做多少预算? A.800 元 B.1600 元 C.1700 元 D.1800 元 【解析】8.根据题意，楼间植树的模型；要想钱少，棵数要少，每棵树的间 隔尽可能大一点，要求不多于12 米，就取12 米，没时间做就猜，两侧种树，观 察选项，A、B 项有2 倍关系→A 项是单侧、B 项是双侧，可以猜B 项；先分析单 侧，楼间植树→204/12-1=16 课，所求=16*2*50=32*50=1600，对应B 项。【选B】 13 【注意】Tips：注意是单侧种树还是两侧种树（两侧种树需要*2）。 三、植树与其他题型结合 2.植树问题与行程问题结合 9.（2022 河北邯郸事业单位）一条笔直的林荫道两旁种植着梧桐树，同侧 道路每两棵梧桐树间距50 米。林某每天早上七点半穿过林荫道步行去上班，工 作地点恰好在林荫道尽头。经测试，他每分钟步行70 步，步大约50 厘米，每天 早上八点准时到达工作地点。那么，这条林荫道两旁栽种的梧桐树共有： A.44 棵 B.42 棵 C.22 棵 D.21 棵 【解析】9.根据题意，两侧种树，可以先排除C、D 项（A 项是C 项的2 倍、 B 项是D 项的2 倍）；七点半走、8 点到→30 分钟；每分钟70 步，每步0.5 米， 距离→70*0.5*30=1050 米；问“两旁栽种的梧桐树多少棵”→1050/50+1→22， 所求=22*2=44，对应A 项。【选A】 【注意】蒙A：两端植树需要+1，可以猜A 项。 10.（2023 浙江）水文工作人员小张和小刘同时乘坐相同的船，分别从下游 的A 码头和上游的B 码头出发前往对方所在码头，并沿途采集水样。两人出发时 各采集第一份水样，往后每行驶1.31 千米采集一份水样。两船相遇时，小张正 好采集第16 份水样。已知船在静水中的速度是水流速度的5 倍，那么两人全程 一共采集了多少份水样? A.38 B.39 C.76. D.78 【解析】10.根据题意，需要画图（如下），每隔1.31 千米采集水样→类比 植树，一开始采集了水样，是两端（植树）的模型；种了16 棵树，有15 段，每 段1.31 千米，张从A→C 一共走了15*1.31，如果水速记为V，船速（静水）为 5V，则刘是顺流→6V、张是逆流→4V；两人采集的水样数相同（和距离有关、和 14 速度无关）→最后乘以2 即可；代入两端植树的公式→[总长（AB）/1.31+1]*2， 缺AB→BC+AC→缺BC；两人t 相同、S 和v 成正比，S 刘/S 张=V 刘/V 张=6V/4V=3/2 →S 刘=22.5*1.31，总长→37.5*1.31，代回→（37.5+1）*2→38.5*2，38.5 说明 第39 个还没采，取38→38*2=76，对应C 项。【选C】 三、植树与其他题型结合 3.植树问题与几何问题结合 11.（2025 广东）某单位计划在-块直角三角形的绿地周边栽种树木，先在3 个顶点各栽种1 棵，再从顶点开始每隔4 米栽种1 棵，如果两条直角边（包含顶 点）分别栽种4 棵和5 棵，则该绿地周边一共栽种了（）棵树。 A.12 B.13 C.14. D.15 【解析】11.根据题意画图分析，短边栽种3*4=12；长边栽种4*4=16；可以利用 勾股定理，要想满足直角三角形，勾三股四弦五，斜边为5*4=20；再分析植了 多少棵→20/4-1=5-1=4，所求=4+4+4=12，对应A 项。【选A】 15 【注意】Tips：常见勾股数：（3、4、5）*n。 12.（2019 新疆）紋艺汇演的舞台为一个边长为10m 的正六边形，节目“千 手观音”中，演需排成一列正对观众，为保证演出效果，两个演员之间要保持 50cm 的距离问该舞台最多能站够少名“千手观音”的演员？ A.31 B.35 C.39 D.41 【解析】12.根据题意，千手观音→竖着排；间隔为50cm（0.5 米），问舞 台能站多少演员；公式：总长/间隔+1，缺“总长”，求两个平行线的距离即可， 可以构造特殊三角形，如下图做辅助线，30°的直角三角形的比例为1：2：√3， 可以解出长直角边为5√3，总长为10√3；也可以根据120°的三角形比例（1： 1√3），10√3→10*1.732=17.32，17.32/0.5→17.32*2→34.64，34.64+1=35.64， 向下取整→35，对应B 项。【选B】 16 13.（2025 江苏）为丰富居民的业余生活，区政府拟在花苑小区西面围墙外 的空地上，修建一个矩形文化广场，广场的一边为小区围墙。现沿广场周边植树， 相邻两棵树、最东边的树与围墙的间隔最多为4m，远离围墙的两个角上都植树。 已知围墙一侧无需植树，最终共植树63 棵，那么文化广场的最大面积为： A.7442 B.7848 C.8192 D.8498 【解析】13.根据题意，给出树和树的间距、树和墙的间距；长设为a、宽 设为b，和棵数有关，要想长、宽大的话，间距可以尽量大，这里就让它为极限 值4；63 棵数→两端植树→63-1=62 段，再加上和墙的间距→64 段，64*4=256 米；想让面积最大，长方形中，周长一定，当总长=总宽时，面积最大，直接用 结论，2a+2b=256→2a=b，a=64、b=128，264*120=7680，对应C 项。【选C】 【注意】长方形中，周长一定，当总长=总宽时，面积最大。 三、植树与其他题型结合 4.植树问题与工程问题结合 14.（2020 深圳）市计划在-条笔直公路的两侧每隔8 米种一棵木棉树，并 把植树任务交由甲、乙两组工人完成，若甲组先做3 天，余下的任务由两组合作， 则再做4 天恰好完成。若乙组先做10 天，余下的任务交由甲组，则再做2 天恰 好完成。已知甲组此乙海天多种5 棵树，则这条公路长多少米? A.1224 B.1232 C.1240 D.1248 【解析】14.根据题意，表示工作总量→3 甲+4*（甲+乙）=10 乙+2 甲→整 理一下→6 乙=5 甲→甲效率/乙效率=6/5；假设甲效率为6x、乙效率为5x；甲组 每天比乙组多种5 棵，6x-5x=5→x=5；6x=30、5x=25；植树问题求一个总长度， 已知间隔，先求总量→250+60=310→两侧一共310→单侧310/2=155 棵； 155-1=154，154*8=尾数2，对应B 项。【选B】 三、植树与其他题型结合 17 5.植树问题与周期问题结合 15.（2016 国考副省级）某新建小区计划在小区轩道两侧种植银杏树和梧桐 树绿化环境，一侧每隔3 棵银杏树种1 棵梧桐树，另-侧每隔4 棵梧桐树种1 棵 银杏树，最终两侧各种植了35 棵树，问最多栽种了多少棵银杏树? A.33 B.34 C.36 D.37 【解析】15.周期问题；一侧4 棵为一个周期、另一侧5 棵为一个周期；一 共种了35 棵，问最多栽种了多少棵，让银杏树最开始就栽，这样才能保证尽可 能多；A 侧→35/4→8 个周期……3 棵；每隔周期3 棵银杏树→8*3；剩余3 个要 分析下一个周期→都是银杏树→共24+3=27 棵；再看B 侧→35/5=7→7*1=7，所 求=27+7=34，对应B 项。【选B】 三、植树与其他题型结合 6.植树问题与容斥问题结合 16.（2024 广东）某个障碍跑项目需要在100 米长的跑道上布置障碍（起点 和终点均不布置）。如果从起点开始，每隔4 米布置-个甲障碍，每隔6 米布置 一个乙障碍，甲、乙障碍的重合则不布置甲障碍。则跑道上总共布置（ ）个甲 障碍。 A.16 B.17 C.24 D.25 【解析】16.根据题意，楼间植树问题；先求甲的全部障碍→总长/间隔-1 →100/4-1=24；再求重合的棵数→求公共周期→4 和6 的最小公倍→12，重合间 隔为12，一共100 米，12 米重合一个，100/12=8……4，起点和终点不布置，重 合8 个，24-8=16，对应A 项。【选A】 【练习】（2013 北京）某条道路的一侧种植了25 棵杨树，其中道路两端各 种有-棵，且所有相邻的树距离相等。现在需要增种10 棵树，且通过移动一部分 树（不含首尾两棵）使所有相邻的树距离相等，则这25 棵树中有多少棵不需要 移动位置？ 18 A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】练习.课堂正确率为41%；根据题意，不移动植树问题；两种方法： 最小公倍数、最大公约数，这里没有总长、间隔距离，选择“最大公约数法”； 种了25 棵，两端植树，有24 段，增种10 棵→35 棵→34 段，24 和34 的最大公 约数为2，再加1→3，对应A 项。【选A】 【注意】植树问题总结： 1.基础型： （1）两端植树：棵数=段数+1=总长/间隔+1。 （2）单端植树（环形植树）：棵数=段数=总长/间隔。 （3）楼间植树（两端都不植）：棵数=段数-1=总长/间隔-1。 2.不移动植树问题：两端植树：不移动棵数=总长/间隔最小公倍数+1=段数 最大公约数+1。 3.植树问题与其他题型的结合：经济利润；行程；几何；工程；周期；容斥。 19 遇见不一样的自己 Be your better self
