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行程问题进阶 （笔记） 主讲教师：杨亚辉 授课时间：2025.08.02 粉笔公考·官方微信 1 行程问题进阶（笔记） 【答案汇总】 1-5：DCAAD；6-8：CBA 【注意】昨天讲的是行程问题中的普通行程，今天讲的是行程问题进阶。 行程问题 1.普通行程（基本公式、匀变速运动、火车过桥、等距离平均速度） 2.进阶行程（直线相遇追及、环形相遇追及、流水行船、比例思维，最后的 比例思维是重点） 3.特殊行程（结合几何基本公式、结合几何三角形结论、最短路径） 【注意】行程问题： 1.普通行程（基本公式、匀变速运动、火车过桥、等距离平均速度）。 2.进阶行程（直线相遇追及、环形相遇追及、流水行船、比例思维，比例思 维）。难度会大一些，但记住公式和结论即可，关键是比例思维，可能有的同学 拿不下来。 3.特殊行程（结合几何基本公式、结合几何三角形结论、最短路径）。 进阶行程 1.直线相遇追及 2.环形相遇追及 3.流水行程 4.比例思维 直线相遇：同时相向而行 公式：S 和=V 和*T 遇 S 和：就是两人走的路程之和 2 【注意】直线相遇：两个主体在同一直线上，同时相向而行（面对面走）。 1.公式：S 和=V 和*T 相。 2.推导：如图，左边是博尔特，右边是老师，二人同时相向（面对面）而行， 在“黄色三角”相遇，属于直线相遇问题。 3.S 和：就是两人走的路程之和。如图，博尔特走的路程是红色的，老师走 的路程是蓝色的，两个路程相加就是S 和。左边路程用S1表示、速度用V1表示， 则S1=V1*T，右边路程用S2表示、速度用V2表示，则S2=V2*T，S 和=V1T+V2T=（V1+V2） *T=V 和*T。 【例1】（2020 河北）甲乙两人在相距1200 米的直线道路上相向而行，一条 狗与甲同时出发跑向乙，遇到乙后立即调头跑向甲，遇到甲后再跑向乙，如此反 复，已知甲的速度为40 米/分钟，乙为60 米/分钟，狗为80 米/分钟。不考虑狗 调头所耗时间，当甲乙相距100 米时狗跑了多少米？ A.1100 B.1000 C.960 D.880 【解析】1.方法一：行程问题，要求小狗的路程，根据S=V*T→S 狗=V 狗*T， 已知V 狗=80，只需求出T，如果从小狗的角度去求T，非常复杂；小狗走的时间 和两人走的时间是相同的，因此求出人的时间即可。“甲乙两人在相距1200 米的 直线道路上相向而行”，即直线相遇问题，S 和=V 和*T 相，求出T 相即可，如果两 人碰面，S 和=1200，但两人并没有碰面，还相差100 米，则S 和=1200-100=1100， 因此1100=（40+60）*T，解得T=1100/100=11 分钟，所求=80*11=880 米，对应 D 项。 3 方法二：如果不懂直线相遇的公式，根据倍数特性，S 狗=V 狗*T，假设T 是整 数，则S 狗=80T，可以说明S 狗是80 的倍数，如果不会算T，也可以从C、D 项猜。 【选D】 【拓展】（2018 国考）一辆汽车第一天行驶了5 个小时，第二天行驶了600 公里，第三天比第一天少行驶200 公里，三天共行驶了18 个小时。已知第一天 的平均速度与三天全程的平均速度相同，问三天共行驶了多少公里？ A.800 B.900 C.1000 D.1100 【解析】拓展.要求三天共行驶了多少公里，即求路程，S=V 平均*T，已知“三 天共行驶了18 个小时”，已知T=18，数量关系一般是整数，因此S=18*V 平均， 即S 是18 的倍数，只有B 项符合。【选B】 直线追及：同时同向而行 公式：S 差=V 差*T 追 S 差：追及刚开始时两人相差的距离（起点的距离） 【注意】直线追及：两个主体同时同向而行，要和直线相遇区分开，直线相 遇是同时相向而行（面对面走），如果一个人从后面追上前面的人，即直线追及。 1.公式：S 差=V 差*T 追。 2.S 差：追及刚开始时两人相差的距离（起点的距离）。 3.推导：老师和博尔特都是从A 点前往B 点，老师先抢跑，当老师跑到C 点时，博尔特才出发，到B 点追上老师。在整个追及过程中，博尔特走的距离（红 色部分）S1=V1*T，老师走的距离（蓝色部分）S2=V2*t，黑色虚线是AC 的距离， 即追及刚开始时两人相差的距离为S 差，S 差=S1-S2=V1T-V2T（V1-V2）*T=V 差*T 追。 4 【例2】（2023 湖北）某帆船队队员甲先行驾驶帆船从某地出海训练，教练 员乙、丙随后分别驾驶摩托艇同时从该地出发，三人航线一致且速度不变，已知 乙驾驶摩托艇的速度为每小时12 千米，追上甲用了2.5 小时，丙驾驶摩托艇的 速度为每小时15 千米，追上甲用了1.5 小时，若不考虑其他因素，则乙、丙二 人出发时，甲已经航行了（ ）千米。 A.7.50 B.9.75 C.11.25 D.10.50 【解析】2.不管是甲、乙、丙，三人航线一致，说明三人同时同向出发，后 面还出现乙追上甲、丙追上甲，即直线追及问题，公式：S 差=V 差*T 追。问乙、丙 二人出发时，甲已经航行了（ ）千米，相当于问的是S 差，因为甲、丙二人出 发时，是追及刚开始的时候，和甲之间的距离就是S 差。乙追甲，S 差=（12-V 甲） *2.5①；再看丙追甲，S 差=（15-V 甲）*1.5②，二元一次方程，解方程即可，联 立①、②，解得V 甲，再代回去求S 差，但这样不够快；联想火车过桥问题，“结 合四个选项，速度是各不相同的，直接求速度，把另外一个约掉”，要求S 差，可 以把V 甲消掉，需要把V 甲的系数变成一致，则把②式的“1.5*V 甲”变成“2.5*V 甲”，只需把②式的左右两边同时乘以5/3，此时②式变成5/3*S 差=（15-V 甲）*2.5 ③，再用③-①得2/3*S 差=3*2.5=7.5，解得S 差=7.5*1.5，联想资料分析，一个 数乘以1.5，相当于这个数加上本身的一半，即7.5+3.75=11.25，对应C 项。【选 C】 环形相遇（同时同点反向出发） 5 公式：S 和=V 和*T 遇 相遇1 次，S 和=1 圈 相遇2 次，S 和=2 圈 相遇N 次，S 和=N 圈 本质：每一次相遇到下一次相遇期间，两人走的路程和是一圈。 【注意】环形相遇（两个主体同时同点反向出发）： 1.公式：S 和=V 和*T 遇。 2.推导：老师和博尔特从A 点同时同点反向出发，博尔特顺时针走，老师逆 时针走，两个人第一次相遇，两人的路程和刚好为1 圈，故相遇1 次，S 和=1 圈； 两人从相遇点继续走，从起点到第二次相遇时，S 和=2 圈。 6 3.结论：相遇1 次，S 和=1 圈；相遇2 次，S 和=2 圈；……，相遇N 次，S 和 =N 圈=V 和*T 相。 4.本质：每一次相遇到下一次相遇期间，两人走的路程和是一圈。 环形追及（同时同点同向出发） 公式：S 差=V 差*T 追 追上1 次，S 差=1 圈 追上2 次，S 差=2 圈 追上N 次，S 差=N 圈 本质：每一次追上到下一次追上期间，两人走的路程差是一圈。（速度快的 人比速度慢的人多走了1 圈） 7 【注意】环形追及（同时同点同向出发）。 1.公式：S 差=V 差*T 追。 2.推导：老师和博尔特同时从起点出发，都是顺时针出发，老师走路，博尔 特跑步，博尔特会从后面追上老师，老师走的是橙色部分，博尔特本来就比老师 跑得快，先跑了一圈，然后从后面追上老师，环形追及和直线追及的公式是一样 的，关键在于结论。 3.结论：追上1 次，S 差=1 圈；追上2 次，S 差=2 圈；追上N 次，S 差=N 圈。 比如上学的时候大家都会体测，男生跑1000 米，女生跑800 米，老师和同学同 时跑，同学第1 次追上了老师，就是套了老师一圈，即S 差=1 圈，如果第2 次追 上老师，则套了老师两圈，即S 差=2 圈，因此S 差=n 圈=V 差*T 追。 4.本质：每一次追上到下一次追上期间，两人走的路程差是一圈（速度快的 人比速度慢的人多走了1 圈）。 8 【例3】（2023 内蒙古）老张和小张在周长为400 米的运动场上跑步，小张 的跑步速度快于老张，当两人在同一起点同时同向出发，则每隔8 分钟相遇一次； 当两人在同一起点同时反向出发，则每隔2 分钟相遇一次，老张在该运动场跑一 圈需要多少分钟？ A.5.33 B.5.36 C.5.42 D.5.45 【解析】3.看问题，可能会感觉不太对劲，同时同点反向出发→环形相遇， 同时同点同向出发→环形追及，但表述都是隔几分钟相遇一次，注意反向是相遇， 同向是追及，怎么表述都是可以的，比如你在前面，我在后面，我从后面追你， 过5 分钟我和你相遇，即过5 分钟我追上你，这样表述也是可以的。“当两人在 同一起点同时反向出发，则每隔2 分钟相遇一次”为环形相遇，两人相遇1 次， 共走1 圈，假设小张速度是V1，老张速度是V2，则S 和=1 圈=400=（V1+V2）*2→ V1+V2=200①；“当两人在同一起点同时同向出发，则每隔8 分钟相遇一次”为环 形追及，追上1 次，S 差=1 圈=400=（V1-V2）*8→V1-V2=50②；解得V1=125，V2=75， 问老张跑一圈需要多长时间，t 老张=400/75，选项差距小，建议直除，能约分先 约分，原式转化为4*4/3=16/3≈5.33，对应A 项。【选A】 【注意】切入点： 1.同一起点同时反向→环形相遇：S 和=N 圈=V 和*T 相。 2.同一起点同时同向→环形追及：S 差=N 圈=V 差*T 追。 【例4】 （2023 天津事业单位）师范大学体育场的环形跑道长400 米，王鹏、 李华、周可从同一地点同时同向出发，围绕跑道分别慢跑、快跑和轮滑。已知三 人的速度分别是2 米/秒、6 米/秒和8 米/秒，问李华第4 次超越王鹏时，周可 已经超越了王鹏多少次？ A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】4.本题和例2 有点相像，由“同一地点同时同向出发”可知，为环 形追及问题，公式：S 差=V 差*T 追。问李华第4 次超越王鹏时，周可已经超越了王 9 鹏多少次，追上几次相当于圈数，假设超越N 次，周→王：追上1 次，S 差=1 圈， 追上N 次，S 差=N 圈，S 差=400N=（8-2）*T 追，需要求出T 追。“李华第4 次超越王 鹏时，周可已经超越了王鹏多少次”，则时间相同，根据李华追王鹏来求。李→ 王：追上4 次，N=4，S 差=4*400=（6-2）*T 追→T 追=400 秒。代回第一个式子，400N= （8-2）*400，解得N=6，即李华第4 次超越王鹏时，周可超越王鹏6 次，对应A 项。【选A】 【注意】切入点：同一起点同时同向→环形追及：S 差=N 圈=V 差*T 追。 进阶行程 1.直线相遇追及 2.环形相遇追及 3.流水行船 4.比例思维 【注意】 1.流水行船相关公式：流水行船要么顺流而下，要么逆流而上。 10 （1）V 顺=V 船+V 水①，船和水的方向相同，起到加成的作用。 （2）V 逆=V 船-V 水②，船和水的方向相反，是抵消的作用。 （3）（①+②）/2 得：V 船=（V 顺+V 逆）/2。 （4）（①-②）/2 得：V 水=（V 顺-V 逆）/2。 2.流水行船相关概念：重在理解。 （1）静水速度即V 船，水面静止的速度，全靠船内在的动力。 （2）漂流速度即V 水，如漂流瓶在海上能漂多远，取决于水速，水速是多少， 就能够漂流多少。 【例5】（2023 河南）甲、乙两码头相距600 千米。一艘轮船从甲码头顺流 航行到达乙码头，立即返回甲码头。已知船在静水中每小时行驶25 千米，水流 速度为每小时5 千米，那么这艘船往返甲、乙码头一趟需要（ ）小时。 A.40 B.44 C.48 D.50 【解析】5.流水行船问题。问往返的时间，最简单粗暴的方法就是把顺水、 逆水的时间分别求出，然后加和即可。甲、乙两码头相距600 千米，路程是相同 的，已知船在静水中每小时行驶25 千米，水流速度为每小时5 千米，从甲→乙 是顺水，V 顺=V 船+V 水=25+5=30km/h；从乙→甲是逆水，V 逆=V 船-V 水=25-5=20km/h， t 顺=600/30=20h，t 逆=600/20=30h，t 总=20+30=50h，对应D 项。【选D】 【注意】 1.切入点：顺流航行到达乙码头，立即返回甲码头→流水行船：V 顺=V 船+V 水； V 逆=V 船-V 水。 11 2.利用等距离平均速度。V 顺=25+5=30，V 逆=20，上下坡往返的过程，是等距 离的，都是600 千米，根据等距离平均速度公式：2*V1*V2/（V1+V2），代入数据： 全程的平均速度=2*30*20/（30+20）=1200/50=24km/h，总路程是2*600， t=2*600/24=50h，选择D 项。 【例6】（2021 新疆）甲、乙两地分别为一条河流的上下游，两地相距360 千米，A 船往返需要35 小时，其中从甲地到乙地的时间比从乙地到甲地的时间 短5 小时。B 船在静水中的速度为12 千米每小时。则其从甲地开往乙地需要多 少小时？ A.12 B.20 C.24 D.40 【解析】6.流水行船问题。“A 船往返需要35 小时，其中从甲地到乙地的时 间比从乙地到甲地的时间短5 小时”→说明顺水时间是15h、逆水时间是20h， 对于A 船来说，VA 顺=360/15=24hm/h，VA 逆=360/20=18km/h；问B 船从甲地开往乙 地需要多少小时，从甲到乙是顺流而下的，已知B 船的船速，根据公式V 顺=V 船 +V 水，要求顺流速度还需要求出水速，V 水=（24-18）/2=6/2=3km/h；B 船在静水 中的速度为12 千米每小时，即V 船=12，VB 顺=V 船+V 水=12+3=15km/h，tB 顺=360/15=24 小时，对应C 项。【选C】 【注意】切入点：A 船往返需要35 小时→流水行船：V 顺=V 船+V 水；V 水=（V 顺-V 逆）/2。 12 行程中的比例思维： 基本公式：路程S=速度V*时间T 1.路程S 一定，速度V 与时间T 成反比 2.速度V 一定，路程S 与时间T 成正比 3.时间T 一定，路程S 与速度V 成正比 【注意】行程中的比例思维：有老师也会叫做比例行程，当成一个题型来看 待，但是并不像是一个题型，很多题目你会发现，可能用基本公式可以，用比例 思维也可以，所以应该不算一个具体题型，更像是一种解题思维，很多行程问题 比较复杂，利用比例思维解决就很简单，也有些题目只能用比例思维。 1.基本公式：路程S=速度V*时间T。 2.关系： （1）路程S 一定，速度V 与时间T 成反比。 （2）速度V 一定，路程S 与时间T 成正比。 （3）时间T 一定，路程S 与速度V 成正比。 【例7】（2023 广东）小明骑车从甲镇前往乙镇。如果骑车的速度为每小时 20 千米，那么将准时到达。如果骑车的速度为每小时24 千米，那么将提早5 分 钟到达。则甲镇到乙镇的距离为（ ）千米。 A.8 B.10 C.12 D.16 【解析】7.如果把这道题放在昨天，根据基本公式，“骑车的速度为每小时 20 千米，那么将准时到达”，假设时间为t，S=20*t；“骑车的速度为每小时24 千米，那么将提早5 分钟到达”，5 分钟=1/12 小时，S=24*（t-1/12）。列式： S=20*t=24*（t-1/12），可求出t，然后再代回式子，可求出S，但是比较慢；通 过比例思维更快，不管是哪个速度，路程S 是一定的，速度V 与时间T 成反比， 假设第一次速度是V1，第二次速度是V2，V1/V2=20/24=5/6，则时间之比t1/t2=6/5， 第二次比第一次少了1 份，1 份对应的就是5 分钟，则t1=6*5=30 分钟=0.5 小时， S=20*0.5=10 千米，对应B 项。【选B】 13 【注意】行程中的比例思维：路程S 一定，速度V 与时间T 成反比。 【例8】（2023 联考）某地突发森林火灾，现有甲、乙两支消防队离火灾发 生地距离相同，但路况不同，假设两支队伍接到命令后同时出发，并且按照一定 速度匀速赶往火灾现场参与救援。已知当甲消防队走了路程1/3 时，乙消防队走 了9 公里，当乙消防队走了路程1/3 时，甲消防队走了16 公里，问甲消防队到 达目的地时，乙消防队距离目的地还有多少公里？ A.9 B.12 C.27 D.36 【解析】8.行程问题。题目只给了路程，没有给出速度和时间，实在看不出 来可以选择放弃。“当甲消防队走了路程1/3 时，乙消防队走了9 公里”，说明时 间是相同的；“当乙消防队走了路程1/3 时，甲消防队走了16 公里”，说明时间 也是相同的；包括最后的问题，时间也是相同的。时间T 一定，路程S 与速度V 成正比。假设总路程是3S，当t1时，V 甲/V 乙=S 甲/S 乙=S/9；当t2时，V 甲/V 乙=S 甲 /S 乙=16/S；可得S/9=16/S→S²=9*16=144，S=12，则总路程=3S=3*12=36，S/9=4/3， 16/S=4/3，即V 甲/V 乙=4/3。问甲消防队到达目的地时，乙消防队距离目的地还 有多少公里，当t3时，假设乙走了x 公里，V 甲/V 乙=S 甲/S 乙=36/x=4/3，解得x=3*9=27， 此时不要错选C 项，所求=36-27=9 公里，对应A 项。【选A】 【注意】 1.行程中的比例思维：时间T 一定，路程S 与速度V 成正比。 2.考场思维：利用公职思维。考场上没有充足的时间做数量关系，我们参加 的是公务员考试，是为老百姓服务的，背景是“某地突发森林火灾”，是十万火 急的事，一定要尽快到达进行救援，甲已经到达了，问乙消防队距离目的地还有 多少公里，同时出发，虽然路况不同，但是也不会差很多，一定是越少越好，选 择A 项。 【拓展1】（2021 联考）一车救灾物资从早上8 点起开始运往1900 公里外的 某地，白天平均车速80 公里/小时，夜间60 公里/小时（假定8：00 到18：00 14 为白天，其他时段为夜间），司机每驾驶2 小时必须休息20 分钟，且每名司机每 天驾驶时间不能超过8 小时（00：00 后即为新的一天）。问车上至少应配备几名 司机且至少要用多长时间才能抵达该地？ A.3 名；27 小时15 分 B.3 名；27 小时25 分 C.4 名；33 小时30 分 D.4 名；33 小时40 分 【解析】拓展1.救灾物资是十万火急的，问车上至少应配备几名司机且至 少要用多长时间才能抵达该地，司机配几名是不重要的，时间是最重要的，时间 越短越好，选择A 项。【选A】 【拓展2】（2022 国考）某单位办事大厅有3 个相同的办事窗口，2 天最多 可以办理600 笔业务，每个窗口办理单笔业务的用时均相同。现对该办事大厅进 行流程优化，增设2 个与以前相同的办事窗口，且每个办事窗口办理每笔业务的 用时缩短到以前的2/3。问优化后的办事大厅办理6000 笔业务最少需要多少天？ A.8 B.10 C.12 D.15 【解析】拓展2.问优化后的办事大厅办理6000 笔业务最少需要多少天，办 事大厅是为老百姓服务的，根据公职思维，时间越短越好，选择A 项。【选A】 【拓展3】（2023 国考）农科院在某村287 名淡水鱼养殖人员中开展防病培 训和育种培训。已知参加防病培训的养殖人员中，参加育种培训的人数比未参加 的多21%；参加育种培训的养殖人员中，参加防病培训的人数比未参加的多76 人。问共有多少人未参加任何一项培训？ A.21 B.23 C.25 D.27 【解析】拓展3.开展防病培训和育种培训，是好事，需要更多人参加培训， 问共有多少人未参加任何一项培训，未参加培训的人是越少越好，猜测A 项。 【选 A】 15 16 遇见不一样的自己 Be your better self
