义务教育教科书
七年级 上册
义务教育教科书
亲爱的同学：
祝贺你圆满完成了小学阶段的学习，开启七年级的学习之旅。
七年级的数学知识既丰富又充满乐趣。请翻开这本全新的数学教材，快乐地
寻找其中的数学规律，探究其中的数学原理，学会用数学语言表达自己的思想。
数，是数学学习的基本内容。小学时你认识了自然数、分数，本学期你将
认识有理数。数的范围在逐渐扩大。
由数到式，是数学的一大飞跃。代数式的学习，将使你学会如何表达数量
之间的关系和规律。在认识最简单的代数式——整式的基础上，你将研究整式
的加法和减法运算。
方程，是解决生活实际问题的重要数学工具。本学期你将进入方程的神秘
殿堂，学会找出现实问题中的等量关系，用理性思维分析、解决实际问题，感
受数学与现实世界的联系。
几何，是数学语言的图形表达。各式各样的几何图形将现实世界与数学世
界联系起来。古人在土地测量、天文观测等实践中，积累了丰富的几何知识，
创造了几何学。本学期，你将进一步认识并研究基本的几何图形，学习用几何
的方法探寻宇宙奥秘。
数学不仅是运算和推理的工具，还是可以用来表达和交流的语言。希望你
在观察与发现、思考与交流、概括与表达、探究与挑战的学习过程中，不断积
累数学活动的经验，逐渐学会发现、提出、分析和解决问题，形成和提升数学
核心素养，在今后的学习与生活中能够运用数学方法解决问题，快乐成长。
新学期寄语
MULU
目录
1
第2 章 有理数的运算
2.1 有理数的加法与减法
27
2.2 有理数的乘法与除法
38
2.3 有理数的乘方
47
2.4 有理数的混合运算
54
章小结
57
第3 章 代数式
3.1 用字母表示数
63
3.2 代数式
67
3.3 代数式的值
71
3.4 生活中的常量与变量
74
章小结
78
第1 章 有理数
1.1 正数和负数
3
1.2 有理数
7
1.3 数轴
10
1.4 相反数与绝对值
14
1.5 有理数的大小
19
章小结
22
2
第5 章 一元一次方程
5.1 认识方程
101
5.2 等式的基本性质
105
5.3 一元一次方程的解法
108
5.4 一元一次方程与实际问题
116
章小结
126
第6 章 基本的几何图形
6.1 图形的认识
131
6.2 线段、射线和直线
136
6.3 线段的比较与运算
142
6.4 角
146
6.5 角的比较与运算
152
6.6 余角和补角
155
章小结
158
综合与实践
1 你了解我国古代的数学智慧吗
161
2 如何设计营养食谱
164
第4 章 整式的加法与减法
4.1 整式
83
4.2 合并同类项
87
4.3 去括号
91
4.4 整式的加法与减法
94
章小结
97
内容提要
◆ 有理数
◆ 数轴、相反数、绝对值
◆ 有理数的大小
第1 章 有理数
数与式
相反意义
的量
正数、零
……
有理数
负数
下面是我国部分城市1 月某天的气温预报。
观察上图，图中出现了一些负数。我国是世界上最早认
识和使用负数的国家，早在两千多年前，我国古人已经在生产
和生活中使用负数。如，以收入为正，支出为负；以盈余为
正，亏欠为负；以增产为正，减产为负。我国古代数学名著
《九章算术》在“方程”一章中第一次“构造”出正数、负数，
并给出了正数、负数的运算法则。在本章中，我们将认识、理
解负数，并将对数的认识扩充至有理数的范围，研究数的分类、
表示及大小关系等。
乌鲁木齐 -10～-2 ℃
兰 州 -5～6 ℃
哈尔滨 -19～-7 ℃
拉 萨 -6～6 ℃
北 京 -6～7 ℃
济 南 0～9 ℃
广 州 11～18 ℃
上 海 4～11 ℃
3
为了记录物体的个数或顺序,产生了自然数;为了表示分配、测量的结果,
产生了分数和小数。由于生产和生活的需要,人们对数的认识在不断地深入。
(1)消防战士在零上70
℃的火场中救援,边防战士在零下40
℃的严寒天
气中巡逻。
(2)小亮妈妈某一天的账户记录显示收入92元,支出63.8元。
(3)小亮从天安门出发向东骑行了4
km,小莹从天安门出发向西骑行了
4
km。
零上的温度与零下的温度、收入的钱数与支出的钱数、向东的路程与向西
的路程,它们都是具有相反意义的量。
(1)如何表示具有相反意义的量?
章引言中的-5
℃表示零下
5
℃,6
℃表示零上6
℃。
为了表示具有相反意义的量,可以把其中一种意义的量规定为正,用符号
“+”表示;把与其意义相反的量规定为负,用符号“-”表示。例如,用
+70
℃表示零上70
℃,用-40
℃表示零下40
℃;用+92元表示收入92元,
用-63.8元表示支出63.8元;用+4
km表示向东骑行4
km,用-4
km表示向
西骑行4
km。
4
(2)你还能举出类似的例子吗?
我国第七次人口普查与第六次人口普查相比,山
东省人口增长5.99%,山西省人口减少2.23%。可
以用+5.99% 表示山东省人口增长5.99%,用
-2.23%表示山西省人口减少2.23%。
像+70,+92,+4,+5.99%这样的数叫作正数(positive
number)。符
号“+”称为正号,读作“正”,如“+70”读作“正七十”。一般来说,
“+”可以省略。
像-40,-63.8,-4,-2.23%这样的数叫作负数(negative
number)。
符号“-”称为负号,读作“负”,如“-40”读作“负四十”。
0既不是正数也不是负数。
0可以表示“没有”,也可以表示一个确定的量。例如,0
℃是一个确定的
温度。
(1)神舟飞船在太空飞行时,向阳的一面舱外温度超过100
℃,
背阳的一面舱外温度低于-100
℃。-100
℃表示什么?
(2)我国“极目一号”Ⅲ型浮空艇最大升空高度高于海平面9
032
m, “奋
斗者”号载人潜水器最深潜水深度低于海平面10
909
m。如果用正数表示高于
海平面的高度,那么高于海平面9
032
m怎样表示? 低于海平面10
909
m呢?
解:(1)-100
℃表示零下100
℃。
(2)高于海平面9
032
m可表示为+9
032
m;低于海平面10
909
m可表示
为-10
909
m。
筷子是我国的传统餐具。某种筷子的长度为240
mm,该产品合格
的标准为240
mm±2
mm。这里的“240
mm±2
mm”表示什么?
解:如果筷子的长度超出240
mm,则超出部分不多于2
mm;如果筷子的
长度不足240
mm,则不足部分不多于2
mm。
5
1.说出下列叙述中正数、负数各表示什么。
(1)某家用冰箱冷藏室的温度设置为+4
℃,冷冻室的温度设置为-18
℃;
(2)珠穆朗玛峰的海拔为+8
848.86
m,吐鲁番盆地的海拔为-154.31
m。
2.用正数、负数表示下列问题中具有相反意义的量。
(1)如果将增长记为正,那么超市零售额同比增长9.8%记作
,同比下
降0.4%记作
;
(2)如果将弹簧伸长记为正,那么弹簧伸长5
cm记作
,缩短3
cm记作
;
(3)水文站在记录水位变化时,如果将水位上升记为正,那么水位上升25
cm记
作
cm,水位下降18
cm记作
cm。
3.下列各数哪些是正数? 哪些是负数?
-37, +81, -0.005, -2
3, 0, +4.23, -16.3, 0.618, +9
4, -11.57。
复习巩固
1.用正数、负数表示下列叙述中具有相反意义的量:
(1)向油罐车里注入汽油4
t,放出汽油18
t;
(2)某小微企业去年亏损20万元,今年盈利35万元;
(3)7月原油价格较上月下降0.4%,较上年同期上涨9.6%。
2.把下列各数分别填在相应的大括号里(将各数用逗号分开):
-8, 4.7, +63, -5
6, 3.14, 12%, -0.85, -200。
正数:{ …};
负数:{ …}。
3. “一个数不是正数就是负数。”这句话对吗? 为什么?
6
拓展延伸
4.古筝是我国的民族乐器之一。为了保持音准,弹奏者常使用调音器对每根琴弦进
行调音(调音器指针指在0处为标准音)。下图是某古筝调音器软件的界面,指针
指向40表示音调偏高,需放松琴弦。当指针指向-30时,需拧紧琴弦还是放松
琴弦?
(第4题)
5.一个点在水平直线上移动,如果规定向右移动为正,那么:
(1)该点向右移动3
cm应记作什么?
(2)该点向左移动5
cm应记作什么?
(3)该点移动-3.5
cm表示什么?
(4)该点移动0
cm表示什么?
6. “一只闹钟的指针走动一昼夜误差不超过2
s”的含义是什么? 你能用正、负数把
它表示出来吗?
探索创新
7.下表给出了某班级6名同学的身高数据(单位:cm):
159, 162, 160, 154, 166, 165。
(1)这6名同学的平均身高是多少?
(2)以平均身高为标准,用正数表示高于平均身高的部分,用负数表示低于平均
身高的部分,将它们对应的数填在下面表格内:
身高/cm
159
162
160
154
166
165
高于(低于)平均身高/cm
7
在小学阶段,我们学习了自然数、小数和分数。随着负数的引入,数的范
围扩大了,如何将这些数分类呢?
下面是我们学习过的一些数:
+70, -40, 92, -63.8, +4, -4, 0, +5.99%, 1
3,-9
40。
你还能再列举出一些数吗?
如何将数进行分类?
可以按照是否为整数进行分类。
可以根据数的符号进行分类。
正整数,如1,2,3,4,…,70,…;
零,0;
负整数,如-1,-2,-3,…,-40,…;
正分数,如1
3,0.6,11
7,+5.99%,…;
负分数,如-3
4,-9
40,-2.23%,-63.8,…。
8
正整数、零和负整数统称整数,正分数和负分数统称分数。整数和分数
统称有理数(rational
number)。
有理数
整数
正整数
零
负整数
分数
正分数
负分数
下列数中哪些是整数? 哪些是分数?
+5, -7, 1
2, +5.2, 0, 89, -3
4, 8
5, -1.5, -100。
解:+5, -7, 0, 89, -100是整数。
1
2, +5.2, -3
4, 8
5, -1.5是分数。
你还能按照其他标准对有理数进行分类吗?
1.把下列有理数分别填在相应的大括号里(将各数用逗号分开):
-8, 10.5, -3
2, 0, 13, -0.5, 6。
整数:{ …};
分数:{ …}。
2.有没有这样的有理数,它既不是正数,也不是整数? 如果有,请写出一个。
9
复习巩固
1.在下表中适当的空格内画“√”:
整数
分数
正数
负数
5
√
√
-11
6
2.76
0
-9
2.把下列有理数分别填入相应的大括号内(将各数用逗号分开):
+11, -0.6, -7, 3
8, -19, 76.5, -5
2, 0, 2
030。
整数:{ …};
分数:{ …};
正数:{ …};
负数:{ …}。
拓展延伸
3.下列各数,哪些是正整数? 哪些是负整数? 哪些是正分数? 哪些是负分数?
-1
3, 76, -33, 5
7, 18%, -3.6, -0.12, 0.58, 0, -365。
探索创新
4.把下列各数按照不同的标准进行分类:
-3.4, -7
5, 0.4, 13%, 0, 19, -1
6, -7, 1
3。
10
在小学阶段,我们可以用直线上依次排列的点来表示自然数。引入负数后,
能否用类似的方式表示有理数呢?
某数学活动小组参加绘制地铁线路图的活动,任务是绘制我国首条地铁线
路———北京地铁1号线的线路图。他们发现该地铁线呈东西走向,并测得王府
井站和建国门站分别位于天安门西站东侧1.8
km和3.8
km处,西单站位于天
安门西站西侧1.2
km处。你能画图表示它们的位置吗?
如图1.3-1,画一条直线表示北京地铁1号线,从左到右表示从西到东的方
向。在直线上取一点O 表示天安门西站的位置,规定1个单位长度(线段OA 的
长)代表1
km的长度。在点O 的右侧,与点O 的距离为1.8个单位长度和3.8
个单位长度的点B 和点C,分别表示王府井站和建国门站的位置;在点O 的左
侧,与点O 的距离为1.2个单位长度的点D 表示西单站的位置。
图1.3-1
如何用数表示西单站、王府井站、建国门站和天安门西站的相对位置?
“东”与“西”、“左”与“右”具
有相反意义。我们可以用正数、负数和
零分别表示各地铁站的相对位置。
11
如图1.3-2,天安门西站的位置用0表示,规定向东为正,那么西单站的位
置可以用-1.2表示,王府井站的位置可以用1.8表示,建国门站的位置可以用
3.8表示。
图1.3-2
用直线上的点可以表示正数、0和负数,具体做法如下:
①
如图1.3-3,画一条直线(一般把它画成水平的),在这条直线上任意取
一点表示数0,这个点叫作原点;
②
规定自原点开始一侧的方向为正方向(习惯上取向右的方向为正方向),
那么另一侧的方向就是负方向;
③
选取适当的长度作为单位长度。
按照取定的单位长度,在直线上从原点向正方向,每隔一个单位长度取一
个点,依次表示1,2,3,…;从原点向负方向,用类似的方法依次表示-1,
-2,-3,…。
图1.3-3
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴(number
axis)。
建立了数轴,任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示出来。
画出数轴,并用数轴上的点表示下列各数:
2, -2.5, 0, 10
3, -4。
解:如图1.3-4所示。
图1.3-4
12
1.写出下图中数轴上的点A,B,C,D,E 表示的有理数:
(第1题)
2.画出数轴,并用数轴上的点表示下列各数:
-6, +3, 4.5, 0, -1
4, -3。
复习巩固
1.如图,写出数轴上的点A,B,C,D,E 表示的有理数:
(第1题)
2.画出数轴,并用数轴上的点表示下列各数:
-2, -5
2, -1, 1
4, 3.5。
拓展延伸
3.点A 在数轴上距原点4个单位长度,且位于原点左侧。若一个点从点A 向右移动
5个单位长度,再向左移动3个单位长度到达点B,写出点B 所表示的数。
探索创新
4.小亮、小莹、大刚三位同学的家和学校都在一条东西走向的马路上。小莹家在学
校东侧1.2
km处,大刚家在小莹家西侧3
km处,小亮家在小莹家东侧0.8
km
处。以学校为原点,以向东为正方向建立数轴,分别写出表示三位同学家和学校
的点所表示的数。如果以小莹家为原点,以向东为正方向呢(1个单位长度表示实
际距离1
km)?
13
《九章算术》中的“正负术”
认识负数的历史
有关正负数的意义和正负数加减
运算的记载,最早出现在《九章算术》
中。其中的“方程”一章明确引进了
负数,并给出了正数、负数的加减运
算法则,称为“正负术”。这是世界数
学史上第一次突破了正数的范围,对
数学的发展作出了巨大贡献。
3世纪,我国魏晋时期的数学家
刘徽(约225—约295)给《九章算术》作注时,进一步给出了正数、负数的定
义:两算得失相反,要令“正” “负”以名之。正算赤,负算黑。否则以邪
正为异。意思是说,在计算过程中遇到具有相反意义的量,要用正数和负数
来区分它们,并用红色算筹(用于算数的小棒)表示正数,黑色算筹表示负
数。如果使用同色的算筹,正列的算筹表示正数,斜列的算筹表示负数。13
世纪,我国金元时期的数学家李冶(1192—1279)首创了在算筹的个位数上用
斜线画一杠表示负数的方法,这是世界上最早的负数记号。
国外最先提到负数的是7世纪印度的数学家婆罗摩笈多(Brahmagupta,
约598—约660)。大约在628年,他提出了负数的运算法则,并用小点或小
圈记在数字上方表示负数。许多西方数学家虽然在数学理论研究中遇到过负
数,但是并不理解,认为负数根本不存在。直到17世纪,法国数学家笛卡
儿(René
Descartes,1596—1650)创立了坐标法研究解析几何,负数才有了几
何解释和实际意义,并逐渐得到广泛应用。
14
数轴上的点可以表示数,由此我们可以借助数轴进一步研究与数有关的
问题。
观察4和-4,有什么不同点和相同点? -5
2与5
2呢?
4与-4,-5
2与5
2,每组数中的
两个数只有符号不同,其他都相同。
像4与-4,-5
2与5
2这样,只有符号不同的两个数叫作互为相反数,其中
一个数叫作另一个数的相反数。例如,4与-4互为相反数。-4的相反数是4,
4的相反数是-4。特别地,0的相反数是0。
一般地,a的相反数是-a,a可以是正数、负数,也可以是0。例如,
当a=2时,2的相反数是-2,即-a=-2;
当a=-2时,-2的相反数是2,即-(-2)=2。
(1)在数轴上画出表示数4与-4的点,这两个点与原点有怎样的位置关
系? 与原点的距离各是多少? 表示-5
2与5
2的点呢?
15
在数轴上,表示4与-4的两个点位于原点
的两侧,并且与原点的距离相等;表示-5
2与5
2
的两个点也一样(图1.4-1)。
图1.4-1
(2)将一个非零数与它的相反数分别用数轴上的点表示,这两点与原点之
间有怎样的关系?
在数轴上,表示一个非零数与它的相反数的两个点分别位于原点两侧,
并且与原点的距离相等。
在数轴上表示下列各数及其相反数:
(1)2; (2)-3。
解:2的相反数是-2,-3的相反数是3(图1.4-2)。
图1.4-2
化简:
(1)- +2
5
;
(2)-(-7.6)。
解:(1)- +2
5
=-2
5。
(2)-(-7.6)=7.6。
16
1.写出下列各数的相反数:
-108, 7
3, 0, -0.6, 97。
2.化简:
(1)-(-81); (2)-(+3.6); (3)+ -3
4
。
在数轴上,互为相反数的两个数所对应的点到原点的距离相等。那么,这
两个点到原点的距离如何表示呢?
如图1.4-3,在数轴上表示5与-5的点到原点的距离分别是多少? 表示-3
与3的点呢?
图1.4-3
在数轴上,表示数a 的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(absolutevalue),
记作|a|。
例如,数轴上表示5与-5的点到原点的距离均为5个单位长度,所以5和
-5的绝对值都是5,即|5|=5,|-5|=5。
显然,|0|=0。
(1)完成下列填空,你能从中发现什么?
|4|=
; 2
3 =
; |9.8|=
;
|-4|=
; -2
3 =
; |-9.8|=
。
17
互为相反数的两个数的绝对值相等。
一个数的绝对值是正数或0。
(2)一个数的绝对值与这个数有什么关系?
正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
求绝对值等于7的数。
解:如图1.4-4,到原点的距离为7的点有两个,即表示+7的点A 和表示
-7的点B,所以绝对值等于7的数是+7和-7。
图1.4-4
1.写出下列各数的绝对值:
5, -9, -4.2, +5
12, 0, -14
3, 80。
2.回答下列问题:
(1)绝对值等于4的数有几个?
(2)绝对值等于0的数有几个?
(3)有没有绝对值等于-3的数? 为什么?
18
(第6题)
复习巩固
1.填表:
a
-1
-2
3
-a
-0.43
0
13
2.写出下列各数的绝对值:
5.8, -11
2, -120, 3
20, 0。
3.填空:
(1)绝对值是12的数为
;
(2)绝对值是8.5的负数为
。
4.化简:
(1)- +3
4
;
(2)-(-25);
(3)+|-17|;
(4)-|+6.1|。
拓展延伸
5.下列说法正确吗? 如果不正确,请举例说明:
(1)有理数的绝对值都是正数;
(2)符号不同且绝对值相等的两个数互为相反数;
(3)如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等;
(4)如果两个数互为相反数,那么这两个数的绝对值相等。
6.如图,数轴上的点A,B,C,D 分别表示有理数-3,x,3,y。
(1)在数轴上画出原点O;
(2)在数轴上画出表示-x 的点E;
(3)四个数-3,x,3,y中,哪个数的绝对值最大?
探索创新
7.某天上午,一辆出租车以人民公园为出发点,在南北走向的公路上运营。如果规
定向北为正,向南为负,那么该出租车这天上午的行程如下(单位:km):
-14, +13, +13, -18, -16, +21, -13, +15。
已知该出租车平均每千米油耗的费用为0.6元,则这天上午油耗的费用共多少元?
19
我们已经能比较自然数、小数及分数的大小。数的范围扩充至有理数后,
如何比较有理数的大小?
1月某天,北京、济南、乌鲁木齐、兰州、上海这五个城市的最低气温如
下表:
城市
北京
济南
乌鲁木齐
兰州
上海
最低气温/℃
-6
0
-10
-5
4
你能将五个城市的最低气温按从低到高的顺序排列吗?
从温度计可以看出,这五个城市的
最低气温按从低到高的顺序排列如下:
-10, -6, -5, 0, 4。
(1)如图1.5-1,将表示上述五个城市最低气温的数表示在数轴上,这些数
的对应点的排列顺序有什么规律?
图1.5-1
20
表示气温由低到高的点在温度计
上是自下而上依次排列的,在数轴上
是自左向右依次排列的。
(2)如何利用数轴比较有理数的大小?
在数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大。
(3)对于正数、0、负数,它们之间存在怎样的大小关系? 两个负数的大小
与它们的绝对值有什么关系?
正数大于0,负数小于0,正数大于负数。
两个负数,绝对值大的反而小。
比较下列各组中两个数的大小:
(1)3, -4; (2)-7.2, 0; (3)-3
4, -4
5。
解:(1)因为正数大于负数,所以3>-4。
(2)因为负数小于0,所以-7.2<0。
(3)因为-3
4 =3
4=15
20, -4
5 =4
5=16
20,15
20<16
20,
所以-3
4>-4
5。
1.在数轴上表示下列各数,并用“<”把它们连接起来:
-3.5, 3, 0, 4
5, -2。
2.比较下列各组中两个数的大小:
(1)+3
5,-4
5; (2)-6
7,0; (3)-1.1,-1.09。
21
(第6题)
复习巩固
1.比较下列各组中两个数的大小:
(1)-(-1),-8; (2)- -8
21
,+ -3
7
。
2.比较下列数的大小,并用“<”把它们连接起来:
0, -3, 1
3, -1, 1.5。
3.下表是某年2月我国几个城市的月平均气温,请将各城市的月平均气温按从高到
低的顺序排列。
城市
北京
太原
哈尔滨
武汉
上海
南京
月平均气温/℃
-2.2
-3.1
-15.4
7
4.6
5
拓展延伸
4.回答下列问题:
(1)有没有最小的正整数? 有没有最小的正有理数?
(2)有没有最大的负整数? 有没有最大的负有理数?
(3)有没有绝对值最小的数? 有没有绝对值最大的数?
5. (1)写出所有绝对值小于5的整数;
(2)写出所有大于-5
2并且小于4的整数。
探索创新
6.如图,在数轴上,点A 表示有理数a,点B 表示有理数b。把a,-a,b,-b
用“<”连接起来。
22
1.如何用正数和负数表示具有相反意义的量? 请举例说明。
2.将有理数按不同的标准进行分类。
3.什么是数轴? 数轴在建立“数”与“点”之间的联系上起到怎样的作用?
4.在数轴上,如何通过表示两个数的点的位置关系,比较这两个数的大小?
互为相反数的两个数所表示的点的位置有什么关系?
5.在一个数的前面添“+”号,仍与原数相同;在一个数的前面添“-”
号,就成为原数的相反数。请举出几个具体的例子。
6.如何求一个数的绝对值? 一个数的绝对值有什么特点?
7.怎样比较有理数的大小? 比较两个负数的大小与比较两个正数的大小有
什么联系和不同?
23
复习巩固
1.把下列各数分别填在相应的大括号里(将各数用逗号分开):
6.1, -22
7, 0, -0.01, -3, 3
5, -2.5, 85, -1
002, 32.76。
正数:{ …};
负数:{ …};
整数:{ …};
分数:{ …}。
2.在数轴上画出表示下列各数的点,并把这些数用“<”连接起来:
-3, 2, 5, 0, -7
2, -4, 1.5。
3.写出下列各数的相反数与绝对值:
5
4, -3, 0, 2
3, -6。
4.化简:
(1)-(-0.618); (2)-(+32);
(3)-|+8.3|;
(4)- -8
3
。
5.比较下列各组数的大小:
(1) 1
100,-1
10;
(2)0,-0.9;
(3)-5
6,-6
5;
(4)-3.3,-10
3。
6.什么数的相反数等于它本身? 什么数的相反数小于它本身? 什么数的相反数大于它
本身?
7.什么数的绝对值等于它本身? 什么数的绝对值大于它本身? 有没有绝对值小于它本身
的数?
8.已知A,B 是数轴上的两点,它们与原点的距离分别是4和5。A,B 两点间的距离
是多少?
24
拓展延伸
9.如图,一个点从数轴上的原点开始,先向右移动2个单位长度,再向左移动3个单位
长度,那么终点表示的数是-1。
(第9题)
已知A,B 是数轴上的点,分别表示数2和-3。请完成下列题目:
(1)将点A 向左移动5个单位长度,再向右移动2个单位长度,那么终点表示的数是
多少?
(2)将点B 向右移动3个单位长度,再向右移动4个单位长度,那么终点表示的数是
多少?
10.乒乓球国际比赛用球直径为40
mm。质检员检测了6个乒乓球的直径,并做了如下
记录,超过标准的毫米数记为正数,不足标准的毫米数记为负数:
+0.2, +0.1, +0.12, -0.14, -0.24, -0.3。
哪个球的直径最接近标准? 为什么?
11.分别写出符合下列条件的所有数:
(1)大于-5.9的负整数;
(2)绝对值小于2.01的整数;
(3)绝对值大于5且小于8的整数。
探索创新
12.如果a,b都是有理数,且a>b,那么|a|一定大于|b|吗? 如果|a|>|b|,那么a
一定大于b吗? 请举例说明。
13.如图,如果有理数a的绝对值是b的绝对值的3倍,那么点A,B,C,D 中哪些点
可能是数轴的原点?
(第13题)
内容提要
◆ 有理数的加法与减法
◆ 有理数的乘法与除法
◆ 有理数的乘方
◆ 科学记数法与近似数
第2 章 有理数的运算
有理数的运算
有理数
数与式
正数、零
的运算
……
为开展生活垃圾分类工作，小莹所住的小区以有偿的方式
对可回收物进行回收。小莹记录了每周投放可回收物、购买
文具的收支情况，其中收入为正，支出为负。下表是她近两
周的收支情况（单位：元）。
时间
项目
可回收物
文具
第一周
+5
-2
第二周
+3
-6
这两周投放可回收物的总收入是多少？购买文具的总支出
是多少？每周的结余分别是多少？
在认识了有理数的基础上，我们将在本章中进一步研究有
理数的加、减、乘、除、乘方运算，并运用有理数的运算解
决问题。
27
在小学阶段,我们已经学习了自然数、小数及分数的加法运算。引入负数
后,如何进行有理数的加法运算呢?
观察章引言中小莹的收支情况记录表。
时间
项目
可回收物
文具
第一周
+5
-2
第二周
+3
-6
这两周投放可回收物的总收入如何用算式表示? 这两周购买文具的总支出
如何用算式表示? 每周的结余呢?
这两周投放可回收物的总收入可以用算式(+5)+(+3)表示,购买文具的
总支出可以用算式(-2)+(-6)表示。每周的结余分别用算式(+5)+(-2)和
(+3)+(-6)表示。
我们知道
(+5)+(+3)=+8。
①
这个运算可以用数轴表示,如图2.1-1。
图2.1-1
计算这两周购买文具的总支出与每周的结余时,列出的算式分别是两个负
数相加、正数和负数相加。如何计算呢?
28
(1)如何计算(-2)+(-6)呢?
-2表示第一周支出2元,-6表示第二周支出6元,两周共支出8元。所
以(-2)+(-6)的结果为-8。
用算式表示为
(-2)+(-6)=-8。
②
这个运算可以用数轴表示,如图2.1-2。
图2.1-2
(2)如何计算(+5)+(-2)和(+3)+(-6)呢?
+5表示第一周收入5元,-2表示支出2元,这周结余3元;+3表示第
二周收入3元,-6表示支出6元,这周结余-3元。
用算式表示为
(+5)+(-2)=+3。
③
(+3)+(-6)=-3。
④
(3)如果小莹第三周收入和支出均为6元,那么这周的结余是多少?
这周结余0元。用算式表示为
(+6)+(-6)=0。
⑤
(4)如果小莹第三周收入8元,支出0元,那么这周的结余是多少?
这周结余8元。用算式表示为
(+8)+0=+8。
⑥
如果小莹第三周支出8元,收入0元,那么这周的结余是多少?
这周结余-8元。用算式表示为
(-8)+0=-8。
⑦
(5)举几个与算式①~⑦类似的例子,归纳有理数的加法法则。
29
有理数加法法则
同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大
的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
一个数与0相加,仍得这个数。
计算:
(1)(-5)+(-9); (2)(+11)+(-12.1);
(3)(-2.4)+(+2.4);
(4)(-3.8)+0。
解:(1) (-5)+(-9) (同号两数相加)
=-(5+9)
(取相同的符号,并把绝对值相加)
=-14。
(2) (+11)+(-12.1)
(绝对值不相等的异号两数相加)
=-(12.1-11)
(取绝对值较大的加数的符号,并用较大
=-1.1。
的绝对值减去较小的绝对值)
(3) (-2.4)+(+2.4)=0。
(互为相反数的两个数相加得0)
(4) (-3.8)+0=-3.8。
(一个数与0相加,仍得这个数)
1.计算:
(1)(-3)+(-5); (2)(-3)+5; (3)3+(-5);
(4)(-5)+5;
(5)(-5)+15;
(6)(-5)+25;
(7)6+(-5);
(8)6+(-6);
(9)6+(-7)。
2.计算:
(1)(-18)+(-32); (2)(-15.3)+(+14.9); (3) -5
3
+ +7
6
。
3.列式计算:
(1)比-30大18的数;
(2)-3
2的相反数与-2
3的和。
30
在小学阶段,我们学过加法交换律和加法结合律,它们在有理数范围内还
成立吗?
(1)比较每组中两个加数的位置及运算结果,能得到什么结论?
①
(-1)+(-2)=
, (-2)+(-1)=
;
②
(-3)+(+6.5)=
,(+6.5)+(-3)=
。
再任取两个数相加,并交换加数的位置,还能得到相同的结论吗?
(2)任取三个有理数a,b,c,分别计算(
a+b)+c与a+(
b+c),能得到
什么结论?
在有理数范围内,加法交换律和加法结合律仍然成立。
加法交换律 两个数相加,交换加数的位置,和不变,即a+b=b+a。
加法结合律 三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,
和不变,即(
a+b)+c=a+(
b+c)。
三个以上有理数相加,既可以根
据需要交换加数的位置,也可以先把
其中的几个数相加。
计算:
(1)(+23)+(-12)+(+7); (2) -1
3
+ -5
2
+ -2
3
+ +1
2
。
解:(1) (+23)+(-12)+(+7)
=(+23)+(+7)+(-12) (加法交换律)
=[(+23)+(+7)]+(-12)
(加法结合律)
=(+30)+(-12)
(有理数加法法则)
=18。
(有理数加法法则)
31
(2) -1
3
+ -5
2
+ -2
3
+ +1
2
= -1
3
+ -2
3
+ -5
2
+ +1
2
=
-1
3
+ -2
3
+
-5
2
+ +1
2
=(-1)+(-2)
=-3。
在一次机器人测试中,机器人要从起点开始连续移动6次,移动要
求依次为:
前进0.6
m,前进2.2
m,后退1.6
m,
后退2.4
m,前进2.8
m,后退1.8
m。
机器人经过6次移动后,从起点前进(或后退)了多少米?
解:规定前进为正,后退为负。由题意,得
(+0.6)+(+2.2)+(-1.6)+(-2.4)+(+2.8)+(-1.8)
=[(+0.6)+(-1.6)]+[(+2.2)+(+2.8)]+[(-2.4)+(-1.8)]
=(-1)+(+5)+(-4.2)
=-0.2。
所以,经过6次移动后,机器人从起点后退了0.2
m。
1.计算:
(1)(+3)+(-13)+(+7);
(2)(+0.56)+(-0.9)+(+0.44)+(-8.1);
(3) +4
5
+ -5
6
+ -3
5
+ +1
6
。
2.一批箱装苹果的标准质量是每箱10
kg。现从中随意抽取10箱进行检验,超过标
准质量的千克数记作正数,不足标准质量的千克数记作负数,记录如下:
+0.5, +0.3, -0.2, 0, +0.2, -0.5, 0, +0.2, -0.3, -0.1。
这10箱苹果的总质量是多少?
32
在小学学习减法运算时,不能用较小的数减去较大的数。引入负数后呢?
甲地某天最低气温是7
℃。当天发布大风降温预报,第二天气温将下降
10
℃。第二天的最低气温是多少?
第二天的最低气温可以
用以下算式表示:
7-10。
如何计算7-10呢?
减法是加法的逆运算,计算7-10,就是求一个数使它与10相加得7。
因为
(-3)+10=7,
所以
7-10=-3。
①
另一方面,
7+(-10)=-3。
②
(1)比较①和②,有什么发现?
(2)算一算下列各式,能得到什么结论?
6-(-3)=
; 6+3=
;
(-2)-5=
;
(-2)+(-5)=
;
33
(-12.5)-(-3)=
;
(-12.5)+3=
;
0-4
3=
;
0+ -4
3
=
。
(3)你能归纳出有理数的减法法则吗?
有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数,即a-b=a+(-b)。
在有理数范围内,不仅可以用较大的数减去较小的数,也可以两个相等的
数相减,还可以用较小的数减去较大的数。
计算:
(1)12-17; (2)(-3.2)-(-5.8);
(3) -3
2
- +1
4
;
(4)0-(-37.5)。
解:(1)12-17=12+(-17)=-5。
(2)(-3.2)-(-5.8)=(-3.2)+(+5.8)=2.6。
(3) -3
2
- +1
4
= -3
2
+ -1
4
=-7
4。
(4)0-(-37.5)=0+(+37.5)=37.5。
1.计算:
(1)11-27; (2)(-35)-(-28);
(3)(-1.2)-(+2.1);
(4)(-0.618)-(-0.618);
(5) -1
8
- +1
2
;
(6)0- -1
6
。
2.标准大气压下,酒精的凝固点约是-117
℃,水银的凝固点约是-39
℃。酒精的
凝固点比水银的凝固点约低多少度?
34
我们已经学习了有理数的加法与减法运算,如何进行有理数的加减混合
运算?
(1)如何计算(+12)-(-7)+(-5)-(+30)?
按照有理数减法法则,可以把减法运算转化为加法运算,这样就可以把有
理数的加减混合运算统一成加法运算。
(+12)-(-7)+(-5)-(+30)
=(+12)+(+7)+(-5)+(-30) (有理数减法法则)
=(+19)+(-35)
=-16。
(2)在上面计算过程的第一步中,将原算式转化成了求有理数和的算式,
这个求和的算式中各个加数分别是哪些数?
算式(+12)+(+7)+(-5)+(-30)是+12,+7,-5,-30的和。为了
书写简便,通常把括号及括号前边的加号省略不写,变为下面的形式:
12+7-5-30。
这个式子读作“正12、正7、负5、负30的和”,也可以读作“12加7减5
减30”。
这样一来,上面的计算过程可以写成:
(+12)-(-7)+(-5)-(+30)
=(+12)+(+7)+(-5)+(-30)
=12+7-5-30
=19-35
=-16。
有理数的加减混合运算的一般步骤是先将有理数加减混合运算统一成加
法运算,省略括号及括号前面的加号后,再按照有理数的加法运算律和加法
法则进行运算。
35
计算:
(1)-4.2-(-5.7)+(-8.4)-(-10); (2)2
3-3
8+1
3-21
8。
解:(1) -4.2-(-5.7)+(-8.4)-(-10)
=-4.2+5.7-8.4+10
=5.7+10-4.2-8.4
=15.7-12.6
=3.1。
(2) 2
3-3
8+1
3-21
8
=2
3+1
3-3
8-21
8
=1-3
=-2。
1.计算:
(1)(-7)-(+6)+(-8)-(-15);
(2)(-0.9)+(-1.3)-(-2.1)-(+4.7)。
2.计算:
(1)15-30-17+21; (2)-1
4+5
6+2
3-1
2。
3.一艘潜艇从海平面下潜300
m,接着上升150
m,然后再下潜200
m。求此时潜艇
相对于海平面的位置。
复习巩固
1.计算:
(1)(-12)+(-28); (2)(+67)+(-73);
(3) +2
5
+ -3
5
;
(4) -1
2
+ +4
3
。
2.计算:
(1)(+7)+(-4)+(-7)+(+9);
(2) +1
2
+ -2
3
+ -1
2
+ -5
3
。
36
3.计算:
(1)(+8)-(-8); (2) -1
9
- +1
2
;
(3)13-37;
(4)-5.9-6.1。
4.中国最北的城市———漠河,在某周内每日最高、最低气温(单位:℃)如下图。
根据图中信息回答:在这周内,日温差最大的是哪天? 当天日温差为多少?
(第4题)
5.文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上。文具店在书店西侧
20
m处,玩具店在书店东侧100
m处。小亮从书店沿街向东走了40
m,接着又
向西走了60
m。此时小亮在什么位置?
6.计算:
(1)(+8)-(+3)+(-6)-(-9);
(2) +1
3
- +1
2
- -3
4
+ -2
3
;
(3)-8+12-16-23;
(4)18.25-1
7-73
4-6
7。
7.某中学足球队在三场比赛中,第一场5∶3胜,第二场2∶6负,第三场2∶2平。
求这三场比赛结束后该足球队的净胜球数。
拓展延伸
8.计算:
(1)-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1;
(2)1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14-15-16。
9.在数轴上,点P 表示有理数3.5。将点P 先向左移动3个单位长度,再向右移动
8.5个单位长度。
(1)这时点P 再向哪个方向移动多少个单位长度才能到达原点?
(2)把上述点P 从开始移动直至到达原点的这一过程用算式表示出来。
37
10.下表为国外几个城市与北京的时差(正数表示同一时刻比北京时间早的小时数,
负数表示同一时刻比北京时间晚的小时数)。
城市
东京
巴黎
伦敦
纽约
莫斯科
悉尼
时差/h
+1
-7
-8
-13
-5
+2
(1)北京时间1月11日23时,对应的巴黎时间是多少? 对应的悉尼时间呢?
(2)小莹的爸爸于北京时间1月11日23时从北京乘飞机,经过16
h的飞行到达
纽约。到达纽约时,北京时间与纽约时间分别是多少?
探索创新
11.
a,b是有理数,判断|a+b|与|a|+|b|的关系。
钟表面上的数字
如图2.1-3,钟表面上有4个数:3,6,9,12。你能在其中某些数的前
面添上负号,使添号后的4个数的和等于零吗?
图2.1-3
图2.1-4
如图2.1-4,钟表面上有12个数:1,2,3,…,12。你能在其中某些
数的前面添上负号,使添号后的12个数的和等于零吗?
例如,12+(-11)+(-10)+9+8+7+(-6)+(-5)+(-4)+3+
(-2)+(-1)=0,就是其中的一个答案。
还有其他方案吗? 从这些不同的方案中,你能发现什么规律?
38
在小学阶段,我们已经学习了自然数、小数及分数的乘法运算。引入负数
后,如何进行有理数的乘法运算?
(1)小莹连续3次投放可回收物,每次收入2元,共收入多少元?
每次收入2元,记作+2元。连续3次投放可回收物共收入6元,记作+6
元。用算式表示为:
(+2)×3=+6。
①
这个运算也可以用数轴表示,如图2.2-1。
图2.2-1
(2)小莹连续3次购买文具,每次支出2元,共支出多少元?
每次支出2元,记作-2元。连续3次购买文具共支出6元,记作-6元。
用算式表示为:
(-2)×3=-6。
②
这个运算也可以用数轴表示,如图2.2-2。
图2.2-2
(1)观察①和②,你发现了什么规律?
(+2)×3=+6
相反数 相反数
(-2)×3=-6
39
(2)类似地,算一算。
2×(-3)=
; (-2)×0=
。
(3)按照这种规律,你能算出(-2)×(-3)等于多少吗?
(-2)×3=-6
相反数
相反数
(-2)×(-3)=+6
(4)举几个类似的算式,归纳有理数的乘法法则。
有理数乘法法则
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
任何数与0相乘,积仍得0。
计算:
(1)(-4)×(-6); (2)2.5×(-4); (3) -1
5
×(-5)。
解:(1) (-4)×(-6) (同号两数相乘)
=+(4×6)
(积的符号为正,并把绝对值相乘)
=24。
(2) 2.5×(-4)
(异号两数相乘)
=-(2.5×4)
(积的符号为负,并把绝对值相乘)
=-10。
(3) -1
5
×(-5)=1。
像例1(3)这样, -1
5
×(-5)=1,我们说-1
5与-5互为倒数。与正有理
数倒数的意义相同,乘积是1的两个有理数互为倒数(reciprocal)。
计算:
(1)(-3.6)×(-2); (2)(+0.4)×(-125);
(3) -2
3
× -9
4
;
(4)6× -2
3
。
40
在有理数范围内,乘法交换律、乘法结合律以及乘法对加法的分配律还成
立吗?
(1)比较每组中两个因数的位置和运算结果,能得到什么结论?
①
(-2)×(-6)=
; (-6)×(-2)=
。
②
1
3× -2
5
=
;
-2
5
×1
3=
。
再任取两个数相乘,并交换因数的位置,还能得到相同的结论吗?
(2)任取三个有理数a,b,c,分别计算(
a×b)×c与a×(
b×c),能得到
什么结论?
三个有理数相乘,可以先把前两
个数相乘,也可以先把后两个数相乘。
(3)任取三个有理数a,b,c,计算(a+b)×c与a×c+b×c,能得到什
么结论?
乘法交换律 两个数相乘,交换因数的位置,积不变,即a×b=b×a。
乘法结合律 三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,
积不变,即(
a×b)×c=a×(
b×c)。
乘法对加法的分配律 一个数与两个数的和相乘,等于把这个数分别与
这两个数相乘,再把积相加,即a×(
b+c)=a×b+a×c。
41
计算: -3
4
×5×4
3×2。
解: -3
4
×5×4
3×2
= -3
4
×4
3×5×2 (乘法交换律)
=
-3
4
×4
3
×(5×2) (乘法结合律)
=(-1)×10
=-10。
写出下列算式的结果,与例2相比较,你能发现什么规律?
-3
4
×(-5)× +4
3
×(+2)=
;
-3
4
×(-5)× -4
3
×(+2)=
;
-3
4
×(-5)× -4
3
×(-2)=
。
几个非零数相乘,积的符号取决于负因
数的个数。当负因数的个数为奇数时,积为
负;当负因数的个数为偶数时,积为正。
计算: -2
15
× -36
5
× -25
24
。
解: -2
15
× -36
5
× -25
24
=-2
15×36
5×25
24 (确定积的符号,并将绝对值相乘)
=-1。
42
计算:36× 1
4-7
9+5
12
。
解: 36× 1
4-7
9+5
12
=36×1
4-36×7
9+36×5
12 (乘法对加法的分配律)
=9-28+15
=-4。
1.计算:
(1)(-25)×3×(-4);
(2) -7
8
×(-12)×8
7;
(3) -3
7
×1
6× -8
15
×(-21);
(4)(-200)×3.14×0×(-9)。
2.在括号中写出计算所依据的运算律。
(-0.4)×(-0.8)×(-1.25)×2.5
=-0.4×0.8×1.25×2.5
=-0.4×2.5×0.8×1.25 ( )
=-(0.4×2.5)×(0.8×1.25)
( )
=-1×1
=-1。
3.计算:
(1) 7
15-1
3-3
25
×75; (2) -16
7
×1.45+ -2
7
×(-1.45)。
43
在小学阶段,我们已经学习过正数的除法。引入负数后,如何进行有理数
的除法运算?
(1)如何计算(-6)÷(-3)?
除法是乘法的逆运算,计算(-6)÷(-3),就是求一个与-3相乘得-6
的数。
因为
2×(-3)=-6,
所以
(-6)÷(-3)=2。
①
(2)根据除法与乘法的关系计算下列各式:
(-6)÷3=
;
②
6÷(-3)=
;
③
0÷(-3)=
。
④
(3)举几个与算式①~④类似的例子,归纳有理数的除法法则。
有理数除法法则
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数都得0。
另一方面,我们知道
(-6)× -1
3
=2。
⑤
比较①和⑤,可以发现:
(-6)÷(-3)=(-6)×
÷变×
↓
-1
3
变为倒数
↑
。
44
有理数的除法运算可以转化为乘法运算,即除以一个不为0的数,等于乘
这个数的倒数。
计算:
(1)(-36)÷(-9); (2)5
4÷ -3
8
。
解:(1) (-36)÷(-9)
=+(36÷9) (两数相除,同号得正,并把绝对值相除)
=4。
(2) 5
4÷ -3
8
=5
4× -8
3
(除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数)
=-10
3。
计算:
(1)(-14)÷3.5÷ -1
2
; (2) -15
4
÷(-3)× -4
3
。
解:(1) (-14)÷3.5÷ -1
2
=(-4)÷ -1
2
=(-4)×(-2)
=8。
(2) -15
4
÷(-3)× -4
3
= -15
4
× -1
3
× -4
3
=-15
4×1
3×4
3
=-5
3。
你还有其他计算方法吗?
45
1.写出下列各数的倒数:
(1)4; (2)3
4; (3)-8; (4)-7
2。
2.计算:
(1)(+36)÷(-6); (2)(-0.81)÷(-3);
(3) -2
3
÷ -1
2
;
(4) -9
16
÷3
8;
(5)0÷(-125);
(6)(-3)÷0.01。
3.计算:
(1) -1
3
× -1
2
÷5
6;
(2)(-6)÷(-4)÷ -6
5
。
复习巩固
1.计算:
(1)(-46)×(-3); (2)25×(-4.8);
(3) -3
2
×4
9;
(4)(-36)× -7
18
;
(5) -15
4
× -8
27
;
(6) -6
7
×3.5。
2.计算:
(1)(-4)×0.8×(-2.5);
(2) -9
32
×(-2)× -16
21
。
3.计算:
(1)(-91)÷13;
(2)(-56)÷(-14);
(3)22
7÷ -11
12
;
(4) -1
4
÷(-1.5);
(5)(-1)÷ -2
5
;
(6) -2
5
÷(-1)。
4.计算:
(1)5
8×(-24)÷ -5
12
;
(2)(-0.75)÷ -9
4
×(-1.5)。
46
5.计算:
(1)50× -9-24
25
; (2) 2
3-1
2-4
5
÷ -1
30
。
6.两个有理数相除,在什么情况下商是1? 在什么情况下商是-1? 商能是0吗?
拓展延伸
7.分数可以理解为分子除以分母,据此化简下列分数:
(1)-4
3 ; (2) 7
-8; (3)-5
-9;
(4)16
-4;
(5) -6
-15;
(6)-7
0.2。
8.
a,b,c均为有理数,用“>”或“<”填空:
(1)如果a>0,b<0,c<0,那么a÷b×c
0;
(2)如果a<0,b<0,c<0,那么a÷b÷c
0;
(3)如果a<0,a×b<0,a×c>0,那么a×b×c
0;
(4)如果a×b×c>0,那么
当a<0时,b×c
0;
当b
0时,a×c>0。
9.任意写出两个负数,比较它们的倒数的大小,它们的倒数的大小与原来这两个负
数的大小有什么关系?
探索创新
10.现有7张写着不同数字的卡片,从中取出若干张,将卡片上的数字进行乘法运算。
-8 3 0 -4 1 -6 5
(第10题)
(1)抽取2张卡片,使得这两个数字的积最大,积最大是多少?
(2)抽取3张卡片,使得这三个数字的积最小,积最小是多少?
47
几个相同的数相加,可以用乘法表示。几个相同的数相乘,能否用简便的
方法表示?
图2.3-1
如图2.3-1,回答下列问题:
(1)怎样计算边长为7
cm的正方形的面积?
(2)怎样计算棱长为5
cm的正方体的体积?
(1)7×7=49(cm
2);
(2)5×5×5=125(cm
3)。
这里,7×7,5×5×5都是相同因数的乘法。为了简便,把“7×7”记作
“7
2”,读作“7的二次方”(或“7的平方”);把“5×5×5”记作“5
3”,读作
“5的三次方”(或“5的立方”)。
同样,(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)可以记作“(-2)
5”,读作
“-2的五次方”。
-1
4
× -1
4
× -1
4
× -1
4
可以记作
,读作
。
一般地,n个相同的因数a相乘,即
a×a×a×…×a
n个a
记作“
a
n”。这种求几个相同因数的积的运算,叫作乘方(power),乘方的结果
叫作幂。
48
在“
a
n”中,a叫作底数,n 叫作指数。“a
n”读作“a 的n 次方”;当把
“
a
n”看作a的n次方的结果时,也可读作“
a的n次幂”。
例如,(-2)
5 中,底数是-2,指数是5。
一个数可以看作这个数本身的一次方。例如,5可以看作5
1,-1
5可以看
作-1
5
1
。指数1通常省略不写。
(1)算一算:
如,2
3=2×2×2=8;2
4=2×2×2×2=16。
①
(-2)
2=
;(-2)
3=
;(-2)
4=
;(-2)
5=
。
②
-2
3
2
=
; -2
3
3
=
; -2
3
4
=
; -2
3
5
=
。
可利用有理数的乘法法
则进行有理数的乘方运算。
(2)正数、0、负数的幂各有什么特点?
正数的任何次幂都是正数;负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数;
0的任何正整数次幂都是0。
49
计算:
(1)0.4
2; (2)(-3)
4; (3) -1
2
3
。
解:(1)0.4
2=0.4×0.4=0.16。
(2)(-3)
4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81。
(3) -1
2
3
= -1
2
× -1
2
× -1
2
=-1
8。
计算:
(1)-3
4;
(2)-(-4)
3;
(3)-3
2
4。
解:(1)-3
4=-81。
(2)-(-4)
3=-(-64)=64。
(3)-3
2
4=-9
4。
a,b都是有理数。如果a>b,那么a
2 一定大于b
2 吗? a
3 一定大于b
3 吗?
1.在(-10)
4 中,底数是
,指数是
,幂是
。
2.填空:
(-1)
2=
; (-1)
3=
;
(-1)
6=
;
(-1)
15=
;
(-1)
108=
;
(-1)
201=
。
由此,你发现了什么规律?
3.计算:
(1)0
3;
(2)(-3)
5;
(3)-1
6;
(4) -3
2
3
。
50
生产和生活中,经常会遇到一些比较大的数。例如,光在真空中的传播速
度约为300
000
000
m/s;2023 年上半年,我国社会消费品零售总额为
22
758
800
000
000元。对于这样的数,怎样表示比较简便呢?
根据乘方的意义,填写下表:
10的乘方
表示的意义
运算结果
结果中0的个数
10
2
10×10
100
2
10
3
10
4
10
5
你发现了什么规律?
10
n=100…0
︸
n个0
。
(1)像300
000
000,22
758
800
000
000这样的数,能借助10的乘方来表
示吗?
300
000
000=3×100
000
000=3×10
8;
22
758
800
000
000=2.275
88×10
000
000
000
000=2.275
88×10
13。
(2)如何运用上述方法表示-10
800
000?
-10
800
000=-1.08×10
000
000=-1.08×10
7。
对于这样绝对值较大的数,借助10的乘方表示,会比较简便。
把一个绝对值大于10的数记作a×10
n 的形式,其中1≤|a|<10,n 是
正整数,这种记数方法叫作科学记数法。
51
党的二十大报告指出,我们加快推进科技自立自强,全社会研发经
费支出从一万亿元增加到二万八千亿元,居世界第二位,研发人员总量居世界
首位。将2
800
000
000
000用科学记数法表示。
解:2
800
000
000
000=2.8×10
12。
日常生活中,我们经常接触各种数。例如,小亮的身高是1.63
m;截至2023
年2月,中国湿地面积达到5
635万hm
2(公顷,1
hm
2=10
4
m
2),国际湿地城市
13个;据报道,约有20.1亿人通过广播电视和数字平台收看了北京冬奥会。
这里的2023,2,13是与实际完全符合的准确数;
1.63,5
635万,20.1亿
是与实际相近的近似数。
四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。例如,1.63精确到百
分位(或结果精确到0.01),5
635万精确到万位,20.1亿精确到千万位。
按括号内的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数。
(1)1.702(结果精确到0.01);
(2)1.702(结果精确到个位)。
解:(1)1.702≈1.70。
(2)1.702≈2。
中国国家图书馆是亚洲规模最大的图书
馆,居世界国家图书馆第三位。截至2022年12月
底,中国国家图书馆馆藏中文实体书籍14
284
892
册,外文实体书籍4
502
319册。请用四舍五入法将
14
284
892和4
502
319精确到十万位。
解:14
284
892≈1.43×10
7。
4
502
319≈4.5×10
6。
1.用科学记数法表示下列各数:
(1)800
000; (2)-56
000
000; (3)-2
030
000
000。
2.下列用科学记数法表示的数,原来各是什么数?
(1)-6×10
3;
(2)8.5×10
6;
(3)-3.96×10
4。
3.下面是由四舍五入得到的近似数,它们分别精确到哪一位?
(1)3.14;
(2)1.80×10
5;
(3)69.83万。
52
复习巩固
1.计算:
(1)(-7)
2; (2)(-0.1)
3; (3) 1
2
6
;
(4) -3
5
3
;
(5)-2
4;
(6)-(-5)
2。
2.分别比较下列各组数的大小:
(1)-3
2 与(-2)
3; (2)(-0.2)
2 与(-0.2)
4;
(3)(-3)
2 与-3
2;
(4)|-3|
3 与(-3)
3。
3.计算:(-1)+(-1)
2+(-1)
3+…+(-1)
10。
4.用科学记数法表示下列各数:
(1)92
000; (2)-304
000; (3)-50
030
000。
5.下列用科学记数法表示的数,原来各是什么数?
(1)3.2×10
4;
(2)-9×10
8。
6.按括号内的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数:
(1)248.35(结果精确到0.1);
(2)248.35(结果精确到个位);
(3)17
820(结果精确到百位);
(4)416
000
000(结果精确到亿位)。
拓展延伸
7.某种细胞每经过15
min,由1个分裂成2个。经过2
h,这种细胞由1个分裂成多
少个?
8.光在真空中1年内所走过的距离叫作1光年。据测定,光在真空中的传播速度约
为300
000
km/s,1光年相当于多少千米(1年按365天计算,精确到百亿位)?
探索创新
9.计算3
1,3
2,3
3,3
4,3
5,3
6,并观察这些幂的个位数字,你能发现什么规律? 根
据发现的规律猜测,3
20 的个位数字是几? 3
2
222 的个位数字是几?
10.将-1
2
1
, -1
2
2
, -1
2
3
, -1
2
4
按从小到大的顺序用“<”连接起来,
并将这些数用数轴上的点表示出来。从中你有什么发现?
53
一张报纸对折30次会有多厚
取一张报纸,将它对折,再对折,试一试能折几次?
(1)能将它对折8次吗?
(2)假设能将一张报纸连续对折30次,试估计它的厚度。
纸每对折1次,其厚度就增加1倍。对折1次后,其厚度为原来一张纸
厚度的2倍;对折2次,其厚度为原来一张纸厚度的4倍;对折3次,其厚
度为原来一张纸厚度的8倍……对折8次,其厚度便是原来一张纸厚度的2
8
倍。一张普通报纸的厚度大约为0.01
cm。连续对折8次后,它的厚度约为
0.01×2
8=0.01×256=2.56(cm)。
如果能将一张报纸连续对折30次,那么它的厚度约为
0.01×2
30
=0.01×(2×2×…×2
30个2
)
=0.01× (2×2×…×2
10个2
)×(2×2×…×2
10个2
)×(2×2×…×2
10个2
)
=0.01×1
024×1
024×1
024
>0.01×1
000×1
000×1
000。
因为0.01×1
000×1
000×1
000=10
7,
10
7
cm=100
km,
所以将一张报纸对折30次后,其最终厚度将超过100
km。
54
我们已经学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算。如何进行有理数的
混合运算?
有两张边长为3的正方形纸片,它们的面积之和是多少?
每张纸片的面积为
3
2=9,
它们的面积之和为
3
2+3
2=9+9=18。
我列出的算式
是2×3
2。怎
样计算呢?
(1)算式2×3
2 含有哪几种运算? 按照什么样的顺序进行运算?
3
2 表示一个正方形的面积,2×3
2 表示两个正方形的面积之和,即2与3
2
的乘积,因此应先算3
2,再用2乘3
2。
2×3
2=2×9=18。
(2)算式-2×3
2 与(-2×3)
2 有什么不同? 分别按照什么样的顺序进行运
算? 运算结果相同吗?
-2×3
2=-2×9=-18。
(-2×3)
2=(-6)
2=36。
(3)在进行有理数的混合运算时,应按照什么样的顺序进行运算?
55
一般地,有理数的混合运算应按下面的运算顺序进行:
先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,按从左到右的顺序进行;
如果有括号,先算括号里面的,并按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
计算:
(1)6
5÷5
4× -1
3-1
2
; (2)(-4)
2× (-1)
5+3
4+ -1
2
3
。
解:(1) 6
5÷5
4× -1
3-1
2
=6
5×4
5× -5
6
=-4
5。
(2) (-4)
2× (-1)
5+3
4+ -1
2
3
=16× -1+3
4-1
8
=16× -3
8
=-6。
1.计算:
(1)3
2-(-3)
3; (2)-2
4÷(-1)
2;
(3)(-4)
2÷8-2
3;
(4)(-1.5)×[7-(-2)
2]。
2.计算:
(1)3×(-9)-(-28+14)÷7;
(2)-3
2× -2
3-5
9
-1
27×(-3)
4;
(3) 1-0.2÷5
24
×(-5)
2;
(4) -1
4-5
6+8
9
÷ -1
6
2
。
56
复习巩固
1.分别说出下列各组中两个算式的不同,并比较计算结果的大小:
(1) -2
5
2
与-2
5
2
; (2) -2
5
3
与-2
3
5
3。
2.计算:
(1)12÷(-4)+4×(-5);
(2)18-6÷(-2)× -1
3
;
(3) -4
15
÷ 4
9-2
3×5
6
;
(4) 7
20-1
4×3
5
÷8
7×7
8。
3.计算:
(1) -1
3
×(-3)
3-1
4×(-2)
4;
(2)18+32÷(-2)
3-(-4)
2×5;
(3) (-5)
2× -3
5
+15
×(-2)
3;
(4)-6
2× 5
4-5
6-11
12
。
拓展延伸
4.算式“2□(-3)□6□(-9)”的每个“□”内,可从“+,-,×,÷”四种运
算符号中选择一种填入(可重复)。
(1)如果2÷(-3)×6□(-9)=5,写出“□”内的运算符号;
(2)在“2□(-3)□6+(-9)”的“□”内填入运算符号,使计算结果最大,并
求出最大结果。
5.计算:
(1)(1+3+5+…+99)-(2+4+6+…+100);
(2)(-1)×2×(-3)×4×…×(-49)×50×(-2
50)
2×4×6×…×100
。
探索创新
6.日常生活中,我们使用的数是十进制数,而计算机使用的数是二进制数,即数的
进位方法是“逢二进一”。二进制数只使用数字0和1,如二进制数1101记为
1101[2],1101[2]
通过式子1×2
3+1×2
2+0×2
1+1可以转换为十进制数13。请按
照上面的转换方法,将二进制数11101[2]
转换为十进制数。你能将十进制数18转
化为二进制数吗?
57
1.本章学习了有理数的哪几种运算?
2.如何进行有理数的加法运算? 举例解释有理数的加法法则。
3.有理数的减法是加法的逆运算。利用相反数,有理数的减法可以转化为
加法,法则是 。这就是说,在有理数范围内,
加、减运算可以统一成加法运算。
4.如何进行有理数的乘法运算? 请举例说明。
5.有理数的除法是乘法的逆运算。利用倒数,有理数的除法可以转化为乘
法,法则是 。这就是说,在有理数范围内,
乘、除运算可以统一成乘法运算。
6.什么叫作乘方? 如何进行有理数的乘方运算?
7.有理数的混合运算应按照怎样的顺序进行?
8.有理数的加法和乘法的运算律分别有哪些? 运算律在运算过程中有什么
作用?
9.如何用科学记数法表示绝对值大于10的数? 请举例说明。
10.学习本章后,你认为有理数的运算与小学时学习的非负有理数的运算有
什么区别和联系?
58
复习巩固
1.判断下列说法是否正确。如果不正确,请举例说明。
(1)零减去一个数结果一定是负数;
(2)两个数的差一定小于这两个数的和;
(3)如果两个有理数的商是负数,那么它们的积也是负数;
(4)任何有理数的偶次幂都是正数;
(5)任何数的倒数都比它本身小。
2.计算:
(1)-32+59; (2)21-(-19);
(3)(-15)×7;
(4) -1
3
× -6
7
;
(5)(-64)÷(-0.16);
(6) -5
4
÷25
8。
3.计算:
(1)-8+12-16-23;
(2)-2
3-1
6+1
4-1
2;
(3) -2
3
×(-1)× -6
5
;
(4)(-3.5)÷7
8× -3
4
。
4.计算:
(1)(-3)
2× -5
9+2
3
;
(2)2-(-3.7)÷ -3
4-1.1
;
(3)32× -1
2
3
-0.5
2×(-2)
3;
(4)|-5|-1
4- -2
3
-|5÷(-6)|。
5.计算:
(1)(-499.75)×(-4);
(2) 1
7-2
9+5
21
÷ -5
63
;
(3)20×3
8+20×3
4+20× -1
8
;
(4)120×56× 1
8-5
7
。
59
6.据报道,长江干流乌东德、白鹤滩、溪洛渡、向家坝、三峡和葛洲坝6座梯级水电站
年平均发电量约3
000亿kW·h(千瓦时),减少二氧化碳排放约2.4亿t,形成了世
界最大清洁能源走廊。将300
000
000
000和240
000
000用科学记数法表示。
7.用四舍五入法对下列各数取近似数:
(1)0.071
8(结果精确到0.001);
(2)3.236(结果精确到0.01);
(3)1.025(结果精确到十分位);
(4)14
487(结果精确到百位)。
拓展延伸
8.
a,b是两个有理数,完成下列填空:
(1)如果a-b=0,那么a与b的关系是
;
(2)如果a+b=0,那么a与b的关系是
;
(3)如果a×b=1,那么a与b的关系是
;
(4)如果a
b=1,那么a与b的关系是
。
9.小亮为了统计自己的骑行里程,将15
km作为基数,超过15
km的部分记作正数,不
足15
km的部分记作负数。下表是他近10次骑行里程(单位:km)的记录,其中第4
次和第7次的未填写。
第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次
0.1
-0.8
0.9
2.0
-1.5
1.0
0.8
-1.1
已知小亮第4次骑行里程为16.5
km,第7次骑行里程为14.1
km。
(1)补全表格;
(2)假设每千米骑行可消耗20
kcal(千卡)热量,则小亮这10次骑行一共消耗了多少
热量?
10.资料表明,海拔每上升1
km,气温大约下降6
℃。
(1)黄山天都峰的海拔约为1
810
m。当海拔为310
m 的山脚处的地面气温为
19
℃时,天都峰顶的气温约是多少?
(2)已知某地地面气温为17
℃,在此地上空飞行的飞机的舱外气温为-40
℃,那
么飞机距地面的垂直高度约是多少?
11.日常生活中,如果平均每人每天节约粮食50
g,那么全国每年大约能节约多少千克
粮食? (全国人口约1.43×10
9 人,1年按365天计算,结果用科学记数法表示。)
60
12. 《庄子》记载:一尺①之棰,日取其半,万世不竭。大意为:一根一尺长的木棍,每
天截取它的一半,永远也截不完它。若按此方法截一根长为1
m的木棍,5天后木
棍剩余的长度是多少?
探索创新
13.观察下面的一组数:-1,2,-3,4,-5,6,…,按这组数的排列规律写出第7
个和第8个数。如果将这组数继续写下去,那么前100个数的和是多少?
14.一个正方体的六个面上分别标有-1,-2,-3,-4,-5,-6中的一个数,各面
上所标的数都不相同。在如图所示的这个正方体的三种放置方法中,下底面上所标
的数分别是几? 这三个数的乘积是多少?
(第14题)
①“尺”是我国古代常用的长度单位之一。朝代不同,“尺”的标准也有所不同。现在,“尺”已经不
是我国的法定计量单位了。
内容提要
◆ 代数式
◆ 代数式的值
◆ 生活中的常量与变量
第3 章 代数式
数与式
数
字母表示数
代数式
……
为庆祝中华人民共和国成立70 周年，在北京天安门广场
举行了盛大的阅兵仪式，15 个徒步方队迈着雄健的步伐依次
通过天安门广场，接受祖国和人民检阅。已知阅兵仪式上，
女兵方队由2 名领队和方阵组成，其中方阵每行25 人，每列
14 人，则女兵方队共有多少人？
参加一些活动时，同学们也经常排成方阵。若某学生方阵
每行m 人，每列n 人，则该学生方阵共有多少人？该方阵的
最外围一周共有多少人？
在小学阶段，我们学习了用字母表示数。本章中，我们将
进一步学习用含字母的式子表示数和数量关系，认识常量与
变量，体会代数式的重要作用，为后面的学习奠定基础。
63
在小学阶段,我们学习过用字母表示数。数的范围扩充至有理数后,字母
表示的数的范围也随之扩大。
我们先来解决章引言中的问题。女兵方队的总人数为25×14+2=352。学
生方阵的总人数为m×n=mn,这个方阵的最外围一周的人数可以表示为
2×m+2×n-4=2m+2n-4。
在含有字母的乘式中,通常省略
“×”号或将“×”号用“·”表示,并
将数字因数写在字母的前面。数字与数
字相乘时,一般仍用“×”号。
我们再来看几个用字母表示数的问题。
(1)有理数a的相反数是 ;
(2)有理数范围内,乘法对加法的分配律可表示为 ;
(3)一辆汽车的油箱中有50
L汽油,每行驶1
km耗油0.1
L,行驶x
km
后油箱中剩余的油量为 L;
(4)按照图3.1-1的方式,用边长为1的小正方形纸片按照一定规律进行拼
图,小正方形之间没有重叠,也没有缝隙,第n 个图形中纸片覆盖的面积为
。
① ② ③ ④
图3.1-1
64
在上述问题中,我们用含有字母的式子-a,a(
b+c)=ab+ac,50-0.1x,
n
2 分别表示一个数的相反数、乘法对加法的分配律、剩余油量、图形面积。这
些式子中的字母分别可以取哪些数?
问题(1)和(2)中的字母可以取
任意有理数。
问题(3)中的字母x 取正数或零,最大为500。
问题(4)中的字母n取正整数。
你还能举出一些用字母表示数的例子吗? 其中的字母可以取哪些数?
随着数的范围扩充至有理数,字母不仅可以表示正数和0,也可以表示负
数。字母可以像数一样参与运算。
用字母表示数,能一般而又简明地把数、数量关系、法则和变化规律表达
出来,为叙述和研究问题带来方便。
用含有字母的式子表示:
(1)某校共有学生x 人,其中男生有y 人,女生有多少人?
(2)某商店上月营业额为a 元,本月营业额是上月的3
2倍。该商店本月营
业额为多少元?
65
(3)小亮家到学校的路程是2
km,小亮骑自行车的速度是v
km/h。他骑自
行车从家到学校需要多长时间(单位:h)?
(4)棱长为n的正方体的表面积是多少?
(5)甲、乙两位同学的身高分别是x
cm,y
cm。怎样表示甲与乙身高相
同? 怎样表示甲比乙高?
解:(1)女生有(x-y)人。
(2)该商店本月营业额为3
2a元。
(3)小亮骑自行车从家到学校需要2
v
h。
(4)正方体的表面积是6n
2。
与2÷3写成2
3类
似,2÷v写成2
v。
(5)甲与乙身高相同表示为x=y,甲比乙高表示为x>y。
填空:
(1)如果a 是一个有理数,那么a 的2倍可表示为
;a 的一半可表示为
;比a 大2的数可表示为
;a 的平方可表示为
;如果
a≠0,那么a的倒数可表示为
。
(2)若a,b,h分别表示梯形的上底、下底和高,则这个梯形的面积为
。
(第2题)
复习巩固
1.填空:
(1)小明有a本书,小丽的书比小明的2倍还多3本,小丽有 本书;
(2)某村现有村民n人,耕地160
hm
2,该村人均占有耕地 hm
2;
(3)如果练习本每册售价1.8元,铅笔每支售价0.5元,那么买x 册练习本和
y 支铅笔共需 元。
2.右图是清代乾隆年间铸造的一枚方孔圆形钱币。它的外圆半径为
r
cm,中间正方形小孔的边长为a
cm。求这枚钱币一面的面积。
拓展延伸
3. (1)如果a是有理数,那么-a一定是负数吗?
(2)如果a是有理数,那么a
2 一定是正数吗?
66
探索创新
4.蒲纹是中国玉器上的一种常见纹饰,来源于蒲席的纹样,寓意草木繁茂、欣欣向
荣。下图是一组蒲纹纹样,它由若干个三角形和六边形有规律地排列而成。
① ② ③
(第4题)
(1)图①②③中各有多少个六边形? 多少个三角形? 若按此规律继续绘制蒲纹,
当纹样中有n个六边形时,三角形有多少个?
(2)请你参考蒲纹的设计方式,将三角形、六边形按一定规律排列,设计出一种
新的纹样。当纹样中有n个六边形时,三角形有多少个?
数字代码
我们每天都在与书打交道。每本书的封底都印有ISBN字样,ISBN后面
有13个数字组成的编码。例如,商务印书馆出版的《现代汉语词典(第7版)》
的封底印有“
ISBN
978-7-100-12450-8”。你知道这些编码的含义吗?
“
ISBN”是英文“International
Standard
Book
Number”的缩写,意思是
“国际标准书号”。编码中的13个数字分为5组,中间用连接号分开。第一
组为EAN·UCC前缀,第二至四组分别代表“组区号”“出版者号”“出版
序号”,第五组是校验码。校验码用来检验第一至四组代码的正确性,以防
止伪造书号。在“ISBN
978-7-100-12450-8”中,第一组编码“978”代表图
书,第二组编码“7”为中国的组区号,第三组编码“100”是出版单位商务
印书馆的代号,第四组编码“12450”是《现代汉语词典(第7版)》的代号,
第五组编码“8”是校验码。
用数字表示特定事物的方式,叫作数字代码。数字代码可以很方便地表
达和传递信息,应用十分广泛。除了书号是数字代码外,公民身份号码、邮
政编码和电话号码等也都是数字代码。请收集一些表示事物的数字代码,并
了解它们的含义。
67
用字母可以简明地表示数和数量关系,本节我们将继续研究相关问题。
我们先看几个用含有字母的式子表示数量关系的问题。
(1)某班图书角有文学类图书x 本,科普类图书比文学类图书的2倍少
5本。用式子表示科普类图书的本数。
图3.2-1
(2)图3.2-1中有大小两个正方形,用式子表示阴影部
分的面积。
(3)一条河的水流速度是2
km/h,船在静水中的速度
是v
km/h。设该船在这条河中顺水行驶t
h,用式子表示行
驶的路程。
在这些问题中,字母可以像数一样参与运算,由此得
到含字母的式子,它们分别为2x-5,a
2-b
2,(
v+2)
t。
观察下列式子:
x-y, 3
2a, 2
v, 6n
2, 2x-5, a
2-b
2, (
v+2)
t。
它们有什么特点?
像这样用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫作代数式
(algebraic
expression)。
特别地,单独的一个数或一个表示数的字母也是代数式。
68
设字母x 表示甲数,字母y 表示乙数,用代数式表示:
(1)甲数的3倍与乙数的2倍的和;
(2)甲数与乙数的差的一半。
解:(1)3x+2y。
(2)1
2(x-y)。
在例1中,“甲数的3倍与乙数的2倍的和”及“甲数与乙数的差的一半”
都是用文字来表达数量关系,这样的语言称为文字语言(或自然语言),而
3x+2y 与1
2(x-y)是用数、字母、运算符号及表示运算顺序的括号来表达数
量关系,这样的语言称为符号语言。符号语言是一种重要的数学语言。例1
是把文字语言转化成了符号语言。可以看出,在描述数学问题时符号语言比
文字语言更简明,更具有一般性。
用代数式表示:
(1)某数的3倍与2的差的平方;
(2)三个连续偶数的和。
解:(1)如果用x 表示某数,那么某数的3倍与2的差的平方可以表示为
(3x-2)
2。
(2)如果用2n(
n为整数)表示三个连续偶数中的第二个,那么这三个数由
小到大依次表示为2n-2,2n,2n+2。
所以它们的和是(2n-2)+2n+(2n+2)。
用文字语言表示下列代数式:
(1)(
a+b)
2; (2)a
2+b
2。
解:(1)(
a+b)
2 表示a与b的和的平方。
(2)a
2+b
2 表示a,b两个数的平方和。
请设计两个不同的情境,解释代数式a+2的意义。
解:设某班原有a名学生,新学期转来2名新生,则该班现有(
a+2)名学生。
一个圆的半径为a
cm,将半径增加2
cm,则圆的半径变为(
a+2)cm。
69
1.用代数式表示:
(1)a的5倍与b的商;
(2)a的相反数与b的倒数的和;
(3)比x 的平方少1的数。
2.用文字语言表示下列代数式:
(1)
4x-3y; (2)
a
2-ab;
(3)
(
a-b)
2;
(4)
a
2-b
2。
3.请设计不同的情境,解释代数式2(x+y)的意义。
(第4题)
复习巩固
1.用代数式表示:
(1)a与b的和的2倍;
(2)a,b两数的平方和与它们乘积的2倍的差;
(3)a,b两数的和与差的乘积。
2.用文字语言表示下列代数式:
(1)x+3y; (2)3(x-y);
(3) 1
a-b;
(4)a-1
b 。
3.填空:
(1)一个两位数的十位数字是a,个位数字是b,这个两位数可以表示为
;
(2)设n为整数,能被3整除的数为
(用含n的代数式表示);
(3)某商品的原价是每件m 元,如果在原价的基础上涨15%,那么每件涨价
元,涨价后每件的售价是
元。
4.如图,某长方形广场长为a
m,宽为b
m,四个角铺了相同的四分
之一圆的草地。设圆的半径为r
m,用代数式表示广场空地的面积。
拓展延伸
5.将一根钢筋锯成a段需要b
min,按此速度将同样的钢筋锯成c段,需要多长时间?
6.有下列一组代数式:-x,2x
2,-3x
3,4x
4,…,-17x
17,18x
18,…。
(1)根据你发现的规律,分别写出第100个、第101个代数式;
(2)写出第n个代数式。
70
(第7题)
探索创新
7.如图,边长为(
a+b)的正方形的面积,除了可以用(
a+b)
2
表示外,还有其他表示方法吗? 用不同的代数式表示这个
正方形的面积。你有什么发现?
天元术的表示方法
代数的由来
“代数”一词起源于阿拉伯数学家花剌子米(al-Khwārizmī,约780—约
850)的著作《代数学》。该书大约著于820年。按照阿拉伯原文直译的书名是
《利用还原与对消运算的简明算书》,书中讨论了初等代数及各种实用算术问
题。该书于1183年被译成拉丁文传入欧洲,代数学的拉丁语名称algebra即
来源于该书。
1591年,法国数学家韦达(François
Viète,seigneur
de
la
Bigotiere,
1540—1603)在他的著作《分析方法入门》中引进了用字母表示数的方法,创
设了大量的代数符号,促进了代数学的发展。17~18世纪中期,代数学被理
解为在代数符号上进行计算的科学。瑞士数学家欧拉(Leonhard
Euler,
1707—1783)的《代数学入门》,是对16世纪中期发展起来的符号代数学的系
统总结。
在我国古代也有类似的方法,这就是“天元术”。
我国金元时期数学家李冶对天元术作出了较大贡献,他
按照一定的次序摆放算筹,用一个“元”字作为记号表
示未知数。例如,图中的天元式相当于算式x
3+336x
2
+4
184x+2
488
320=0。
1859年,我国清代数学家李善兰(1811—1882)和英国人伟烈亚力
(Alexander
Wylie,1815—1887)合译了英国数学家德·摩根(Augustus
De
Morgan,1806—1871)的著作《代数学》。从此,“代数”这个名词开始在我国
正式使用。
71
代数式中的字母可以表示不同的数。当字母取定一个数后,代数式可以表
示一个确定的数吗?
某校准备举办中华优秀传统文化知识竞赛。
计分规则是:每位参赛者有100分作为基础分,
每答对一道题目加10分,答错或不答得0分。
志愿者小亮根据计分规则制作了一个用于计分
的电子表格,只要在B列输入选手答对题目的
数量x,就可在C列显示相应选手的得分。如何
用含x 的代数式表示选手的得分呢?
当选手答对x 道题目时,用代
数式100+10x 表示选手得分。
(1)选手1和选手2的得分是如何计算出来的?
100+10x
↓
100+10×6=100+60=160
这里,选手1的得分160是代数式100+10x 当x=6时的值。
同理,选手2的得分180是代数式100+10x 当x=8时的值。
(2)当x=9时,选手的得分是多少?
72
用数代替代数式中的字母,按照代数式中的运算关系计算出的结果,
叫作代数式的值。
当a=-2时,求代数式
a
3-3a
2+2a+3的值。
解:当a=-2时,
a
3-3a
2+2a+3
=(-2)
3-3×(-2)
2+2×(-2)+3
=-8-12-4+3
=-21。
某中学参加“黄河岸边是家乡,
我为黄河种棵树”义务植树活动。
该校七年
级有x 名同学参加植树,平均每人植树2
棵;八年级有y 名同学参加植树,平均每
人植树3棵。
(1)该校七、八年级同学共植树多少棵?
(2)如果x=98,y=102,那么该校七、八年级同学共植树多少棵?
解:(1)七年级同学植树2x 棵,八年级同学植树3y 棵,该校七、八年级
同学共植树(2x+3y)棵。
(2)当x=98,y=102时,
2x+3y=2×98+3×102=196+306=502。
所以,该校七、八年级同学共植树502棵。
1.求下列代数式的值:
(1)x
2-2x+3,其中x=5;
(2)3a
2-4b,其中a=2,b=-3。
2.甲、乙两地相距225
km,一辆汽车从甲地行驶至乙地需要t
h,这辆汽车的平均
速度是多少? 如果t=3,那么这辆汽车的平均速度是多少?
73
复习巩固
1.填表:
x
-2
-1
0
1
1.5
1
2x+1
x
2+x
2.当a=2,b=-4时,求下列代数式的值:
(1)a
2-b
2; (2)(
a-b)
2; (3)a
2+b
2; (4)(
a+b)
2。
拓展延伸
3.圆柱的体积等于底面积乘高。若用h 表示圆柱的高,r表示圆柱的底面半径,V
表示圆柱的体积。
(1)请用字母h,r,V 表示圆柱的体积公式;
(2)当底面半径为20
cm、高为10
cm时,求圆柱的体积。
4.某城市出租车的收费标准为:行驶里程不超过3
km时收起步价13元,超过3
km
后每增加1
km加收2元(不足1
km按1
km计算)。某人乘出租车行驶了x(x≥3,
且x 为整数)km,应付车费多少元? 如果x=10,那么应付车费多少元?
探索创新
5.请根据表中日常出行方式的人均碳排放量回答问题:
交通工具
电动自行车
地铁
公共汽车
私家车
人均碳排放量/(g/km)
8.00
9.10
35.00
135.00
(1)小亮和小莹分别从甲地沿不同路线前往乙地。小亮全程坐公共汽车,行驶了
x
km。小莹全程坐私家车,行驶了y
km。分别用代数式表示小亮和小莹全
程的碳排放量。小亮和小莹全程的碳排放量可能相等吗? 为什么?
(2)根据表中数据,计算自己家一周的日常出行碳排放量。
6.查阅有关资料,寻找球的表面积、体积的计算公式,并计算地球的表面积和体积。
(提示:地球半径约为6
370
km,可以用计算器。)
74
通过前面的学习,我们知道字母可以表示不同的数,本节将进一步研究相关问题。
(1)日常生活中,每个人都能以实际行动,为节能减排作出贡献。例如,
每节约1
kW·h电可以减排0.997
kg二氧化碳。若节约x
kW·h电,可以减排
y
kg二氧化碳。怎样用含x 的式子表示y? 求当x 取下列数值时y 的值,并填
入下表中:
x/(kW·h)
10
100
1
000
10
000
y/kg
(2)用一根长为10
m的绳子围成一个一边长为x
m,且面积为S
m
2 的长
方形。怎样用含x 的式子表示S? 求当x 取下列数值时S 的值,并填入下表中:
x/m
1
2
3
4
S/m
2
(3)图3.4-1是某地某天的气温图。
图3.4-1
当时间t=9时,气温T 是多少? 当时间t=14时,气温T 是多少? 从9时
到21时,气温T 发生了什么变化?
75
这些问题都反映了一定的变化过程,涉及很多量。这些量中,哪些量的数
值始终保持不变? 哪些量在变化?
问题(1)中,每节约1
kW·h电减排的二氧化
碳0.997
kg是保持不变的;
问题(2)中,长方形的周长10
m是保持不变的。
问题(1)中,减排的二氧化碳量y 随着节约的电量x
的变化而变化;
问题(2)中,长方形的面积S 随着其一边长x 的变
化而变化;
问题(3)中,气温T 随着时间t的变化而变化。
在某一变化过程中,数值保持不变的量叫作常量(constant),可以取不同
数值的量叫作变量(variable)。
在上面的三个问题中,每节约1
kW·h电减排的二氧化碳量是常量,节约
的电量和减排的二氧化碳量是变量;长方形的周长是常量,边长和面积是变量;
时间t和气温T 是变量。
在弹性限度内,弹簧的长度随着所挂物体质量的变化而变化。某弹簧
不挂物体时长15
cm,该弹簧的长度y(单位:cm)与所挂物体质量x(单位:kg)
有下面的关系:
76
质量x/kg
1
2
3
4
…
长度y/cm
15.6
16.2
16.8
17.4
…
(1)根据表格中数据呈现的规律解决问题:当所挂物体质量为5
kg时,弹
簧的长度是多少?
(2)在这个问题中,哪些量是变量? 哪些量是常量?
(3)用含x 的代数式表示y。
解:(1)观察表格中的数据发现,所挂物体质量每增加1
kg,弹簧的长度
就增加0.6
cm。
因为当所挂物体质量为4
kg时,弹簧的长度为17.4
cm,
所以,当所挂物体质量为5
kg时,弹簧的长度为17.4+0.6=18(cm)。
(2)在这个问题中,变量为:所挂物体的质量,弹簧的长度。常量为:该
弹簧不挂物体时的长度15
cm;所挂物体质量每增加1
kg,弹簧长度增加的
0.6
cm。
(3)y=0.6x+15。
1.指出下列问题中的常量和变量:
(1)一辆汽车以100
km/h的速度在公路上行驶,行驶的路程为s
km,行驶的时
间为t
h;
(2)海拔每上升1
km,气温约下降6
℃。某时刻,地面气温为20
℃,高出地面
x
km处的气温为y
℃。
2.下表是我国2018—2022年国内生产总值统计表:
年份x/年
2018
2019
2020
2021
2022
国内生产总值y/亿元
919
281
986
515
1
013
567 1
149
237 1
210
207
在这个问题中,哪些量是变量?
77
(第4题)
复习巩固
1.指出下列问题中的常量和变量:
(1)正方形的周长l与它的边长a之间的关系是l=4a;
(2)一台机器上的轮子的转速为60转/min,轮子旋转的转数n 与时间t(单位:
min)之间的关系为n=60t。
2.某家电商城将原价每台4
850元的A品牌空调按九折降价销售。降价后这个商城
每天销售A品牌空调x 台,总收入y 元。在这个问题中,哪些量是变量? 哪些量
是常量? 用含x 的代数式表示y。
3.水库的蓄水量Q(单位:万m
3)与最大水深h(单位:m)之间的关系如下表:
最大水深h/m
0
5
10
15
20
25
30
35
蓄水量Q/万m
3
0
20
40
90
160
275 437.5 650
根据表格中数据,回答下列问题:
(1)当最大水深为20
m时,水库的蓄水量是多少? 当最大水深为30
m时,蓄水
量是多少?
(2)在这个问题中,哪些量是变量?
拓展延伸
4.如图,一个三角形的底边长为5,底边上的高h 可以任意伸缩。
在这个问题中,哪些量是变量? 哪些量是常量? 请用关于高h
的代数式表示三角形面积S。
探索创新
5.下列两位同学的说法你同意吗?
小亮说:体育课上,大刚在操场上以7
m/s的速度练习短跑,经过t
s跑了s
m,
其中速度v是常量,时间t和距离s是变量。
小莹说:体育课上,在固定距离为200
m 的练习跑中,大刚跑步的平均速度为
v
m/s,跑完全程所需的时间为t
s,其中距离s是常量,速度v和时间t是变量。
78
1.请结合生活中的例子,说明用字母表示数和数量关系的优点。
2.在列代数式和读代数式时,应该注意哪些问题?
3.写出一个代数式,并解释它的实际意义。
4.什么叫作常量? 什么叫作变量?
5.请举出生活中一个变量随另一个变量变化而变化的例子,并指出哪些量
是常量,哪些量是变量。
79
复习巩固
1.填空:
(1)水库的水位由h
m下降了4
m,下降后的水位是
m;
(2)一棵树苗,刚栽种时,树高1.5
m,假设以后每年长0.3
m,n年后树高为
m;
(3)一颗人造卫星绕地球运行一周需a
h,如果这颗卫星在太空运行2年(1年按365
天计算),它将绕地球转
周;
(4)某工厂供暖房有煤260
t,每天用煤m
t。采取节能措施后,每天少用煤n
t。这
样,这些煤可比原来多用
天。
2.当a=3,b=-2,c=-1时,求下列代数式的值:
(1)c-(
c-a)(
c+b); (2)a+b+c
a-b+c。
3.已知某游乐场过山车单次载客量为24人,单日运行x 次,每日载客量为y 人。请用
含x 的代数式表示y。如果过山车一日运行40次,每日载客量是多少人?
4.在汽车的某次加油过程中,加油机的数据显示屏显示金额、油量、单价三个量,这三
个量中的常量是什么? 变量是什么?
拓展延伸
5.观察下表中两个变量间的数量关系:
1
2
3
…
n
…
4×1
4×2
4×3
…
4n
…
你能用生活中的实例解释表中的关系吗?
把所举实例的两个变量的名称填在表中左端
的空格内。
6.代数式a(1+x%)可以表示什么? 试举一个例子,并说明当a=200,x=-30时代数
(第7题)
式值的具体意义。
7.如图,某农耕试验区内有两条小路,其余区域为长方
形田地。用代数式表示田地的面积,并计算当x=
1.2
m,a=40
m,b=18
m时田地的面积。
80
8.某中学阶梯教室共有15排座位,第一排有20个座位,其后每排都比前一排多2个座
位。用代数式表示第n排的座位个数,并由此计算第10排和最后一排的座位个数。
探索创新
9.下面的一系列图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而成的。
① ② ③
(第9题)
(1)观察图形,填写下表:
图 形
①
②
③
…
正方形的个数
8
…
图形的周长
18
…
(2)在第5个图形中,正方形的个数为 ,周长为 ;猜想第n个图形
中,正方形的个数为 ,周长为 。
(3)这些图形中,如果任意一个图形的周长为y,它含有的正方形的个数为x,那么
用含有x 的代数式表示y 为 。
10.人的体质指数(简称BMI)可以用公式BMI=w
h
2计算,其中w 为体重(单位:kg),h
为身高(单位:m)。我国成年人BMI的标准如下:
当BMI<18.5时,为低体重;
当18.5≤BMI<24.0时,为正常体重;
当24.0≤BMI<28.0时,为超重;
当BMI≥28.0时,为肥胖。
小亮爸爸的身高为1.73
m,体重为75
kg。通过计算解答下列问题:
(1)小亮爸爸的BMI是多少(结果精确到0.1)?
(2)当小亮爸爸减掉3.5
kg之后,他的体重是否正常?
内容提要
◆ 整式的概念
◆ 整式的加法与减法
第4 章 整式的加法与减法
数与式
数
整式
整式的加减
代数式
……
2022 年，我国上海港集装箱的吞吐量突破4 730 万标准箱，
连续13 年蝉联全球第一。在全球货物运输中，集装箱是被广
泛使用的一种大型成组工具。为便于使用机械设备装卸和搬
运，实现船舶、港口、公路等多种方式的高效联运，集装箱
的规格、型号都有一定的标准。
图中两个集装箱均为长方体，宽均为a m，高均为b m，
其中一个的长为9 m，另一个的长为6 m。它们的体积分别是
多少？它们的总体积是多少？
上一章我们认识了代数式，它可以像数一样进行运算吗？
这一章我们将从最简单的代数式——整式开始，研究整式的
加法与减法运算。自此，我们将从数的运算进入代数式的运算，
为后续学习打下基础。
83
代数式是用运算符号把数和表示数的字母连接在一起的式子。本节我们将
研究只含加、减、乘、乘方运算的代数式。
根据章引言可知,两个集装箱的体积分别为9ab
m
3,6ab
m
3。我们来看下
面的问题:
(1)黄豆是一种富含蛋白质的食物,每克黄豆的蛋白质含量约为0.363
g,
则x
g黄豆的蛋白质含量约为多少?
(2)如何表示p
2 的相反数?
(3)某志愿团有八年级学生n人,七年级学生比八年级学生的一半少1人,
用代数式表示该志愿团七年级学生的人数。
图4.1-1 (单位:m)
(4)图4.1-1是某公寓的建筑平面示意图,
用代数式表示这间公寓的建筑面积。
根据问题中的数量关系,可以得到:
(1)x
g黄豆的蛋白质含量约为0.363x
g。
(2)p
2 的相反数是-p
2。
(3)该志愿团有七年级学生1
2n-1
人。
(4)这间公寓的建筑面积为(x
2+5x+3)m
2。
观察代数式9ab,6ab,0.363x,-p
2,它们有什么特点? 代数式1
2n-1,
x
2+5x+3又有什么特点?
84
这些代数式包含的运算不同。如9ab表
示数9、字母a与字母b的乘积,1
2n-1表
示数1
2与字母n的乘积和数1的差。所以可
以从运算的角度进行分类。
从运算的角度来看,9ab,6ab,0.363x,-p
2 这些代数式都是数与字母
的乘积,像这样的代数式叫作单项式(monomial)。单独的一个数或一个字母
也是单项式。
1
2n-1,x
2+5x+3可以看作几个单项式的和。像这样,几个单项式的
和叫作多项式(polynomial)。
单项式和多项式统称为整式(
integral
expression)。
单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。一个单项式中,所有字母
的指数的和叫作这个单项式的次数。对于单独的一个非零的数,规定它的次
数为0。
例如,9ab 的系数是9,次数是2;0.363x 的系数是0.363,次数是1;
-p
2 的系数是-1,次数是2。
多项式中的每个单项式都叫作这个多项式的项,其中不含字母的项叫作
常数项。多项式中次数最高的项的次数,叫作这个多项式的次数。
例如,多项式1
2n-1含有两项,分别是1
2n 和-1,其中次数最高的项是
1
2n,这一项的次数是1,所以1
2n-1是一次二项式。
又如,多项式x
2+5x+3含有三项,分别是x
2,5x 和3,其中次数最高的
项是x
2,这一项的次数是2,所以x
2+5x+3是二次三项式。
85
判断下列代数式是单项式还是多项式。如果是单项式,指出它的系数
和次数;如果是多项式,指出它的各项,并指出这个多项式是几次几项式。
(1)3a; (2)3
4mn; (3)-xy
3;
(4)n
3-1;
(5)a
2+2ab+b
2;
(6)2x
2-3x-4。
解:(1)3a是单项式,系数是3,次数是1。
(2)3
4mn是单项式,系数是3
4,次数是2。
(3)-xy
3 是单项式,系数是-1,次数是4。
(4)n
3-1是多项式,它的项分别为n
3 和
-1,它是三次二项式。
(5)a
2+2ab+b
2 是多项式,它的项分别为
a
2,2ab和b
2,它是二次三项式。
(6)2x
2-3x-4是多项式,它的项分别为
2x
2,-3x 和-4,它是二次三项式。
多项式2x
2-3x-4的
各项是按字母x 的次数从
大到小的顺序排列的,这种
排列叫作多项式按字母x
的降幂排列;还可以将这个
多项式写成-4-3x+2x
2
的形式,这种排列叫作多项
式按字母x 的升幂排列。
1.填表:
单项式
-2x
2
a
3b
6
t
2
2
3x
2y
4
系数
次数
2.分别指出下列多项式的各项及各项的系数,并指出是几次几项式。
(1)6x+1; (2)2a+3b;
(3)-1
3m
2-7m+5;
(4)3x
2-5xy+1
2y
2。
复习巩固
1.根据题意列出整式:
(1)某班手工兴趣小组共有15名同学,他们计划制作一批中国结作为新年礼物送
给敬老院的老人。如果制作一个中国结需用红绳0.6
m,每人制作x 个,那
么共需准备红绳
m。
86
(第1题(3))
(2)某商品的原价是每件a 元,第一次降价打七折,第二次
降价每件再减5元,则第二次降价后的售价为每件
元。
(3)如图,某建筑物的窗户一部分为半圆形,一部分为长方
形。已知长方形的长、宽分别为b
m和2a
m,这扇窗户
的面积是
m
2。
2.下列整式中,哪些是单项式? 哪些是多项式? 如果是单项式,指出它的系数与次
数;如果是多项式,指出它的各项,并指出这个多项式是几次几项式。
a, 2
3x-4, ab
2
2 , 4x
2-2y
2, x
2-2x+1, a
3-a
2b+ab
2-b
3。
拓展延伸
3.写出同时符合下列条件的所有单项式。
①
含有两个字母,这两个字母是x,y;
②
系数为-2,次数为4。
4.分别写出一个一次、二次、三次多项式,并写出它们的各项。
探索创新
5.对于单项式-2a
2y,我们可以从多个角度描述它的特点。例如:
①
它的次数是3;
②
它含有两个字母a与y;
③
字母a的次数是2,字母y 的次数是1;
④
它的系数是负数;
……
参考以上描述,回答下列问题:
(1)试指出单项式3x
2y 与-3xy
2 的相同点和不同点;
(2)试着从尽可能多的角度对下列单项式进行分类:
5x
2, -y
2, 2x
2y
2, -4b
3y, 3a
2x, -5x
2y
2, 1
2axy。
87
上一节我们认识了整式,整式是不是可以像数一样进行运算呢?
我们来看章引言中的第二个问题:两个集装箱的体积分别为9ab
m
3 和
6ab
m
3,它们的总体积是多少?
总体积是两个集装箱体积之和,
为(9ab+6ab)m
3。
如图4.2-1,可以把两个集
装箱组合成一个长为15
m,宽
为a
m,高为b
m的新长方体,
体积是15ab
m
3。
图4.2-1
由此,我们发现9ab+6ab=15ab,其中9ab+6ab表示的是两个单项式相加。
(1)你能用乘法对加法的分配律说明为什么9ab+6ab=15ab吗?
两个单项式中的字母部分都是ab,可以看作同一个数。根据乘法对加法的
分配律,得
9ab+6ab
=(9+6)
ab (乘法对加法的分配律)
=15ab。
这就是说,运用乘法对加法的分配律可以将9ab和6ab合并成一项15ab。
88
(2)在多项式3x
2-5x
2y+x
2+x
2y 中,哪些项可以合并成一项? 它们有
什么特征?
我们发现,3x
2 与x
2 所含字母都为x,且x 的指数都为2。根据乘法对加
法的分配律,得
3x
2+x
2=(3+1)x
2=4x
2。
类似地,-5x
2y 与x
2y 所含字母都为x 与y,且x 的指数都是2,y 的指
数都是1,所以
-5x
2y+x
2y=(-5+1)x
2y=-4x
2y。
(3)一般情况下,在多项式中,什么样的项可以合并成一项? 怎样合并?
像3x
2 与x
2,-5x
2y 与x
2y 这样,所含字母相同,并且相同字母的指数
也相同的项叫作同类项。常数项都是同类项。
把多项式中的同类项合并成一项,叫作合并同类项。
合并同类项时,把同类项的系数相加,所得的和作为系数,字母与字母
的指数不变。
合并下列各式中的同类项:
(1)3x
2+2x
2; (2)-x
2y-6x
2y;
(3)2mn-5mn+10mn;
(4)-3a
2b+a
2b+2a
2b。
解:(1)3x
2+2x
2=(3+2)x
2=5x
2。
(2)-x
2y-6x
2y=(-1-6)x
2y=-7x
2y。
(3)2mn-5mn+10mn=(2-5+10)mn=7mn。
(4)-3a
2b+a
2b+2a
2b=(-3+1+2)
a
2b=0。
1.合并下列各式中的同类项:
(1)3x-5x; (2)-2
3xy+2
3xy; (3)-a
2b-1
2a
2b。
2.下列各式中的两项是否为同类项? 如果是,请合并。
(1)a
3+b
3;
(2)1
2a
3b+1
3ba
3;
(3)-3a
2b
3+2a
3b
2。
89
合并下列各式中的同类项:
(1)4x
2-7x+5-3x
2+2+6x; (2)3a
2+9b
2+2ab-5a
2-9b
2。
解:(1) 4x
2-7x+5
-3x
2+2
+6x
=4x
2-3x
2-7x+6x+5+2 (加法交换律)
=(4x
2-3x
2)+(-7x+6x)+(5+2) (加法结合律)
=(4-3)x
2+(-7+6)x+(5+2)
(乘法对加法的分配律)
=x
2-x+7。
(2) 3a
2+9b
2+2ab-5a
2-9b
2
=3a
2-5a
2+9b
2-9b
2+2ab
=(3-5)
a
2+(9-9)
b
2+2ab
=-2a
2+2ab。
当x=1
3,y=-2时,求多项式2x
2y-2xy
2+5x
2y+xy
2-4x
2y
的值。
解: 2x
2y-2xy
2+5x
2y+xy
2-4x
2y
=2x
2y+5x
2y-4x
2y-2xy
2+xy
2
=3x
2y-xy
2。
当x=1
3,y=-2时,
原式=3× 1
3
2
×(-2)-1
3×(-2)
2
=-2
3-4
3
=-2。
先化简,再代入
求值更简单!
1.合并下列各式中的同类项:
(1)3x-4y-2x+y; (2)x
2-2xy-4x
2+6xy;
(3)4a
2b-5ab
2-a
2b+5ab
2;
(4)5
6x
3-1
2x
2+1
3x
3-3
2x
2+x。
2.先化简,再求值:3y
2-6y+1-y
2+2y-4,其中y=-2。
90
(第4题)
复习巩固
1.判断下列计算是否正确,并说明理由。
(1)3a+2b=5ab; (2)5y
2-3y
2=2;
(3)7ab-7ba=0;
(4)3x
2+4x
2=7x
4。
2.合并下列各式中的同类项:
(1)13x-2x-6x;
(2)t
2-t
3-5t
6;
(3)2m
2+1-3m-7m-3m
2+5;
(4)x
2y-4xy
2+2x
2y-5xy
2。
3.先化简,再求值:
(1)2x
2-5xy+2y
2+x
2-xy-6y
2,其中x=-1,y=2;
(2)a
3-3a
2b+ab
2+3a
2b-b
3-ab
2,其中a=1
4,b=-1
2。
拓展延伸
4.如图,某学校操场边的三层观众台,建于地面,背
靠围墙,每层的宽度相等,高度一致。现对这个观
众台的表面进行刷漆维护(包括两侧),则需要刷漆
的面积是多少?
5.类比合并同类项,将下列式子进行化简:
(1)3(
a+b)+2(
a+b)-4(
a+b);
(2)3(
a+b)
2-2(
a-b)-4(
a+b)
2+2(
a-b)。
探索创新
6.已知大正方形的边长为a,三个小正方形的边长分别为1
6a,1
3a,1
2a。将这三个
小正方形互不重叠地摆放在一起时,它们是否可以被大正方形覆盖? 试一试,画
出示意图。
(第6题)
91
我们已学过含有括号的数的运算,如何进行含有括号的整式运算呢?
小亮与一些同学及家长组成一个旅行团,
打算暑假去北京旅行,小亮负责购买门票。
他从网上查到的颐和园门票信息如下:
类型
旺季
(每年4月1日至10月31日)
淡季
(每年11月1日至次年3月31日)
成人票/元
30
20
学生票/元
15
10
如果这个旅行团有学生x 人,家长比学生的2倍少5人,那么购买颐和园
门票共需多少元?
根据表中信息,可知暑假期间学生票每张15元,成人票每张30元,由于
旅行团有学生x 人,家长(2x-5)人,因此购票共需的钱数(单位:元)为
15x+30(2x-5)。
(1)类比数的运算,如何化简15x+30(2x-5)?
因为字母表示数,所以可以运用乘法对加法的分配律去括号,即
15x+30(2x-5)
=15x+30×2x+30×(-5)
=15x+60x-150
=75x-150。
92
(2)运用乘法对加法的分配律,去掉下列式子中的括号:
a+(
b-c)=
;
a-(
b-c)=
;
a+2(
b-c)=
;
a-2(
b-c)=
。
(3)去括号时符号变化有什么规律?
+(
b-c)可以看成+1
和(
b-c)的乘积;
-(
b-c)可以看成-1
和(
b-c)的乘积。
括号前面是“+”号时,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项
的符号都不改变;
括号前面是“-”号时,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项
的符号都改变。
去括号:
(1)a+(2b-3c); (2)a-(2b-3c);
(3)a+2(2b-3c);
(4)a-3(2b-3c)。
解:(1)a+(2b-3c)=a+2b-3c。
(2)a-(2b-3c)=a-2b+3c。
(3)a+2(2b-3c)=a+4b-6c。
(4)a-3(2b-3c)=a-6b+9c。
先去括号,再合并同类项:3(x
2-2y
2)-(x
2+2y
2)。
解: 3(x
2-2y
2)-(x
2+2y
2)
=3x
2-6y
2-x
2-2y
2
=3x
2-x
2-6y
2-2y
2
=2x
2-8y
2。
自主探究如何添括号。例如,如何把a-b-c的后两项用括号括起来?
93
1.去括号:
(1)a+(-b+c);
(2)a-(
b+c-d);
(3)-(
a-b)+(
c-d);
(4)(
a-b)-(-c+d)。
2.先去括号,再合并同类项:
(1)(6a-10b)+(-4a+5b);
(2)(-3a+5b)-2(-5a+7b)。
复习巩固
1.去括号:
(1)x
2+(x-2); (2)
x
2-(x-2);
(3)x
2+3(x+1);
(4)x
2-3(x+1)。
2.下列各题中的去括号是否正确? 如果不正确,请改正。
(1)a
2-(2a-c)=a
2-2a-c;
(2)(x-y)-(
z-1)=x-y-z+1;
(3)-(x-1)-(1+3x)=-x-1-1+3x。
3.先去括号,再合并同类项:
(1)(2x
2-3x)+(-x
2+5x);
(2)(5x-6y-3a)-(2x-3y+3a);
(3)2(
a-b+c)+3(
a+3b-2c);
(4)(
a
2-4ab+4b
2)-4(
a
2-ab+b
2)。
拓展延伸
4.某书店新进一种畅销书x 本,第一天售出总数的1
2,第二天的销量比总数的1
4多
10本。请问书店还剩多少本这种畅销书(用含x 的代数式表示)?
5.若x-3y=3,求3(x-3y)
3-8x+24y-7的值。
探索创新
6.小亮邀请小莹做猜数游戏。小亮说:“你在心里想好一个两位数,先将十位数字乘
2,然后加1,再乘5,最后将得到的数加上原数的个位数字。把你的结果告诉我,
我就知道你心里想的那个两位数是多少。”小莹试了几次,小亮果然都猜对了。你
知道其中的奥秘吗?
94
整式的加减是代数学中最基本的运算形式之一,它可以将复杂的整式转化
为简单的整式,以便我们作进一步的计算和分析。
某公司采购甲、乙两种型号的新能源汽车。甲型、乙型汽车的售价分别为
a万元和b万元(a>b)。公司第一批购入2辆甲型汽车和3辆乙型汽车,第二
批购入3辆甲型汽车和2辆乙型汽车。该公司购买两批汽车共支付多少万元?
购买第二批汽车比购买第一批汽车多支付多少万元?
由题目中的数量关系可知,购买第一批汽车支付(2a+3b)万元,购买第二
批汽车支付(3a+2b)万元。
因此,购买两批汽车共支付的资金(单位:万元)为
(2a+3b)+(3a+2b)。
①
购买第二批汽车比购买第一批汽车多支付的资金(单位:万元)为
(3a+2b)-(2a+3b)。
②
式子①表示的是两个整式相加,式子②表示的是两个整式相减。
(1)如何化简式子①和②呢?
先去括号,再合并同类项,就可以把这两个式子进行化简。
(2a+3b)+(3a+2b)
=2a+3b+3a+2b
=5a+5b。
(3a+2b)-(2a+3b)
=3a+2b-2a-3b
=a-b。
95
(2)你能概括出整式的加法与减法的运算法则吗?
一般情况下,几个整式相加减,如果有括号先去括号,再合并同类项。
计算:
(1)5a
2b与2ab
2-4a
2b的和;
(2)3x
2-xy+1与4x
2+6xy-8的差。
解:(1) 5a
2b+(2ab
2-4a
2b)
=5a
2b+2ab
2-4a
2b
=a
2b+2ab
2。
(2) (3x
2-xy+1)-(4x
2+6xy-8)
=3x
2-xy+1-4x
2-6xy+8
=-x
2-7xy+9。
小莹发现:任意写一个三位数,将百位上的数字与个位上的数字交
换位置,十位上的数字不变,得到一个新数,原数与新数的差都能被99整除。
这个规律正确吗? 请说明理由。
解:这个规律正确。理由如下:
设原三位数百位上的数字为a,十位
上的数字为b,个位上的数字为c,则原数
为100a+10b+c,新数为100c+10b+a。
(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
=100a+10b+c-100c-10b-a
=99a-99c
=99(
a-c)。
因为a,c均为整数,
所以99(
a-c)能被99整除。
所以原数与新数的差能被99整除。
我们可以借助电子表格,验
证猜想是否正确。
原数
新数
原数与新数的差
123
321
-198
685
586
99
320
23
297
984
489
495
249
942
-693
746
647
99
243
342
-99
456
654
-198
642
246
396
…
…
…
96
已知A,B 均为只含字母x 的整式,若A,B 均为二次三项式,则A+B
的结果可能是什么样的整式?
1.计算:
(1)x
2-2x+1与3x
2+5x-7的和;
(2)a
2+2ab+b
2 与3a
2-2ab+4b
2 的差。
2.先化简,再求值:15x
2-[-4x
2+(6x-x
2)-3x],其中x=-1
2。
复习巩固
1.计算:
(1)3x+(-x-5y); (2)(x
2-y
2)- 3x
2+5
2y
2
;
(3)(x
2+2xy+y
2)+(x
2-2xy+y
2);
(4)3x
2-[6x-(2x+3)-x
2]。
2.先化简,再求值:1
2x+ 5
2x-y
2
-2(x-3y
2),其中x=3,y=-2。
3.已知A=x
3-2x
2+4x+3,B=x
2+2x-6,C=x
3+2x-3。求A-(B+C)。
拓展延伸
4.长方形的长为(3a+2b)
m,长比宽多(
a-b)
m。求这个长方形的宽及周长。
5.某校开展了丰富多彩的社团活动,每位学生可以选择自己最感兴趣的一个社团参
加。已知参加文艺类社团的有m 人,参加科技类社团的人数比参加文艺类社团的
人数少20,参加体育类社团的人数比参加科技类社团人数的2倍多5。求参加这
三类社团的总人数(用含m 的代数式表示)。
探索创新
6.小亮家的收入分为农业收入和非农业收入两部分。小亮家今年农业收入是非农业
收入的2倍,预计明年农业收入会降低20%,非农业收入会增长70%。小亮家明
年的总收入会增加还是减少? 请说明理由。
97
1.举出一些用单项式、多项式表示数量关系的实际例子,并指出单项式的
系数和次数,多项式的各项以及多项式的次数。
2.什么是同类项? 如何合并同类项? 如何去括号? 请举例说明。
3.如何进行整式的加法和减法运算? 请举例说明。
4.在学习单项式、多项式的概念时,我们经历了“观察对象→发现共性→
概括本质→给出定义”的过程。在学习哪些知识时也经历过这样的过程?
复习巩固
1.下列整式中哪些是单项式? 哪些是多项式? 如果是单项式,指出它的系数和次数;如
果是多项式,指出它的项数、次数以及每项的系数。
m; -xy
2; x
2+x-1; x+1
2 ; -3ab
2 ; -2πr
2。
2.计算:
(1)5x
2-2x
2; (2)x
2y-3x
2y;
(3)-1
2a
2bc+1
2bca
2;
(4)5xy-x
2+2x
2-4xy-3y
2+y
2。
98
3.计算:
(1)(3x-2y)+(2x+y);
(2)(9a-7b)-(3a-5b);
(3)(m
2+6m-9)+2(2m+3);
(4)1
3(3x-6y)-1
2(4x+y);
(5)3+[3a-2(
a-1)];
(6)5a
2b-[2a
2b-(
ab
2-2a
2b)]。
4.先化简,再求值:5(3a
2b-ab
2)-(
ab
2+3a
2b),其中a=-1
2,b=-1
3。
5.已知一个长为6a、宽为2a的长方形,将其沿如图①中虚线裁剪成四个相同的小长方
形后,按图②的方式拼接。求阴影部分正方形的边长。
① ②
(第5题)
6.一个三位数,它的个位数字是x,十位数字比个位数字大1,百位数字比个位数字小
2。请用整式表示这个三位数。
7.某校学生合唱团在演出时,一共排成4排。第一排有n名同学,从第二排起每一排都
比前一排多1名同学。该合唱团共有多少名同学参加演出?
拓展延伸
8.已知a-2b=4,求3a+(
b-a)-(5b-1)的值。
9.当x=1时,ax
3+bx 的值为6。求当x=-1时,ax
3+bx-2的值。
10.对任意有理数a,两个整式a
2+a-2与2a
2+a-1中,哪个的值更大? 为什么?
探索创新
11.如图是某年11月的月历,请回答下列问题:
(第11题)
(1)图中用框数器“ ”框出的五个数的和是多少?
(2)将框数器“ ”在图中换个位置框出五个数,记正
中间的数为a,则框出的五个数的和是多少?
(3)用框数器“ ”框出的五个数的和可能等于93吗?
若能,求出最中间的数;若不能,请说明理由。
(4)你还有什么新的发现?
内容提要
◆ 方程和方程的解
◆ 等式的基本性质
◆ 一元一次方程的解法
◆ 一元一次方程与实际问题
第5 章 一元一次方程
方程与不等式
一元一次
方程
等式
未知数
方程
……
我国明代数学著作《九章详注比类算法大全》中有一首诗：
远望嵬嵬塔七层，
红光点点倍加增。
共灯三百八十一，
请问尖头几盏灯？
大意为：一座雄伟壮观的七层宝塔，层层飞檐上闪烁着
红灯，下层红灯数目是相邻上层红灯数目的2 倍。全塔共有
381 盏灯，请问顶层有几盏灯？如何解决这个问题？
学习用字母表示数后，我们可以用字母表示未知数，并
用含有未知数的等式表示等量关系。我们把含有未知数的等
式称为方程，它是刻画现实世界中等量关系的重要数学模型。
一元一次方程是最简单的方程。如何根据实际问题中的
等量关系建立一元一次方程？如何找到一元一次方程的解？
这些都是本章主要研究的问题。在运用一元一次方程解决实
际问题的过程中，我们将认识方程的重要作用和价值。
际问题的过程中，我们将认识方程的重要作用和价值。
101
小学时,我们学过列算式解决实际问题。在学习了用字母表示数后,就可
以用含字母的式子表示数量关系,这为实际问题的解决提供了新的方法。
“远望嵬嵬塔七层,红光点点倍加增。共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”
这是章引言中的问题,我们可以用列算式的方法解决。
如果设宝塔顶层有x 盏红灯,根据数量关系“红光点点倍加增”可得,其
余各层自上而下依次有2x,4x,8x,16x,32x,64x 盏红灯。
根据问题中的等量关系:
各层红灯盏数的和=红灯的总盏数,
可以列出等式
x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381。
①
设未知数解决问题时,可以直接用含已知数和未知数的等式表示等量关系。
而列算式解决问题时,算式中只含已知数。
(1)顾客购买某种练习本时有两种方案。方案一:直接按每册10元购买。
方案二:先交会员费20元,之后按照每册8元购买。请问购买多少册练习本时
两种方案的费用相等?
设购买x 册练习本,则方案一的费用是10x 元,方案二的费用是(8x+20)
元。根据问题中的等量关系:
方案一的费用=方案二的费用,
可以列出等式
10x=8x+20。
②
102
(2)某工厂生产紫砂茶具套装,每套茶具包含1把茶壶和6只茶杯。已知
1
kg紫砂泥可制作2把茶壶或8只茶杯。现要用15
kg紫砂泥制作茶具套装,工
厂应各分配多少千克的紫砂泥制作茶壶和茶杯?
设制作茶壶的紫砂泥为x
kg,则制作茶杯的紫砂泥为(15-x)kg。根据问
题中的等量关系:
茶杯数量=茶壶数量的6倍,
可以列出等式
8(15-x)=6×2x。
③
图5.1-1
(3)如图5.1-1,将一个正方形花坛的两边分别延
长2
m扩建成一个长方形花坛,扩建后整个花坛的面积
为35
m
2。原正方形花坛的边长为多少?
设原正方形花坛的边长为x
m,则原花坛的面积为
x
2
m
2,扩建部分的面积为2x
m
2。根据等量关系:
原花坛的面积+扩建部分的面积=扩建后花坛的面积,
可以列出等式
x
2+2x=35。
④
上面的等式①②③④,有什么相同点和不同点?
等式①②③④
中都只含有一个未
知数。
等式①②③中未
知数的次数都是1,
但等式④则不同。
为了求出问题中的未知数,可以引入字母表示未知数,再根据等量关系
建立含有未知数的等式,这样的等式叫作方程(equation)。
方程中只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,等号两边都是整
式,这样的方程叫作一元一次方程(
linear
equation
with
one
unknown)。
103
当x=10时,10x=10×10=100,8x+20=8×10+20=100。方程10x=
8x+20的左右两边相等,x=10就是方程10x=8x+20的解。
同样,当x=6时,8(15-x)=8×(15-6)=72,6×2x=6×2×6=72。方
程8(15-x)=6×2x 的左右两边相等,x=6就是方程8(15-x)=6×2x 的解。
使方程的等号两边相等的未知数的值叫作方程的解。只含有一个未知数的
方程的解也叫作方程的根。
1.根据题意列出方程:
(1)x 的2倍与18的和等于54;
(2)27与x 的差的一半等于x 的4倍;
(3)一个长方形的宽为x
cm,长比宽多5
cm,面积为
36
cm
2;
(4)书包的单价为128元,文具盒的单价为x 元,购买2个书包和5个文具盒共
需351元。
2.根据题意,设未知数并列出方程。
(1)一家商店在销售某种服装时,按这种服装的标价销售10件的销售额,与按这
种服装的标价降低30元销售11件的销售额相等。求这种服装每件的标价。
(2)古埃及“纸草书”中记载:一个数,它的三分之二,它的一半,它的七分之
一,它的全部,加起来总共是33。这个数是多少?
3.完成下表:
x 的值
2
1
0
-1
-2
…
3x+5的值
…
你能从表中找到方程3x+5=2的解吗?
104
复习巩固
1.判断x=3是下列哪个方程的解:
(1)5x+1=19-x;
(2)3x-2=2x-3;
(3)5x+1
8
=x-1;
(4)-6x+13=13-7x。
2.某中学篮球场的周长为86
m,其中长比宽的2倍少2
m。设宽为x
m。
(1)根据题意列方程;
(2)判断x=15,x=20是否为(1)中所列方程的解。
3.设未知数并列出方程:
(1)某省现有国家级、省级和市(县)级自然保护区共49个,其中国家级10个,
省级比市(县)级多5个。市(县)级自然保护区有多少个?
(2)用铁皮做罐头盒,每张铁皮可制盒身30个,或制盒底50个,一个盒身与两
个盒底配成一套。现有33张铁皮,分别用多少张铁皮制盒身、盒底,才能既
恰好用完铁皮,又使盒身和盒底正好配套?
拓展延伸
4.请按照表格中的步骤,尝试求方程42+x=3(12+x)的解。
x 的值
左边的值
右边的值
比较左右两边的值
第1次
2
44
42
左边>右边
第2次
5
47
51
左边<右边
第3次
探索创新
5.从生活中选取素材编制一道数学题,并设未知数列出方程。
105
方程是含有未知数的等式,因此研究等式的性质将有助于探索方程的解。
思考下面的问题:
(1)今年小莹a 岁,小亮b岁,再过c年他们分别多少岁? 如果两人同岁
(即a=b),那么c年后他们的年龄相同吗? 你得出了什么结论,能用等式表
示吗?
(2)一袋巧克力的售价是a 元,一盒饼干的售价是b元,买c袋巧克力和
买c盒饼干各需要多少元? 如果一袋巧克力与一盒饼干的售价相同(即a=b),
那么买c袋巧克力和买c盒饼干的费用相同吗? 你得出了什么结论,能用等式
表示吗?
当数的范围扩充至有理数时,这些结论还成立吗? 请举例说明。
等式的基本性质1 等式两边都加上(或减去)同一个代数式,结果仍是等
式,即
如果a=b,那么a+c=b+c,a-c=b-c。
等式的基本性质2 等式两边都乘同一个数,或除以同一个不为零的数,
结果仍是等式,即
如果a=b,那么ac=bc;
如果a=b,c≠0,那么a
c=b
c。
106
在横线上填上适当的整式,使等式成立,并说明理由。
(1)如果2x+5=3,那么2x=3-
;
(2)如果-1
3x=1,那么x=
。
解:(1)5。
根据等式的基本性质1,等式两边都减去5,得
2x+5-5=3-5,
即
2x=3-5。
(2)-3。
根据等式的基本性质2,等式两边都乘-3,得
-3× -1
3x
=-3×1,
即
x=-3。
1.回答下列问题:
(1)从等式a=b能否得到等式a-2=b-2? 为什么?
(2)从等式a=b能否得到等式a
2=b
2? 为什么?
(3)从等式-2a=2b能否得到等式a=b? 为什么?
(4)从等式a=b能否得到等式3a=2b+a? 为什么?
2.根据下列条件,写出仍然成立的等式:
(1)如果m+5=10,两边都减去5,那么
;
(2)如果4a=-12,两边都除以4,那么
;
(3)如果2x=14-x,两边都加上x,那么
;
(4)如果-7
2y=14,两边都乘-2
7,那么
。
107
① ② ③
复习巩固
1.回答下列问题,并说明变形的依据。
(1)怎样从等式a+c=b+c得到等式a=b?
(2)怎样从等式3a=9b得到等式a=3b?
(3)怎样从等式1
2a-3c=-1
4b-3c得到等式2a=-b?
2.填空:
(1)如果3x=2x+7,那么3x-2x=
,依据:
;
(2)如果-2x=2y,那么x=
,依据:
;
(3)如果2
3x=4,那么x=
,依据:
。
3. (1)由等式x-2y=0,能得到等式x=2y 吗? 若能,写出变形的过程及依据;
(2)由等式m
6-n
8=0,能得到等式4m=3n吗? 若能,写出变形的过程及依据。
拓展延伸
4.已知等式2x+3y=6,用含x 的代数式表示y。
5.已知a=b,利用等式的基本性质写出3个关于a和b
的等式,并说明理由。
探索创新
6.
“
”“
”“
”分别表示三种不同的物体。如图,天平①②保持平衡,如
果要使天平③也平衡,那么应在天平③的右端放几个“
”?
(第6题)
108
前面我们学习了方程及其解的概念。本节我们将根据等式的基本性质,研
究一元一次方程的一般解法。
(1)如何解方程6x=-24?
只要将方程化为x=c的形式,
就能得到方程的解。
运用等式的基本性质2,方程6x=-24的两边都除以未知数的系数6,得
6x
6=-24
6 ,
即
x=-4。
把x=-4代入方程左边,得
6×(-4)=-24。
方程的左右两边的值相等,所
以x=-4是方程6x=-24的解。
(2)如何解方程x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381呢? 这个方程变
形为怎样的形式,就能求出它的解? 变形的依据是什么?
合并同类项得
(1+2+4+8+16+32+64)x=381,
即
127x=381。
根据等式的基本性质2,方程127x=381的两边都除以127,得
x=3。
109
上述解方程的过程如下:
x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381
合并同类项
127x=381
系数化为1
x=3
求方程的解的过程,叫作解方程。
解一个以x 为未知数的方程,就是把方程转化为x=c(
c为常数)的形式。
解下列方程:
(1)-3
5x=6; (2)8x-3x=-5+7.5。
解:(1)系数化为1,得
x=6× -5
3
,
即
x=-10。
(2)合并同类项,得
5x=2.5。
系数化为1,得
x=1
2。
1.解下列方程:
(1)3x=-27; (2)y-1.3y=2.1;
(3)21x-4x=-34;
(4)-5
2x+3
2x-6x=-15。
2.三个连续奇数的和是51,求这三个数。
110
如何解方程10x=8x+20?
这个方程的两边都有含x 的项。为了使方程右边不含x,根据等式的基本
性质1,方程两边都减去8x,得
10x-8x=8x+20-8x,
即
10x-8x=20。
合并同类项、系数化为1,得
2x=20,
x=10。
将10x=8x+20变形为10x-8x=20,这种变形有什么规律?
10x=
8x
+20,
10x
-8x
=20。
这个变形相当于把原方程的项8x 改变符
号后,从方程的一边移到了另一边,其依据
是等式的基本性质1。
类似地,为了解方程3x-12=-3,可以把-12改变符号后移到等号右边,
得到3x=-3+12。
3x
-12
=-3,
3x=-3
+12
。
把方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫
作移项。
111
解下列方程:
(1)3-4x=2x+15; (2)2y-3=1
3y+7。
解:(1)移项,得
-4x-2x=15-3。
合并同类项,得
-6x=12。
系数化为1,得
x=-2。
(2)移项,得
2y-1
3y=7+3。
合并同类项,得
5
3y=10。
系数化为1,得
y=6。
1.下列变形正确吗? 如果不正确,应怎样改正?
(1)由方程x+1=3,移项得x=3-1;
(2)由方程3y=4y-9,移项得3y-4y=-9;
(3)由方程2x-0.8=3x+1.6,移项得2x-3x=1.6-0.8;
(4)由方程10-3x=2-5x,移项得5x-3x=2-10。
2.解下列方程:
(1)2x-3=-8; (2)6-21y=15;
(3)7-4y=6-2y;
(4)1
2x+2.1=0.7-1
5x。
112
(1)如何解方程5x-10=3(x+2)?
将方程右边的括号去掉,转化为会解的方程,流程如下:
5x-10=3(x+2)
去括号
5x-10=3x+6
移项
5x-3x=6+10
合并同类项
2x=16
系数化为1
x=8
(2)如何解方程x-8
2 +2=x
5呢? 试一试,说出每步变形的依据。
方程中含有分母,可以根据等式的基本
性质2,两边都乘2和5的最小公倍数10,
就转化为没有分母的方程了。
将方程去分母,转化为会解的方程,完成下面流程:
x-8
2 +2=x
5
去分母
5(x-8)+20=2x
去括号
(3)归纳解一元一次方程的一般步骤。
113
解一元一次方程的一般步骤为:去分母,去括号,移项,合并同类项,
系数化为1。
解下列方程:
(1)7x-(2+x)=4(x-3);
(2)x-2
4 -2x-5
3
=1。
解:(1)去括号,得
7x-2-x=4x-12。
移项,得
7x-x-4x=-12+2。
合并同类项,得
2x=-10。
系数化为1,得
x=-5。
(2)去分母,得
3(x-2)-4(2x-5)=12。
去括号,得
3x-6-8x+20=12。
移项,得
3x-8x=12+6-20。
合并同类项,得
-5x=-2。
系数化为1,得
x=2
5。
114
1.解下列方程:
(1)6x-3(11-2x)=-1; (2)x+5
5 =3-2x
3
。
2.解下列方程:
(1)1
3x+1
2(20-x)=8;
(2)3x-1
2
-5x-2
3
=1。
复习巩固
1.解下列方程:
(1)5x-2x=9-x; (2)8+x=0.2x;
(3)3y+4=4-2y;
(4)6m-1=3-2m。
2.解下列方程:
(1)4x-3=2(x-1);
(2)5(x-1)=-3(x-4);
(3)4(y-3)+5=35-(y-3);
(4)1
2x+2 5
4x+1
=8+x。
3.解下列方程:
(1)x
6-10-x
4
=0;
(2)x-3
2 -2x+1
3
=1;
(3)y-y-2
2 =1+2y-1
3
;
(4)3
2
4
3x-6
=3(x+1)。
4.当m 取什么值时,代数式4m+1与3(m-1)的差等于5?
拓展延伸
5.如何把方程0.4x-1
0.5 -0.1x+0.3
0.2
=2.5的分母中的小数化为整数? 请解出这个方程。
6.对于有理数a,b,我们规定ab=ab
2+4b。若有理数x 满足(x-2)3=3x-4,
求x的值。
7.有下列按一定规律排列的一组数:
2, -4, 8, -16, 32, …
若其中三个相邻数的和是-192,则这三个数各是多少?
115
8.下图是一个运算程序的示意图:
(第8题)
(1)若x=-2,y=3,求m 的值;
(2)若x=4,输出结果m 的值与输入y 的值相同,求y 的值。
探索创新
9.“洛书”是我国古代流传下来的神秘图案,蕴含着深奥的宇宙运行规律,也包含
着丰富的数理关系。相传有一句对洛书图案(如图①)数理关系进行解释的口诀:
戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,五居中央。也就是说,将1到9这
九个正整数填入洛书对应的九宫格(如图②)中,满足任一行、列、对角线上三个
数之和都相等。在学习了方程相关知识后,尝试探究九宫格的奥秘。
①
x
②
(第9题)
(1)由任一行、列、对角线上三个数之和都相等,设每一行三个数的和为S,三
行九个数的和3S 就是1到9这九个正整数之和,由此可得S=
;
(2)再设中间数为x,利用包含中间数x 的行、列、对角线上的数与九个数的关
系可列出方程,求解中间数x。
请根据上述探究,列方程求出中间数x 的值。
116
前面我们认识了一元一次方程,讨论了它的解法。本节我们将探究如何应
用一元一次方程解决实际问题。
某中学正在举办科普知识竞赛,规则如下:每次答题前需要先按响抢答器,
获得抢答权,答对一次得20分,答错、答不出均扣10分。小亮按响抢答器12
次,最后得120分。他答对的次数是多少?
设小亮答对的次数为x,在下面表格中,用含x 的代数式表示问题中其他
的未知量。
答对
答错、答不出
次数/次
x
12-x
得(扣)分/分
20x
10(12-x)
根据题目中的等量关系:
所得的分数-扣掉的分数=120,
列出方程
20x-10(12-x)=120。
解方程,得
x=8。
所以,小亮答对8次。
通常可以用列表的方式表示
实际问题中量与量的关系。
117
列方程解决实际问题的一般步骤:
①
理解题意,明确问题中的已知量、未知量;
②
用字母表示问题中的一个未知量,并根据问题中的数量关系用含该字
母的代数式表示其他未知量;
③
根据等量关系,列出方程;
④
解方程,求出未知数的值;
⑤
写出答案。
列一元一次方程解决实际问题的步骤,可以用下面的框图表示:
粮仓在保障粮食安全方面发挥着
重要作用。甲、乙两个粮仓共存小麦400
t。
如果甲粮仓运进小麦30
t,乙粮仓运出小麦
50
t,两个粮仓所存小麦质量恰好相等,那么
原来两个粮仓各存小麦多少吨?
如果设甲粮仓原来存小麦x
t,你能通过
下面的表格,用x 表示问题中的其他未知量吗?
甲粮仓存小麦质量/t
乙粮仓存小麦质量/t
原来
x
现在
题目中的等量关系是
甲粮仓现存小麦质量=乙粮仓现存小麦质量。
118
解:设原来甲粮仓存小麦x
t,则乙粮仓存小麦(400-x)
t。根据题意,得
x+30=(400-x)-50。
解方程,得
x=160。
此时,400-x=240。
所以,原来甲、乙两粮仓分别存有小麦160
t和240
t。
1.小莹三天读完了一本数学科普书,第一天读了36页,第二天读了剩余的1
4,第
三天读了整本书的5
8。这本书一共多少页?
2.第31届夏季奥运会中国代表团共获得70枚奖牌,金、银、铜奖牌数之比为
13∶9∶13。请问中国代表团获得金、银、铜奖牌各多少枚?
3.某小型企业每天能生产100个A 零件或50个B 零件,A,B 两种零件各一个可
配成一套产品。该企业在30天内最多可生产多少套产品?
小亮和小莹去青少年素质教育实践基地参加活动。小亮从学校出
发,步行去基地,速度为5
km/h,16
min后,小莹从学校出发,骑自行车沿相
同路线骑行,速度为15
km/h,结果两人同时到达实践基地。学校到实践基地
的路程是多少?
设学校到实践基地的路程为x
km,填写下表:
速度/(km/h)
时间/h
路程/km
步行
骑自行车
题目中的等量关系是
步行所用时间-骑自行车所用时间=
。
119
解:设学校到实践基地的路程为x
km,那么步行所用时间为x
5
h,骑自行
车所用时间为x
15
h。根据题意,得
x
5-x
15=16
60。
解方程,得
x=2。
所以,学校到实践基地的路程为2
km。
如果设骑自行车从学校到实践基地需要y
h,可以用图5.4-1来分析本题中
的数量关系。
图5.4-1
根据等量关系:
骑自行车的路程=步行的路程
可以列出方程。
画示意图分析数量关系
也是一种常用的方法。
1.甲、乙两人从相距1
200
m的两地同时出发,相向而行。甲、乙步行的速度分别
为70
m/min和50
m/min。经过多长时间两人相遇?
2.为了锻炼身体,李老师将上下班的交通方式从乘坐公交车改为骑自行车,路线不
变。李老师乘公交车的平均速度为40
km/h,骑自行车的平均速度为15
km/h。
如果骑自行车上班的时间比乘公交车多15
min,那么李老师家离学校有多远?
3.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了2
h,从乙码头返回甲码头逆流行驶,用
了2.5
h。已知水流的速度是3
km/h,求船在静水中的平均速度。
120
用两台水泵从同一池塘向外抽水。单独用甲水泵5
h可以把水抽完,
单独用乙水泵2.5
h可以把水抽完。
(1)如果用两台水泵同时抽水,多长时间能把水抽完?
(2)如果先用甲水泵抽水2
h,剩下的部分由两台水泵同时抽,还需要多长
时间才能把水抽完?
这个问题中的数量关系是:
工作量=工作效率×工作时间。
“抽完一池水”没有具体的工作量,通常把
这种工作量(总工作量)看作整体“1”。
题目中的等量关系是
第(1)问:甲水泵的抽水量+乙水泵的抽水量=1。
第(2)问:
。
解:(1)设两台水泵同时抽水x
h能把水抽完。根据题意,得
1
5x+ 1
2.5x=1。
解方程,得
x=5
3。
所以,两台水泵同时抽5
3
h能把水抽完。
(2)设两台水泵同时再抽y
h才能把剩下的水抽完。根据题意,得
1
5(2+y)+ 1
2.5y=1。
解方程,得
y=1。
所以,两台水泵同时再抽1
h才能把剩下的水抽完。
121
还可以根据其他数量关系列方程吗?
我列的方程是:
1
5y+ 1
2.5y=1-2
5。
1.维修一段管道,师傅单独维修需要4
h完成,徒弟单独维修需要6
h完成。如果徒
弟先维修1
h,再与师傅一块维修,还需要多长时间完成?
2.点燃两支等长的蜡烛,第一支4
h燃尽,第二支3
h燃尽。同时点燃这两支蜡烛,
经过多长时间第一支蜡烛剩余高度是第二支蜡烛剩余高度的2倍?
3.爱迪生曾设计了一个注水装置,将它与家里的大门相连,推开大门的同时,带动
注水装置往水槽中注水。最初每次推门只能往水槽里注入20
L水,后来经过改
进,每次推门能往水槽里注入25
L水。这样比原来少推门12次就能把水槽注满
水。爱迪生家的水槽能盛多少升水?
商店将某种商品按标价的九折出售,该商品的利润率是15%。已知
这种商品每件的进价为1
800元,求每件商品的标价。
在销售问题中,一般要涉及进价、售
价和利润。它们之间有下列数量关系:
售价-进价=利润;
利润
进价×100%=利润率。
解:设每件商品的标价为x 元。根据题意,得
90%x-1
800=1
800×15%。
解方程,得
x=2
300。
所以,每件商品的标价为2
300元。
122
李大爷到银行去存储一笔现金,计划存储两年。经过咨询,李大爷
可以用两种方式存储这笔现金:第一种是先存年利率为1.75%的一年定期,到
期后连本带利再转存一年;第二种是直接存年利率为2.25%的二年定期。已知
第二种方式比第一种可以多得利息775.5元,李大爷准备存储的这笔现金是多
少元?
这个问题中的数量关系是:
利息=本金×年利率×存期。
解:设这笔现金为x 元,则按第一种方式存储,第1 年所得利息为
1.75%x 元,第2年所得利息为1.75%×(1+1.75%)x 元;按第二种方式存
储所得利息为2×2.25%x 元。根据题意,得
2×2.25%x-[1.75%x+1.75%×(1+1.75%)x]=775.5。
解方程,得
x=80
000。
所以,李大爷准备存储的这笔现金是80
000元。
复杂的计算可以
借助计算器。
1.某商品的进价为200元,商家按商品标价的八折出售可获利10%。该商品的标价
是多少元?
2.商场准备将某商品打折出售,如果按原价的七五折出售,每件将亏损25元;如果
按原价的九折出售,每件将盈利20元。求每件商品的原价是多少。
3.冯老师利用手机银行将储蓄卡中的16
000元转存为三年定期存款,预计到期收益
1
320元。求三年定期存款的年利率是多少。
123
复习巩固
1.某区域每天需要处理生活垃圾920
t,刚好可以被12个A型和10个B型处理点位
处理完。已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7
t生活垃圾。每个A型
点位每天处理生活垃圾多少吨?
2.某玩具生产厂家A车间原来有30名工人,B车间原来有20名工人。现将新增的
25名工人全部分配到两车间,使A车间工人总数是B车间工人总数的2倍。新分
配到A,B车间的工人数各是多少?
3.复印一批文件,如果A,B两台复印机单独完成,分别需要用50
min,40
min。
现在两台复印机同时工作,在20
min时B复印机出现故障,剩下的工作由A复
印机单独完成,还需要多长时间?
4.某服装专卖店销售一种服装,按原价的八折销售10件的销售额,与按比原价低
30元销售11件的销售额相等。求这种服装的原价。
5.元代朱世杰的《算学启蒙》记载:良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里。驽
马先行一十二日,问良马几何追及之。大意为:良马每天行走240里,驽马每天
行走150里。驽马先行走12天,问良马几天可追上驽马。
拓展延伸
6.小亮家共6人,相约一起去观看电影。小亮查到附近两家影城的票价和优惠活动
如下:
影城
票价/元
优惠活动
A影城
48
学生票半价
B影城
50
超过5人,总价打八折
小亮准备给所有人都购票,他发现其实在两家影城购票的总费用相同,小亮家共
有学生多少人?
7.张师傅买了13:45发车的高速列车票,他12:40从家门口乘公交车赶往火车站。
公交车的平均速度为30
km/h,在行驶了1
3路程后改乘出租车,车速提高1倍,
在列车发车前25
min到达火车站。张师傅家到火车站有多远?
124
(第9题)
8.我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题:今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,
又三家共一鹿,适尽,问城中家几何。大意为:今有100头鹿进城,每家取一头
鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完。问城中有多少户人家。
9.如图,一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的,
其中黑皮为正五边形,白皮为正六边形。已知黑皮和白皮共有
32块,每块黑皮周围有5块白皮,每块白皮周围有3块黑皮。
缝制这样一个足球需要黑皮、白皮各多少块?
探索创新
10.下表为某市居民每月用水收费标准(单位:元/m
3),不足1
m
3 按1
m
3 计算。
用水量
单价
第一阶梯
0~22(含)m
3
a
第二阶梯
22~31(含)m
3
a+1.34
第三阶梯
31
m
3 以上
a+5.34
(1)某用户用水10
m
3,共缴水费24.7元,求a的值;
(2)在(1)的前提下,该用户5月缴水费77.2元,请问该用户5月用水多少立
方米?
11.某超市有A,B两种消费券。若一次性购物大于或等于60元,付款时使用A券
可减20元;若一次性购物大于或等于90
元,付款时使用B券可减30元。小莹
有一张A券,小亮有一张B券,两人分别购买了一件标价相同的商品,共付现
金150元。请问所购商品的标价是多少元?
125
方程史话
《九章算术》的第八章名为“方程”。
魏晋时期数学家刘徽在对《九章算术》
作注释时说: “程,课程也……二物者再程,三物者三程,皆如物数程之,
并列为行,故谓之方程。”这里所谓“如物数程之”,是指有几个未知数就要
列出几个等式。由于当时是用算筹来表示和计算等式中未知数的系数和常数
项的,每一个等式的未知数的系数和常数项排成一行,几行算筹并列起来好
像一个方阵,所以人们将其形象地称为“方程”。可见,当时所讲的“方程”
与我们今天所学的方程不完全相同,它实际上是我们以后要学习的方程组。
现在的“方程”一词来源于英文单词equation,意为相等。清朝初年,
人们曾把它译为“等式”。1859年,我国清代数学家李善兰翻译德·摩根的
《代数学》时开始把它译为“方程”。
126
1.小学时,我们用列算式的方法解决了很多实际问题,在这一章,我们认
识了方程,请结合实例谈谈方程的作用。
2.等式的基本性质是什么?
3.什么是一元一次方程?
请举例说明。
4.解一元一次方程的基本思路是什么? 一般情况下,解一元一次方程的主
要步骤有哪些? 每一步的依据是什么?
5.运用一元一次方程解决实际问题的一般过程是什么?
127
复习巩固
1.根据等式的基本性质,下列各式变形正确的是
。
(1)若a=b,则a+c=b-c;
(2)若ac=bc,则a=b;
(3)若a=b,则ac=bc;
(4)若a
c=b
c,则a=b。
2.解下列方程:
(1)3x-5=6x+7;
(2)4x-3=3(20-x);
(3)x+2
5 =5-x
2 ;
(4)1
4(4y-1)=1
3(2y+3)-1。
3.已知x=5是关于x 的方程ax-8=20+a的解,求a的值。
4.当x 取什么值时,1
3(1-2x)与6
5x+3相等?
5.某校为创建“书香校园”,计划将5
600册图书分配到30个大小图书角。每个小图书
角需图书160册,每个大图书角所需图书比每个小图书角的2倍少80册。该校大小
图书角各多少个?
6.李叔叔为了给蔬菜施肥,准备购买甲、乙两种有机肥。已知甲有机肥每吨的价格比乙
有机肥多100元,购买2
t甲有机肥和1
t乙有机肥共需1
700元。甲、乙两种有机肥
每吨各多少元?
7.七年级1班有45人,2班有40人。现需要从1班、2班各抽选一部分同学去参加歌
咏比赛。如果从1班抽选的人数比从2班抽选的人数多1人,那么1班剩余人数恰好
是2班剩余人数的2倍。从1班、2班各抽选了多少人?
8.某景区为接待一个旅游团准备了若干辆观光车。如果每6人同乘一辆车,剩余2辆
车;如果每5人同乘一辆车,剩余8人需步行。景区准备了多少辆观光车?
拓展延伸
9.解下列方程:
(1)x+1
0.5=0.1x-0.2
0.02
-3; (2)4
3 3x-1
2
+3
4
=5x-1。
128
10. 《九章算术》中有这样一段记载:今有善行者行一百步,不善行者行六十步。大意
为:同样时间内,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步。假定两者步长
相等,据此回答以下问题:
(1)走路慢的人先走100步,走路快的人开始追赶,当走路慢的人再走600步时,
请问谁在前面? 两人相隔多少步?
(2)走路慢的人先走200步,走路快的人走多少步才能追上走路慢的人?
11.为了美化环境,某市计划将若干棵树苗栽在一条街道的一侧,要求街道的两端各栽
1棵,并且树苗的间隔相等。
方案一:如果每隔5
m栽1棵,那么树苗缺21棵;
方案二:如果每隔5.5
m栽1棵,那么树苗正好用完。
根据上述方案,请你求出原有树苗的棵数和这条街道的长度。
探索创新
12.某届排球联赛的参赛队伍为12支,比赛采取单循环方式(各队之间均相互进行一场
比赛),五局三胜。积分规则如下:比赛中以3∶0或者3∶1取胜的球队积3分,负
队积0分;比赛中以3∶2取胜的球队积2分,负队积1分。前四名队伍积分榜部分
信息如下表:
名次
球队
场次
胜场
负场
总积分
1
A
11
11
0
2
B
11
10
28
3
C
11
8
3
23
4
D
11
21
(1)A队11场胜场中只有一场以3∶2取胜,将A队的总积分填在表格中;
(2)D队积3分取胜的场次比积2分取胜的场次多5场,该队负场共积1分,求D
队胜场的场数;
(3)写出B队负场可能的积分。
内容提要
◆ 点、线、面、体
◆ 直线、射线、线段
◆ 线段的比较与运算
◆ 角的比较与运算
第6 章 基本的几何图形
图形的性质
线和角
几何图形
平面图形
……
形态各异的建筑、纵横交错的立交桥、不同种类的交通
标志、各式各样的广告牌匾……我们的周围充满丰富多彩的
图形。观察身边的世界，你能发现哪些熟悉的几何图形？
我们在小学初步认识了一些几何图形，在初中将深入研
究这些图形的形状、大小和位置关系。在本章中，我们将进
一步认识点、线、面、体，研究直线、射线、线段和角等基
本几何图形的表示方法、基本性质和相互之间的关系，初步
了解它们在现实生活中的应用。
131
五彩缤纷的世界里,各种各样的物体多姿多彩。其中,物体的形状、大小
和位置关系是几何研究的主要内容。
观察图6.1-1中常见的生活物品,我们只研究它们的形状,可以得到图6.1-2
中的图形。
图6.1-1
长方体 正方体 球 圆柱 圆锥
图6.1-2
长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是几何体,又简称为体。几何体是
由面围成的。例如,长方体由六个平的面围成,球由一个曲的面围成,圆柱由
两个平的底面和一个曲的侧面围成。
图6.1-3
生活中,操场的地面、平静的水面、
镜面、黑板面等都给我们以平面的形象。
数学中的平面是从实物中抽象出来的,
没有厚薄,没有边界,向四面八方无限
延展。除平面外,我们还会经常见到弯
曲的面的形象(图6.1-3)。
132
图6.1-4
(1)分别观察图6.1-4中的长方体和
圆锥,相邻两个面的交接处是什么图形?
在长方体中,相邻两个面的交接处
是一条线段,我们把它叫作棱,圆锥的
侧面与底面的交接处是圆。
一般而言,两个面的交接处是一条
线,线可以是直的,也可以是曲的。线与线的交接处是一个点,点一般用一个
大写字母表示,如点P。在图6.1-4所示的长方体中,棱与棱的公共点叫作长方
体的顶点。
长方体、圆柱、圆锥、球、三角形、平行四边形、梯形、圆等都是几何图
形(geometric
figure),它们是几何研究的主要对象。
(2)长方体、圆柱、圆锥、球上的点是否在同一个平面内? 三角形、平行
四边形、圆上的点是否在同一个平面内?
长方体、圆柱、圆锥、球上的点不都
在同一个平面内。相反,三角形、平行四
边形、圆上的点都在同一个平面内。
如果几何图形上的点不都在同一个平面内,那么这样的几何图形叫作
立体图形。
如果几何图形上的点都在同一个平面内,那么这样的几何图形叫作
平面图形。
长方体、圆柱、圆锥、球等都是立体图形。线段、角、三角形、平行四边
形、梯形、圆等都是平面图形。
133
如图6.1-5,流星给我们以“点动成线”的形象,折扇扇骨移动形成的扇面
给我们以“线动成面”的形象,旋转门给我们以
“面动成体”的形象。点、线、
面、体的运动变化,能组成各种各样的几何图形。点是构成图形的基本元素。
流星雨 折扇
旋转门
图6.1-5
1.观察下列实物图片,描述图中物体的主要形状。
水立方
储气罐
粮囤
(第1题)
2.举出生活中“点动成线”“线动成面”“面动成体”的例子。
复习巩固
1.说出下列立体图形的名称:
(第1题)
2.把几何图形圆、圆柱、球、扇形、三角形、长方体、正方体、直角分别填到下面
的大括号里(用顿号隔开):
立体图形:{
…};
平面图形:{
…}。
134
3.将下列平面图形分别绕图中的虚线(轴线)旋转一周,可以得到什么立体图形?
① ② ③ ④
(第3题)
拓展延伸
4.摆一摆,看一看,回答下列问题:
(1)用3根小木棍首尾相接组成的图形是平面图形还是立体图形?
(2)用6根小木棍首尾相接组成的图形是平面图形还是立体图形?
探索创新
5.观察下列几种多面体模型,并完成下表:
四面体 长方体 正八面体
正十二面体
(第5题)
多面体
顶点数(
V)
面数(F)
棱数(E)
四面体
4
4
长方体
6
12
正八面体
6
12
正十二面体
20
30
135
历史长河中的几何学
“几何学”的原意是“土地测量的学问”。人类早在原始社会时期,就通
过食物采集活动积累了许多几何知识,如物体形状、大小、长度、距离、位
置等。
在古埃及,由于尼罗河洪水泛滥,经常冲毁两岸田地的界线,所以人们
每年都要测量土地,由此积累了丰富的几何知识。古希腊数学家欧几里得
(Euclid,约前330—前275)系统整理了古埃及人和古希腊人的几何学知识,
著成《几何原本》。
欧几里得《几何原本》
印刷本(1482)第1页
人面鱼纹盆
我国对几何学的研究也有着悠久的历史,在半坡遗址出土的陶器上就有
许多几何图形纹饰。
我国古代典籍中有许多关于几何学的记载,如《墨子》里记载了“圆,一
中同长也”,《周髀算经》中记载了直角三角形三边之间的关系,《九章算术》
中记载了土地面积和物体体积的计算方法,等等。
我国古代数学家对几何学的发展作出了重大贡献,如魏晋时期的数学家
刘徽提出了“割圆术”,南北朝时期的数学家祖冲之(429—500)将圆周率精
确到小数点后第七位,隋唐时期的数学家王孝通(生卒年不详)在《缉古算经》
中记载了解直角三角形,等等。
136
点、线、面、体都是几何图形。本节我们将研究基本的几何图形———点
和线。
在小学阶段,我们已经认识了线段、射线和直线。图6.2-1中,整齐的斑
马线、射向远方的激光、笔直的铁轨可以分别抽象为线段、射线、直线。
斑马线
激光 铁轨
图6.2-1
线段有两个端点;线段向一个方向无限延伸得到
射线,射线只有一个端点;线段向两个方向无限延伸
得到直线,直线没有端点。
我们可以用两个大写字母或一个小写字母表示线段、射线、直线。例如,
图6.2-2中的线段可以记作线段AB(或线段BA,或线段a),其中A,B 表示
线段的端点;图6.2-3中的射线可以记作射线AB(或射线l),其中A 表示射线
的端点,B 表示射线上除端点外的任意一点;图6.2-4中的直线可以记作直线
AB(或直线BA,或直线m),其中A,B 表示直线上的任意两点。
图6.2-2
图6.2-3
图6.2-4
137
(1)一个点与一条直线有几种位置关系?
点P 与直线l的位置关系有两种:如图6.2-5①,点P 在直线l上,或者说
直线l经过点P;如图6.2-5②,点P 在直线l外,或者说直线l不经过点P。
① ②
图6.2-5
(2)动手画一画:经过点A 能作几条直线? 经过A,B 两点呢?
①
②
图6.2-6
经过点A 可以作无数条直线(图6.2-6①)。
经过A,B 两点只能作一条直线(图6.2-6②)。
基本事实 经过两点能且只能作一条直线。
简单说成:两点确定一条直线。
现实生活中,人们经常应用这个基本事实。
例如,工人师傅砌墙时,先在两端各固定一点,
中间拉紧一根水平细线,然后沿着细线砌墙。
138
如图6.2-7,A,B,C 是直线l上的3个点。
图6.2-7
(1)图中共有几条线段? 这些线段如何表示?
(2)图中以点B 为端点的射线有几条? 如何表示?
(3)直线l还可以如何表示?
解:(1)图中共有
3
条线段,分别为线段AB、线段
AC、线段BC。
(2)图中以点B 为端点的射线有两条,分别为射线BA 与射线BC。
(3)直线l还可以表示为直线AB、直线AC 或直线BC。
(第2题)
1.判断下列说法是否正确:
(1)线段AB 和射线AB 都是直线AB 的一部分;
(2)直线AB 和直线BA 是同一条直线;
(3)射线AB 和射线BA 是同一条射线;
(4)把线段向一个方向无限延伸可得到射线,向两个方向无限延伸可得到直线。
2.按照图形填空:
(1)图中以点O 为端点的射线有
条,分别是
;
(2)图中以点B 为端点的线段有
条,分别是
;
(3)图中共有
条线段。
3.要在墙上钉一根横木条,至少要钉几个钉子才能将横木条固
定? 为什么?
4.用语言描述图中的两条直线以及直线与点P、点M 的位置关系:
直线
与
相交于点
;
点P 在直线
上,或者说直线AB 经过点
;
点M 在直线CD
,或者说直线CD
点M。
(第4题)
139
如图6.2-8,王庄到李村有三条路。大刚、小亮和小莹分别从王庄出发,沿
不同的路线去李村,谁走的路最近?
图6.2-8
由生活经验可以知道,小亮走的路最近。
基本事实 两点间所有连线中,线段最短。
简单说成:两点之间,线段最短。
连接两点间的线段的长度,叫作这两点间的距离。
现实生活中,我们可以借助游标卡尺、刻度尺、卷尺、测距仪、天文望远
镜、雷达等工具测量两点间的距离。
(第2题)
1.下列叙述正确吗? 为什么?
(1)线段AB 叫作A,B 两点间的距离;
(2)经过点A 和点B 的线的长度叫作A,B 两点间的距离。
2.如图,在直线l的两侧有两点M,N,在l上
找一点P,使得点P 到M,N 两点的距离之和
最小,并说明理由。
140
(第6题)
复习巩固
1.如图,平面内有三个点A,B,C,根据要求画出图形。
(1)画线段AB; (2)画射线BC; (3)画直线AC。
(第1题)
(第2题)
2.延长线段AB 是指按从A 到B 的方向延长,所画出的以B 为端点的射线称为线
段AB 的延长线;延长线段BA 是指按从B 到A 的方向延长,也可以说反向延长
线段AB,所画出的以A 为端点的射线称为线段AB 的反向延长线。分别在图中
画出线段AB 的延长线和反向延长线。
3.根据下列语句,分别画出图形。
(1)点P 不在直线AB 上,点Q 在直线AB 上;
(2)直线l经过A,B,C 三点,且点C 在点A 与点B 之间;
(3)直线a,b,l都经过点O。
4.如图,用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分,会发现剩下的树叶周长小于
原树叶的周长,你能解释这一现象吗?
(第4题)
(第5题)
5.墨斗是木工用来打直线的重要工具。如图,经过刨平的木板上的两点,能弹出而
且只能弹出一条笔直的墨线,为什么?
拓展延伸
6.数一数,图中共有多少条不同的线段? 并用字母表示这些线段。
7.过平面上的2个点,能画1条直线;过平面上3个
点中任意两点画1条直线,最多可画3条直线;过
平面上4个点中任意两点最多可画几条直线? 由此
你发现了什么规律?
141
(第8题)
探索创新
8.如图,用两个合页将房门的一侧安装在门框上,
房门可以绕门框转动。将房门另一侧的插销插在
门框上,房门就被固定住。假如把房门看作一个
“平面”,两个合页和插销都看作“点”。
(1)从上面的事实可以得到一个结论:
不在
确定一个平面。
(2)举出生活中运用上述结论的例子。
图6.2-10
以直“绣”曲
工厂烟囱的横截面多数是圆形的。实际上,它是工人师傅用一块块长方
体的砖砌成的。你仔细看过绣有图案的针织品吗? 图案中每一条美丽的曲线
竟然都是由一条条彩色线段绣成的。
图6.2-9中的三个图案似乎都是由一些曲线组成的,但仔细观察可以发
现,它们的局部都是由一些很短的线段组成的。
梅花盛开
群鱼争食 铁塔高耸
图6.2-9
在一定条件下,曲、直不再分明,甚至
可以相互转化。在数学中,常常借助直线研
究曲线。离开了“直”就难以研究“曲”。我
国魏晋时期的数学家刘徽,就是沿着这个思
路创造出了著名的“割圆术”。
在图6.2-10中,找出正方形的两条邻边
上用相同数字所表示的点,并用线段连接,
会得到一个什么样的图案?
142
在小学阶段,我们学习了线段的测量,如何进行线段的比较与运算呢?
(1)如图6.3-1,如何比较两棵树的高矮? 如何比较两支铅笔的长短?
图6.3-1
(2)如何比较两条线段的长短呢?
除测量外,还可以借助圆规把
其中的一条线段移到另一条线段上
来比较(图6.3-2)。
图6.3-2
图6.3-2中,点A 和点C 重合,点B 落在C,D 之间,这时就说线段AB
小于线段CD,记作AB<CD。
你能说出什么情况下AB=CD,AB>CD 吗?
143
如图6.3-3,已知线段a,b(a>b),射线
AE。用圆规在射线AE 上截取线段AB=a,
再截取线段BC=b。此时,点C 在A,B 之间
还是在A,B 之外?
图6.3-3
在数学中,只使
用无刻度的直尺和圆
规作图的方式称为尺
规作图。
如图6.3-4,在射线
AE 上顺次截取AB=a,
BC=b。此时点C 在A,
B 之外。
图6.3-4
如图6.3-5,先在射线
AE 上截取AB=a,再在
线段AB 上截取BC=b。
此时点C 在A,B 之间。
图6.3-5
如图6.3-4,线段AC 是a与b的和,记作AC=a+b;
如图6.3-5,线段AC 是a与b的差,记作AC=a-b。
图6.3-6
如图6.3-6,点M 在线段AB 上,AM=BM,线段
AB,BM 与AM 之间有什么数量关系?
AM=BM=1
2AB,或AB=2AM=2BM。
如果点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM,那么点M 叫作线
段AB 的中点(midpoint)。
144
类似地,如图6.3-7①,M,N 是线段AB 的三等分点,则AM =MN=
NB=1
3AB;如图6.3-7②,M,N,P 是线段AB 的四等分点,则AM=MN
=NP=PB=1
4AB。
①
②
图6.3-7
如图6.3-8,点C 是线段AB 上靠近点A 的三等分点,点D 是线段
AB 的中点。若AB=9,求线段CD 的长度。
解:因为AB=9,点C 是线段AB 上靠近点A 的三等分点,
所以AC=1
3AB=1
3×9=3。
图6.3-8
因为点D 是线段AB 的中点,
所以AD=1
2AB=1
2×9=4.5。
所以CD=AD-AC=4.5-3=1.5。
所以线段CD 的长度为1.5。
1.观察并比较图中线段AB 和CD 的长短。比较的结果与你观察到的一致吗?
(第1题)
(第2题)
(第3题)
2.已知线段a,用直尺和圆规作一条线段,使它等于2a。
3.如图,点C 在线段AB 上,D 为线段BC 的中点。若AC=6,AD=8,求线段
AB 的长度。
145
(第1题)
(第2题)
复习巩固
1.如图,点B,C 是线段AD 上的两点。
(1)AD=AC+( );
(2)AC=AD-( );
(3)BC+CD=( )-AB。
2.如图,已知线段a,b(a>b),用直尺和圆规作一条线段,
使它等于2b-a。
3.如图,点B,C 在线段AD 上。
(1)如果AB=CD,那么AC=BD 吗? 为什么?
(2)如果AC=BD,那么AB=CD 吗? 为什么?
(第3题)
(第4题)
4.如图,M 是线段AB 的中点,点P 在线段BM 上,N 是BP 的中点。若AB=
20
cm,BN=4
cm,求线段MP 的长度。
拓展延伸
5.已知点C 在直线AB 上,M 是线段AB 的中点,AC=5
cm,CB=3
cm。画出图
形,并求线段MC 的长度。
6. (1)数轴上有三个点A,B,C,它们对应的有理数分别是-1.5,2,4.5。求线
段AB,AC 的长度;
(2)数轴上有两个点A,B,它们对应的有理数分别是m,n(m<n)。用字母m,
n表示线段AB 的长度。
探索创新
7.如图,一条长40
m的拔河比赛专用绳AB,其左右两端各有一段(AC 和BD)磨损,
磨损的那部分麻绳不再符合比赛要求。已知磨损的麻绳总长度小于20
m。只利用麻
绳AB 和一把剪刀(剪刀只用于剪断麻绳),是否可以剪出一条长20
m的拔河比赛专
用绳? 如果可以,请说出剪法,并说明理由;如果不可以,也请说明理由。
(第7题)
146
在小学阶段,我们已经初步认识了角,本节我们将进一步研究角的概念及
表示方法。
在图6.4-1中,你能找到哪些角? 这些角有什么共同特点?
斜拉桥
钟表
风力发电机
图6.4-1
图6.4-2
如图6.4-2,有公共端点的两条射线组成的几何图形叫
作角(angle)。这个公共端点叫作角的顶点,这两条射线叫
作角的边。
角通常用符号“∠”和三个大写英文字母表示,如图
6.4-3①中的角可以记作∠AOB 或∠BOA,表示顶点的字母O 必须写在中间,
读作“角AOB”或“角BOA”。如果顶点处只有一个角,也可以只用这个顶点
的字母来表示这个角,如图6.4-3①中的角也可记作∠O。
∠AOB 或∠O
∠1
∠α
①
②
③
图6.4-3
为了方便表示,有时在靠近角的顶点处画上弧线,用一个数字或一个小写
希腊字母表示一个角(图6.4-3②③)。
147
从裁纸刀的抬起、汽车雨刷的摆动、圆规的张开过程中(图6.4-4),你能发
现角的形象吗?
裁纸刀
汽车雨刷
圆规
图6.4-4
图6.4-5
观察图6.4-5,射线OA 绕点O 旋转时,它的起始位
置OA 与终止位置OB 组成了什么图形?
角还可以看作由一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置所
形成的图形。如图6.4-5,射线的端点O 叫作角的顶点,起始位置的射线
OA 叫作角的始边,终止位置的射线OB 叫作角的终边。
如图6.4-6①,当终边OB 与始边OA 成一条直线时,形成平角;
如图6.4-6②,当终边OB 与始边OA 重合时,形成周角。
① ②
图6.4-6
如果没有特别注明,本书中所说的角,都是指射线绕它的端点从起始位置
旋转,还没有旋转到成为平角时的角。
图6.4-7
如图6.4-7,点D 在线段AB 上。
(1)找出以点C 为顶点的角,并分别表示出来;
(2)图中哪些角可以只用一个字母表示?
148
解:(1)以点C 为顶点的角有∠ACB,∠ACD,∠BCD。
(2)可以只用一个字母表示的角有∠A,∠B。
1.如图,分别指出以射线OA,OB,OC 为一边的角,并把它们表示出来。
(第1题)
(第2题)
2.填写下表(用不同的方式表示同一个角):
∠1
∠3
∠4
∠OAB
∠DAC
∠ACB
3.举出几个由旋转产生角的实例。
小学时,我们学习过用量角器度量角的大小(图6.4-8)。
图6.4-8
把一个周角360等分,每一份就叫作1度的角,1度记作1°,因此,
1周角=360°,1平角=180°。
为了更精密地度量角,把1°的角60等分,每一份叫作1分的角,1分记作
1'。把1'的角60等分,每一份叫作1秒的角,1秒记作1″。由此得到
1°=60',1'=60″。
度、分、秒是角的基本度量单位。例如,∠α 的度数是48度22分13秒,
可以记作∠α=48°22'13″。
149
(1)将37.24°用度、分、秒表示;
(2)将37°19'48″用度表示。
解:(1)先将0.24°化为分,0.24°=0.24×60'=14.4'。
再将0.4'化为秒,0.4'=0.4×60″=24″。
所以37.24°=37°14'24″。
(2)先将48″化为分,48″=48× 1
60
'=0.8'。
再将19.8'化为度,19.8'=19.8× 1
60
°=0.33°。
所以37°19'48″=37.33°。
计算:
(1)37°49'40″+52°10'20″; (2)52°10'20″-37°49'40″。
解:(1)37°49'40″+52°10'20″=90°。
(2)52°10'20″-37°49'40″=14°20'40″。
两个角的度数相加减时,应按秒、分、度的次
序相加减。相加时,秒化为分、分化为度均逢60
进1;相减时,如需借位,借1°(1')化为60'(60″)。
1.
(1)用度、分、秒表示110.31°; (2)用度表示46°24'。
2.计算:
(1)23°46'+58°28';
(2)61°37'-32°5'31″。
150
(第6题)
复习巩固
1.如图,用三个大写字母分别表示图中的∠1,∠2,∠3。
(第1题)
2.下面各图中哪些角可以只用一个大写字母表示? 哪些角必须用三个大写字母表
示? 分别把它们写出来。
①
②
(第2题)
3.用度、分、秒表示下列各角:
(1)25.4°; (2)60.75°。
4.用度表示下列各角:
(1)20°30';
(2)15°48'36″。
5.计算:
(1)33°16'28″+24°46'37″;
(2)90°-27°3';
(3)22°25'10″×2;
(4)30°15'÷3。
拓展延伸
6.数一数,图中共有多少个角? 分别把其中以A 和B 为
顶点的角表示出来。
探索创新
7.小莹在中午11时到12时之间回家时,看见墙上挂钟的时针与分针刚好成一平角。
你能算出这时是11时几分吗?
151
从角的单位说起
以度、分、秒为单位的角的度量制叫作角度制。角度制采用六十进制,
1°=60',1'=60″。与它类似的六十进制还有时间计量单位,1时=60分,
1分=60秒。
六十进制起源于古代的闪族,后传至巴比伦。为什么要选取60作为进
位制的基数呢? 据说是由于当时人们认为60是自然数2,3,4,5,6,10,
12,15,20,30,60的公倍数,便于分割,非常实用;且60可分解为12乘
5,12是1年中的月份个数,5是人的一只手的手指根数。
在数学上,角的单位还有弧度。1弧度=180°
π ≈57.3°。此外,军事上度
量角常采用密位制,将圆周分成6
000等份(有的国家分成6
300或6
400等
份),每一等份弧长所对的圆心角为1密位。我国采用1密位=0.06°的换算
方式。
152
线段和角都可以度量,线段有长短,角有大小。类比线段的比较与运算,
如何进行角的比较与运算?
如何比较两个角的大小?
分别量出两个角
的度数,再根据度数
的大小来比较。
将两个角的顶点
及一边重合,把两个
角的另一边放在重合
边的同侧比较。
如图6.5-1,将∠AOB 与∠A'O'B'的边OA,O'A'叠合在一起,观察O'B'
的位置来比较∠AOB 与∠A'O'B'的大小。
∠AOB=∠A'O'B' ∠AOB<∠A'O'B' ∠AOB>∠A'O'B'
① ② ③
图6.5-1
图6.5-2
如图6.5-2,∠AOB 与∠AOC,∠COB 之间有什么关系?
153
图6.5-2中,∠AOB 是∠AOC 与∠COB 的和,记作∠AOB=∠AOC+
∠COB。∠AOC 是∠AOB 与∠COB 的差,记作∠AOC=∠AOB-∠COB。
图6.5-3
如图6.5-3,当∠AOC=∠COB 时,∠AOB 与∠AOC,
∠COB 之间有什么关系?
∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,
∠AOC=∠COB=1
2∠AOB。
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线
叫作这个角的平分线。如图6.5-3,射线OC 是∠AOB 的平分线。
图6.5-4
类似地,还有角的三等分线和四等分线等。如图
6.5-4,OB,OC 是∠AOD 的三等分线,则
∠AOB=∠BOC=∠COD=1
3∠AOD。
如图6.5-5,OC 是∠AOB 的平分线,∠COD
是直角。若∠AOC=60°,求∠BOD 的度数。
解:因为OC 是∠AOB 的平分线,
所以∠BOC=∠AOC。
图6.5-5
因为∠AOC=60°,
所以∠BOC=60°。
因为∠COD 是直角,
所以∠COD=90°。
因为∠BOD=∠COD-∠BOC,
所以∠BOD=90°-60°=30°。
(第1题)
1.比较图中三角形的三个角的大小。
154
(第2题)
2.在空格处填上适当的角,使等式成立。
(1)∠AOD=∠AOC+
;
(2)∠AOD-∠BOD=
;
(3)∠BOC=
-∠COD。
3.你能用折纸的方法找到一个角的平分线吗? 动手折一折。
复习巩固
1.如图,点O 在直线AB 上,过点O 作射线OE,OC,OD。
(1)∠BOE 能表示成哪两个角的和? 有几种不同的表示方法?
(2)∠AOE 能表示成哪两个角的差? 有几种不同的表示方法?
(第1题)
(第2题)
2.如图,已知∠AOB=∠BOC=∠COD,则∠BOC=1
3∠
,∠BOC=
1
2∠
=1
2∠
。
3.如图,OB 平分∠AOC,∠AOD=90°,∠COD=31°18'。求∠BOC 的度数。
(第3题)
(第4题)
拓展延伸
4.如图,已知∠AOC=∠BOD,OE 是∠BOC 的平分线。图中还有哪些相等的角?
请说明理由。
探索创新
5.用一副三角板可以画出哪些度数的角? 请动手画一画。
155
本节我们将研究具有特殊数量关系的两个角。
图6.6-1
观察图6.6-1中的一副三角板,每块三角板中两个锐
角的和是多少?
一块三角板的两个锐角分别是30°和60°,另一块的
两个锐角都是45°。每块三角板中两个锐角的和都是90°。
一般而言,如果两个角的和为90°,就说这两个角互为余角,简称互余,其
中一个角叫作另一个角的余角。如图6.6-2①,∠1与∠2的和为90°,则∠1与
∠2互为余角。
类似地,如果两个角的和为180°,就说这两个角互为补角,简称互补,其
中一个角叫作另一个角的补角。如图6.6-2②,∠3与∠4的和为180°,则∠3与
∠4互为补角。
① ②
图6.6-2
(1)如图6.6-3,∠AOC=∠BOD=90°,指出图中互余的角。图中除直角
外还有相等的角吗?
我发现∠AOD=∠BOC,
它们都是∠COD 的余角。
图6.6-3
156
(2)如果∠1=∠2,∠1与∠3互余,∠2与∠4互余,那么∠3与∠4有
什么关系? 为什么?
由∠1与∠3互余,可得∠1+∠3=90°,因
此∠3=90°-∠1。类似地,可知∠4=90°-∠2。
由于∠1=∠2,所以∠3=∠4。
由此,我们得到余角的性质。补角也有类似的性质。
同角或等角的余角相等;
同角或等角的补角相等。
一个角的补角是它的余角的3倍,求这个角的度数。
解:设这个角是x°,那么它的补角是(180-x)
°,余角是(90-x)
°。
由题意,得
180-x=3(90-x)。
解方程,得
x=45。
所以,这个角是45°。
(第3题)
1.求下列各角的余角和补角:
(1)15°; (2)53°; (3)46°30'。
2.判断下列说法的正误:
(1)两个锐角能互补;
(2)两个钝角能互补;
(3)如果两个角互补,其中一定有一个角是钝角,另一
个角是锐角。
3.如图,O 是直线AB 上的一点,∠AOC=∠DOE=90°。
指出图中与∠BOE 互余的角、互补的角和相等的角。
157
(第5题)
复习巩固
1.如图,O 是直线AB 上一点,∠BOC=36°20'。求∠AOC 的度数。
(第1题)
(第3题)
2.一个角的补角是它的余角的6倍,求这个角的度数。
3.如图,∠AOC=∠BOD=90°,判断∠AOB 和∠COD 的数量关系,并说明理由。
拓展延伸
4.判断下列说法的正误,并说明理由。
(1)互余且相等的两个角均是45°;
(2)一个角的余角一定小于这个角的补角;
(3)如果∠1+∠2=∠3,那么∠1的余角与∠2的余角的和等于∠3的余角;
(4)如果∠1+∠2=∠3,那么∠1的余角与∠2的余角的和等于∠3的补角。
5. 如图,OE 平分∠AOD,OC 平分∠BOD,∠AOD =90°,
∠COE=70°。求∠BOD 的度数。
探索创新
6.时钟上,在3时到4时之间,什么时刻时针和分针成90°的
角? 请画图表示出来。
158
1.分别举出立体图形和平面图形的例子。
2.线段、射线和直线有什么区别和联系? 如何表示线段、射线和直线?
3.关于直线和线段有哪些基本事实?
4.比较线段的长短和比较角的大小都有哪些方法?
5.如何进行线段的运算? 如何进行角的运算?
6.同角或等角的余(补)角具备什么数量关系?
7.类比是研究问题常用的一种方法。在本章中,我们类比线段的比较研究
了角的比较,类比线段的中点研究了角的平分线。你在数学学习中还有其他通
过类比研究问题的经验吗?
159
复习巩固
1.运用数学知识解释下列现象:
(1)把笔尖看作一个点,当笔尖在纸上移动时,就画出了线;
(2)时钟的秒针旋转时,形成一个圆面;
(3)三角板绕它的一条直角边所在的直线旋转一周,形成一个圆锥。
(第2题)
2.如图,已知平面上四个点A,B,C,D,请按要求画出图形。
(1)画直线AB,射线BD,线段AC;
(2)在直线AB 上确定一点P,使点P 到点C 与点D 的距离之
和最短,并写出画图的依据。
3.如图,比较下列线段的大小(填“>”“<”或“=”)。
(1)AD
BC; (2)AB
CD;
(3)AC
BD;
(4)AO
CO。
(第3题)
(第4题)
4.如图,已知线段a,b(
a>b),作一条线段使它等于2(
a-b)。
5.已知∠A=40°50',∠B 与∠A 互余,∠C 与∠A 互补。求∠B 和∠C 的度数。
6.如图,∠AOB=∠AOC,∠BOC=80°。求∠AOB 的度数。
(第6题)
(第7题)
7.如图,OD 平分∠AOC,∠AOB=40°,∠BOC=70°。求∠BOD 的度数。
160
拓展延伸
8.如图,E,F 分别是线段AB,CD 的中点,BD=1
4AB=1
5CD,EF=14。求线段
AC 的长。
(第8题)
9.如图,O 是直线AB 上一点,射线OC,OE 分别平分∠AOD 和∠BOD。
(1)求∠COE 的度数;
(2)写出图中所有互余的角。
(第9题)
(第10题)
10.如图,在四边形ABCD 内找一点O,使它到四边形四个顶点的距离之和最小,并说
明理由。
探索创新
11.如图,数轴上有两点A,B,动点P 从点O 出发,以每秒2个单位长度的速度沿数
轴正方向运动,设运动时间为t
s。
(1)当t=1时,求线段PA 和线段PB 的长;
(2)当PA=2PB 时,求t的值。
(第11题)
161
我国古代的数学成就非常辉煌。《周
髀算经》《九章算术》《孙子算经》《海岛
算经》《缀术》……都是我国古代数学名
著。明代音乐家朱载堉提出的“十二平均
律”、古代工匠发明的“卯榫结构”……
无不凸显着中华民族的数学智慧。
学校将举办“领略古代数学智慧,
弘扬中华优秀传统文化”的交流活动。请
根据活动主题制作宣传海报。
图1中,算筹是我国古代一种常用的数学工具。我们以算筹为例展开研究。
嵌银乌木算筹
图1
活动1 查阅资料
早在商代,人们就开始将算筹按一定的方式摆放,以此来表示数字。规则
如图2。
162
图2
用算筹表示数字有两种方式:纵式和横式。我们可以使用纵横交替的十进
制记数法表示数字。具体而言,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位
用横式,依此类推。数字0要空位。例如,图3中的算筹表示1983,图4中的
算筹表示2014。
图3
图4
活动2 用算筹表示数字
(1)请分别写出图5和图6中算筹所表示的数字。
图5
图6
(2)用算筹摆出数字122和3059。
(3)尝试总结算筹记数的规律,探讨每个数位上最多需要几根算筹,为什
么横式和纵式需要交替使用,算筹记数有什么优势和不足。
活动3 用算筹进行加减运算
算筹不仅可以记录数字,而且是古人的
“计算器”。请你查阅资料,了解用
算筹进行加法和减法运算的步骤,并制作一套算筹,通过摆数字的方式进行简
单的加减运算。
(1)利用算筹求出图7和图8中算筹所表示的两个数字之和。
图7
图8
(2)任意写出两个数字,利用算筹求差。
有兴趣的同学可进一步了解怎样用算筹进行乘除运算。
163
在我国古代,数学是一门基础学科,在广阔的领域发挥了重要的作用。你
可以继续深入研究算筹,也可以从其他领域(文学、音乐、建筑等)展开对我国
古代数学智慧的研究。
在课堂上展示“我国古代的数学智慧:
”海报。
海报应当包括以下内容:
(1)选题的背景及其分析;
(2)数学知识在选题中的体现;
(3)基于选题的数学知识运用;
(4)活动感受和总结等。
在课堂上展示和介绍后,可从以下两个角度展开反思:
(1)是否对所举案例的年代、背景和数学知识进行了介绍?
(2)是否举出了相关数学知识的应用示例?
结合老师评价、同伴评价和自我评价,进一步改进自己的作品。
164
在古代,我国人民就非常重视饮食营养。
《黄帝内经》中就已提出“五谷为养,五果为
助,五畜为益,五菜为充”的膳食配制原则。
近年来,我国居民营养状况持续改善,但膳食
不平衡也成为慢性病发生的主要危险因素。
请你为家人设计家庭营养食谱,要求既符
合个人口味,又符合我国居民营养健康的基本需求。
活动1 认识营养数据
食物一般都含有哪些营养素? 如何理解“营养健康”? 请查阅相关资料。
例如,中国居民膳食营养素参考摄入量(2023)数据表(部分)表1中(%E为
占能量的百分比),提出了符合我国居民营养健康状况和基本需求的膳食指导建
议。学龄儿童早餐能量和营养素应占全天的25%~30%,午餐应占30%~
40%,晚餐应占30%~35%。应该如何理解这些数据?
表1 中国居民膳食营养素参考摄入量(2023)数据表(部分)
人群
能量需要量
(kJ/d)
男
女
宏量营养素①可接受范围
总碳水化合物
(%E)
添加糖
(%E)
总脂肪
(%E)
饱和脂肪酸
(%E)
推荐摄入量
蛋白质(g/d)
男
女
……
10岁
7
524 6
897
50~65
<10
20~30
<8
50
50
11岁
7
942 7
315
50~65
<10
20~30
<8
55
55
12~14岁9
614 8
151
50~65
<10
20~30
<8
70
60
15~17岁10
868 8
778
50~65
<10
20~30
<8
75
60
……
①宏量营养素包括蛋白质、碳水化合物和脂肪,它们是人体的主要供能营养素。
165
活动2 评价营养套餐
某公司为中学生提供的一种早餐套餐共计400
g,包括220
g全脂牛奶、一
个煮鸡蛋和一份谷物食品。其中,蛋白质含量占早餐总量的5.96%。表2是这
些早餐食品的部分营养素含量表。
表2 早餐食品部分营养素含量表(每100
g)
项目
煮鸡蛋
全脂牛奶
某谷物食品
能量/kJ
599.6
272.7
1
275.2
蛋白质/g
12.1
3.3
8.1
脂肪/g
10.5
3.6
4.5
碳水化合物/g
0.1
4.9
58.1
(1)已知当一日早、中、晚三餐提供能量比约为3∶4∶3时,比较适合
12~14岁人群。请判断这份早餐是否符合表1中对12~14岁人群每日能量需要
量的建议。
(2)进一步分析上述套餐中脂肪和碳水化合物的含量,判断其是否在表1
中12~14岁人群的宏量营养素可接受范围内。
活动3 分析和改善一日饮食
记录你一天的饮食,查阅相关资料,分析其中的营养素及含量,填写在表3
中。判断你这一天的饮食是否符合中国居民膳食营养素参考摄入量,并进行评
价和改善。
表3 健康的早餐配餐方案
餐次
食物名称
质量/g
能量/kJ
蛋白质/g
脂肪/g
碳水化合物/g
早餐
……
166
食物多样、搭配合理是保障人类营养全面、身体健康的基础。营养均衡的
食物应包括谷薯类、蔬菜水果类、畜禽鱼蛋奶类以及大豆坚果类等。收集常见
的各类食材的价格及所含营养素的相关数据,给家人设计一周的经济营养食谱。
通过计算说明设计的合理性,并在假期进行实践。
用文字、照片或视频记录活动过程,并在课堂上进行展示。
展示应当包含以下内容:
(1)数据和资料来源;
(2)食谱设计及合理性分析,食谱成本说明;
(3)实践记录展示;
(4)活动感受和总结等。
在课堂上展示成果后,可从以下两个方面展开讨论:
(1)食谱中涉及的主要营养素成分是否符合我国居民营养健康状况和基本
需求?
(2)倡导节约,不铺张浪费,如何把成本控制在合理范围内?
结合老师评价、同伴评价和自我评价,进一步完善自己的食谱设计方案。
后记
本套教科书依据《义务教育数学课程标准(2022年版)》编写完成。
本套教科书全面贯彻党的教育方针,落实立德树人根本任务,践行《义务教
育数学课程标准(2022年版)》的课程理念,以“三会”为主线,注重培养学生的
学习兴趣和提升学生的核心素养。通过“观察与发现”“思考与交流”“概括与
表达”等栏目,引导学生用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实
世界、用数学的语言表达现实世界。本套教科书的编写凝聚了数学教育理论最
新成果和广大数学教育工作者的智慧。
在本套教科书的编写过程中,我们得到了关心教材建设的专家、学者以及
一线教师的悉心指导和倾力帮助。杨开学、冯树军、马积良等同志参与了本书
初稿的编写。为本书提供照片的有新华通讯社(第62页图,新华社记者申宏摄)
等。我们通过多种渠道与教科书选用作品的作者进行了联系,得到了他们的大
力支持和配合。在此,我们一并表示衷心的感谢!
欢迎广大师生和家长在使用本套教科书的过程中,提出宝贵的意见和建议。
意见反馈请发邮箱:qingbanjiaocai@citymedia.cn。
编 者
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环
境
标
志
C
H
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E
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