八年级 上册
义务教育教科书
新学期寄语
亲爱的同学：
秋天是收获的季节，新的数学知识在等待我们采撷。让我们以饱满的精神
状态迎接新的挑战。
推理与证明是人类认识世界的重要手段，也是数学学习的重要组成部分。
通过观察、实验提出猜想，然后运用运算、推理来证明或者否定猜想，这是研
究问题的一般思路。
全等是一个新的几何概念。你将以全等三角形为载体，认识全等三角形的性
质和判定方法，为学习尺规作图和解决许多复杂图形的问题奠定基础。
分式既是整式的拓展，也是分数的延伸。它有哪些基本性质？如何对分式做
加、减、乘、除运算？分式方程如何解？相信你能借鉴此前所学来解决这些问题。
轴对称这一概念，相信你并不陌生。这学期，你将进一步了解轴对称图形
的性质，认识基本的轴对称图形，并学习如何画出简单图形的对称轴。
无理数的发现是数学史上的一座里程碑，引发了更多关于运算、运算律等
问题的探讨，也将数的范围从有理数扩充至实数。
现实世界中，相等关系和不等关系是两种基本的数量关系，方程和不等式
分别是刻画这两种数量关系的数学工具。在本学期的学习中，你将掌握这些知
识，从而更好地解决实际问题。
北斗卫星导航系统能精准定位三维空间中的物体，这离不开二维平面相关
知识的支持。在平面直角坐标系中，你将学习如何用数的方法精确描述平面上
点的位置。这一方法上承数轴，下接三维空间。相信你一定能够认真学习，为
将来准确描绘三维空间打下坚实的基础。
MULU
目录
1
第1 章 推理与证明
1.1 定义与命题
3
1.2 证明
6
1.3 几何证明举例
12
章小结
20
第2 章 全等三角形
2.1 全等三角形
25
2.2 三角形全等的判定
29
2.3 尺规作图
38
章小结
44
第3 章 分式
3.1 分式
49
3.2 分式的乘法与除法
55
3.3 分式的加法与减法
62
3.4 分式方程
72
3.5 分式与比
80
章小结
88
第4 章 图形的轴对称
4.1 图形的轴对称
93
4.2 线段的垂直平分线
101
4.3 角的平分线
106
2
第5 章 勾股定理与实数
5.1 勾股定理及其逆定理
123
5.2 算术平方根
131
5.3 无理数
134
5.4 平方根
140
5.5 立方根
143
5.6 实数
147
章小结
151
第6 章 一元一次不等式
6.1 不等式
157
6.2 不等式的基本性质
163
6.3 一元一次不等式的解法
166
6.4 一元一次不等式组
172
章小结
178
第7 章 图形与坐标
7.1 图形的位置与坐标
183
7.2 图形的运动与坐标
192
7.3 用方位角和距离描述两个物体的相对位置
197
章小结
202
4.4 等腰三角形
110
章小结
118
综合与实践
5 如何铺设太阳能光伏板
205
6 如何提高校园安保监控的覆盖率
209
第1 章 推理与证明
内容提要
◆ 定义、命题
◆ 基本事实、定理及推论
◆ 代数推理
◆ 几何证明
命题
基本事实
定义
代数推理
数与代数
图形与几何
……
推理与证明
几何证明
此前，我们用度量或剪拼的方法发现一个三角形的内角
和等于180°。由此，我们猜想：任意一个三角形的内角和都
等于180°。可是，即使通过实验观察得到一百个甚至更多个
三角形的内角和都是180°，就能说任意一个三角形的内角和
都等于180° 吗？
三角形有无数个，仅仅从部分三角形的性质推断所有三角形
的性质，这样得到的结论真的可靠吗？如何证明它是正确的呢？
在本章，我们将以定义和基本事实为依据，运用逻辑推
理的方法进行数学证明，初步学习推理证明的方法。
3
数学概念是学习数学的基础,本节我们就对此进行系统的学习。
墨子(约前468—
约前376)
我国古人在科学探索方面作出了突出贡献。战国时期的
《墨经》中记载“圆,一中同长也”,即到一个中心距离相同
的所有点组成的图形叫作圆。这是我国古代描述数学概念的
例证。你还能举出一些描述数学概念的例子吗?
下列描述概念的语句有什么特点?
同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线;
三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形;
求几个相同因数的积的运算叫作乘方。
像这样,能够说明一个概念含义的语句叫作这个概念的定义(definition)。
定义能够帮助人们认识和理解这个概念区别于其他概念的本质特征。例如,
平行线的定义既揭示了平行线“没有公共点”的本质属性,又指出了平行线与
相交线的区别。定义既可以作为性质使用,又可以提供判定的依据。
(1)下列表达数学结论的语句有什么特点?
①
如果两个角的和是180°,那么这两个角互补;
②
同一平面内,如果两条直线相交所成的角是直角,那么这两条直线垂直;
③
如果一个整数的个位上的数字是0或5,那么这个数能被5整除。
像这样,对某件事情作出判断的语句叫作命题(proposition)。
命题通常由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项,结论是由已知事
项推断出的事项。
命题的一般叙述形式是“如果……,那么……”。
4
(2)分别指出上面三个命题的条件和结论,并判断它们是否正确。
以命题①为例,条件:两个角的和是
180°;结论:这两个角互补。
我认为这三个命题的结论都是成立的。
当条件成立时,结论一定成立的命题叫作真命题。
当条件成立时,结论不一定成立的命题叫作假命题。
满足命题条件,而结论却与命题结论不同的例子叫作命题的反例。只要能
举出一个反例,就可以说明这个命题是假命题。
写出下列命题的条件和结论,并判断真假。如果是假命题,请举出
反例。
(1)如果ab=0,那么a=0或b=0;
(2)两条直线被第三条直线所截,如果两个角是同位角,那么这两个角相等;
图1.1-1
(3)对顶角相等;
(4)如果a是有理数,那么a
2>a。
解:(1)条件:ab=0;结论:a=0或b=0。真命题。
(2)条件:两条直线被第三条直线所截,两个角是同位
角;结论:这两个角相等。假命题。
反例:如图1.1-1,直线a,b被直线c所截,其中同位
角∠1与∠2不相等。
(3)先把这个命题改成“如果……,那么……”的形式:如果两个角是对
顶角,那么这两个角相等。
条件:两个角是对顶角;结论:这两个角相等。真命题。
(4)条件:a是有理数;结论:a
2>a。假命题。
反例:当a=1时,a是有理数,不满足a
2>a。
5
1.下列语句中,哪些是命题?
(1)过点A 作一条射线;
(2)线段AB 的长是5
cm吗?
(3)如果ab>0,那么a+b>0。
2.指出下列命题的条件和结论,并判断真假。如果是假命题,请举出反例。
(1)如果|a|=|b|,那么a=b;
(2)如果a是负整数,那么a就小于或等于它的倒数。
3.将下列命题改成“如果……,那么……”的形式,并指出命题的条件和结论。
(1)平行于同一条直线的两条直线平行;
(2)两个有理数相乘,同号得正。
复习巩固
1.下列语句中,哪些是命题? 哪些不是命题? 如果是命题,请指出命题的条件和结论。
(1)过直线l外一点P 作l的平行线;
(2)△ABC 是锐角三角形吗?
(3)直角三角形的两个锐角互余。
2.判断下列命题的真假。如果是假命题,请举出反例。
(1)同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;
(2)四边形的两条对角线相等;
(3)若a>b,则a
2>b
2;
(4)若两个有理数的和小于0,则这两个有理数的积也小于0。
拓展延伸
3.写出下列命题的条件和结论,并判断真假。如果是假命题,请举出反例。
(1)直角三角形的斜边大于它的任何一条直角边;
(2)一个角的补角大于这个角;
(3)在一个圆中,直径大于不经过圆心的弦。
6
观察、实验、类比和归纳是我们发现规律、获取一般结论的重要方法。但
是,用这些方法得到的结论一定正确吗?
图1.2-1
(1)观察图1.2-1中的两条黑线,它们是直
线吗?
(2)用度量或剪拼的方法发现一个或几个三
角形的内角和都是180°,由此猜想任意一个三角
形的内角和都是180°。这种通过实验获得的结论
一定正确吗?
(3)由“两个正数的和大于每一个加数”类比得到“两个有理数的和大于
每一个加数”。这种由类比得到的结论正确吗?
(4)当n=1,2,3,4,5时,代数式n
2+3n+1的值都是质数。由此归纳
得到“当n为正整数时,n
2+3n+1的值一定是质数”。这种由归纳得到的结论
正确吗?
在数学上,仅凭观察、实验、类比、归纳等方法得出的命题,只是一种猜
想,并不一定正确。若要确定命题是真命题,还需要经过严密的逻辑推理加以
证实。
我们依据什么来进行逻辑推理呢?
人们在长期的实践中,经过分析总结后,把那些公认的真命题作为基本事实,
以基本事实为依据来证实其他命题。如“如果a=b,b=c,那么a=c”“如果a>
b,b=c,那么a>c”。这两个命题的推理中就用到:一个量可以用它的等量来替
换,即等量代换。这就是一个基本事实。
7
在代数中,可以依据定义、运算法则、运算律、公式、等式(不等式)的
基本性质等进行运算和推理。
说明下列命题是真命题:
(1)如果ab=a(
a是有理数,且a≠0),那么b=1;
(2)如果a,b都是奇数,那么a+b是偶数。
解:(1)因为ab=a(
a是有理数,且a≠0)(已知),
所以ab÷a=a÷a(等式的基本性质)。
所以b=1(除法的运算法则)。
(2)因为a,b都是奇数(已知),
设a=2m+1,b=2n+1,其中m,n是整数(奇数的定义),
所以a+b=2m+1+2n+1=2(m+n+1)(乘法
分配律)。
因为m,n是整数(已知),
所以m+n+1是整数(整数的基本性质)。
所以2(m+n+1)是偶数(偶数的定义)。
所以a+b是偶数(等量代换)。
在学习推理的初
始阶段,要在推理过
程每一步的后面,用
括号注明推理的依据。
1.通过画图,小亮发现三角形的三条中线都在三角形的内部,三角形的三条角平分
线也都在三角形的内部,于是推断三角形的三条高都在三角形的内部。小亮的结
论正确吗? 为什么?
2.说明下列命题是真命题:
(1)如果a+b=0,那么a=-b;
(2)如果a是奇数,b是偶数,那么a+b是奇数;
(3)三个连续整数的和是3的倍数。
8
与代数中的推理类似,几何中的推理也要依据定义、基本事实等。
在几何命题中,我们已学过的基本事实①有:
(1)两点确定一条直线;
(2)两点之间线段最短;
(3)同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
(5)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。
基本事实通常作为论证的起点和依据。从定义、基本事实及已知条件出发,
通过逻辑推理的方法证实命题的过程叫作证明。
如何证明“对顶角相等”?
先要分清待证命题的条件和结论。
为了使推理过程更精确、简约,便于论
证,还要把用文字语言叙述的条件和结
论“翻译”成图形语言和符号语言。
已知:如图1.2-2,直线AB,CD 相交于点O,∠AOC 与∠BOD 是对顶角。
图1.2-2
求证:∠AOC=∠BOD。
证明:因为直线AB,CD 相交于点O(已知),
所以∠AOC+ ∠AOD =180°,∠BOD + ∠AOD =
180°(平角的定义)。
所以∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD(等量代换)。
所以∠AOC=∠BOD(等式的基本性质)。
①后续还会再学习4个基本事实。
9
我们把经过推理证实的真命题叫作定理。“对顶角相等”是定理。定理和基
本事实一样,也可以作为证明的依据。
一般地,几何证明过程有以下三个步骤:
①
根据题意,画出图形;
②
结合图形,写出“已知”“求证”;
③
写出“证明”。
证明:等角的余角相等。
图1.2-3
已知:如图1.2-3,∠α=∠β,∠1是∠α 的
余角,∠2是∠β的余角。
求证:∠1=∠2。
证明:因为∠1是∠α 的余角,∠2是∠β 的
余角(已知),
所以∠1+∠α=90°,∠2+∠β=90°(余角的定义)。
所以∠1+∠α=∠2+∠β(等量代换)。
因为∠α=∠β(已知),
所以∠1=∠2(等式的基本性质)。
(第1题)
(第2题)
1.阅读证明过程,并在括号内填写推理依据。
如图,B,C 是线段AD 上的两点,且AB=CD。求证:AC=BD。
证明:因为AB=CD( ),
所以AB+BC=CD+BC( )。
所以AC=BD( )。
2. 如图,∠ABC=∠A'B'C',BD 和
B'D'分别是∠ABC 和∠A'B'C'的平
分线。求证:∠ABD=∠A'B'D'。
10
(第2题)
(第3题)
(第7题)
复习巩固
1.说明下列命题是真命题:
(1)如果b
a=2,那么b=2a;
(2)如果ab=1,那么b=1
a。
2.阅读证明过程,并在括号内填写推理依据。
如图,点B 在直线AC 上,∠ABE 与∠DBC 互为余
角。求证:BE⊥BD。
证明:因为∠ABE 与∠DBC 互为余角( ),
所以∠ABE+∠DBC=90°( )。
因为点B 在直线AC 上( ),
所以∠ABE+∠EBD+∠DBC=180°( )。
所以90°+∠EBD=180°( )。
所以∠EBD=90°( )。
所以BE⊥BD( )。
3.如图,直线AB,CD 相交于点O,其中∠AOC 是直角。
求证:∠BOC,∠BOD,∠AOD 都是直角。
4.证明:等角的补角相等。
拓展延伸
5.说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除,那么这个三位数也
能被3整除”是真命题。
6.说明“两个奇数的乘积仍为奇数”是真命题。
探索创新
7.如图,∠AOB=α,OC 是∠AOB 内部可绕顶点O 任
意转动的一条射线,OD,OE 分别平分∠AOC 和
∠BOC。求证:∠DOE=1
2α。
11
徐光启(上海市历史博物馆藏)
《几何原本》与欧氏几何
大约公元前3世纪,古希腊数学家欧几里得搜集了当时的数学知识,将其系统
地整理成一部有着严密逻辑体系的数学巨著《原本》(Elements)。欧几里得在《原本》中
把逻辑学的思想方法引入几何学,把当时的几何学内容按照逻辑要求进行了编写。
所谓逻辑要求,指的是从很少的几个定义、公设、公理出发,利用演绎的方法证明
其他的结论(定理)。欧几里得所说的“公设” “公理”,是指一些原始的、明显成立
的、不需要证明的基本事实,它们以及几个基本定义是进行几何证明的基础。《原
本》所提出的公理化方法是人类思维的一场革命,
主导了其后数学发展的主要方向,并对其他学科乃
至人类文明的发展产生了巨大的推动作用。
1582年,意大利人利玛窦(Matteo
Ricci,1552—
1610)来到中国时,带来了15卷本的《原本》。1607
年,他与我国明代科学家徐光启(1562—1633)合
作把该书的前6卷译成中文,并定名为《几何原
本》,这是我国首次翻译国外数学书籍。后9卷则
是1857年由我国清代数学家李善兰和英国人伟烈
亚力译完的。
《几何原本》开启了一系列近代数学分支的大
门,成为现代数学的基础。
12
根据基本事实“两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两
条直线平行”,能够证得平行线的性质定理Ⅰ
①:两条平行直线被第三条直线所
截,同位角相等。那么,如何利用它们证明平行线的其他性质和判定定理呢?
(1)证明平行线的性质定理Ⅱ:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。
图1.3-1
已知:如图1.3-1,直线AB∥CD,直线EF 分别
交AB,CD 于点O 和P。
求证:∠AOP=∠OPD。
证明:因为AB∥CD(已知),
所以∠OPD=∠EOB(两直线平行,同位角相等)。
因为∠EOB=∠AOP(对顶角相等),
所以∠AOP=∠OPD(等量代换)。
(2)证明平行线的性质定理Ⅲ:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内
角互补(请写出证明)。
(3)证明平行线的判定定理Ⅰ:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相
等,那么这两条直线平行。
图1.3-2
已知:如图1.3-2,直线EF 分别交AB,CD 于点
O 和P,∠AOP=∠OPD。
求证:AB∥CD。
证明:因为∠EOB=∠AOP(对顶角相等),
∠AOP=∠OPD(已知),
所以∠EOB=∠OPD(等量代换)。
所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行)。
①定理证明要用反证法,将在本节最后学习此方法。
13
(4)证明平行线的判定定理Ⅱ:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内
角互补,那么这两条直线平行(请写出证明)。
观察上面(1)和(3),(2)和(4)中的两个命题,发现它们的条件和结论之间
有什么关系?
第一个命题的条件和结论分别
是第二个命题的结论和条件。
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和
条件,那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题,那
么另一个命题叫作它的逆命题。
如果一个定理的逆命题也是真命题,那么这个逆命题叫作原定理的逆定理。
原命题成立,逆命题不一定成立。
图1.3-3
如图1.3-3,∠1=∠2。求证:∠3+∠4=180°。
证明:因为∠1=∠2(已知),
所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行)。
所以∠3+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补)。
写出下列命题的逆命题,并判断这些逆命题是真命题还是假命题。
(1)对顶角相等;
(2)在同一平面内,如果两条直线没有公共点,那么这两条直线平行。
解:(1)如果两个角相等,那么这两个角是对顶角。假命题。
(2)在同一平面内,如果两条直线平行,那么这两条直线没有公共点。真
命题。
14
(第1题)
1.阅读证明过程,并在括号内填写推理的依据。
如图,直线AB∥CD,直线EF 与AB,CD 分别交于点P 和Q,AB⊥EF,垂足
为点P。求证:CD⊥EF。
证明:因为AB∥CD( ),
所以∠EPB=∠PQD( )。
因为AB⊥EF( ),
所以∠EPB=90°( )。
所以∠PQD=90°( )。
所以CD⊥EF( )。
2.写出下列命题的逆命题,并判断这些逆命题的真假。
(1)如果两个角相等,那么这两个角的补角相等;
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么内错角相等。
上学期,我们从基本事实出发说明了“三角形的内角和等于180°”的正确
性。怎样证明它呢?
图1.3-4
(1)证明:三角形的内角和等于180°。
已知:如图1.3-4,∠A,∠B,∠C 是△ABC 的三个内角。
求证:∠A+∠B+∠C=180°。
通过剪拼的方法能把三个角
拼在共同的顶点上,类似地,我
们也可以通过作平行线来实现。
图1.3-5
证明:如图1.3-5,作BC 的延长线CD,过点C
作CE∥AB。
所以∠B=∠ECD(两直线平行,同位角相等),
∠A=∠ACE(两直线平行,内错角相等)。
15
因为∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(平角的定
义),
所以∠ACB+∠A+∠B=180°(等量代换)。
这样,我们就得到三角形的内角和定理:三角形
的内角和等于180°。
你还能想到其他添加辅助线的方法吗?
为了证明的
需要,在原来图
形上添加的线叫
作辅助线,辅助
线通常画成虚线。
(2)观察图1.3-5,三角形的一个外角∠ACD 和与它不相邻的两个内角
∠A,∠B 之间有怎样的数量关系?
由(1)可知∠ACD =∠ACE+∠ECD
=∠A+∠B。
所以∠ACD>∠A,∠ACD>∠B。
由基本事实或定理直接推出的真命题叫作推论。推论可以作为定理使用。
三角形内角和定理的推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
在Rt△ABC 中,∠C=90°(图1.3-6),两个锐角∠A 与∠B 有什么数量关
图1.3-6
系? 反过来成立吗?
在Rt△ABC 中,
因为∠A+∠B+∠C=180°,
所以∠A+∠B=180°-∠C。
因为∠C=90°,
所以∠A+∠B=90°。
同样,也可以证明它的逆命
题是真命题。
16
直角三角形的性质定理 直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形的判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。
如图1.3-7,在△ABC 中,∠B=∠C,D 是BC 边上的一点。过
D 作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,D。求证:∠FDE=∠C。
图1.3-7
证明:因为DE⊥AB,DF⊥BC(已知),
所以∠DEB=90°,∠FDC=90°(垂直的定义)。
因为∠EDC 是△EBD 的外角(已知),
所以∠EDC=∠B+∠DEB(三角形的一个外角等于与
它不相邻的两个内角的和)。
因为∠EDC=∠FDE+∠FDC(已知),
所以∠FDE+∠FDC=∠B+∠DEB(等量代换)。
所以∠FDE+90°=∠B+90°(等量代换)。
所以∠FDE=∠B(等式的基本性质)。
因为∠B=∠C(已知),
所以∠FDE=∠C(等量代换)。
1.证明:四边形四个内角的和等于360°。
2.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D。求证:∠1=∠B。
(第2题)
(第3题)
3.如图,D 是△ABC 内一点,连接DB,DC。求证:∠BDC>∠A。
17
当一个命题从已知条件出发不易直接证得结论时,还有其他方法吗?
证明平行线的性质定理Ⅰ:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。
图1.3-8
已知:如图1.3-8,直线AB∥CD,直线EF 与
AB,CD 分别相交于点G,H。
求证:∠1=∠2。
证明:假设∠1≠∠2。
过点G 作直线A'B',使∠EGB'=∠2。
所以A'B'∥CD(同位角相等,两直线平行)。
因为AB∥CD(已知),
所以过点G 就有两条直线AB,A'B'与直线CD 平行。
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾。
所以∠1≠∠2的假设是不成立的。
所以∠1=∠2。
这种证明方法有怎样的特点? 它包括了哪几个步骤?
这种先提出与命题的结论相反的假设,再从假设出发推出矛盾,从而证
明命题成立的方法叫作反证法。
用反证法证明一个命题,一般有三个步骤:
①
否定结论———假设命题的结论不成立;
②
推出矛盾———从假设出发,根据已知条件,经过推理,得出一个与命
题的条件、定义、基本事实、定理等相矛盾的结果;
③
肯定结论———由矛盾判定假设不成立,从而证明命题成立。
上面,我们就是用反证法证明了平行线的性质定理Ⅰ。
18
证明:平行于同一条直线的两条直线平行。
图1.3-9
已知:如图1.3-9,直线a∥c,b∥c。
求证:a∥b。
证明:假设直线a 与b不平行,那么
a与b相交,设交点为P。
因为a∥c,b∥c(已知),
所以过点P 有两条直线与直线c平行。
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾。
所以直线a与b不平行的假设是不成立的。
所以a∥b。
1.用反证法证明:一个三角形中不可能有两个直角。
2.用反证法证明:在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°。
复习巩固
1.如图,直线c,d 与直线a,b分别相交,∠1=∠2。求证:∠3+∠4=180°。
(第1题)
(第2题)
2.如图,EC∥AD,BC∥FD。求证:∠C=∠D。
19
3.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,∠E=90°。求证:AB∥CD。
(第3题)
(第4题)
4.如图,点B,E,C 在同一条直线上,∠A=∠DEC,∠D=∠BEA,∠A 与∠D
互为余角。求证:(1)AE⊥DE;(2)AB∥DC。
拓展延伸
5.如图,五角星中∠A,∠B,∠C,∠D,∠E 的和是多少度? 请证明你的结论。
(第5题)
6.用反证法证明:三角形的三个内角中,至少有一个内角大于或等于60°。
探索创新
7.我们可以应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”探索n 边形
的内角和。
(1)探索:在图①中探索∠1+∠2与∠A 的关系,并证明你的结论;
(2)应用:在图②中运用(1)所得的结论,证明四边形的内角和为360°;
(3)推广:在图③中将(2)的思路延伸,说明n边形的内角和为(
n-2)·180°。
①
②
③
(第7题)
20
1.举例解释命题的条件和结论。
2.怎样判断一个命题是真命题还是假命题? 举例说明反例的作用。
3.什么是逆命题? 如果原命题是真命题,那么它的逆命题也是真命题吗?
请举例说明。
4.几何证明一般分为哪几个步骤?
5.反证法一般有哪几个步骤?
6.通过本章的学习,你对数学的推理与证明有了哪些认识?
复习巩固
1.写出下列命题的条件和结论,并判断是真命题还是假命题。如果是假命题,请举出反例。
(1)两个锐角的和是钝角;
(2)如果|a|>|b|,那么a>b。
21
2.写出命题“等角的余角相等”的逆命题,并指出它的逆命题是真命题还是假命题。如
果是真命题,请加以证明;如果是假命题,请举出反例。
3.证明:三角形的外角和等于360°。
4.如图,∠1=∠2,∠D=∠BEC。求证:CD∥BE。
(第4题)
(第5题)
5.如图,∠ACE 是△ABC 的一个外角,∠ABC 的平分线交AC 于点F,交∠ACE 的
平分线于点D。
求证:∠D=1
2∠A。
6.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 为AB 边上的高,∠ABC 的平分线BE 分别
交CD,CA 于点F,E。求证:∠CFE=∠CEF。
(第6题)
(第7题)
7.如图,AB∥CD。求证:∠1+∠2-∠3=180°。
拓展延伸
8.如图,直线l1∥l2,直线AD 与l1,l2 分别相交于点B,C,试写出∠α,∠β,∠γ之
间的数量关系,并加以证明。
(第8题)
(第9题)
9.如图,在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于点D。
求证:∠BDC=90°+1
2∠A。
22
10.用反证法证明:如果a+b>0,那么a,b中至少有一个大于零。
探索创新
11.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,分别作两个锐角的外角平分线,相交于点D。试
探索∠D 的度数,并证明你的结论。
(第11题)
12.如图①,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,AE⊥BC,垂足为点E。
①
②
(第12题)
(1)若∠C>∠B,证明:∠DAE=1
2(∠C-∠B);
(2)如图②,A'是线段AD 上的动点,在点A'自A 向D 运动的过程中,作A'E'⊥BC,
垂足为点E',∠DA'E'与∠B,∠C 有什么数量关系?
第2 章 全等三角形
内容提要
◆ 全等三角形
◆ 全等三角形的性质和判定
◆ 尺规作图
图形的性质
平面图形
全等三角形
全等形
……
观察一台塔式起重机。你能找到几种三角形？有形状、
大小完全一样的三角形吗？这些形状、大小都一样的三角形
就是全等三角形。一般地，两个形状、大小都一样的图形叫
作全等形。“全等”是两个图形间的一种特殊关系。
之前我们通过推理论证的方法得到了三角形内角和定理等
重要结论，本章我们将继续用推理论证的方法研究全等三角形
的性质和判定方法，并进一步认识一般的全等形。运用全等三
角形的知识，既可以解决线段或角相等的问题，也可以解决一
些现实问题，初步体会研究几何图形的基本方法。
25
本节我们从形状和大小两个方面来研究两个三角形之间的特殊关系。
图2.1-1中,①是同一个印章印出的一对北京冬奥会花样滑冰项目的图标;
②是一张正方形纸片对折后得到的一对三角形。
① ②
图2.1-1
观察①②中的每对图形,都具有什么关系?
每对图形,彼此完全一样,
能够完全重合。
你还能举出能够完全重合的平面图形的例子吗?
能够完全重合的两个平面图形叫作全等形(congruent
figures)。全等形的形
状相同、大小相等。
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形(congruent
triangles)。
用硬纸片剪出一个三角形,记为△ABC。
(1)你能在纸上画一个与△ABC 全等的三角形吗?
26
如图2.1-2,用△ABC 纸片做模板,沿着它
的边缘在纸上画出一个三角形,记为△A'B'C'。
△A'B'C'与△ABC 是全等三角形。
图2.1-2
(2)指出图2.1-2中能重合的顶点、边和角。
当两个全等三角形完全重合时,互相重合的顶点叫作对应顶点,互相重合的
边叫作对应边,互相重合的角叫作对应角。例如,在图2.1-2中,点A 与点A'是
对应顶点,AB 与A'B'是对应边,∠A 与∠A'是对应角。
在图2.1-2中,△ABC 与△A'B'C'是全等三角形,记作△ABC≌△A'B'C',
符号“≌”读作“全等于”。在表示两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字
母写在对应的位置上。
(3)两个全等三角形的对应边有什么关系? 对应角呢?
全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等,对应角相等。
如图2.1-3,△ABC≌△DEF。写出这两个三角形中相等的边和角。
图2.1-3
解:因为△ABC≌△DEF(已知),
所以AB=DE,AC=DF,BC=EF(全等三角形的对应边相等);
∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F(全等三角形的对应角相等)。
27
1.如图,将△ABC 沿BC 边所在的直线向右平移,得到△DEF。△ABC 和△DEF
全等吗? 如果全等,用符号表示,并指出对应边和对应角。
(第1题)
2.如图,将△ABC 沿直线BC 翻转180°,得到△DBC。△ABC 和△DBC 全等吗?
如果全等,用符号表示,并指出对应边和对应角。
(第2题)
(第3题)
3.如图,将△AOC 绕点O 旋转180°,得到△BOD。△AOC 和△BOD 全等吗? 如果
全等,用符号表示,并指出对应边和对应角。
复习巩固
1.如图,在国家应急通信标识中,找出全等形。你还能举出类似的实例吗?
2.如图,点B,F,C,E 在同一直线上,△ABC≌△DEF。请写出这两个三角形
的对应边和对应角。
(第1题)
(第2题)
28
3.如图,点A,B,C 在同一直线上,△ABD≌△BCE,∠A=80°,∠E=40°。求
∠C 的度数。
(第3题)
拓展延伸
4.如图,点A,D,E 在同一直线上,且△BAD≌△ACE。
(1)BD,DE,CE 之间有什么数量关系? 请证明你的结论;
(2)当BD∥CE 时,求∠BAC 的度数。
(第4题)
探索创新
5.如图,在方格纸中画出一个四边形ABCD,如何将它分成4个全等的图形?
(第5题)
29
在学习了全等三角形的概念和性质之后,我们将探索三角形全等的判定方法。
如图2.2-1,若△ABC 与△A'B'C'三条边和三个角分别相等,则它们能够
完全重合,△ABC≌△A'B'C'。
图2.2-1
两个三角形的三对边、三对角中,最少有几对元素分别相等就可判定这两
个三角形全等呢?
(1)如果两个三角形有一对元素相等,这两个三角形全等吗?
(2)如果两个三角形有两对元素分别相等,这两个三角形全等吗?
(3)如果两个三角形有三对元素分别相等,这两个三角形全等吗?
问题(1)(2)的各种情形都不能确定
两个三角形全等。问题(3)的三对元素包
括两边一角、两角一边、三对角、三对
边四种情形,需要分别探究。
如果两个三角形的两边及其夹角分别相等,这两个三角形全等吗?
30
如图2.2-2,在△ABC 和△A'B'C'中,AB=A'B',∠B=∠B',BC=
B'C',△ABC 和△A'B'C'全等吗?
图2.2-2
由于BC=B'C',∠B=∠B',把△ABC 移至△A'B'C'上,可使BC 与B'C'
重合,∠B 与∠B'重合。
因为AB=A'B',所以点A 与点A'重合,于是△ABC 与△A'B'C'重合。
所以,可以判定△ABC 与△A'B'C'全等。
基本事实 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”
或“SAS”)。
如图2.2-3,A,B 两点分别位于一个池塘的两端,小亮想测量A,
B 两点之间的距离。他设计了一个方案:先在平地上取一个能够直接到达点A,
B 的点C,连接AC,在射线AC 上取一点D,使CD=CA;连接BC,在射线
BC 上取一点E,使CE=CB。测量DE 的长,则DE 的长就是A,B 两点之间
的距离。他的方案是否正确? 为什么?
图2.2-3
解:他的方案正确。理由如下:
在△ACB 和△DCE 中,
CA=CD,
∠ACB=∠DCE,
CB=CE,
所以△ACB≌△DCE(SAS)。
所以AB=DE。
如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等,这两个三角
形全等吗?
31
图2.2-4
如图2.2-4,已知△ABC,以A 为圆心,AC 长为半
径向△ABC 内部作弧,交BC 于点C1,连接AC1。
△ABC 与△ABC1 中,AC=AC1,AB=AB,∠B
=∠B,但这两个三角形不全等。所以,两边分别相等且
其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等。
1.如图,线段AC,BD 相交于点O,OA=OD,OB=OC。求证:∠B=∠C。
(第1题)
(第2题)
2.如图,点D,B 在线段AE 上,AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠E=90°。
求证:△ABC≌△DEF。
在判定两个三角形全等的问题中,我们已经研究了两边及一角分别相等的
情况,那么两角及一边分别相等能否判定两个三角形全等呢?
(1)如果两个三角形的两角及其夹边分别相等,这两个三角形全等吗?
如图2.2-5,在△ABC 和△A'B'C'中,∠B=∠B',BC=B'C',∠C=
∠C'。△ABC 与△A'B'C'全等吗?
图2.2-5
由于BC=B'C',∠B=∠B',把△ABC 移至△A'B'C'上,可使BC 与B'C'
重合,∠B 与∠B'重合。此时,边BA 与边B'A'所在的两条射线重合。
因为∠C=∠C',所以边CA 与边C'A'所在的两条射线也重合。
32
因为C'A'(CA)与B'A'(BA)相交只有一个交点,所以点A 与点A'重合,
于是△ABC 与△A'B'C'重合。
因此可判定△ABC 与△A'B'C'全等。
(2)如果两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等,这两个
三角形全等吗? 请说明理由。
基本事实 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”
或“ASA”)。
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写
成“角角边”或“AAS”)。
如图2.2-6,在△ABC 与△DCB 中,∠A=∠D。再添加一个什么
条件,△ABC 与△DCB 全等?
图2.2-6
解:添加条件∠ABC=∠DCB。理由如下:
在△ABC 和△DCB 中,
∠A=∠D,
∠ABC=∠DCB,
BC=CB,
所以△ABC≌△DCB(AAS)。
你还能添加什么条件,使△ABC 与△DCB 全等?
1.如图,∠A=∠C。再添加一个什么条件,可以使△ABD 与△CDB 全等?
(第1题)
(第2题)
2.如图,∠1=∠2,∠3=∠4。求证:△ABC≌△ABD。
33
在由三对元素分别相等判定两个三角形全等的问题中,还有三角分别相等
及三边分别相等两种情况需要讨论。
图2.2-7
(1)三角分别相等的两个三角形全
等吗? 请画出图形,试一试。
(2)三边分别相等的两个三角形全
等吗? 请画出图形,试一试。
如图2.2-7,任意画一个△ABC。作线段B'C'=
BC,
再分别以点B',C'为圆心,以AB,AC 为半径在B'C'同侧
画弧,两弧交于点A',连接A'B',A'C',得△A'B'C'。
如果将△A'B'C'剪下来,叠放在△ABC 上,它们能完全重合吗?
基本事实 三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)。
如图2.2-8,用三根细木条制作一个三角形架子,拉动架子的边框,这个三角
形架子的形状、大小都不会发生变化。这是因为当三角形三条边的长度确定后,
它的形状和大小就确定了。我们把三角形的这种特性叫作三角形的稳定性。
三角形的稳定性在生产生活中应用广泛(图2.2-9)。请举出其他应用的例子。
图2.2-8
图2.2-9
34
如图2.2-10,PM=PN,QM=QN。
(1)求证:PQ 平分∠MPN;
(2)连接MN,判断PQ 与MN 的位置关系,并说明理由。
图2.2-10
证明:(1)在△PMQ 和△PNQ 中,
PM=PN,
QM=QN,
PQ=PQ,
所以△PMQ≌△PNQ(SSS)。
所以∠MPQ=∠NPQ,即PQ 平分∠MPN。
(2)PQ⊥MN。理由如下:
如图2.2-11,设PQ 与MN 交于点O。
在△MPO 和△NPO 中,
图2.2-11
PM=PN,
∠MPO=∠NPO,
PO=PO,
所以△MPO≌△NPO(SAS)。
所以∠POM=∠PON。
因为∠POM+∠PON=180°,
所以∠POM=∠PON=90°。
所以PQ⊥MN。
1.如图,AB=AC,AD 为△ABC 的中线。求证:△ABD≌△ACD。
(第1题)
(第2题)
2.如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE。求证:∠BAC=∠DAE。
35
直角三角形是特殊三角形,判定两个直角三角形全等,又有哪些方法呢?
两个直角三角形,除直角外,增加哪两个条件,可以判定这两个直角三角
形全等?
以下三种情况均可:
①
两直角边分别相等(SAS);
②
一直角边及其相邻或相对的锐角
分别相等(ASA或AAS);
③
一锐角和斜边分别相等(AAS)。
如果斜边和一直角边分别相等,这两个直角三角形全等吗?
图2.2-12
如图2.2-12,将一张长方形硬纸片沿虚线剪开,可得到一
张直角三角形纸片,其一条直角边长为6
cm,斜边长为8
cm。
(1)将你的直角三角形纸片与同学的进行比较,它们
能重合吗?
(2)改变上述条件中直角边和斜边的长度,再试一试。
直角三角形全等的判定定理① 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三
角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)。
图2.2-13
如图2.2-13,在四边形ABCD 中,∠A
=∠C=90°,AD=CB。求证:AB=CD。
①将在第5章中证明。
36
图2.2-14
证明:如图2.2-14,连接BD。
在Rt△ABD 和Rt△CDB 中,∠A=∠C=90°。
BD=DB,
AD=CB,
所以Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)。
所以AB=CD。
在证明两条线段相等或两个角相等时,若它们不在两个全等三角形中,可
以通过添加辅助线,构造两个全等三角形,使待证的线段或角分别是这两个全
等三角形的对应边或对应角。
1.
如图,点D 为△ABC 的边BC 的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,
F,DE=DF。求证:(1)BE=CF;(2)AB=AC。
(第1题)
(第2题)
2.如图,在△ABC 中,AD⊥BC,垂足为点D,点E 在AD 上,连接CE,BD=
ED,AB=CE。求证:AD=CD。
复习巩固
1.如图,AB=AC,点D,E 分别是AB,AC 的中点。求证:△ABE≌△ACD。
(第1题)
(第2题)
2.如图,AB=AD,∠1=∠2,AC=AE。求证:BC=DE。
37
(第8题)
3.如图,点D,C 在线段AF 上,AB∥DE,BC∥EF,AD=CF。
求证:△ABC≌△DEF。
(第3题)
(第4题)
4.如图,点A,B,C,D 在同一条直线上,EA⊥AD,FD⊥AD,垂足分别为点
A,D,EC 与FB 相交于点O,AE=DF,EC=FB。求证:AB=DC。
拓展延伸
5.如图,AB=AD,AC=AE,CB=DC=DE。求∠CFE 的大小。
(第5题)
(第7题)
6.全等三角形对应边上的中线有什么关系? 请证明你的结论。
7.如图,已知∠ABC=∠ADC=90°,AB=AD,E 为线段AC 上一点。请找出图中
所有全等的三角形,并证明。
探索创新
8.如图,AE 与BD 相交于点C,AC=EC,BC=DC,
AB=12
cm。点P 从点A 出发,沿A→B→A 方向以
3
cm/s的速度运动。点Q 从点D 出发,沿D→E 方向
以1
cm/s的速度运动。P,Q 两点同时出发,当点P
到达点A 时,P,Q 两点同时停止运动。设点P 的运
动时间为t
s,当t为多少时,线段PQ 经过点C?
38
学会用尺规作一条线段等于已知线段后,下面我们将研究用尺规作一个角
等于已知角,进而学习按要求作三角形。
已知∠AOB(图2.3-1),如何作一个角等于∠AOB?
图2.3-1
如图2.3-1,作射线O'A';以O 为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA,OB
于点C,D;以O'为圆心,OC 为半径作弧,交O'A'于点C';以C'为圆心,CD 为
半径作弧,与前弧相交于点D';过D'作射线O'B'。∠A'O'B'就是所求作的角。
为什么∠A'O'B'=∠AOB? 请给出证明。
最基本、最常用的尺规作图,称为基本作图①。“作一条线段等于已知线段”
和“作一个角等于已知角”都是基本作图。
(1)已知线段a,c和∠α(图2.3-2),如何利用直尺和圆规作△ABC,使
∠B=∠α,BC=a,AB=c?
图2.3-2
①本书的基本作图共有5种,另外3种基本作图将在第4章中学习。
39
图2.3-3
作法:如图2.3-3。
①
作∠B=∠α;
②
在∠B 的一边上截取BC=a,在另一边上
截取BA=c;
③
连接AC。
△ABC 就是所求作的三角形。
(2)你作的三角形与同学作的三角形能完全重合吗? 为什么?
根据SAS可知,这样作出的三角形都是
全等的。确定一个三角形需要的条件,与判
定两个三角形全等需要的条件是相同的。
已知∠α,∠β,线段a(图2.3-4)。用尺规作△ABC,使BC=a,
∠B=∠α,∠C=∠β。
图2.3-4
图2.3-5
作法:如图2.3-5。
①
作线段BC=a;
②
在BC 的同侧作∠CBD=∠α,∠BCE=∠β,射线BD 与CE 的交点为A。
△ABC 就是所求作的三角形。
如图,已知线段a,∠α。求作△ABC,使BC=a,∠B=∠C=∠α。
40
平行与垂直是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系。借助直尺和圆
规,怎样过直线外一点作这条直线的平行线或垂线?
(1)过直线外一点作这条直线的平行线。
已知:直线l和直线外一点P(图2.3-6)。
求作:直线l的平行线,使它经过点P。
图2.3-6
我们曾学过用三角板和直尺画平
行线的方法(图2.3-7)。能不能通过作
出一组同位角,得到一组平行线呢?
图2.3-7
图2.3-8
作法:如图2.3-8。
①
过点P 作直线MN,交直线l于点N;
②
作∠MPQ=∠PNK,其中K 为l上不与N 重合的任意一点,点Q 与
K 位于MN 同侧;
③
作直线PQ。
直线PQ 就是所求作的平行线。
41
(2)过直线外一点作这条直线的垂线。
已知:直线l和l外一点P(图2.3-9)。
求作:直线l的垂线,使它经过点P。
图2.3-9
我们在2.2节的例3中研究了图2.3-10中的问
题,即当PM=PN,QM=QN 时,PQ 与MN 具
有怎样的位置关系? 你能否从中找到作图的方法?
图2.3-10
图2.3-11
作法:如图2.3-11。
①
以点P 为圆心,在直线l的另一侧取一点K,以PK 为半径作弧,交直
线l于点M,N;
②
分别以点M,N 为圆心,大于1
2MN 的长为半径作弧,两弧交于点Q;
③
作直线PQ。
直线PQ 就是所求作的垂线。
(3)请说出上面作图方法中的原理。
42
已知直角三角形的斜边和一条直角边,求作这个直角三角形。
已知:线段m,n(m>n)(图2.3-12)。
求作:Rt△ABC,使∠C=90°,AB=m,AC=n。
图2.3-12
图2.3-13
作法:如图2.3-13。
①
作直线CE⊥CD;
②
在CE 上截取CA=n;
③
以点A 为圆心,以m 为半径作弧,交CD 于点B;
④
连接AB。
△ABC 就是所求作的直角三角形。
如图,∠ACD 是△ABC 的一个外角。利用尺规,完成下列作图:
(1)求作直线CM,使CM∥AB;
(2)求作△ABC 中BC 边上的高AN。
43
(第5题)
(第6题)
复习巩固
1.如图,已知∠ABC,∠DEF,利用尺规作图,比较它们的大小。
(第1题)
(第2题)
2.如图,已知线段a。求作△ABC,使AB=BC=CA=a。
3.如图,已知线段a。求作Rt△ABC,使∠A=90°,AB=AC=a。
(第3题)
(第4题)
4.如图,点P 在∠AOB 内部。求作∠CPD,使∠CPD=∠AOB,且PC∥OA,
PD∥OB。
拓展延伸
5.如图,已知△ABC,点M 在边BC 的延长线上。
利用尺规作图,在边AC 的延长线上作一点P,
使∠CPM=∠B。
探索创新
6.如图,在△ABC 中,∠C=90°,点D 是AB 边上的一点。
(1)利用尺规在AB 的上方确定点M,使
DM⊥AB,且DM=AC;
(2)在(1)中,利用尺规过点M 作直线ME,
使ME∥BC,且ME 交AB 于点E;
(3)判断(2)中的△ABC 与△MED 是否全等,
并说明理由。
44
1.什么是全等三角形? 全等三角形有哪些性质?
2.判定两个三角形全等的方法有哪些? 请举例说明。
3.利用尺规,你能用几种方法作一个三角形与已知三角形全等?
4.如何利用基本作图方法,过直线外一点作已知直线的平行线或垂线?
5.探究三角形全等判定方法的过程中蕴含了哪些数学思想和方法?
6.本章的研究方法为学习新的几何图形之间的关系积累了哪些经验?
复习巩固
1.已知图中的两个三角形全等,求∠α的度数。
(第1题)
(第2题)
2.如图,AC=BD,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为点E,F,AF=BE。
求证:△ACE≌△BDF。
45
3.如图,AB∥DE,AC=DE,∠ECB=70°,∠D=110°。求证:△ABC≌△EAD。
(第3题)
(第4题)
4.如图,E 是AC 上一点,∠BAC=∠ECD=90°,AB=CE,BC=ED,BC 与ED 相
交于点O。求证:ED⊥BC。
5.如图,D 是△ABC 的边AB 上一点,DF 交AC 于点E,DE=FE,FC∥AB。若
AB=8,CF=6。求BD 的长。
(第5题)
(第6题)
6.如图,直角三角形ABC 中,∠ABC=90°,AB=CB,直角三角形ADC 中,∠ADC
=90°,连接BD。在线段AD 上取一点E,使得线段EB⊥BD,垂足为点B。求证:
BE=BD。
7.如图,已知∠α,线段m。求作△ABC,使AB=AC=m,∠A=∠α。
(第7题)
(第8题)
8.
如图,点D,E 在BC 上,AB=AC,AD=AE。求证:∠BAD=∠CAE。
9.如图,△ABC中,AB=AC,AD 平分∠BAC,∠DAC=∠DCA。求证:∠BDC=2∠BAC。
(第9题)
46
拓展延伸
10.如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=1
4AB,AF=1
4AC。当O 沿
AD 滑动时,雨伞张开或者收拢。然而不论张开还是收拢,伞柄AD 始终平分同一
平面内两条伞骨所组成的∠BAC。请解释其中的道理。
(第10题)
(第11题)
11.如图,已知△ABC 和线段DE,BC=DE。在平面内找出一点F,使以D,E,F 为
顶点的三角形与△ABC 全等。满足条件的点F 共有几个? 请用尺规作出所有满足条
件的点F。
探索创新
12. (1)如图①,在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点E 在AD 的延长线上,且
AD=DE。△ACD 与△EBD 全等吗? 为什么?
(2)已知线段b,c,m(图②),求作△MNP,使MP=b,MN=c,NP 边上的中
线MQ=m。
① ②
(第12题)
①
②
(第13题)
13.如图,将等腰直角三角板ABC 和ADE 的直角顶点重合。连接BD,CE,取CE 的
中点M。
(1)如图①,当B,A,D 三点共线时,线段AM 与BD 有什么关系?
(2)如图②,在三角板ABC 和ADE 转动的过程中(除点A 外无重叠部分),判断
(1)中的结论是否仍然成立,并证明。
第3 章 分式
内容提要
◆ 分式及其基本性质
◆ 分式的运算
◆ 分式方程
◆ 分式与比
数与式
代数式
分式
整式
……
“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还。两岸猿声啼不住，
轻舟已过万重山。”这是我国唐代伟大诗人李白所作的千古名
篇——《早发白帝城》。
759 年，李白因罪被流放夜郎，途经白帝城时，忽然收
到赦免的消息。诗人大喜，立即乘舟东下江陵，并乘兴创作
此诗。
如果李白乘坐的船从白帝城启航到达江陵，航程为s km，
用时t h，那么该船航行的平均速度是多少？
如果该船从江陵返回白帝城，多花了a h，那么该船逆流
航行时的平均速度是多少？
为了刻画上述数量关系，本章将引入一类新的代数式——分
式。通过类比分数的学习过程，逐步研究分式及其运算、分式方
程、分式与比的关系等，帮助我们更好地解决实际问题。
49
章引言的问题中,该船顺流航行的平均速度可以表示为s
t
km/h,逆流航行
的平均速度可以表示为s
t+a
km/h。
(1)长方形ABCD 的面积为10
cm
2,AB 长为x
cm,BC 长为
cm;
(2)用50元购买一种纪念徽章,在甲商店能购买n 枚,在乙商店能多购买
5枚,乙商店该纪念徽章的单价为
元;
(3)小莹读一本书,前m 天平均每天读20页,后n 天平均每天读30页,
这(m+n)天,小莹平均每天读
页;
(4)x,y 的和与x 的商可以表示为
。
观察代数式s
t, s
t+a,10
x, 50
n+5,20m+30n
m+n
和x+y
x ,它们是整式吗?
有什么共同特点?
它们都不是整式,都表示两个
整式相除,且分母中都含有字母。
50
如果把A÷B 写成A
B的形式,其中A,B 都是整式,且B 中含有字母,
那么代数式A
B就叫作分式(
fraction)。其中A 叫作分式的分子,B 叫作分式的
分母。
由于除数不能为零,所以分式的分母不能为零。例如,在分式x+y
x
中,当
x≠0时,该分式才有意义。
已知分式4a-3
3-2a。
(1)
当a满足什么条件时,该分式有意义?
(2)当a取什么值时,该分式的值为0?
解:(1)要使分式4a-3
3-2a有意义,则3-2a≠0,即a≠3
2。
所以当a≠3
2时,分式4a-3
3-2a有意义。
(2)根据除法的意义,当分式的分子为0,且分母不为0时,分式的值为0。
由4a-3=0,得a=3
4。
此时,3-2a=3-2×3
4≠0。①
所以当a=3
4时,分式4a-3
3-2a的值为0。
1.下列式子中,哪些是整式? 哪些是分式?
3x
5,-3
x,m
2-1
4
,2-x
x ,a+b
a
2-b
2。
2.当x 满足什么条件时,下列分式有意义? 当x 取什么值时,下列分式的值为0?
(1) x
x+1; (2)3x-1
x-3。
①在本书中,若无特别说明,出现的分式均有意义。
51
类比分数,我们展开分式的学习。
(1)下列各组中两个分数是否相等? 为什么?
①
2
5
和
2×3
5×3;
②
4
7
和
4×(-2)
7×(-2);
③
5
-15
和
5÷(-5)
(-15)÷(-5)。
(2)你能用字母表示分数的基本性质吗?
(1)分式A
B的值与A×3
B×3的值有什么关系? 与A÷(-5)
B÷(-5)的值呢?
(2)若M (M≠0)为整式,A
B,A·M
B·M ,A÷M
B÷M 的值有什么关系?
相等。由于字母表示数,因
此数的运算律、运算法则在式的
运算中仍然成立。
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变,
即 A
B=A·M
B·M ,A
B=A÷M
B÷M (其中M 是不等于零的整式)。
52
在下面的括号内填上适当的整式,使等式成立:
(1)2y
x = 2xy
( ); (2)a-b
a+b=
( )
(
a+b)
2; (3)-a
2b
a
3 =-
( )
a
。
解:(1)等号右边的分子2xy,等于等号左边的分子2y 乘x,
2y
x =2y·x
x·x =2xy
x
2 ,
所以,括号内应填入x
2。
(2)等号右边的分母(
a+b)
2,等于等号左边的分母(
a+b)乘(
a+b),
a-b
a+b=
(
a-b)(
a+b)
(
a+b)(
a+b)=a
2-b
2
(
a+b)
2,
所以,括号内应填入a
2-b
2。
(3)等号右边的分母a,等于等号左边的分母a
3 除以a
2,
-a
2b
a
3 =-a
2b÷a
2
a
3÷a
2 =-b
a,
所以,括号内应填入b。
1.判断下列各组分式是否相等,并说明理由。
(1)m-n
a
与2m-2n
2a
; (2)a+ab
ac 与b+1
c 。
2.下列等式成立吗? 为什么?
(1) x
x+y= -x
x-y
;
(2)n+m
n-m=m+n
m-n。
3.在下列括号内填上适当的整式,使等式成立。
(1)16a
2x
( )=a
x;
(2)a-3
a+3=
( )
a
2-9
。
4.分式-b
a , b
-a,-b
a有什么不同? 它们的值相等吗? 你得出了什么结论?
53
复习巩固
1.从代数式x,x-2和5中,任意取出两个,把其中的一个作为分子,另一个作为
分母,将所得到的式子分别填入下面的两个圈中(将各式用逗号隔开):
(第1题)
2.求下列分式的值:
(1)x-3
2x+3,其中x=5;
(2)x+3y
y-x ,其中x=-4,y=-2。
3.当x 取什么值时,下列分式有意义? 当x 取什么值时,下列分式的值是0?
(1)2x-36
x
;
(2)x+6
5x-1。
4.根据x 的值,填写下列表格中对应的分式的值:
x 的值
1
x
1
x-1
x+3
x+2
x
2-4
x-2
-2
无意义
0
1
2
5.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母的最高次项的系数成为正数:
(1) n
-5m;
(2)--a
2
b ;
(3) 2-x
-x
2+3
;
(4)-5+x-x
2
3+x
。
54
6.在下列括号内填上适当的整式,使等式成立:
(1)2p
10q=
( )
5q
; (2)x+1
x
2-1=
1
( );
(3)a
3b=
( )
6ab ;
(4)
m
m-2n=m
2-2mn
( )。
7.对分式28
x-1可以这样解释:某商品每件售价为x 元,现商家为了促销每件降价
1元,小亮用28元买了28
x-1件。你能给出使分式28
x-1有实际意义的其他解释吗?
拓展延伸
8.甲、乙两工程队要清理350
m的河道。甲队每小时能清理a
m河道,乙队每小时
能清理b
m河道。
(1)若a>b,如何表示两队单独清理此河道所用的时间差?
(2)甲、乙两队分别从河道两端同时开始工作,多久能完成河道的清理?
9.不改变分式的值,使下列各组中两个分式的分母相同:
(1)2a-b
a-b 与a-2b
b-a ;
(2) a+b
(
a-b)
2与2b-a
(
b-a)
2。
10.求下列分式的值:
(1)3x-y
x+4y
,其中x=2y,且x≠0;
(2)
3x-3
2x+5y-2,其中x-y=1,y≠0。
探索创新
11.我们知道正三角形每个角都是60°,正方形每个角都是90°……随着正多边形边数
的增多,每一个内角的变化趋势如何? 为什么?
(第11题)
55
我们学过分数的约分,分式可以约分吗?
(1)化简下列分式:
①
a
2
2a
3=
; ②
xy
4y
2=
;
③
2m
m
2+3m=
;
④
a+1
a
2-1=
。
(2)上面分式化简的依据是什么?
(3)上面四个能化简的分式有什么共同特征? 什么样的分式需要化简? 如
何将分式化简?
分式的分子、分母中有公因式时,
可以根据分式的基本性质,使分子、
分母同除以这个公因式,将分式化简。
利用分式的基本性质,把一个分式的分子和分母中除1以外的公因式约
去,叫作分式的约分。
约分:
(1)-2x
2y
4axy
3 ; (2)a
2b+ab
2
a
2+ab
。
解:(1)-2x
2y
4axy
3 =- 2xy·x
2xy·2ay
2=- x
2ay
2。
(2)a
2b+ab
2
a
2+ab =ab(
a+b)
a(
a+b)=b。
当分式的分子与
分母是多项式时,应
当先把多项式进行因
式分解,然后再约去
它们的公因式。
56
一个分式的分子与分母,如果除1以外没有其他的公因式,我们称这个分
式为最简分式。
计算:
(1)-9a
2b
2÷(-3ab
2); (2)(
a
2-4)÷(
a
2-4a+4)。
解:(1)-9a
2b
2÷(-3ab
2)=-9a
2b
2
-3ab
2 =3a。
(2)(
a
2-4)÷(
a
2-4a+4)= a
2-4
a
2-4a+4=
(
a+2)(
a-2)
(
a-2)
2
=a+2
a-2。
把整式的除法转化成分式的形式,可
以利用约分进行运算。
分式约分的结果应当是最简分式或整式。
在下列整式中任意选择两个做除法运算,有几组运算的结果是整式?
a
2-6ab+9b
2,a
2-9b
2,a-3b。
用整式A(含有字母)除以整式B(含有字母,且不等于0),如果所得的结果
是整式,我们就称整式A 能被整式B
“整除”,此时,
A 与B 应满足什么条件?
1.约分:
(1)32a
3
20a
2b
; (2)2a+a
2
2b+ab。
2.下列约分正确吗? 如果不正确,请说明理由。
(1)x+a
x+b=a
b;
(2)x+a
x+b=1+a
1+b;
(3)a
2-b
2
a-b =a+b;
(4)5a-15
10a =a-15
2a 。
3.下列哪些分式是最简分式?
①
a+b
a
2+b
2; ②
a+b
a
2-b
2; ③
3x
12y
; ④
2a+b
a+b 。
57
类比分数的乘法与除法,我们学习分式的乘法与除法。
坚持晨跑一年后,小亮跑完1
000
m的平均速度比过去快20%,那么小亮
现在跑1
000
m所用的时间是一年前所用时间的80%吗?
设小亮一年前的平均速度是每分钟x
m,那么小亮现在的平均速度是每分钟
1.2x
m。
一年前小亮跑1
000
m用时1
000
x
min,现在用时1
000
1.2x
min,二者之比用两
个分式的商1
000
1.2x÷1
000
x 来表示。
如何进行1
000
1.2x÷1
000
x 的运算?
这是分式的除法运算。分式的乘法与除法能否类比分数的乘法与除法进行
运算?
1
000
1.2x÷1
000
x =1
000
1.2x· x
1
000=
1
000x
1.2x×1
000= 1
1.2=5
6。
所以小亮现在跑1
000
m 所用的时间是一年前所用时
间的5
6,这个比值不等于80%。
分式的乘法与除法可以类比分数的乘法与除
法进行运算,类似地,我们也可以计算b
2
2a·c
3b。
58
分式的乘法、除法法则
两个分式相乘,把分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母,即
a
b·c
d=a·c
b·d。
两个分式相除,把除式的分子与分母颠倒位置后,再与被除式相乘,即
a
b÷c
d=a
b·d
c=a·d
b·c。
计算:
(1)2n
3m
2·4n
5m;
(2)4y
3x÷16y
2
-9x
2。
解:(1)2n
3m
2·4n
5m= 2n·4n
3m
2·5m=8n
2
15m
3。
(2)4y
3x÷16y
2
-9x
2=4y
3x·-9x
2
16y
2 =-36x
2y
48xy
2=-3x
4y
。
计算:
(1)a+1
a-1· a
a
2-1
;
(2)x
2-4xy+4y
2
x+2y
÷(4y-2x)。
解:(1) a+1
a-1· a
a
2-1
=a+1
a-1·
a
(
a+1)(
a-1)
=
a
(
a-1)
2。
(2) x
2-4xy+4y
2
x+2y
÷(4y-2x)
=
(x-2y)
2
x+2y
·
1
2(2y-x)
=- x-2y
2(x+2y)
=-x-2y
2x+4y
。
在分式的乘法运
算过程中,如果分子、
分母有除1以外的公
因式,可先进行约分,
再相乘。
59
如何进行分式的乘方运算?
观察下列算式,并填空:
a
b
2
=a
b·a
b=a
2
b
2, a
b
3
=a
b·a
b·a
b=
, a
b
4
=
,…
你能归纳出分式乘方的规律吗?
分式乘方就是把分式的分子、分母各自乘方,
即
a
b
n
=a
n
b
n(
n为正整数,其中b≠0)。
计算:
(1) - b
2a
2
3
;
(2) y
2
6x
2
2
÷y
2
4x。
解:(1) - b
2a
2
3
=- b
3
(2a
2)
3=-b
3
8a
6。
(2) y
2
6x
2
2
÷y
2
4x= y
4
36x
4÷y
2
4x= y
4
36x
4·4x
y
2=y
2
9x
3。
分式乘方后幂的符号确定与分数
乘方的符号确定方法一致。
1.计算:
(1)8x
9y
·3y
2x
2; (2)2a
3bc·5bc
2
8a ;
(3)12ab
5x ÷4ab
7xy
;
(4)3xy÷2y
2
3x。
2.计算:
(1)a+3
a-3·
1
a
2+3a
;
(2)2a-4
x
÷a
2-4
2x 。
3.计算:
(1) x
2
y
5
;
(2) x
3y
2
z
2
· yz
x
2
3
。
60
复习巩固
1.约分:
(1)x
2y
2xy
2; (2)a
2b+ab
2
ab
;
(3)
2ab+b
2
4a
2+b
2+4ab
;
(4)m
2-6mn+9n
2
m
2-9n
2
。
2.计算:
(1)5ab
2÷(-15abc);
(2)(x
2-1)÷(x
2+2x+1);
(3)3xy
5a ·7ab
6xy
;
(4)2x
5y÷-3x
4y
。
3.计算:
(1)x
2+x
x
· 2x
x+1;
(2)2x
2÷ x
y-1·y-1
2x ;
(3)m
2-2m+1
4-m
·m-4
m
2-1
;
(4)2a-2b
a+b ÷
a
2-b
2
a
2+2ab+b
2。
4.计算:
(1) 3x
4y
3
;
(2) -x
2
y
2
÷ -y
x
3
;
(3)-
2s
-mn
3
÷ -ns
4
m
;
(4)
2x
3x+y
2
·9x
2-y
2
4x
3
。
5.先化简下列分式,再求分式的值:
(1)
3a-6b
a
2-4ab+4b
2,其中a=2,b=3;
(2)-x
2+2xy
6y
2-3xy
,其中x=2,y=3。
拓展延伸
6.在A商店中用a元可以购买
b件相同的商品,在B商店中再加10元可以购买两
倍数量的同款商品,这款商品在A商店的单价是在B商店单价的多少倍? B商店
的这款商品是否比A商店便宜?
61
7.对于问题“当a满足什么条件时,分式a
2-25
a-5 有意义”,小亮的解答过程如下:
解:因为a
2-25
a-5 =
(
a+5)(
a-5)
a-5
=a+5,
所以,对任意实数a,分式a
2-25
a-5 都有意义。
你认为小亮的解答正确吗? 如果不正确,应当怎样解答? 请说明理由。
8.计算:
(1) a-b
ab
2
·
a
a
2-b
2;
(2)
a+2
a
2-2a+1
·a
2-4a+4
a+1
÷a
2-4
a
2-1
;
(3)
x
2-1
x
2-2x+1÷x+1
x-1·1-x
1+x;
(4)x
4-y
4
x-y ÷ x
2+y
2
x+y
2
。
探索创新
9.已知A=x+2y。
(1)写出两个分式B 与C,使B·C=A;
(2)写出一个整式D 和一个分式F,使D÷F=A。
62
我们已经学习了分式的乘法与除法,如何进行分式的加法与减法运算呢?
甲制作100个零件和乙制作200个零件均需用m 天。甲制作3天后,乙又
单独制作1天,两人共制作了多少个零件?
甲1天制作100
m 个零件,3天制作300
m 个零件;乙1天制作200
m 个零件。两人
共制作300
m +200
m
个零件。
如何计算300
m +200
m ?
这就像我们之前学过的同分母分数
的加法:300
m +200
m =300+200
m
=500
m 。
同分母分式加减法法则
同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减,即
a
c±b
c=a±b
c 。
63
计算:
(1)y
3x+5y
3x; (2)m
2-n
2
mn
-m
2+n
2
mn
。
解:(1) y
3x+5y
3x
=y+5y
3x
=6y
3x
=2y
x 。
(2) m
2-n
2
mn
-m
2+n
2
mn
=
(m
2-n
2)-(m
2+n
2)
mn
=m
2-n
2-m
2-n
2
mn
=-2n
2
mn
=-2n
m 。
计算:
(1)a+2
2a-3+3a-8
2a-3;
(2) x
2
x-y+ y
2
y-x。
解:(1) a+2
2a-3+3a-8
2a-3
=
(
a+2)+(3a-8)
2a-3
=4a-6
2a-3
=2(2a-3)
2a-3
=2。
(2) x
2
x-y+ y
2
y-x
= x
2
x-y- y
2
x-y
=x
2-y
2
x-y
=
(x+y)(x-y)
x-y
=x+y。
分式运算的结果要化为最简分式或整式。
1.计算:
(1)3y
x +y
x; (2)a+3
3a+2-2a-1
3a+2。
2.计算:
(1) 2b
a-4+ 3b
4-a;
(2)2x-z
x-y -z-2y
y-x 。
64
如何类比异分母分数的加减运算,进行异分母分式的加法与减法运算呢?
长方形ABCD 的面积保持10
cm
2 不变,若AB 的长x
cm增加2
cm,BC
的长会减少多少?
BC 的长原为10
x
cm,减少后为10
x+2
cm,减少的数量为10
x- 10
x+2
cm。
10
x- 10
x+2是异分母分式的减法运算,应当如何进行呢?
类比异分母分数的加减运
算,只需化成同分母分式的加
减运算即可。
(1)
如何把10
x, 10
x+2化成同分母的分式?
10
x=10(x+2)
x(x+2), 10
x+2= 10x
x(x+2)。
关键是找到公分母。
(2)分式3
2x
2和a
3xy
, 1
x
2-1
和
1
x
2+x
,它们的公分母分别是什么?
65
这种不改变每个分式的值,把几个异分母的分式化成同分母分式的变形
叫作分式的通分。
通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公
分母。这样的公分母叫作最简公分母。
把下列各组分式通分:
(1) y
2x
2, 1
3xy
, 3x
4xy
2;
(2)
n
2(m+4), -5mn
m
2-16
。
解:(1)分式y
2x
2, 1
3xy
, 3x
4xy
2的最简公分母是12x
2y
2。
y
2x
2= y·6y
2
2x
2·6y
2= 6y
3
12x
2y
2;
1
3xy= 1×4xy
3xy·4xy= 4xy
12x
2y
2;
3x
4xy
2= 3x·3x
4xy
2·3x= 9x
2
12x
2y
2。
(2)因为m
2-16=(m+4)(m-4),所以分式
n
2(m+4)与-5mn
m
2-16
的最简公
分母是2(m+4)(m-4)。
n
2(m+4)=
n(m-4)
2(m+4)(m-4);
-5mn
m
2-16=-
10mn
2(m+4)(m-4)。
当分母是多项式
时,应先将分母分解
因式,以便于找出它
们的最简公分母。
1.把下列各组分式通分:
(1)b
2a,a
3b; (2)1
a,1
b,1
c;
(3)
5
2x+4,3
2x;
(4) x-1
x(x+1), 1
x
2-1
。
66
2.填写下列表格:
通分前的分式
最简公分母
通分后的分式
3
4xy
5
2x
2y
1
2x-1
1
2x+1
x
2x-1
x+1
4x
2-1
学习了分式的通分后,我们就可以进行异分母分式的加减运算了。
(1)如何进行10
x- 10
x+2的运算?
类比异分母分数的加减运算,10
x - 10
x+2
=10(x+2)
x(x+2)- 10x
x(x+2)=10x+20-10x
x(x+2) =
20
x(x+2)。
(2)你能计算1
x
2-1+
1
x
2+x
,并概括出异分母分式加减法的运算法则吗?
异分母分式加减法法则
异分母的分式相加减,先把它们通分,变为同分母分式,再加减,即
a
b±c
d=ad
bd±bc
bd=ad±bc
bd
。
67
计算:
(1) 1
2ab+ 1
6bc;
(2)a+b
3ab -a-b
5b
2 。
解:(1) 1
2ab+ 1
6bc= 3c
6abc+ a
6abc=a+3c
6abc 。
(2) a+b
3ab -a-b
5b
2
=5b(
a+b)
15ab
2
-3a(
a-b)
15ab
2
=5b(
a+b)-3a(
a-b)
15ab
2
=5b
2+8ab-3a
2
15ab
2
。
计算:
(1) 12
m
2-9+ 2
3-m;
(2) x
x+1- 1
x-1-1。
解:(1) 12
m
2-9+ 2
3-m
=
12
(m+3)(m-3)- 2
m-3
=
12
(m+3)(m-3)-
2(m+3)
(m+3)(m-3)
= 12-2(m+3)
(m+3)(m-3)
=
6-2m
(m+3)(m-3)
=
-2(m-3)
(m+3)(m-3)
=- 2
m+3。
68
(2) x
x+1+ 1
x-1-1
=
x(x-1)
(x+1)(x-1)+
x+1
(x+1)(x-1)-
(x+1)(x-1)
(x+1)(x-1)
=x
2-x+(x+1)-(x
2-1)
(x+1)(x-1)
= 2
x
2-1
。
分式与整式相加减,可以把整式看
作分母为1的分式,参与通分。
一个分式可以写成两个代数式和的形式。请尝试将分式6+m
1+m写成两个代数
式和的形式。如果6+m
1+m的值是整数,你能求出整数m 的值吗?
1.计算:
(1)1
R1+1
R2
; (2)y
x-x
y
;
(3) 4
x-2+ 2
x+2;
(4) 1
m+n-
m
m
2-n
2。
2.填空:已知某室内游泳池的容积为V
m
3。
(1)如果每小时向空池内注水a
m
3,那么
小时可以把游泳池注满;
(2)在(1)的条件下,如果每小时多注水b
m
3,那么可以提前
小时把游
泳池注满。
69
计算:
(1) x
x-y+ x
2y
x
2-y
2÷ x
2
x+y
; (2)
2
x-3-1
x
÷ x+3
x
2-3x
。
解:(1) x
x-y+ x
2y
x
2-y
2÷ x
2
x+y
= x
x-y+
x
2y
(x+y)(x-y)·x+y
x
2
= x
x-y+ y
x-y
=x+y
x-y
。
(2)
2
x-3-1
x
÷ x+3
x
2-3x
= x+3
x(x-3)÷ x+3
x
2-3x
= x+3
x(x-3)·x(x-3)
x+3
=1。
先化简,再求值:
a-1
a-2÷a+ 1
a-2
,其中a=4。
解: a-1
a-2÷a+ 1
a-2
=a-1
a-2÷ a
2-2a
a-2 + 1
a-2
=a-1
a-2÷a
2-2a+1
a-2
=a-1
a-2· a-2
(
a-1)
2
= 1
a-1。
分式混合运算
的顺序与有理数混
合运算的顺序相同。
当a=4时,原式=1
3。
70
1.计算:
(1)x+1
x-3÷x
2+2x+1
x
2-9
- 3
x+1;
(2)
a
a
2-b
2- 1
a+b
÷ b
b-a。
2.先化简,再求值:
2
2x-1· 2-1
x
+
x
x
2-2x÷ 3x
x
2-4
,其中x=4。
复习巩固
1.把下列各组分式通分:
(1) 3
2xy
, 1
6x
2; (2) a
4m
2n
, b
6mn
2;
(3) a
a+b, b
a-b;
(4) a
a
2-9
,
1
a
2+6a+9
。
2.计算:
(1)a+b
a +a-b
a ;
(2)3x-1
xy -1
xy
;
(3) a
3
a-1+ a
1-a;
(4) 3a
a-4b+a+b
4b-a。
3.计算:
(1)b-a
a +a-b
b ;
(2)x+1
x + 1
x-1;
(3)
2xy
x
2-2xy+y
2- y
x-y
;
(4) m
2
m+1-m+1。
4.计算:
(1)
1
x-4+ 1
x+4
÷
2
x
2-16
;
(2) xy
2
x
2-y
2÷
1
x-y- 1
x+y
;
(3) a+2
a
2-2a-
a-1
a
2-4a+4
÷a-4
a ;
(4) 1- x
x-1
÷
1
x
2-x
。
71
5.先化简,再求值:
1-a-1
a ÷
a
a+2-
1
a
2+2a
,其中a=2。
拓展延伸
6.某游轮在静水中航行的平均速度为v
km/h,长江水流的平均速度为a
km/h,武
汉到上海的水上距离为s
km。如果这艘游轮从武汉到达上海后停留6
h,然后返
回武汉,那么往返一次所用的时间是多少小时?
7.数学教材每本厚a
mm,语文教材每本比数学教材厚2
mm。一摞数学教材总高度
为b
cm,比一摞语文教材的总高度高5
cm,请问数学教材比语文教材多多少本?
8.已知A= 4
x
2-4
,B= 1
x+2+ 1
2-x,以下三个结论哪些是正确的? 为什么?
①
A=B; ②
AB=1; ③
A+B=0。
9.已知x=a+b-2,y=a
2+2ab+b
2。
(1)用x 表示y;
(2)求代数式x-4
x
·x
y+ 4
x+2的值。
探索创新
10.已知
5x-4
(x-5)(x+2)= m
x-5+ n
x+2,求m,n的值。
11.
A,B两地之间是一段坡路,C,D两地之间是一段平路,两段路程相等。小亮
骑车在平路的速度为x
m/min,上坡速度减少y
m/min,下坡速度增加
y
m/min。若小亮从A地到B地再返回A地所需时间为t1,小亮从C地到D地
再返回C地所需时间为t2,请比较t1 与
t2 的大小关系,并说明理由。
72
在用方程解决一些实际问题时,会遇到一些分母中含有未知数的方程,这
就是我们本节要学习的分式方程。
(1)智能机器人产业发展迅猛,某公司研制出A,B两种搬运机器人,A
型机器人比B型机器人每小时多搬运30
kg材料,且A型机器人搬运1
000
kg
材料所用的时间与B型机器人搬运800
kg材料所用的时间相同。A型机器人每
小时搬运多少材料?
(2)为防止水土流失,某村计划在荒坡上种树960棵。在某中学志愿团队
的支援下,实际每天种树的棵数是原计划的2倍,结果提前4天完成任务。原
计划每天植树多少棵?
上述问题中哪些是已知量,哪些是未知量? 有哪些等量关系?
问题(1),设A 型机器人每小时搬运x
kg材料,那么A 型机器人搬运
1
000
kg材料所用的时间是
h,B型机器人搬运800
kg材料所用的时间
是
h,根据等量关系列出方程 ①。
问题(2),设原计划每天植树x 棵,那么原计划完成任务需要
天,
实际完成任务需要
天,根据等量关系列出方程 ②。
所列出的方程1
000
x = 800
x-30①,960
x -960
2x=4②有什么共同特征?
像这样,分母中含有未知数的方程叫作分式方程(
fractional
equation)。
73
如何解方程1
000
x = 800
x-30?
如果能把这个方程的分母
去掉,就可以把它化成整式方
程了。
将方程两边都乘x(x-30),得
1
000(x-30)=800x。
③
解方程③,得
x=150。
检验:把x=150代入方程①,左边=右边。
所以,x=150是原方程的解。可知A型机器人每小时搬运150
kg材料。
通过去分母,将分式方程转化为整式方程,借助整式方程可求得分式方程
的解。
1.下列关于x 的方程中,哪些是分式方程?
(1)1
x=-2; (2)2-x
3 -x-4
5 =0; (3) 1
x-1-6=0。
2.判断x=3是不是方程x
x-2+ 2
x-2=5的解。
3.解方程960
x -960
2x=4。
74
解分式方程与解整式方程有哪些区别和联系?
我们以方程x-8
x-7- 1
7-x=8的求解过程为例。
方程两边都乘(x-7),得
x-8+1=8(x-7)。
解方程,得
x=7。
检验:当x=7时,分母x-7=0。
因此x=7不是原方程的解。
所以原方程没有解。
事实上,原方程可以写成
x-8
x-7+ 1
x-7=8,
即x-7
x-7=8。由此看出,这个方程无解。
在分式方程变形的过
程中得到的适合整式方
程,但不适合原方程的解
叫作分式方程的增根。
回顾方程1
000
x = 800
x-30和x-8
x-7- 1
7-x=8的求解过程,请总结解分式方程
的一般步骤。
解分式方程的一般步骤
75
解方程x-2
x+2- 8
x
2-4=1。
解:方程两边都乘(x+2)(x-2),得
(x-2)
2-8=(x+2)(x-2)。
整理,得
-4x=0。
解方程,得
x=0。
检验:当x=0时,(x+2)(x-2)≠0。
所以原方程的解是x=0。
1.解分式方程2
x+1+ 3
x-1= 6
x
2-1
时,以下三个步骤中错误的一步是
。
①
方程两边都乘(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6;
②
解这个整式方程,得x=1;
③
原分式方程的解为x=1。
2.解下列方程:
(1) 3
x-2= 2
x-3; (2)
3
2x-4- x
x-2=1
2;
(3) 2
x-2+ 6x
x
2-4= 3
x+2;
(4) 2
x-2= -x
2-x-1。
分式方程是刻画现实世界数量关系的重要模型。
A,B两市之间的公路里程约为240
km,高速铁路里程约为320
km。已知
高速列车平均速度是汽车平均速度的4倍,小亮从A市到B市乘坐高速列车比
乘坐汽车节省2小时。求高速列车的平均速度。
问题中有哪些已知量,哪些未知量?
76
设汽车的平均速度为x
km/h,可以得到:
路程/km
速度/(km/h)
时间/h
乘坐汽车
x
乘坐高速列车
如何表达它们之间的等量关系?
这个问题中的等量关系:高速
列车运行速度=汽车行驶速度的
4倍。
这个问题中的另一个等量关系:汽车
所用时间-高速列车所用时间=2
h。
解:设汽车平均速度为x
km/h。根据题意,得
240
x -320
4x=2。
解方程,得x=80。
经检验,x=80是原分式方程的解。
因为4x=4×80=320,
所以,高速列车的平均速度为320
km/h。
若以汽车所用时间来设未知数,如何列方程解决问题?
设汽车所用时间为x
h,可列出方程320
x-2=4×240
x 求解。
77
分式方程解决实际问题的一般步骤如下:
某市为解决城市内涝的难题,计划改造一段长3
600
m的老街道地下
管网。施工过程中,实际每天的施工效率比原定计划提高了20%,按此进度可以
比原计划提前10天完成任务。求实际施工时,每天改造管网的长度。
这个问题中的等量关系:
实际施工效率=(1+20%)×原计划施工效率,
实际施工天数=原计划天数-10。
解:设原计划每天改造管网x
m。根据题意,得
3
600
(1+20%)x=3
600
x -10。
解方程,得
x=60。
经检验,x=60是原分式方程的解。
因为
60×(1+20%)=72,
所以,实际每天改造管网72
m。
1.某日,小亮前往图书馆,总路程为18
km。他先步行了2
km,然后乘公交车前往,
共用1
h到达。如果公交车的速度是小亮步行速度的8倍,求小亮步行的速度。
2.甲制作90个零件所用的时间和乙制作120个零件所用的时间相同。已知两人1
h
共制作35个零件,求甲、乙1
h各制作多少个零件。
78
复习巩固
1.解下列方程:
(1) x
6+x=1
4; (2)2
x+ x
x+3=1;
(3) x
x
2-9= 1
x+3;
(4)1+x
2
x-2=x-2。
2.解下列方程:
(1) x
2
4-x
2= 1
x+2-1;
(2)4x+2
x
2+x= 3
x+1-1
x。
3.若方程a
x- 3a
3-x=5的解是x=2,求a的值。
4.当x 为何值时,分式3
x与2
6-x的值互为相反数?
5.小亮从图书馆借了一本书,共300页,借阅期限是15天。当他读完一半时,发现
要用15天读完全书,以后平均每天的读书页数必须要增加1倍。小亮读前半本书
时平均每天读多少页?
6.某地对长4
800
m的河堤进行加固。在加固600
m后,采用新的加固模式,每天
的加固长度是原来的2倍,总共用9天完成了全部加固任务。原来每天加固河堤
多少米?
拓展延伸
7.一项工程,若由甲队单独去做,刚好能如期完成;若由乙队单独去做,要延期
5天才能完成;若甲、乙两队先合做4天,余下的工程由乙队单独做,也能刚好
如期完成。这项工程的工期是多少天?
8.照相机成像应用了一个重要原理,可以用公式1
f=1
u+1
v(
v≠f)表示,其中f 表
示照相机镜头的焦距,u表示物体到镜头的距离,v表示胶片(像)到镜头的距离。
已知f,v,用含f,v的式子表示u。
79
9.已知关于x 的方程3
x-m- 2
m-x=1,在下列条件下求m 的值。
(1)x=3是方程的解;
(2)x=2m-1是方程的解;
(3)小亮多次改变m 的值后代入,总能求得x 的值,他猜想不论m 取何值,该
方程都有解,他的猜想正确吗? 为什么?
探索创新
10.已知关于x 的分式方程x+m
x-3=2无解,求m 的值。
11.在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=6,CB=8。直线l过点B,点E 从点C 出发
沿着C-B-A-B-C……往复运动,过点A 作AD⊥l,垂足为点D,过点E
作EF⊥l,垂足为点F。在△ADB 与△EFB 每一次全等后(可以重合),点E 都
会将运动速度变为原来的2倍,已知从出发到第三次全等之间共间隔了5.5
s,
你能求出从第三次全等到第四次全等的时间间隔吗?
(第11题)
80
比可以表示为分数或两个数相除的形式。在引入字母表示数后,比和分式
有怎样的联系?
比在我们的生活中有着广泛的应用。比如,某省2022年高中毕业生本科录
取人数与2012年录取人数的比约为124∶100;某种消毒液的说明书上注明,当
给水果、蔬菜消毒时,该消毒液与所加清水的体积比应为1∶1
000。这里的
124∶100,1∶1
000分别是什么含义?
写出下列问题中的比:
(1)长方形的长为a,宽为b,长方形的长、宽之比为
;
(2)八年级1班男生有m 人,女生比男生少3人,男、女生人数的比是
;
(3)轮船在静水中的平均速度为v
km/h,河水流动的平均速度为a
km/h,
轮船在静水中的平均速度与轮船在河水中顺流而下的平均速度之比为
。
你能发现问题(1)(2)(3)中的比与124∶100
,1∶1
000有什么不同吗?
两个整式A 与B(B≠0)相除,叫作A 与B 的比(ratio),记作A∶B
或A
B。
其中,A 叫作比的前项,B 叫作比的后项。
若长方形的长、宽之比为m∶n,是否代表长方形的长为m,宽为n呢?
整式A 与B 的比一定是分式吗? 为什么?
如何化简一个比?
81
分式一定是比,比不一定是分式。但
比可利用分式的基本性质来进行化简。
你能化简18a∶16b和4a
2∶9a
2 吗?
A∶B
可以写成A
B的形式,可通过化简分式A
B来化简A∶B。
八年级1班有学生a 名。如果男、女生人数的比是m∶n,那么该
班有女生多少名?
解:因为男、女生人数的比是m∶n,
所以女生人数为该班学生总数的n
m+n。
因为 a· n
m+n= an
m+n,
所以,该班有女生an
m+n名。
如图3.5-1,某中学的校园中有两块草坪。草坪甲是边长为a 的正
方形,中间有一个边长为b的正方形喷水池。草坪乙是长为c,宽为a-b的长
方形。求甲、乙两块草坪面积的比。
(甲) (乙)
图3.5-1
82
解:草坪甲的面积是a
2-b
2,草坪乙的面积是c(
a-b)。
因为
a
2-b
2
c(
a-b)=
(
a+b)(
a-b)
c(
a-b)
=a+b
c ,
所以,甲、乙两块草坪面积的比是a+b
c 。
1.化简:
(1)35a∶7a
2; (2)4xy
2∶6x
2y;
(3)(x+y)∶(x
2-y
2);
(4)a∶(
a
2+2a)。
2.假设b,c都是不为0的数。下列等式成立吗? 若成立,请说明理由;若不成立,
请举出反例。
(1)a∶b=ca∶cb;
(2)a∶b=(
a+c)∶(
b+c);
(3)a∶b=a
2∶b
2。
3.去年某中学七、八年级累计个人志愿服务总时长为3
600
h。已知两个年级累计个
人志愿服务的总时长之比为5∶7,两个年级累计个人志愿服务的总时长分别是
多少?
如图3.5-2,已知☉O1 的半径为r1,直径为d1,周长为l1;☉O2 的半径
为r2,直径为d2,周长为l2。
图3.5-2
分别计算d1∶d2,
l1∶l2。
d1∶d2=2r1∶2r2=r1∶r2,
l1∶l2=2πr1∶2πr2=r1∶r2。
观察计算结果,你能得到什么结论?
表示两个比相等的式子叫作比例式,简称比例(proportion)。如果a 与b的
比等于c与d 的比,那么就说a,b,c,d 四个数成比例。可以写成
a∶b=c∶d 或a
b=c
d。
83
在比例中,a,b,c,d 叫作组成比例的项,其中a 与d 叫作比例的外项,
b与c叫作比例的内项。当比例的两个内项相等,即当a
b=b
c时,b叫作a 和c
的比例中项。
比例是一个包含比的等式,依据等式的基本性质,你能推出比例具有什么性质?
在等式a
b =c
d 的两边同
时乘bd,根据等式的性质2,
可得ad=bc。
比例的基本性质 在比例中,两外项的乘积等于两内项的乘积。
如果a
b=c
d,那么ad=bc。
宇航员在空间站与地球上所受的重力比大约是1∶5
000。如果一名
宇航员在地球上所受的重力为650
N,那么他在空间站上所受的重力约为多少?
解:设该宇航员在空间站上所受的重力约为x
N。
根据题意,得
x∶650=1∶5
000。
利用比例的基本性质,得
5
000x=650。
解方程,得x=0.13。
所以,该宇航员在空间站上所受的重力是0.13
N。
已知a-b
a =1
2,求a∶b。
解:因为a-b
a =1
2,
所以利用比例的基本性质,得
2(
a-b)=a,
84
所以a=2b。
所以a∶b=2。
1.填空:
(1)如果a
b=3
2,那么b
a=
;
(2)如果4
x=7
y
,那么x
y=
;
(3)如果3a-4b=0,且b≠0,那么a∶b=
;
(4)已知3是x 与4的比例中项,写成比例式应为
,其中x=
。
2.已知a-2b
3b-a=3
5,求b
a的值。
我们来学习比在几何问题中的应用。
在同一单位长度下,两条线段长度的比,叫作这两条线段的比。
如果四条线段a,b,c,d 的长成比例,我们就把这四条线段a,b,c,d
称为成比例线段,简称比例线段(proportional
segments)。
如图3.5-3,已知AD
DB=AE
EC,且AD=15,AB=40,AC=28。求
AE 的长。
解:因为AD=15,AB=40,AC=28,
所以DB=AB-AD=40-15=25,
EC=AC-AE=28-AE。
因为AD
DB=AE
EC,
图3.5-3
所以15
25=
AE
28-AE。
所以15(28-AE)=25AE。
解关于AE 的方程,得AE=10.5。
经检验,AE=10.5是原方程的解。
所以AE 的长为10.5。
85
当前一个比的后项与后一个比的前项相同时,可以将这两个比连起来,得
到a∶b∶c的形式,这种形式叫作连比。
例如,△ABC 中,∠A∶∠B=1∶2,∠B∶∠C=2∶3,则三个角∠A,
∠B,∠C 的比为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3。
△ABC 的周长为52
cm,AB∶BC∶AC=3∶4∶6,求三条边的长。
解:设AB=3x
cm,BC=4x
cm,AC=6x
cm。根据题意,得
3x+4x+6x=52。
解方程,得 x=4。
所以AB=3x=12,BC=4x=16,AC=6x=24。
所以AB,BC,AC 的长分别是12
cm,16
cm,24
cm。
已知有理数a,b,c都不等于0,下列命题是真命题吗? 如果是,请说明理
由;如果不是,请举出反例。
(1)如果a
2=b
3=c
4,那么a∶b∶c=2∶3∶4;
(2)如果2a=3b=4c,那么a∶b∶c=2∶3∶4。
一般地,若有理数m,n,k 都不等于0,在a
m=b
n=c
k与ma=nb=kc中,
能够使得a∶b∶c=m∶n∶k的条件是哪个? 请说明理由。
1.已知线段a=36
cm,b=1.8
m,求a∶b。
2.已知a,b,c,d是成比例线段,其中a=3
cm,b=2
cm,c=6
cm。求d的长。
3.已知正方形A 的面积恰好等于长方形B 的面积,那么A 的边长a 与B 的长b,
宽c之间满足什么关系? 可以用哪些方式描述它们的关系?
86
(第6题)
复习巩固
1.根据下列各式,求x∶y。
(1)3x=4y; (2)3∶5=y∶x;
(3)2∶x=3∶y;
(4)a∶y=b∶x。
2.在地图上量得两地之间的距离是a
cm。已知该地图的比例尺是1∶4
000
000,求
两地的实际距离。
3.解答下列各题:
(1)已知(5-x)∶x=2∶3,求x 的值;
(2)已知x∶y=2∶3,y∶z=4∶7,求x∶y∶z;
(3)若a,b,c,d 是成比例线段,a=2
cm,b=3
cm,
d=10
cm,求c的长。
拓展延伸
4.解答下列各题:
(1)已知a∶b∶c=4∶3∶2,求a+2b+3c
c
的值;
(2)已知a-b
a =1
7,求a+b
a 的值;
(3)已知x
3=y
5=z
7,且3x-2y+z≠0,求3x+2y-z
3x-2y+z的值。
5.已知某种蛋糕制作原料中面粉、鸡蛋和糖的质量比是11∶8.5∶4.5,那么制作一
个质量为960
g的蛋糕需要的面粉、鸡蛋和糖的质量各是多少?
探索创新
6.一个长方形长与宽的比值为k(
k>1),按照如图的方式,
它能被分成若干个全等的小长方形,且它们的长宽比值
也是k。
(1)若能分成两个长方形,求k
2;
(2)若能分成n个长方形,将k
2 用n表示。
87
战国曾侯乙编钟
乐音与比例
美的事物,常常遵循着一些和谐的数学规律。古希腊的毕达哥拉斯学派
尝试寻找美妙乐音背后的数学原理。他们最终发现,调整琴弦的长度比例,
就可以改变乐器的音色。
究竟琴弦长度满足什么样的比值,才能够获得和谐的乐音呢? 经研究发
现,当琴弦的长度比为整数比时,弹奏出的声音就比较和谐。例如,三根弦
的长度比为15∶12∶10时,三根弦将分别发出调和的乐声do,mi,so。
人们还进一步研究了“15,12,10”这三个数的倒数“1
15,1
12,1
10”之
间的关系,发现
1
10-1
12=1
12-1
15。
后来,就把符合
1
c-1
b=1
b-1
a
这一关系的三个正整数a,b,c叫作一组调和数。
我国传统音乐以灵动、和谐著称,同样蕴含
着深刻的数学道理。如湖北出土的稀世珍宝———
战国曾侯乙编钟,就体现了我国古代乐人及工匠
高超的乐音理解能力与铸造技术。通过按一定比
例合理设计编钟的体积,并调节编钟的器型,编
钟在演奏时就可以发出和谐的乐音。
乐器各部分的尺寸及比例会决定乐器的音色。观察一下身边的乐器,看
看能不能得出相似的结论。
88
1.什么是分式? 请举例说明。
2.什么是分式的基本性质? 如何进行分式的约分与通分?
3.分式的运算有哪些类型? 各自的运算法则是什么?
4.什么是分式方程? 解分式方程的一般步骤有哪些? 为什么解分式方程必
须检验?
5.什么是比? 什么是比例? 什么是比例线段? 比例的基本性质是什么?
6.我们学习分式的主要方法是什么? 分式与学过的哪些知识有密切的联系?
89
复习巩固
1.已知分式1+2x
1-2x。
(1)当x 满足什么条件时,分式有意义?
(2)当x 取何值时,分式的值为0?
2.如果把分式x
x+y中的x 和y 都变成原来的3倍,分式的值有没有变化? 为什么?
3.计算:
(1)x-y
y
-y-x
x
; (2)x
2-4x
x+3 -x+3
x ;
(3) -2b
a
3
· -ac
4b
÷bc
3
6a;
(4) 3x-1
x+2-x-1
x+2
÷ x
x
2-4
。
4.计算:
(1)1-x+2
x-1÷x+2
x+1;
(2) 1
a+1+ 1
a
2-1
·a
2+2a+1
a+1
;
(3)x
2-2x
x
2-1÷ x+1-2x-1
x-1
;
(4)a-1
a ÷
a
a+2-
1
a
2+2a
。
5.解下列分式方程:
(1) x
2x-5+
5
5-2x=1;
(2) 1
x-1= x
x
2-1
;
(3)3
x+ 6
x-1= x+5
x(x-1);
(4)9x+7
3x+2-4x+5
2x+3=1。
6.小亮收集生物标本的件数是大刚的3
4,大刚收集生物标本的件数是小莹的5
6,小亮、
大刚与小莹三人收集生物标本的件数的比是多少?
7.已知1,2,3三个数。
(1)添加一个数,写出一个比例式;
(2)a分别与这三个数相加的和,恰好构成以a+3为比例中项的比例式,求a的值。
90
(第8题)
8.如图,在一个长、宽、高分别为l,b,h的长方体纸盒
里,装满了高为h的圆柱形易拉罐饮料,求纸箱的利用
率(易拉罐总体积与纸箱容积的比)。
拓展延伸
9. (1)已知1
b-1
a= 1
a-b,求b
a+a
b的值;
(2)已知x+2
x=5,求x
2
4+1
x
2的值。
10.几个小伙伴计划去音乐厅观看演出。小莹说:“咱们一共凑了360元,如果今天看演
出,每人一张票,还差两人的票钱。”小亮说:“过两天就是五一劳动节了,那时再
看演出,票价会打六折,我们每人一张票,还能剩72元钱呢!”
请你根据两人对话的内容,求出计划去看演出的人数。
11.
A地至B地的铁路里程为600
km。从A地乘“G”字头列车和“D”字头列车都可
直达B地。已知“G”字头列车的时速为“D”字头列车时速的1.5倍,且运行时间
比“D”字头列车少2
h,求“G”字头列车从A地至B地的运行时间及速度。
探索创新
12.小莹买了一盒巧克力,决定每天吃一颗。某天她发现,当天吃完后,巧克力还剩下整
盒的1
n,预计第二天吃完后剩下整盒的1
n+1,第三天吃完后就仅剩下整盒的1
n+3了,
这盒巧克力还能吃几天?
13. 《庄子》中记载:一尺之棰,日取其半,万世不竭。大意为:一根一尺长的木棒,
每天截取它的一半长,永远也截不完。这个情境生动地刻画出一种越来越小,但是
又无法归零的量,体现了数学中的极限思想。
小亮将这个情境做了一些改编:
情境一:每天截取剩余木棒的1
x,其中x>1;
情境二:将木棒改成绳子,每天延长绳子的1
x(不计接头长度),其中x>1。
(1)针对每个情境提出问题,并尝试回答;
(2)你还能设计出什么新情境和新问题?
第4 章 图形的轴对称
内容提要
◆ 轴对称及其基本性质
◆ 轴对称图形
◆ 线段、角、等腰三角形的轴对称性
轴对称图形
轴对称
平面图形
图形的变化
……
对称在生产、生活的各个领域都有着广泛的应用。自然
景观、建筑设计、剪纸作品等，无不展现着对称的和谐美。
你了解对称的价值和应用吗？
在数学中，轴对称是一种图形变化。本章我们将研究图
形的轴对称，并利用轴对称的知识，学习线段垂直平分线、
角的平分线以及等腰三角形的性质等，由此体会图形变化在
几何图形研究中的重要作用。
93
我们将从现实世界中的对称出发,去研究几何图形的轴对称。
在日常生活中,对称现象随处可见。观察图4.1-1中的对称有什么特点?
你还能举出类似的实例吗?
图4.1-1
(1)如图4.1-2①,在纸上画出一个△ABC 与一条直线l。将一张纸片沿直
线l折叠。然后用大头针在△ABC 的顶点A,B,C 处各扎一小孔。将纸展开,
把与点A,B,C 对应的小孔分别记作A',B',C'。连接A'B',B'C',C'A',
得到△A'B'C'(图4.1-2②)。△A'B'C'与△ABC 全等吗?
① ②
图4.1-2
折叠后,两个三角形的顶点
都重合,从而△ABC 与△A'B'C'
能够重合,因此它们全等。
94
把一个平面图形沿某条直线折叠后,得到另一个与它全等的图形,图形的
这种变化叫作轴对称(axis
symmetry),这条直线叫作对称轴。
轴对称是一类基本的图形变化,它只改变图形的位置,而不改变图形的形
状和大小。
(2)分别观察图4.1-3①②③中的两个图形,把其中一个图形以直线l为对
称轴,经过轴对称后,能与另一个图形重合吗?
①
②
③
图4.1-3
一个图形以某条直线为对称轴,经过轴对称后,能够与另一个图形重合,那
么称这两个图形关于这条直线成轴对称,重合的点叫作对应点。如果两个点关于
一条直线成轴对称,那么其中一个点叫作另一个点关于这条直线的对称点。
在图4.1-2中,△ABC 与△A'B'C'关于直线l成轴对称,直线l是对称轴,
点A,B,C 的对应点分别是A',B',C'。
成轴对称的两个图形是全等形,反过来,两个全等形一定成轴对称吗? 请
举例说明。
如图4.1-4,△ABC 与△DEF 关于直线m 成轴对称。已知∠B=40°,
∠D=65°,AB=4
cm。求DE 的长和∠C 的度数。
图4.1-4
解:因为△ABC 与△DEF 关于直线m 成
轴对称,
所以△ABC≌△DEF。
所以DE=AB=4
cm,∠A=∠D=65°。
又因为∠B=40°,∠A+∠B+∠C=180°,
所以∠C=75°。
95
1.如图所示,每幅图中的两个图形成轴对称吗? 如果成轴对称,画出它们的对称轴,
并找出一组对应点。
①
② ③
(第1题)
2.如图,△ABC 与△ABD 关于直线MN 成轴对称。已知∠CBN=60°,∠D=25°。
求∠CAD 的度数。
(第2题)
我们已经学习了轴对称,它具有什么性质?
如图4.1-5,把一张纸折叠,扎出两个小孔,然后将纸展开铺平。把得到的
两对小孔分别记为A 与A',B 与B',折痕记为MN,连接AB,A'B'。
线段AB 与线段A'B'关于直线l成轴对称。
①
② ③
图4.1-5
连接AA',BB',分别交直线MN 于点E,F。线段AA',BB'与直线MN
有什么关系?
96
你能说明其中的道理吗?
经折叠可知,EA=EA',∠MEA=∠MEA'。
又因为∠MEA+∠MEA'=180°,
所以∠MEA=∠MEA'=90°。
所以,直线MN 垂直线段AA',并且平分线段AA'。
轴对称的基本性质 成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直
平分。
如图4.1-6①,已知点A 和直线MN,如何画出点A 关于直线MN 的对称
① ②
图4.1-6
点呢?
画法:如图4.1-6②。
①
过点A 画直线MN 的垂线AF,垂足
为点O;
②
在OF 上截取OA'=OA。
点A'就是所要画的对称点。
如果两个图形的对应点连线被同一条直线
垂直平分,那么这两个图形关于这条直线成轴对称。
如图4.1-7,已知△ABC 和直线l,画出与△ABC 关于直线l成轴
对称的图形。
图4.1-7
97
画法:如图4.1-8。
图4.1-8
①
画出点A,B,C 关于直线l 的对称点A',
B',C';
②
连接A'B',B'C',A'C'。
△A'B'C'就是所要画的图形。
(第2题)
1.分别连接图4.1-4中两个三角形的对应顶点,指出哪些线
段被直线m 垂直平分。
2.如图,画出与直线AB 关于直线l成轴对称的直线。
3.在一张纸上任意画两个点,分别记为点A 和点B。通过折
纸确定一条直线,使点A 与点B 关于这条直线成轴对称。
(1)观察图4.1-9中的图案,它们有什么共同特征?
图4.1-9
图4.1-10
(2)图4.1-10是正六边形ABCDEF,分别取边AF,CD
的中点M,N,过点M,N 作直线l。直线l把正六边形分
成左右两部分,把正六边形沿直线l对折,直线两旁的部分
能够重合吗?
一个图形的一部分,以某一条直线为对称轴,经过轴对称能与图形的另
一部分重合,这样的图形叫作轴对称图形(axisymmetric
figure)。
图4.1-10中的正六边形是轴对称图形,请画出它所有的对称轴。
98
图4.1-11是一个轴对称图形在对称轴AD 左侧的部分。
(1)设点B,C 关于直线AD 的对称点分别为F,E,将图形补充完整;
(2)连接BD,FD。直接写出BD 与FD,∠ADB 与∠ADF 的数量关系。
图4.1-11
图4.1-12
解:(1)如图4.1-12,画出点B,C 关于直线AD 的对称点F,E;连接
DE,EF,FA。
五边形BCDEF 就是所要画的完整图形。
(2)BD=FD,∠ADB=∠ADF。
把轴对称图形沿对称轴分成两个图形,
这两个图形成轴对称;把成轴对称的两个图
形看成一个整体,它就是一个轴对称图形。
1.在下列图形中,找出轴对称图形,并画出它所有的对称轴。
(第1题)
(第2题)
(第3题)
2.如图,直线l是一个轴对称图形的对称轴,请补全这个轴对称图形。
3.如图由变体的“工”
“人”组合构成的中华人民共和国铁路路徽,是轴对称图形。
(1)在生活中,你还见过哪些徽标? 请举出几个轴对称图形;
(2)运用轴对称的知识为班级或学校设计一个徽标,并说明它的含义。
99
复习巩固
1.如图,哪个图案是轴对称图形? 如果是,请指出它的对称轴。
(第1题)
2.如图,请画出与△ABC 关于直线l成轴对称的图形。
(第2题) (第3题)
3.如图,△ABC 与△A'B'C'关于直线MN 成轴对称。请指出它们的对应顶点,并
找出相等的边和相等的角。
拓展延伸
4.如图,取一张正方形的纸片,先把它折叠两次,然后按图中的方式涂上阴影,再
把阴影部分剪去。展开后得到一个什么图案? 你能运用所学的图形轴对称的知识,
再设计并剪制一幅美丽的图案吗?
(第4题)
(第5题)
5.如图,设L1 和L2 是镜面平行且相对的两平面镜,把一个小球A 放在两镜之间,
小球在镜L1 中的像为A',A'在镜L2 中的像为A″。若L1,L2 的距离为7。求
AA″的长。
100
6.已知四边形ABCD 与四边形EFGH 关于直线l成轴对称。连接AC,BD,设它
们相交于点P。怎样确定点P 关于直线l的对称点Q?
(第6题)
(第7题)
探索创新
7.如图,在由大小相等的小正方形组成的网格中,△ABC 的三个顶点均落在小正方
形的顶点上。请在网格上画出三个顶点都落在小正方形的顶点上,且与△ABC 成
轴对称的三角形,你能画出多少个?
中国古代建筑中的对称美
在我国传统文化中,对称通常与中庸、秩序、和谐、典雅、庄严等含义
相关联,因此我国传统建筑十分讲究对称美。
无论是皇城宫苑,还是普通民宅;无论是亭台楼阁,还是轩榭廊舫;无
论是群体建筑,还是单体建筑……都体现出对称之美(图4.1-13)。
图4.1-13
例如,北京故宫是按照《周礼·考工记》中“左祖,右社;面朝,后
市”的营建原则建造的。在建筑布置上,整座故宫建筑沿着一条南北向的中
轴线对称布局。就局部而言,故宫太和殿屋脊上的瑞兽,左右两侧各有10
个,也是对称的;故宫大门左右的门钉和狮子头门环,也体现出对称之美。
101
我们已经初步研究了轴对称图形,那么线段是轴对称图形吗?
在纸上画一条线段AB(图4.2-1①),将这张纸折叠,使A,B 两点重合,将
纸展开后铺平,把折痕记为MN,折痕与线段AB 的交点记为O(图4.2-1②)。观
察图4.2-1②,你有什么发现?
① ② ③
图4.2-1
线段是轴对称图形。直线MN 是线
段AB 的对称轴,它垂直于线段AB,并
且平分线段AB。
垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线(perpendicular
bisector)。如图4.2-1②,直线MN 就是线段AB 的垂直平分线。
如图4.2-1③,在直线MN 上取一点P,连接PA,PB。线段PA 和PB
有什么数量关系? 改变点P 的位置,结论还成立吗? 为什么?
102
因为线段AB 是轴对称图形,直线MN
是它的对称轴,所以沿直线MN 对折后,
点A 与点B 重合,而点P 在对称轴上,于
是PA 与PB 重合,所以PA=PB。
运用判定两个三角形全等的方法,也可以证明上述结论。
线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
相等。
图4.2-2
海伦(Heron
of
Alexandria,生卒年不
详)是古希腊的一位数学家。相传一位将军曾向他请
教过一个问题:“我每天策马往返于河岸同侧的两个
边防站之间,途中要到河边让马饮水。怎样走才能
使路径最短呢?”此问题也叫“将军饮马问题”,抽象成数学问题可表达为:如图
4.2-2,已知A,B 两点在直线l的同侧,在直线l上求作一点P,使AP+BP 的
值最小。
图4.2-3
解:如图4.2-3,作点B 关于直线l的对称点
B',连接AB',交直线l于点P。点P 就是所求作
的点。理由如下:
因为点B,B'关于直线l对称,
所以l是BB'的垂直平分线。
所以PB=PB'(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)。
所以AP+PB=AP+PB'=AB'。
在直线l上另外任取一点P',连接AP',P'B',P'B。
同理P'B=P'B'。
因为AP'+P'B'>AB',
所以AP'+P'B>AP+PB。
所以AP+PB 的值最小。
103
1.如图,点P,C,D 是线段AB 的垂直平分线MN 上的任意三点,分别连接AP,
BP,AC,BC,AD,BD,指出图中相等的线段。
(第1题) (第2题)
2.如图,在△ABC 中,AB=5,AC=7,直线DE 垂直平分BC,垂足为点E,交
AC 于点D,连接BD。求△ABD 的周长。
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。反过来,到线段两端距离
相等的点是否在这条线段的垂直平分线上?
已知:线段AB,P 为平面内一点,且PA=PB。
求证:点P 在线段AB 的垂直平分线上。
当点P 在线段AB 外时,可以取线段AB
的中点,连接点P 和中点,或者过点P 作AB
的垂线,通过证明两个三角形全等得到结论。
请画出图形,写出证明过程。
到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
要作一条线段的垂直平分线,只需作出两个到线段两端距离相等的点,这
两点所确定的直线就是已知线段的垂直平分线。
104
尺规作图:作一条线段的垂直平分线。
图4.2-4
已知:线段AB(图4.2-4)。
求作:线段AB 的垂直平分线。
作法:如图4.2-5。
图4.2-5
①
分别以点A 与点B 为圆心,以大于1
2AB 的长为半径
作弧,两弧分别交于M,N 两点;
②
过M,N 两点作直线MN。
直线MN 就是线段AB 的垂直平分线。
用上述方法完成“过已知直线上一点作这条直线的垂
线”。综合本书第42页的作图,我们就能“过一点作已知直线
的垂线”。它和“作一条线段的垂直平分线”都是基本作图。
(第1题)
1.如图,已知PM=PN,QM=QN。
求证:PQ 垂直平分MN。
2.任意作一条线段,用尺规作出它的中点。
(第1题)
复习巩固
1.如图,点D 在△ABC 的边BC 上,且CD=AD,判
断点D 在哪一条线段的垂直平分线上。
105
2.如图,将△ABC 沿直线DE 折叠后,点B 与点A 重合。已知AC=5,△ADC 的
周长为17。求BC 的长。
(第2题)
(第3题)
3.如图,已知线段AB。求作∠ABC=90°。
拓展延伸
4.如图,在△ABC 中,边AB,AC 的垂直平分线交于点P。判断点P 是否在边BC
的垂直平分线上。
(第4题) (第5题)
5.如图,AB=AC,DB=DC,点E 在AD 上。求证:EB=EC。
6.如图,已知△ABC 和点A'。求作△A'B'C',使得它与△ABC 关于某条直线成轴
对称,且点A 与点A'是对应点。
(第6题)
106
线段是轴对称图形,那么角是轴对称图形吗?
(1)在一张纸上任意画一个角,将纸折叠,使角的两边重合,将纸展开后
铺平,你有什么发现?
角是轴对称图形,角的平分线
所在的直线是它的对称轴。
(2)已知∠AOB(图4.3-1),你能用尺规作出它的平分线吗?
图4.3-1
图4.3-2
作法:如图4.3-2,
①
以点O 为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交这个角的两边于C,D
两点;
②
分别以点C,D 为圆心,以大于1
2CD 的长为半径作弧,两条弧交于点P;
③
作射线OP。
OP 即为所求作的角平分线。
“作一个角的平分线”也是基本作图。
107
图4.3-3
(1)如图4.3-3,在∠AOB 的平分线OC 上取一点
P,过点P 作PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是点M,
N。线段PM 和PN 有什么关系?
改变点P 的位置,结论还成立吗? 请说明理由。
点P 在OC 上移动时,总有PM=PN。
图4.3-4
(2)在角的内部,到角两边距离相等的点是否在角的
平分线上?
已知:如图4.3-4,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别
是点M,N,PM=PN。
求证:点P 在∠AOB 的平分线上。
证明:如图4.3-5,连接OP。
因为PM⊥OA,PN⊥OB,
所以∠PMO=∠PNO=90°。
图4.3-5
在Rt△PMO 和Rt△PNO 中,
PO=PO,
PM=PN,
所以Rt△PMO≌Rt△PNO(HL)。
所以∠POA=∠POB。
所以点P 在∠AOB 的平分线上。
角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等;反之,角
的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
108
图4.3-6
如图4.3-6,P 是∠AOB 内部的一点,
PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别是点E,F,且PE=
PF。Q 是射线OP 上的任意一点,QM⊥OA,QN⊥OB,
垂足分别是点M,N。QM 与QN 相等吗? 为什么?
解:QM=QN。理由如下:
因为PE⊥OA,PF⊥OB,PE=PF,
所以OP 是∠AOB 的平分线(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分
线上)。
因为点Q 在射线OP 上,QM⊥OA,QN⊥OB,
所以QM=QN(角平分线的性质定理)。
1.如图,点P 是∠AOB 的平分线OC 上一点,PD⊥OB,垂足为点D,PD=2。
求点P 到直线OA 的距离。
(第1题)
(第2题)
2.如图,利用尺规在△ABC 的边BC 上求作一点P,使点P 到边AB,AC 所在直
线的距离相等。
(第1题)
复习巩固
1.如图,∠AOB=70°,QC⊥OA,QD⊥OB,垂足分别是点C,
D,QC=QD。求∠AOQ 的度数。
109
2.如图,在四边形ABCD 中,∠A=90°,AD =3,BC=5,对角线BD 平分
∠ABC。求△BCD 的面积。
(第2题)
(第3题)
3.如图,在△ABC 中,∠B=∠C,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是点E,F,且
BE=CF。求证:点D 在∠A 的平分线上。
拓展延伸
4.如图,∠B=∠C=90°,E 是BC 的中点,DE 平分∠ADC。求∠DEA。
① ②
(第4题)
(第5题)
5.已知,OA 平分∠MON,点B,C 分别在射线OM,ON 上。
(1)如图①,AB⊥OM,当∠ACO 为何值时AC=AB? 请说明理由;
(2)如图②,当∠ACO 与∠ABO 有何关系时AC=AB? 请说明理由。
探索创新
6.如图,直线l1,l2,l3 表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求
它到三条公路的距离相等,利用尺规确定可供选择的位置。
(第6题)
110
三角形都是轴对称图形吗? 若不都是,什么样的三角形是轴对称图形?
图4.4-1是一张等腰三角形的纸片,
其中AB=AC。等腰三角形ABC 是轴对
称图形吗?
图4.4-1 图4.4-2
由于AB=AC,可将纸片对折,使两
腰AB 与AC 重合,记折痕与底边BC 的
交点为D(图4.4-2)。直线AD 两旁的图
形能够完全重合,因此,等腰三角形
ABC 是轴对称图形。
(1)在图4.4-2中,有哪些相等的角和线段? 线段AD 有什么特殊性?
∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠BDA=
∠CDA=90°,BD=CD;折痕AD 是△ABC
底边BC 上的中线,也是顶角∠BAC 的平分
线,还是底边BC 上的高。
111
(2)经过折叠,折痕AD 把△ABC 分割为两个全等三角形。类似地,把
△ABC 分割为两个全等三角形也可以通过作辅助线的方法实现。
在△ABC 中,AB=AC,作底边BC 的中线AD。
在△ABD 和△ACD 中,
AB=AC,
AD=AD,
BD=CD,
所以△ABD≌△ACD(SSS)。
所以∠B=∠C。
还可得∠BAD=∠CAD,AD⊥BC。
若把辅助线AD 改为∠BAC 的平分线或者使AD⊥BC 呢?
请证明你的结论。
等腰三角形的性质定理1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对
等角”)。
等腰三角形的性质定理2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底
边上的高互相重合(简写成“三线合一”)。
图4.4-3
如图4.4-3,AB=AC,点D,E 在BC 上,
且AD=AE。求证:BD=CE。
证明:如图4.4-4,作AF⊥BC,垂足是点F。
因为AB=AC,AF⊥BC,
所以AF 是底边BC 上的中线(三线合一)。
所以BF=CF。
同理DF=EF。
图4.4-4
所以BF-DF=CF-EF。
所以BD=CE。
112
在一个三角形中,不相等的边所对的角之间的大小有怎样的关系? 大边所
对的角也大吗?
1.顶角是直角的等腰三角形叫作等腰直角三角形。求等腰直角三角形底角的度数。
2.证明等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°。
3.等腰三角形的一个内角为40°。求另外两个内角的度数。
如果一个三角形有两条边相等,那么它们所对的角相等。反过来,如果一
图4.4-5
个三角形中有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系?
已知:如图4.4-5,在△ABC 中,∠B=∠C。
求证:AB
=AC。
证明:如图4.4-6,作∠BAC 的平分线,交BC 于点D。
所以∠1=∠2。
图4.4-6
在△BAD 和△CAD 中,
∠B=∠C,
∠1=∠2,
AD=AD,
所以△BAD≌△CAD(AAS)。
所以AB=AC。
等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成
“等角对等边”)。
等边三角形的判定定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。
113
如图4.4-7,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD 平分∠ABC。
求证:AD=BC。
证明:因为AB=AC,∠A=36°,
图4.4-7
所以∠ABC=∠C=180°-36°
2
=72°(等边对等角)。
因为BD 平分∠ABC,
所以∠ABD=1
2∠ABC=36°。
所以∠A=∠ABD。
所以AD=BD(等角对等边)。
因为∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°,
所以∠C=∠BDC。
所以BD=BC(等角对等边)。
所以AD=BC。
如图4.4-8,已知等腰三角形的底边长为a,底边上的高为h,求作
这个等腰三角形。
图4.4-8
图4.4-9
作法:如图4.4-9。
①
作线段AB=a;
②
作线段AB 的垂直平分线EF,交AB 于点D;
③
在DE 上截取DC=h;
④
连接AC,BC。
△ABC 即所求作的等腰三角形。
114
1.如图,在等边三角形ABC 中,BF,CF 分别平分∠ABC,∠ACB,过点F 作直
线DE∥BC,分别交AB,AC 于D,E。请指出图中的等腰三角形和等边三角形。
2.如图,已知AB=DC,AC=DB,AC 与DB 相交于点O。△OBC 是等腰三角形
吗? 为什么?
(第1题)
(第2题)
等边三角形是特殊的等腰三角形。一个等腰三角形满足什么条件时是等边
三角形?
如图4.4-10,在△ABC
中,AB=AC。再添加一个什么条件,就可判定
△ABC 为等边三角形?
不论顶角还是底角,只
要有一个角为60°,就可判定
△ABC 为等边三角形。
图4.4-10
请证明小亮的上述结论。
等边三角形的判定定理 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
115
如图4.4-11,在Rt△ABC 中,∠A=30°,∠C=90°。
图4.4-11
求证:BC=1
2AB。
证明:如图4.4-12,作与△ABC 关于直线AC 对称的
△ADC。
所以AD=AB,DC=BC,
∠ACD=∠ACB=90°,∠DAC=∠BAC=30°。
图4.4-12
所以∠ACB+∠ACD=180°。
所以,点B,C,D 共线。
因为∠BAD=∠BAC+∠DAC=60°,
所以△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三
角形是等边三角形)。
所以BD=AB。
所以BC=1
2BD=1
2AB。
由此得到:
在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。
如何用一张长方形纸片折出一个等边三角形?
(第2题)
1.下列条件中,哪些能说明△ABC 为等边三角形?
(1)∠A=∠B=60°; (2)∠B+∠C=120°;
(3)∠B=60°,AB=AC;
(4)∠A=60°,AB=AC。
2.如图,∠AOB=30°,OC=6,点D 是射线OA 上一个
动点,线段CD 的最小值是多少?
116
复习巩固
1.在等腰三角形ABC 中,AB=AC,∠B=50°。求∠A 的度数。
2.如图,在等边三角形ABC 中,AD⊥BC,垂足是点D。求∠BAD 的度数。
(第2题)
(第3题)
3.如图,AD∥BC,BD 平分∠ABC。求证:AB=AD。
4.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A =30°,CD 是斜边AB 上的高,
BD=2。求AB 的长度。
(第4题)
(第5题)
5.如图,△ABC 为等边三角形,∠1=∠2=∠3。求证:△DEF 是等边三角形。
6. “三等分角问题”是古希腊几何三大问题之一。借助如左下图所示的“三等分角
仪”能三等分任意一个锐角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB 组成,
两根棒在O 点相连并可绕O 转动,C 点固定,OC=CD=DE,点D,E 可在槽
中滑动,则∠AOB=1
3∠BDE。请说明其中的原理。
(第6题)
117
(第9题)
7.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为BC 的中点,AD=AE,∠BAD=30°。求
∠EDC 的度数。
(第7题)
(第8题)
8.如图,在等边三角形ABC 中,BD⊥AC,垂足为点D。点E 在BC 的延长线上,
BD=ED。求证:CE=1
2BC。
拓展延伸
9.如图,在一个3×3的正方形网格中,A,B 是其中的两个格
点。如果C 也是格点,且△ABC 是等腰三角形,试确定顶点C
的位置。满足要求的点C 共有多少个?
10.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为BC 上一点,且DA=DC,
AB⊥AD。求∠B 的度数。
(第10题)
(第11题)
11.如图,在锐角三角形ABC 中,AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线,E 是AD
上一点,连接EB,EC,∠EBC=45°,BC=6。求△EBC 的面积。
探索创新
12.已知△ABC 有一个内角为36°。若△ABC 可被分成两个等腰三角形,求△ABC
中最大内角的所有可能值。
118
1.轴对称的基本性质是什么? 请举例说明。
2.回顾已学过的几何图形,哪些是轴对称图形?
3.本章我们利用轴对称的知识探索并证明了哪些图形的性质?
4.本章有哪些问题是借助轴对称的知识解决的?
5.本章的学习为今后研究图形的性质积累了哪些经验?
复习巩固
1.如图,画出与△ABC 关于直线l成轴对称的图形。
(第1题)
119
2.如图,在△ABC 中,∠B=∠C,AD⊥BC,垂足是点D,AB=6,CD=4。
求△ABC 的周长。
(第2题)
(第3题)
3.如图,AB=AC,AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D,连接BD,∠C=65°。求
∠DBC 的度数。
4.将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后,再沿图③中的虚线剪裁,最
后将图④中的纸片打开铺平,画出所得到的图形。
①
②
③
④
(第4题)
(第5题)
5.如图,利用尺规在△ABC 的边AC 上求作点P,使△PBC 为直角三角形。
6.如图,等边三角形ABC 的边长为1
cm。D,E 分别是AB,AC 上的点,将△ADE 沿
直线DE 折叠,点A 落在点A'处,且点A'在△ABC 外部。求阴影部分图形的周长。
(第6题)
(第7题)
7.如图,在△ABC 中,AB=AC,点D 在BC 上,DE⊥AB,垂足是点E,DF⊥AC,
垂足是点F,且DE=DF。求证:点D 是BC 的中点。
120
拓展延伸
8.如图,在等边三角形ABC 中,AB 边上的中线CD 与AC 边上的中线BE 相交于点
F。若DF=2,求BE 的长。
(第8题)
(第9题)
9.如图,△ABC 为等边三角形,∠ABC,∠ACB 的平分线相交于点O,OE∥AB 交
BC 于点E,OF∥AC 交BC 于点F。图中有直角三角形和其他的等边三角形吗? 如
果有,请写出来。
(第10题)
10.如图,∠BAC=120°。若MP 和NQ 分别垂直平分
AB 和AC,求∠PAQ 的度数。
探索创新
11.如图,直线l1 与直线l2 相交,∠α=60°,点P 在∠α内。用下面的方法作P 的对称
点:先以l1 为对称轴作点P 关于l1 的对称点P1,再以l2 为对称轴作P1 关于l2 的
对称点P2,然后再以l1 为对称轴作P2 关于l1 的对称点P3,以l2 为对称轴作P3
关于l2 的对称点P4,…,如此继续,得到一系列点P1,P2,P3,P4,…,Pn。
若Pn 与P 重合,探索n的最小值。
(第11题)
(第12题)
12.如图,点P 是∠AOB 内任意一点,∠AOB=30°,点M 和点N 分别是射线OA 和
射线OB 上的动点。当OP=6时,求△PMN 周长的最小值。
第5 章 勾股定理与实数
内容提要
◆ 勾股定理及其逆定理
◆ 算术平方根、平方根、立方根
◆ 实数
数与式 图形的性质
有理数
直角三角形
实数
勾股定理
无理数
……
第14 届国际数学教育大会（ICME-14）的会标蕴藏着丰
富的数学元素，展现了我国古代数学文化的魅力。尤其是位
于螺旋中心，由四个直角三角形构成的正方形图案，是我国
古代数学家的杰作，形象地展示了被誉为“千古第一定理”
的勾股定理。什么是勾股定理？勾股之“形”又将怎样更新
我们对“数”的认识？
本章我们将追溯一段数学发展的历史，穿梭于几何和代
数两大领域之间。在几何方面，我们将探索勾股定理及其逆
定理；在代数方面，我们将认识数的一种新运算——开方运算，
并将数的范围从有理数扩大至实数。实数理论的建立，为数
学的进一步发展奠定了坚实的基础。
123
章引言中第14届国际数学教育大会会标中心的图案,是依据汉末三国初数
学家赵爽(生卒年不详)的弦图创作的。让我们一起来探索其中的奥秘吧。
图5.1-1
剪四个全等的直角三角形,拼一拼,拼出图5.1-1所示的
图形。判断这个图形中四个全等的直角三角形围成的大四边
形和中间小四边形的形状,并说明理由。
两个四边形都是正方形。
因为它们各自的边相等,四个
角都为直角。
设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c。
观察图5.1-1,这两个正方形的面积怎样表示? 它们有什么关系? 从中你能
发现直角三角形的三边a,b,c之间有什么关系吗?
大、小正方形的边长分别为c和b-a,
它们的面积分别为c
2 和(
b-a)
2。由图可知
c
2=(
b-a)
2+4×1
2ab,所以a
2+b
2=c
2。
124
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
在直角三角形中,如果两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,那么
a
2+b
2=c
2。
在我国古代,人们将直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称
为股,斜边称为弦,所以这个定理在我国被称为“勾股定理”。
利用勾股定理,可以证明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形
全等”(HL)。
如图5.1-2,在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,BC=B'C',
AB=A'B',证明:△ABC≌△A'B'C'。
图5.1-2
证明:在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中,
由勾股定理,得
AB
2=BC
2+AC
2,A'B'
2=B'C'
2+A'C'
2。
因为BC=B'C',AB=A'B',
所以AC
2=A'C'
2。
所以AC=A'C'。
在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中,
BC=B'C',
AB=A'B',
AC=A'C',
所以△ABC≌△A'B'C'(SSS)。
在△ABC 中,BC=6,AB=AC=5。求△ABC 的面积。
图5.1-3
解:如图5.1-3,作BC 边上的高AD。
因为AB=AC,BC=6,
所以BD=1
2BC=3。
在Rt△ABD 中,∠ADB=90°,AB=5,BD=3。
由勾股定理,得
AD
2=AB
2-BD
2=5
2-3
2=16。
125
所以AD=4。
所以S△ABC=1
2BC·AD=1
2×6×4=12,
即△ABC 的面积为12。
《九章算术》中记载了一个有趣的数学问题:今有池方一丈,葭生
其中央,出水一尺。引葭赴岸,适与岸齐。问水深、葭长各几何。大意为:如
图5.1-4,有一个边长为10尺的正方形水池,在水池正中间有一根芦苇AD,它
高出水面1尺,即CD 为1尺。如果将这根芦苇从顶端牵引到池边中点B 处,
它的顶端刚好到达岸边的水面,问这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少。
解:设水池的水深为x 尺,则这根芦苇的长度为(x+1)尺,
图5.1-4
即AC=x,AD=x+1。
在Rt△ABC 中,BC=5,AB=AD=x+1。
由勾股定理,得
BC
2+AC
2=AB
2,
即
5
2+x
2=(x+1)
2。
解方程,得
x=12。
所以
x+1=13。
所以,这个水池的水深为12尺,这根芦苇的长度为13尺。
(第2题)
1.在△ABC 中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C 所对的三条边。
(1)若a=3,b=4,则c=
;
(2)若a=5,c=13,则b=
;
(3)若b∶c=4∶5,a=15,则b=
,c=
。
2.如图,△ABC 是直角三角形,分别以两条直角边
AB,AC 为边向外作正方形。如果两个正方形的
面积分别是36和64,求BC 的长。
126
勾股定理的逆命题是什么? 它是真命题吗?
已知△ABC 的三边长分别为AC=3,BC=4,AB=5。验证三边长是否满
足a
2+b
2=c
2? 用尺规作图的方法作出△ABC,观察它是怎样的三角形。
当△ABC 的三边长分别为5,12,13时,三边长是否仍满足a
2+b
2=c
2?
它是怎样的三角形? 你可以从中得到什么结论?
① ②
图5.1-5
一般地,如果△ABC 的三边长a,b,
c满足a
2+b
2=c
2(图5.1-5①),它是直角
三角形吗? 为什么?
另作一个Rt△A'B'C',使得∠C'=90°,
A'C'=b,B'C'=a(5.1-5②)。我们可以通过
证明△A'B'C'≌△ABC,得出△ABC 是直角
三角形。
由勾股定理,得A'B'
2=A'C'
2+B'C'
2=a
2+b
2。
因为a
2+b
2=c
2,所以A'B'
2=c
2。所以
A'B'=c=AB。于是△ABC≌△A'B'C'(SSS)。
所以∠C=∠C'=90°。所以,△ABC 是直角三
角形。
127
勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么
这个三角形是直角三角形。
已知三角形三条边的长分别是:
(1)2,3,4; (2)3x,4x,5x(x>0)。
分别判断它们是否为直角三角形。
解:(1)在边长为2,3,4的三角形中,4是最大边长。
因为2
2+3
2=13≠4
2,
所以该三角形不是直角三角形。
(2)在边长为3x,4x,5x(x>0)的三角形中,5x 是最大边长。
因为(3x)
2+(4x)
2=9x
2+16x
2=25x
2=(5x)
2,
所以该三角形是直角三角形。
1.已知三角形三条边的长分别是:
(1)1.5,2,2.5; (2)10,24,26; (3)12,15,18。
分别判断它们是否为直角三角形。
2.一个零件的形状如图所示。已知∠DAB=90°,AB=3,AD=4,BC=12,CD=13。
能判断∠DBC 是直角吗? 证明你的结论。
(第2题)
128
复习巩固
1.在△ABC 中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C 所对的三条边。
(1)已知a=9,b=12,求c的长;
(2)已知b=15,c=17,求a的长。
2.如果三个正整数a,b,c满足a
2+b
2=c
2,那么数组(
a,b,c)称为勾股数组。判
断(7,24,25),(8,15,17),(20,21,29)是勾股数组吗?
3.一个外轮廓为正方形的机器零件的平面示意图如图所示,根据图中标出的尺寸
(单位:mm)计算两圆孔中心A 和B 之间的距离。
(第3题)
(第4题)
4.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=25,BC=20,CD⊥AB,垂足为点
D。求CD 和AD 的长。
5.如图,旗杆AB 的顶端垂下来一根绳索,将绳索紧贴旗杆,测得绳索剩余的部分
BC 长为4
m,将绳索拉直到AD 的位置,测得此时BD 的长为10
m,求旗杆的高。
(第5题)
(第6题)
6.一株由正方形和直角三角形组成的“勾股树”如图所示。若正方形A,B,C,D
的边长分别是3,5,2,3,则正方形E 的面积是多少?
129
拓展延伸
7.如图,正方形网格中,每个小方格的边长为1,且点A,B,C 均为格点。
(1)判断△ABC 的形状; (2)求(AC+BC)
2。
(第7题)
(第8题)
8.如图,在笔直的公路上有相距2.5
km 的A,B 两点,C,D 为两个村庄,
DA⊥AB,CB⊥AB,垂足分别为点A,B。已知DA=1.5
km,CB=1
km。现
要在公路的AB 段上建一个便民服务站E,使得C,D 两村到便民服务站E 的距
离相等。便民服务站E 应建在离A 点多远的地方?
探索创新
9.边长分别为a和b的两个正方形纸片能够剪拼成一个大正方形吗? 若能,请画出
剪拼示意图;若不能,请说明理由。
(1)当a=b时,如图①;
(2)当a≠b时,如图②。
①
②
(第9题)
130
图5.1-6
漫话勾股定理
勾股定理,是一个富有魅力的数学定理。
据《周髀算经》(约成书于公元前1世纪)记载,殷末周初数学家商高(生卒年不
详)明确提出“勾广三,股修四,径隅五”。大意为:如果一个直角三角形的勾为3,
股为4,那么弦就是5。这是勾股定理的一个特例。书中还记载了东周时期的荣方
(生卒年不详)与陈子(生卒年不详)关于勾股定理一般形式的一段论述:“若求邪至日
者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日。”句中的
“邪”即斜,用公式表示,即
斜至日(弦)= 勾2+股2。
这是我国古人对勾股定理一般形式的最早表述。
勾股定理的证明方法有几百种之多,目前还没有
哪一个定理有如此多的证明方法。本章5.1节所给出
的勾股定理证明方法,是汉末三国初数学家赵爽在《周
髀算经注》中的“弦图”证法。
魏晋时期数学家刘徽绘制了“青朱出入图”(图5.1-
6),他将青、朱两块移出、拼入,很简单地证明了勾
股定理。
在西方,古希腊数学家毕达哥拉斯发现并证明了这一定理,因此这个定理也被称
为“毕达哥拉斯定理”。传说他是将8个全等的直角三角形摆放在两个边长为(
a+b)的
大正方形内(图5.1-7),对比两图绿色部分的面积可知:小正方形Ⅰ和Ⅱ的面积之和与Ⅲ
的面积相等,即a
2+b
2=c
2。
①
②
图5.1-7
131
已知正方形的边长,利用平方运算可求得它的面积。反过来,已知正方形
的面积,如何求它的边长?
正方形的面积/m
2
4
9
16
25
100
0.01
正方形的边长/m
上面运算的实质就是已知一个正数的平方,求这个数。
如果一个正数x 的平方等于a,即x
2=a,那么这个正数x 叫作a 的算术
平方根(arithmetic
square
root),记作a,读作“根号a”。例如,因为2
2=4,
所以2是4的算术平方根,即4=2。
特别地,规定0的算术平方根是0,即0=0。
任何数都有算术平方根吗?
正数的平方都是正数,不同正
数的平方不同。因此,一个正数a
有一个算术平方根。
因为任何数的平方都不是负数,
所以负数没有算术平方根。
132
正数有一个正的算术平方根,0的算术平方根是0,负数没有算术平方根。
求下列各数的算术平方根:
(1)1; (2)100; (3)0.36; (4)25
9。
解:(1)因为1
2=1,
所以1的算术平方根是1,即1=1。
(2)因为10
2=100,
所以100的算术平方根是10,即100=10。
(3)因为0.6
2=0.36,
所以0.36的算术平方根是0.6,即0.36=0.6。
(4)因为5
3
2
=25
9,
所以25
9的算术平方根是5
3,即25
9 =5
3。
已知一个圆形花坛的面积是64π
m
2,它的半径是多少?
解:设圆形花坛的半径为x
m。根据题意,得
πx
2=64π,
所以x
2=64。
由算术平方根的意义可知
x= 64=8。
所以,圆形花坛的半径为8
m。
一个正数与它的算术平方根相比,哪个数较大?
133
1.求下列各数的算术平方根:
(1)49; (2)0; (3)1.21; (4)81
16。
2.铺装一间面积为32
m
2 的办公室的地面,恰好用完大小相同的50块正方形地板
砖。每块地板砖的边长是多少?
复习巩固
1.填表:
a
16
25
64
a
2
3
6
7
9
2.下列各数有没有算术平方根? 如果有,求出它的算术平方根;如果没有,请说明
理由。
(1)-16; (2)1
4; (3)0.008
1; (4)(-1)
2。
3.计算:
(1) 4;
(2) 64
25;
(3)(9)
2;
(4) (-7)
2。
4.下列说法正确吗? 为什么?
(1)7是49的算术平方根;
(2)16是4的算术平方根;
(3)-3是-9的算术平方根;
(4)2是4的算术平方根。
拓展延伸
5.
△ABC 的面积为24
cm
2,AB 边上的高是AB 边长的3倍。求AB 的长。
6.已知一个整数的算术平方根等于它本身,这个数是多少? 请直接写出答案。
探索创新
7.若a为有理数,a
2 有算术平方根吗? 如果有,求出它的算术平方根。
134
如果一个正方形的面积是4,它的边长就是2。如果一个正方形的面积是2,
那么它的边长又是多少呢?
如图5.3-1,用四个腰长为1的等腰直角三角形可以拼成一个面积为2的正
方形。正方形的边AB 的长是多少?
由勾股定理,得AB
2=AO
2+BO
2
=1
2+1
2=2,所以AB= 2。
也可以由算术平方根的意义直接得
到AB= 2。
图5.3-1
在这个问题中, 2是有理数吗?
(1) 2是整数吗? 如果不是,你能估计出2在哪两个连续的整数之间吗?
因为1
2=1,2
2=4,(2)
2=2,而
1<(2)
2<4,所以1< 2<2,即2在整
数1,2之间,它不可能是整数。
(2) 2是整数1,2之间的某一个分数吗?
135
如果2是一个分数,那么可把它化成最简分数
m
n。于是, m
n
2
= (2)
2=2。而m
n
2
=m
n ·m
n,
因为m 与n没有除1以外的公约数,所以m
n
2
仍然
是一个最简分数,不会是2。所以,2不可能是分数。
既然2不是整数,也不是分数,那么它就不是有理数。
(3)在1< 2<2的基础上,还能进一步估计2的近似值吗?
由1< 2<2,可知2是一个整数部分是1的小数,即2=1.…。
由1.4
2=1.96,1.5
2=2.25,得1.4
2<(2)
2<1.5
2,所以1.4< 2<1.5,
由此可以估计2的十分位上的数字是4,即2=1.4…。
利用计算器再分别算出1.41
2=1.988
1,
1.42
2=2.016
4,
所以1.41< 2<1.42。
由此可以估计2的百分位上的数字是1,即
2=1.41…。
在计算器上,依次按
键:
,可以
直接得到2的近似值:
2=1.414
213
562…。
依此类推,可以估算出2的千分位、万分位……
借助计算机,可以继续算出:
2=1.414
213
562
373
095
048
801
688
724
209
698
078
569
671
875…。
事实上,像2这样的小数,它的位数是无限的,而且是不循环的,它们不
是有理数。我们把这样的小数叫作无限不循环小数。
在小学,我们认识过一个无限不循环小数,π=3.141
592
6…。用上面研究
2的方法,我们还可以得到其他无限不循环小数。
例如3=1.732
050…, 5=2.236
067…。
136
无限不循环小数叫作无理数(
irrational
number)。
记a= 7。
(1)a在哪两个连续的整数之间?
(2)求a的十分位数;
(3)求a的近似值(结果精确到0.1)。
解:由a= 7,得a
2=7。
(1)因为2
2=4,3
2=9,4<7<9,
所以2
2<a
2<3
2。
所以a在2和3之间。
(2)因为2.6
2=6.76,2.7
2=7.29,6.76<7<7.29,
所以2.6
2<a
2<2.7
2。
所以2.6<a<2.7。
所以a的十分位数为6(即7=2.6…)。
(3)因为2.65
2=7.022
5,6.76<7<7.022,
所以2.6<a<2.65。
所以a精确到0.1的近似值为2.6。
求2+ 3的近似值(结果精确到0.01)。
解:解法1: 2+ 3≈1.414+1.732=3.146≈3.15。
解法2:如果用计算器计算,按下列顺序依
次按键:
,
屏幕上显示3.146
264
37。
按精确到0.01取近似值, 2+ 3≈3.15。
在近似计算时,参与运
算的数一般要比题目所要求
的精确度多取一位近似值。
计算出结果后,再把结果的
最后一位小数四舍五入。
1.分别判断下列各数在哪两个连续的整数之间?
(1) 11; (2) 35; (3) 55。
2.求5+ 6的近似值(结果精确到0.01)。
137
我们知道有理数可以用数轴上的点表示。无理数也可以用数轴上的点表示吗?
图5.3-2
图5.3-2给出了长度分别为3和5的线段的一种作法。
你还能继续作出长度为6, 7的线段吗?
如何在数轴上作出表示无理数2, 3, 5的点?
与图5.3-2类似,在图5.3-3中,先在数轴上方作边长为1的正方形,则对角
线的长度为2,以原点为圆心, 2为半径画弧,与数轴的交点所表示的数就是2。
图5.3-3
再作长为2,宽为1的长方形,则对角线的长度为3,以原点为圆心, 3
为半径画弧,与数轴的交点所表示的数就是3。
依此类推,就得到了数轴上表示2, 3, 5的点。
任何一个无理数都可以用数轴上的点来表示。
如图5.3-4,方格纸上每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的
顶点都称为格点。
图5.3-4
(1)画出以点A 和图中另一格点为端点,且长度为5的
线段;
(2)画出一个等腰直角三角形AMN,使得点A 为直角顶
点,点M,N 为图中的格点,且MN= 10。
138
图5.3-5
解:(1)如图5-3.5,因为AP1= 1
2+2
2= 5,
AP2= 1
2+2
2= 5,
AP3= 1
2+2
2= 5,
所以符合题意的线段为AP1,AP2,AP3。
(2)在图5.3-6中,由(1)可知AM=AN= 5,
图5.3-6
因为MN= 1
2+3
2= 10,
所以AM
2+AN
2=MN
2。
所以△AMN 为直角三角形。
符合题意的三角形为△AMN。
1.如果等腰直角三角形的斜边长为2,它的一条直角边的长为多少?
2.已知一条长为2的线段,请用尺规作图的方法,作出一条长为3的线段。
(第4题)
复习巩固
1.下列各数中,哪些是有理数? 哪些是无理数?
22
7, - 9, π, 3.14, 1.7
·
, 6。
2. (1)判断63在哪两个连续的整数之间?
(2)求17的近似值(结果精确到0.1)。
3.一个等边三角形的边长为6,求它的面积。
拓展延伸
4.如图,在正方形网格中,每个小正方形边长为1,点A,B,
C 均为格点,以点A 为圆心,AB 长为半径作弧,交网格线
于点D。求CD 的长。
139
探索创新
5. (1)如图①所示的“牛头”形图案,其画法是从正方形Ⅰ开始,以它的一边为斜
边向外作等腰直角三角形,然后再以其两条直角边为边,分别向外作正方
形Ⅱ和Ⅱ',依此类推。若正方形Ⅰ的边长为64
cm,分别求正方形Ⅱ,Ⅲ和Ⅳ
的边长(结果不需要化简)。
(2)如图②,△ABC 是直角边长为1的等腰直角三角形,以斜边AC 为直角边,画
第二个等腰直角三角形ACD,再以斜边AD 为直角边,画第三个等腰直角三
角形ADE……依此类推,写出第n个等腰直角三角形的斜边长(结果不需要化
简)。
①
②
(第5题)
无理数的发现
古希腊时期,毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”(指整数和分数),他们相信用
整数和分数就可以解决生活中的所有问题。毕达哥拉斯的学生希帕索斯却意识到:
边长为1的正方形的对角线长度既不能用整数表示,也不能用分数表示! 于是,第
一个无理数2被发现了,从而动摇了“万物皆数”的信念,引发了“第一次数学危
机”。
“第一次数学危机”表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整
数及其比来表示;反之,数却都可以由几何量表示出来。这次“危机”还反映出直
觉和经验不一定靠得住,推理和证明才是可靠的。这是数学思想史上的一次革命。
从此古希腊人开始从“自明的”公理出发,形成了欧几里得《几何原本》的公理体系
与亚里士多德的形式逻辑体系,为数学的发展作出了杰出贡献。
140
我们知道,一个正数的平方等于a,这个数就是a 的算术平方根。如果一
个负数的平方等于a,它与a的算术平方根有关系吗?
x
2
4
9
16
0.01
25
16
0
x
上面运算的实质是已知一个数的平方,求这个数。
如果一个数x 的平方等于a,即x
2=a,那么x 叫作a 的平方根(square
root)或二次方根。
例如,2和-2是4的平方根。
任意一个数一定有平方根吗? 如果有,有几个? 它们之间有什么关系?
除0外,一对相反数的平方是同一个
正数,所以一个正数的平方根有两个,它
们互为相反数。
由于0的平方是0,所以0的平方根仍
是0。在我们所认识的数中,任何数的平方
都不是负数,所以负数没有平方根。
141
一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平
方根。
正数a的两个平方根互为相反数,其中正的平方根是它的算术平方根a,
负的平方根是它的算术平方根的相反数- a,合起来记作“± a”,读作“正
负根号a”。例如,4的平方根是± 4,即±2;2的平方根是± 2。
图5.4-1
求一个数a(
a≥0)的平方根的运算叫作开平方,a
叫作被开方数。平方与开平方互为逆运算(图5.4-1)。
求下列各数的平方根:
(1)1;
(2)25;
(3)4
9;
(4)3。
解:(1)因为(±1)
2=1,
所以1的平方根是±1,即± 1=±1。
(2)因为(±5)
2=25,
所以25的平方根是±5,即± 25=±5。
(3)因为±2
3
2
=4
9,
所以4
9的平方根是±2
3,即± 4
9=±2
3。
(4)因为(± 3)
2=3,
所以3的平方根是± 3。
求下列各式的值:
(1)- 0.16; (2) 10
-2- 10
2; (3)(6)
2-(- 5)
2。
解:(1)- 0.16=-0.4。
(2) 10
-2- 10
2= 0.01- 100=0.1-10=-9.9。
(3)(6)
2-(- 5)
2=6-5=1。
142
1.判断下列说法是否正确:
(1)0的平方根是0; (2)4的平方根是2;
(3)-2
2 的平方根是±2;
(4)π的平方根有两个,它们互为相反数。
2.求下列各数的平方根:
(1)81
4; (2)2.25;
(3)(-3)
2; (4)7。
复习巩固
1.下列各式中,哪些有意义? 哪些无意义?
(1)- 5; (2) -5; (3)± 5; (4) (-5)
2。
2.判断下列说法是否正确,并说明理由:
(1)16的平方根是4; (2)2的平方根是±2;
(3)0.01是0.1的算术平方根;(4)如果一个数有平方根,那么它有算术平方根。
3.求下列各数的平方根:
(1)144;
(2)(-8)
2;
(3)81
169;
(4)10
-4。
4.求下列各式的值:
(1)-
1
9; (2)± 25
4 ;
(3)- 0.000
1+ 0.09;
(4)(6)
2+ (-6)
2。
拓展延伸
5.求下列各式中x 的值:
(1)3x
2=27;
(2)4x
2-1=7。
6.正数m 的两个平方根恰好相差12,求m 的值。
探索创新
7.已知a≠0,下列各数有没有平方根? 如果有,它的平方根是什么?
(1)a
2; (2)(-a)
2; (3)-a
2。
143
通过研究正方形边长与面积的关系,我们学会了如何求一个正数的算术平
方根,进而学会了开平方运算。那么研究正方体的棱长与体积的关系,又会有
什么新的发现呢?
(1)一个正方体的体积是8
cm
3,它的棱长是多少?
(2)如果一个数的立方是64,这个数是多少?
(3)有没有一个数的立方是-27? 这样的数有几个?
这些都是已知一个数的立
方,求这个数的问题。
如果一个数x 的立方等于a,即x
3=a,那么x 叫作a的立方根(cube
root)
或三次方根。例如,因为2
3=8,所以2是8的立方根;因为(-3)
3=-27,所
以-3是-27的立方根。
任意一个数都有立方根吗? 有几个? 有什么特点?
一个正数的立方是一个正数,
所以一个正数的立方根是一个正数。
0的立方是0,所以0的立方根是
0。一个负数的立方仍是一个负数,所
以一个负数的立方根是一个负数。
144
正数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数,0的立方根是0。
图5.5-1
数a 的立方根记作“
3a”,读作“三次根号
a”,其中a 叫作被开方数,3叫作根指数。例如,
125的立方根是5,记作
3125=5。
求一个数的立方根的运算叫作开立方。立方运
算与开立方运算互为逆运算(图5.5-1)。
求下列各数的立方根:
(1)1
000; (2)-64;
(3)8
27;
(4)-0.125。
解:(1)因为10
3=1
000,
所以1
000的立方根是10,即
31
000=10。
(2)因为(-4)
3=-64,
所以-64的立方根是-4,即
3-64=-4。
(3)因为2
3
3
=8
27,
所以8
27的立方根是2
3,即
38
27=2
3。
(4)因为(-0.5)
3=-0.125,
所以-0.125的立方根是-0.5,即
3-0.125=-0.5。
从例1的(2)(4)可以看出:
3 -64=-
364,
3-0.125=-
30.125。
一般而言,如果a>0,那么
3-a=-
3a。
也就是说,求一个负数的立方根,可以先求这个负数的绝对值的立方根,
再取相反数。
145
记a=
35。
(1)a在哪两个连续的整数之间?
(2)用计算器求a的近似值(结果精确到0.001)。
解:(1)因为1
3<5<2
3,
所以1<
35<2。
所以a在1和2之间。
(2)在计算器上,依次按键
,可以得到
35=1.709
975
946…。
所以
35≈1.710。
35是一个无限不循环小数,也是一个无理数。
求下列各式的值:
(1)(
35)
3; (2)
31
64-
1
64; (3)
3(-2)
3+ (-2)
2。
解:(1)(
35)
3=5。
(2)
31
64-
1
64=1
4-1
8=1
8。
(3)
3(-2)
3+ (-2)
2=
3-8+ 4=(-2)+2=0。
想一想:在绝对值不大于1
000的整数中,哪些数的立方根仍然是整数?
1.说出下列各数的立方根:
(1)2; (2)-8; (3)-0.001; (4)216。
2.求下列各式的值:
(1)
3125;
(2)(
364)
3;
(3)
3-27- 9。
146
复习巩固
1.判断下列说法是否正确,并说明理由:
(1)-4没有立方根; (2)1的立方根是±1;
(3)-5的立方根是
3-5;
(4)0的立方根是0。
2.求下列各数的立方根:
(1)64;
(2)0.512;
(3)-729。
3.估计下列各数的立方根在哪两个连续的整数之间:
(1)35;
(2)-10。
4.求下列各式的值:
(1)-
327
8 ;
(2)
3-0.064;
(3)
3-125+ 25。
5.用计算器分别求
32和
3100的近似值(结果精确到0.01)。
拓展延伸
6.已知第一个正方体纸盒的棱长为4
cm,第二个正方体纸盒的体积比第一个的体积
大61
cm
3,求第二个纸盒的棱长。
7. (1)求
30
3,
3(-1)
3,
33
3的值;
(2)求(
30)
3,(
3-1)
3,(
33)
3 的值;
(3)
对比(1)(2)的计算结果,你有什么发现?
探索创新
8.我国数学家华罗庚(1910—1985)在一次出国访问途中,看到飞机邻座乘客阅读的
杂志上有一道智力题:已知59
319的立方根是整数,求这个整数。华罗庚不假思
索地说出了答案,你知道他是怎样得到答案的吗?
(1)下面是小莹求
359
319的探究过程,请补充完整:
①
由10
3=1
000,100
3=1
000
000,可以确定
359
319是
位数;
②
由59
319的个位上的数字是9,可以确定
359
319的个位上的数字是
;
③
如果划掉59
319后面的319得到数59,而3
3=27,4
3=64,可以确定
359
319的十位上的数字是
;由此求得
359
319=
。
(2)已知103
823的立方根也是整数,请直接写出
3103
823=
。
147
七年级时我们认识了有理数,本章中我们又学习了无理数,数的范围进一
步得到扩充。
有理数与无理数统称为实数(real
number)。
我们知道,无理数是无限不循环小数。如果把有理数写成小数,你有什么
发现?
整数也可看作有限小数(如-2可以看作-2.0),分数可以化为有限小数
如1
2,3
4
或无限循环小数如2
3,22
7
。因此,所有的有理数都可以化为有限小数
或无限循环小数。
(1)如何对实数进行分类?
按实数的符号分类:
实数
正实数
0
负实数
按实数的概念分类:
实数
有理数(有限小数或无限循环小数)
无理数(无限不循环小数)
148
(2)实数与数轴上的点有什么关系?
有理数和无理数都可以用数轴上的点表示,即任何一个实数都对应数轴上的
一个点。反过来,在数轴上任取一个点,它所表示的数都是一个实数。
每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示,数轴上的每一个点都
表示一个唯一的实数,实数与数轴上的点一一对应。
与有理数一样,数轴上原点表示0,一般来说,原点右边的点表示正实数,
左边的点表示负实数。对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比
左边的点所表示的实数大。
下列各数哪些是有理数? 哪些是无理数? 哪些是正实数? 哪些是负
实数?
-
32,1
4,π,0.26
·
, 3,0, 23,3.141
6,
-3.101
001
000
1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
解:有理数:1
4,0.26
·
,0,3.141
6;
无理数:-
32,π, 3, 23,-3.101
001
000
1…;
正实数:1
4,π,0.26
·
, 3, 23,3.141
6;
负实数:-
32,-3.101
001
000
1…。
运用数轴比较下列实数的大小(用“<”连接):
5
2, -2
3, 3, - 5, 3.2。
解:在数轴上表示5
2,-2
3, 3,- 5,3.2的大致位置(图5.6-1)。
图5.6-1
所以- 5<-2
3< 3<5
2<3.2。
149
将数的范围从有理数扩充至实数后,相反数、绝对值等有关概念也同样适
用,有理数的运算法则、运算律、运算顺序和运算性质在实数范围内仍然成立。
例如,
5+(- 5)=(- 5)+ 5=0;
2+(1+π)=(2+1)+π=3+π;
2·(2)
3=(2)
1+3=(2)
4=[(2)
2]
2=4。
求下列各数的相反数和绝对值:
(1)3- 5; (2)
36-
37。
解:(1)3- 5的相反数是-(3- 5)= 5-3;
因为3> 5,
所以3- 5>0。
所以|3- 5|=3- 5。
(2)
36-
37的相反数是-(
36-
37)=
37-
36;
因为
36<
37,
所以
36-
37<0。
所以|
36-
37|=
37-
36。
1.写出下列各数的相反数和绝对值:
(1) 6; (2)
3-27; (3)-π+3。
2.比较下列各组数中两个数的大小:
(1)2.2与5;
(2)-
37与
3-8;
(3) 8与
327。
150
复习巩固
1.判断下列说法是否正确:
(1)有理数、无理数和0统称为实数; (2)数轴上的点与实数一一对应;
(3)最小的正无理数是2;
(4)没有最大的实数;
(5)有绝对值最小的实数;
(6)π
2是分数。
2.将下列实数与图中数轴上标有字母的各点对应起来,并比较这些数的大小:
2, -3
2, 5, π,
327。
(第2题)
3.求下列各数的相反数和绝对值:
13, -π,
3-101, 3-2。
4.用计算器求下列各数的近似值(结果精确到0.001):
(1) 2-1; (2)43; (3) 10+ 11。
拓展延伸
5. (1)写出所有小于48的正整数;
(2)写出所有大于- 17且小于7的整数;
(3)写出所有绝对值小于15的整数。
探索创新
6.我们知道: 2是无理数,且1< 2<2,把1叫作2的整数部分, 2-1叫作2的
小数部分。类似地,
33也是无理数,且1<
33<2,把1叫作
33的整数部分,
33-1叫作
33的小数部分。
(1)分别求10和
399的整数部分和小数部分;
(2)已知a是5的整数部分,b是5的小数部分,求ab+a
2 的值。
151
1.勾股定理及其逆定理的内容是什么? 这两个定理如何证明?
2.算术平方根、平方根、立方根,这几个概念的含义分别是什么? 如何进
行开平方、开立方? 请举例说明,并用适当的符号表示。
3.无理数和有理数的区别是什么? 分别举几个无理数和有理数的例子。
4.实数是如何分类的? 实数与数轴上点的关系是什么?
5.在学习数轴、比例线段时,我们用代数方法研究了几何问题,也用几何
方法解释了代数中的结论。还有其他类似的应用吗?
152
复习巩固
1.下列各数中,哪些是有理数? 哪些是无理数?
35.1, -4.9
·
6
·
, -2
3, 23, 5, π-3, 7。
2.判断下列说法是否正确:
(1)无理数包括正无理数、零、负无理数;
(2)无理数都可以用数轴上的点来表示;
(3)若一个数有算术平方根,则其算术平方根一定是正数;
(4)一个不等于0的实数的立方根的符号与这个数的符号相同。
3.求下列各式的值:
49, ( 16)
2, -
38, (
311)
3。
4.比较下列各组中两个数的大小:
(1) 5与- 6; (2)2与2; (3)- 9与-
310。
5.把下列各数按照从小到大的顺序用不等号连接起来:
-1
2, 3,
10, 2.5, 0,
3(-1)
3, |- 2|。
6.如果一个直角三角形的两条边的长度分别为3和5,求第三边的长。
7.如图所示的正方形网格中,A,B,C 是格点,试判定△ABC 的形状。
(第7题)
(第8题)
8.小亮用如图所示的方法在数轴上作出了表示数c的点C,具体作法:作Rt△OAB,使得
∠OAB=90°,OA=2,AB=3,再在正半轴上取点C,使得OC=OB。
(1)求c的值;
(2)参考小亮的作法,在数轴上作出表示- 29的点D。
153
拓展延伸
9.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它由四个全等的直角三角形围成,在
Rt△ABC 中,直角边AC=6,BC=5。将四个直角三角形中边长为6的直角边分别
向外延长一倍,得到图②所示的“数学风车”,计算这个风车的周长(图②中各实线的
长度之和)。
①
②
(第9题)
(第10题)
10.小亮在桌面上用五个大小相同的正方形卡片和一个等腰直角三角板摆出如图所示的
图案,点D,C,E 在同一直线上。已知AC=13
cm,求正方形的边长。
11.七巧板是我国传统的智力玩具,其历史至少可追溯到公元前1世纪。七巧板由五块等
腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成,如图①。设小正方形的边长为1,
分别求图②中由七巧板拼出的数字“1”和“5”的高度。
①
②
(第11题)
(第12题)
12.我国明代数学家程大位(1533—1606)编写的《算法统宗》中记载了一道有趣的数学
问题:平地秋千未起,板绳离地一尺。送行二步恰竿齐,五尺板高离地。仕女佳人
争蹴,终朝语笑欢戏。良工高士请言知,借问索长有几。大意为:有一架秋千,当
静止时其踏板离地的高度AC=1尺;将踏板向前推进两步(距离BF=2步=10尺)
并使秋千的绳索拉直,此时踏板便离地5尺(高度BD=5尺),你能求出绳索OB 的
长吗?
154
探索创新
13.如图,在△ABC 中,AB=5,AC=13,BC 边上的中线AD=6。求BC 的长。
(第13题)
14.小亮在学习平方根后,发现用下列方法可以估计27的近似值:
因为25<27<36,
所以5< 27<6。
设27=5+t,则( 27)
2=(5+t)
2,
即27=25+10t+t
2。
于是27≈25+10t。
解方程,得
t≈0.2。
所以27≈5+0.2=5.2。
请用小亮的方法估计52的近似值。
第6 章 一元一次不等式
内容提要
◆ 不等式及不等式的解集
◆ 一元一次不等式
◆ 一元一次不等式组
方程与不等式
等式与
不等式
一元一次
不等式
数的大小比较
……
现实世界中，数量间的不等关系普遍存在。黄河汛期每
日水位的涨落、一天中不同时段气温的高低、班级中同学身
高的差异……都反映出数量间的不等关系。
当乘车在高速公路上行驶时，你能从高速公路旁的限速
牌上读出两种车型的时速范围吗？怎样用数学的语言表示这
个时速范围？
不等式是刻画数量之间不等关系的基本模型。本章我们
将类比等式和方程，学习不等式及其性质，研究一元一次不
等式（组）的解法，并通过解决实际问题，体会不等式这一
数学模型的重要作用。
157
如何用数学语言描述数量间的不等关系?
(1)在章引言的限速牌中,小型车的时速范围是多少? 怎样用数学语言表
示这个时速范围呢?
(2)空军招收飞行员对考生的视力是有要求的。如,双眼裸眼视力均不低于
“E”型视力表5.0,才能报考飞行员。怎样用数学语言表示对视力的这一要求?
(3)国际航班免费托运行李的尺寸规定为:每件行李的长、宽、高的三边
之和不超过158
cm。如果设每件行李的长、宽、高分别为a
cm,b
cm,c
cm,
那么如何用数学语言表示长、宽、高应满足的条件?
(4)什么数的2倍与3的和大于11?
以上问题用适当的符号表示就可以得到解决:
(1)设小型车速度为v
km/h,由小型车最
高时速为120
km,最低时速不能低于60
km,
可知60≤v≤120。
(2)设某考生两眼的裸眼视力均为a,
则a≥5.0。
(3)a+b+c≤158。
(4)设这个数为x,则2x+3>11。
这些关系式有怎样的特点?
符号“≥”表示“>”
或“=”,读作“大于或等
于”,也可说成“不小于”;
符号“≤”,读作“小于或等
于”,也可说成“不大于”。
用“>”“≥”“<”“≤”连接的式子,叫作不等式(
inequality)。
像3-2a≠0这种用符号“≠”连接的式子也是不等式。有些不等式中不含
未知数,如4>3。
158
观察下列不等式,你发现它们有哪些共同特征?
a≥5.0, 2x+3>11, 1-2y>2(y+3), 2x-3
2
≤2x-1。
像这样,不等式的两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的次数
都是1的不等式叫作一元一次不等式(
linear
inequality
with
one
unknown)。
你还能举出一些一元一次不等式吗?
为了加强体育锻炼,增强学生体质,某中学要购买足球和篮球共
100个。已知足球和篮球的价格分别为120元/个和170元/个,购买的总费用不
超过15
000元。如何用数学语言表示这种不等关系?
解:设购买的足球数为x 个,则购买的篮球数为(100-x)个,购买足球和
篮球的费用分别为120x 元和170(100-x)元。
因为购买的总费用不超过15
000元,所以120x+170(100-x)≤15
000。
1.指出下列式子中的不等式:
(1)2x+3=0; (2)-4≤- 2; (3)y
2-2y≠3;
(4)3x
2-1;
(5) 2
x+1;
(6)2m-3>0。
2.指出下列式子中的一元一次不等式:
(1)2m+3<0;
(2)2
x>0;
(3)x
2-x≤3;
(4)3x-y>0;
(5)2
3y+3>y
2;
(6)3m+5≠6。
3.用不等式表示:
(1)a与b的差是负数;
(2)x 的3倍与5的差是非负数;
(3)某城市一年中最高气温为38
℃,最低气温为-5
℃,若用t(单位:℃)表示该
城市这一年的气温,写出t的变化范围;
(4)某机械零件的设计图纸上,长度尺寸L 标记为60±0.2,表示切削加工中零
件尺寸允许的变动量,用不等式表示这个零件长度的合格尺寸(L 的取值
范围)。
159
在求方程的解时,我们曾通过反复尝试“估算—检验”的方法,寻找到方
程的解,这种方法能否帮助我们找到使不等式成立的未知数的值呢?
以不等式2x+3<11为例,x 可以取哪些实数呢? 你能通过“估算—检验”
的方法,说出几个使2x+3<11成立的未知数x 的值吗?
当x=1时,2×1+3<11,
这个不等式成立。同样,x=2,
3时也成立。
与方程的解类似,能使这个不等式成立的未知数的值,叫作这个不等式的
解。x=1,2,3分别是不等式2x+3<11的一个解。
不等式2x+3<11的所有解包括哪些实数呢?
x=0,1.5,-2
等也是这个不等式的解,而
x=4,5,…不是这个不等式的解。我认为,满
足x<4的任何一个实数都是不等式2x+3<11
的解,这样的实数有无数个。
一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程叫作解不等式。
不等式2x+3<11的解集是x<4,这个解集可以用数轴上表示4的点的左
边部分来表示(图6.1-1)。
图6.1-1
160
同理,若解集是x≤4,这个解集可以
用数轴上表示4的点及其左边的部分来表
示(图6.1-2)。
图6.1-2
解集x<4不包括4,在数轴上
表示4的点处画空心圆圈。解集
x≤4包括4,在数轴上表示4的点
处画实心圆点。
在数轴上分别表示出下列不等式的解集,并写出它的所有负整数
解。
(1)x>-5; (2)x≥-5。
解:(1)不等式x>-5的解集在数轴上的表示如图6.1-3,它的负整数解
有4个,分别是-4,-3,-2,-1。
图6.1-3
(2)不等式x≥-5的解集在数轴上的表示如图6.1-4,它的负整数解有5
个,分别是-5,-4,-3,-2,-1。
图6.1-4
分别写出图6.1-5①②中所表示的关于x 的不等式的解集。
①
②
图6.1-5
解:图①所表示的不等式的解集为-3<x≤2;
图②所表示的不等式的解集为x≥-4且x≠-1。
161
1.下列数值中,哪些是不等式2x+3>9的解? 哪些不是?
-4, -2, 0, 3, 3.01, 4, 6, 100。
2.在数轴上分别表示出下列不等式的解集。
(1)x>4; (2)x≤-2; (3)-1≤x<10
3; (4)-5
2<x≤1。
3.如图,写出下列数轴上所表示的关于x 的不等式的解集。
(1)
(2)
(第3题)
复习巩固
1.已知不等式2x+3≥5。
(1)写出它的五个整数解;
(2)写出它的三个无理数解。
2.指出下列不等式中的一元一次不等式:
(1)x
2+2x+3<0;
(2)3x-2
3x>1;
(3)3x-2y≤3;
(4)2x+1
3
+3>x+9
2 。
3.用不等式表示:
(1)x 的3倍与2的差大于5; (2)x 的2倍与5的差小于它的一半;
(3)x 的2倍与1的和不大于2;
(4)x 的2
5与7的差不小于4。
4.在数轴上分别表示下列不等式的解集:
(1)x≤3; (2)x>3; (3)1<x≤3; (4)x<0。
162
5.分别用不等式和数轴表示下列数量关系:
(1)x 小于-1; (2)x 不小于-1;
(3)x 是正数;
(4)x 是非负数。
6.在某网上商店销售的鸡蛋标注一盒有30枚,1
750
g±50
g/盒。用不等式表示这
盒鸡蛋的质量(质量M 的取值范围)。
拓展延伸
7.某中学为更好地保护环境,建设美丽校园,准备开展生活垃圾分类工作。需要购
买分类垃圾桶10个,总费用不超过5
300元。市场上有A型和B型两种分类垃圾
桶,A型分类垃圾桶500元/个,B型分类垃圾桶560元/个。设购买A型垃圾桶
x 个,用x 表示这种不等关系。
8.已知x= 2是不等式x<1+a的解,求满足条件的a的最小整数值。
探索创新
9.写出一个不等式,使它的解集包含的最小的整数是1,这样的不等式能写出多少个?
163
等式的基本性质是等式变形的依据,类似地,不等式的基本性质也是不等
式变形的依据。不等式有哪些基本性质呢?
用“>”或“<”填空:
(1)6+3
(-3)+3, (-4)+3
(-2)+3,
6-2
(-3)-2,
(-4)-2
(-2)-2;
(2)6×3
(-3)×3,
(-4)×3
(-2)×3,
6÷2
(-3)÷2,
(-4)÷2
(-2)÷2;
(3)6×(-3)
(-3)×(-3), (-4)×(-3)
(-2)×(-3),
6÷(-2)
(-3)÷(-2), (-4)÷(-2)
(-2)÷(-2)。
你有什么发现? 换几个数试一试,结论仍成立吗?
从上面的问题中,你发现了哪些一般性的结论? 如何表示这些结论?
我发现:如果a>b,那么a+c>b+c
(或a-c>b-c);如果a>b,c>0,那么
ac>bc 或a
c >b
c
。
我还发现:如果a>b,c<0,
那么ac<bc 或a
c <b
c
。
164
不等式的基本性质1 不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号
的方向不变。
不等式的基本性质2 不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的
方向不变。
不等式的基本性质3 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的
方向改变。
利用不等式的基本性质,将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的
形式。
(1)x-3>5; (2)-3x<6;
(3)3x<2x+2;
(4)2
3x>-4。
解:(1)不等式两边都加3,得
x>5+3 (不等式的基本性质1),
即
x>8。
(2)不等式两边都除以-3,得
x>6÷(-3) (不等式的基本性质3),
即
x>-2。
(3)不等式两边都减去2x,得
3x-2x<2 (不等式的基本性质1),
即
x<2。
(4)不等式两边都乘3
2,得
3
2×2
3x>3
2×(-4) (不等式的基本性质2),
即
x>-6。
165
1.已知a<b,用“>”或“<”填空:
(1)a-2
b-2; (2)3a
3b;
(3)-5a
-5b;
(4)a÷7
b÷7。
2.用“>”“<”“≥”或“≤”填空:
(1)如果a>b,那么2a
a+b;
(2)如果5+x<0,那么x
-5;
(3)如果-2x≤-3,那么x
3
2;
(4)如果x≥y,那么2x+1
2y+1。
复习巩固
1. (1)由-1>-2能得出2-1> 2-2吗? 为什么?
(2)由-1>-2能得出- 2>-22吗? 为什么?
(3)由-1>-2能得出1
2
>2
2
吗? 为什么?
2.将下列不等式化成“x>a”“x<a”“x≥a”或“x≤a”的形式:
(1)x+3>6; (2)2x≤8; (3)5x≥4x-6; (4)-x
3>5。
3.用“>”或“<”填空:
(1)如果a+b>2b,那么a
b;
(2)如果x<1,那么2x-2
0;
(3)如果a<b,那么1-a
1-b。
拓展延伸
4.已知a<b<0,判断1
2(
b-a)的符号。
5.证明:三角形的任意一边小于周长的一半。
探索创新
6.若a+b=-3,且a≥2b,求a
b的最大值。
166
依据等式的基本性质可以解一元一次方程,那么依据不等式的基本性质可
以解一元一次不等式吗?
回顾一元一次方程的解法,你认为通过怎样的变形能求出不等式2x+3<11
的解集? 变形的依据是什么?
由不等式2x+3<11,
两边同时减去3,得
2x<11-3 (不等式的基本性质1)。
合并同类项,得
2x<8。
两边同除以2,得
x<4 (不等式的基本性质2)。
于是,我们就求出了不等式2x+3<11的解集为x<4。
解一元一次不等式,就是根据不
等式的基本性质,将不等式逐步化为
x<a(x≤a)或x>a(x≥a)的形式。
解不等式3(1+x)≥4-2(
x-2),并把它的解集在数轴上表示出来。
解:去括号,得
3+3x≥4-2x+4。
移项,得
3x+2x≥4+4-3。
合并同类项,得
5x≥5。
解一元一次不
等式可以移项,移
项后应改变符号。
167
系数化为1,得
x≥1。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图6.3-1。
图6.3-1
解不等式2y-1
3
>2y+3
2
-1,并把它的解集在数轴上表示出来。
解:去分母,得
2(2y-1)>3(2y+3)-6。
去括号,得
4y-2>6y+9-6。
移项,得
4y-6y>9-6+2。
合并同类项,得
-2y>5。
系数化为1,得
y<-5
2。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图6.3-2。
图6.3-2
解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同? 应该注意哪些问题?
1.解下列不等式,并把不等式的解集在数轴上表示出来:
(1)4-2x>x+1; (2)x-1
2 <4x-5
3
; (3)1+y
6 -2y-5
4
≥1。
2.三个连续正偶数的和小于19,这样的正偶数共有多少组?
3.关于x 的一元一次方程3x+2k=x-5的解是正实数,求k的取值范围。
168
与方程一样,不等式既是解决实际问题的有力工具,也是刻画现实世界数
量关系的数学模型。
A型光伏电池每平方米日均发电量为2
kW·h,每平方米需投资600元;
B型光伏电池每平方米日均发电量为1.5
kW·h,每平方米需投资400元。安装
两种光伏电池总面积为40
000
m
2,若每日用电量不低于74
000
kW·h,那么
A型光伏电池至少安装多少平方米?
设A型光伏电池安装x
m
2,则B型光伏电池安装
m
2,A型光伏
电池日发电量为
kW·h,B型光伏电池日发电量为
kW·h。
问题中的不等关系是什么?
问题中的不等关系是每日A
型光伏发电总量+B型光伏发电
总量≥74
000
kW·h。
根据题意,得
2x+1.5(40
000-x)≥74
000。
解不等式,得
x≥28
000。
所以,A型光伏电池至少安装28
000
m
2。
在实际问题的解决过程中,可以利用一元一次不等式表示出问题中的未知
量与已知量之间的不等关系,从而将实际问题化为解一元一次不等式的问题。
某件商品的进价为120元,售价为180元,为了促销,商家决定打
折销售。如要保证打折后利润率不低于20%,应如何打折?
解:设打x 折。根据题意,得
180×x
10-120≥120×20%。
解不等式,得
x≥8。
所以,要保证打折后利润率不低于20%,应最低打八折。
169
某旅游景点普通门票票价为每人30元,20人及20人以上的团体门
票票价为每人25元。
(1)一个旅游团队共有18人来景点参观,他们选用哪种购买门票的方式费
用更少?
(2)如果团队人数不足20人,当游客人数为多少时,购买20人的团体门
票比购买普通门票的费用更少?
解:(1)18人购买普通门票费用为
18×30=540(元)。
如果按20人购买团体门票,那么费用为
20×25=500(元)。
所以,这时选择购买20人的团体门票的方式费用更少。
(2)当游客人数x 不足20人时,如果按20人购买团体门票比购买普通门
票便宜,那么
20×25<30x。
解不等式,得
x>50
3。
因为x 是正整数,且x<20,所以x=17,18,19。
所以,当游客人数是17人、18人、19人时,选择购买20人的团体门票方
式比购买普通门票的费用更少。
1.某环保知识竞赛共设25道题,规定每答对一道题得4分,答错或不答扣1分。在
这次竞赛中,小亮被评为优秀(85分及以上),他至少答对了几道题?
2.小莹带了21元钱去买笔和笔记本。已知每支笔2元,每个笔记本2.2元,买了2
个笔记本后,她还能买几支笔?
170
复习巩固
1.解下列不等式,并在数轴上表示解集:
(1)-2x+1>5; (2)2(y+1)≤3(y-1);
(3)1
3y-1≤1
2y;
(4)y+y-1
2 >y-2
3 。
2.解下列不等式,并求出它的正整数解:
(1)5x-7<3;
(2)2(x-1)≤6;
(3)x+2
5 ≥x-1
3 ;
(4)2(x+1)-x-3
3 >7x-1
2
。
3.一个不大于42的两位数,十位上的数字与个位上的数字之和为6。求这个两位数。
4.一次射击比赛中,每名运动员共射击10次,每次射击最高环数是10环。一名运
动员前6次射击共中52环,如果他要打破89环的记录,那么第7次射击至少为
几环?
拓展延伸
5.当x 取何正整数值时,代数式x+3
2 与2x-1
3
的差大于1?
6.三个连续的正奇数之和小于20,求这三个正奇数。
7.关于x 的方程3x-1=2x+m 的解是正实数,判断m 的取值范围。
探索创新
8.某单位需要制作一批宣传材料。甲公司每份材料收费20元,另收3
000元设计
费;乙公司每份材料收费30元,不收设计费。什么情况下选择甲公司比较合算?
9.
A,B两地相距360
km,汽车货运公司与铁路货运公司都开办运输业务,所需费
用如下表所示(注:“元/t·km”表示1
t货物运送1
km所需的费用):
运输工具
运费/(元/t·km)
过路费/元
装卸及管理费/元
汽车
2
200
0
火车
1.8
0
1
400
某客户有一批货物需要从A地运往B地,根据他所运货物的质量,应如何选择运
输方式?
171
类比法与数学发现
在求解含有未知数的不等式时,你可能会首先想到解方程的方法,比如
移项和系数化为1等,希望利用这些方法解不等式。解方程时之所以能用这
些方法,是因为等式的基本性质能够确保变形后的方程与原方程的解是相同
的。解不等式时,同样要考虑不等式具有哪些基本性质。只有根据不等式的
基本性质对不等式进行变形,才能保证变形后的不等式与原不等式解是相同
的,从而得到不等式的解集。等式和不等式都是刻画现实世界数量关系的数
学工具,两者具有一定的相似性。因此,研究不等式时可以借鉴等式和方程
的方法。
根据两个或两类事物在某些方面的相同性或相似性,推论它们在其他方
面也具有相同性或相似性,这种方法叫作类比法。法国数学家拉普拉斯
(Pierre-Simon,marquis
de
Laplace,1749—1827)说过: “甚至在数学里,发
现真理的主要工具也是归纳和类比。”德国哲学家康德(Immanuel
Kant,
1724—1804)也指出:“每当理智缺乏可靠论证的思路时,类比这个方法往往
能指引我们前进。”在数学及其他科学的发展史上,许多重要的猜想与假说
都是运用类比法发现的;工程技术中的许多重要发明也是在类比法的启迪下
获得的。类比法已成为人类发现和发明的一种重要工具。
值得注意的是,运用类比法进行推理得到的结论并不一定是正确的。例
如,等式两边同时乘一个数,等式仍然成立,但是这一性质在不等式中就不
再成立了。因此,通过类比法得到的结论只能称为猜想,正确与否还有待进
一步论证。
172
现实世界中,一个问题往往蕴含着多个不等关系,这样的问题又该如何求
解呢?
某公司搬迁,计划租用大小两种货车共12辆。每辆大货车一次运输150箱物
资,一次需费用500元;每辆小货车一次运输100箱物资,一次需费用300元。若
运输物资不少于1
500箱,且总费用小于5
400元,需租用大货车辆数的范围是多
少?
设租用大货车x 辆,则租用小货车(12-x)辆。
从运输物资看,x 应满足不等式
150x+100(12-x)≥1
500。
①
从运输费用看,x 还应满足不等式
500x+300(12-x)<5
400。
②
因此,x 必须同时满足不等式①②,即
150x+100(12-x)≥1
500, ①
500x+300(12-x)<5
400。 ②
将不等式①和②联立,便组成了一个不等式组(system
of
linear
inequalities)。
一般地,由几个含有同一未知数的一元一次不等式所组成的不等式组,叫
作一元一次不等式组。
分别求出不等式①与②的解集,得到x≥6与x<9,并把它们在同一数轴
上表示出来(图6.4-1)。
图6.4-1
由图可以看出,不等式①与②的解集的公共部分为6≤x<9。这就是说,
173
使x≥6且x<9同时成立的x 的范围是6≤x<9。
一般地,一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫作这个
一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程叫作解不等式组。
如,6≤x<9是不等式组150x+100(12-x)≥1
500,
500x+300(12-x)<5
400
的解集。
解一元一次不等式组,先分别求出不等式
组中每个不等式的解集,然后在同一条数轴上
将它们的解集表示出来,利用数轴确定解集的
公共部分,最后写出不等式组的解集。
解下列不等式组:
(1) 3x-1>2x+1,
①
x+4<3x-2;
②
(2)
5x-2≤3(x+2),
①
x+4
2 <7-1
2x。
②
解:(1)解不等式①,得
x>2。
解不等式②,得
x>3。
在同一数轴上分别表示不等式①②的解集(图6.4-2)。
图6.4-2
所以该不等式组的解集是x>3。
174
(2)解不等式①,得
x≤4。
解不等式②,得
x<5。
在同一数轴上分别表示不等式①②的解集(图6.4-3)。
图6.4-3
所以该不等式组的解集是x≤4。
解下列不等式组:
(1) 2x>1-x,
x+4>3x-2;
(2) 2(x+1)<6,
3(x-1)≤2x-1。
解不等式组
x+1
3 <3x
5-x
10,
4(3x-2)≤4x+3(x-2)。
解:原不等式组可化为10(x+1)<18x-3x,
①
4(3x-2)≤4x+3(x-2)。
②
解不等式①,得
x>2。
解不等式②,得
x≤2
5。
在同一数轴上分别表示不等式①②的解集(图6.4-4)。
图6.4-4
所以该不等式组无解。
175
解不等式2≤3x-1
4
<5,并写出它的所有整数解。
解:原不等式变形为
2≤3x-1
4
,
①
3x-1
4
<5。
②
解不等式①,得
x≥3。
解不等式②,得
x<7。
在同一数轴上分别表示不等式①②的解集(图6.4-5)。
图6.4-5
所以该不等式组的解集为3≤x<7。
原不等式的整数解为3,4,5,6。
找到使不等式组x≤8,
x≥m
有解的一个m 的值。写出使不等式组x≤8,
x≥m
有解的
m 的取值范围。
1.解不等式组:
(1)
2-5x
6
<2x-3
2
,
4(x+2)>5(x-1);
(2)3≤3-x
2 +4≤7。
2.已知-2a,a,1-a三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列,求a 的取
值范围。
176
复习巩固
1.解下列不等式组:
(1) x≥0,
2x+1>5;
(2) 2x-4<-6,
-3x-2<6;
(3)
x-3(x-2)≥4,
1+2x
3
<x-1;
(4)
5x-1<3(x+1),
2x-1
3
-5x+1
2
≤1。
2.解下列不等式:
(1)-1≤1-4x
3
≤3;
(2)-8≤-6-3x-2
4
<-5。
3.求不等式组
5x-1>3x-4,
-1
3x≤2
3-x
的整数解。
4.当一个等腰三角形底角的度数满足什么条件时,它的顶角是一个大于60°的锐角?
5.已知不等式组-x+2<x-6,
x>m
的解集为x>4,试确定m 的取值范围。
拓展延伸
6.已知关于x,y 的方程组x+y=3a+9,
x-y=5a-1
的解是一对正数,求a的取值范围。
7.已知不等式组x+5<5x+1,
x-m<2
无解,试确定m 的取值范围。
探索创新
8.求三个不等式x>2,x<3,x>-1的解集的公共部分。
9.已知不等式组2x-3a<7b,
6b-3x<5a
的解集是5<x<22,求a,b的值。
177
代数式可以比较大小吗
两个包含字母的代数式,存在确定的大小关系吗? 如何比较它们的大
小?
事实上,对于任意两个实数a,b,
如果a-b是正数,那么a>b;
如果a-b等于零,那么a=b;
如果a-b是负数,那么a<b。
反之也成立。
因此,我们可以先求两个数量的差,再根据差的符号来判断这两个数量的大
小。
例如,如何比较代数式5x-2与2x+4的值的大小? (5x-2)-(2x+4)=
3x-6,3x-6的符号取决于其中x 的值。
再例如,如何比较代数式x
2+4与4x 的值的大小? x
2+4-4x=(
x-2)
2,
因为(
x-2)
2≥0,所以无论实数x 取何值,总有x
2+4≥4x。
我们再看一个例子:比较3x
2+2与2x
2+2x 的值的大小。(3x
2+2)-
(2x
2+2x)=x
2-2x+2=(x
2-2x+1)+1=(x-1)
2+1,因为(x-1)
2≥0,
所以(x-1)
2+1>0,所以无论实数x 取何值,总有3x
2+2>2x
2+2x。
由此可知,两个代数式的大小关系的确定,关键在于它们差的符号的确
定。你还能写出两个关于x 的代数式,并确定它们的大小关系吗?
178
1.不等式有哪些基本性质? 请举例说明。
2.什么是一元一次不等式? 解一元一次不等式的步骤有哪些?
3.与解一元一次方程相比,解一元一次不等式应注意哪些问题?
4.怎样在数轴上表示出一元一次不等式的解集? 表示时应当注意哪些问题?
5.列一元一次不等式解决实际问题的关键是什么?
6.如何解一元一次不等式组?
7.举例说明数轴在解不等式(组)中所起的作用。
179
复习巩固
1.指出下列变形分别依据了不等式的哪条基本性质:
(1)由a-8<7,得a<15; (2)由2
5b>a,得2b>5a;
(3)由5x<-4,得x<-4
5;
(4)由-1
5x<-3,得x>15。
2.解下列不等式,并把它们的解集分别表示在数轴上:
(1)2(-3+x)>3(x+2);
(2)12-4(3x+1)≤2(2x-3);
(3)x-3
5 >2x+5
3
-1;
(4)1+2x
4
-1-3x
10 ≥-1
5。
3.填表:
不等式组
在同一条数轴上表示解集
不等式组的解集
x>-1,
x<2。
x>-1,
x>2。
x<-1,
x<2。
x<-1,
x>2。
4.解下列不等式组,并把它们的解集分别表示在数轴上:
(1) x+2>4x-1,
2x>1-x;
(2) 3-4x≥1,
x-1≥-2(x+2);
(3)-2<1-1
5x<3
5;
(4)
3x-1
2
-1<2x,
x-3(2x-1)≥8。
5.求不等式组x>-2,
2x+1<7
的正整数解。
180
6.某品牌护眼灯的进价为110元,商店以150元的价格出售。元旦期间,商店为让利于
顾客,计划以利润率不低于20%的价格降价出售,则该护眼灯最多可降价多少元?
7.麦收时节,某农场安排A,B两种型号的收割机进行小麦收割作业。已知每台A型、
B型收割机平均每天收割小麦分别是5公顷、3公顷。该农场安排两种型号的收割机
共12台同时进行小麦收割作业,为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务,至
少要安排多少台A型收割机?
拓展延伸
8.当a为何值时,关于x 的一元一次方程(
a-2)x+4=-ax 的解为正数?
9.已知关于x 的不等式(
a+1)x>a+1的解集是x<1,求a的取值范围。
10.某商场计划从厂家购进甲、乙、丙三种型号的电冰箱共80台,其中甲种电冰箱的台
数是乙种的2倍,甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价分别是每台1
200元、1
600元、
2
000元,要求总金额不超过132
000元。请问商场至少购进乙种电冰箱多少台?
探索创新
11.我们可以用多根等长的小棒围成形状不同的三角形。例如,下图所示的等腰三角形、
直角三角形。
(1)若使用了六根小棒,判断这个三角形的形状;
(2)若三边都不相等,直接写出最少需要几根小棒;
(3)若用50根小棒来围成三角形,最大边恰好是最小边的3倍,三边分别用了多少
根小棒?
(第11题)
12.如果不等式组x-b>0,
x-b<1
的解集中任何一个解均不在2≤x≤5的范围内,那么b的
取值范围是什么?
13.已知△ABC 的三边a,b,c,这三边上的高分别为ha,hb,hc。若ha=3,hb=4,
求hc 的取值范围。
第7 章 图形与坐标
内容提要
◆ 图形的位置与坐标
◆ 图形的运动与坐标
◆ 用方位角和距离描述
两个物体的相对位置
平面直角
坐标系
数轴
图形与坐标
平面图形
……
生活中，我们想要确定物体的位置时，可借助数学方法。
比如确定棋盘上一枚棋子的位置，或是阅兵方阵中一名士兵的
位置，又或是报告厅中的一个座椅的位置，都可将其转化为平
面上点的位置问题来解决。
在小学，我们学习了如何用有序数对表示点的位置。那么，
如何得到表示点的位置的有序数对呢？有序数对又为我们理解
图形带来了哪些新的视角呢？
本章我们将主要学习如何利用平面直角坐标系中的坐标来表
示平面上点的位置，拉开用代数方法研究几何问题的序幕。
183
我们知道,可以借助数轴上的点对应的实数,来表示直线上点的位置。那
么,平面上点的位置又如何表示呢?
如何描述你的座位在教室里的位置(图7.1-1)?
我的座位在从门口数
第三列、第五行的位置。
如果约定列在前、行在后
的话,那么可以用有序数
对(3,5)表示我的座位。
图7.1-1
(1)选取教室门口座位的列和行作为第一列和第一行,约定列在前、行在
后,有序数对(3,5)和(5,3)表示的是同一个座位吗?
如图7.1-2,(3,5)就是第三列、第
五行交汇的位置。而(5,3)表示第五列、
第三行交汇的位置。不同的座位用不同的
有序数对来表示。
184
图7.1-2
(2)类比用有序数对描述自己座位的方法,想想如何表示平面上一个点的
位置。
图7.1-3
如图7.1-3,在平面内,两条互相垂直且有公
共原点的数轴组成平面直角坐标系(rectangular
coordinate
system)。通常两条数轴分别置于水平位
置与竖直位置,取向右与向上的方向分别为两条数
轴的正方向。水平的数轴叫作x 轴或横轴,竖直的
数轴叫作y 轴或纵轴。x 轴和y 轴统称坐标轴,它
们的公共原点O 称为平面直角坐标系的原点。
建立平面直角坐标系后,平面内的点可以用一组有序数对表示。对于平
面内任意一点P,过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线,垂足在x 轴、y 轴上所
对应的数a,b分别叫作点P 的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫作点P
的坐标。
图7.1-4
有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应。
建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两
条坐标轴分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分(图7.1-4),每
个部分称为象限(quadrant),四个部分分别叫作第一
象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上
的点不属于任何象限。
185
如图7.1-5,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,写出A,B,
C,D,E,O 各点的坐标。
图7.1-5
解:各点的坐标如下:
A(-2,1),B(-3,-3),C(0,-2),D(2,0),E(1,2),O(0,0)。
在平面直角坐标系中分别描出下列各点,并指出它们所在的象限或
者坐标轴。
A(-3,2),B (4,-1),C (-2,-3.5),D
(1,3),E
(3,0),
F(0,-2)。
解:所描各点如图7.1-6所示,点A 在第二象限,点B 在第四象限,点C
在第三象限,点D 在第一象限,点E 在x 轴上,点F 在y 轴上。
图7.1-6
各象限内点的横坐
标、纵坐标符号有什么规
律? 坐标轴上的点的坐标
有什么特征?
186
第一、二、三、四象限内点的横坐标、
纵坐标的符号分别是(+,+),(-,+),
(-,-),(+,-)。x 轴上各点的纵坐标
都为0,y 轴上各点的横坐标都为0。
在平面直角坐标系中,若点B 位于点A 的右上方,分别判断点B 与点A
的横坐标、纵坐标的大小关系。若点D
的横坐标小于点C 的横坐标,且点D
的纵坐标大于点C 的纵坐标,确定点D 相对于点C 的位置。
两个点的相对位置与它们的横坐标、纵坐标大小有什么关系?
1.如图,A,B,C,D,E,F 是平面直角坐标系中的点。
(第1题)
(1)写出这些点的坐标;
(2)哪些点位于横轴上? 其坐标有什么特征?
(3)哪些点位于纵轴上? 其坐标有什么特征?
(4)纵坐标为3的点有哪些? 它们的位置有什么特征?
2.在平面直角坐标系中,分别描出点A(
6,2),B(-3,-1),C(-2,4),D(
2,-4),
并指出它们所在的象限。
187
图7.1-7
在平面直角坐标系中,已知正方形
ABCD 的位置如图7.1-7。各边都分别平行于坐标
轴,且点A 的坐标是(3,1),正方形的边长是5,
写出点B 的坐标。
解:由点A 的横坐标为3,可知点A 到y 轴
的距离为3。因为AB 平行于y 轴,所以点B 到y
轴的距离也为3,且点B 在y 轴右侧,因此点B 的
横坐标是3。
由点A 的纵坐标为1,可知点A 到x 轴的距离为1。因为AB 的长为5,点
B 到x 轴的距离为5-1=4,且点B 在x 轴下方,所以点B 的纵坐标是-4,
因此点B 的坐标为(3,-4)。
试写出点C 和点D 的坐标。
图7.1-8
在平面直角坐标系中,△ABC 的位置
如图7.1-8所示。
(1)写出△ABC 各顶点的坐标;
(2)求△ABC 的面积。
解: (1)由图7.1-8可以看出,△ABC 各顶
点的坐标如下:
A(-2,-2),B(3,-2),C(0,2)。
(2)由(1)可知,A,B 两点的纵坐标相等,都是-2,所以线段AB 平行于
x 轴,所以AB⊥y 轴。
在△ABC 中,点A,B 分别在y 轴的两侧,且到y 轴的距离分别为2和3,
所以AB=5。由于点C 在y 轴上,纵坐标为2,y 轴垂直于线段AB,从而可知
点C 到边AB 的垂线段的长为4,即底边AB 上的高为4。
所以△ABC 的面积=1
2×5×4=10。
平面直角坐标系可以把数与图形有机地结合起来,有利于用代数方法研究
几何问题,也有利于借助图形直观地探索数量关系。
188
图7.1-9
如图7.1-9,在平面直角坐标系xOy 中,
已知点O'的坐标是(
h,k)。以点O'为原点,平
行于x 轴的直线为x'轴,平行于y 轴的直线为
y'轴,不改变单位长度,建立新的平面直角坐
标系x'O'y'。如果点P 在原坐标系中的坐标为
(x,y),在新坐标系中的坐标为(x',y'),那
么x
与x',y
与y'之间有什么关系?
1.如图,已知正方形ABCD 的边长为4,它在平面直角坐标系内的位置有以下四种
情况,请分别写出下列情况下四个顶点的坐标。
① ② ③ ④
(第1题)
2.如图,对于边长为2的等边三角形ABC,建立适当的平面直角坐标系,并写出各
顶点的坐标。
(第2题)
3.已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(-4,-1),B(6,0),C(6,3)。
(1)在平面直角坐标系中,画出△ABC,并求
△ABC 的面积;
(2)点P 在x 轴上,且△PBC 的面积等于△ABC 的面积,求点P 的坐标。
189
复习巩固
1.如图,写出平面直角坐标系中点A,B,C,D 的坐标。
2.在平面直角坐标系中描出点P(-2,3),Q(3,-2),指出它们所在的象限,并分
别指出它们到x
轴和y
轴的距离。
(第1题)
(第3题)
3.如图,在8×8的正方形网格中,每个正方形格子的边长为1,有一个以格点为顶
点的正方形
ABCD。以BD 所在直线为x 轴,AC 所在直线为y 轴,建立平面直
角坐标系,写出各个顶点的坐标。
4.已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(6,1),C(6,-5)。求
点D 的坐标及它到原点的距离。
5.填空:
(1)在y 轴上,到原点的距离为2的点的坐标是
。
(2)在平面直角坐标系中,点A(
a,0)的位置在
。
(3)如果点A(a,b)在第二象限,那么点B(b,a)在第
象限,点
C(-a,b)在第
象限。
(4)如果点P(
a-3,2+a)在x 轴上,那么点P 的坐标是
。
拓展延伸
6.观察下列各点坐标,回答问题。
(0,6),(0,0),(-4,0),(-3,0),(-3,-2),(3,-2),(3,0),(4,0)。
(1)判断这些点所在的象限或坐标轴;
(2)在平面直角坐标系中描出这些点,再将这些点用线段顺次连接起来,观察得
到的图形,你觉得它像什么?
(3)图中一些线段与坐标轴具有特殊的位置关系,总结这些线段端点的坐标具有
的数量关系。
190
7.在平面直角坐标系中,已知A(1,4),B(5,4),C(0,-2)。求△ABC 的面积。
8.如图,在6×6的正方形网格中,点A,B,C 的坐标分别是(-2,2),(1,0),
(-1,4),点D 位于格点,且AB∥CD,求点D 的坐标。
(第8题)
探索创新
9.写出二元一次方程x+y=4的五个解,并以每个解中的x 值为横坐标,y 值为纵
坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,这些点的分布有什么规律?
10.如图,正方形ABCO 的顶点A 的坐标为(3,4),求出点B,C 的坐标。
(第10题)
(第11题)
11.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 三个顶点的坐标分别是A(4,7),B(1,1),
C(8,3)。求这个三角形的面积。
191
坐标法的奠基人———笛卡儿
笛卡儿是17世纪欧洲哲学界和科学界最有影响力的巨匠之一,被誉为
“近代科学的始祖”。
笛卡儿认为数学是一切科学的基本理论和模型,并提出了以数学为基
础、以演绎推理为核心的方法论,对哲学、数学和自然科学的发展起到了巨
大的推动作用。他也是解析几何学的奠基人之一,为代数方程理论的发展作
出了重要贡献。
据说,笛卡儿在一次患病时,躺在床上思考问题,偶然发现有一只蜘蛛
在墙角上下左右运动,吐丝结网,这启发了他研究如何用坐标刻画平面内点
的位置。1637年,笛卡儿编著出版了《几何学》,书中将平面内的一个点与一
对有序数联系起来,改变了自古希腊以来代数与几何分离的状况。他把
“数”与“形”统一起来,使几何曲线与代数方程相结合,从而创立了数学
的一个重要分支———解析几何学。笛卡儿的这一天才创见,为微积分的创立
奠定了基础。
相传笛卡儿用方程所作的心形曲线
192
在平面直角坐标系中,关于坐标轴成轴对称的两个点的坐标有什么特点?
如图7.2-1,在平面直角坐标系中,已知点Q 的坐标为(4,3)。
(1)描出点Q 关于y 轴的对称点Q',写出点Q'的坐标,点Q 与Q'的坐标
有什么关系? 利用轴对称的基本性质,说明理由。
图7.2-1
图7.2-2
如图7.2-2,Q'的坐标是(-4,3)。因为点Q 与Q'
关于y 轴成轴对称,所以y 轴垂直平分线段QQ',从
而QQ'平行于x 轴,且到y 轴的距离相等,所以点Q'
与点Q 的横坐标互为相反数,纵坐标相等。
(2)描出点Q 关于x 轴的对称点Q″,写出点Q″的坐标,点Q 与Q″的坐标
有什么关系?
(3)分别描出点(-1,2)关于y 轴和x 轴的对称点,并写出它们的坐标。
193
已知点P 的坐标是(
a,b),按照发现的规律,分别写出点P 关于y 轴的对
称点P'和关于x 轴的对称点P″的坐标。
在平面直角坐标系中,
点(x,y)关于y 轴对称的点的坐标是(-x,y),
点(x,y)关于x 轴对称的点的坐标是(x,-y)。
如图7.2-3,在平面直角坐标系中,已知△ABC 的顶点坐标分别是
A(-2,1),B(1.5,-4),C(0,3)。△A'B'C'与△ABC 关于y 轴成轴对称,
图7.2-3
△A″B″C″与△ABC 关于x 轴成轴对称。
(1)写出△A'B'C'的各顶点坐标;
(2)写出△A″B″C″的各顶点坐标;
(3)画出△A'B'C'与△A″B″C″。
解:(1)△A'B'C'的各顶点坐标如下:
A'(2,1),B'(-1.5,-4),C'(0,3)。
(2)△A″B″C″的各顶点坐标如下:
A″(-2,-1),B″(1.5,4),C″(0,-3)。
(3)连接A'B',B'C',C'A',得到△A'B'C',如图7.2-4①;
连接A″B″,B″C″,C″A″,得到△A″B″C″,如图7.2-4②。
①
②
图7.2-4
194
在平面直角坐标系中,如果一个正方形关于x 轴和y 轴都对称,那么它的
各个顶点坐标具有什么特征? 用字母表示它们的坐标特征。
(第2题)
1.在平面直角坐标系中,分别写出下列各点关于x 轴与y 轴对称的点的坐标:
A(2,1),B(-5,4),C(-4,-1),D(-3,0),O(0,0)。
2.如图,△AOB 与△A'OB
关于x 轴成轴对称,
点A'的坐标是(4,-3),点B 的坐标是(5,0)。
(1)写出点A 的坐标;
(2)作出与四边形AOA'B 关于y 轴成轴对称
的图形,并写出该图形各顶点的坐标。
3.已知点A(a,4)关于x 轴的对称点B 的坐标
为(-2,b),分别写出点A,B 关于y 轴的对
称点的坐标。
复习巩固
1.如图,ABCDE 是一条“M”形折线段,分别画出ABCDE 关于x 轴和y 轴成轴
对称的图形。
(第1题)
195
2.如图,分别写出△ABC 关于x 轴,y 轴对称的三角形各顶点的坐标。
(第2题)
(第3题)
3.如图,在平面直角坐标系中,四边形OMAN 是边长为1的正方形,顶点O 在坐
标原点,顶点M,N 分别在x 轴和y 轴上。
(1)分别作出点A 关于y 轴的对称点B,点B 关于x 轴的对称点C,点C 关于y
轴的对称点D,并写出它们的坐标;
(2)点A 与点D 关于哪条直线成轴对称?
(3)四边形ABCD 是什么图形?
4.如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,△ABC 的顶点都在网格
线的交点上,点B 的坐标为(-2,0),点C 的坐标为(-1,
2)。
(1)根据上述条件,在网格中建立平面直角坐标系xOy;
(2)画出△ABC 关于y 轴的轴对称图形△A1B1C1,并分别写出A1,B1,C1 的
坐标。
(第4题)
196
拓展延伸
5.已知长方形ABCD 中,AB=4,AD=2。建立适当的平面直角坐标系,使得点A
和点B 关于x 轴对称,点A 和点D 关于y 轴对称。求点A,B,C,D 的坐标。
(第5题)
探索创新
6.如图,在平面直角坐标系中,直线l是经过点(1,0)且平行于y 轴的直线,解答
下面的问题:
(1)求点(-1,0)关于直线l的对称点的坐标;
(2)求点(2,1)关于直线l的对称点的坐标;
(3)点P(m,-3)与点Q(5,n)关于直线l成轴对称,求m 与n的值。
(第6题)
197
描述平面上点的位置,除了用平面直角坐标系外,还有其他方法吗?
如图7.3-1,点A,B,C 分别表示北京航天飞行控制中心、西昌卫星发射
中心、文昌卫星发射中心三地的位置。如果以点A 为参照点,仅用距离
1
851
km能描述点B 相对于点A 的确切位置吗?
与点A 距离1
851
km的点
有无数个,仅仅描述距离无法对
应描述出点B 的位置。还应该
考虑如何描述射线AB 的方向。
图7.3-1
图7.3-2
在测量学中,被观测物体的方向除了用正南、正
北、正东和正西描述之外,还可用地球南北方向与观
测者观测物体的视线方向的夹角α(称为方位角)来表
示(0°<α<90°)。如图中P1,P2,P3 各点相对于观测
者O 的方向分别是北偏东25°、北偏西57°、南偏西
36°(图7.3-2)。
如何表示射线AB 的方向呢?
198
图7.3-3
如图7.3-3,以A 为参
照点,点B 的方向可用射线
AB 与正南方向的夹角来表
示。所以,我们说点B 在点
A 南偏西45°方向,距离点
A1
851
km。
以A 为参照点,描述点C 相对于点A 的位置。
以一个点为参照点,通过描述被观测点与参照点之间的距离以及被观测
点相对于参照点的方位角,就能描述出被观测点的位置。
如果改为以点B 为参照点,那么如何描述点A 的位置呢? 由此你发现了
什么?
图7.3-4
在不同参照点观测,南北方向线总是互相平行的。如图
7.3-4,射线AN 的方向是正北方向,射线BS 的方向是正
南方向。以A 为参照点,点B 的方向可用“北偏西”
∠NAB 表示;以B 为参照点,点A 的方向可用“南偏东”
∠SBA 表示,∠NAB=∠SBA。
如图7.3-5,某海岸救援中心接收到海上一艘船的求救信号。经测定,
该船在救援中心北偏东75°方向,距救援中心80
n
mile(海里)。请在图中标出遇
险船只的位置。救援中心应怎样向该船船员描述自己的位置?
图7.3-5
图7.3-6
199
解:如图7.3-6,过救援中心所在位置点O 画出射线ON,方向是正北方
向。以O 为顶点,ON 为边,按顺时针方向用量角器画出∠NOP=75°。
该船与救援中心的距离是80
n
mile。依据图中给出的比例尺,图上距离为
80×1
40=2(cm)。
在OP 上截取线段OM,使OM=2
cm。
点M 就是图中遇险船只的位置。
救援中心相对于该船的方向是南偏西75°,距离是80
n
mile。
图7.3-7
如图7.3-7,雷达的屏幕上显示A,B,
C,D,E 各点处同时发现可疑目标,如果你
是一名雷达兵,你该如何向上级报告目标所在
的位置(图中1个单位表示实际距离10
km)?
1.如图,公园P 处有一古塔,小亮从A 处观测P 处在北偏东45°,大刚从B 处观测
P 处在北偏西30°。小莹在P 处观测小亮、大刚的所在位置,应该如何表示?
(第1题)
(第2题)
2.如图,一艘船在A 处遇险后,向B 处的救生船求救,点A,B 相距60
n
mile。如
何用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置? 反过来,如何用方向和距离描
述救生船相对于遇险船的位置?
200
(第3题)
复习巩固
1.某次海战演习中红蓝双方舰艇对峙的情况如图所示,从蓝方潜艇的视角,回答下
列问题:
(第1题)
(1)北偏东40°方向上有哪些目标? 要想确定红方战舰B 的位置,还需要什么条
件?
(2)若图上1
cm表示实际距离10
n
mile,那么距离蓝方潜艇10
n
mile远的红方
战舰有哪几艘? 蓝方战舰1号和2号分别在什么位置?
2.灯塔A 在灯塔B 的南偏东74°方向,与灯塔B 的距离是4
n
mile。轮船C 在灯塔
B 的正东方向,并位于灯塔A 的北偏东40°方向。试画图确定轮船C 的位置(用图
上1
cm表示实际距离1
n
mile)。
拓展延伸
3.某学校的平面示意图如图所示,若实验楼所在
位置的坐标为(-2,-3),教学楼所在位置的
坐标为(-1,2)。
(1)画出平面直角坐标系,确定图书馆所在位
置的坐标;
(2)用方向和距离分别表示图书馆、旗杆、实
验楼在图上相对于校门的位置;
(3)写出教学楼相对于校门的大致方向和距离。
201
(第4题)
探索创新
4.大刚乘坐游船S 出海游玩,某个时刻游船上雷达扫描探
测得到的数据如图所示。已知最小圆半径为1
km,相邻
两个圆半径之差为1
km,游艇C 在游船的正南方向。请
你用不同的方法描述游艇A,B 的位置。
图7.3-9
棋盘坐标
(1)观察图7.3-8①所示的围棋棋盘,怎么描述某颗棋子的位置? 借助平
面直角坐标系,我们便不难描述棋子的位置。那棋子的颜色该怎么描述呢? 我
们可以在横坐标、纵坐标之后再加一个数,如规定0表示白色,1表示黑色,
用这三个数构成的有序数组便可描述棋子的位置和颜色。
① ②
图7.3-8
(2)观察图7.3-8②所示的跳棋棋盘,怎么描述某一颗跳棋的位置呢?
显然,建立平面直角坐标系并不能很好地解决这个问题,因为在平面直角坐
标系中对等边三角形顶点位置的刻画比较
难。让我们改变思路,仍然作一个平面双轴
坐标系,但是两坐标轴夹角不是90°,而是
60°,可称之为平面60°角坐标系(图7.3-9),
如此,点A 的位置就可以描述为(3,2)。
你能描述出点B 和点C 的位置吗?
202
1.什么是平面直角坐标系? 它有什么作用? 请举例说明。
2.如何根据坐标描出点的位置? 如何由点的位置写出它的坐标?
3.平面直角坐标系将平面分成几个象限? 各象限的名称分别是什么? 各象
限点的坐标有什么特征? 坐标轴上的点有什么特点?
4.两个关于坐标轴对称的点,它们的坐标有怎样的关系?
5.怎样利用方位角和距离描述平面内两个物体的相对位置? 请举例说明。
6.你认为平面直角坐标系对于建立数与形之间的联系有怎样的作用?
复习巩固
1.请指出下列各点的横坐标和纵坐标,并指出各点所在的象限。
A(4,2),B(-4,2),C(-4,-2),
D(4,-2)。
2.在平面直角坐标系中描出下列各组点,并将其顺次连接起来,分别会得到什么图形?
(1)(-1,-2),(-1,2),(1,2),(1,-2);
(2)(1,0),(2,2),(3,0),(2,-2)。
203
3.在平面直角坐标系中,任意选出A,B 两点,找出以A,B 的横坐标的平均数为横坐
标,以A,B 的纵坐标的平均数为纵坐标的点C。A,B,C 三点的位置有什么关系?
4.如图,粉色图形可以由黄色图形经过怎样的变化得到? 对应点的坐标有什么变化?
(第4题)
(第5题)
5.如图,四边形ABCD 为正方形,若点C,D 的坐标分别
为C(2,2),D(-3,2),在图中描出原点O 的位置,画
出平面直角坐标系,写出点A,B 的坐标。
6.学校位于小亮家北偏东30°方向,距离为300
m;学校位
于大刚家南偏东45°方向,距离为400
m。借助刻度尺和
量角器,选择适当的比例尺画出学校和小亮与大刚两人
家的位置,并分别求出大刚家相对于小亮家的位置和小
亮家相对于大刚家的位置。
7.在平面直角坐标系中,有A(2,3),B(-2,3),
C(-2,-3),D(2,-3)四个点。
(1)求△ABC 的面积;
(2)求线段AC 的长;
(3)
求点D 到直线AC 的距离。
拓展延伸
(第8题)
8.打开手机实时公交站点地图,可以显示自己所在的位置和
附近公交车的位置。如图,小莹在点A 的位置,手机显示
附近有两种线路的公交车,共6辆,分别为M1,M2,M3
和N1,N2,N3,请建立平面直角坐标系,确定各车辆的
位置(小正方形的边长为1个单位长)。
204
9.如图,☉O 的半径r=5,☉O
的圆心O 是平面直角坐标系的原点,☉O 与坐标轴分
别交于点A,B,C,D。
(1)写出A,B,C,D 各点的坐标;
(2)圆上一点E 的横坐标为-3,求点E 的坐标。
(第9题)
(第10题)
10.如图,要在一个80
cm×40
cm的长方形木板ABCD 上钻一个圆孔,圆孔的圆心为
P,点P 到AD 的距离为30
cm,到AB 的距离为15
cm。建立适当的平面直角坐标
系,以10
cm为单位长度,分别写出A,B,C,D 各点及圆心P 的坐标。
探索创新
11.俄国作家托尔斯泰(Lev
Nikolayevich
Tolstoy,
1828—1910)写过这样一个故事:一个叫帕
霍姆的人在草原上购置土地,卖地的人提出一个奇怪的条件,只要出一定数量的押金,
买地人将得到自己从日出到日落所走过的路线圈起的全部土地。但是,如果日落之前
回不到原来的出发点,不但得不到土地,还将不会退回押金。贪心的帕霍姆付钱后从
一大早就开始了他的圈地旅行。他先朝正东方向走了10俄里,又朝正北方向走了12.7
俄里,接着朝正西方向走了2俄里。这时,他发现天色不早了,就朝着出发点狂奔而
去。终于,在日落时,他跑回了出发点,但一头栽在地上,再也没有醒过来。(1俄里
≈1.1千米。)
(1)请你建立恰当的平面直角坐标系,选择合适的比例尺,画出帕霍姆走过的圈地
路线,并求出路线长(结果精确到0.1千米);
(2)请计算帕霍姆的圈地面积。
12.已知a为整数,在平面直角坐标系中,线段AB 的两个端点分别为A(a,a),
B(
a,
a-3)。
(1)判断直线AB 与x 轴的位置关系;
(2)若线段AB 与x 轴的交点为C,求点C 的坐标;
(3)若线段AB 上有一点D 的纵坐标满足1<y< 5,直接写出a的所有可能值。
205
太阳能光伏发电是新能源的典型应用之一。
太阳能光伏发电系统的能效和哪些因素有关? 怎
样才能最大化地利用太阳能?
请利用所学的知识,解决这些问题,并尝试
从太阳能光伏发电能效的角度提出设计建议。
活动1 分析能效影响因素
查阅相关资料,列出影响太阳能光伏发电能效的因素,如日照时间、太阳
能光伏板、太阳能控制器、蓄电池、逆变器等,并作简单说明,制作一份“影
响太阳能光伏发电能效因素表”。
活动2 认识太阳高度角
太阳能光伏板的铺设方式是影响太阳能光伏发电能效的重要因素。由于各
地太阳光直射方向不同,太阳能光伏板的最佳铺设朝向和倾角也有所不同。实
际应用中,太阳能光伏板一般是正南朝向,铺设的倾角和太阳高度角有关。
图1
图2
206
查阅相关资料,了解什么是太阳高度角,并标注图1中所在地的太阳高度
角,在图2中画出并测量A,B 两点的太阳高度角。结合数学知识,探究太阳
能光伏板最佳铺设倾角和太阳高度角的关系。
活动3 测量太阳高度角
不同时刻的太阳高度角有所不同。制作合适的工具,测量自己所在地的太
阳高度角。
你可以按以下步骤完成活动:
①
结合查阅的资料,确定一种测量太阳高度角的方法,并说明原理;
②
制作测量工具,测量自己所在地不同时刻的太阳高度角;
③
结合测量的数据,总结影响太阳高度角大小的因素。
图3
活动4 探究太阳高度角变化趋势
在实际应用中,通常用正午太阳高度角代指一天中太阳最大的高度角。
结合查阅的资料会发现,各地的正午太阳高度角并不相同,这和地理位置
及季节有关。结合地理学等知识,运用数学工具,探究各地正午太阳高度角的
计算方法和变化趋势。
你可以按以下步骤完成活动:
①
结合地理知识可知,所在地纬度和太阳直射点纬度是影响正午太阳高度
角的两个主要因素。完成表1,写出正午太阳高度角的计算公式。
207
图4
图5
表1
与太阳高度角有关的各角度的地理意义、影响因素及数量关系分析
角度
地理意义
影响因素/数量关系
α
所在地的纬度
α随着所在地的
变化而变化
β
太阳直射点的纬度
β随着
的变化而变化
∠1
太阳光线与所在地的地心连线的夹角
∠1与H 的数量关系:
∠1与α,β的数量关系:
H
所在地的正午太阳高度角
数量关系:
影响因素:
由此可知,正午太阳高度角H=90°-|α-β|,其中α为所在地的纬度,
所以正午太阳高度角随纬度的变化而变化;β为太阳直射点的纬度(当地夏半年
取正值,冬半年取负值),不同季节太阳直射点的纬度不同,所以正午太阳高度
角也随季节的变化而变化。
②
结合所在地正午太阳高度角公式和地理知识,分析正午太阳高度角随纬
度和季节变化而变化的规律。
以小组为单位,从太阳能光伏板安装朝向和倾角等方面,为太阳能光伏板
设计铺设方案。有条件的同学可以进行实践验证。
208
在课堂上展示“太阳能光伏板铺设建议”。
展示应当包括以下内容:
(1)太阳高度角测量原理和工具;
(2)所在地太阳高度角的测量数据、数据分析结果及实践记录;
(3)太阳能光伏板铺设建议;
(4)活动感受和总结等。
可以从以下两个角度展开反思:
(1)太阳高度角测量原理是否正确,测量数据是否准确,分析结果是否有
应用价值等;
(2)太阳能光伏板铺设建议是否具有实际效益和可操作性等。
在课堂上展示后,结合老师评价、同伴评价和自我评价,进一步完善自己
的太阳能光伏板铺设建议。
209
安全的校园环境是师生工作和学习的前提
与保障。建设平安校园,除了做好日常的巡逻、
保卫工作外,视频监控也是重要的手段。
通过观察,你能发现校园中有很多摄像头
在保护着我们的安全。在哪些位置安装摄像头,
安装怎样的摄像头,才能实现尽可能高的监控
覆盖率呢?
活动1 绘制校园监控平面图
为了准确判断监控系统的覆盖范围,我们需要先调研学校现有摄像头的位
置和数量。可以选择一块区域,利用你所学的知识绘制平面图,注意选择合适
的比例尺,并标记出摄像头的位置、型号、安装方向等信息。
监控覆盖率
对于监控覆盖率的计算,不同学者提出了不同的方法。有用体积法计算
的,也有用俯视平面图的面积比计算的。本章节的监控覆盖率将用俯视平面
图的面积比来计算,计算公式如下:
监控覆盖率ρ=
监控可视区域面积κ
待监控区域总面积Ψ。
210
活动2 计算校园监控覆盖率
根据你绘制的平面图,参考每一处摄像头的有效可视距离、可视角度等参
数信息,利用你所学的知识估算校园监控覆盖率(有效监控范围面积与校园总面
积的比值)。
在合理控制成本的前提下,改进校园安保监控方案,实现比现有方案更高
的监控覆盖率。
以小组合作的形式,通过小组讨论,形成监控设计方案,小组代表进行
汇报发言。
可以从以下两个角度展开反思:
(1)绘制的监控平面图能否准确反映学校实际监控覆盖率;
(2)改进方案是否把控了成本因素,是否切实可行。
在课堂上展示后,结合老师评价、同伴评价和自我评价,进一步改进自己
的方案。
后记
本套教科书依据《义务教育数学课程标准(2022年版)》编写完成。
本套教科书全面贯彻党的教育方针,落实立德树人根本任务,践行《义务教
育数学课程标准(2022年版)》的课程理念,以“三会”为主线,注重培养学生的
学习兴趣和提升学生的核心素养。通过“观察与发现”“思考与交流”“概括与
表达”等栏目,引导学生用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实
世界、用数学的语言表达现实世界。本套教科书的编写凝聚了数学教育理论最
新成果和广大数学教育工作者的智慧。
在本套教科书的编写过程中,我们得到了关心教材建设的专家、学者以及
一线教师的悉心指导和倾力帮助。周素裹、于芳民、梁全声、孙道斌等同志参
与了本书初稿的编写。我们通过多种渠道与教科书选用作品的作者进行了联系,
得到了他们的大力支持和配合。在此,我们一并表示衷心的感谢!
欢迎广大师生和家长在使用本套教科书的过程中,提出宝贵的意见和建议。
意见反馈请发邮箱:qingbanjiaocai@citymedia.cn。
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