七年级 下册
义务教育教科书
亲爱的同学：
在这春暖花开的季节，让我们一起学习新的数学知识、数学方法，领略数
学之美。
现实世界里，各种各样的数据等待你去收集、整理、描述。在这一过程中，
你将学会应用统计图表，寻找数据中有价值的信息。它们能让你在做判断与决
策时，不再彷徨，不再迟疑……
相交和平行，是浩瀚宇宙中最常见的位置关系。学会用数学的眼光观察两
条直线的位置关系，理解垂线与垂线段的特点，探索平行线的判定和性质。无
限延伸的平行线会把你的思维引向无穷无尽的宇宙。
再次走进方程的神秘殿堂，你将结识新的朋友——二元一次方程组。它会
带领你学习自然朴素的数学方法，领略古人的数学智慧。二元变一元，看似再
自然不过的转换，却蕴含着重要的数学思想。这将逐渐充盈你的认知世界。
在数学的发展中，从数到式的跨越，闪耀着数学的智慧之光。你将在学习
整式的道路上，重启脚步，再续旅程。理解幂的运算，掌握整式的乘法与除法，
探析美丽的乘法公式，学会多项式的因式分解，全视角俯瞰整式的运算，追寻
代数的简洁与纯粹。
在多姿多彩的图案世界里，三角形、多边形和圆是重要的成员。你将继续
认识、分析、思考这些基本的几何图形，在探索它们的性质的过程中，掌握相
关的研究方法和分析思路，渐渐揭开“推理与证明”的面纱。
在新的学期里，希望你能够善于观察发现，勇于思考交流，巧于概括表达，
敢于探究挑战，在综合实践中提升自身的数学素养。
新学期寄语
MULU
目录
1
第8 章 相交线与平行线
8.1 相交线
29
8.2 平行线及其判定
37
8.3 平行线的性质
47
章小结
50
第7 章 数据的收集、整理与描述
7.1 数据的收集
3
7.2 数据的整理
7
7.3 数据的描述
10
章小结
23
第9 章 二元一次方程组
9.1 认识二元一次方程组
55
9.2 解二元一次方程组
58
9.3 二元一次方程组与实际问题
65
9.4 三元一次方程组
72
章小结
78
*
2
第11 章 因式分解
11.1 因式分解
121
11.2 提公因式法
124
11.3 公式法
127
章小结
133
第12 章 平面图形的认识
12.1 三角形
137
12.2 多边形
150
12.3 圆
155
章小结
160
综合与实践
3 最佳路线的选择
163
4 公共健身器材使用现状及影响因素调查
166
第10 章 整式的乘法与除法
10.1 幂的运算
83
10.2 整式的乘法
97
10.3 乘法公式
105
10.4 整式的除法
113
章小结
116
第7 章 数据的收集、整理与描述
内容提要
◆ 数据的收集
◆ 数据的整理
◆ 数据的描述
抽样与数据分析
数据的收集
数据的描述
数据的整理
……
为预估试验田中玉米的长势情况，研究人员对处于生长
期的玉米株高进行监测。为降低监测成本，研究人员选取部
分玉米，收集了这些玉米株高（单位：cm）的数据：
49 52 56 45 59 51 47 51 41 50
50 49 47 57 46 43 55 54 55 48
48 55 57 47 57 49 46 48 42 51
51 48 46 56 45 40 55 52 54 49
如何处理这些数据？
本章，我们将学习收集数据的基本方法，经历整理数据
的过程，并用统计图直观、有效地描述数据，解释数据中蕴
含的信息。
这里的40 ~ 44 表示大于等于40 同时小于44。本书类似的记号均表示这一含义。
3
要对生活中的某些问题做出科学的判断和决策,通常需要先调查、收集有
关数据,再进行统计与分析。收集数据有哪些常用方法呢?
2020年,我国开展了第七次全国人口
普查。人口普查的目的在于全面查清人口
数量、结构、分布等方面的情况,为完善
我国人口发展战略和政策体系、制定经济
社会发展规划、推动经济高质量发展提供
准确统计信息支持。普查对象是普查标准
时点中华人民共和国境内的自然人以及在
中华人民共和国境外但未定居的中国公
民,普查内容包括性别、年龄、民族、受
教育程度、职业等。
为了特定目的收集数据,有时需要对所有考察对象进行全面调查,这种调
查称为普查(survey)。被调查对象的全体称为总体(population),组成总体的每
一个调查对象称为个体(
individual)。
你还能举出普查的例子吗?
通过普查,可以获得全面、详细的数据资料。下列调查工作适合采用普查
方法吗? 为什么?
(1)公司质检部门要了解一批电子产品的防水性能;
(2)河务部门要了解7月份流经某水文站的黄河河水的泥沙含量;
(3)公园管理部门要了解市民对园区内健身器材的喜好程度。
4
上面三个调查工作不适合采用普查方法来收集
数据。原因分别如下:
(1)防水性能测试对电子产品有破坏性;
(2)无法测出7月份每一时刻流经该地的黄河
河水中的泥沙含量;
(3)调查对象流动性强。
对于许多问题,没有必要或难以收集总体的数据时,可以从总体中抽取部
分个体进行调查,根据个体调查的数据估计总体的情况。
从总体中抽取部分个体进行调查,根据这些调查数据估计总体的情况,
这种调查方法叫作抽样调查(sampling
survey)。从总体中抽取出来的个体组成
总体的一个样本,一个样本中个体的数量称为样本容量。
例如,对于(1)中电子产品防水性能的调查,可以抽取该批次一部分产品
(比如100个)进行防水性能测试。该批次产品的防水性能是总体,每个产品的
防水性能是个体,从中抽取的100个产品的防水性能组成总体的一个样本,样
本容量是100。
1.要调查下列几个问题,适合采用普查还是抽样调查?
(1)了解全班同学的视力情况;
(2)了解某市某次下雨1
h的降水量;
(3)调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准;
(4)调查某品牌电脑的抗摔性能。
2.为了解某地区七年级12
000名学生的身高状况,从中随机抽取600名学生进行调
查,指出该调查中的总体、个体、样本和样本容量。
5
抽样调查是一种常用的调查方法,怎样才能使抽取的样本较好地反映总体
情况呢?
某中学有1
200名学生,为了解学生阅读名著的情况,学校准备抽取部分学
生进行调查。用下面的调查方法取得的结果,能否较好地反映全校学生阅读名
著的情况? 如果不能,应如何改进?
方法1:从每班抽取1名同学进行调查;
方法2:对文学社团的同学进行调查;
方法3:调查每个班的女同学。
方法1选取的样本容量太小,不
能较好地反映全校同学的情况。
方法2和方法3选取的样本
不能代表全校同学的一般情况。
抽取样本时,为了使样本尽可能具有代表性,除了样本容量要合适外,还
需要避免对特定学生群体的偏向,应使学校中的每一个学生都有相等的机会被
抽到。例如,在校园里随机调查200名学生;在全校学生的注册学籍号中,随
机抽取200个学籍号,调查这些学籍号对应的学生。
抽取样本时,总体中每个个体被抽取到的可能性相同,这种抽样的方法
叫作简单随机抽样。
6
1.下列调查中,抽取样本的方法合理吗? 为什么?
(1)为了解全校学生的数学学习情况,老师调查了数学兴趣小组的10名学生;
(2)为了解小区900户居民的月均用水情况,小亮调查了自己家和邻居家的月均
用水量。
2.用简单随机抽样的方法了解全校学生的视力情况,说一说你是如何抽取样本的。
复习巩固
1.为了调查某批次日光灯管的使用寿命,检测员从该批次日光灯管中随机抽取了30
支进行试验。下列说法正确的有 。
①
这批日光灯管的使用寿命是总体;
②
每支日光灯管的使用寿命是个体;
③
30支日光灯管中的每一支是总体的一个样本;
④
样本容量是30。
2.体育委员想了解本班同学分别擅长哪些运动项目,他应该采取哪种调查方法? 为
什么?
3.某小区有2
000户居民,小亮想了解该小区居民对“垃圾分类”的认识情况,他
应该采取哪种调查方法? 为什么?
4.为了解全校同学的身高状况,小亮调查了自己相邻座位的3名同学,这个调查结
果能较好地反映全校同学的身高状况吗? 为什么?
拓展延伸
5.
中华姓氏文化源远流长,每个姓都具有独特丰富的文化内涵。请用简单随机抽样
的方法,调查全校同学的姓氏情况,并通过查资料的方式,看看全国最常见的3
个姓氏与你调查的全校姓氏的情况是否一致。
7
通过调查可以收集数据,对这些数据进行整理,有利于发现数据中蕴含的
重要信息。
商场售货员记录了一天内售出的20双运动鞋的尺码(单位:cm):
24.5 27 23.5 24 24.5 25 26 26 24 24.5
23.5
25
24.5
25
24.5
24
25
27
26
24.5
(1)为清楚地了解不同尺码运动鞋的销售量,应怎样整理上面的数据?
将不同号码运动鞋的销售量整理成如下统计表:
鞋的尺码/cm
23.5
24
24.5
25
26
27
划记
正
销售量/双
2
3
6
4
3
2
(2)从(1)的表格中,能得到哪些信息?
销售量最多的是尺码为24.5
cm的运动
鞋,其次为25
cm的,进货时应多进这两个
尺码的运动鞋。
除尺码外,销售员还可以按照运动鞋的哪些特征收集、整理数据?
还可以按照颜色、款式等收
集、整理数据。
8
通过对数据进行整理,可以比较清晰地了解数据的分布情况。
对数据进行整理,就是将收集到的所有数据,按照一定的标准划分为若
干组。
在一次数学核心素养测评中,学校从七年级400名学生中,随机抽取
了40名学生的素养测评数据(单位:分):
89 87 97 92 61 93 75 80 89 73
79 75 76 81 76 88 82 79 64 69
91 85 52 81 60 63 67 82 70 73
64 54 58 62 66 70 54 92 65 63
将上述数据按下列要求分成五组:
90~100, 80~90, 70~80, 60~70, 50~60。
设计统计表整理上面的数据,说说你从表中获得了哪些信息。
解:根据题意,列表如下:
分数段
数据/分
划记
人数
90~100
97 92 93 91 92
正
5
80~90
89 87 80 89 81 88 82 85 81 82
正正
10
70~80
75 73 79 75 76 76 79 70 73 70
正正
10
60~70
61 64 69 60 63 67 64 62 66 65 63
正正
11
50~60
52 54 58 54
4
由上表可知,学生素养测评分数在60~70范围内的人数最多,有11人;
在50~60范围内的人数最少,有4人;大部分在60~90之间。
9
1.统计本班同学的生日,并按出生月份整理数据。
2.通常用空气质量指数表示空气质量状况,对照表如下:
空气质量指数
0~51
51~101 101~151 151~201 201~301
≥301
空气质量指数级别
一级
二级
三级
四级
五级
六级
小莹随机抽取了某市一年中40天空气质量指数的数据:
89 68 80 273 88 194 82 71 161 28
104
36
90
60
62
54
113
68
49
94
60
60
137
54
17
114
27
156
196
22
100
43
32
153
79
55
47
105
118
24
按空气质量指数级别整理数据,说说从中能得到哪些信息。
复习巩固
1.某班40名学生的英语测试等级如下:
C A B A C D A A B A C C A B A B B B A B
B D C A A D B A B A D C A A B C A A B C
将以上数据进行分组整理。
2.某段公路上的雷达测速仪记录了某时段驶过该公路的30辆汽车的速度(单位:
km/h):
55 49 61 47 49 54 49 57 59 58
50 51 48 49 79 58 48 54 70 71
62 45 56 65 78 52 60 55 49 75
将以上数据进行分组整理,说说从中能得到哪些信息。
拓展延伸
3.到附近的商场调查某种品牌的衣服最近一个月内的销售情况,对调查数据进行分
组整理,并为商场该品牌衣服的进货工作提供一些建议。
10
用统计图可以直观地描述数据整理后的结果。在小学,我们初步认识了条
形统计图、折线统计图、扇形统计图。本节将学习如何制作扇形统计图。
为调查学生的特长,学校在每个班级随机抽取了5名学生,收集到150份
调查结果,整理数据列表如下:
特长
声乐
器乐
绘画
书法
球类
田径
其他
人数
15
18
24
21
48
18
6
如图7.3-1,用条形统计图可以直观地描述表中的数据。
图7.3-1
(1)如何用扇形统计图描述数据呢?
分别计算不同特长的人数占被调查总人数的百分比,结果如下表:
特长
声乐
器乐
绘画
书法
球类
田径
其他
百分比(%)
10
12
16
14
32
12
4
11
在扇形统计图中,每
部分占总体的百分比×
360°=该部分所对应的扇
形圆心角的度数。
计算各个扇形的圆心角度数,结果如下表:
特长
声乐
器乐
绘画
书法
球类
田径
其他
圆心角的度数
36°
43.2°
57.6°
50.4°
115.2°
43.2°
14.4°
如图7.3-2,在圆中画出各个扇形,并标上百分比。
图7.3-2
(2)制作扇形统计图包括哪些步骤呢?
制作扇形统计图的步骤如下:
①
将数据进行分组整理,列出各组数据所占百分比的表格;
②
分别计算各组数据所对应扇形的圆心角的度数;
③
用圆规画圆,利用量角器画出各圆心角,把圆面分成若干个扇形;
④
分别注明各扇形所代表的分组的名称和占比(多用百分数表示)。
扇形统计图中用圆代表总体,每个扇形代表总体的一部分。扇形统计图可
以直观地反映各部分在总体中所占的比例。例如,从图7.3-2中可以看出,有球
类特长的学生所占比例最大。
12
2021年8月25日,国家统计局发布《第三次全国国土调查主要数据
公报》,通报了全国主要地类数据:耕地12
786.19万hm
2,园地2
017.16万hm
2,
草地26
453.01万hm
2,林地28
412.59万hm
2,湿地2
346.93万hm
2,城镇村
及工矿用地3
530.64万hm
2,交通运输用地955.31万hm
2,水域及水利设施用
地3
628.79万hm
2。用扇形统计图表示全国各类土地的分布情况(百分比精确到
0.1%,圆心角度数精确到1°)。
解:先计算出全国主要地类总面积,再用计算器计算出全国各类用地占全
国总用地的百分比,以及各类用地在扇形统计图中对应扇形的圆心角的度数,
结果如下表:
主要地类
耕地
园地
草地
林地
湿地
城镇村及
工矿用地
交通运
输用地
水域及
水利设
施用地
数量/万hm
2 12
786.192
017.1626
453.0128
412.592
346.93 3
530.64 955.313
628.79
百分比(%)
16.0
2.5
33.0
35.5
2.9
4.4
1.2
4.5
圆心角的度数
57°
9°
119°
128°
11°
16°
4°
16°
制作出第三次全国国土调查主要地类分布情况扇形统计图(图7.3-3)。
图7.3-3
为倡导绿色出行,生活委员调查了全班40名同学往返学校的交通方式。其中,
骑自行车的有10人,乘公交车的有15人,步行的有10人,其余同学采用其他方
式。请制作出该班同学往返学校的交通方式的扇形统计图。
13
条形统计图、折线统计图和扇形统计图在描述数据方面分别有什么特点?
地球上的海洋,被陆地分隔成彼此相连的四个大洋。图7.3-4是四大洋面
积的条形统计图和扇形统计图。
① ②
图7.3-4
根据图7.3-4,回答下列问题:
(1)哪个大洋的面积最大? 哪个最小?
(2)哪个大洋的面积超过10
000万km
2? 哪些大洋的面积超过四大洋总面
积的1
4?
(3)从这两幅统计图中,还能得到哪些信息? 在描述数据时,条形统计图
和扇形统计图各有什么优势和不足?
从条形统计图中,可以看到
各个大洋的具体面积,还可以直
观地比较面积的大小。
从扇形统计图中,可以看到各大洋面积占世
界四大洋总面积的百分比,也可以直观地比较面
积的大小,但是不能直接看出各大洋的具体面积。
14
条形统计图能够表示出各组数据的具体数目,有利于比较各组数据的差
异。扇形统计图有利于体现各组数据占总体的百分比。
某同学根据联合国发布的《世界人口展望2022》报告制作了“2050
年各洲人口预测数量统计图”(图7.3-5)和“1950—2050年世界人口总量变化趋
势与预测总量统计图”(图7.3-6)。
①
②
图7.3-5
图7.3-6
请根据这些统计图,回答下列问题:
(1)预测到2050年哪个洲的人口占比最大,哪个洲的人口占比最小。
(2)预测到2050年亚洲和非洲的人口数量分别是多少。
(3)根据预测,1950年至2050年世界人口总量的变化趋势是怎样的?
15
解:(1)从图7.3-5①中可以看出,到2050年亚洲的人口占比最大,大洋
洲的人口占比最小。
(2)从图7.3-5②中可以看出,到2050年亚洲人口数量大约达到52.90亿,
非洲人口数量大约达到24.66亿。
(3)从图7.3-6中可以发现,1950年至2050年世界人口总量逐年增加。
不同的统计图在描述数据时,有不同的特点。扇形统计图能够清晰地反映
各洲人口所占的百分比,条形统计图能够准确地反映各洲的人口数量,折线统
计图能够直观地反映世界人口总量的变化趋势。
1.对于下列统计数据,选用哪种统计图描述较为适宜? 为什么?
(1)我国2010—2020年每年的国内生产总值;
(2)我国代表团在历届奥运会上获得的金牌数;
(3)一周内顾客对某银行营业厅工作人员服务态度的评价(好、一般、差)。
2.如图,你能判断出两所学校哪个学校的男教师更多吗? 请说明理由。
(第2题)
3.根据某地区2015—2021年汽车销售量的统计图,回答问题:
(1)该地区哪一年的汽车销售量最大?
(2)与前一年相比,哪一年的汽车销售量的增长量最大?
(第3题)
16
我们已经学习了用条形统计图、扇形统计图、折线统计图描述数据,接下
来将学习另一种描述数据的统计图———频数直方图。
在章引言中,研究人员为了预估某试验田中玉米的长势情况,随机测量了
40株玉米的株高(单位:cm),数据如下:
49 52 56 45 59 51 47 51 41 50
50
49
47
57
46
43
55
54
55
48
48
55
57
47
57
49
46
48
42
51
51
48
46
56
45
40
55
52
54
49
抽取的玉米株高的分布情况如何?
为了预估该试验田玉米的长势情况,需要先了解抽取的玉米株高的分布情
况,即哪些株高范围的玉米比较多,哪些株高范围的玉米比较少。这就需要对
上述数据进行适当地分组整理。具体做法如下:
(1)求数据中最大值与最小值的差。
在上面的数据中,玉米株高的最大值是59,最小值是40,它们的差为
59-40=19。
(2)确定组数和组距。
将从小到大排列的数据分段,每段中的数据称为一组数据,组的个数称为
组数。一般地,样本容量在100以内时,可将数据分成5至12组。每个小组的
两个端点之间的距离称为组距。根据解决问题的需要,每组的组距可以相同,
也可以不同,通常采用等距分组。如果组数为5,那么
组距=
最大值-最小值
组数
=59-40
5
=3.8。
为方便分组,可以取与3.8相近的一个整数4作为组距。由此可将数据分
成如下5组:
40~44, 44~48, 48~52, 52~56, 56~60。
17
数据分组时,组数太少,不能充分显示数据的分
布情况;组数太多,容易把性质相近的同类数据分散
到各组,也不能较好地显示数据分布的特征和规律。
(3)列出频数分布表。
对各个小组范围内的数据进行累计,所得到的各个小组内数据的个数叫作
频数(
frequency)。整理可得下面的频数分布表:
株高/cm
40~44
44~48
48~52
52~56
56~60
划记
正
正正
正
正
频数
4
8
14
8
6
(4)画频数直方图。
频数直方图(图7.3-7)的横轴表示株高,纵轴表示频数,每个长方形的高表
示每个小组内数据的频数。
图7.3-7
通过图7.3-7可以直接比
较各组频数的差异,即组间玉
米株数的差异,但从中看不到
每组内玉米株高的具体数据。
从图7.3-7中看到,株高在48~52
cm内的株数最多,有14株,在40~44
cm
内的株数最少,有4株。玉米株高大部分集中在44~56
cm之间。
根据频数的分布画出的条形统计图叫作频数直方图(
frequency
histogram)。
18
某中学为了解全校学生课外阅读的情况,随机调查了50名学生一
周内平均每天课外阅读的时间(单位:min),调查的数据如下:
30 10 23 26 42 43 48 18 52 31
33
34
26
44
32
21
45
35
22
34
35
27
39
47
26
37
35
28
32
35
48
23
15
34
36
21
32
46
19
38
44
34
44
13
46
34
39
43
59
25
列出频数分布表,画出频数直方图。
解:(1)求数据中最大值与最小值的差。
数据的最大值是59,最小值是10,它们的差是
59-10=49。
(2)确定组数和组距。
如果取组数为5,那么组距为
49
5=9.8,
取与9.8相近的一个整数10作为组距,所以将数据分成如下5组:
10~20, 20~30, 30~40, 40~50, 50~60。
(3)列出频数分布表。
组别
1
2
3
4
5
时间/min
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
频数
5
11
20
12
2
(4)画频数直方图(图7.3-8)。
图7.3-8
19
为了解七年级学生的体能状况,某学校体育老师随机调查了32名学生1
min内
蹲起的次数,数据如下:
48 22 54 55 37 35 26 38 51 47 38 32 23 48 32 52
23 46 35 43 37 30 25 43 42 34 21 30 34 38 37 48
列出样本的频数分布表,画出频数直方图。
(第1题)
复习巩固
1.某中学部分学生参加投篮比赛,
每人投篮10次。将比赛结果整
理后,绘制出如图所示的条形
统计图。
(1)共有多少名学生参加比赛?
(2)投篮命中数在5次及以上
的学生人数占参赛人数的
百分比是多少?
2.
2022年,我国全年粮食播种面积为11
833.21万hm
2。其中,夏粮播种面积为
2
653.00万hm
2,早稻播种面积为475.51万hm
2,秋粮播种面积为8
704.70
万hm
2。请根据以上数据绘制扇形统计图。
3.某校为了解学生做家务的情况,随机调查了50名学生一周内做家务的时长(单位:min):
153 185 125 195 270 145 152 185 195 275
260 100 162 170 245 140 180 220 155 245
180 180 235 145 194 195 230 188 192 155
299 145 125 195 198 110 198 210 278 178
230 255 180 135 270 195 215 255 258 265
请根据下列不同的分组方法列出频数分布表,画出频数直方图,比较哪一种分组
能更好地说明学生一周内做家务的时长分布:
20
(1)组距是40,各组是100~140,140~180,…;
(2)组距是20,各组是100~120,120~140,…。
拓展延伸
4.某商场1至5月的销售额共计600万元,根据下面的统计表和统计图回答问题。
商场1至5月月销售额统计表
月份
1月
2月
3月
4月
5月
商场月销售额/万元
180
90
115
95
120
图①为商场服装部1至5月月销售额占商场当月销售额的百分比统计图,图②为
商场服装部5月各卖区销售额占5月服装部销售额的百分比统计图。
①
②
(第4题)
(1)商场服装部2月的销售额是多少万元? 小亮观察图①后认为,服装部3月的
销售额比2月的销售额减少了,你同意他的看法吗? 请说明理由。
(2)商场服装部下设A,B,C,D,E五个卖区。结合已知信息,绘制5月份商
场服装部5个卖区销售额的条形统计图。
5.城镇人口占总人口比例的大小可以反映城镇化水平的高低。下表为我国某些年份
中城镇人口占总人口的百分比:
年份
1953
1964
1982
1990
2000
2010
2021
百分比(%)
13.26
18.30
20.91
26.44
36.22
49.68
63.89
(1)用适当的统计图描述我国城镇人口占总人口的百分比的变化情况;
(2)观察(1)中的统计图,你认为我国城镇化水平在哪两个年份之间提高最快?
21
(第6题)
探索创新
6.某银行为改进服务质量,随机调查了若
干名储户办理业务的等待时间。根据调
查数据画出的频数直方图如图所示。
(1)这次共调查了多少名储户?
(2)办理业务等待时间少于15
min的
有多少名储户?
(3)哪个范围内的人数最多? 哪个范围
内的人数最少?
(4)据调查,顾客对办理业务等待时间的满意度如下表:
等待时间/min
顾客满意度
0~10
满意
10~15
基本满意
15~25
不满意
结合频数直方图,绘制顾客满意度的扇形统计图。
22
用计算机绘制统计图
随着信息科技的发展,人们越来越多地使用计算机进行数据整理与描述。
下面介绍用计算机绘制统计图的方法。
北京冬奥会掀起了冰雪运动的热潮,某校针对学生对冰雪运动的喜欢程度
进行了调查,调查总人数为550人,其中男生302人,女生248人,调查结果如
下表(单位:人):
喜欢程度
不喜欢
比较喜欢
喜欢
非常喜欢
男生
54
43
50
155
女生
33
37
35
143
合计
87
80
85
298
1.生成扇形统计图。
(1)打开电子表格,输入上表数据。
(2)选中表格前两行,点击插入,选择工具栏中的“饼图或圆环图”,选择
“二维饼图”,生成扇形统计图(图7.3-9)。
图7.3-9
图7.3-10
2.生成条形统计图。
选中表格,点击插入,选择工具栏中的“柱形图或条形图”,选择“二维柱
形图”,生成条形统计图(图7.3-10)。
利用电子表格不仅能绘制扇形统计图、条形统计图,还可以绘制折线统计
图、频数直方图等。
23
1.常用的调查方法有哪些? 它们各有什么优势和不足?
2.简单随机抽样具有什么特点? 如何保证抽取到的样本具有代表性? 请举
例说明。
3.整理数据的方法和步骤有哪些?
4.如何制作扇形统计图和频数直方图?
5.描述数据时,有哪些常用的统计图? 它们在表示数据方面各有哪些特点?
6.用统计方法了解调查对象的总体情况时,有哪些主要环节?
24
复习巩固
1.为了解全市七年级学生体育测试达标情况,从不同学校随机抽取了1
000名学生的测
试成绩进行分析,指出这次调查中的总体、个体、样本和样本容量。
2.社会实践小组为了解本地区老年人的健康情况,分别采用下列四种不同的抽样调查
方法:
①
在公园里调查100名老年人的健康情况;
②
在医院调查100名老年人的健康情况;
③
某天早上,在学校门口调查30名送学生上学的老年人的健康情况;
④
随机调查该地区1%的老年人(约200人)的健康情况。
哪种抽样调查方法比较合理? 为什么?
3.某学校七年级3班有25名男生,他们校服上衣的尺码型号统计如下:
180 175 170 170 170 175 175 180 165 180
180
180
180
185
165
165
185
175
165
175
180
170
175
170
175
列表整理以上数据,说一说能获得哪些信息。
4.为了解学生对历史、科普、文学、动漫类书籍的喜爱情况,随机抽取了若干名学生进
行调查,绘制了如下条形统计图:
(第4题)
(1)
本次调查共抽取了多少名学生?
(2)绘制扇形统计图表示学生对各类书籍的喜爱情况。
25
5.在某年级360名男生中随机抽取40名同学,他们的百米跑的成绩如下(单位:s):
15.3 14.2 16.3 13.8 12.5 13.6 14.5 13.8 13.5 14.4
15.0
13.4
15.1
13.2
12.9
13.7
13.5
13.9
13.6
14.6
13.8
14.6
14.3
13.1
13.1
13.5
13.4
14.9
13.4
14.0
15.2
12.8
14.9
13.5
13.4
13.8
15.1
15.7
14.2
13.5
将这40名男生的百米跑成绩分组整理,列出频数分布表,画出频数直方图。
6.
A,B两种理财产品近几年的收益率如下:
理财产品A的收益率
年份
2014 2018 2022
年收益率(%) 3.5
4.5
5.5
理财产品B的收益率
年份
2018 2020 2022
年收益率(%) 3.5
4.5
5.5
小亮根据上面的统计表,制作了A,B两种理财产品收益率变化折线统计图(图①②):
①
理财产品A收益率变化的折线统计图
②
理财产品B收益率变化的折线统计图
(第6题)
你认为哪一种理财产品收益率增长较快? 为什么? 这与上面的统计图给你的感觉一
致吗? 为什么?
拓展延伸
7.根据第七次全国人口普查结果,0~15岁人口为25
338万,15~60岁人口为89
438
万,60岁及以上人口为26
402万。请绘制扇形统计图表示全国人口年龄分布情况。
8.从蔬菜大棚中收集到50株西红柿的果实个数:
28 62 54 29 32 47 68 27 55 43
36
79
46
54
25
82
16
39
32
64
61
59
67
56
45
74
49
36
39
52
85
65
48
58
59
64
91
67
54
57
68
54
71
26
59
47
58
52
52
70
用不同的组数分组整理数据,列出频数分布表,绘制频数直方图。比较哪一种分组方
式能更好地说明西红柿的果实个数的分布情况。
26
9.
运用语音识别输入软件可以提高文字输入的速度。为了解A,B两种语音识别输入软
件的准确性,小亮随机选取了20段话,其中每段话都含100个文字(不计标点符号)。
在保持相同语速的条件下,他用标准普通话分别朗读每段话来测试这两种语音识别
输入软件的准确性。两种软件每次识别正确的字数记录如下:
A 98 98 92 92 92 92 92 89 89 85
84 84 83 83 79 79 78 78 69 58
B 99 96 96 96 96 96 96 94 92 89
88 85 80 78 72 72 71 65 58 55
(1)
根据上面的两组样本数据,分别列出频数分布表,画出频数直方图;
(2)
如果以“识别正确的字数不低于85”作为评价两种软件性能的标准,哪种软件的
性能更好? 如果以“识别正确的字数不低于80”作为评价标准呢?
探索创新
(第10题)
10.雷达图是在从同一点开始的轴上显示多种数据的统计图,
也称为网络图。如图,从一个点向8个方向作轴,这代
表了显示8种数据。5个同心圆代表每一种数据有5个由
低到高的等级,轴外端的数据代表这种数据的最大值。
(1)查阅资料,了解制作雷达图的方法,仿照制作扇形
统计图和频数直方图的学习过程,整理制作雷达图
的步骤;
(2)比较雷达图和已学的统计图各自有哪些特点? 雷达图
适合描述数据哪方面的信息?
内容提要
◆ 相交线
◆ 平行线及其判定
◆ 平行线的性质
第8 章 相交线与平行线
图形的性质
平面图形
直线
……
平行线
相交线
生活中，纵横交错的道路、操场上的跑道线、棋盘中的网
格线……都呈现出相交或平行的关系。在下面的桥梁图片中，
你能找到相交线和平行线吗？用什么方法可以判断两条直线是
否平行？
在上学期，我们认识了线段、射线、直线和角等基本图形。
本章我们将在认识相交线与平行线的基础上，探索两直线相交时
所成角的数量关系和位置关系；研究两条直线相交时的特殊情
形——垂直，认识垂线段，并探究点到直线的距离；探究平行线
的判定和性质。我们还将学习通过简单推理得到数学结论的方法，
养成良好的思维习惯。
29
认识了线段、射线、直线、角等基本几何图形,研究了点与直线的位置关
系后,本节我们将研究两条直线的位置关系。
观察图8.1-1,同一平面内的两条直线有什么位置关系?
图8.1-1
在同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行两种(图8.1-2)。
① ②
图8.1-2
如果两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线(
intersection
lines)。这个公共点叫作它们的交点。如图8.1-2①,直线a 与直线b相交,点
O 是它们的交点。
在同一平面内,没有公共点的两条直线叫作平行线(parallel
lines)。如图
8.1-2②,直线a与直线b平行。
图8.1-3
如图8.1-3,任意画两条直线AB 与CD 相交于点O,
形成了四个角。
30
(1)∠1和∠2的大小有什么关系? 它们的位置有怎样的关系?
由于∠AOB 是平角,所以∠1和∠2互为补角。
∠1和∠2具有公共顶点O,有一条公共边OC,它们
的另一边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个
角互为邻补角。图8.1-3中的∠2和∠3也互为邻补角。
(2)∠1和∠3有什么位置关系?
∠1和∠3具有公共顶点O,并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长
线,具有这种位置关系的两个角互为对顶角。
图8.1-3中的∠2和∠4也互为对
顶角。
(3)比较互为对顶角的两个角的大小,你有什么发现? 对顶角为什么具有
这种数量关系?
如图8.1-3,因为∠1与∠2互补,
∠3与∠2也互补,所以根据同角的补角
相等,得∠1=∠3。同理得∠2=∠4。
对顶角的性质 对顶角相等。
图8.1-4
如图8.1-4,直线AB 与CD 相交于点O,射
线OE 是∠BOD 的平分线,∠AOC=70°。求∠AOD 和
∠BOE 的度数。
解:根据邻补角的定义,得
∠AOD=180°-∠AOC=180°-70°=110°。
根据对顶角相等,得
∠BOD=∠AOC=70°。
因为射线OE 是∠BOD 的平分线,
所以根据角的平分线定义,得
∠BOE
=1
2∠BOD=1
2×70°=35°。
31
1.如图,因为光的折射,铅笔插入水中时,会让我们产生“铅笔发生弯折”的错觉。
图中的∠1与∠2是对顶角吗?
(第1题)
(第2题)
2.如图,直线AB,CD,EF 相交于点O。
(1)写出∠AOC,∠BOE 的邻补角;
(2)写出∠AOD,∠COE 的对顶角;
(3)如果∠AOC=40°,求∠BOD,∠BOC 的度数。
我们认识了两条直线相交所形成的对顶角。接下来将研究两条直线相交的
特殊情况———垂直。
观察图8.1-5,能找出其中的相交线吗? 它们有什么特殊的位置关系?
图8.1-5
图8.1-6
用数学软件画出图8.1-6,拖动点C,使直线CD 绕
点O 转动,观察∠BOC 的变化情况。当∠BOC=90°时,
另外三个角的度数是多少? 为什么?
32
因为∠AOC 是∠BOC 的补角,
所以∠AOC=180°-∠BOC=90°。
同理∠BOD=90°。
因为∠AOD 是∠BOC 的对顶
角,所以∠AOD=∠BOC=90°。
两条直线相交所形成的四个角中,如果有一个角是直角,那么就称这两条
直线互相垂直(perpendicular),其中一条直线叫作另一条直线的垂线。在图8.1-6
中,直线AB 与CD 互相垂直,记作“AB⊥CD”或“CD⊥AB”,读作“AB
垂直于CD”或“CD 垂直于AB”,它们的交点O 叫作垂足。
经过直线l上的一点A,能用三角板或量角器画直线l的垂线吗? 画出的
垂线有几条? 经过直线l外的一点B 呢?
①
②
③ ④
图8.1-7
如图8.1-7,将三角板的一条直角边与直线l重
合,另一条直角边经过点A(B),沿着过点A(B)的
一边画出直线,这条直线就是直线l的垂线。在同一
平面内,过一点只能画直线l的一条垂线。
33
基本事实 同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
过直线外一点作一条直线的垂线,这个点与垂足之间的线段叫作垂线段。
图8.1-8
如图8.1-8,在一张半透明的纸上画一条直线l,
在l上任取一点P,能用折纸的方法折出过点P 且与
l垂直的直线吗? 在l外任取一点Q,能折出过点Q
且与l垂直的直线吗?
1.填空:
(1)如图①,直线AB 与CD 相交于点O,∠AOC=90°,则
⊥
,垂足为
点
;
(2)如图②,CD⊥AB,垂足为点D,那么∠
=∠
=
°。
① ②
(第1题)
(第2题)
2.如图,用三角板或量角器经过点P 分别画出直线AB,CD 的垂线。
垂直是两条直线相交的特殊情况,下面我们来研究垂线段。
在引黄灌溉工程中(图8.1-9),要把黄河水引到农田灌溉口,引水口的位置
在何处时,输水管道的长度最短?
34
图8.1-9
图8.1-10
将图8.1-9中的黄河岸堤、引水口、灌溉口分别抽象成直线AB、点P、点
C,将上述问题转化为数学问题:如图8.1-10,C 为直线AB 外的定点,点P
在直线AB 上。P 在何处时,线段CP 的长度最短?
图8.1-11
如图8.1-11,画CD⊥AB,垂足为点
D,线段CD 是点C 到直线AB 的垂线段。
在AB 上任取点E,F,G,比较线段CE,
CF,CD,CG 的长短,哪一条最短?
我发现,线段CE,CF,
CG 的长度都大于线段CD 的长
度,所以线段CD 的长度最短。
利用数学软件完成
操作:在直线AB 外取
定点C,在直线AB 上
取一动点D,作线段
CD。拖动点D,观察线
段CD 长度的变化情况。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简单说成:垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫作这个点到这条直线的距离。
图8.1-10中,过点C 作AB 的垂线段CD,点D 即为黄河岸堤上引水口的
位置,此时输水管道的长度最短。
35
如图8.1-12,A,B,C 三个村庄之间有直通的道路AB,AC 和
BC。如果AB⊥BC,垂足为点B,那么哪两个村庄之间的距离最远? 为什么?
图8.1-12
解:因为AB⊥BC,
所以根据垂线段最短,得
AB<AC,BC<AC。
所以AB,AC,BC 中AC 最长,
即A,C 两个村庄的距离最远。
1.如图,用量角器或三角板画图。
(1)经过点A 画直线BC 的垂线;
(2)经过点B 画直线AC 的垂线;
(3)经过点C 画直线AB 的垂线。
(第1题)
(第2题)
2.如图是小亮跳远后沙坑里的脚印示意图,直线l表示起跳线,怎样测量他的跳远成绩?
复习巩固
1.如图,直线AB,CD,EF 相交于点O,已知∠DOE=89°,∠AOC=70°。求
∠BOF 的度数。
(第1题)
(第2题)
2.如图,直线AB,CD,EF 相交于点O,如果OE 是∠AOC 的平分线,那么OF
是∠BOD 的平分线吗? 为什么?
36
(第7题)
3.如图,用带刻度的直尺分别量出点P 到直线AB,BC 和AC 的距离。
(第3题)
(第4题)
4.用量角器画∠AOB 的平分线OC,在OC 上任取一点P,经过点P 分别画出直线
OA,OB 的垂线段,你有什么发现?
拓展延伸
5.如图,三条直线两两相交,∠2=2∠1,∠3+∠2=162°。
求∠1与∠4的度数。
(第5题)
(第6题)
6.现需要从海岸l铺设到海岛P 的电缆,如何铺设才能使电缆最短? 如果图中比例
尺为1∶10
000
000,那么需要多少千米的电缆?
探索创新
7.如图,取一张长方形纸片,按下面的方法折纸,然后回答问题。
(1)判断AE 与EF 的位置关系,并说明理由;
(2)用等式表示∠1与∠3的数量关系,并说明理由。
37
在同一平面内的两条直线的位置关系除了相交还有平行。生活中还有哪些
平行线的例子呢? 如何判定两条直线平行?
如图8.2-1①,画两条相交的直线AB,CD。直线AB 绕点A 转动的过程
中,直线AB 与CD 有几种位置关系?
①
②
图8.2-1
直线AB 与CD 的位置关系存在两种情况:直线AB 与CD 相交(图8.2-1①),
直线AB 与CD 不相交(图8.2-1②)。当直线AB 与CD 不相交时,它们没有公共
点,也就是直线AB 与CD 平行,记作
“AB∥CD”,读作
“AB 平行于CD”。
图8.2-2
(1)如图8.2-2,已知直线a 和直线外一点P,利用三
角板和直尺,经过点P 怎样画出直线a的平行线?
按照图8.2-3所示的步骤,可画出经过点P,且平行于
直线a的直线b。
① ② ③ ④
图8.2-3
38
(2)经过点P 可以画出几条平行于a的直线?
经过点P 只能画出一条平行
于a的直线。
平行线基本事实
Ⅰ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
如图8.2-4,a∥b,如果在直线
a,b外取一点Q,过点Q 画直线c,使得
c∥a,那么直线b与c有什么位置关系?
如果b∥a,c∥a,那么b∥c。
图8.2-4
由此得到:平行于同一条直线的两条直线平行。
1.在如图所示的点阵图中,经过点P 分别画出线段a,b,c的平行线。①
(第1题)
(第2题)
2.过点P 画PC∥OA,交OB 于点C。过点P 画PD∥OB,交OA 于点D。
①两条射线或线段平行,是指它们所在的直线平行。
39
可以用平行线的定义判定两条直线是否平行,但从定义出发很难直接说明
两条直线没有公共点。还有其他判定两条直线平行的方法吗?
用直尺和三角板,按照图8.2-5所示的方法,经过直线a 外一点P 画出a
的平行线b。观察画图过程,能发现a∥b的条件吗?
⇒
图8.2-5
由画图过程可以看出,经过点P 画直线a 的平行线时,三角板沿直尺平
移,保证了∠1=∠2。这说明只要∠1=∠2,就可以得到a∥b。
图8.2-6
如图8.2-6,两条直线AB,CD 被第三条直线l所
截,形成不同的角。观察∠1与∠2,它们有怎样的位置
关系?
∠1与∠2都在直线AB,CD 的同侧,并且都在直
线l的同旁,具有这种位置关系的一对角叫作同位角。
图8.2-6中,∠3与∠4,∠5与∠6,∠7与∠8也是同
位角。
平行线基本事实
Ⅱ 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那
么这两条直线平行。
简单说成:同位角相等,两直线平行。
40
图8.2-7
如图8.2-7,PC⊥AB,垂足为点P,
QD⊥AB,垂足为点Q。PC 与QD 平行吗?
为什么?
解:PC∥QD。理由如下:
因为PC⊥AB,QD⊥AB,
所以根据垂线的定义,得
∠BPC=90°,∠BQD=90°。
所以∠BPC=∠BQD。
根据同位角相等,两直线平行,得
PC∥QD。
1.找出图中的同位角。
(第1题)
(第2题)
(第3题)
2.
如图,将木条a,b分别与木条c钉在一起。已知∠1=44°,∠2=75°,固定木条
b,c,将木条a按顺时针方向最少转动多少度,才能使a与b平行? 为什么?
3.
如图,∠AMB=∠ANC,MD,NE 分别是∠AMB,∠ANC 的平分线。图中有
哪些平行线? 为什么?
两条直线被第三条直线所截,除了形成同位角外,还有其他位置关系的角
吗? 这些角满足什么关系时,才能判定两条直线平行?
图8.2-8
如图8.2-8,直线AB,CD 被第三条直线l所截,
∠1与∠2有怎样的位置关系? ∠1与∠3呢?
41
∠1与∠2都在直线
AB,CD
之间,并且分别在直线l的两旁,具有这种
位置关系的一对角叫作内错角。
除∠1与∠2外,图中还有其他的内错角吗?
∠1与∠3都在直线AB,CD 之间,并且都在直线l的同旁,具有这种位
置关系的一对角叫作同旁内角。
除∠1与∠3外,图中还有其他的同旁内角吗?
我们知道,同位角相等,两直线平行。内错角或同旁内角满足什么关系时,
两条直线平行?
(1)如图8.2-9,如果∠1=∠2,那么a∥b吗? 为什么?
图8.2-9
因为∠1=∠2,
∠2=∠3,
所以∠1=∠3。
所以a∥b。
(2)如图8.2-10,如果∠1与∠2互补,那么a∥b吗?
因为∠1+∠2=180°,
∠2+∠3=180°,
所以∠1=∠3。
所以a∥b。
图8.2-10
平行线判定定理 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么
这两条直线平行;如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。
简单说成:内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行。
42
图8.2-11
如图8.2-11,点E,F 分别是线段AB,
DC 上的点,点G 在BC 的延长线上。
(1)如果∠D=∠DCG,可以判定哪两条直线
平行?
(2)如果∠D+∠DFE=180°,可以判定哪两条直线平行?
(3)如果∠B=∠DCG,可以判定哪两条直线平行?
解:(1)因为∠D=∠DCG,
所以根据内错角相等,两直线平行,得
AD∥BC。
(2)因为∠D+∠DFE=180°,
所以根据同旁内角互补,两直线平行,得
AD∥EF。
(3)因为∠B=∠DCG,
所以根据同位角相等,两直线平行,得
DC∥AB。
1.如图,∠2=60°,当∠1=
°时,a∥b,理由是
。
(第1题)
(第2题)
(第3题)
2.如图,在墙面上安装一条需拐两次弯的管道。若第一个弯道处∠B=142°,则第
二个弯道处∠C 为多少度时,管道CD 与AB 平行? 为什么?
3.如图,分别根据下列条件可以判定哪两条直线平行? 说明理由。
(1)∠1=∠2; (2)∠3=∠4;
(3)∠B=∠DCE; (4)∠B+∠BAD=180°。
43
如图8.2-12,直线AF 与BD 交于点C,∠B=∠ACB。若CD 是
∠ECF
的平分线,试判断AB 与CE 的位置关系,并说明理由。
图8.2-12
解:AB∥CE。理由如下:
因为CD 是∠ECF 的平分线,
所以根据角的平分线的定义,得
∠ECD=∠FCD。
根据对顶角相等,得
∠FCD=∠ACB。
所以∠ACB=∠ECD。
因为∠B=∠ACB,
所以∠B=∠ECD。
根据同位角相等,两直线平行,得
AB∥CE。
图8.2-13
如图8.2-13,台球运动中母球P 击中
桌边的点A,经桌边反弹后击中相邻的另一桌边
的点B,再次反弹经过点C,∠PAD=∠BAE,
∠ABE=∠CBF,∠BAE+∠ABE=90°,母球P
经过的路线BC 与PA 一定平行吗? 说明理由。
解:BC∥PA。理由如下:
根据平角的定义,得
∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE。
因为∠PAD=∠BAE,
所以∠PAB=180°-2∠BAE。
同理∠ABC=180°-2∠ABE。
因为∠BAE+∠ABE=90°,
所以根据等式的基本性质,得
∠PAB+∠ABC=360°-2(∠BAE+∠ABE)=180°。
根据同旁内角互补,两直线平行,得
BC∥PA。
44
1.如图,工程技术人员常用丁字尺画平行线,说明这种画法的道理。
(第1题)
(第2题)
2.如图,点G 在直线CD 上,∠BAG+∠AGD=180°,AE,GF 分别是∠BAG,
∠AGC 的平分线。试说明AE∥GF。
复习巩固
1.观察下面的正方体,找出三组互相平行的棱,并用符号表示。
(第1题)
(第2题)
2.如图,用三角板和直尺分别按下列要求画图。
(1)过点A 画BC 的平行线;
(2)过点B 画AC 的平行线;
(3)过点C 画AB 的平行线。
3.找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。
①
②
(第3题)
45
4.如图,一个弯形管道ABCD 需要满足AB 边与CD 边平行,现利用量角器测得
∠ABC=110°,∠BCD=70°。这个零件合格吗? 请说明理由。
(第4题)
(第5题)
5.如图,工人师傅盖房子时,常将房梁设计成如图所示的图形。已知AC 是∠DAB
的平分线,∠DAC=∠DCA。可以判定哪两条直线平行? 请说明理由。
6.如图,∠1=∠A,∠2=∠B,图中有哪些直线平行? 为什么?
(第6题)
(第7题)
7.如图,D 为线段AC 上的点,E 是线段AB 上的点。添加一个条件,使DE∥BC,
并说明理由。
拓展延伸
8.如图,图①是一段花边的基本结构,在图②中,绘制与图①相同的图案。
(第8题)
(第9题)
9.如图,在正方形方格纸的格点上有一点P,用一把直尺,过点P 分别画出线段a,
b所在直线的平行线。
10.如图,有一条纸带,用什么方法可以检验纸带的对边是否平行?
(第10题)
46
(第12题)
探索创新
11.光线从空气射入玻璃,或从玻璃射
入空气都会产生折射现象。如图,
光线a 从空气中射入玻璃,再从玻
璃中射入空气,形成光线b。已知
∠1=∠4,∠2=∠3。判断光线a
与光线b是否平行,并说明理由。
(第11题)
12.如图,取线段AB 的中点D,过点D 画BC 的平行线交
CA 于点E,再过点E 画AB 的平行线交BC 于点F。
(1)用圆规分别比较线段AE 与EC,CF 与BF 的长短;
(2)用圆规分别比较线段DE 与BF,FC 的长短,EF
与AD,DB 的长短,有什么发现?
直觉可靠吗
观察图8.2-14中的线段a与b,哪一条长?
图8.2-14
图8.2-15
图8.2-15是由一些黑白相间的小格子组成的,凭直觉判断一下,图中的
这些横线平行吗?
你的判断正确吗? 利用刻度尺量一量、测一测,能得到怎样的结论?
要对事物作出某种判断,通常要对这个事物进行观察、实验与思考。观
察要认真仔细,但是仅仅依靠观察得出的猜想不一定正确,还要借助实验进
行检验。
47
两条直线被第三条直线所截,由同位角、内错角、同旁内角的数量关系可
以判定两条直线平行。如果两条直线平行,那么同位角、内错角、同旁内角有
怎样的关系?
如图8.3-1,练习本上的横格线都是互相平行的,从中
任选两条,分别记作a,b。画一条直线l分别与直线a,b
相交,形成八个角。
度量其中的每对同位角,你有什么发现?
任选一对同位角(如∠1
与∠5),用量角器量出它们的
度数,发现∠1=∠5。
图8.3-1
平行线性质定理
Ⅰ 两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。
简单说成:两直线平行,同位角相等。
在图8.3-1中,每对内错角的大小有什么关系? 请说明理由。
图中每对内错角分别相等。
因为a∥b,
所以根据平行线性质定理Ⅰ,得∠1=∠5。
又因为∠1=∠3,所以∠3=∠5。
同理,∠4=∠6。
48
按照小莹的上述方法,探索同旁内角的关系,并说明理由。
平行线性质定理Ⅱ 两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等,同旁
内角互补。
简单说成:两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补。
图8.3-2
如图8.3-2,直线a∥b,c∥d,∠1=106°,求
∠2,∠3,∠4的度数。
解:因为a∥b,
所以根据两直线平行,内错角相等,得
∠2=∠1。
因为∠1=106°,
所以∠2=106°。
因为c∥d,
所以根据两直线平行,同位角相等,得
∠3=∠2。
所以∠3=106°。
根据两直线平行,同旁内角互补,得
∠4=180°-∠1。
所以∠4=74°。
1.如图,AB∥CD,∠1=110°,求∠2,∠3,∠4的度数。
(第1题)
(第2题)
(第3题)
2.如图,AB∥CD,AE∥CF,∠A=50°,求∠C 的度数。
3.如图,直线a∥b,直线c⊥b,试判断直线c与a的位置关系,并说明理由。
49
复习巩固
1.如图,直线a∥b,根据图中已知条件,求∠1和∠2的度数。
(第1题)
(第2题)
(第3题)
2.如图,AB∥DC,AD∥BC,用数字标出的四个角中,哪些角相等?
3.如图,AB∥CD,AE 是∠CAB 的平分线,与CD 交于点D。若∠C=100°,求
∠CDA 的度数。
拓展延伸
4.如图,a∥b,将直角三角板的直角顶点放在直线a上。若∠1=30°,求∠2的度数。
(第4题)
(第5题)
5.
如图,把一张长方形纸片ABCD 沿BD 折叠后,点C 落在点C'处。判断∠1与
∠2的大小关系,并说明理由。
50
1.用画图或举例的方法解释以下概念:对顶角、垂直、垂线段、同位角、
内错角、同旁内角。
2.点到直线的距离的相关知识在实际生活中有很多应用,请举例说明。
3.什么是平行线? 平行线有哪些判定方法? 平行线有哪些性质? 平行线的
判定与性质之间有什么联系和区别?
4.本章你学会了用直尺、三角板或量角器画哪些图形?
51
复习巩固
1.如图,点B 在直线AC 上,∠1=23°,∠2=68°,BE 与BD 垂直吗? 为什么?
(第1题)
(第2题)
(第3题)
2.如图,∠1的度数是多少?
3.如图,已知点A,B,C 是网格纸上的三个格点。
(1)画线段AC 和射线AB;
(2)过点B 画AC 的平行线BE;
(3)过点B 画AC 的垂线,垂足为点D。
4.如图,∠1=∠2
=∠C,找出图中的平行线,并说明理由。
(第4题)
(第5题)
(第6题)
5.如图,直线a⊥c,b⊥c。若∠1=110°,求∠2的度数。
(第7题)
6.如图,点E 在AB 上,∠1=∠D,EC 是∠AED 的平分线。若
∠C=65°,求∠1的度数。
7.如图,在小区道闸的平面示意图中,BA 垂直地面AE,垂足为
点A,CD 平行于地面AE。若∠BCD=135°,求∠ABC 的度数。
拓展延伸
8.将正方形纸片按照以下步骤进行折叠,得到的折痕AB 与FG 有怎样的位置关系? 为
什么?
52
① ② ③ ④
(第8题)
9.将直尺和三角板按如图方式摆放,用等式表示∠α和∠β的数量关系,并说明理由。
你还能发现哪些数量关系?
(第9题)
(第10题)
(第11题)
10.如图,D,E,F 是线段AB 的四等分点,分别经过各等分点画BC 的平行线交线段
AC 于点D',E',F'。测量比较线段AD',D'E',E'F',F'C 的长度。
11.在潜望镜工作原理示意图中,AB,CD 是平行放置在潜望镜里的两面镜子。已知光
线经过镜子反射时,有∠1=∠2,∠3=∠4。判断进入潜望镜的光线l与离开潜望
镜的光线m 的位置关系,并说明理由。
探索创新
12.如图,将一副三角板的两个直角顶点C 叠放在一起,其中∠A=60°,∠B=30°,
∠D=∠E=45°。按住三角板ABC 不动,将三角板DCE 绕顶点C 转动,探究
∠BCD 等于多少度时,CE∥AB。
(第12题)
(第13题)
13.如图,AB∥EF,∠B=∠E。判断BC 和DE 的位置关系,并说明理由。
第9 章 二元一次方程组
内容提要
◆ 二元一次方程组及其解法
◆ 二元一次方程组与实际问题
◆ * 三元一次方程组及其解法
标有* 的内容为选学内容，不作为考试要求。
方程与不等式
方程
未知数
等式
二元一次
方程（组）
……
古有北斗七星指明方向，今有北斗卫星导航系统全球定
位。2020 年7 月31 日，北斗三号全球卫星导航系统正式开通。
北斗三号全球卫星导航系统由地球中圆轨道卫星（MEO）、
倾斜地球同步轨道卫星（IGSO）、地球静止轨道卫星（GEO）
组成，共计30 颗。其中，GEO 卫星有3 颗，MEO 卫星比
IGSO 卫星多21 颗。那么MEO 卫星与IGSO 卫星各有多少颗？
上学期我们学习了一元一次方程。在此基础上，本章我
们将通过实际问题认识二元一次方程组，学习运用消元法解
二元一次方程组，并应用二元一次方程组解决一些实际问题，
进一步体会方程是描述现实世界等量关系的重要数学工具。
55
上学期我们应用一元一次方程解决了一些实际问题,如果问题中含有两个
未知数,那么直接设两个未知数会使列方程更加容易。
在章引言给出的问题中,存在哪些等量关系? 如何列方程呢?
问题中存在两个必须同时满足的条件:
MEO卫星颗数+IGSO卫星颗数+GEO卫星颗数=30颗,
MEO卫星颗数-IGSO卫星颗数=21颗。
如果设MEO卫星有x 颗,那么IGSO
卫星有(x-21)颗。因为GEO卫星有3颗,
所以可以列出方程x+(x-21)+3=30。
如果设MEO卫星有x 颗,IGSO卫星有y 颗,那么可以用方程①②直接表
示问题中的两个等量关系,即
x+y+3=30,
①
x-y=21。
②
(1)方程①与②有什么共同特点?
这两个方程都含有两个未知数,
且含有未知数的项的次数都是一次。
56
两边都是整式,含有两个未知数,并且含有未知数的项都是一次的方程,
叫作二元一次方程。
上面的问题中存在两个必须同时满足的等量关系,列出的方程x+y+3=30
和x-y=21中字母x,y分别代表相同的未知数。我们可以把这两个方程联立起
来,写成
x+y+3=30,
x-y=21。
一般而言,由几个一次方程联立的一组方程,叫作一次方程组。含有两个
未知数的一次方程组,叫作二元一次方程组。
(2)将满足二元一次方程x+y+3=30,且符合实际意义的x,y 的值填入
下表:
x
…
…
y
…
…
x=0,y=27;x=1,y=26;…;x=27,y=0都可以使方程x+y+3=30
两边的值相等,它们都是这个方程的解。如果不考虑方程与实际问题的联系,
x=-1,y=28;x=0.5,y=26.5;…也都是这个二元一次方程的解。
(3)哪一组x,y 的值同时满足方程x-y=21呢?
x=24,y=3既满足方程x+y+3=30,又满足方程x-y=21,是这两个
方程的公共解。
满足二元一次方程的一组未知数的值,叫作这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫作这个二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程,叫作解方程组。
x=0,y=27是方程x+y+3=30的一个解,记作x=0,
y=27。
x=24,y=3是二元一次方程组x+y+3=30,
x-y=21
的解,记作x=24,
y=3。
57
1.某中学师生100人分别到甲、乙两地参加社会实践活动,到甲地的人数比到乙地
的人数的2倍少8人,到两地参加社会实践的师生各有多少人?
2.已知x 与y 的三组值:
x=0,
y=-1;
x=15,
y=4;
x=2,
y=1
10。
(1)哪组值是方程x-3y=3的解? 哪组值是方程3x-10y=5的解?
(2)哪组值是二元一次方程组x-3y=3,
3x-10y=5
的解?
复习巩固
1.已知二元一次方程2x+2y-5=0,当y分别取-1,0,1
3时,求对应的x的值。
2. (1)根据下列方程,分别求方框内y 的值。
y=4x+2; 2x-3y=4。
(2)从上面的计算中,找出二元一次方程组y=4x+2,
2x-3y=4
的解。
拓展延伸
3.根据题意,列方程组:
今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何。
探索创新
4.用两种盒子装乒乓球,大盒最多装6个,小盒最多装4个。如果将50个乒乓球都
装进盒子里,且每盒都装满,那么有几种不同的装球方法?
58
我们学习了二元一次方程组及其解的概念,本节将研究它的解法。
在解决章引言中的问题时,列出了一元一次方程x+(x-21)+3=30和二
元一次方程组x+y+3=30,
x-y=21,
它们之间有什么关系?
方程x-y=21可以整理为y=x-21。因为两个方程中两个相同的字母表
示同一个数,所以把方程x+y+3=30中的y 用x-21等量代换,得到一元一
次方程x+(x-21)+3=30。
这样就把一个二元一次方程组转化为一元一次方程了。解这个一元一次方
程,得x=24。再将x=24代入y=x-21,或者原方程组中任意一个方程,都
可以解得y=3。因此,原二元一次方程组的解是x=24,
y=3。
以上解二元一次方程组的基本思路是什么?
消去二元一次方程组中的一个未知数,转化为一元一
次方程,先求出一个未知数,再求另一个未知数。这种将
未知数的个数由多化少、逐一求解的方法称为消元法。
59
将二元一次方程组中一个方程的某一个未知数,用含有另一个未知数的代数
式表示出来,然后将它代入另一个方程中,从而消去一个未知数,就可以将二元
一次方程组转化为一元一次方程求解,这种解方程组的方法叫作代入消元法。
用代入消元法解方程组
3x+y=10, ①
x-2y=1。
②
解:由①,得
y=10-3x。
③
将③代入②,得
x-2(10-3x)=1。
解得
x=3。
将x=3代入③,得
y=1。
所以原方程组的解是
x=3,
y=1。
代入消元法解二元一次方程组的过程如下:
1.已知二元一次方程x-5y=3。
(1)用关于x 的代数式表示y;
(2)用关于y 的代数式表示x。
60
2.用代入消元法解下列方程组:
(1) 4x=y+9,
y=3x;
(2) x+2y=8,
3x-y=3。
除了代入消元法外,还有其他方法解二元一次方程组吗?
观察二元一次方程组x+y+3=30, ①
x-y=21。
②
这个方程组的两个方程中,y 的系数有什么关系? 能否利用这种关系解方
程组呢?
y 的系数互为相反数。
将方程①②的两边分别相加,得
(x+y+3)+(x-y)=30+21,
即
2x+3=51。
解得
x=24。
将x=24代入方程①,得
24+y+3=30。
解得
y=3。
所以原方程组的解是
x=24,
y=3。
61
如何求方程组2x+y=5,
2x+3y=9
的解?
两个方程含x 的项的系数相
同,我们可以通过两式相减消去未
知数x,实现消元。
当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时,将
两个二元一次方程相加或相减消去一个未知数,就可以将二元一次方程组转
化为一元一次方程求解,这种解方程组的方法叫作加减消元法。
方程组中有多个未知数时,可用消元法减少未知数的个数,将方程组转化
为只含有一个未知数的方程。
用加减消元法解方程组
5x+2y=-9, ①
3x-4y=-8。
②
解:①×2,得
10x+4y=-18。
③
②+③,得
13x=-26。
解得
x=-2。
将x=-2代入方程①,得
-10+2y=-9。
依据等式的基本性质,
把方程①的两边同时乘2,
两个方程中含有y 的项的
系数就互为相反数了。
解得
y=1
2。
62
所以原方程组的解是
x=-2,
y=1
2。
加减消元法解二元一次方程组的过程如下:
1.用加减消元法解下列方程组:
(1) 2x-3y=4,
5x-3y=1;
(2)
2x+3y=-1,
1
2x-2y=-3。
2.现有甲、乙两种3D打印机,甲工作2
h,乙工作3
h,共打印38个零件。已知甲
比乙每小时多打印4个零件,两种打印机每小时各打印多少个零件?
代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组的一般方法。通过消去一
个未知数使二元一次方程组转化为一元一次方程。解二元一次方程组时,要根
据方程组的特点选择合适的方法。
解方程组
x+2y=4,
①
2x-3y=15。
②
解:由①,得
x=4-2y。
③
将③代入②,得
2(4-2y)-3y=15。
解得
y=-1。
63
将y=-1代入③,得
x=6。
所以原方程组的解是
x=6,
y=-1。
解方程组
3x-4y=7, ①
5x+6y=18。
②
解:①×3,得
9x-12y=21。
③
②×2,得
10x+12y=36。
④
③+④,得
19x=57。
解得
x=3。
将x=3代入②,得
15+6y=18。
解得
y=1
2。
所以原方程组的解是
x=3,
y=1
2。
还有其他解法吗? 试一试。
解下列方程组:
(1)
x
2+y
3=5,
3x-2y=-6;
(2) 3(x-1)=y+5,
5(y-1)=3(x+5);
(3) 2x+3y=9,
5x-4y=-12;
(4) x+y=300,
5%x+53%y=300×25%。
64
(第4题)
复习巩固
1.用代入消元法解下列方程组:
(1) m=2n+3,
4m+5n=-1;
(2)
3x+4y=18,
1
2x+y=4。
2.用加减消元法解下列方程组:
(1) 3u+2v=9,
3u-5v=2;
(2) 9x+2y=15,
3x+4y=10。
3.解下列方程组:
(1) y-1=3(x-2),
y+4=2(x+1);
(2)
x
4+y
3=4
3,
5(x-9)=6(y-2)。
拓展延伸
4.如图,点O 在直线AB 上,OC 为射线,∠1比∠2的
3倍还多20°。求∠1,∠2的度数。
5.一艘船在河道上航行,顺水航行45
km,用时3
h;逆
水航行65
km,用时5
h。该船在静水中的速度与该河的水流速度分别是多少?
6.如图,在一台“数值转换机”上,依次输入数x,y后,会输出一个新数3(
x+2y)-2。
若依次输入数2a,3b,输出的新数是28;若依次输入数a,2b,输出的新数是16。求
a与b的值。
数值转换机
依次输入数x,y
→3(x+2y)-2 →输出新数
(第6题)
探索创新
7.如果关于m,n的二元一次方程组3m-an=16,
2m-bn=15
的解是m=7,
n=1,
那么关于x,y 的
二元一次方程组3(x+y)-a(x-y)=16,
2(x+y)-b(x-y)=15
的解是什么?
65
认识了二元一次方程组,学习了它的解法后,本节将探究如何应用二元一
次方程组解决实际问题。
用长方形和正方形的纸板制作A型、B型两种无盖的长方体纸盒(图9.3-1),
且长方形的宽与正方形的边长相等。现有正方形纸板140张,长方形纸板360张,
恰好可以制成多少个A型纸盒? 多少个B型纸盒?
图9.3-1
问题中的等量关系是:
A型、B型纸盒所用正方形纸板的数量之和等于正方形纸板总数,
A型、B型纸盒所用长方形纸板的数量之和等于长方形纸板总数。
设恰好可以制成A型纸盒x 个,B型纸盒y 个,借助下面的表格,可以表
示出问题中的等量关系。
纸板类型
A型纸盒
B型纸盒
纸板总数
正方形纸板/张
x
2y
140
长方形纸板/张
4x
3y
360
解:设恰好可制成A型纸盒x 个,B型纸盒y 个。根据题意,得
x+2y=140,
4x+3y=360。
66
解方程组,得
x=60,
y=40。
所以,恰好可以制成A型纸盒60个,B型纸盒40个。
应用二元一次方程组解决实际问题的一般过程包含哪些步骤呢?
列二元一次方程组解决实际问题的一般过程是
1.为绿化校园,某中学购买了杨树苗和柳树苗共100棵。杨树苗3元/棵,柳树苗
7元/棵,买树苗共用460元。求该校购买两种树苗各多少棵。
2.如图,用8块相同的长方形瓷砖拼成一个宽为60
cm的长方形墙面(瓷砖间的缝隙
忽略不计)。求每块瓷砖的长和宽。
(第2题)
67
弹簧不挂物体时的长度称为弹簧的自然长度。在弹性限度内,所挂
物体的质量每增加1
kg,弹簧增加的长度是相同的。
在弹性限度内,某弹簧所挂物体质量与弹簧长度的数据如下表:
物体质量/kg
…
0.5
3
…
弹簧长度/cm
…
11
16
…
当所挂物体的质量为5
kg时,该弹簧的长度是多少?
解:设某弹簧的自然长度为x
cm,弹性限度内所挂物体的质量每增加1
kg
时,弹簧的长度增加y
cm。根据题意,得
x+0.5y=11,
x+3y=16。
解方程组,得
x=10,
y=2。
当所挂物体的质量为5
kg时,该弹簧的长度为10+5×2=20(cm)。
所以,当所挂物体的质量为5
kg时,该弹簧的长度为20
cm。
A,B两块试验田去年共产小麦500
kg。今年采用新技术实现了增
产,共产小麦562
kg。已知A试验田今年比去年增产16%,B试验田今年比去
年增产10%。今年A,B两块试验田的产量分别是多少?
解:设去年A试验田产小麦x
kg,B试验田产小麦y
kg。根据题意,得
x+y=500,
(1+16%)x+(1+10%)y=562。
解方程组,得
x=200,
y=300。
因为(1+16%)×200=232(kg),
根据问题的具体条
件,可以直接设未知数,
也可以间接设未知数。
(1+10%)×300=330(kg)。
所以,今年A,B两块试验田的产量分别为232
kg,330
kg。
68
1.甲、乙两名同学各有若干零花钱。若乙把自己一半的钱给甲,则甲有50元;若甲
把自己2
3的钱给乙,则乙的钱也为50元。那么甲、乙各有多少元?
2.某校七年级共有180名学生,他们的体质健康测试及格率为90%。如果男、女生
的体质健康测试及格率分别为85%,94%,那么男、女生各有多少人?
图9.3-2
长江上一艘游船从沙市出发,船速为
17
km/h,经过若干小时到达宜昌。如果船速提高
1
km/h,那么用同样多的时间,游船可从沙市到
达宜昌上游9
km处的葛洲坝(图9.3-2)。提速前,
游船从沙市航行到宜昌所用的时间是多少? 沙市
到宜昌的航程是多少?
分析:借助线段图分析它们之间的关系(图9.3-3)。
图9.3-3
解:设游船提速前从沙市航行到宜昌所用的时间为x
h,沙市到宜昌的航程
为y
km。根据题意,得
17x=y,
(17+1)x=y+9。
解方程组,得
x=9,
y=153。
所以,提速前游船从沙市航行到宜昌所用的时间为9
h,沙市到宜昌的航程
为153
km。
69
某公司租用甲、乙两种冷柜车运送水果,每次装满水果后由A地运
往B地。前两次租用这两种冷柜车的信息如下表:
第一次
第二次
甲种冷柜车/辆
2
5
乙种冷柜车/辆
3
6
累计运货量/t
15.5
35
第三次运送水果时租用了3辆甲种冷柜车和5辆乙种冷柜车。如果每吨水
果的运费为280元,那么第三次运送水果应支付运费多少元?
分析:第三次运送水果的费用与运送的吨数有关,所以需要先求出甲、乙
两种冷柜车每辆每次分别运水果的吨数。
等量关系是:
=15.5,
=35。
解:设甲、乙两种冷柜车每辆每次分别运水果x
t,y
t。根据题意,得
2x+3y=15.5,
5x+6y=35。
解方程组,得
x=4,
y=2.5。
第三次运送水果所需费用为(3×4+5×2.5)×280=6
860(元)。
所以,第三次运送水果应支付运费6
860元。
1.根据题意,列方程组:
小亮和小莹练习跑步,如果小亮让小莹先跑10
m,那么小亮跑5
s就能追上小莹;
如果小亮让小莹先跑2
s,那么小亮跑4
s就能追上小莹。两人每秒各能跑多少米?
2.商场用36
000元购进甲、乙两种玩具,全部销售完后共获利6
000元。甲种玩
具进价为120元/个,售价为138元/个;乙种玩具进价为100元/个,售价为
120元/个。该商场购进甲、乙两种玩具各多少个?
70
复习巩固
1.某校七年级1班为鼓励同学们积极参加锻炼,准备购买一些羽毛球拍和乒乓球拍,
购买方案如下图:
(第1题)
根据图中信息,求每个羽毛球拍和每个乒乓球拍的价格。
2.《九章算术》“方程”章中记载:今有牛五羊二,直金十两。牛二羊五,直金八两。
问牛羊各直金几何。大意为:5头牛和2只羊,共值金10两。而2头牛和5只羊,
共值金8两。问1头牛、1只羊各值金几两。请列方程组求解。
3.校园篮球比赛中每场比赛都要分出胜负,胜一场得2分,负一场得1分。七年级
1班代表队全部比赛完成后的部分统计结果如下表:
比赛情况
胜
负
合计
场数
x
y
18
积分
26
这次校园篮球比赛中,七年级1班代表队胜了多少场?
拓展延伸
4.某校参加夏令营的学生到餐厅用餐,若每张餐桌安排坐7人,则剩7人没有座位;
若每张餐桌安排坐9人,则空出一张餐桌。求餐桌数和学生总人数。
5.一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成。已知1
m
3 木料可制作桌面50个,或制作
桌腿300条。若用5
m
3 木料制作同样的方桌,恰好用完木料,那么用于制作桌
面、桌腿的木料量分别是多少?
71
探索创新
6.服装公司统计了第一季度各个月份男装、女装的销售收入,绘制了下面三幅扇形
统计图。1月份男装、女装销售总收入是50万元,3月份男装、女装销售收入比
2月份男装、女装销售收入分别增加了6万元和24万元。第一季度男装、女装销
售收入各是多少万元?
(第6题)
两鼠穿墙
《九章算术》中记载了一个有趣的问题:今有垣厚五尺,两鼠对穿。大鼠日
一尺,小鼠亦日一尺。大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢,各穿几何。
大意为:两只老鼠在一道厚5尺的墙的两边相对打洞。大鼠第一天穿墙
1尺,以后每天的进度是前一天的2倍;小鼠第一天也穿墙1尺,以后每天
的进度是前一天的一半。问两只老鼠几天后相遇。各穿墙几尺。
第一天,大鼠、小鼠各穿墙1尺,共2尺;第二天,大鼠穿墙2尺,小鼠
穿墙半尺。两天大鼠和小鼠共穿墙4.5尺,离穿透墙尚差0.5尺。第三天,大
鼠穿墙速度为4尺/天,小鼠为0.25尺/天,不足一天两鼠即可相遇。设第三天
大鼠穿墙x 尺,小鼠穿墙y 尺,其中的等量关系是:大鼠、小鼠一共穿墙0.5
尺,该天在相遇时大鼠、小鼠所用的时间相等。请根据以上信息分析解决问题。
72
上一节我们学习了应用二元一次方程组解决实际问题。本节将学习三元一
次方程组及其解法,并用它解决含有更多未知数的实际问题。
小亮与爸爸、爷爷三人的年龄之和为120岁,爷爷的年龄比小亮与爸爸的
年龄之和多12岁,爸爸与小亮的年龄之差正好等于爷爷与爸爸的年龄之差。他
们三人的年龄分别是多少?
这个问题中有哪些未知量? 存在哪些等量关系?
这个问题中有三个未知量:小亮、爸爸和爷爷的年龄。
设小亮、爸爸和爷爷的年龄分别是x 岁、y 岁、z 岁。根据题意,列出以
下三个方程:
x+y+z=120,
z=x+y+12,
y-x=z-y。
这个问题的解必须同时满足上面的三个方程,将这三个方程联立,得到方
程组
x+y+z=120,
①
z=x+y+12,
②
y-x=z-y。
③
像这样,含有三个未知数的一次方程组,叫作三元一次方程组(system
of
linear
equations
with
three
unknowns)。
用消元法可以将二元一次方程组转化为一元一次方程求解,那么能否用同
样的思路解三元一次方程组呢?
73
观察每一个方程的形式,用代入消元法消
去未知数z,把这个三元一次方程组转化为二
元一次方程组,再进一步转化为一元一次方
程,就可以逐步求出每一个未知数的值了。
将方程②分别代入①和③,消去未知数z,得二元一次方程组
x+y=54, ④
-2x+y=12。
⑤
解由④⑤组成的二元一次方程组,得
x=14,
y=40。
代入方程②,得
z=66。
原三元一次方程组的解是
x=14,
y=40,
z=66。
所以,小亮14岁,爸爸40岁,爷爷66岁。
解三元一次方程组的基本思路也是消元。通过消元,把三元一次方程组
转化成二元一次方程组或一元一次方程,再逐一解出未知数的值。
消元的基本方法有代入消元法和加减消元法。
74
解方程组
y+2z=5,
①
x-2y+3z=3,
②
2x+3y-2z=-3。
③
解:2×②-③,得
-7y+8z=9。
④
①与④组成二元一次方程组
y+2z=5,
-7y+8z=9。
解方程组,得
y=1,
z=2。
将y=1,z=2代入②,得
x=-1。
所以原方程组的解是
x=-1,
y=1,
z=2。
从甲地到乙地有一段上坡、一段平路、一段下坡,全程是98
km。
汽车从甲、乙两地之间往返行驶,若汽车在平地上的速度为40
km/h,上坡的
速度为20
km/h,下坡的速度为30
km/h,那么从甲地到乙地需用时2.8
h,从
乙地到甲地需用时2.7
h。求从甲地到乙地时,平地、上坡、下坡的路程各有多
少千米?
解:设从甲地到乙地时,平地为x
km,上坡为y
km,下坡为z
km,则从
乙地到甲地,平地为x
km,上坡为z
km,下坡为y
km。根据题意,得
x+y+z=98,
x
40+y
20+z
30=2.8,
x
40+y
30+z
20=2.7。
75
解方程组,得
x=80,
y=12,
z=6。
所以,从甲地到乙地时,平地为80
km,上坡为12
km,下坡为6
km。
1.解下列方程组:
(1)
y=5-x-3z,
x+y+z=1,
2x-y-4z=5;
(2)
x+y-z=4,
x+y+z=2,
-x+2y+z=2。
2.现有一个三位数,三个数位上的数字之和为12,个位数字是百位与十位数字之和
的2倍,百位数字是十位数字的3倍。求这个三位数。
复习巩固
1.解下列三元一次方程组:
(1)
x+2y=5,
y-3z=-7,
4z+x=13;
(2)
3x-5y+6z=4,
3x-2y+2z=3,
-3x-3y+5z=-1。
2.已知代数式ax
2+bx+c。当x=1时,代数式的值为0;当x=2时,代数式的值
为3;当x=3时,代数式的值为28。求a,b,c的值。
3.某市举行中学生足球联赛,比赛的计分规则为:胜1场得3分,平1场得1分,
负1场得0分。某中学足球队在12场比赛中,平和负的场数之和等于胜的场数,
共得21分,该队在联赛中胜、平、负各几场?
76
拓展延伸
4.已知x
2=y
3=z
4,x+y-z=1
12。求x,y,z。
5.从下列方程组中,求出x,y 之间的关系,用不含t的式子表示。
(1) x=3-t,
y+5=t+1;
(2) 3t+x=5y,
2t-3x=2y。
探索创新
6.是否存在一个数a,使关于x,y 的方程组2x+y=2a+1,
x+2y=5-5a
的解满足x 与y 互为
相反数? 若存在,求a的值。再提出一个与这个方程组的解有关的问题并解答。
中国古代的“方程术”
《九章算术》是中国古代的一部数学经典著作,书中收集了二百余个应用
问题。其中有一章专门以“方程”命名,内有十八个联立多元一次方程组的
问题,解这些多元一次方程组运用的是一种叫作直除法的方程术。
例如,这一章的第一个问题:今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实
三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾
二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何。
方程术步骤一:列筹
我国古代用“筹”进行运算,列筹的方法如下(图9.4-1):
图9.4-1
77
上禾3束,中禾2束,下禾1束,得实39斗,列在右行;上禾2束,中
禾3束,下禾1束,得实34斗,列在中行;上禾1束,中禾2束,下禾
3束,得实26斗,列在左行。
还可以用方程组表达题目中的信息。
设上禾、中禾、下禾每一束得实各为x 斗、y 斗、z斗,则有
3x+2y+z=39, ①
2x+3y+z=34, ②
x+2y+3z=26。 ③
方程术步骤二:直除法
用①式内x 的系数3乘②式中的各项,得
6x+9y+3z=102。
④
将④式两次“直除”①式,即两次减去①式的各项,得
5y+z=24。
⑤
同样,用①式内x 的系数3乘③式中的各项,得
3x+6y+9z=78。
⑥
将⑥式“直除”①式,得
4y+8z=39。
⑦
用算筹演算得结果(图9.4-2)。
图9.4-2
这可以得到二元一次方程组
5y+z=24,
⑤
4y+8z=39。
⑦
再用上面的方法消去y,求得z。
方程术最早见于《九章算术》中,不仅是我国古代数学的伟大成就,也是
世界数学史上的重要成果。
78
1.什么是二元一次方程? 什么是二元一次方程的解? 它的解有多少组?
2.什么是二元一次方程组? 什么是二元一次方程组的解? 它的解有多少组?
3.解二元一次方程组的基本思路是什么? 常用方法有哪些? 这些方法的主
要步骤分别是什么?
4.同一元一次方程一样,多元一次方程组也是一种重要的数学模型,运用
多元一次方程组解决实际问题的过程是什么?
5.通过学习一元一次方程和二元一次方程组,你有什么体会? 你认为研究
方程的思路是什么?
79
复习巩固
1.解下列方程组:
(1) 5x=y+5,
x=y-3;
(2) x+y=-5,
3x-5y=9;
(3) 2u-3v=-10,
6u+2v=-8;
(4) 4x-3y=31,
5x+7y=28。
2.解下列方程组:
(1) 3(x-1)=y+5,
5(x-2)+(3-y)=-1;
(2)
x
3-y
2=2
3,
x
2-y
5=13
2;
*(3)
x+y=1,
y+z=6,
z+x=3;
*(4)
3x+y+2z=10,
2x+3y-z=9,
x+y+z=6。
3.已知关于x,y 的二元一次方程组2x-ay=5,
bx+6y=-1
的解是x=1,
y=-1。
求a,b的值。
4.某地区前年进出口总额为520亿元,去年进出口总额比前年有所增加,其中进口额增
加了25%,出口额增加了30%。
注:进出口总额=进口额+出口额。
(1)设前年进口额为x 亿元,出口额为y 亿元,用含x,y 的代数式填表:
年份
进口额/亿元
出口额/亿元
进出口总额/亿元
前年
x
y
520
去年
(2)已知去年的进出口总额比前年增加140亿元,求去年的进口额和出口额。
5.某双层游轮的票价是:上层票每张320元,下层票每张180元。已知游轮上共有游客
350人,而且上层票的总票款比下层票的总票款多37
000元。这艘游轮上下两层的游
客人数分别是多少?
80
6. 《九章算术》记载:今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四。问人数、物价各
几何。大意为:若干人共同买一个物品。如果每人付8元,那么多3元;如果每人
付7元,那么差4元。问有多少人共同买这件物品,这件物品的价格是多少元。
*7.甲、乙、丙三个数的和是35,甲数的2倍比乙数大5,乙数的1
3等于丙数的1
2。求
这三个数。
拓展延伸
8.已知关于x,y 的二元一次方程组
(m+1)x-(
n-3)y=11,
mx+(
n+2)y=7
的一个解为x=1,
y=-2,
求
m,n的值。
9.已知关于x,y的二元一次方程组x+2y=5m,
6x-y=4m
的解满足方程x-2y+1=0,求m 的值。
10.
A,B,C三种型号的电脑,每台售价分别为6
000元、4
000元、2
500元。学校计
划投入100
500元经费用于购买其中两种型号的电脑,共计36台。你能设计出哪些
不同的购买方案?
*11.甲、乙两个数的平均数为-1,乙、丙两个数的平均数是5,甲、丙两个数的平均
数是2。甲、乙、丙三个数分别是多少?
探索创新
12.我国古代的“洛书”(图①)记载了世界上最古老的数学游戏———幻方(图②)。根据
图②中各数字的关系,总结幻方需要满足的条件,并利用本章所学的知识将图③的
幻方填写完整。
① ② ③
(第12题)
13.某班举办个人投篮比赛,有1人未进球,有2人各进1球,有7人各进2球,小亮
和一些同学各进4球,有2人各进5球,没有人进5球以上。小莹和一些同学各进3
球,已知进3球或3球以上的同学平均每人进3.5球,进4球或4球以下的同学平
均每人进2.5球。求进3球的人数和进4球的人数。
第10 章 整式的乘法与除法
内容提要
◆ 幂的运算
◆ 整式的乘法
◆ 乘法公式
◆ 整式的除法
数与式
代数式
整式的加减
整式的乘除
……
整式
中国画，简称国画，是我国传统的绘画形式。创作时，
作画者用毛笔蘸水、墨、彩在纸或绢上绘画。为使国画更美观、
易保存，人们通常会把它们装裱起来，以供收藏和观赏。下
图是我国著名画家徐悲鸿的国画作品《群奔》装裱后的效果，
这种横长竖短的长方形裱画样式叫作“横披”。
如下图，这幅横披的画心宽为a，长为b，装裱后画心左
右各增加c，上下各增加d。怎样表示整幅横披的面积？有几
种表示方法？不同的表示方法之间有什么关系？
上学期我们学习了整式的加法与减法，本章将研究整式
的乘法与除法，它们都是利用代数运算解决实际问题的重要
基础。
《群奔》（徐悲鸿纪念馆藏）
83
幂方便了“大数”的表示。为了解决“大数”的运算问题,我们从同底数
幂的乘法开始研究。
某超级计算机持续运算速度约为9.3×10
16 次/s,
它工作10
4
s大约可进行多少次运算?
它工作10
4
s运算的次数
约为
9.3×10
16×10
4。
(1)如何计算10
16×10
4?
根据乘方的意义,得
10
16×10
4=(10×10×…×10
16个10
)×(10×10×10×10)
=10×10×…×10
20个10
=10
20。
(2)计算下列各式,结果写成幂的形式。
3
4×3
3=
; a
2·a
6=
;
1
2
m
· 1
2
n
=
(m,n为正整数)。
84
(3)当m,n为正整数时,如何计算a
m·a
n?
a
m·a
n=(
a·a·…·a
m个a
)·(
a·a·…·a
n个a
)
=a·a·…·a
(m+n)个a
=a
m+n。
同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即
a
m·a
n=a
m+n (m,n为正整数①)。
根据这一运算性质,可以得出该超级计算机工作10
4
s的运算次数约为
9.3×10
16×10
4
=9.3×10
20。
计算:
(1)x
3·x
5; (2) 2
3
m
· 2
3
2+m
;
(3)b
2m+1·b
2m-1;
(4)a·a
2·a
3。
解:(1)x
3·x
5=x
3+5=x
8。
(2) 2
3
m
· 2
3
2+m
= 2
3
m+2+m
= 2
3
2m+2
。
(3)b
2m+1·b
2m-1=b
2m+1+2m-1=b
4m。
(4)a·a
2·a
3=a
1+2·a
3=a
1+2+3=a
6。
怎样计算a
m·a
n·ap?
1.计算:
(1)a
2·a
5; (2)2
n·2
n+1;
(3)x
m·x
m+1;
(4)a
2m·a
3m-2·a
m+2。
①本章中,如果没有特别说明,指数中的字母均为正整数。
85
2.
已知光在真空中的速度大约是3×10
8
m/s,1光年是光在真空中1年(按3.2×10
7
s
计算)内所走过的距离。“中国天眼”在2022年探测到一个尺度大约为200万光年
的原子气体结构,这个原子气体结构的尺度约为多少米?
由乘方的意义,我们可以发现同底数幂相乘,底数不变,指数相加。积的
乘方有什么性质?
太阳、地球都可以近似地看作球体,它们的半
径之比约为109∶1。设地球的半径为r,求太阳的
体积。
地球的半径为r,所以
太阳的半径为109r。所以
地球的体积为4
3πr
3,太阳
的体积为4
3π
(109r)
3。
球的体积公式
是V=4
3πr
3,其中
r是球的半径。
在上面的算式中,(109r)
3 表示两数积的乘方。
(1)如何计算(109r)
3 呢?
根据乘方的意义、乘法交换律和结合律,得
(109r)
3=109r·109r·109r
=(109×109×109)·(
r·r·r)
=109
3r
3。
(2)计算下列各式:
(3b)
2=
; (
bc)
3=
。
86
(3)如何计算(
ab)
m?
(
ab)
m=(
ab)·(
ab)·…·(
ab)
m个ab
=(
a·a·…·a
m个a
)·(
b·b·…·b
m个b
)
=a
mb
m。
积的乘方等于各因数乘方的积,即
(
ab)
m=a
mb
m (m 为正整数)。
计算:
(1)(3x)
3; (2) -1
2a
4
;
(3)(5mn)
2;
(4)(-2ab)
3。
解:(1)(3x)
3=3
3x
3=27x
3。
(2) -1
2a
4
= -1
2
4
·a
4=1
16a
4。
(3)(5mn)
2=5
2·(mn)
2=5
2·m
2·n
2=25m
2n
2。
(4)(-2ab)
3= (-2)
3·(
ab)
3=(-2)
3·a
3·b
3=-8a
3b
3。
怎样计算(
abc)
m?
1.计算:
(1) 1
2m
3
; (2)(-4b)
3;
(3)(7ab)
2;
(4)-(xy)
4。
2.计算:
(1)8
2×0.125
2;
(2)4
20× -1
4
21
。
87
由乘方的意义,我们可以发现积的乘方等于各因数乘方的积。当因数相等
时,积的乘方有什么性质?
地球可以近似地看作球体,半径约为6.37×10
3
km,
它的体积约为多少(结果精确到10
10
km
3)?
根据球的体积公式,地球的体积
约为4
3×3.14×(6.37×10
3)
3
km
3。
(1)如何计算(6.37×10
3)
3?
根据积的乘方可知(6.37×10
3)
3=6.37
3×(10
3)
3,其中(10
3)
3 是幂的乘方
运算。根据乘方的意义和同底数幂的乘法,得
(10
3)
3=10
3×10
3×10
3=10
3+3+3=10
9。
由此可以求出地球的体积约为1.08×10
12
km
3。
(2)计算下列各式,结果写成幂的形式:
(2
4)
2=
; (
a
3)
3=
; (
a
m)
4=
。
(3)观察上面的算式以及运算结果,你能发现什么规律?
当m,n为正整数时,
(
a
m)
n=a
m·a
m·…·a
m
n个am
=a
m+m+…+m
n个m
=a
mn。
幂的乘方,底数不变,指数相乘,即
(
a
m)
n=a
mn (m,n为正整数)。
88
计算:
(1)(
a
2)
3; (2)(
a
m)
2; (3)-(
b
4)
2。
解:(1)(
a
2)
3=a
2×3=a
6。
(2)(
a
m)
2=a
2m。
(3)-(
b
4)
2=-b
4×2=-b
8。
计算:
(1)(-3x
4)
2;
(2)(2a
2b)
3。
解:(1)(-3x
4)
2=(-3)
2·(x
4)
2=9x
8。
(2)(2a
2b)
3=2
3·(
a
2)
3·b
3=8a
6b
3。
1.计算:
(1)(3
4)
n; (2)(-2ab
2)
3; (3)(2.5×10
3)
2。
2.下列各式的计算结果是否正确? 若不正确,应怎样改正?
(1)(x
3)
2=x
9;
(2)(x
3)
3=x
6;
(3)(
ab
2)
4=ab
8。
我们学习了同底数幂的乘法的性质,同底数幂的除法有什么性质?
木星有92颗卫星,其中木卫四的质量约为10
23
kg。火星有2颗卫星,其中
火卫一的质量约为10
16
kg。木卫四的质量约为火卫一的质量的多少倍?
木卫四
火卫一
10
23÷10
16=?
这是同底数幂的
除法,可以根据乘方
的意义计算。
89
根据乘方的意义,得
10
23÷10
16=10×10×…×10
23个10
10×10×…×10
16个10
=10
23-16=10
7。
所以木卫四的质量约为火卫一的质量的10
7 倍。
(1)计算下列各式:
1
2
6
÷ 1
2
2
=
; (-3)
5÷(-3)
3=
;
(-3)
m÷(-3)
n=
(m,n为正整数,且m>n)。
(2)对于不为零的有理数a,如何计算a
m÷a
n(m,n为正整数,且m>n)?
a
m÷a
n=a·a·…·a
m个a
a·a·…·a
n个a
=a·a·…·a
(m-n)个a
=a
m-n。
也可以由除法是乘法的逆运算得到运算结果。由同底数幂乘法的运算性质
可知a
m-n·a
n=a
m,所以a
m÷a
n=a
m-n。
同底数幂相除,底数不变,指数相减,即
a
m÷a
n=a
m-n(
a≠0①,m,n为正整数,且m>n)。
计算:
(1)x
6÷x
3; (2) 3
2
8
÷ 3
2
6
;
(3)(-ab)
5÷(-ab)
2;
(4)a
2m+3÷a
2。
解:(1)x
6÷x
3=x
6-3=x
3。
(2) 3
2
8
÷ 3
2
6
= 3
2
8-6
= 3
2
2
=9
4。
①本书中,如果除式中含有字母,约定除式不等于0。
90
(3)(-ab)
5÷(-ab)
2=(-ab)
5-2=(-ab)
3=-a
3b
3。
(4)a
2m+3÷a
2=a
2m+3-2=a
2m+1。
1.计算:
(1) 1
2
6
÷ 1
2
3
; (2)(-m)
5÷(-m)
2;
(3)a
m÷a
m-2;
(4)(xy)
6÷(xy)
3。
2.下列各式的计算结果是否正确? 若不正确,应怎样改正?
(1)m
6÷m
2=m
3;
(2)(-a)
3÷(-a)=-a
2;
(3)a
m+1÷a
m-1=a
2;
(4)a
2m÷a
m=a
2。
对于同底数幂的除法,当m>n时,a
m÷a
n=a
m-n。当m<n 或m=n 时,
我们又该怎样表示a
m÷a
n 的运算结果呢?
计算10
2÷10
2,10
2÷10
4 和10
3÷10
6,你能发现什么规律?
由分数的意义和分数的性质,可进行约分得到
10
2÷10
2=10
2
10
2=1;
10
2÷10
4=10
2
10
4=
10
2
10
2×10
2= 1
10
2;
10
3÷10
6=10
3÷10
6=10
3
10
6=
10
3
10
3×10
3= 1
10
3。
这些式子都是同底数幂的除法运算,那么
10
2÷10
2=10
2-2=10
0;
10
2÷10
4=10
2-4=10
-2;
10
3÷10
6=10
3-6=10
-3。
于是有:10
0=1;10
-2= 1
10
2;10
-3= 1
10
3。
91
任何不等于零的数的0次幂都等于1,即
a
0=1(
a≠0①)。
不等于零的数的-p(p 是正整数)次幂等于这个数的p 次幂的倒数,即
a
-p=1
ap(
a≠0,p 是正整数)。
计算:
(1)(-3)
0; (2)4
-1; (3)(-5)
-2。
解:(1)(-3)
0=1。
(2)4
-1=1
4。
(3)(-5)
-2=
1
(-5)
2=1
25。
计算:
(1)6
0; (2)10
-4;
(3)(-3)
-3;
(4) 1
3
-4
。
引入零指数和负整数指数后,指数的范围从正整数扩充至整数,正整数指
数幂的运算性质能否推广到整数指数幂?
(1)如何计算2
5×2
-2 和2
0÷2
-2?
①本书中,出现零指数幂或负整数指数幂时,约定底数均不为零。
92
我发现,可以用整数指数幂的意义计算。
2
5×2
-2=2
5×1
2
2=2
5
2
2=2
3=8;
2
0÷2
-2=1÷1
2
2=4。
我用同底数幂的乘法与除法的性质计算。
2
5×2
-2=2
5+(-2)=2
3=8;
2
0÷2
-2=2
0-(-2) =2
2=4。
由此可见,同底数幂的乘法和除法的运算性质对整数指数幂仍适用。
(2)幂的乘方和积的乘方的运算性质在整数范围内是否适用?
引入零指数和负整数指数后,原有的幂的运算性质中指数的范围可以推
广到整数,即
a
m·a
n=
a
m+n(m,n为整数);
a
m÷a
n=
a
m-n(m,n为整数);
(
a
m)
n
=
a
mn(m,n为整数);
(
ab)
m=
a
mb
m(m 为整数)。
计算:
(1) 1
2
4
× 1
2
-2
; (2)5
-1÷5
-3; (3)(3×10
-3)
2。
解:(1) 1
2
4
× 1
2
-2
= 1
2
4+(-2)
= 1
2
2
=1
4。
(2)5
-1÷5
-3=5
-1-(-3)=5
2=25。
(3)(3×10
-3)
2=3
2×(10
-3)
2=9×10
-6。
93
计算:
(1)x
5÷x
-2; (2)(-a
2b)÷(-a
2b)
-2。
解:(1)x
5÷x
-2=x
5-(-2)=x
7。
(2)(-a
2b)÷(-a
2b)
-2=(-a
2b)
1-(-2)=(-a
2b)
3=-(
a
2)
3b
3=-a
6b
3。
1.计算:
(1)2
-2×2
-3; (2)3
3×3
-2÷3
8;
(3)x
2·x
3÷x
8;
(4)(
a
-5)
-2÷a
-6。
2.计算:(
a+1)
3(
a+1)
-1÷(
a+1)
-2。
我们曾用科学记数法表示绝对值较大的数,那么能否用科学记数法表示绝
对值较小的数呢?
(1)下面的数是否可以用科学记数法表示?
某原子的半径约为一百亿分之一米;
世界上最轻的昆虫的质量约为0.000
005
g;
红细胞的平均直径约为0.000
007
2
m。
1
10
000
000
000=1×10
-10;
0.000
005=
5
1
000
000=5×10
-6;
0.000
007
2=
7.2
1
000
000=7.2×10
-6。
(2)用10的负整数指数幂表示0.000…01这样的小数有什么规律?
0.000…0
n个0
1=10
-n。
94
绝对值小于1的非零数可以记作a×10
-n 的形式,其中1≤|a|<10,
n是正整数。
微米(μm)是一种长度计量单位,1
μm的长度是1
mm的千分之一。
纳米(nm)是更小的长度计量单位,1
nm为1
μm的千分之一。已知某种球菌的
直径约为0.5
μm,某种病毒的直径约为22
nm,用科学记数法表示它们的直径,
分别约为多少米?
解:因为1
μm=10
-6
m,1
nm=10
-9
m,
0.5×10
-6=5×10
-7(m),
22×10
-9=2.2×10
-8(m),
所以,这种球菌的直径约为5×10
-7
m,这种病毒的直径约为2.2×10
-8
m。
1.用科学记数法表示下列各数:
(1)0.000
04; (2)-0.034;
(3)0.000
000
45;
(4)0.003
009。
2.用小数表示下列各数:
(1)2.1×10
-5;
(2)-5×10
-7。
复习巩固
1.计算:
(1) 3
2
2
× 3
2
3
; (2)3
m·3
2m-1;
(3)
(-a)
3·(-a)
4;
(4)t
m+2·t
m+1。
2.计算:
(1)x
8·x
8·x
8;
(2)a
n+1·a
n·a;
(3)(
t
2)
4;
(4)(-a
4)
3。
3.计算:
(1)(-2x)
4;
(2)(3xyz)
2。
95
4.计算:
(1)(xy)
3·x
2; (2)(7ab
2)
m; (3)(-3x
2)
3- [(2x)
2]
3。
5.一个正方体的棱长为2×10
3
cm,它的体积是多少?
6.计算:
(1)0.1
6÷0.1
3;
(2)(-3)
7÷(-3)
4;
(3) 1
2
7
÷ -1
2
3
;
(4)(
a-b)
5÷(
a-b)
2;
(5)(xy)
5÷(xy)
3;
(6)(m
2)
5÷(m
3)
2。
7.计算:
(1)5
0+4
-2; (2)3
2+ 1
3
-3
。
8.计算:
(1)3
-2×3
3;
(2)(2
-5)
2;
(3)a
3÷a
-5;
(4)(x
-1y
-2)
-1;
(5)b
-3·b
8÷b
2;
(6)m
3·m
5÷(m
-2·m
9)。
9.碳纤维的直径为0.000
005
m,一个碳纤维机器人的质量为0.000
106
kg。用科学
记数法表示0.000
005和0.000
106。
10.水由水分子构成,1
g水中约有3.34×10
22 个水分子,请估算1
kg水中有多少个
水分子(结果用科学记数法表示)。
11.将下列各数写成小数的形式:
(1)3.67×10
-5;
(2)-2.8×10
-6。
12.计算:
(1)(-2)
30× (0.5)
30;
(2)2
n× 1
2x
n
。
拓展延伸
13.已知2
x=3,2
y=5,求2
x+y 的值。
14.已知x
n=2,求(3x
n)
2-4(x
3)
n 的值。
15.一张数码照片的文件大小是2
11
KB,存储量为32
GB(1
GB=2
20
KB)的U盘能存
储多少张这样的数码照片?
16.我们都知道水滴石穿的道理,若水滴不断滴在一块石头的同一位置上,经过40
年,石头上形成了一个深为4.8×10
-2
m的小坑,请问小坑的深度平均每月增加
多少米(结果用科学记数法表示)?
96
探索创新
17.将x
9 写成x
m·x
n 的形式。如果m,n均为正整数,可以写出多少种?
18.规定:a☆b=10
a×10
b,如2☆3=10
2×10
3=10
5。
(1)求12☆3和4☆8的值;
(2)(
a+b)☆c与a☆(
b+c)相等吗? 说明理由。
计算器里的科学记数法
形如a×10
-n 的数,可以在计算器上表示。
例如,在计算器上输入0.00…0
23个0
3,再按
键,可将原数直接化为科学
记数法的形式:3×10
-23。
另外,3×10
-23 可以按照下列按键顺序输入:
计算器屏幕上显示的结果如图10.1-1①。
也可以这样操作:
这时计算器屏幕显示的结果如图10.1-1②。
① ②
图10.1-1
97
前面我们已经学习了整式的加法与减法。在此基础上,本节我们从单项式
乘单项式开始研究整式的乘法。
会议室的屏幕由6块相同的液晶屏拼接而成,每块的长为a
cm,宽为
b
cm。如何表示屏幕的总面积?
屏幕的总面
积可以表示为
3a·2b
cm
2。
每块液晶屏面积为
ab
cm
2,一共有6块,
所以屏幕的总面积可以
表示为6ab
cm
2。
由此得到3a·2b=6ab。等式3a·2b=6ab的左边表示单项式3a 与单项式
2b相乘。
(1)对于任意的a,b,怎样计算3a,2b这两个单项式的乘积?
3a·2b
=3×2·a·b
=(3×2)·(
a·b)
=6ab。
98
(2)计算下列各式:
2x
2·3xy
3=
; -ac·4bc
2=
。
(3)单项式乘单项式的基本思路是什么?
单项式乘单项式就是根据单项式的意
义,以乘法的交换律、结合律和同底数幂的
乘法的运算性质为依据的乘法运算。
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字
母连同它的指数不变,作为积的因式。
计算:
(1)4a
3·7a
4; (2)7ax
2·(-2a
2b)。
解:(1)4a
3·7a
4=(4×7)·(
a
3·a
4)=28a
7。
(2)7ax
2·(-2a
2b)=[7×(-2)]·(
a·a
2)·b·x
2=-14a
3bx
2。
计算:
(1)(-2x
2y
3)·(2xy)
2;
(2)(
ab)
2·(-a
2b)
3。
解:(1)(-2x
2y
3)·(2xy)
2=-2x
2y
3·4x
2y
2=-8x
4y
5。
(2)(
ab)
2·(-a
2b)
3=(
a
2b
2)·(-a
6b
3)=-a
8b
5。
1.计算:
(1)5xy·4y; (2)a
2b
3·(-2a
3b
4);
(3)(-mn
5)·m
3;
(4)(-5xy)·6xy
2·(-x
2z)。
2.计算:
(1)(-5x)
2·4x
2;
(2)(-3a
2)·(-ab)
3;
(3)(2x
2y)
3·(-3xy
2z);
(4)-ab·(2a
2b)
2·2ac。
99
前面我们学习了单项式与单项式相乘,那么如何计算单项式乘多项式呢?
用于装裱画的长方形卷轴如图10.2-1,怎样表示整幅卷轴的面积?
图10.2-1
卷轴面积可以表示为a(
b+2c),也可表示为
ab+2ac。
因为它们表示的是同一幅卷轴的面积,所以
这两个式子相等,即a(
b+2c)=ab+2ac。
等式a(
b+2c)=ab+2ac的左边表示单项式a与多项式b+2c相乘。
(1)如何计算a(
b+2c)?
=a·b+a·2c=ab+2ac。
(2)计算:a(2a-1)=
; 2x(x+2y)=
。
(3)单项式乘多项式的基本思路是什么?
单项式与多项式相乘可以按照乘法对
加法的分配律转化成单项式与单项式相乘。
100
单项式与多项式相乘,先将单项式分别乘多项式的各项,再把所得的积
相加。
计算:
(1)2xy·(x
2+xy); (2)(3a
2x-2ax
2)·(-2ax)。
解:(1) 2xy·(x
2+xy)
=2xy·x
2+2xy·xy
=2x
3y+2x
2y
2。
(2) (3a
2x-2ax
2)·(-2ax)
=3a
2x·(-2ax)+(-2ax
2)·(-2ax)
=-6a
3x
2+4a
2x
3。
1.计算:
(1)3x·(x
2+x+2); (2) 3a
2b-3
4ab
· -1
3abc
;
(3) -1
3xy
2
·(-3xy+9yz-1);
(4)a
n· (2a
n-3a
n+1+a)。
2.先化简,再求值:
3a(2a
2-4a+3)-2a
2(3a+4),其中a=-2。
3.如图,某小区准备在一个长为(4a+2b)
m,宽为(3a+2b)
m的长方形草坪上修建
两条宽为b
m的小路,求小路的总面积。
(第3题)
101
计算单项式乘多项式是通过转化为单项式乘单项式来解决的,那么如何计
算多项式乘多项式呢?
如图10.2-2,如何用字母a,b,c,d 表示章引言中整幅“横披”的面积?
图10.2-2
我列出的算式是(
a+2d)(
b+2c)。
还可以有很多种列法,如b·(a+2d)+2c·(a+2d)
或ab+2bd+2ac+4cd。
由此得到,(
a+2d)(
b+2c)=b·(
a+2d)+2c·(
a+2d)=ab+2bd+2ac+4cd。
等式(
a+2d)(
b+2c)=ab+2bd+2ac+4cd的左边表示多项式a+2d 与多项式b+2c
相乘。
如何计算(
a+2d)(
b+2c)?
=(
a+2d)·b+(
a+2d)·2c
=ab+2bd+2ac+4cd。
102
多项式的乘法可以先转化成单项式乘多项式,再转化为单项式乘单项式。
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的
每一项,再把所得的积相加。
计算:
(1)(x+2)(x-5); (2)(3x-y)(x+2y);
(3)(
a+b)(
a
2-ab+b
2)。
解:(1) (x+2)(x-5)
=x·x+x·(-5)+2·x+2×(-5)
=x
2-5x+2x-10
=x
2-3x-10。
(2) (3x-y)(x+2y)
=3x·x+3x·2y+(-y)·x+(-y)·2y
=3x
2+6xy-xy-2y
2
=3x
2+5xy-2y
2。
(3) (
a+b)(
a
2-ab+b
2)
=a·a
2+a·(-ab)+a·b
2+b·a
2+b·(-ab)+b·b
2
=a
3-a
2b+ab
2+a
2b-ab
2+b
3
=a
3+b
3。
1.计算:
(1)(
a-4)(
a-5); (2)(y-3)(2y+1);
(3)(2m+3n)(3m-n);
(4)(x-2)x
2+2x+1
2
。
2.一块长方形装裱用纸的长和宽分别为a
cm,b
cm(
a>2,b>2)。如果将长和宽各
裁去2
cm,请问剩余部分的面积是多少?
103
复习巩固
1.计算:
(1)3x
2·4x; (2)3xy
2· -5
9x
3yz
;
(3) -1
4ax
2
· -2
5bx
3
·(-10a);
(4)(4x
2y)
2·(-xy
3);
(5)16m
2n· -3
2n
3
;
(6) -1
6mn
2
2
·(3mn)
3。
2.计算:
(1)3xy(x
2y-xy);
(2)-2x(x
2-2x+1);
(3)(5x-y)(-3x);
(4)(3a
2-a-1)-1
3b
;
(5)3a
2+2a(5+2a);
(6)t(
t+4)-3(-t
2-1)。
3.计算:
(1)(x-3)(x+4);
(2)(2x+1)(x+2);
(3) x+1
2
x+1
3
;
(4)(7x-2)(-x-1);
(5)(x-2a)(2x+a);
(6)(x-y)(x
2+xy+y
2)。
4.先化简,再求值:
(x+2)(x-3)-x(x+1),其中x=-2。
5.多项式x
2-2x-3与mx+2的乘积化简后x
2 项的系数是4,求m 的值。
拓展延伸
6.用若干个图①中三种规格的图形拼成图②,根据图②直接写出(2a+b)(a+b)的
结果,并用学过的知识说明其正确性。
①
②
(第6题)
104
(第7题)
7.某住房的平面结构如图(单位:m)。如果卧室与客厅的地
面铺木地板,卫生间与厨房的地面铺瓷砖,那么所铺木地
板与瓷砖的面积各是多少?
探索创新
8.观察:2×8=16,
12×18=216,
22×28=616,
32×38=1
216,
…
(1)用代数式表示其中的规律,并计算122×128;
(2)找出类似的规律,并举例说明。
9.在某月历中,设定如下计算规则:用一个2×2的方框任意框出4个数,将它们交
叉相乘,再用较大的积减去较小的积。
(第9题)
(1)如图,当方框在图中位置时,按规则计算,结果为
;
(2)改变方框的位置,猜想规律,并用整式的运算进行说明。
105
对于特殊形式的整式乘法,用乘法公式运算更加简便。
图10.3-1
某中学计划对一个边长为x
m的正方形花坛进
行改造(图10.3-1)。如果改造成长为(x+2)
m、宽
为(x-2)
m 的长方形花坛,改造前后花坛的面积
相等吗?
改造后的面积为
(x+2)(x-2)=x
2-2x+2x-2
2=x
2-4。
可见,改造前后花坛的面积不相等。(x+2)(x-2)表示x 与2的和乘x 与
2的差,这是一种特殊形式的整式乘法。
(1)计算下列算式:
(m+3)(m-3)=
;
(2x+1)(2x-1)=
。
(2)观察上面的算式及其运算结果,你有什么发现?
上面的运算都是形
如a+b 的多项式与形
如a-b的多项式相乘。
运算结果
是两个数的平
方差。
106
若a,b是有理数,利用多项式的乘法计算:
(
a+b)(
a-b)
=a
2+ab-ab-b
2
=a
2-b
2。
由上述计算发现,两个数的和与这两个数的差的积,可以直接写成这两个
数平方的差。由此得到简化这类运算的公式。
平方差公式 两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差,
即
(
a+b)(
a-b)=a
2-b
2。
当a,b均表示正数且a>b时,图10.3-2中的面积关系可以解释平方差公式。
图10.3-2
利用平方差公式计算:
(1)(2x+5)(2x-5); (2)(7m-2n)(7m+2n);
(3) 3x-1
4
-3x-1
4
。
解:(1) (2x+5)(2x-5)
=(2x)
2-5
2
=4x
2-25。
(2) (7m-2n)(7m+2n)
=(7m)
2-(2n)
2
=49m
2-4n
2。
平方差公式中
的a,b可以是数,
也可以是代数式。
107
(3) 3x-1
4
-3x-1
4
= -1
4+3x
-1
4-3x
= -1
4
2
-(3x)
2
=1
16-9x
2。
利用平方差公式计算103×97。
解: 103×97
=(100+3)×(100-3)
=100
2-3
2
=9
991。
1.利用平方差公式计算:
(1)(x+6)(x-6); (2)(-1+x)(-1-x);
(3)(
a-2b)(2b+a);
(4) 2x
3-4
-4-2x
3
。
2.利用平方差公式计算202×198。
类比平方差公式的学习过程,下面我们将研究另一种特殊形式的整式乘法。
图10.3-3
如图10.3-3,某中学计划将一个边长为x
m的正方形
花坛每条边的长度都增加2
m,新花坛的面积是多少? 如
果都减少1
m呢?
由于新花坛依然呈正方形,因此改造后的花坛面积分
别为(x+2)
2
m
2 和(x-1)
2
m
2,
运用多项式的乘法计算得:
108
(x+2)
2
=(x+2)(x+2)
=x·x+x·2+2·x+2×2
=x
2+2x+2x+4
=x
2+4x+4;
(x-1)
2
=(x-1)(x-1)
=x·x-x·1-1·x-1×(-1)
=x
2-x-x+1
=x
2-2x+1。
(x+2)
2 和(x-1)
2 分别表示两个相同多项式的积,这也是一种特殊形式的
整式乘法。
(1)计算下列算式:
(x+5)
2=
;
(2y-1)
2=
。
(2)观察上面的算式及其运算结果,你有什么发现?
上面的运算表示的是两数和(差)的平方。
若a,b是有理数,利用多项式的乘法计算:
(
a+b)
2
=(
a+b)(
a+b)
=a
2+ab+ba+b
2
=a
2+2ab+b
2;
(
a-b)
2
=(
a-b)(
a-b)
=a
2-ab-ba+b
2
=a
2-2ab+b
2。
由上述计算发现,可以直接写出两个数的和或差的平方的运算结果。由此
得到简化这类运算的公式。
完全平方公式 两个数的和(差)的平方,等于这两个数的平方和加上(减
去)它们乘积的2倍,即
(
a+b)
2=a
2+2ab+b
2,
(
a-b)
2=a
2-2ab+b
2。
109
图10.3-4
(3)当a,b均表示正数时,图10.3-4中的面积关系
可以解释公式(
a+b)
2=a
2+2ab+b
2。
怎样设计图形解释公式(
a-b)
2=a
2-2ab+b
2?
利用完全平方公式计算:
(1)(x+3)
2; (2)(2m-3n)
2;
(3) -1
2x-2
3y
2
。
解:(1) (x+3)
2
=x
2+2·x·3+3
2
=x
2+6x+9。
(2) (2m-3n)
2
=(2m)
2-2×2m·3n+(3n)
2
=4m
2-12mn+9n
2。
(3) -1
2x-2
3y
2
= 1
2x+2
3y
2
= 1
2x
2
+2×1
2x·2
3y+ 2
3y
2
=1
4x
2+2
3xy+4
9y
2。
利用完全平方公式计算101
2。
解: 101
2
=(100+1)
2
=100
2+2×100×1+1
2
=10
000+200+1
=10
201。
1.利用完全平方公式计算:
(1)(x+6)
2; (2)(2x-1)
2;
(3)(3a-2b)
2;
(4) -3
4x-2
3y
2
。
110
2.利用完全平方公式计算:
(1)100.1
2; (2)98
2。
利用乘法公式计算:
(1)(x-4)(x+4)-(x-8)(x+2);
(2)4(3-x)
2+(1-2x)(2x+1)。
解:(1) (x-4)(x+4)-(x-8)(x+2)
=x
2-16-(x
2-6x-16)
=x
2-16-x
2+6x+16
=6x。
(2) 4(3-x)
2+(1-2x)(2x+1)
=4(9-6x+x
2)+1-4x
2
=36-24x+4x
2+1-4x
2
=-24x+37。
利用乘法公式计算:
(1)(
a+b-1)
2; (2)(2x+y-5)(2x+y+5)。
解:(1) (
a+b-1)
2
=[(
a+b)-1]
2
=(
a+b)
2-2(
a+b)+1
2
=a
2+2ab+b
2-2a-2b+1。
(2) (2x+y-5)(2x+y+5)
=[(2x+y)-5][(2x+y)+5]
=(2x+y)
2-5
2
=4x
2+4xy+y
2-25。
利用乘法公式计算:
(1)x(x-1)- x-1
3
x+1
3
; (2)(x+5)
2-(x-2)(x-3);
(3)(x+2y+1)(x+2y-1);
(4)(
a-b+c)
2。
111
(第6题)
复习巩固
1.利用平方差公式计算:
(1)(2xy+8)(2xy-8); (2)(9m-n)(9m+n);
(3)(-2a+5)(5+2a);
(4) 3a+1
4b
3a-1
4b
。
2.利用完全平方公式计算:
(1)(2m+3)
2;
(2)(-3a+2b)
2;
(3)(-2p-7q)
2;
(4) 3
2x-1
3y
2
。
3.先化简,再求值:(x+2y)
2+(x+2y)(x-2y),其中x=1
2,y=-1
3。
4.利用乘法公式计算:
(1)100.2×99.8;
(2)63
2。
5.计算:
(1)(2x-y)
2-4(x-y)(x+2y);
(2)3(2-y)
2-4(y+5)
2;
(3)(m-2n-1)(m-2n+1);
(4)(2x-3y-z)
2。
拓展延伸
6.如图,某公园要在一块直径为(a+b)
m 的圆形空地上,建两
个直径分别为a
m 与b
m 的圆形花坛,其余部分铺设草坪。
求草坪的面积。
7.已知a
2+b
2=5,ab=2,求(
a+b)
2 和(
a-b)
2 的值。
探索创新
8.观察下列等式:
3
2=2+2
2+3,
4
2=3+3
2+4,
5
2=4+4
2+5,
6
2=5+5
2+6,
…
(1)写出第5个等式;
(2)n为正整数,用含有n的等式表示其中的规律。
112
图10.3-5
奇妙的“贾宪三角”
“贾宪三角”是一个神奇的“三角形”,由
我国北宋数学家贾宪(生卒年不详)首先创造
(图10.3-5)。这个三角形有什么奇妙之处呢?
(1)三角形第1行有1个数,第2行有
2个数……第n行有n个数。
(2)从第一行开始,每行中的数字之和依
次为:
2
0,2
1,2
2,2
3,2
4,…
第n行中的数字之和是2
n-1
。
(3)每行中的数字呈左右对称,由1开始由小变大,然后由大变小,最
后回到1。
(4)三角形两腰上的数字都是“1”。除1之外,其余每个数字都是它
“双肩”上的两个数字之和,如2=1+1,10=4+6,35=15+20。
不仅如此,这个三角形第n+1行中的数竟与(a+b)
n (n 是正整数)展
开式各项的系数完全吻合。例如,当n为2,3时,
(
a+b)
2=a
2+2ab+b
2,
(
a+b)
3=a
3+3a
2b+3ab
2+b
3。
展开式中各项的系数1,2,1;1,3,3,1恰为三角形中第3行和第4
行的数。类似地,
(
a+b)
4=a
4+4a
3b+6a
2b
2+4ab
3+b
4,
(
a+b)
5=a
5+5a
4b+10a
3b
2+10a
2b
3+5ab
4+b
5。
通过观察上述四式,我们还可以猜测(a+b)
n 的展开式有以下特点:展
开式的项数为n+1,每一项的次数都是n,各项中a的指数由n逐项减少到
0,b的指数由0逐项增加到n。
(
a+b)
n 展开式中项数、各项系数和次数的规律,将在高中学习二项式
定理时,予以证实。
按照上面所说的规律,写出(
a+b)
7 的展开式。
113
前面我们学习了同底数幂的除法。在此基础上,我们将研究一些特殊的整
式除法。
(1)如何计算12x
3y÷4x?①
计算12x
3y÷4x,可能与单项式乘法类似,我想应
该这样计算:12x
3y÷4x=(12÷4)(x
3÷x)y=3x
2y。
我认为小亮的答案是对的。因为除法是乘法的逆运
算,计算12x
3y÷4x 就是找到一个单项式,使它与4x
的积等于12x
3y。我验证了,3x
2y·4x 确实等于12x
3y。
(2)举两个单项式相除的例子,检验小亮的上述计算方法是否正确。
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在
被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
①12x
3y÷4x 就是(12x
3y)÷(4x)的意思。
114
计算:
(1)9x
5y
13÷3xy
8; (2)(-2ab
2)
3÷4ab。
解:(1) 9x
5y
13÷3xy
8
=(9÷3)·x
5-1·y
13-8
=3x
4y
5。
(2) (-2ab
2)
3÷4ab
=-8a
3b
6÷4ab
=(-8÷4)
a
3-1b
6-1
=-2a
2b
5。
计算:
(1)8x
6÷2x
2; (2)2x
2y
3÷(-xy)
2;
(3)-5a
5b
3c÷15a
4b;
(4)-21x
4y
3÷(-3x
2y
2)。
我们已经学习了两个单项式相除的计算方法,那么该如何计算多项式除以
单项式呢?
(1)如何计算(3x
2y+2x)÷x?
因为(3xy+2)·x=3x
2y+2x,
所以(3x
2y+2x)÷x=3xy+2。
我发现,3x
2y÷x+2x÷x=3xy+2,
所以(3x
2y+2x)÷x=3x
2y÷x+2x÷x。
(2)根据小博士的上述说法,计算下列各式:
(
ac+bc)÷c=
; (
ab
2-2ab)÷ab=
。
像这样,多项式除以单项式的问题可以转化为单项式除以单项式的问题。
115
计算:
(1)(3y
3+12y
2
+6y)÷3y;
(2)(6a
3b
3-4a
2b
3)÷(-2ab
2)。
解:(1) (3y
3+12y
2+6y)÷3y
=3y
3÷3y+12y
2÷3y+6y÷3y
=y
2+4y+2。
(2) (6a
3b
3-4a
2b
3)÷(-2ab
2)
=6a
3b
3÷(-2ab
2)+(-4a
2b
3)÷(-2ab
2)
=-3a
2b+2ab。
计算:
(1)(6ab+8b)÷2b; (2)(27a
3-15a
2+6a)÷3a;
(3)(9x
2y-6xy
2)÷3xy;
(4) 3x
2y-xy
2+1
2xy
÷ -1
2xy
。
复习巩固
1.计算:
(1)6x
2÷(-2x); (2)(3x
2y)
2÷(-9x
4y)。
2.计算:
(1)(14a
3b
2-21ab
2)÷7ab
2;
(2)(36x
6-24x
4+12x
3)÷(-12x
2);
(3)(28a
3-14a
2+7a)÷7a。
3.先化简,再求值:
[(3m-n)
2-(2m+n)
2+5m(m-n)]÷5m,其中m=2,n=-2。
拓展延伸
4.小亮爬山时,第一阶段的平均速度为2v,所用时间为t;第二阶段的平均速度为
v,所用时间为1
2t。求小亮两个阶段爬山的平均速度。
5.长方形的面积为4a
2-8ab+4a,若它的一边长为4a,求它的周长。
116
1.在本章中我们学习了幂的哪些运算性质? 分别举例说明。
2.引入零指数幂和负整数指数幂的意义是什么? 为什么规定底数不等于零?
3.整式的乘法分为哪几类? 每类的运算法则是什么? 它们之间有什么关系?
4.本章我们学习了哪些乘法公式? 它们的结构特点是什么? 在推导这些公
式时用到了哪些数学思想方法?
5.本章我们学习了哪些特殊类型的整式除法? 举例说明它们的计算方法。
6.用科学记数法既可以表示较大的数,也可以表示较小的数,如何用科学
记数法表示较大的数或较小的数?
7.目前,我们学习了哪些整式的运算? 在不同运算中用到了哪些基本原理
或运算性质?
117
复习巩固
1.计算:
(1)x
6·x
2;
(2)x
6÷x
2;
(3)(x
3)
2;
(4)(3x
2y
2)
3;
(5) -1
2x
5
÷ -1
2x
3
;
(6)(10)
-2÷10
3·10
0。
2.计算:
(1) 7m-1
4
(-4mn);
(2)2
5mn
2 5mn-3
2m
2n
;
(3)(x+1)(x-5);
(4)(y-2)(3y+4);
(5)(2x+y)(3x-2y);
(6)(2a+3b)-1
2a-1
3b
。
3.计算:
(1)(3a+7b)(3a-7b);
(2)(-2y+5x)(-2y-5x);
(3) a+2
3b
2
;
(4)(-3m+4n)
2;
(5)(3m-2n-1)
2;
(6)(
a-3b-3)(
a-3b+3)。
4.计算:
(1)(-2x
2y)
5÷4xy
3;
(2)(
a+2b)
4÷(
a+2b)
2;
(3)(6xy-3xy
2)÷3xy;
(4)(-2a
3+3a
2b+2ab
2)÷(-2a)。
5.先化简,再求值:
(1)(4-3b)
2+(
a+3b)(
a-3b)-6,其中a=-2,b=3
4;
(2)(x+2)(3x-1)+x(5x-1),其中2x
2+x=1。
6.利用乘法公式计算:
(1)209
2;
(2)502×498。
7.已知(
a+b)
2=7,(
a-b)
2=3,求下列各式的值:
(1)ab;
(2)a
2
+
b
2。
8.溶度积是指难溶电解质的沉淀溶解平衡常数,常温(25
℃)下CaCO3(碳酸钙,方解
石)的溶度积约为0.000
000
003
4,用科学记数法表示0.000
000
003
4。
118
9.
若2万粒芝麻的质量约为80
g,则一粒芝麻的质量是多少千克(用科学记数法表示)?
拓展延伸
10.小亮在做“化简(2x+k)(3x+2)-6x(x+3)+5x+16,并求x=2时的值”一题时,
错将x=2看成了x=-2,但结果却和正确答案一样。试推算k的值。
11.已知多项式x+2与另一个多项式A 的乘积为多项式B。
(1)若A 为关于x 的一次多项式x+a,B 中关于x 的一次项系数为0,求a的值;
(2)若B 为x
3+px
2+qx+2,求2p-q的值。
探索创新
12.下表记录了a
n 的计算结果,其中蕴含了怎样的运算规律? 请用幂的运算解释你发现
的规律。
a
n
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1
3
81
27
9
3
1
1
3
1
9
1
27
1
81
1
2
16
8
4
2
1
1
2
1
4
1
8
1
16
2
1
16
1
8
1
4
1
2
1
2
4
8
16
3
1
81
1
27
1
9
1
3
1
3
9
27
81
13.用两种不同的方法表示同一平面图形的面积,可以得到一个等式。类似地,用两种
不同的方法表示同一几何体的体积,也可以得到一个等式。
① ②
(第13题)
(1)观察图①,写出一个等式表示(
a+b)
2,(
a-b)
2,ab之间的数量关系;
(2)根据图②,写出一个等式;
(3)试画出一个几何图形,解释等式(2a+b)(
a+2b)=2a
2+5ab+2b
2。
第11 章 因式分解
内容提要
◆ 因式分解
◆ 提公因式法
◆ 公式法
数与式
代数式
整式
整式的乘法
因式分解
……
某林场中的森林、草地和湿地每天都能吸收一定量的二
氧化碳。如果它们平均每天吸收二氧化碳的量分别为a，b，c
（单位：t），经过m天后，这个林场吸收的二氧化碳总量有多
少吨？有几种表示方法？这些方法之间有什么关系？
显然，这个林场每天吸收的二氧化碳总量既可以表示为
ma+mb+mc，又可以表示为m（a+b+c）。这两种表示方法得到
的结果是一样的，即ma+mb+mc=m（a+b+c），这个等式从左
往右的变形是将多项式ma+mb+mc化成m与a+b+c的乘积形式。
这种将多项式化成整式的乘积形式的变形是本章要学习
的内容。让我们进一步认识整式，为代数式运算及解方程奠
定基础。
121
整式的乘法运算是将整式的乘积化成一个多项式。有时我们需要反过来,
将一个多项式化成整式的乘积形式。
“48
2+2×48”能被50整除吗?
48
2+2×48
=48×(48+2)
=48×50
所以48
2+2×48能被50整除。
解决这个问题的关键是把算式化成几个因数的
乘积形式。
类似地,我们可以将多项式化成整式的乘积形式。
(1)仿照上面的算式,怎样将a
2+2a化成整式的乘积形式?
a
2+2a 可以化成a·(a+2),其中a
与a+2是a
2+2a的因式。
(2)联想平方差公式(a+b)(a-b)=a
2-b
2,怎样将x
2-4化成整式的乘
积形式?
x
2-4可以化成(x+2)·(x-2),x+2与x-2是x
2-4的因式。
122
(3)观察图11.1-1所示的拼图过程,写出相应的关系式。
图11.1-1
图11.1-1中,左边几个图形的面积和为
a
2+2ab+b
2,右边图形的面积为(
a+b)
2。
因为右边图形由左边的几个图形拼接而
成,所以a
2+2ab+b
2=(a+b)
2,a+b 是
a
2+2ab+b
2 的因式。
把一个多项式化成几个整式的乘积形式,这种式子变形叫作这个多项式
的因式分解(
factorization),也叫作把这个多项式分解因式。
整式乘法和因式分解是方向相反的代数变形,
x
2-4
因式分解
整式乘法
(x-2)(x+2)。
下列各式从左到右的变形,哪些是因式分解? 为什么?
(1)a
2-2ab+b
2=(
a-b)
2;
(2)x
2+2x+3=(x+1)
2+2;
(3)x
2y-xy
2=xy(x-y)。
解:(1)因为右式(a-b)
2 是a-b与a-b的乘积形式,且左式=右式,
所以这个变形是因式分解。
(2)因为右式(x+1)
2+2不是整式的乘积形式,所以这个变形不是因式
分解。
(3)因为右式xy(x-y)是x,y,x-y 的乘积形式,且左式=右式,所以
这个变形是因式分解。
123
下列各式从左到右的变形,哪些是因式分解? 为什么?
(1)x(x+1)=x
2+x;
(2)2x
2y-4xy
2=2xy(x-2y);
(3)9x
2-4y
2=8x
2+(x-2y)(x+2y);
(4)4a
2-4a+1=(2a-1)
2。
复习巩固
1.下列各式从左到右的变形,哪些是因式分解? 为什么?
(1)x
2-2xy+y
2=x(x-2y)+y
2;
(2)ax
2-bx+x=ax
2-x(
b-1);
(3)12ax-24ay=12a(x-2y);
(4)m
2+4m+3=(m+1)(m+3)。
2.连一连:
x
2-y
2 (x+3)
2
9-25x
2 y(x-y)
x
2+6x+9
(3-5x)(3+5x)
xy-y
2 (x+y)(x-y)
拓展延伸
3.判断下列因式分解是否正确:
(1)-mn-8n=-n(m-8);
(2)a
2-4a+3=(
a+1)(
a+3);
(3)x
2-2(
a+b)x+(
a+b)
2=(x-a-b)
2。
探索创新
4.小亮购买苹果、梨、葡萄三种水果,质量分别是4a
kg,2a
kg和a
kg,已知这三
种水果每千克的价格分别为x 元、y 元、z元。
(1)他购买这三种水果共花了多少元?
(2)用列出的式子计算总价,需要进行多少次加法运算、多少次乘法运算? 能否
通过对式子进行变形,减少运算次数,得出正确的结果?
124
因式分解是将一个多项式化成整式的乘积形式,我们如何进行因式分解呢?
观察多项式ma+mb+mc,它有几项? 它的各项有什么共同之处?
多项式ma+mb+mc 有ma,mb,
mc三项,每一项都有因式m。
在一个多项式中,各项都含有的相同因式叫作这个多项式中各项的公因式。
逆用乘法分配律,可以把公因式m 提到括号外面,得到
ma+mb+mc=m(
a+b+c)。
这就把多项式ma+mb+mc进行了因式分解。对多项式ma+mb+mc进行
因式分解时,把公因式m 作为积的一个因式,多项式ma+mb+mc除以公因式
m 的商a+b+c作为积的另一个因式。
多项式2a
2+4ab中各项的公因式是什么? 怎样把它进行因式分解?
在多项式2a
2+4ab中,各项的公因
式有2,a,2a。在对2a
2+4ab 进行因
式分解时,把2a 作为要提出的公因式,
得到2a
2+4ab=2a(
a+2b)。
125
一般地,如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,
将多项式化成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫作
提公因式法。
将下列各式因式分解:
(1)3a
2+12a; (2)-4x
2y-16xy+8x
2。
解:(1)3a
2+12a=3a(
a+4)。
(2)-4x
2y-16xy+8x
2=-4x(xy+4y-2x)。
将下列各式因式分解:
(1)a(m-6)+b(m-6);
(2)3(
a-b)+a(
b-a)。
解:(1)a(m-6)+b(m-6)=(m-6)(
a+b)。
(2)3(
a-b)+a(
b-a)=3(
a-b)-a(
a-b)=(
a-b)(3-a)。
用提公因式法进行因式分解,关
键在于找出多项式各项的公因式。
1.在下列括号内填写适当的多项式:
(1)3x
3-2x
2+x=x( );
(2)-30x
3y
2+48x
2yz=-6x
2y( )。
2.将下列各式因式分解:
(1)-4b
2+2ab; (2)6ab
3-2a
2b
2+4a
3b。
3.将下列各式因式分解:
(1)x-y-(x-y)
2;
(2)6(m-n)
2-3m+3n。
126
复习巩固
1.填空:
(1)4a
2b+6ab
3=
(2a+3b
2);
(2)-49a
2+7ab
3=7a(
);
(3)7(
a-2)
2-14b(
a-2)=7(
a-2)(
);
(4)a
2b(x-y)+ab(x-y)
2=
(
a+x-y)。
2.将下列各式因式分解:
(1)a
2b-2ab
2+ab; (2)x
3y+xy
3;
(3)8abc+4bc
2;
(4)2m
3n+16m
2n
2+4mn
3。
3.将下列各式因式分解:
(1)a(m+n)-b(m+n);
(2)(
a+b)(
a-b)+(
b+a);
(3)m(
a-3)-n(3-a);
(4)a(
a-b)
3+b(
b-a)
2。
拓展延伸
4.
3
200-4×3
199+10×3
198 是7的倍数吗? 为什么?
5.某公园计划修建水池,有两种设计方案。方案一是修建两个大圆形水池(图①);
方案二是修建一个大圆形水池,内设三个小圆形水池(图②)。现要准备水池围墙
的砌墙用料,若两种方案中大圆形水池的直径相等,所有水池的高度相同,则这
两种方案需要的砌墙用料一样多吗? 为什么?
① ②
(第5题)
探索创新
6. “回文诗”通常是指可以倒读的诗篇,如“云边月影沙边雁,水外天光山外树”,
倒过来读,即“树外山光天外水,雁边沙影月边云”。数学中有正读和倒读都一
样的自然数,这类数被称为“回文数”,如11,343等。
(1)写出一个四位数的回文数。
(2)小莹发现,任意四位数的回文数都是11的倍数。小莹的发现正确吗? 请说
明理由。
127
借助此前所学的乘法公式能进行因式分解吗?
多项式x
2-9和m
2-25n
2,它们有什么共同特征?
它们都表示两项的差,且
每一项都可以写成平方的形式。
x
2-9=x
2-3
2,
m
2-25n
2=m
2-(5n)
2。
怎样将上面两个多项式因式分解?
把平方差公式等号两边互换位置,得到
a
2-b
2=(
a+b)(a-b)。利用它就可以将上
面的式子因式分解。
x
2-9=x
2-3
2=(x+3)(x-3);
m
2-25n
2=m
2-(5n)
2=(m+5n)(m-5n)。
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积,即
a
2-b
2=(
a+b)(
a-b)。
128
将下列各式因式分解:
(1)4x
2-9; (2)16a
2-81b
2。
解:(1) 4x
2-9
=(2x)
2-3
2
=(2x+3)(2x-3)。
(2) 16a
2-81b
2
=(4a)
2-(9b)
2
=(4a+9b)(4a-9b)。
将下列各式因式分解:
(1)x
4-y
4; (2)4a
3b-ab; (3)(2a+b)
2-(
a+2b)
2。
解:(1) x
4-y
4
=(x
2+y
2)(x
2-y
2)
=(x
2+y
2)(x+y)(x-y)。
(2) 4a
3b-ab
=ab(4a
2-1)
=ab(2a+1)(2a-1)。
(3) (2a+b)
2-(
a+2b)
2
=[(2a+b)+(
a+2b)][(2a+b)-(
a+2b)]
=(3a+3b)(
a-b)
=3(
a+b)(
a-b)。
因式分解时,所有的因式
要分解到不能再继续分解为止。
如图11.3-1,每个图中先将n
2(n≥3,n 为正整数)个边长为1的小正方形
拼成一个大正方形,再将右上角的1个小正方形去掉,每个图形中剩下的小正
方形能够重新拼成一个长和宽都不等于1的长方形吗? 为什么?
n=3 n=4
图11.3-1
129
(第3题)
1.下列多项式是否可以用平方差公式进行因式分解? 如果可以,写出因式分解的
结果。
(1)a
2-4b
2; (2)-4m
2+n
2; (3)4x
2-(-b)
2;
(4)9a
2+4b
2;
(5)x
2-1
4;
(6)x
2+1
4。
2.将下列各式因式分解:
(1)2x
2-8; (2)56a
2-14b
2;
(3)-2x
4+32x
2;
(4)(2a-b)
2-(
a+b)
2。
3.手表表盘的外圆直径为34
mm,内圆直径为26
mm,在外
圆与内圆之间涂有荧光材料。求涂有荧光材料的圆环的面积
(π≈3.14)。怎样计算比较简便?
利用平方差公式可以进行因式分解,用完全平方公式能进行因式分解吗?
观察多项式x
2+2x+1和m
2-4mn+4n
2,它们有什么共同特征?
这两个多项式都是三项,都满足
a
2+2ab+b
2 或a
2-2ab+b
2 的形式。
怎样将上面两个多项式因式分解?
把(a+b)
2=a
2+2ab+b
2 或
(
a-b)
2=a
2-2ab+b
2 的等号两边互
换位置,就可以将多项式因式分解。
130
运用乘法公式可得
x
2+2x+1
=x
2+2·x·1+1
2
=(x+1)
2。
m
2-4mn+4n
2
=m
2-2·m·2n+(2n)
2
=(m-2n)
2。
两数的平方和,加上(减去)这两数乘积的2倍,等于这两数和(差)的平
方,即
a
2+2ab+b
2=(
a+b)
2,
a
2-2ab+b
2=(
a-b)
2。
形如a
2+2ab+b
2 和a
2-2ab+b
2 的式子叫作完全平方式。我们可以利用乘
法公式对某些多项式进行因式分解,这种因式分解的方法叫作公式法。
将下列各式因式分解:
(1)x
2+10x+25; (2)9a
2-6ab+b
2。
解:(1) x
2+10x+25
=x
2+2·x·5+5
2
=(x+5)
2。
(2) 9a
2-6ab+b
2
=(3a)
2-2·3a·b+b
2
=(3a-b)
2。
将下列各式因式分解:
(1)3ax
2-6axy+3ay
2;
(2)-x
2+4xy-4y
2;
(3)(2x+y)
2-6(2x+y)+9。
解:(1) 3ax
2-6axy+3ay
2
=3a(x
2-2xy+y
2)
=3a(x-y)
2。
(2) -x
2+4xy-4y
2
=-(x
2-4xy+4y
2)
=-(x-2y)
2。
131
(3) (2x+y)
2-6(2x+y)+9
=(2x+y)
2-2·(2x+y)·3+3
2
=[(2x+y)-3]
2
=(2x+y-3)
2。
1.将下列各式因式分解:
(1)m
2+m+1
4; (2)9x
3-18x
2+9x;
(3)-4a
2+4a-1;
(4)3a
2+12ab+12b
2。
2.按照完全平方公式,在括号内填入适当的整式:
(1)a
2-12a+( )=( )
2;
(2)9b
2+( )+16=( )
2;
(3)( )
2+4xy+4=( )
2;
(4)(x-y)
2+6(x-y)+( )=( )
2。
复习巩固
1.将下列各式因式分解:
(1)a
2-49; (2)25x
2-36;
(3)x
2+8x+16;
(4)y
2-10y+25;
(5)9a
2+6a+1;
(6)81m
2-144mn+64n
2。
2.将下列各式因式分解:
(1)3x
2-12;
(2)a
4-16b
4;
(3)16x
2+16x+4;
(4)-a
3+2a
2b-ab
2。
3.将下列各式因式分解:
(1)4(x-2)
2-16;
(2)(4a-3)
2-(3a-4)
2;
(3)(p+q)
2+4(p+q)+4;
(4)6x
2y+3x
3+3xy
2。
4.
计算:
(1)53
2-9; (2)57
2+6×57+9; (3)101
2-202+1。
132
拓展延伸
5.将下列各式因式分解:
(1)x
2(x-y)+y
2(y-x); (2)a
5-1
49a
3;
(3)m
2(m-1)-4(1-m)
2;
(4)(
a
2+2a)
2+2(
a
2+2a)+1。
探索创新
6.将代数式4x
2+1加上一个单项式,使它变形为(
a+b)
2 的形式,你能写出哪些符
合题意的等式?
7. (1)3
2-1,5
2-1,7
2-1,9
2-1,…,计算结果都是4的倍数吗? 都是8的倍
数吗? 为什么?
(2)2
3-2,3
3-3,4
3-4,…,计算结果都是6的倍数吗? 为什么?
莱布尼茨的猜想
莱布尼茨(Gottfried
Wilhelm
Leibniz,1646—1716)是德国伟大的数学家,
也是微积分理论的创立者之一。根据特殊情形提出一些猜想是数学家常用的
方法,但仅通过特殊情形得到的猜想不一定是正确的,莱布尼茨通过这样的
方法提出的猜想也不例外。
莱布尼茨曾用因式分解的方法证得:若n 是自然数,则n
3-n=n(n-
1)(
n+1)是3的倍数,n
5-n=n(
n-1)(
n+1)(
n
2+1)是5的倍数,n
7-n=
n(
n-1)(
n+1)(
n
2-n+1)(
n
2+n+1)是7的倍数。这一系列结论让莱布尼
茨很兴奋,他宣称,对于任意正奇数k,n
k-n都是k的倍数。
这个猜想是否正确呢? 很快就有人发现了反例:2
9-2=510不是9的倍
数! 这个例子说明,仅通过特殊情形得到的猜想不一定是正确的。
133
1.什么是因式分解? 它与整式乘法有什么关系? 请举例说明。
2.因式分解的常用方法有哪些? 怎样将一个多项式因式分解?
3.在本章的学习过程中,用到了哪些数学思想和数学方法? 请举例说明。
复习巩固
1.将下列各式因式分解:
(1)5m
2n-15mn
2;
(2)-7x
2y
3+28x
3y
2;
(3)4x
2-y
2;
(4)-1
25m
2+16;
(5)9x
2+6xy+y
2;
(6)a
2-a+1
4。
2.将下列各式因式分解:
(1)24-6x
2;
(2)3y
2-6y+3;
(3)5p
2q+10pqr+5qr
2;
(4)3(x-3)
2-12;
(5)(
a-1)(
a+7)+16;
(6)m
2n+7n(2m+7)。
134
(第3题)
拓展延伸
3.如图,在边长为a
的正方形钢板上,挖去4个边长均为b
的小
正方形。当a=9.5,b=2.25时,利用因式分解的知识,计算
剩余部分的面积。
4.将下列各式因式分解:
(1)(
a+b)
2+a+b+1
4;
(2)
x
2(
a-b)+4(
b-a);
(3)x
2(x-y)
2-y
2(x-y)
2;
(4)x
4-18x
2+81。
5.计算:1
2-2
2+3
2-4
2+5
2-6
2+7
2-8
2+9
2-10
2+11
2。
探索创新
6.判断下列说法是否正确,并说明理由。
(1)5
12+4×5
11-12×5
10 能被165整除;
(2)当n是整数时,(2n
2+3)
2-1能被8整除。
7.我们可以借助拼图将多项式因式分解。如图,剪出正方形和长方形卡片各若干张备用。
(第7题)
(1)选取三种不同的方形卡片各若干张,把它们拼成一个长方形或正方形,使其面积
分别可以用下列多项式表示。画出拼成的长方形或正方形,并将这些多项式因式
分解。
①
a
2+2ab; ②
a
2+2ab+b
2; ③
a
2-2ab+b
2。
(2)利用拼图,给出下列多项式因式分解的结果:
①
a
2-3ab+2b
2;
②
2a
2+5ab+2b
2。
第12 章 平面图形的认识
内容提要
◆ 三角形的分类
◆ 三角形的内角、外角与三边关系
◆ 多边形的内角和与外角和
◆ 圆的有关概念
图形的性质
三角形
多边形
平面图形
……
中国园林在设计时常常把几何元素融入其中，应用三角
形、多边形、圆等几何图形组成寓意丰富的图案。下图中有
一些三角形、多边形、圆的形象，它们有哪些性质？
本章我们将学习三角形、多边形及圆的有关概念，探索三
角形内角、外角的性质及三边之间的关系；研究多边形的内角
和与外角和；初步认识圆的有关概念，了解点与圆的位置关系。
通过本章的学习，我们将初步了解研究几何图形的思路和方法。
137
在初步认识三角形的基础上,我们继续学习与三角形有关的概念及性质。
在图12.1-1中,你能找到哪些三角形? 这些三角形有什么共同特点?
图12.1-1
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形
(
triangle)。组成三角形的线段叫作三角形的边;相邻两边的公共端点叫作三角
形的顶点;相邻两边组成的角叫作三角形的内角,简称三角形的角。
图12.1-2
如图12.1-2,线段AB,BC,CA 是这个三角形的三条
边,点A,B,C 是这个三角形的顶点,∠A,∠B,∠C
是这个三角形的角,边BC,CA,AB 分别叫作∠A,∠B,
∠C 的对边。有时也用a,b,c分别表示∠A,∠B,∠C
的对边(图12.1-2)。
常用符号“△”表示三角形,顶点是A,B,C 的三角
形,记作△ABC,读作“三角形ABC”。
(1)测量图12.1-3中每个三角形的角的大小,它们最大的角分别是什么角?
按照角的大小,怎样将三角形分类?
138
① ② ③
图12.1-3
三角形最大的角可以是锐角、直角或钝
角,按照角的大小可以将三角形分成三类。
如图12.1-3①,三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形;如图12.1-3②,
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形;如图12.1-3③,有一个角是钝角的
三角形叫作钝角三角形。
图12.1-3②所示的直角三角形ABC 记作Rt△ABC,读作“直角三角形
ABC”。∠C=90°,∠C 的对边AB 称为斜边,AC,BC 称为直角边。
(2)比较图12.1-4中每个三角形三条边的长度,你有什么发现? 按照边的
特征,怎样将三角形分类?
图12.1-4
有的三角形三边互不相等,有的三角形
有两条边相等,有的三角形三条边都相等。
139
图12.1-5
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。如图12.1-5,
在等腰三角形ABC 中,相等的边AB,AC 称为等腰三角
形的腰,另一边BC 称为底边,两腰的夹角∠A 称为顶
角,两腰和底边的夹角∠B,∠C 称为底角。
三条边都相等的三角形叫作等边三角形,也称为正
三角形。
按照“边是否相等”可以将三角形分为两类:三边
都不相等的三角形和等腰三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。
按照“角的大小”分类,可以将三角形分为三类:锐角三角形、直角三
角形和钝角三角形。
按照“边是否相等”分类,可以将三角形分为两类:三边都不相等的三
角形和等腰三角形。等边三角形是三边都相等的等腰三角形。
(第1题)
1.如图,点D 在△ABC 的边BC 上,连接AD。
(1)△ABC 的三个内角是
;
(2)在△ABD 中,∠B 的对边是
,
在△ABC 中,∠B 的对边是
;
(3)以线段AC 为边的三角形有
(用符号表示)。
2.根据下列条件,分别判断△ABC 的形状。
(1)∠A=45°,∠B=65°,∠C=70°; (2)∠C=110°;
(3)∠C=90°;
(4)AB=AC,AB>BC;
(5)AB=BC=AC。
140
在小学,我们用测量和拼接的方法验证过“三角形的内角和等于180°”。如
何说明这个结论?
图12.1-6
任意剪出一个三角形纸片,将三角形的三个角撕下,按
图12.1-6的方式拼接,会发现三角形的三个内角可以拼成一
个平角。
根据拼接过程,你能说明“三角形的内角和等于180°”吗?
可以构造平行线,借助平行线的
性质,说明这个结论。
(1)怎样说明“三角形的内角和等于180°”?
图12.1-7
由图12.1-6可知,过点A 画直线BC 的平行线DE,
可以将∠B,∠BAC,∠C 拼成一个平角(图12.1-7)。
根据平角的定义,得
∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°。
根据两直线平行,内错角相等,得
∠DAB=∠B,∠EAC=∠C。
所以∠B+∠BAC+∠C=180°。
由此,可以得到:三角形的内角和等于180°。
141
图12.1-8
(2)如图12.1-8,在△ABC 中,若∠C=90°,
∠A 与∠B 有怎样的关系? 若∠A+∠B=90°,则
△ABC 是什么三角形?
因为∠A+∠B+∠C=180°,∠C=90°,所以
∠A+ ∠B =90°,即∠A 与∠B 互余。反过来,
∠A+∠B=90°,因为三角形内角和等于180°,所以
∠C=90°,即△ABC 是直角三角形。
三角形的内角和等于180°。
直角三角形的两个锐角互余;有两个角互余的三角形是直角三角形。
图12.1-9
如图12.1-9,在△ABC 中,D 是边
AB 上的一点,∠A 与∠ACD 互余,请说明∠B
与∠DCB 互余。
解:根据∠A 与∠ACD 互余,
及互余的定
义,得
∠A+∠ACD=90°。
根据三角形的内角和等于180°,得
∠ADC=180°-(∠A+∠ACD)=90°。
根据平角的定义,得
∠BDC=180°-∠ADC=180°-90°=90°。
根据直角三角形的定义,知△BDC 是直角三角形。
所以∠B 与∠DCB 互余。
142
1.分别计算下图中∠1的度数。
(第1题)
(第2题)
2.如图,点B,E,C 在同一条直线上,∠A=∠DEC,∠D=∠BEA,∠A 与∠D
互为余角。试说明:(1)AE⊥DE;(2)AB∥CD。
我们运用“三角形的内角和等于180°”的结论继续研究三角形的角。
图12.1-10
如图12.1-10,将△ABC 的三条边分别延长,
得到∠1,∠2,∠3。它们有什么共同的特征?
由三角形的一边与另一边的延长线组成的角,
叫作三角形的外角。三角形的一个外角与相邻的内角互为邻补角。
三角形的一个外角与不相邻的两个内角有什么关系?
如图12.1-11,∠1,∠2,∠3为△ABC 的三个内角,∠ACD 为△ABC 的
图12.1-11
一个外角。
根据三角形的内角和是180°,得
∠1+∠2+∠3=180°。
根据邻补角的定义,得
∠ACD+∠3=180°。
所以∠1+∠2+∠3=∠ACD+∠3。
根据等式的基本性质,得
∠1+∠2=∠ACD。
143
由∠1+∠2=∠ACD,可以得到
∠ACD>∠1和∠ACD>∠2。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
如图12.1-12,在△ABC 中,BD 是∠ABC 的平分线,∠ABD=∠A,
∠C=3∠A。
(1)求△ABC 各内角的度数;
(2)求∠ADB 的度数。
解:(1)根据BD 是∠ABC 的平分线,及角的平分线的定义,得
∠ABC=2∠ABD。
图12.1-12
因为∠ABD=∠A,
所以∠ABC=2∠A。
根据三角形的内角和等于180°,得
∠A+∠ABC+∠C=180°。
因为∠C=3∠A,
所以∠A+2∠A+3∠A=180°,
即6∠A=180°。
所以∠A=30°,
所以∠ABC=60°,∠C=90°。
(2)根据BD 是∠ABC 的平分线,及角的平分线的定义,得
∠DBC=1
2∠ABC=30°。
根据∠ADB 是△DCB 的一个外角,及三角形的一个外角等于与它不相邻
的两个内角的和,得
∠ADB=∠C+∠DBC=90°+30°=120°。
144
探索三角形三个外角的和,你发现了什么规律?
1.根据图中所给的条件,求∠1,∠2,∠3的度数。
(第1题)
(第2题)
2.如图,在△ABC 中,∠B=40°,AE 是∠BAC 的平分线,∠ACD=106°,求
∠AEC 的度数。
我们学习了三角形的内角与外角的关系,下面将探究三角形三条边的关系。
如图12.1-13,任意画一个△ABC,从点B 出发,沿三角形的边到点C,可
以选择两条路线,哪条路线最短? 为什么?
根据两点之间线段最短,
可知BA+AC>BC。
图12.1-13
在图12.1-13中,从△ABC 的顶点A 出发,沿三角形的边到顶点B 或C,
还可以得到什么结论?
145
AC+CB>AB,AB+BC>AC。
三角形的任意两边之和大于第三边。
能用一根长为18
cm的细铁丝围成一个边长为4
cm的等腰三角形
吗? 为什么?
解:因为长为4
cm的边可能是腰,也可能是底边,所以分两种情况讨论。
①
若底边长为4
cm,设腰长为x
cm,则
4+2x=18。
解得
x=7。
因为4+7>7,7+7>4,
所以底边长为4
cm时能围成三角形。
②
若腰长为4
cm,设底边长为x
cm,则
4×2+x=18。
解得
x=10。
因为4+4<10,
所以腰长为4
cm时不能围成三角形。
由①②可知,能围成满足条件的等腰三角形,其腰长为7
cm,底边长为4
cm。
1.用下列长度的三条线段能否组成三角形? 为什么?
(1)3,4,5; (2)4,4,8; (3)5,7,11; (4)2,3,6。
2.已知等腰三角形的两条边长分别为4
cm和9
cm,求这个三角形的周长。
146
我们学习了三角形三边的关系,下面将探究三角形中的主要线段。
三角形一个角的平分线与这个角的对边相交,角的顶点和交点之间的线段
叫作三角形的角平分线。如图12.1-14①,AD 是∠BAC 的平分线,交BC 于点
D,线段AD 就是△ABC 的一条角平分线。
连接三角形一个顶点与对边中点的线段叫作三角形的中线。如图12.1-14②,
E 为BC 的中点,线段AE 就是△ABC 的一条中线。
三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线,简称
三角形的高。如图12.1-14③,AF⊥BC,垂足为F,线段AF 就是△ABC 的边
BC 上的高。
①
② ③
图12.1-14
(1)在图12.1-14①②中,分别画出△ABC 所有的角平分线、中线。观察
这些线,你能得出什么结论? 重新画一个三角形,画出这个三角形所有的角平
分线或中线,你得出的结论还成立吗?
我发现,一个三角形有三条角平分线和
三条中线。三角形的三条角平分线、三条中
线都在三角形的内部,分别交于一点。
147
如图12.1-15,△ABC 的三条中线交于点G,
点G 就是△ABC 的重心。
图12.1-15
取一块质地均匀的
三角形木板,用一根木
棒顶在三角形木板的重
心上,木板会保持平衡。
这就是重心的物理性质。
(2)在图12.1-16中,分别画出△ABC 所有的高,通过观察你能得出什么
结论? 重新画一个三角形,并画出这个三角形所有的高,结论还成立吗?
① ② ③
图12.1-16
我发现,三角形的高可能在三角形的内
部,可能与边重合,也可能在三角形的外
部。三条高所在的直线交于一点。
三角形的三条角平分线、三条中线分别相交于一点,它们都在三角形的
内部。
三角形的三条高所在的直线相交于一点,高及高的交点不一定在三角形
的内部。
148
1.过△ABC 的顶点A 画出BC 边上的中线、高和∠A 的角平分线。
(第1题)
(第2题)
(第3题)
2.如图,△ABC 中,AD 是中线,BE 是角平分线。
(1)写出线段BD,CD,BC 的数量关系;
(2)写出∠ABE,∠CBE,∠ABC 的数量关系。
3.如图,在Rt△ABC 中,∠B=60°,AD 是角平分线,求∠CAD 的度数。
(第1题)
(第2题)
复习巩固
1.如图,在△ABC 中,AE⊥BC,点E 是垂足,D 是边
BC 上的一点,连接AD。
(1)写出△ABE 的三个内角;
(2)写出图中△ADE 的外角;
(3)图中哪些是直角三角形? 哪些是锐角三角形? 哪
些是钝角三角形?
2.如图,在△ABC 中,点D,E 在边BC 上,连接AD,AE。
(1)∠ADE=∠B+
,
∠ADB=∠C+
=∠AED+
;
(2)用“>”或“<”填空:
∠AEC
∠ADE,∠B
∠ADE。
3.已知BD 是△ABC 的中线,AB=5,BC=3。求△ABD 和△BCD 的周长的差。
149
拓展延伸
4.已知等腰三角形的两边长分别是7
cm和8
cm,求它的周长。
5.某零件如图所示,按规定∠A=90°,∠B=32°,∠C=21°。当检验员量得∠BDC
=146°时,会断定这个零件不合格,为什么?
(第5题)
(第6题)
6.如图,一艘轮船从A 处沿AP 方向行驶,C 处有一灯塔,∠BAC=30°。
(1)轮船行至B 处时,∠CBP=70°,求∠ACB 的度数;
(2)轮船行至距离灯塔最近的点D 时,求∠ACD 的度数。
探索创新
7.在△ABC 中,∠A 为锐角,∠B,∠C 均不是直角,高BD 和CE 所在的直线交
于点H。
(1)若∠A=45°,△ABC 为锐角三角形,求∠BHC 的度数;
(2)若∠A=30°,△ABC 为钝角三角形,求∠BHC 的度数;
(3)用等式表示∠BHC 与∠A 的数量关系,并说明理由。
8.如图,三条公路围出一个三角形区域,管理部门准备把这一区域改造成一个花园,
请设计一个方案,把这个三角形区域分成面积相等的四部分。
(第8题)
150
在认识三角形的基础上,我们将学习多边形的有关概念,并探究多边形的
内角和。
在图12.2-1中,你能找到哪些多边形? 这些多边形有什么共同特点?
图12.2-1
同一平面内,若干条线段首尾顺次相接,且有公共端点的线段不在同一条
直线上,这样得到的图形叫作多边形(polygon)。组成多边形的各条线段叫作多
边形的边,相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点,相邻两条边所组成的角
叫作多边形的内角。连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线。
由四条边组成的多边形叫作四边形(quadrilateral),由五条边组成的多边
形叫作五边形(pentagon)……由n 条边组成的多边形叫作n 边形(n 是大于2
的整数)。
一般地,用四边形的顶点A,B,C,D 表示四边形,记作四边形ABCD
(图12.2-2)。同样,可以用五边形的顶点A,B,C,D,E 表示五边形,记作
五边形ABCDE(图12.2-3)。
图12.2-2
图12.2-3
用字母表示多边形时,
可以按顶点的顺时针顺序写,
也可以按逆时针顺序写。
151
各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形(regular
polygon)。图12.2-4
中的各个正多边形分别称作正三角形(即等边三角形)、正四边形(即正方形)、
正五边形、正六边形和正八边形。
图12.2-4
三角形的内角和等于180°,四边形的内角和等于多少度呢? 五边形、六边
形……n边形的内角和等于多少度?
四边形 五边形 六边形 n边形
图12.2-5
我发现,从四边形一个顶点出发的对角线可将四边
形分成2个三角形,从五边形一个顶点出发的对角线可
将五边形分成3个三角形……从而求得四边形、五边形、
六边形的内角和分别为360°,540°,720°。
从n边形一个顶点出发的对角线可将n 边形分成(n-2)个三角形,所以n
边形的内角和等于(
n-2)·180°。
n边形的内角和等于(
n-2)·180°。
已知一个多边形的内角和等于2
700°,求这个多边形的边数。
解:设这个多边形的边数为n,则
(
n-2)·180°=2
700°。
解得
n=17。
所以这个多边形的边数为17。
152
尝试用其他方法说明n边形的内角和等于(
n-2)·180°。
(第3题)
1.如果从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成6个
三角形,那么这个多边形是几边形? 它的内角和是多少?
2.分别计算九边形、十二边形的内角和。
3.如图,正方形AMNP 的边AM 在正五边形ABCDE 的边
AB 上,求∠PAE 的度数。
我们已经知道多边形内角和的计算方法,下面将探究多边形的外角和。
如图12.2-6,任意画一个四边形ABCD,分别延长各边,得到∠1,∠2,
∠3,∠4,它们有什么共同特征?
我发现,每个角与相邻的内
角互为邻补角。
图12.2-6
一般地,多边形一个内角的邻补角叫作多边形的外角。在多边形的每个顶
点处取多边形的一个外角,这些外角的和叫作多边形的外角和。
(1)如图12.2-6,四边形ABCD 的外角和等于多少?
四边形ABCD 的每个外角都与相邻的内角互为
邻补角。4个外角与内角的和是4×180°,减去四边
形的内角和360°,得到这4个外角的和为360°。
153
(2)n边形的外角和是多少呢?
n边形的每一个内角与相邻的外角互为邻补角,n 边形有n 个内角,所以
所有内角与外角的和为n·180°。已知n 边形的内角和为(n-2)·180°,因此n
边形的外角和为
n·180°-(
n-2)·180°
=n·180°-n·180°+2×180°
=360°。
多边形的外角和等于360°。
一个多边形的内角和是它的外角和的7倍,求这个多边形的边数。
解:设多边形的边数为n,则
(
n-2)·180°=7×360°。
解得
n=16。
所以这个多边形的边数为16。
尝试用其他方法说明n边形的外角和等于360°。
1.一个多边形的内角和是外角和的2倍,这个多边形是几边形?
2.求正八边形一个外角的度数。
复习巩固
1.正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一个内角各是多少度?
2.一个多边形的内角和为1
620°,求它的边数。
154
(第5题)
3.一个多边形的内角和与外角和相等,这个多边形是几边形?
4.若从多边形的一个顶点出发,最多可引3条对角线,那么这个多边形是几边形?
一共有多少条对角线? 它的内角和是多少度?
拓展延伸
5.在如图所示的五角星中,求∠A+∠B+∠C+∠D+
∠E 的度数。
探索创新
6.机器人从O 点出发沿直线行走,每走10
m,行走方
向沿原方向顺时针转动15°。机器人以这样的方式走
多少米可以回到O 点?
(第6题)
①
②
图12.2-7
凸多边形与凹多边形
如图12.2-7①,画出
四边形ABCD 任意一条边
(例如CD)所在的直线,整
个四边形都在这条直线的同
一侧,这样的四边形叫作凸
四边形①。如图12.2-7②,
画出边CD 所在的直线,
其他各边不都在这条直线的同一侧,像这样的四边形叫作凹四边形。
凸多边形的每个内角都小于180°,前面我们学习的多边形都是凸多边
形,而凹多边形中至少有一个内角大于180°。
①如果没有特别说明,本书所说的多边形都是指凸多边形。
155
在小学,我们已经初步认识了圆。本节我们将继续学习圆及其有关概念,
并探索点与圆的位置关系。
在图12.3-1中,你能找到哪些圆? 这些圆有什么共同特点?
图12.3-1
如图12.3-2,在平面内,线段OA 绕固定的端点O 旋转一周,另一个端点
A 所形成的封闭曲线叫作圆(circle),点O 叫作圆的圆心。以点O 为圆心的圆记
作☉O,读作“圆O”。连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径(radius),用
“
r”表示,线段OA 是☉O 的一条半径。
连接圆上任意两点的线段叫作弦,经过圆心的弦叫作直径。图12.3-3中,
线段AB,CD 都是☉O 的弦,其中弦AB 是☉O 的一条直径。
图12.3-2
图12.3-3
156
如图12.3-4,以O 为圆心,画一个半径为1.5
cm的圆,在圆上任意取A,
B 两点,连接OA,OB。
(1)OA 与OB 的长分别是多少?
(2)任取一点C,使得OC=1.5
cm,点C 的位置在圆周上吗?
(3)如果M,N 是平面内的两点,且OM=1.8
cm,ON=1
cm,你能分别
说出点M,N 与圆的位置关系吗?
(4)观察平面内的点与圆有几种位置关系。
平面内的点与圆有三
种位置关系:点在圆外,
点在圆上,点在圆内。
图12.3-4
(5)圆上的点具备什么特点? 点满足什么条件才会在同一个圆上?
圆上各点到圆心的距离都等于半径,
到定点的距离等于定长的点在同一个圆上。
因此,圆可以看作是由平面内到定点的距
离等于定长的所有点组成的几何图形。
点在圆外,即这个点到圆心的距离大于半径。
点在圆上,即这个点到圆心的距离等于半径。
点在圆内,即这个点到圆心的距离小于半径。
圆是由平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的几何图形。
157
圆上任意两点间的部分叫作弧,用符号“⌒”表示。以C,D 两点为端点
的圆弧记作CD
︵,读作“弧CD”。直径把圆分成两条弧,每一条弧都叫作半圆。
大于半圆的弧叫作优弧,用三个字母表示,如CBD
︵(图12.3-5),小于半圆的弧
叫作劣弧,如CD
︵(图12.3-5)。
图12.3-5
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫
作扇形。如图12.3-5,扇形OCAD 由半径OC,OD 与CD
︵
组成;扇形OCBD 由半径OC,OD 与CBD
︵组成。
半径相等的圆叫作等圆。图12.3-6中,☉O1 和☉O2
的半径都是r,所以它们是等圆。在同圆或等圆中,能够互
相重合的弧叫作等弧。
图12.3-6
图12.3-7
图12.3-7中的两个圆都以点O 为圆心,半径分别是r1 和r2(
r1>r2),它们
的圆心相同,半径不相等。圆心相同,半径不相等的圆叫作同心圆。
(第2题)
1.已知☉O 的半径为8
cm,A 为平面内一点。当OA 符合下列条件时,分别指出
点A 与☉O 的位置关系:
(1)OA=7.9
cm;
(2)OA=8
cm;
(3)OA=8.01
cm。
2. (1)圆的一条弦所对的弧有几条? 怎样区分它们?
(2)如图,图中有几条弧? 哪些是优弧? 哪些是劣弧?
158
(第2题)
复习巩固
1.下列说法正确的是
。
①
过圆心的线段一定是圆的直径;
②
等圆的半径相等;
③
大于劣弧的弧叫作优弧;
④
若一个圆在另一个圆的内部,则这两个圆是同心圆。
2.如图,某运动员投掷铅球的成绩为8.6
m,则他投出的
铅球落在①~④中的哪个区域?
3.在△ABC 中,AB=3
cm,BC=4
cm,CA=5
cm。
(1)以点A 为圆心,以3
cm长为半径画圆,确定点B,C 与☉A 的位置关系;
(2)以点B 为圆心,以4
cm长为半径画圆,确定点A,C 与☉B 的位置关系。
拓展延伸
4.一片草地上有A,B 两点,这两点之间的距离为18
m。在两点处各有一个洒水
器,洒水覆盖区域分别为直径24
m和18
m的圆。请画图表示两个洒水器洒水覆
盖的区域(用1
cm代表1
m)。
探索创新
5. (1)如图①,将一枚半径为r的硬币沿一条直线从点M 出发,滚动一周,到达
点N。线段MN 的长是多少? 硬币的圆心经过的路程是多少?
(2)如图②,取两枚半径都为r的硬币A,B,平放到桌面上,将硬币B固定,
硬币A从硬币B的边缘上的一点P 出发,沿硬币B的边缘滚动一周,回到
原来的位置。硬币A的圆心经过的路程是多少? 在滚动时硬币A转了几周?
① ②
(第5题)
159
与圆有关的知识
生活在旧石器时代晚期的山顶洞人,已经开始掌握磨制石器和钻孔技
术,能够从物品两面钻出半径相同的圆孔。新石器时代的半坡人,
建造出半
地穴式的圆形房屋。新石器时代陶器的横截面,大都是圆形。
中国古人认为“天道曰圆,地道曰方”。在我
国传统文化中,圆被视为一种完美的图形,象征着
圆满、和谐、包容。古希腊数学家毕达哥拉斯
(Pythagoras,前580至前570之间—前500至前
490之间)也曾说过
“一切立体图形中最美的是球,
一切平面图形中最美的是圆”。
古人在搬运重物时发现,通过圆木滚动运送
货物省时省力。受圆木运货的启发,人们制作了圆形车轮。世界上现存最古
老的木制车轮———斯洛文尼亚卢布尔雅那沼泽车轮,距今已有5
000多年之
久。圆形车轮的发明,极大地提高了货物运输的效率。
160
1.怎样用“三角形的内角和等于180°”这一结论推导多边形的内角和公式?
2.什么是三角形的外角? 三角形的外角有哪些性质?
3.三角形的三边之间有怎样的关系?
4.三角形中有哪些主要线段? 这些线段有哪些性质?
5.多边形的内角和公式是怎样推导出来的? 多边形的外角和与它的边数有
关系吗?
6.什么是正多边形? 正n边形的每一个内角、外角各是多少度?
7.什么是圆? 如何确定平面内的一个点与圆的位置关系? 画图解释直径、
半径、弦、弧、等弧、等圆、同心圆等概念。
8.通过本章的学习,你认为研究平面图形的思路和方法有哪些?
161
复习巩固
1.选择题:
(1)在三角形的三个外角中,钝角最多有( )。
A.
0个 B.1个 C.
2个 D.
3个
(2)一个多边形的内角和不可能是( )。
A.
1
800°
B.
1
260°
C.
1
080°
D.
5
100°
2.填空题:
(1)在△ABC 中,如果∠A+∠B=2∠C,那么∠C 的度数是
;
(2)如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数是
。
(第2题(2))
3.下列说法哪些是正确的?
(1)三角形中最小的锐角不能大于60°;
(2)三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和;
(3)三角形任意两个内角的和大于第三个内角;
(4)直角三角形只有一条高;
(5)在同圆中任意两条直径都互相平分;
(6)三角形一边上的高小于这个三角形的其他两边。
4.如图,已知∠1=80°,∠2=140°,求∠3的度数。
(第4题)
(第5题)
5.如图,△ABC 中,D,E 分别是BC,AD 的中点。△ABC 的面积是20,求阴影部分
(第6题)
的面积。
6.如图,在△ABC 中,∠B=54°,∠C=62°,AD 是△ABC 的角平
分线,点E 在AC 上,且DE∥AB,求∠ADE 的度数。
7.一个多边形各个内角的度数的平均数是135°,这是一个几边形?
162
8.如图,线段AC 与BD 相交于点O,连接AB,CD。∠A+∠B 与∠C+∠D 有什么
数量关系? 请说明理由。
(第8题)
(第9题)
9.如图,AD 是△ABC 的角平分线,∠C=∠ADC,∠B=∠BAD。求△ABC 各内角
的度数。
拓展延伸
10.已知等腰三角形的周长为10,且各边长都是整数,求各边的长。
11.小亮家距学校10
km,小莹家距小亮家3
km。如果小亮家、小莹家、学校在同一平
面内,那么小莹家与学校的距离在什么范围内? 请画图表示。
12.如图,在△ABC 中,D,E 是边BC 上的两点,∠B=∠EAC,∠ADC=∠DAC。
试说明AD 平分∠BAE。
(第12题)
(第13题)
13.如图,在△ABC 中,∠ABC=∠ACB=2∠A,BD 是∠ABC 的平分线,交AB 边
上的高CE 于点F。求∠BFC 的度数。
探索创新
(第14题)
14.如图,将一块三角板PMN 放置在△ABC 上(P 点在
△ABC 内部),使三角板PMN 的两条直角边PM,PN
分别经过点B 和点C。
(1)若∠A=50°,则∠ABC+∠ACB=
,∠PBC
+∠PCB=
,∠ABP+∠ACP=
。
(2)探究图中∠ABP+∠ACP 与∠A 的数量关系。
163
生活中,我们经常遇到这样的问题:在博物
馆参观时,为提高参观效率,如何安排参观顺序?
快递员要将快件送往几个地点,为节省配送时间,
如何安排配送路线? 在公园游览时,为减少奔波
时间,如何规划游览路线?
请选择某个景区中的几个景点,合理规划游
览路线,使游览效率最高。
活动1 分析影响因素
根据生活经验思考,有哪些影响游览效率的因素?
影响游览效率的因素有很多,如游览路线长度、交通方式、游客流量等。
用查阅资料、实地考察等方式,结合生活经验分析这些因素对游览效率的影响。
活动2 实际问题数学化
游览路线长度是影响游览效率的主要因素,可以将游览路线长度作为研究
对象。
根据选择的景点,画图表示景点位置和景点之间的路线。
活动3 求解最佳路线
在活动2的数学问题中,列举出几条较短的游览路线。
实地测量或借助电子地图测量景点间的实际路程,记录数据,制作表格,
找到最佳游览路线。
活动4 制作游览攻略
结合活动3中找到的最佳游览路线,制作一份游览攻略。
164
影响游览效率的因素有游览路线长度、交通方式、游客流量等。以小组为
单位,综合考虑多种因素对游览效率的影响,作出合理假设,用数学的方法得
到结果并验证,完善游览攻略。
在课堂上展示实践活动记录。展示应当包括以下内容:
(1)完整的问题描述、影响因素分析、数学问题的提出和求解过程等;
(2)游览攻略设计;
(3)游览实践记录;
(4)活动总结与反思。
可以从以下三个方面展开思考:
(1)游览攻略是否具有实际应用价值;
(2)是否可以呈现问题提出、因素分析、模型建立、模型求解的完整过程;
(3)是否检验了所得结果,并提出改进措施和优化方向。
可以结合老师评价、同伴评价和自我评价,进一步完善小组的游览攻略。
165
实践活动记录
活动题目
的最佳路线
问题描述
成员和分工
姓名
分工
地图和图例说明
影响因素分析
问题提出
数学推演及路线设计
攻略设计
总结与反思
166
为了满足居民的多元化健身需求,农村
或城市社区管理单位通常会配置公共健身器
材。这些健身器材的日常使用情况如何? 不
同因素对器材的正常使用有怎样的影响?
选取一个农村或城市社区,尝试利用所
学知识,调查和分析居民使用公共健身器材
的现状及影响因素,对相关管理单位提出建议。
活动1 确定调查内容与方法
对公共健身器材使用现状及影响因素的调查应包含哪些内容? 应采用怎样
的调查方法?
调查内容可以包括:调查对象的性别、年龄、文化程度、职业等基本信息,
调查对象使用器材的目的,以及调查对象每周使用器材进行锻炼的次数、时长等。
调查方法可以是:每个学习小组选择一个社区,在相同的时间段,随机选
择正在使用器材的居民,进行问卷调查和访谈。
活动2 收集、整理、描述数据
设计问卷并进行调查,收集、整理数据,选择适当的统计图描述数据,记
录过程及结果。
167
“公共健身器材使用现状及影响因素调查”实践活动记录
设计者: 设计时间:
数据
收集
序号
性别
年龄
锻炼目的
……
强身健体
陪伴家人
……
每周锻炼
次数
每周锻炼
时间
1
2
3
……
数据
整理
统计表:
数据
描述
统计图:
活动3 根据调查提出建议
根据以上调查,总结社区公共健身器材使用现状,分析不同因素对器材使
用情况的影响。通过合理的调研得到科学的结论,对相关管理部门提出建议,
形成一份建议书。
结合对社区现有公共健身器材使用情况的调查,查阅资料,为不同年龄段、
不同锻炼目的的居民制定一周的健身器材使用计划。
168
在课堂上展示活动记录,展示应当包括以下内容:
(1)调查内容与方法;
(2)数据收集,数据整理,数据描述;
(3)建议书;
(4)一周器材使用计划。
可以从以下三个方面展开思考:
(1)是否选择了合适的调查内容与调查方法;
(2)是否使用了恰当的统计图表对数据进行整理和描述;
(3)所提建议是否具有合理性。
可以结合老师与同伴的评价,改进自己的建议书,也可以向所调查社区的
居民和工作人员等征询意见,进一步完善建议书。
后记
本套教科书依据《义务教育数学课程标准(2022年版)》编写完成。
本套教科书全面贯彻党的教育方针,落实立德树人根本任务,践行《义务教
育数学课程标准(2022年版)》的课程理念,以“三会”为主线,注重培养学生的
学习兴趣和提升学生的核心素养。通过“观察与发现”“思考与交流”“概括与
表达”等栏目,引导学生用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实
世界、用数学的语言表达现实世界。本套教科书的编写凝聚了数学教育理论最
新成果和广大数学教育工作者的智慧。
在本套教科书的编写过程中,我们得到了关心教材建设的专家、学者以及
一线教师的悉心指导和倾力帮助。刘向军、白成、邵海磊、滕绪华、杨钰辰等
同志参与了本书初稿的编写。我们通过多种渠道与教科书选用作品的作者进行
了联系,得到了他们的大力支持和配合。在此,我们一并表示衷心的感谢!
欢迎广大师生和家长在使用本套教科书的过程中,提出宝贵的意见和建议。
意见反馈请发邮箱:qingbanjiaocai@citymedia.cn。
编 者
定价：10.23元
绿色印刷产品
中
国
环
境
标
志
C
H
I
N
A
E
N
V
I
R
O
N
M
E
N
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A
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