八年级 下册
义务教育教科书
书 名 义务教育教科书·数学（八年级下册）
主 编 沈 杰
出版发行 青岛出版社（青岛市崂山区海尔路182 号）
本社网址 http://www.qdpub.com
责任编辑 张性阳
印 刷 昌邑市新华印刷有限公司
出版日期 2026 年1 月第1 版 2026 年1 月第1 次印刷
开 本 16 开（787mm×1092mm）
印 张 11.75
字 数 192 千
书 号 ISBN 978-7-5736-2085-9
定 价 10.88 元
编校印装质量、盗版监督服务电话 400-653-2017 （0532）68068050
印刷厂服务电话：（0536）7223199
主 编：沈 杰
副主编：连四清
本册主编：顿继安
编写人员（以姓氏笔画为序）：
张 楠 范兴亚 周素裹 徐会吉
亲爱的同学：
春天正款款而至。在这万物复苏的季节，让我们继续在数学世界里探索前行。
现实世界中到处都能看到平行四边形和它的特殊家族成员——矩形、菱形、
正方形。本学期你将进一步认识四边形家族的成员以及它们之间的联系与区别，
探索并证明它们的性质定理和判定定理，挖掘它们服务于人类的实用价值。
宇宙飞船要脱离地球引力进入围绕太阳的轨道运行，速度必须达到2gR 。
这类二次根式计算问题在科学研究中经常出现。掌握二次根式的知识和运算规
律后，再来破解这些问题，你将得心应手。
世界无时无刻不在变化。比如，气压随着海拔的变化而变化，潮汐随着时
间的变化而变化……一个量随着另一个量的变化而变化。这些变化之间的关系
可以用函数来刻画。本学期，你将初步形成对函数的整体认识，学会如何定义
函数、表示函数等。
一次函数在现实生活中有着广泛的应用，你可以通过探索其图象和性质，
建立它与一次方程和不等式的联系，也可以利用它解决实际问题，并掌握解决
数学问题的新方法。
平移和旋转现象广泛存在于现实生活中，它们也是数学的重要研究对象。
你将进一步探索一个图形经过平移或者旋转后的变化。
随着互联网的快速发展，大量数据被采集、存储、处理和呈现，大数据时
代已经到来。在大数据时代，你将进一步学习数据处理的方法，探讨如何分析
数据的集中趋势、分布情况、离散程度、变化趋势等，了解如何利用数据进行
科学决策。
学习无止境，成长无止境。在每个人的成长之路上，数学都是重要的同行
者，希望你能喜欢并珍惜它，领略它的魅力，享受它带给你的乐趣！
新学期寄语
MULU
目录
1
第8 章 四边形
8.1 四边形
3
8.2 平行四边形
7
8.3 特殊的平行四边形
20
章小结
33
第9 章 二次根式
9.1 二次根式及其性质
39
9.2 二次根式的乘法与除法
43
9.3 二次根式的加法与减法
50
章小结
55
第10 章 函数
10.1 函数
59
10.2 函数的表示
63
10.3 函数的图象
67
章小结
74
2
第12 章 图形的平移与旋转
12.1 图形的平移
109
12.2 图形的旋转
118
12.3 图形的中心对称
125
章小结
133
第13 章 数据的分析
13.1 数据的集中趋势
139
13.2 四分位数与箱线图
152
13.3 数据的离散程度
158
13.4 随机现象的变化趋势
170
章小结
174
第11 章 一次函数
11.1 一次函数
79
11.2 一次函数的图象及性质
82
11.3 一次函数与方程、不等式
91
11.4 一次函数与实际问题
97
章小结
103
综合与实践
7 漏刻计时器的制作
177
8 科学运动
179
第8 章 四边形
内容提要
◆ 四边形
◆ 梯形
◆ 平行四边形
◆ 矩形、菱形、正方形
平面图形
三角形
四边形
图形的性质
……
大千世界里有很多物体的形状都是四边形，如建筑外观、
“井”字农田、书本纸张、篮球场地……四边形无处不在。
本章，我们将走进四边形的世界。与三角形类似，我们
将学习四边形和一些特殊四边形的定义，探索它们的性质和
判定方法，理解它们之间的关系，学习将四边形问题转化成
三角形问题进行研究的方法。
3
细心观察我们生活的现实世界,会发现有许多事物的外形都是四边形,其
中特殊的四边形尤为常见。前面我们已经初步了解了四边形和一些特殊四边形
的简单性质,从本节开始将对这些四边形进行深入的研究。
图8.1-1中,有哪些四边形? 你还能再举出一些例子吗?
图8.1-1
图8.1-2
图8.1-2所示的四边形,记作四边形ABCD。其
中A,B,C,D 是它的顶点,AB,BC,CD,DA
是它的边,∠BAD,∠ABC,∠BCD,∠ADC 是它
的内角,AC 和BD 是它的对角线。
图8.1-3
(1)如图8.1-3,用四根木条钉成一个四边形的木
框架,拉动这个木框架,它的形状会改变吗?
4
拉动图8.1-3中的四边形木框
架,它的形状会改变,这说明四边
形具有不稳定性。
人们在生产和生活中经常利用四边形的不稳定性设计产品,比如活动衣架、
电动伸缩门、升降机等(图8.1-4)。
图8.1-4
(2)拉动图8.1-3中的木框架,能否得到特殊的四边形?
让木框架上下两根木条平行,
得到的四边形就是梯形(图8.1-5)。
图8.1-5
四边形具有不稳定性。
仅有一组对边平行的四边形叫作梯形。
在一个梯形中,互相平行的一组对边叫作梯形的底,不平行的一组对边叫
作梯形的腰。两腰相等的梯形叫作等腰梯形(图8.1-6①)。有一个角是直角的梯
形叫作直角梯形(图8.1-6②)。
①
②
图8.1-6
5
梯形在生活中也有广泛的应用,例如登高用的梯子、古代的城楼、物品整
理筐等物体中都有梯形(图8.1-7)。
图8.1-7
如图8.1-8,现有两张顶角均为120°的等腰三角形纸片,其中
AC=EF。请用这两张三角形纸片拼出一个四边形,分析所得四边形对边的位
置关系,并判断其形状。
图8.1-8
解:如图8.1-9,将AC 和EF 重合就可以拼出一个四边形。
因为△ABC 与△DEF 均是顶角为120°的等腰三角形,
图8.1-9
所以∠1=∠2=30°。
所以AD∥BC。
因为∠BAD+∠D=270°≠180°,
所以AB 与CD 不平行。
所以四边形ABCD 是梯形。
1.如图,四边形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O。图中共有几个三角形?
2.下图是某地考古过程中发掘出的一个残损玉片示意图,工作人员测量得到
∠A=125°,∠D=100°。修补后,可知玉片的形状为梯形。已知AD,BC 为梯形的
两底,求梯形另外两个角的度数。
(第1题)
(第2题)
6
复习巩固
1.四边形ABCD 中,
AC,BD 交于点O。探究AC+BD 与AB+CD 的大小关系,
并证明。
2.如图,△ABC 中,AB=AC,点D,E 分别在边AB,AC 上,DE∥BC。判断四
边形DBCE 的形状,并证明。
(第2题)
(第3题)
拓展延伸
3.如图,梯形ABCD 中,AD∥BC,∠D=90°。
若AB=AC=5,AD=3,求梯形
ABCD 的面积。
探索创新
4.如图,在每个小正方形的边长均为1的方格纸中,以格点为顶点,画出两个面积
为12但形状不同的梯形。
(第4题)
7
学习三角形时,在研究了一般的三角形后,我们又研究了特殊的三角形。
学习四边形时,我们也要进一步研究特殊的四边形。
观察图8.2-1,请找出其中的平行四边形。你能说出什么是平行四边形吗?
图8.2-1
图8.2-2
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形
(parallelogram)。如图8.2-2,在四边形ABCD 中,
若AB∥CD,AD∥BC,则四边形ABCD 是平行四边
形,记作“▱ABCD”,读作“平行四边形ABCD”。
(1)如图8.2-2,根据平行四边形的定义,你能得到哪些结论?
两组对边分别平行,邻角互补。
每组对边好像是相等的,对角好像也相等。
我用数学软件画图验证了一下,确实如此。
(2)上面的结论对于任何一个平行四边形都成立吗? 如何证明?
8
图8.2-3
已知:如图8.2-3,四边形ABCD 是平行四边形。
求证:AB=CD,AD=CB。
证明:如图8.2-4,连接AC。
因为四边形ABCD 是平行四边形,
图8.2-4
所以AD∥BC,AB∥CD。
所以∠1=∠2,∠3=∠4。
在△ABC 与△CDA 中,
∠1=∠2,AC=CA,∠3=∠4,
所以△ABC≌△CDA(ASA)。
所以AB=CD,AD=CB。
平行四边形的对角也相等,请试着写出证
明过程。
添加辅助线,构造全
等三角形,是解决平行四
边形问题的常用方法。
平行四边形的性质定理1 平行四边形的对边相等。
平行四边形的性质定理2 平行四边形的对角相等。
如图8.2-5,E,F,G,H
分别是▱ABCD 的边AD,AB,BC,
CD 上的点,且AE=CG,BF=DH。
求证:EF=GH。
图8.2-5
证明:因为四边形ABCD 是平行四边形,
所以∠A=∠C(平行四边形的对角相等),
AB=CD(平行四边形的对边相等)。
因为BF=DH,
所以AF=CH。
在△AFE 与△CHG 中,
AE=CG,∠A=∠C,AF=CH,
所以△AFE≌△CHG(SAS)。
所以EF=GH。
9
求证:如果两条直线平行,那么一条直线上任意两点到另一条直线
的距离相等。
已知:如图8.2-6,l1∥l2,A,B 是直线l1 上的两点。AE⊥l2,BF⊥l2,
图8.2-6
垂足分别为点E,F。
求证:AE=BF。
证明:因为AE⊥l2,BF⊥l2,
所以∠AEF=∠BFE=90°。
所以∠AEF+∠BFE=180°。
所以AE∥BF。
又因为AB∥EF,
所以四边形AEFB 是平行四边形。
所以AE=BF。
夹在两条平行线之间的垂线段相等,垂线段的长为两平行线间的距离。
(第2题)
1.在▱ABCD 中,∠A=60°。求∠B,∠C 和∠D 的
度数。
2.如图,在▱ABCD 中,G,H 是对角线AC 上两点,
且AG=CH。求证:BG∥DH。
前面我们研究了平行四边形的边和角的性质,它的对角线有什么性质?
图8.2-7
如图8.2-7,在▱ABCD 中,对角线AC 和BD 交于
点O。小亮通过观察和测量发现:OA=OC,OB=OD。
由此,他猜想点O 同时是AC 和BD 的中点。
小亮的猜想正确吗? 如何证明?
平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分。
10
如图8.2-8,在▱ABCD 中,对角线AC 和BD 交于点O,过点O
的一条直线分别交边AD,BC 于点E,F。求证:OE=OF。
证明:因为四边形ABCD 是平行四边形,
所以AD∥BC,
OA=OC(平行四边形的对角线互相平分)。
图8.2-8
所以∠1=∠2。
在△OAE 与△OCF 中,
∠3=∠4,OA=OC,∠1=∠2,
所以△OAE≌△OCF(ASA)。
所以OE=OF。
(第2题)
1.在▱ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O。若AB=6,AC=8,BD=12,求
△AOB 的周长。
2.如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O。
作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E,F。
(1)写出图中两对全等三角形;
(2)求证:OE=OF。
运用平行四边形的性质可以解决与平行四边形相关的问题。但是,如何判
定一个四边形是平行四边形呢?
王老师用两根长度均为20
cm的木条和两根长度均为30
cm的木条,按照
如图8.2-9所示的方式将木条首尾相接,制作成一个四边形的教具。这个教具的
形状是平行四边形吗?
图8.2-9
这个四边形的两
组对边分别相等,它
是平行四边形。
11
小莹的上述结论正确吗? 怎样证明她得出的结论?
图8.2-10
已知:如图8.2-10,在四边形ABCD 中,AB=CD,
AD=BC。
求证:四边形ABCD 是平行四边形。
证明:如图8.2-11,连接AC。
图8.2-11
在△ABC 与△CDA 中,
AB=CD,BC=DA,AC=CA,
所以△ABC≌△CDA(SSS)。
所以∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC。
所以AB∥DC,AD∥BC。
所以四边形ABCD 是平行四边形。
两组对边分别平行或相等,都能判定一个四边形是平行四边形。将对边的
平行关系和相等关系结合起来,是否也能判定一个四边形是平行四边形呢? 例
如,一组对边平行且相等。
图8.2-12
已知:如图8.2-12,在四边形ABCD 中,
AD∥BC,AD=BC。
求证:四边形ABCD 是平行四边形。
证明:如图8.2-13,连接AC。
因为AD∥BC,
所以∠1
=∠2。
图8.2-13
在△ABC 与△CDA 中,
CB=AD,∠2=∠1,AC=CA,
所以△ABC≌△CDA(SAS)。
所以∠4=∠3。
所以AB∥CD。
又因为AD∥BC,
所以四边形ABCD 是平行四边形。
12
平行四边形的判定定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的判定定理2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
如图8.2-14,在▱ABCD 中,E,F 分别是边AD,BC
上的点,且
AE=CF。
图8.2-14
求证:四边形EBFD 是平行四边形。
证明:因为四边形ABCD 是平行四边形,
所以ED∥BF,AD=BC。
因为AE=CF,
所以ED=BF。
所以四边形EBFD 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形)。
1.如图,在四边形ABCD 中,∠ADB=∠CBD,∠ABD=∠CDB。
请利用三种方
法证明四边形ABCD 是平行四边形。
(第1题)
(第2题)
2.已知▱ABCD,点E,F 分别为边AD,BC 的中点,连接EF,AF,DF,BE,
CE。图中能得到哪些新的平行四边形? 请说明理由。
3.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形吗? 请说明理由。
13
前面我们从四边形对边的位置关系和数量关系出发,得到了平行四边形的
几种判定方法。那么,四边形的角或对角线满足什么条件时,能够判定它是平
行四边形呢?
(1)我们知道“平行四边形的两组对角分别相等”,反过来, “两组对角分
别相等的四边形是平行四边形”吗?
由“两组对角分别相等”可以得到四边
形的每组邻角都互补,进而得出两组对边分
别平行,所以这个四边形是平行四边形。
图8.2-15
(2)如图8.2-15,任意画两条相交直线
l1,
l2,交点记为O,在
l1
上截取OA=OC;在
l2 上
截取OB=OD。连接AB,BC,CD,DA,得到
四边形ABCD。这个四边形是平行四边形吗?
根据作图条件可得△AOD 和△COB
全等,从而得到AD=CB 和AD∥BC,所
以四边形ABCD 是平行四边形。
请写出证明过程。
平行四边形的判定定理3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
14
平行四边形的判定定理1、判定定理3和判定定理4,分别与平行四边形的
性质定理1、性质定理2和性质定理3互为逆命题。通常,对一个定理的逆命题
进行探究,是数学发现的一种重要途径。
图8.2-16
如图
8.2-16,在▱ABCD 中,E,F 是
对角线AC 上的两点,且AF=CE。
求证:
BF∥DE。
证明:如图8.2-17,连接BD,交AC 于点O。
因为四边形ABCD 是平行四边形,
所以OA=OC,OB=OD。
因为AF=CE,
图8.2-17
所以OF=OE。
所以四边形BEDF 是平行四边形(对角线互相
平分的四边形是平行四边形)。
所以BF∥DE。
一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形吗?
一组对角相等,一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形吗?
请提出其他判定平行四边形的命题并进行探究。
(第2题)
1.下列条件中能判定四边形ABCD 是平行四边形的是
。
①
∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°;
②
∠A∶∠B∶∠C∶∠D=3∶4∶3∶4;
③
∠A=∠B,∠C=∠D;
④
∠A=∠C,∠B=∠D。
2.如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于
点O,E,F 分别是OA,OC 的中点,连接
DE,BF。求证:DE∥BF。
15
平行四边形法则
先在实验中观察到现象,再建构理论解释现象,这是物理学常用的研究方
法。平行四边形法则就是这样被提出的。如图8.2-18,作用在同一质点上的两
个力,当它们的方向不在同一条直线上时,以表示这两个力的有向线段为邻边
作平行四边形,这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向,即F 是
F1 和F2 的合力,这就是平行四边形法则。
平行四边形法则刻画了有方向的量的合成规律。物理学家发现力、速
度、位移等的合成都遵从平行四边形法则。
图8.2-18中,若F2 是F1 与F3 的合力,请根据平行四边形法则,在图
中画出F3。
图8.2-18
四边形中的问题常通过转化为三角形来解决,三角形中的问题能借助四边
形解决吗?
图8.2-19
如图8.2-19,在△ABC 的两边AB,AC 上分别取中点
D,E,连接DE。像DE 这样,连接三角形两边中点的线
段叫作三角形的中位线。
观察DE 与BC,它们有什么关系?
通过测量,我发现
DE∥BC,DE=1
2BC。
16
图8.2-20
小亮的上述发现正确吗? 如何证明?
把△ABC 沿中位线DE 剪开,将得到的
△ADE 和四边形BCED。按图8.2-20的方式
拼接,使点A 与点C 重合,AE 与CE 重合。
新拼成的图形是平行四边形,因此可知
DE∥BC,DE=1
2BC。
已知:如图8.2-21,在△ABC 中,D,E 分别是边AB,AC 的中点。
图8.2-21
求证:DE∥BC,DE=1
2BC。
证明:如图8.2-22,延长DE 至F,
使EF=DE,连接CF。
因为D,E 分别是边AB,AC 的中点,
所以AD=DB,AE=CE。
在△AED 与△CEF 中,
DE=FE,∠AED=∠CEF,AE=CE,
所以△AED≌△CEF(SAS)。
图8.2-22
所以∠A=∠ECF,AD=CF。
所以AB∥CF,DB=CF。
所以四边形DBCF 是平行四边形。
所以DF∥BC,DF=BC。
所以DE∥BC,DE=1
2BC。
17
三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于
第三边的一半。
如图8.2-23,在四边形ABCD 中,E,F 分别是边BC,AD 的中
点,G,H 分别是对角线AC,BD 的中点,顺次连接E,G,F,H。
图8.2-23
求证:四边形EGFH 是平行四边形。
证明:因为E,H 分别是BC,BD 的中点,
所以EH∥CD,EH=1
2CD(三角形的中位
线定理)。
同理GF∥CD,GF=1
2CD。
所以EH∥GF,EH=GF。
所以四边形EGFH 是平行四边形。
1.如图,E,F 分别是边AB,AC 的中点。若BC=4,∠B=50°,求EF 和
∠AEF。
(第1题)
(第2题)
2.如图,D,E,F 分别是△ABC 三边的中点,连接DE,EF,FD。找出图中所有
的平行四边形,并说明理由。
18
复习巩固
1.已知▱ABCD 的周长为50
cm,AB=10
cm。求BC 的长。
2.在▱ABCD 中,∠A=2∠B。求∠C 与∠D 的度数。
3.如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,已知▱ABCD 的面积为48。求
△AOD 的面积。
(第3题)
(第4题)
4.如图,点B 在AC 上,且△ABE≌△BCD。请找出图中的平行四边形。
5.如图,DB∥AC,DB=1
2AC,E 是AC 的中点。求证:BC=DE。
(第5题)
(第6题)
6.如图,已知AD∥BC,AC 与BD 相交于点O,且OA=OC。求证:AB∥CD。
7.如图,四边形ABCD,CDEF 均为平行四边形。求证:四边形ABFE 是平行四
边形。
(第7题)
(第8题)
8.如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D 为AB 的中点,E 为AC 的中点,延长BC 至
F,使CF=1
2BC,连接EF。求证:∠B=∠F。
19
(第14题)
9.已知三角形的各边长分别为8
cm,10
cm和12
cm。求连接三角形各边中点所得
到的三角形的周长。
拓展延伸
10.如图,在▱ABCD 中,BD=6,CD=4,∠BDC=30°。求△OAB 的面积。
(第10题)
(第11题)
11.如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,作OE⊥AC,交CD 于点E,连
接AE。若△ADE 的周长为8,求平行四边形ABCD 的周长。
12.如图,在▱ABCD 中,E 为BC 的中点,连接AE 并延长,交DC 的延长线于点
F,连接BF,AC。求证:四边形ABFC 是平行四边形。
(第12题)
(第13题)
13.如图,D,E,F 分别是△ABC 三边的中点,连接DE,AF。
求证:DE 和AF 互相平分。
探索创新
14.如图,在平面直角坐标系中,点A,C 的坐标分别为
(2,3),(4,0)。若以点O,A,B,C 为顶点的四
边形是平行四边形,求点B 的坐标。
20
将平行四边形的边或角特殊化,能得到什么样的四边形?
日常生活中,长方形随处可见,如图8.3-1所示的电脑屏幕、建筑外观、
足球场地等都呈现长方形的形状。
图8.3-1
(1)你能说出什么是长方形吗?
(2)如图8.3-2,一个平行四边形框架,如何变成长方形?
图8.3-2
图8.3-3
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形(rectangle),也叫作长方形。如图
8.3-3,四边形ABCD 是矩形,记作“矩形ABCD”。
作为一种特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质。此外,矩
形还有哪些特殊性质?
21
如图8.3-4,可以看出矩形的四
个角都是直角,两条对角线相等。
图8.3-4
请证明小亮的上述结论。
矩形的性质定理1 矩形的四个角都是直角。
矩形的性质定理2 矩形的对角线相等。
矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,分别是经过两组对边中点的直线,
如图8.3-5。
图8.3-5
由于矩形的每一条对角线都能把矩形分成两个直角三角形,因此,我们可
以利用矩形的性质,探究直角三角形的性质。
如图8.3-4,在Rt△ABC 中,
因为OA=OC,
所以OB 是斜边AC 上的中线。
在矩形ABCD 中,OB=1
2BD,且AC=BD,
所以OB=1
2AC。
我们得到直角三角形的一个性质定理:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
22
图8.3-6
如图
8.3-6,矩形ABCD 的对角线AC,
BD 交于点O,∠BOC=120°,AB=6。求AC 的长。
解:因为四边形
ABCD
是矩形,
所以AC=BD(矩形的对角线相等),
OA=1
2AC,OB=1
2BD。
所以OA=OB。
因为∠BOC=120°,
所以∠AOB=60°。
所以△AOB
是等边三角形。
所以OA=AB=6。
所以AC=2OA=12。
如图8.3-7,在四边形ABCD 中,∠BAC=∠BDC=90°,E,F 分
别为边BC,AD 的中点,连接EF。
求证:EF⊥AD。
图8.3-7
图8.3-8
证明:如图8.3-8,连接AE,DE。
因为∠BAC=90°,E 为边BC 的中点,
所以AE=1
2BC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)。
同理DE=1
2BC。
所以AE=DE。
因为F 为AD 的中点,
所以EF⊥AD。
23
1.如图,在矩形ABCD 中,E,F 分别是AD,BC 上的点。选择下面三个条件中的
一个作为已知条件,求证:BE=DF。
①AE=CF; ②BE∥DF; ③∠1=∠2。
(第1题)
(第2题)
2.如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的中线,CE 是高。求证:∠ACE=∠BCD。
如何判定一个四边形是矩形? 能否通过矩形性质定理的逆命题找到矩形的
判定方法?
(1)四个角是直角的四边形一定是矩形吗? 三个角是直角的四边形一定是
矩形吗? 两个呢?
四个角是直角的四边形是矩形,三
个角是直角的四边形也是矩形,但两个
角是直角的四边形不一定是矩形。
(2)对角线相等的四边形一定是矩形吗?
画两条等长且相交的线段,顺
次连接四个端点,所得四边形不一
定是矩形,如图8.3-9所示。
图8.3-9
24
如果把条件改为“对角线相等的平行四边形”呢?
图8.3-10
已知:如图8.3-10,在▱ABCD 中,AC=BD。
求证:▱ABCD 是矩形。
证明:因为四边形ABCD 是平行四边形,
所以AB=CD,AB∥CD。
所以∠ABC+∠DCB=180°。
在△ABC 与△DCB 中,
AC=DB,BC=CB,AB=DC,
所以△ABC≌△DCB(SSS)。
所以∠ABC=∠DCB。
所以∠ABC=180°
2 =90°。
所以▱ABCD 是矩形。
在探索新的数学命题
时,可以尝试适当减弱或
者加强命题条件,发现新
的真命题。
矩形的判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形的判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形。
如图8.3-11,△ABC 中,AB=AC,
AD 是BC 边上的中线,以
AB,BD 为邻边作▱ABDE,连接CE。
图8.3-11
求证:四边形ADCE 是矩形。
证明:因为四边形ABDE 是平行四边形,
所以AE∥BD,AE=BD,
AB=DE。
因为AD 是BC 边上的中线,
所以BD=DC。
所以AE=DC。
所以四边形ADCE 是平行四边形。
因为AB=DE,AB=AC,
所以AC=DE。
所以四边形ADCE 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)。
25
1.要检验一个四边形的桌面是不是矩形,你有哪些方法?
2.在四边形ABCD 中,AC,BD 交于点O。下列各组条件能否判定四边形ABCD
为矩形?
①
∠BAD=∠ABC=90°,AC=BD;
②
AB=CD,AD=BC,AC=BD;
③
AO=CO,BO=DO,∠BAD=90°;
④
∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠BCD=180°,AC⊥BD。
将平行四边形的角特殊化可以得到矩形,如果将平行四边形的边特殊化呢?
观察图8.3-12中的平行四边形,它们的边之间有什么关系?
图8.3-12
图8.3-13
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形(rhombus)。
如图8.3-13,四边形ABCD 是菱形,记作“菱形ABCD”。
菱形作为一种特殊的平行四边形,具有平行四边形的所有性质。它还有哪
些特殊的性质?
26
如图8.3-14,菱形的四条边
都相等,菱形的对角线互相垂直。
菱形是轴对称图形,对角线所在
的直线是对称轴。
图8.3-14
小莹的上述说法正确吗? 如何证明?
菱形的性质定理1 菱形的四条边都相等。
菱形的性质定理2 菱形的对角线互相垂直。
如图8.3-15,菱形ABCD 的边长为2,对角线AC,BD 交于点O,
图8.3-15
∠ABC=60°。求菱形ABCD 的面积。
解:因为四边形ABCD 是菱形,
所以AB=BC(菱形的四条边都相等),
AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),
OA=OC,OB=OD。
在△ABC 中,AB=BC,∠ABC=60°,
所以△ABC 为等边三角形。
所以AC=AB=2。
所以OA=1
2AC=1。
S菱形ABCD=1
2AC·BD
在Rt△AOB 中,OB= AB
2-OA
2= 3,
所以OD=OB= 3。
所以S菱形ABCD =1
2AC·OB+1
2AC·OD
=1
2AC·BD=23。
27
(第1题)
1.如图,在菱形ABCD 中,CE⊥AD,垂足为点E。若
AE=DE,求菱形ABCD 各个内角的度数。
2.已知菱形的边长为5,一条对角线长为6。求该菱形的
面积。
菱形性质定理的逆命题可以作为判定菱形的方法吗?
(1)“菱形的四条边都相等”的逆命题是什么? 是真命题吗?
“四条边都相等的四边形是菱形”是真命题。由
两组对边分别相等判定四边形是平行四边形,再由一
组邻边相等,便可判定该四边形是菱形。
(2)“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是什么? 是真命题吗?
“对角线互相垂直的四边形是菱形”是假
命题。如图8.3-16①,这个四边形不是菱形。
若条件加强为“对角线互相垂直的平行四边
形”,则可以得到菱形,如图8.3-16②。
①
②
图8.3-16
请证明小莹和小亮的上述结论。
28
菱形的判定定理1 四条边都相等的四边形是菱形。
菱形的判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
如图8.3-17,过▱ABCD 的对角线AC 的中点O 作EF⊥AC,分别
交边BC,AD 于点E,F,连接AE,CF。
图8.3-17
求证:四边形AECF 是菱形。
证明:因为四边形ABCD 是平行四边形,
所以AD∥BC。
所以∠FAC=∠ECA,∠AFE=∠CEF。
因为O 是AC 的中点,
所以OA=OC。
在△AOF 与△COE 中,
∠FAO=∠ECO,∠AFO=∠CEO,OA=OC,
所以△AOF≌△COE(AAS)。
所以OF=OE。
所以四边形AECF 是平行四边形。
因为AC⊥EF,
所以四边形AECF 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)。
取一张矩形纸片,用折叠的方法折出四个顶点都在矩形边上的菱形。有几
种不同的折法? 画出图形,并说明其中的道理。
(第3题)
1.两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形吗? 为什么?
2.求证:有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。
3.已知线段AC,用尺规作图的方法作菱形ABCD。
29
正方形与平行四边形、矩形、菱形有什么关系?
观察如图8.3-18所示的正方形。
图8.3-18
什么是正方形? 如何将一个平行四边形变为正方形?
有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形
叫作正方形(square)。如图8.3-18,四边形ABCD 是正方形,
记作“正方形ABCD”。
(1)正方形有哪些性质?
由正方形的定义可知,正方形既是矩形,
又是菱形,它具有矩形和菱形的一切性质。
(2)如何判定一个四边形是正方形?
判定一个四边形是正方形,可以
在矩形或菱形的判定方法上添加条件。
添加条件,可分别使平行四边形、矩形、菱形成为正方形。下面的箭头上
应该添加哪些合适的条件呢?
30
正方形的性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等。
正方形的性质定理2 正方形的对角线相等,并且互相垂直平分。
图8.3-19
如图8.3-19,点P 是正方形ABCD 的对
角线BD 上的一点,PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分别
为点M,N,连接MN,AP。求证:AP=MN。
证明:如图8.3-20,连接PC,AC,AC 交BD
于点O。
因为四边形ABCD 是正方形,
所以∠BCD=90°(正方形的四个角都是直角),
BD⊥AC,OA=OC(正方形的对角线互相垂直平分)。
图8.3-20
所以AP=CP。
因为PM⊥BC,PN⊥CD,
所以∠PMC=90°,∠PNC=90°。
所以四边形PMCN 是矩形。
所以CP=MN。
所以AP=MN。
1.在图中恰当的位置填上平行四边形、矩形、菱形、正方形,使之能够呈现出这些
图形之间的关系。
(第1题)
2.在正方形ABCD 中,BD 的长为20
cm,点P 是边AB 上任意一点。求点P 到
AC 与BD 的距离之和。
31
复习巩固
1.在矩形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O。若AB=8,BC=6,求AO 的长。
2.如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AB=6,AD=5。求
梯形ABCD 的周长。
(第2题)
(第3题)
3.如图,在矩形ABCD 中,∠BOC=2∠AOB,AE⊥BD,垂足为点E。
求证:DE=3BE。
4.如图,这是一个边长为18
cm的菱形活动衣架。当A,B 之间的距离为18
cm时,
求衣架上D,E 两点间的距离。
(第4题)
(第5题)
5.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,过点O 作OH⊥AB,垂足
为点H。已知AC=24,BD=10。求OH 的长。
6.如图,在矩形ABCD
中,对角线AC,BD 交于点O,DE∥AC,CE∥BD。
求证:四边形OCED 为菱形。
(第6题)
(第7题)
7.如图,正方形ABCD 的边CD 与正方形ECGF 的边CE 共线,连接BE,DG。
求证:BE=DG。
32
(第12题)
拓展延伸
8.如图,▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H。探究四边形
EFGH 的形状,并证明。
(第8题)
(第9题)
9.如图,在矩形纸片ABCD 中,AB=4,AD=3,将矩形纸片ABCD 沿对角线AC
折叠,使点B 落在点E 处,AE 交CD 于点F。求AF 的长。
10.如图,将宽度为1
cm的两张纸条交叉重叠在一起,重叠部分形成的四边形是菱
形吗? 请说明理由。
(第10题)
(第11题)
11.如图,点P 是正方形ABCD 的边BC 上任意一点,连接AP,作DE⊥AP,
BF⊥AP,垂足分别为点E,F。探究线段DE,BF,EF 之间的数量关系,并
证明你的结论。
探索创新
12.如图,在△ABC 中,O 是AC 边上一点。过点O
作BC 的平行线,交∠BCA 的平分线于点E,交
∠ACD 的平分线于点F。
(1)求证:EO=OF;
(2)连接AE,AF。当点O 在AC 上运动时,
四边形AECF 能否成为矩形? 若能,点O
需移动到什么位置?
33
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形分别具有什么性质? 请完成下表。
名称
图形
性质
边
角
对角线
对称轴条数
平行四边形
矩形
菱形
正方形
2.如何判定一个四边形是平行四边形、矩形、菱形、正方形? 请选择合适
的方式整理它们的判定方法。
3.请用合适的方式表示本章所学的各种四边形之间的关系。
4.本章运用四边形知识证明了三角形的哪些定理?
5.研究四边形的过程为你今后研究新的图形积累了哪些经验?
34
复习巩固
1.在如图所示的方格纸中,以格点为顶点作四边形,判断下列四边形的形状。
①
四边形ABDC;②
四边形ABFE;③
四边形CDFE;④
四边形ABHG。
(第1题)
(第2题)
2.如图,在▱ABCD 中,点E,F 分别在边BC,AD 上,且BE=DF,M,N 分别是
AE,CF 的中点。求证:MF∥EN。
3.如图,在矩形ABCD 中,点E,F 分别在边AB,DC 上,BF∥DE,AD=12,AB=7,
且AE∶EB=5∶2。求四边形BFDE 的面积。
(第3题)
(第4题)
4.如图,在△NMB 中,四边形ABCD 为平行四边形,∠NDC=∠MDA,MB=6。求
平行四边形ABCD 的周长。
5.如图,正方形ABCD 的面积为8,菱形AECF 的面积为4。求EF 的长。
(第5题)
(第6题)
6.如图,把相同的两块矩形铁板AEFG 和ABCD 焊接成“L”型工件。求∠FAC 和
∠FCA 的度数。
35
7.求证:如果矩形的一条对角线上任意一点到另一条对角线两端的距离相等,那么该矩
形是正方形。
(第8题)
8.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°。D,E 分别
是边AB,BC 的中点,连接DE 并延长到点F,使
EF=DE,连接CF,BF,CD。
(1)求证:四边形CFBD 是菱形;
(2)连接AE,若CF= 10,DF=2,求AE 的长。
拓展延伸
9.如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,AC=DB。求证:AB=CD。
(第9题)
(第10题)
10.如图,在菱形ABCD 中,∠B=60°,点E,F 分别在边BC,CD 上,且∠EAF=60°。
求证:AE=AF。
11.如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,CB=CD,这样的图形叫作筝形。筝形具有
哪些性质? 如何判定一个图形是筝形? 请借助研究平行四边形的经验,提出并证明
至少3个真命题。
(第11题)
(第12题)
12.如图,在△ABC 中,分别以AB,BC,AC 为边作等边三角形ABD,等边三角形
BCF,等边三角形ACE,连接DE,EF。
(1)求证:四边形BFED 为平行四边形;
(2)当△ABC 满足什么条件时,四边形BFED 分别为菱形、矩形和正方形?
36
探索创新
13.已知正方形ABCD。
(1)如图①,E 是DC 上一点,过D 作AE 的垂线,交BC 于点F。
求证:AE=DF。
(2)如图②,过正方形ABCD 内任意一点O 作两条互相垂直的直线,分别交AD,BC
于点G,H,交AB,CD 于点M,N。线段MN 与GH 相等吗? 请说明理由。
①
②
(第13题)
14.如图,在菱形ABCD 中,AB=4,∠BAD=120°,点P,E 分别为线段BD,BC 上
的动点(不与端点重合),求PE+PC 的最小值。
(第14题)
(第15题)
15.如图,在正方形ABCD 中,F 是边BC 上的动点(不与点B,C 重合),连接AF,
AC,分别过点F,C 作AF,AC 的垂线交于点Q。
(1)证明:AF=FQ。
(2)过点Q 作NQ∥BC,交AC 于点N,连接FN。请补全图形。若正方形ABCD 的
边长为1,写出BF 的值,使四边形FCQN 为平行四边形,并证明。
第9 章 二次根式
内容提要
◆ 二次根式的概念
◆ 二次根式的性质
◆ 二次根式的运算
整式
二次根式
实数
数与式
……
近年来，我国运载火箭的运载能力已进入国际先进行列。
从“嫦娥”探月到“祝融”探火，再到“羲和”探日，我国
太空探索范围日益扩展，深空探测能力持续增强。
运载火箭发射航天飞行器时，火箭必须达到一定的速度，
才能克服地球引力，将飞行器送入环绕地球运行的轨道。这
个速度叫作第一宇宙速度v
1，v
1
=
gR，其中g ≈9.8 m/s2，R
为地球的半径。飞行器脱离地球引力，进入围绕太阳运行的轨
道所需要的最小速度为第二宇宙速度v
2
，v
2
=
v
1。如何计算
第一宇宙速度和第二宇宙速度？
本章我们将认识一种新的代数式——二次根式，了解二次
根式的概念及性质，探索二次根式的运算法则，并运用二次根
式解决更多问题。
39
字母与数的运算会得到代数式,本节我们探讨含开方运算的代数式。
图9.1-1
学校向同学们征集一块矩形花坛的设计方案。小莹以正
方形搭配圆形,设计了一个寓意“天圆地方”的图案,如图
9.1-1所示。
(1)若正方形部分的面积为40
m
2,则其边长是 m;
若正方形部分的面积为S
m
2,则其边长是
m。
(2)若圆形部分的面积为18
m
2,则其半径是
m;若圆形部分的面
积为k
m
2,则其半径是
m。
根据上面的问题可以列出代数式40, S, 18
π, k
π。
这些代数式以及章引言中的gR,有什么共同特征? 表示什么意义?
这些代数式都表示某一个数或式的
算术平方根。因为负数没有算术平方根,
所以被开方的数、式都大于或等于零。
一般来说,形如a(a≥0)的式子叫作二次根式(quadratic
radical),其中
“ ”叫作二次根号,a叫作被开方式。
40
我们知道,正数a 的算术平方根a是正数,0的算术平方根是0。因此,
a(
a≥0)是一个非负数,即
a≥0(
a≥0)。
当x 为何值时, 2x-1在实数范围内有意义?
解:在实数范围内,二次根式2x-1有意义的条件是2x-1≥0。
解不等式,得x≥1
2。
所以当x≥1
2时, 2x-1在实数范围内有意义。
1.当a为何值时,下列各式在实数范围内有意义?
(1) a-5; (2) 2+3a; (3) 1-2a; (4)
1
a 。
2.求代数式a+1(
a≥0)的取值范围。
二次根式的值是非负数,二次根式还有其他性质吗?
根据算术平方根的意义,完成下列填空:
(1)(3)
2=
;
1
2
2
=
; (0)
2=
。
(2)3
2=
;
1
2
2
=
;
0
2=
。
观察上面(1)和(2)中的运算过程和结果,二者有什么相同和不同之处?
这些运算可表示为(a)
2 和a
2,
都有平方运算和开平方运算,运算顺序
不同,但结果相同。
41
当a≥0时,(a)
2 和a
2分别表示什么?
有哪些差异?
(a)
2 表示a的算术平方根的平方,(a)
2
等于a。
a
2表示a
2 的算术平方根, a
2等于a。
二次根式的性质
(a)
2=a(
a≥0);
a
2=a(
a≥0)。
计算:
(1)(- 0.6)
2; (2)(32)
2。
解:(1)(- 0.6)
2=(0.6)
2=0.6。
(2)(32)
2=3
2×(2)
2=9×2=18。
计算:
(1) 49;
(2) (-2)
2。
解:(1) 49= 7
2=7。
(2) (-2)
2= 2
2=2。
当a≥0时,将等式(a)
2=a的两边互换,可以得到a=(a)
2,即一个非
负数可以写成另一个非负数平方的形式,例如5=(5)
2。
试一试,在实数范围内因式分解:
(1)x
2-2;
(2)x
2-23x+3。
42
1.计算:(1)
1
5
2
; (2)(- 0.3)
2; (3)(23)
2。
2.计算:(1)- π
2;
(2) 3
-2;
(3) (-6)
2。
复习巩固
1.当a取何值时,下列各式在实数范围内有意义?
(1) a+4; (2) 12-3a; (3)
1
a
2 ; (4)
1
2a-5
。
2.计算:
(1)(8)
2;
(2) - 6
2
2
;
(3) 5
2;
(4)
-3
2
2
。
3.一个直角三角形的两条直角边之比为3∶2,斜边长为65。求两条直角边的长。
拓展延伸
4.小球从离地面为h
m的高处自由下落,落到地面所用的时间为t
s。经过实验,发
现h与t的平方成正比例关系,且当h=10时,t= 2。用h表示t。
5.求出满足等式x
2=-x 的x 的取值范围。
探索创新
6.当-3≤x≤3时,求二次根式1+x
2的取值范围。
43
我们知道一个二次根式如何做平方运算,那么两个二次根式如何进行乘除
运算呢?
图9.2-1
如图9.2-1,小莹在每个小正方形边长为1
的方格纸中
画出了一个矩形ABCD,怎样求矩形ABCD 的面积呢?
一种方法可由勾股定理得
AB= 1
2+2
2= 5,AD= 4
2+2
2= 20。
所以矩形ABCD 的面积为5× 20。
另一种方法可用20个小方格的面积减去4个
直角三角形的面积,得到矩形ABCD 的面积为10。
我们发现5× 20=10。
(1)计算5×20=
。由此你发现了什么?
(2)计算下面每组算式的值,比较计算结果。你有什么猜想?
①
4× 9=
, 4×9=
;
②
9× 25=
, 9×25=
。
44
我猜想a·b= ab。
小亮的猜想正确吗? 说明理由。
在a≥0,b≥0的条件下,
(a· b)
2=(a)
2·(b)
2=ab,(ab)
2=ab。
因为a· b≥0, ab≥0,
所以a· b和ab都是ab的算术平方根。
因为一个非负数的算术平方根只有一个,
所以当a≥0,b≥0时, a· b= ab。
二次根式的乘法法则
a· b= ab(
a≥0,b≥0)。
把这个等式反过来,可得ab= a· b(
a≥0,b≥0),运用它可以化简二
次根式。例如:
20= 2
2×5= 2
2× 5=25。
一个二次根式的被开方式中不含分母,且不含能开得尽方的因数或因式,
这样的二次根式叫作最简二次根式(simplest
quadratic
radical)。运算结果中若含
有二次根式,通常将其化为最简二次根式。
计算:
(1)
1
54× 6; (2) 15× 5; (3)36×4 10。
解:(1)
1
54× 6=
1
54×6= 1
9=1
3。
(2) 15× 5= 15×5= 5
2×3= 5
2× 3=53。
(3)36×4 10=3×4× 6×10=12 2
2×15=12 2
2× 15=24 15。
45
化简:
(1) 64×49;
(2) 27;
(3) 25×8。
解:(1) 64×49= 64× 49=8×7=56。
(2) 27= 9×3= 9× 3=33。
(3) 25×8= 25× 4× 2=5×2× 2=102。
在章引言中,已知第一宇宙速度的计算公式是v1= gR,其中g≈9.8
m/s
2,
地球的半径R≈6
370
km,则
v1 = 0.001×9.8×6370
= 0.0001×49×2×49×130
= 0.0001× 49
2× 2
2× 65
=0.98× 65
≈7.9(km/s)。
根据章引言给出的信息,你能求出第二宇宙速度吗?
1.化简:
(1) 25×169; (2) 20×35; (3) 32; (4) 200。
2.计算:
(1) 3× 15;
(2) 24× 6;
(3) 12× 18。
类比二次根式的乘法,计算二次根式的除法时,是否可以先将被开方数相
除再开方呢?
下列每组两个算式的值相等吗?
(1) 16
4
=
, 16
4 =
;(2) 9
25
=
,
9
25=
;
(3) 49
64
=
, 49
64=
;(4) 81
36
=
, 81
36=
。
46
a
b
与a
b (
a≥0,b>0)有什么关系? 你能说明理由吗?
我猜想a
b
=
a
b 。
在a≥0,b>0的条件下,
a
b
2
=a
b,
a
b
2
=
(a)
2
(b)
2=a
b。
因为a
b ≥0, a
b
≥0,
所以a
b 和a
b
都是a
b的算术平方根。
因为一个非负数的算术平方根只有一个,
所以当a≥0,b>0时, a
b
= a
b 。
二次根式的除法法则
a
b
= a
b (
a≥0,b>0)。
把上述等式反过来,可得a
b = a
b
(a≥0,b>0),运用它可以化简二次
根式。
47
计算:
(1) 5÷ 20; (2) 40÷ 8× 2; (3) 2
7
。
解:(1) 5÷ 20= 5÷20= 1
4=1
2。
(2) 40÷ 8× 2= 40÷8×2= 10。
(3) 2
7
= 2
7= 2×7
7×7= 14
7
2 = 14
7
2= 14
7 。
运算结果的分
母中不含二次根式。
化去分母中二次根式
的过程称为“分母有
理化”。
化简:
(1)
3
400;
(2) 1
2;
(3) 50
3 。
解:(1)
3
400=
3
400
= 3
20。
(2) 1
2=1
2
=1× 2
2× 2
= 2
2。
(3) 50
3 = 5
2×2
3
= 5
2×2×3
3×3
= 5
2× 6
3
2
=5
36。
1.计算:
(1) 48÷ 3; (2) 15÷35; (3)5
5
;
(4)32
6
。
2.化简:
(1)
2
5;
(2) 100
8 ;
(3) 12
27;
(4) 3.5。
3.已知矩形的面积为26,相邻两边的长分别为a,b。若b= 10,求a 的值。
48
复习巩固
1.化简:
(1) 12;
(2) 18; (3)
2
3; (4)
1
48。
2.计算:
(1)27× 35; (2) 12× -2 1
3
; (3) 17÷ 85; (4)62
27
。
3.设矩形的面积为S,长和宽分别为a,b。
(1)已知a=2 50,b=36,求S;
(2)已知S=4 28,b= 8,求a。
拓展延伸
4.如图,从一个大正方形中裁去面积为30
cm
2 和48
cm
2 的两个小正方形,求剩
余的阴影部分的面积。
(第4题)
(第5题)
5.如图,△ABC 在每个小正方形边长为1的方格纸中,点A,B,C 恰好在格点
上,求△ABC 中BC 边上的高。
探索创新
6. (1)判断下列各式是否成立:
2+2
3=2 2
3, 3+3
8=3 3
8, 4+4
15=4
4
15;
(2)请根据(1)写出下一个等式,并验证等式是否正确;
(3)请用含有字母n 的等式将(1)中的规律表示出来,并注明n 的取值范围。
你能证明这个等式一定成立吗?
49
《数书九章》书影
秦九韶公式
秦九韶(约1208—约1261)是我国南宋时期著名的数学家。他的著作
《数书九章》系统地总结了当时我国数学的主要成就,对数学的发展作出了
卓越的贡献。
《数书九章》分大衍、天时、田域、测望、
赋役、钱谷、营建、军旅、市易9大类,每类9
个问题。其中卷五记载了“三斜求积术”问题:
“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中
斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知
为田几何。”
这里所说的“三斜”,包括大斜、中斜、小斜,分别指三角形的长边、中
边、短边。秦九韶的解法是:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于
上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积。”答
案是“三百十五顷”。
秦九韶的解法用今天的数学语言表达,就是:设三角形的长边、短边、
中边分别为a,b,c,面积为S,则
S= 1
4 a
2b
2- a
2+b
2-c
2
2
2
这一公式给出了“已知三角形的三条边,求三角形面积”的一种计算方
法,被后世称为秦九韶公式,影响深远。
50
学习了二次根式的乘法和除法之后,我们来研究二次根式的加法和减法。
在图9.3-1中,矩形ABCD 的周长是多少? 长比宽多多少?
图9.3-1
AB=CD= 5,AD=BC= 20,
矩形ABCD 的周长为25+2 20,长
比宽多20- 5。
如何计算25+2 20和20- 5呢?
20可化简为25。算式25+2 20就化
简为25+45。
算式25+45的每个加数中都含有5,根
据乘法分配律,可以类比多项式的合并同类项
进行合并。
25+2 20
=25+45
=(2+4)5
=65。
化简后被开方式
相同的二次根式称为
同类二次根式。
同理 20- 5=25- 5=(2-1)5= 5。
51
一般地,二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把
被开方式相同的二次根式进行合并,不能合并的二次根式保留在结果中。
计算:
(1) 54+ 24; (2) 18-28。
解:(1) 54+ 24=36+26=56。
(2) 18-28=32-2×22=32-42=- 2。
计算:
(1) 90-2 20+ 45;
(2)(12+ 24)+(3- 6)。
解:(1) 90-2 20+ 45
=3 10-45+35
=3 10- 5。
(2) (12+ 24)+(3- 6)
=23+26+ 3- 6
=23+ 3+26- 6
=33+ 6。
1.计算:
(1)23-63; (2)1
3 18-3 8
9;
(3) 75- 48+ 28;
(4) 18+( 98- 27)。
2.一个等腰三角形的两边长分别是24和54,求它的周长。
52
在进行二次根式运算时,有理数的运算顺序和运算律仍然适用,整式的乘
法法则和乘法公式也同样适用。
计算:
(1)(3+26)× 6;
(2)(3+2)(3-5)。
解:(1) (3+26)× 6
= 3× 6+26× 6
= 18+2×6
=32+12。
(2) (3+2)(3-5)
=(3)
2-53+23-10
=3-33-10
=-7-33。
计算:
(1)(2+ 7)(2- 7);
(2)(6- 3)
2。
解:(1) (2+ 7)(2- 7)
=2
2-(7)
2
=4-7
=-3。
(2) (6- 3)
2
=(6)
2-2× 6× 3+(3)
2
=6-2× 18+3
=9-62。
计算:
(1) 5(5+25); (2)( 24-3 10)÷ 2;
(3)(5+1)(5-1);
(4)(3+ 2)
2。
二次根式的“形象”
正方形的对角线让毕达哥拉斯学派认识到无理数2的存在(图9.3-2)。接
下来, 3, 5, 7,…,一系列二次根式不断延续。我们试着绘制出它们的直
观形象(图9.3-3),这些式子都指向一个图形———直角三角形。那么,可不可
以借助直角三角形探讨更多二次根式问题呢?
53
图9.3-2
图9.3-3
例如,已知x,y是正数,且x+y=4,如何求1+x
2+ 4+y
2的最小值?
由x+y=4可以联想到长为x的线段和长为y的线段总长为4(图9.3-4①);
由1+x
2可以联想到直角边长为1和x 的直角三角形(图9.3-4②),其中,斜
边CD= 1+x
2。
①
②
图9.3-4
同样,由4+y
2可以联想到直角边长为2和y 的直角三角形(图9.3-5),
其中,CE= 4+y
2。由x,y 是变量,可知线段AC 和BC 的长度是变化的。
这样便将代数问题转化成一个几何问题:在图9.3-5中,点C 在什么位置时,
CD+CE 的值最小?
图9.3-5
图9.3-6
如图9.3-6,当D,C,E 三点共线时,CD+CE 的值最小,DE=5,
即1+x
2+ 4+y
2取得最小值5。
勾股定理可以帮助我们建立起二次根式的直观形象,这使得我们在解决
某些二次根式问题时,既多了一个几何视角,又多了一条几何途径。
54
(第4题)
复习巩固
1.下列计算是否正确? 为什么?
(1) 7- 3= 7-3=2; (2)42- 2=3。
2.计算:
(1)2 12+ 27;
(2)( 20+ 18)-(8- 45);
(3)
12+1
46
÷ 2;
(4)(1+ 6)(23- 2);
(5)(3-22)
2;
(6)(5+ 7)(5- 7)。
拓展延伸
3.身体质量指数(BMI)的计算方法是体重(单位:kg)除以身高(单位:m)的平方。
若一个体重60
kg的学生BMI为24,请判断他的身高是否超过1.7
m。为什么?
4.在平面直角坐标系中,△ABC 的位置如图所示。
(1)借助△ABC 的三边说明5+
10与
13的大小
关系;
(2)若保持点A,C 不动,点B 从图中的位置沿x 轴向
右移动。当CB=AC 时,求△ABC 的周长。
探索创新
5.已知a,b 都是实数,m 为整数,若a+b=2m,则称a 与b 是关于m 的一组
“对称数”。
(1) 2与x 是关于1的“对称数”,求x 的值;
(2)3- 2与y 是关于3的“对称数”,求y 的值;
(3)已知a= 3+4,b= 3-4,判断a与b是否为一组对称数,a
2 与b
2 呢?
55
1.什么是二次根式? 二次根式有哪些性质?
2.什么是最简二次根式? 如何将一个二次根式化为最简二次根式? 请举例
说明。
3.本章研究了二次根式的哪些运算? 它们的运算法则分别是什么?
4.回顾整式、分式、二次根式的学习历程,代数式的主要研究内容是什么?
复习巩固
1.当x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义?
(1) 3x; (2) 2+x; (3) x+ 4-x; (4)
5
x-1。
2.化简:
(1) 24;
(2) 1000;
(3)
1
13;
(4) 42
3。
56
3.计算:
(1)( 63- 2)-
1
2+ 7
; (2)2 12× 3
4÷ 2;
(3)(1+ 6)(1- 6);
(4)( 24- 18)÷ 6;
(5)(2+ 7)
2;
(6)(22- 5)
2。
4.已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和。如果大圆的半径为9
cm,其中一个小
圆的半径为3
cm,求另一个小圆的半径r。
5.矩形两邻边长分别为3+ 2, 3- 2,求矩形的面积。
拓展延伸
6.当x=2- 10时,求代数式x
2-x-2的值。
(第7题)
7.如图,把一个面积为18的大正方形裁成三个部分,分别为正方形
A、矩形B 和矩形C,其中正方形A 的面积为8。求矩形B 与矩形
C 的面积差。
8.枪弹射出枪口时的速度可用公式v= 2as进行计算,其中a为枪弹
的加速度,s为枪筒的长。当a=5×10
5
m/s
2,s=0.64
m 时,求
v的值。
探索创新
(第9题)
9.如图,将一个边长为1的正八边形放置在一个正方形中。
(1)求这个正方形的周长;
(2)求正八边形的面积。
10.已知二次根式4-a与2的积是一个整数。
(1)若a是一个正整数,符合条件的a有哪些?
(2)若a是一个整数,符合条件的a有多少个?
如果把所有符合条件的a 按照从大
到小的顺序排列,那么第5个数是多少?
第10 章 函数
内容提要
◆ 函数的概念
◆ 函数的表示
◆ 函数的图象
常量与变量
函数
……
函数
气压随海拔高低而变化，潮汐随时间推移而变化，奔跑
消耗的能量随路程长短而变化……在自然界和现实生活中，
这种一个量随另一个量的变化而变化的现象无处不在。
函数是刻画两个变量之间关系的一种重要模型，是研究
变化、对应关系、事物发展趋势的有力工具。本章我们将开
启函数的学习，用表达式描述变量之间的关系，用表格呈现
对应关系，用图象描绘变化过程。学习函数能帮助我们认识
事物运动变化的规律，进而有效解决与变化有关的问题。
59
我们已经认识了常量和变量,本节我们将研究两个变量之间的一种关系。
(1)某景点门票价格为每张60元,售出n张票(0≤n≤30
000,n是整数),
售票收入为W 元。你能根据n的值确定W 的值吗?
(2)在一个半径为10
cm的圆中挖去一个半径为R
cm的圆,余下部分的面
积为S
cm
2。你能根据R 的值确定S 的值吗?
(3)建筑工地上有一种平臂塔式起重机,在安全范围内,
所吊重物离主塔距离与吊起重物的质量记录如下:
重物离主塔距离x/m
15
20
25
30
重物的质量y/t
5
3.75
3
2.5
你能根据x 的值确定y 的值吗?
(4)某市海洋局根据记录的某天潮高h(单位:cm)与时间t(单位:h)的数
据,绘制了潮汐变化曲线图(图10.1-1)。你能根据t的值确定h 的值吗?
图10.1-1
60
上面每个问题中两个变量之间的关系有什么特点?
问题(
1)中,W=60n,可以根据n 的值求出W 的
值,例如,n=100,W =6
000;n=200,W =12
000。
n确定,W 就确定了。
问题(2)中,S=100π-πR
2,可以根据R 的值求
得S 的值。
问题(3)中,可以根据表格中x
的值确定y 的值。问题(4)中,能从
图中看出每个时刻t的潮汐高度h。
一般地,在一个变化过程中,有两个变量x 和y,如果对于变量x 的每
一个确定的值,变量y 都有唯一确定的值与其对应,我们就称y 是x 的函数
(
function),其中x 叫作自变量,y 叫作因变量。如果自变量x 的值为a 时,
y 的值是b,就把b叫作x=a时的函数值。
上面的问题(1)中,W 是n的函数,n是自变量,W 是因变量;问题(4)中,
h 是t的函数,t是自变量,h 是因变量。
用一条长40
cm的绳子围成矩形,一边长为x
cm,面积为y
cm
2。
(1)写出表示y 与x 的函数关系的式子,指出自变量及其取值范围;
(2)当矩形的一边长为8
cm时,求出该矩形的面积。
解:(1)y=x(20-x)。
x 是自变量。根据实际意义可知,自变量x 的取值范围是0<x<20。
(2)当x=8时,y=8×(20-8)=96。
所以,当矩形的一边长为8
cm时,该矩形的面积为96
cm
2。
61
一个函数自变量的取值通常有一定的范围。函数自变量的取值范围需要从
实际问题有意义和代数式有意义两个角度考虑。例如,问题(2)中,根据实际意
义,R 的取值范围是0<R<10;在函数y= 1
x-4中,要使代数式1
x-4有意义,
自变量x 的取值范围是x≠4。
1.面积为100
m
2 的矩形花圃的一边长为a
m,另一边长为b
m。将b用含a的代数
式表示。b是a的函数吗? 如果是,指出其中的自变量、因变量及自变量的取值
范围。
2.玉米是我国三大主粮之一,其种植范围广、产量高,在保障国家粮食安全方面具
有重要的战略地位。下表为我国连续5年玉米产量(单位:万t)数据:
年份n
2018
2019
2020
2021
2022
产量W/万t
25
733
26
077
26
067
27
255
27
720
W 是n的函数吗? 如果是,请指出其中的自变量与因变量。
3.如图所示的心电图中,横坐标x 表示时间,纵坐标y 表示心脏部位的生物电压。
y 是x 的函数吗?
(第3题)
4.求下列函数的自变量的取值范围:
(1)
y=30-x; (2)
y= 1
x+3; (3)
y= 3x; (4)
y= x+1
x
。
62
(第3题)
复习巩固
1.一列高速行驶的“复兴号”列车速度为347
km/h。将行程s(单位:km)用含时间
t(单位:h)的代数式表示。s是t的函数吗?
2.文具店一种签字笔的价格为3元/支,这种签字笔的销售数量为x 支,销售收入
为y 元。填写下表:
销售数量x/支
1
2
3
4
…
销售收入y/元
…
y 是x 的函数吗? 如果是,请指出自变量与因变量。
3.实验证实,放射性物质在放出射
线后,质量将减少。镭放射后所
剩的质量m 与时间t(单位:年)
的关系如图所示。m 是t的函数
吗? 如果是,请指出自变量与因
变量。
拓展延伸
4.果农委托水果店代销苹果,每箱售价为45元,每销售1箱付给水果店代理费5元。
水果店销售量为x 箱,果农的实际收入为y 元。y 是关于x 的函数吗? 当x=35
时,y的值是多少?
探索创新
5.中国邮政国内普通信函资费如下表所示(单位:元):
计费单位
资费标准
本埠(县)资费
外埠资费
首重100
g内,每重20
g(不足20
g按20
g计)
0.80
1.20
续重101—2
000
g,每增加100
g(不足100
g按100
g计)
1.20
2.00
(1)邮寄到本埠的一件重为200
g的普通信函需要支付资费多少元?
(2)邮寄到外埠的一件重为x
g (100<x<2
000)的普通信函需要支付资费多少元?
63
当两个变量之间具有函数关系时,如何表示这种关系呢?
(1)在上一节的四个问题中,分别是怎样表示两个变量之间的函数关系的?
(2)一般情况下,如何表示两个变量之间的函数关系? 不同的表示方法
各有什么特点?
可以用式子表示函数关系,比如问题(
1)(
2),
这种方法可以精确、简洁表示函数关系。还可以
用表格表示函数关系,比如问题(
3),这种方法可
以清楚地看出自变量的值与因变量的对应值。
问题(4)是用图象表示函数关系的,
图象可以让我们全面直观地看到因变
量如何随自变量的变化而变化。
用关于自变量的代数式表示函数关系的式子叫作这个函数的表达式。这
种表示函数关系的方法叫作解析法。
用表格呈现自变量的值和它所对应的函数值,这种表示函数关系的方法
叫作列表法。
在平面直角坐标系中,把自变量与其对应的函数值分别作为点的横坐标、
纵坐标,由所有这些点组成的图形叫作这个函数的图象。这种表示函数关系
的方法叫作图象法。
64
上节的问题中,(1)(2)用的是解析法,(3)用的是列表法,(4)用的是图象
法。解析法、列表法、图象法都是表示两个变量之间函数关系的常用方法。
如图10.2-1,用大小一致的正方形水泥地砖按一定次序铺设人行道,
图中的每一个小正方形表示一块地砖。
…
① ② ③
图10.2-1
(1)用n表示图的序号,S 表示第n 个图中地砖的块数,S 是n 的函数。
请用解析法和列表法分别表示这个函数。
(2)这个函数的自变量n的取值范围是什么?
解:(1)图①中有3×5块地砖,图②中有5×5块地砖,图③中有7×5块
地砖……图○
n中有(2n+1)×5块地砖,函数S 关于自变量n的表达式为
S=5(2n+1)。
用列表法表示如下:
n
1
2
3
4
…
n
…
S
15
25
35
45
…
5(2n+1)
…
(2)因为n是图的序号数,所以n的取值范围是正整数。
1.已知钢的密度是7.85
g/cm
3。写出正方体钢块的质量y(单位:g)关于它的棱长
x(单位:cm)的函数表达式。在这个函数中,哪个量是自变量?
2.用正方形按如图所示的规律拼图案,请写出第n个图案中正方形的个数S 与n的
函数关系。
①
② ③
④
(第2题)
65
复习巩固
1.求下列函数自变量的取值范围:
(1)y= x+2; (2)y=
1
2x-4。
2.如图,用一些相同的小棒摆三角形,小棒根数m 随三角形个数n的变化而变化。
(第2题)
…
(1)填表:
三角形个数n
1
2
3
4
5
…
小棒根数m
3
…
(2)写出小棒根数m 关于三角形个数n的函数表达式;
(3)当三角形的个数n为6时,求小棒的根数m 的值;
(4)当小棒的根数m 为27时,求三角形的个数n的值。
拓展延伸
3.如图,小亮受《乌鸦喝水》故事的启发,利用一个高45
cm的量筒和一些体积相
同的小球进行实验。他先向量筒内注水,使水面高30
cm,再放入3个小球,量
得水面的高度为36
cm。
(第3题)
(1)当放入x 个小球时,量筒内水面的高度是y
cm。请写出y 关于x 的函数表
达式。
(2)至少放入多少个小球,量筒中的水会溢出?
66
4.下面哪些图象表示的y 与x 的关系是函数关系? 为什么?
(第4题)
探索创新
5.已知y 关于x 的函数表达式为y= 1
x-1,x 关于m 的函数表达式为x=2m+3。
y是关于m 的函数吗? 若是,请写出y关于m 的函数表达式及自变量m 的取值范围。
函数概念的由来和发展
“函数”一词由德国数学家莱布尼茨于1673年首次应用于数学。不过,
莱布尼茨用这个词表达的意思与今天有很大不同。最初,他用“函数”
(
function)一词来表示变量x 的幂,即x
2,x
3,…之后,他又用“函数”来
表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等所有与曲线上的
点有关的变量。
1748年,瑞士数学家欧拉定义函数为“解析表达式”,这一定义在18世
纪占据了主导地位。1834年,俄国数学家罗巴切夫斯基用对应关系定义函
数。这一定义与本章的函数定义基本相同。
1859年,我国清代著名数学家李善兰首次将“function”译为“函数”。
他给出的定义是:“凡式中含天,为天之函数。”用“天、地、人、物”
4个
字来表示4个不同的未知数或变量,在此定义中, “函数”意味着式子里含
有变量。
函数概念历经数百年的演变发展,提升了代数在数学中的地位,也推动
了几何学的发展,是数学发展史上的一个重要成果。
67
函数的图象可以形象、直观地反映函数的变化情况和某些性质。那么怎样
从图象中获取函数的相关信息,又怎样画出一个函数的图象呢?
图10.3-1是某天的潮汐变化曲线图。
图10.3-1
从函数图象中,你能得到关于潮汐变化的哪些信息?
(1)6时,潮高是多少? 你还知道哪些时刻的潮高?
(2)这一天何时潮高为100
cm?
(3)这一天的最大潮高与最低潮高分别是多少? 分别在何时达到?
(4)哪段时间潮水在上涨? 你还能获得哪些信息?
68
潮水大约在4时到10时
上涨。退潮后,17时到23时
潮水再上涨。
通过函数图象可以看出:自变量的每个取值所对应的函数值,以及每个
函数值所对应的自变量;函数值随自变量的变化而变化的趋势;函数值何时
取得最大值、最小值等。
对一块盛放在容器中的冰进行加热,使其融化直至沸腾。这个过程
中,温度T(单位:℃)关于时间t(单位:min)的函数图象如图10.3-2所示。
图10.3-2
观察图象,回答下列问题:
(1)加热15
min时,温度为
多少?
(2)加热多长时间,冰开始
融化? 全部化成水,用时多长?
(3)加热到50
℃,用时多
长?
解:(1)图象上t=15的点位于点D 的右侧,此时温度不再上升,说明水
已经沸腾,温度为100
℃。
(2)当温度到达0
℃,冰开始融化,融化过程中温度保持在0
℃。B,C 两
点坐标分别为(2,0),(8,0),可知加热2
min冰开始融化,全部化成水用时
6
min。
(3)图象上T=50的点位于线段CD 上,该点的横坐标为11,所以加热到
50
℃用时11
min。
69
向如图10.3-3所示的①②两个容器中的某一个匀速注入液体,容器中液面
高度h 关于时间t的函数关系的示意图如图10.3-3③所示。你能判断这个容器
是①②中的哪一个吗?
① ②
③
图10.3-3
已知小亮家、学校、图书馆在同一条直线上。小亮先从学校匀速骑自行车到图书馆还
书,然后匀速骑行返回家中(上、下车时间忽略不计)。小亮离家的距离y(单位:km)与
他所用的时间x(单位:min)的函数关系如图所示。
根据图象回答下列问题:
(1)小亮家与学校的距离有多远? 小亮骑
行的时间为多少分钟?
(2)小亮骑行回家时的速度是多少?
(3)小亮出发35分钟时,离家有多远?
通过函数图象可以获得两个变量之间的对应关系和变化趋势等信息,那么
如何画出函数的图象呢?
画出函数y=1
4x
2(x≥0)的图象。
(1)如何得到这个函数图象上一个点的坐标?
(2)如何借助函数图象上的一部分点画出整个函数图象?
70
取自变量x 的一个值作为横坐
标,对应的函数值y 作为纵坐标,就
可以得到函数图象上一个点的坐标。
从画出的几个点观察整个函
数的变化趋势,估计其他点的位
置,连线,就可以得到函数图象。
首先,用表格把图象上一些点的横坐标和纵坐标列出来,如下表所示。
x(x≥0)
0
1
2
3
4
…
y=1
4x
2
0
1
4
1
9
4
4
…
其次,在平面直角坐标系中,以表中(
x,y)为坐标描点,如图10.3-4所示。
最后,把描出的点用平滑的曲线连起来,就得到函数y=1
4x
2(x≥0)的图
象,如图10.3-5所示。
图10.3-4
图10.3-5
71
画函数图象的步骤如下:
①
列表。在表中列出若干组x 与y 的对应值。
②
描点。以表中每一组x 与y 的值分别为点的横坐标、纵坐标,在平面
直角坐标系中描出对应的点(x,y)。
③
连线。按自变量由小到大的顺序把点用平滑的曲线连接起来。
这种画函数图象的方法叫作描点法。
画出函数y=2x 的图象。
解:①
列表。写出x 与y 的几组对应值。
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
-4
-2
0
2
4
…
②
描点。以表中x 和y 的对应值分别为点的横坐标、纵坐标,在平面直角
坐标系中描出相应的点。
③
连线。将描出的点用平滑的曲线连接起来,得到函数y=2x 的图象
(图10.3-6)。
图10.3-6
1.画出函数y=-x+1的图象,并判断下列各点是否在这个函数的图象上:
(-2,-1),(-1.5,2.5),(0,1),(1,0)。
2.画出函数y=x
2-1(-3≤x≤3)的图象。
72
复习巩固
1.小亮站在高处向斜上方抛掷一个物体,如图是该物体的运动曲线。试根据该图回
答以下问题:
(1)开始抛掷时物体离地面的高度是多少?
(2)当物体沿水平方向运动多少米时,它离地面最高? 最大高度约是多少?
(3)当物体落在地面时,它沿水平方向运动了多少米?
(第1题)
(第2题)
2.根据图象填空。
(1)当x=0时,y=
;当y=0时,x=
;
(2)当x=
时,y 的值最小,最小值=
;
(3)当x 满足
时,y 随x 的增大而增大。
3.用描点法画出函数y=2x-3的图象。
4.周末,小亮和爸爸进行了一次登山赛。已知由山脚到山顶的路程为1
500
m,爸
爸走了一段路程后,小亮才出发。图中两条线段分别表示小亮和爸爸距离山脚的
登山路程s(单位:m)与时间t(单位:min)的函数关系,其中t为小亮的登山时间。
根据图象,小亮出发多少分钟后追上爸爸? 此时他离山脚多远? 他俩谁先到达山
顶,用时多长?
(第4题)
73
拓展延伸
5.某次大型活动中,组委会用无人机航拍活动过程。已知无人机的上升速度和下降
速度相同。无人机的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:min)之间的关系如
图所示。请根据图象回答下列问题:
(第5题)
(1)在上升或下降过程中,无人机的速度为多少?
(2)图中a表示的数是
,b表示的数是
。
(3)无人机在空中保持高度不变进行拍摄,拍摄的时间共有
min。
6.用描点法画出函数y=x
3 的图象,并用数学软件验证。请根据图象分析y 随x 变
化而变化的情况。
探索创新
7.在工作状态下,饮水机通过自动加热使水的温度保持在一定范围内。图中曲线表
示饮水机的水温T(单位:℃)关于时间t(单位:min)的函数图象。请根据图象提出
至少两个问题,并解答。
(第7题)
74
1.什么是函数? 请举例说明。
2.函数有几种表示方法? 它们各有什么优点? 请举例说明。
3.通过函数图象可以获得函数的哪些信息?
4.用描点法画函数图象一般包括哪几个步骤?
复习巩固
1.写出下列函数关系的表达式,并指出其中的自变量和因变量。
(1)大米的价格为每千克5元,购买大米的费用y(单位:元)与购买量x(单位:kg)
的关系;
(2)某圆柱体的底面直径为2
m,它的高度h(单位:m)与体积V(单位:m
3)的关系;
(3)某时段高铁列车平均每小时行驶350
km,该时段列车行驶的路程S(单位:km)
与时间t(单位:h)的关系。
2.求下列函数自变量的取值范围:
(1)y= 6
x+1; (2)y= 2x-4;
(3)y= 6
x
2+1
;
(4)y=
x
2x-1
。
75
3.用描点法画函数y=-x
2 的图象。
4.一个菱形风筝的两条对角线的长之和为100
cm。其对角线的长发生变化时,菱形的
面积也发生变化。在这个变化过程中,其中一条对角线的长为x
cm,写出菱形的面
积y(单位:cm
2)关于x(单位:cm)的函数表达式。
5.取若干个形如图①的梯形,按图②的方式排列。随着图②中梯形个数的增加,所拼得
的四边形的周长也不断增加。
① ②
(第5题)
…
(1)完成下面的表格:
梯形个数n
1
2
3
4
5
6
…
所拼得四边形周长L
5
8
11
…
(2)写出L 关于n的函数表达式,并求n=20时L 的值。
拓展延伸
6.假日里,小亮和爸爸骑自行车郊游。他们8时从家出发,16时返回家中,途中共
休息了两次。他们离家的距离s(单位:km)与时间t(单位:h)的关系如图所示。请
看图回答下列问题:
(第6题)
(1)他们何时到达离家最远的地方?
(2)他们何时开始第一次休息?
(3)从10时至13时,他们走了多少千米?
(4)返回时,他们的平均速度是多少?
76
7.如图,小亮以5
m/s的速度在400
m 操场上匀速跑步,他从A 点出发跑一圈再回
到A 点。体育老师在P 点观察小亮的跑步过程。设小亮跑步的时间为t(单位:s),
他与体育老师的距离为y(单位:m),y 是t的函数吗? 如果是,请画出函数大致
的图象并求出自变量t的取值范围。
(第7题)
探索创新
8.如图①,正方形ABCD 中,点P 从点A 出发沿着A→D→C 的路线运动,到达点
C 即停止运动。以点P 的运动路程为自变量x,BP 的长为因变量y,绘制y 关于
x 的函数图象如图②所示。请观察函数图象,回答下列问题:
(1)求点
E,F 的坐标;
(2)已知点(m,5)在②中图象上,求m;
(3)已知图象上两点的纵坐标相同,直接写出这两点横坐标x1,x2 满足的数量关系。
①
②
(第8题)
第11 章 一次函数
内容提要
◆ 一次函数的概念、图象与性质
◆ 一次函数与方程、不等式
◆ 一次函数与实际问题
常量与变量
一次函数
函数
函数
……
高速列车匀速驶过的路程与所用时间，悬挂重物下的弹
簧长度与重物质量，摄氏温度值与对应的华氏温度值…… 这
些变量间的函数关系有什么共同的特征？
根据表达式的不同特征，可以将函数分类进行研究。本
章我们将认识一类特殊的函数——一次函数，学习绘制它的图
象，并结合图象探索它的性质，建立它与方程、不等式的关系，
体会如何应用函数知识解决实际问题。
高速列车匀速驶过的路程与所用时间，悬挂重物下的弹
簧长度与重物质量，摄氏温度值与对应的华氏温度值…… 这
些变量间的函数关系有什么共同的特征？
根据表达式的不同特征，可以将函数分类进行研究。本
章我们将认识一类特殊的函数——一次函数，学习绘制它的图
象，并结合图象探索它的性质，建立它与方程、不等式的关系，
体会如何应用函数知识解决实际问题。
79
本节我们来研究函数中的一类特殊函数———一次函数。
请写出下列情况中的y 关于x 的函数表达式。
(1)
以350
km/h的速度匀速行驶的高速列车,行驶x(单位:h)的路程是
y (单位:km);
(2)
每百千米耗油量为8
L的汽车,油箱中有60
L油,行驶x(单位:km)
后,油箱中剩余油量为y
(单位:L);
(3)
弹簧原长10
cm,在其弹性限度内,所挂重物的质量x(单位:kg)每增
加1
kg,弹簧的长度y(单位:cm)增加0.5
cm。
以上三种情况中的函数表达式分别为:
y=350x,y=-0.08x+60,y=0.5x+10。
这些函数表达式有什么共同特征?
函数表达式的右
边都是一次整式。
它们都可以写成
y=kx+b(
k≠0)的形式。
一般地,形如y=kx+b(k 与b是常数,且k≠0)的函数叫作一次函数
(
linear
function)。特别地,当b=0时,一次函数y=kx 也叫作正比例函数,
其中k叫作比例系数。
80
写出下列问题中y 关于x 的函数表达式,并判断y 是否为x 的一
次函数,是否为正比例函数。
(1)
宣纸每张9元,购买x 张,需支付费用y 元。
(2)
某小区每月物业管理费标准为住房2.2元/平方米。另外,有车位的住
户每月还需缴纳停车服务费80元/车位。住户住房面积为x 平方米,且每户都
只有一个车位,住户每月应缴物业管理费和停车服务费总和为y 元。
解:(1)
y=9x,y 是x 的一次函数,也是正比例函数。
(2)
y=2.2x+80,y 是x 的一次函数,不是正比例函数。
已知一次函数的图象经过点(1,0),(2,2),求它的表达式。
解:设所求一次函数的表达式为y=kx+b(
k≠0)。
因为该函数的图象经过点(1,0),(2,2),
所以
k+b=0,
2k+b=2。
解得
k=2,
b=-2。
先设出函数表达式
中的未知系数,再根据
条件确定未知系数,这
种方法叫作待定系数法。
所以这个一次函数的表达式为y=2x-2。
1.下列函数中,哪些是一次函数,哪些是正比例函数?
(1)
y=2
3x;
(2)y=-x
2+6; (3)y=-1
2x+3。
2.某仓库原有储备物资72
t,每天运走2.4
t。写出该仓库的剩余库存量Q(单位:t)
与运送天数m (单位:d)之间的函数表达式,并判断它是否为一次函数,是否
为正比例函数。
3.已知点(2,4)在正比例函数的图象上,求这个正比例函数的表达式。
81
复习巩固
1.下列函数中,哪些是一次函数? 指出这些一次函数y=kx+b中的k与b的值。
(1)
y=2x+5; (2)
y=6x;
(3)
y=-1
x;
(4)
y= 3x-3。
2.填空:
(1)
已知一次函数y=3x-7。
当x=0时,y=
;当y=0时,x=
。
(2)
已知一次函数y=-2x+4。
当x=1时,y=
;当y=-2时,x=
。
3.已知一次函数的图象经过点(-4,0)与点(0,3)。求这个一次函数的表达式。
4.已知一次函数y=kx+b,当x=2时,y=3;当x=-2时,y=-1。求k 与b
的值。
拓展延伸
5.某商店计划销售甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台。已知甲型平板电脑进价
为1
600元,售价为2
000元;乙型平板电脑进价为2
500元,售价为3
000元。
设该商店购进甲型平板电脑x 台时,销售这批平板电脑的利润为y 元。求y 关于
x 的函数表达式。
探索创新
6.
4月23日是“世界读书日”。某书店在这一天举行购书优惠活动,所购图书的标
价总额不超过100元的按原价计费,超过100元的部分打6折。求一次购书应支
付金额y(单位:元)关于标价总额x(单位:元)的函数表达式。
82
如何研究一次函数的图象及其性质? 我们先从最简单的一次函数———正比
例函数开始。
请在同一平面直角坐标系中画出函数y=x 与y=-2x 的图象。
列表:写出x 与y 的几组对应值。
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=-2x
…
4
2
0
-2
-4
…
描点:以表中x,y 的对应值为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应
的点。
连线:将这些点连接起来,得到y=x 与y=-2x 的图象(图11.2-1)。
图11.2-1
图11.2-2
我们可以运用数学软件画出更多正比例函数的图象。例如y=2x,
y=-1
2x 的图象(图11.2-2)。
83
(1)图11.2-2中的正比例函数图象有什么共同点和不同点?
这些正比例函数的图象都是
经过原点的直线,只是倾斜方向
和倾斜程度不同。
(2)观察图11.2-2中的正比例函数图象,当k 的符号变化时,这些直线的
位置有什么变化? 直线自左向右的变化趋势有什么不同?
k>0时,直线过第一、三象
限,自左向右上升;k<0时,直线
过第二、四象限,自左向右下降。
(3)观察图11.2-2中的正比例函数图象,当k的符号变化时,随着x 的值
增大,函数值y 的变化有什么不同?
正比例函数y=kx(
k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们
称它为直线y=kx。
当k>0时,直线y=kx 经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大;
当k<0时,直线y=kx 经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小。
已知正比例函数y=-3x 的图象过点(x1,y1),(x1+2,y2),比
较y1,y2 的大小。
解:因为k=-3<0,
所以y 随x 的增大而减小。
因为x1<x1+2,
所以y1>y2。
84
1.
画出下列函数的图象:
(1)
y=-4x; (2)
y=2
3x。
2.
已知点A(-2,m),B(3,n)在直线y=6x 上。比较m,n的大小。
正比例函数是特殊的一次函数,能否类比正比例函数的图象和性质来探索
一次函数的图象和性质呢?
请在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x 和y=2x+3的图象。
列表,写出x 与y 的几组对应值。
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=2x
…
-4
-2
0
2
4
…
y=2x+3
…
-1
1
3
5
7
…
描点,连线画出函数y=2x 和y=2x+3的图象(图11.2-3)。
图11.2-3
观察函数y=2x 和y=2x+3的图象,你能提出哪些问题?
85
(1)函数y=2x 与y=2x+3的图象有哪些共同点和不同点? 如何由函数
y=2x 的图象得到函数y=2x+3的图象?
函数y=2x+3的图象是一条直线,它与直
线y=2x 的倾斜方向和倾斜程度相同,并且它们
都是从左向右上升的。横坐标相同时,两条直线
上对应点的纵坐标相差3。y=2x+3的图象可以
由直线y=2x 向上平移3个单位长度得到。
(2)函数y=2x-3的图象也可以由函数y=2x 的图象平移得到吗? 画出
图象,并验证你的猜想。
函数y=2x-3的图象可
以由直线y=2x 向下平移3个
单位长度得到。
(3)在同一平面直角坐标系中,画出函数y=-x,y=-x-2,y=-x+2
的图象。它们之间有什么联系?
如图11.2-4,直线y=-x
向上平移2个单位长度得到一次
函数y=-x+2的图象,向下平
移2个单位长度得到一次函数
y=-x-2的图象。
图11.2-4
86
给定一个k值,运用数学软件,画出更多一次函数y=kx+b(k≠0)的图
象,观察b的变化对函数y=kx+b(
k≠0)图象的影响。
(4)一次函数y=kx+b(
k≠0)的图象与正比例函数y=kx(
k≠0)的图象有
什么联系? 由此可以得到一次函数y=kx+b(
k≠0)的哪些性质?
一次函数y=kx+b(
k≠0)的图象是一条直线,我们称为直线y=kx+b
(
k≠0),它可以由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到。当b>0时,向上平
移;当b<0时,向下平移。
当k>0时,y 随x 的增大而增大;当k<0时,y 随x 的增大而减小。
在平面直角坐标系中,画出函数y=-2
3x-2的图象,并根据图象
回答问题。
(1)该函数图象经过哪几个象限?
(2)已知该函数图象过点(
a,m),(
a+3,n)。比较m,n的大小。
解:列表,表示x=-3,x=0时两个函数
的对应值,如下表:
x
-3
0
y=-2
3x-2
0
-2
根据两点确定一条
直线,可知只需描出两
个点,就可确定经过这
两点的一次函数的图象。
过点(-3,0)与点(0,-2)画直线y=-2
3x-2(图11.2-5)。
图11.2-5
87
(1)由图象可知,函数y=-2
3x-2的图象经过第二、三、四象限。
(2)由图象可知,y 随x 增大而减小。
因为a+3>a,
所以m>n。
已知一次函数y=(m-4)x-5+2m。
(1)m 为何值时,y 随x 增大而增大?
(2)m 为何值时,该函数的图象经过原点?
(3)若该函数的图象不经过第一象限,求m 的取值范围。
解:(1)当m-4>0时,y 随x 增大而增大。
解不等式m-4>0,得
m>4。
所以当m>4时,y 随x 增大而增大。
(2)当-5+2m=0时,该函数图象经过原点。
解方程-5+2m=0,得
m=5
2。
所以当m=5
2时,该函数图象经过原点。
(3)由题意可知,该函数图象经过第二、四象限或第二、三、四象限。
所以
m-4<0,
-5+2m≤0。
解不等式组,得
m≤5
2。
所以m 的取值范围是m≤5
2。
88
1.
画出函数y=1
2x+1,y=-3x+1的图象,并分析这两个函数的性质。
2.已知直线y=kx+b 经过点(0,2),并且与直线y=-2x-1平行,写出k,b
的值。
3.填空:
下列一次函数中,函数图象经过第一、三象限的有
;函数图象与y 轴相
交于点(0,-4)的有
;y 随x 的增大而减小的有
。
①
y=3x-4; ②
y=-2x+2;
③
y= 2x;
④
y=-2
3x-4。
4.回答下列问题:
(1)当b=5时,直线y=2x+b经过哪几个象限?
当b=-5时,直线y=2x+b经过哪几个象限?
(2)当k=3时,直线y=kx-1经过哪几个象限?
当k=-2时,直线y=kx-1经过哪几个象限?
复习巩固
1.在同一平面直角坐标系中,分别画出下列函数的图象,说出函数图象经过哪些象
限,并说明当自变量x 的值逐渐增大时,函数值y 的变化情况。
(1)y=4x; (2)y=-1
4x。
2.在地球的表面,大气压强下降,空气中的含氧量也随之下降。已知空气中的含氧
量
y(单位:g/m
3)是大气压强x(单位:kPa)的正比例函数。当x=36时,
y=108。求
y
关于
x
的函数表达式,并画出函数的图象。
3.分别画出下列函数的图象:
(1)y=x+2;
(2)y=-3x-2;
(3)y=1
2x-3;
(4)y=-1
2x+1。
89
4.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,求这个函数的表达式。
(第4题)
5.已知点(-2,m)和1
2,n
都在直线
y= 3x+b上。比较m,n的大小。
6.函数y=3x-5的图象,可以由下列哪些函数的图象平移得到? 请说出平移的方
向和距离。
①
y=5x-3; ②
y=3x+5;
③
y=-3x-5;
④
y=3x-3。
7.已知一次函数y=-4x+b的图象过点(0,2)。当y=0时,求x 的值。
拓展延伸
8.已知直线y=kx 过点(1,- 3),直线y=k'x+b 过点(1,2 3),且与直线
y=kx 平行。求k',b的值。
9.已知关于x 的一次函数y=(m- 2)x+3-m。
(1)m 为何值时,函数图象过原点?
(2)m 为何值时,y 随x 的增大而减小?
(3)m 为何值时,函数图象经过第一、三、四象限?
10.已知一次函数y=kx+1,y 随x 增大而减小。
(1)
它的图象经过哪些象限?
(2)
作它的图象关于x 轴对称的图形,所得直线恰好过点(2,-5)与(2,5)中的
一个点,求k的值。
90
探索创新
11.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的边长为4,点C 的横坐标为6。
(1)求直线BD 的表达式;
(2)将正方形ABCD 向左平移3个单位,直接写出平移后的直线BD 的表达式。
(第11题)
12.赵老师让小亮、小莹、大刚分别提出一个条件以确定一个一次函数。
小亮:函数图象经过第二象限,不经过第一象限;
小莹:当x>0时,y<0;
大刚:当x=-2时,y=3。
请写出同时满足上述三个条件的一个一次函数表达式,并画出该函数的图象。
91
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式有怎样的联系? 从函数视角看
方程和不等式,会有哪些新发现?
观察下列方程和不等式,你能联想到哪个一次函数?
2x+1=0,2x+1>0,2x+1<0。
看这些式子,我联想到一
次函数y=2x+1。当y 等于、
大于、小于零时,可分别得到
上面的方程和不等式。
图11.3-1
画出函数y=2x+1的图象(图11.3-1),在图象上取一点,当该点的纵坐标
分别满足大于零、小于零、等于零时,横坐标的取值范围是什么?
你能从函数的角度解释上面方程的解和不等式的解集吗?
函数y=2x+1的图象与x 轴
交点的纵坐标为零,横坐标就是方
程2x+1=0的解。
92
函数y=2x+1的图象在x 轴上方的点的纵坐标
都满足y>0,横坐标都满足x>-1
2。因此x>-1
2
就是一元一次不等式2x+1>0的解集。类似地,可
以得到2x+1<0的解集。
解一元一次方程ax+b=0,相当于求一次函数y=ax+b的函数值等于
零时自变量x 的值,即求直线y=ax+b与x 轴交点的横坐标。
解不等式ax+b>0(或ax+b<0),相当于求一次函数y=ax+b的函数
值大于(或小于)零时自变量x 的取值范围,即求直线y=ax+b在x 轴上方
(或下方)的点的横坐标的取值范围。
图11.3-2
已知一次函数y=2x-5的图象如
图11.3-2所示。运用图象求不等式0<2x-5<3
的解集。
解:由图象可知,当5
2<x<4时,
0<y<3。
所以不等式0<2x-5<3的解集为
5
2<x<4。
1.运用一次函数的图象,解下列一元一次方程:
(1)-3x+1=0;
(2)
-3x+1=-2。
2.运用一次函数的图象,解下列一元一次不等式:
(1)5x+4>0;
(2)5x+4<0。
3.运用一次函数的图象,求不等式-5≤2x-5<3的解集。
93
一次函数的表达式也可以看作含有两个未知数的等式,即二元一次方程。
从函数视角看二元一次方程,会有什么新收获呢?
(1)y=3x-5是一次函数吗? 是二元一次方程吗?
y=3x-5既可以看作一个二元一次方
程,也可以看作一个一次函数的表达式。
(2)二元一次方程3x-y=5的一个解与一次函数y=3x-5图象上相应的
点的坐标之间有什么关系? 任意二元一次方程的解与其对应的一次函数图象上
点的坐标之间有什么关系?
以二元一次方程3x-y=5的任意一个解为
坐标的点都在直线y=3x-5上。例如x=2,
y=1
是
二元一次方程3x-y=5的一个解,它所对应的
点(2,1)在直线y=3x-5上。
反过来,直线y=3x-5上任意一个点的坐
标,都是二元一次方程3x-y=5的解。
一般地,二元一次方程ax+by=c(a≠0,b≠0)可看作一个一次函数
y=-a
bx+c
b。
以二元一次方程ax+by=c(a≠0,b≠0)的任意一个解为坐标的点,都
在直线y=-a
bx+c
b上;反之,直线y=-a
bx+c
b上任意一个点的坐标,都
是二元一次方程ax+by=c(
a≠0,b≠0)的一个解。
94
函数y=2x-1与y=x+1的图象是否有交点? 若有,求出交点坐标。
图11.3-3
解:直线
y=2x-1上点的坐标都是方程y=2x-1
的解,直线y=x+1上点的坐标都是方程y=x+1的解。
两个函数图象若有交点,则其坐标满足方程组
y=2x-1,
y=x+1。
解得
x=2,
y=3。
所以函数y=2x-1与y=x+1的图象有交点,交点坐标为(2,3)。
两个函数图象的交点坐标也可以通过画出它们的图象得到(图11.3-3)。
在例2中,如何利用图象求出不等式2x-1<x+1的解集?
1.求函数y=1
2x+1与y=2x-2的图象的交点坐标。
2.用图象确定下列二元一次方程组解的个数:
(1) x+y=5,
x-3y=1;
(2) x+2y=0,
3x-y=5。
3.如图,直线y=k1x 和直线y=k2x+3相交于点P,请根据图象写出方程组
k1x-y=0,
k2x-y=-3
的解。
(第3题)
95
复习巩固
1.一次函数y=ax+b的图象如图所示,根据图象填空。
(1)方程ax+b=0的解为
;
(2)方程ax+b=3的解为
;
(3)b=
。
(第1题)
(第2题)
2.如图,直线y=kx+b
经过A(2,
0)
,
B(0,-1)两点。利用图象求关于x的不等式
-1<kx+b<0的解集。
3.已知一次函数y=2x-9与y=-3x+6。求这两个函数图象的交点坐标。
4.已知一次函数y1=4x+1,y2=-2x-1。当x 取何值时,
y1>y2? 当x 取何值
时,y1<y2?
5.如图,小亮绘制了函数图象求解二元一次方程组y=-x-5,
y=kx+b。
(1)这个方程组的解是什么?
(2)若方程kx+b=0的解是x=-8,求出k,b的值。
(第5题)
96
拓展延伸
6.已知直线y=-x-2与直线y=x-m 相交于点A(
n,-3)。
(1)求点A 的坐标及m 的值;
(2)直接写出方程组x+y=-2,
x-y=m
的解。
7.某中学为增强学生的体质,磨炼学生的意志,举办了远足活动。学生从A地出发
匀速走到B地,经过x
h后离B地的距离为y
km,y 与x 的函数图象如图所示。
根据图象,回答下列问题:
(1)学生出发多久后离B地5
km?
(2)求y 关于x 的函数表达式,并写出自变量的取值范围;
(3)若学生离A地的距离不少于5
km,求x 的取值范围。
(第7题)
(第8题)
8.如图,一次函数y=kx+b的图象过点(4,0)和点(0,2)。
(1)写出不等式kx+b<0的解集;
(2)求方程组y=kx+b,
y=x
的解;
(3)若方程kx+b=x+n的解m 满足0<m<4,求n的取值范围。
探索创新
9.已知一次函数y=kx+b,x 与y 的部分对应值如下表所示,其中m<5。求不等
式kx+b>-2x+1的解集。
x
-4
0
y
m
1
97
实际生活中,许多变化过程都能用一次函数来表示,运用一次函数的相关
知识能帮助我们更好地分析问题、解决问题。
常用的温度计量单位有摄氏度(℃)和华氏度(℉)两种。它们之间的部分对
应温度数据如下表所示:
摄氏温度/℃
…
-10
0
10
20
30
…
华氏温度/℉
…
14
32
50
68
86
…
设摄氏温度为x(单位:℃),华氏温度为y(单位:℉),在平面直角坐标系中
描出表格中的数据对应的点,如图11.4-1所示。
图11.4-1
这些点所在的位置有什么特征? 若增加表格中的数据,那么这些数据所对
应的点是否依然有此特征?
可以看出这些点在一条直线上。我猜
想,其他摄氏温度及相应的华氏温度所对
应的点,也在这条直线上。
98
对于每一个摄氏温度的值,总有唯一一个华氏温度的值与之对应,所以二
者之间的关系是函数关系。
华氏温度y(单位:℉)关于摄氏温度x(单位:℃)的函数表达式是什么?
通过表格可以看出,摄氏温度每增
加10
℃,华氏温度都增加18
℉。y 关
于x 的函数是一次函数。
设y 关于x 的函数表达式为y=kx+b。当x=0时,y=32;当x=10时,
y=50。列方程组得
b=32,
10k+b=50。
解得
k=1.8,
b=32。
所以y 关于x 的函数表达式为y=1.8x+32。由此可以解决相关的实际问
题:一地某日最高气温为95
℉,此地当日最高气温为多少摄氏度? 华氏温度值
与对应的摄氏温度值有可能相等吗?
将y=95代入y=1.8x+32,解得x=35。所以,此地当日最高气温为35
℃。
将y=x 代入y=1.8x+32,解得x=-40。所以,华氏温度值与对应的摄
氏温度值相等时为-40,即-40
℃=-40
℉。
如果现实生活中的两个变量之间满足一次函数关系,就可以用一次函数
的图象和性质等知识研究其变化规律,进而解决问题。
99
学校准备购进A型和B型两种消毒液共90瓶。已知A型消毒液每
瓶7元,
B型消毒液每瓶9元。学校要求购进B型消毒液的数量不少于A型消毒
液数量的1
3。请设计最省钱的购买方案。
解:设购进A型消毒液x 瓶,购买费用为W 元。根据题意得
W=7x+9(90-x)=-2x+810。
所以W 是x 的一次函数,且一次项系数-2<0。
所以W 随着x 的增大而减小,x 最大时,W 有最小值。根据题意得
90-x≥1
3x,
解得
x≤67.5。
由x 是整数,得x 的最大值为67,此时
W=810-2×67=676。
购进B型消毒液90-67=23(瓶)。
所以,最省钱的购买方案是购进67瓶A型消毒液、23瓶B型消毒液,费
用为676元。
某市为鼓励居民节约用水,自今年1月1日起居民用水收费标准按
两档分阶梯计价。如图11.4-2,l1,l2
分别表示去年、今年水费y(单位:元)与
用水量x(单位:m
3)之间的关系。小亮家去年用水量为150
m
3,若想保持用水
费用不变,今年需要节水多少立方米?
图11.4-2
解:设l1 的函数表达式为y=k1x。
因为直线y=k1x 过点(140,420),所以
140k1=420,
解得
k1=3。
所以l1 的函数表达式为y=3x。
当x=150
时,
y=3×150=450。
当y>420时,l2 为过B,C 点的射线,设它的函数表达式为y=k2x+b。
100
将B(120,420),C(140,520)代入
y=k2x+b,得
120k2+b=420,
140k2+b=520。
解得
k2=5,
b=-180。
所以当y>420时,l2 的函数表达式
为y=5x-180。
写出l2 的表达式时,需要对
0≤x≤120和x>120进行分段
讨论。
当0≤x≤120时,y=7
2x;
当x>120时,y=5x-180。也
可合起来表示为
y=
7
2x, 0≤x≤120,
5x-180,x>120。
当y=450时,
5x-180=450,
解得
x=126。
因为150-126=24(m
3),所以小亮家要想支付与去年相同的水费,今年需
节水24
m
3。
(第2题)
1.为迎接新学年的到来,某中学计划在开学前购买篮球和排球共20个。已知每个篮
球170元,每个排球70元。设购买篮球x 个,购买篮球和排球的总费用为y 元。
(1)求y 关于x 的函数表达式;
(2)要求篮球的个数不少于排球个数的
3
倍,应如何购买才能使总费用最少? 最
少费用是多少元?
2.某农科院培育了一种优质瓜苗。这种瓜苗早期在温室
中生长,长到大约20
cm 时,移至示范基地的大棚
内,沿插杆继续向上生长。60天内,这种瓜苗生长的
高度y(单位:cm)与生长时间x(单位:d)之间的关系
如图所示。
(1)求y 关于x 的函数表达式;
(2)这种瓜苗长到大约80
cm时,开始开花结果。那么这种瓜苗移至大棚后,继
续生长大约多少天开始开花结果?
101
复习巩固
1.如图,一辆汽车从距离A 站10
km的P 地出发,向B 站匀速前进,15
min后距
离A 站20
km。
(第1题)
设出发x
h后汽车距离A 站y
km。写出y 关于x 的函数表达式。
2.某校八年级(3)班用彩色纸环制作成纸链布置教室。小亮测量了其中部分纸链
的长度,得到的数据如下表所示:
纸环数x/个
1
2
3
4
…
纸链长度y/cm
19
36
53
70
…
(1)把上表中x,y
的各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应
的点,猜想y 与x 的函数关系,并求出函数表达式;
(2)教室的长为
8
m,宽为6
m。现需沿天花板对角线各拉一根彩色纸链,至少
需要多少个纸环?
3.如图,OA,BA 分别是甲、乙两名学生跑步的路程s(单位:m)关于时间t(单位:s)
的函数图象。哪名学生跑步的速度更快? 快多少?
(第3题)
4.某景观园林公司购进一批A,B两种树苗,每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格
分别是18元和24元。如果购进的这批树苗共5
500棵,A种树苗至多购进3
500
棵。为了使购进这批树苗的费用最低,应购进A种树苗和B种树苗各多少棵? 并
求出最低费用。
102
拓展延伸
5.如图,直线与两坐标轴的正半轴分别交于点A,B,P 是线段AB 上任意一点(不
包括端点)。过点P 分别作两坐标轴的垂线,与两坐标轴围成的矩形的周长为8。
求该直线的函数表达式。
(第5题)
探索创新
6.某共享单车公司的单车按次计费,每次用车不超过15
min,收费1.5元。为鼓励
市民绿色出行,该公司推出以下优惠措施:
①
优惠卡:月租15元,每次凭卡号用车五折优惠。
②
月卡:月租m 元,凭卡号用车不再收取费用。
若市民出行每次用车均不超过15
min,设每月用车次数为x 次,所需费用为y
元。在同一平面直角坐标系中,三种计费方式对应的函数图象如图所示。
(第6题)
(1)分别求出m,n的值及选择按次收费和优惠卡时,y 关于x 的函数表达式;
(2)如何选择才能使一个月内骑这种共享单车的费用最少。
103
1.
什么是正比例函数? 什么是一次函数? 正比例函数和一次函数有什么关系?
2.
你能举出几个现实生活中有关正比例函数、一次函数的例子吗?
3.如何确定一次函数的表达式?
4.一次函数的图象是什么? 怎样画一次函数的图象?
5.一次函数有什么性质? 如何研究一次函数的性质?
6.如何从一次函数的角度看待一元一次方程和一元一次不等式? 一次函数
与二元一次方程有什么联系?
复习巩固
1.填空:
(1)若P(-1,a)在正比例函数y=3x 的图象上,则a=
;
(2)若正比例函数y=kx 的图象经过点-1,1
2
,则k=
。
104
2.已知点B(4,2)在直线y=2x+b上,点C(5,3)在这条直线上吗?
3.分别求下列图象所对应的函数表达式:
① ② ③
(第3题)
4.在同一平面直角坐标系中,画出函数y1=-x+2与y2=2x-4的图象,并根据图象
回答下列问题:
(1)y1
与y2 的值分别随x 的增大怎样变化?
(2)
写出方程组y=-x+2,
y=2x-4
的解;
(3)当y1
>y2 时,写出x 的取值范围。
5.已知A 1,-9
4
,B 3,-3
4
两点,直线AB 与y 轴交于点C。将直线AB 沿y 轴
向上平移6个单位长度与x 轴交于点D,与y 轴交于点E。
(1)求直线AB 对应的函数表达式;
(2)连接CD,求△CDE 的面积。
6.若一次函数y=ax+2a-1的图象满足下列条件,分别求出a的取值范围:
(1)经过第一、二、三象限;
(2)经过第二、三、四象限。
7.同时点燃甲、乙两根蜡烛,燃烧后剩余部分的蜡烛高度y(单位:cm)与燃烧时间x
(单位:h)之间的关系如图所示。根据图中提供的信息,回答下列问题:
(第7题)
(1)甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是多少?
(2)分别求甲、乙两根蜡烛燃烧过程中,y 关于x 的
函数表达式。
(3)在不考虑两根蜡烛都燃尽的情况下,点燃后经过
多长时间,甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相等?
105
拓展延伸
8.如图,在平面直角坐标系中,OA,OB 与x轴正方向的夹角分别为60°,135°,OA=2,
OB= 2。一次函数的图象经过A,B 两点,求这个一次函数的表达式。
(第8题)
(第9题)
9.有甲、乙两个长方体的蓄水池,将甲池中的水以
6
m
3/h
的速度抽入乙池,甲、乙两
个蓄水池中水的深度y(单位:m)与抽水时间
x(单位:h)之间的函数关系如图所示。
结合图象回答下列问题:
(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y 关于抽水时间x 的函数表达式;
(2)抽水多长时间甲、乙两个蓄水池中水的深度相同?
(3)抽水多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同?
探索创新
10.为了对回收的垃圾精准地分类,某机器人公司研发出A型和B型两种机器人,1台
A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4
t和0.2
t。
(1)某垃圾处理厂计划购进一批A型和B型机器人,这批机器人每小时共能分拣垃
圾20
t。设购买A型机器人a台(10≤a≤45),B型机器人b台,求b关于a的
函数表达式。
(2)机器人公司的报价如下表:
型号
原价
购买数量小于30台
购买数量不小于30台
A型
8万元/台
原价购买
打九折
B型
5万元/台
原价购买
打八折
设购买总费用为W 万元,如何购买才能使W 最小?
106
冰雹猜想
有一个函数,它的表达式可用两个一次函数表示:
当x 为奇数时,y=3x+1;当x 为偶数时,y=x
2。
这个函数可以表示成
y=
3x+1,x 为奇数,
x
2, x 为偶数。
这个函数看起来很平常,可是在计算函数值时,人们发现了一个非常神
奇的现象:
任取一个偶数,例如x=6,因为6是偶数,所以y=3;再将x=3代入
函数的表达式,因为3是奇数,所以y=3×3+1=10;再将x=10代入,由
于10是偶数,所以y=5……这一过程叫作迭代。从x=6开始,通过不断
迭代可以得到:
6→3→10→5→16→8→4→2→1。
如果再继续迭代,会出现4→2→1→4→2→1,乃至无限地循环下去。
任取一个奇数,例如x=11,按上面的方式迭代,也会得到:
11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。
如果再继续迭代,又回到4→2→1的循环。
运用相关数学软件,进行迭代运算,输入不同的自变量值,可以更广泛
地验证这个规律。据报道,有人运用计算机对所有小于2
50
×100的正整数做
了验证,无一例外,最终总会得到1。
于是,一个数学猜想被提出来了:从任何一个自然数开始,利用上面的
函数关系,经过有限次的迭代,最终总会得到1。这就是数学上著名的“冰
雹猜想”,但至今未能被证明,也无人举出反例。
亲爱的同学,你愿意成为破解这个猜想的一员吗?
第12 章 图形的平移与旋转
内容提要
◆ 图形的平移
◆ 图形的旋转
◆ 图形的中心对称
平面图形
轴对称
平移
图形的变化
旋转
……
传送带上的货物、乘坐扶梯的乘客、喷洒农药的无人机、
运行中的摩天轮，它们分别在做平移运动还是旋转运动？
平移与旋转是生产生活中常见的运动方式。在数学上，
图形的平移与旋转是重要的研究对象。如何由正方形的一条
边得到其他边？如何由函数y=x+1 的图象得到函数y=x-1 的
图象？几何图形之间、函数图象之间的关系常通过平移与旋
转来认识。
在本章中，我们将类比轴对称的研究思路，认识图形的
平移和旋转，探索图形在运动过程中的变与不变，并用运动
变化的观点分析和解决问题。
109
现实世界中平移现象广泛存在。如何从数学的角度观察、思考和表达平移?
我们经常遇到物体平行移动的场景,如自动感应的推拉门、在传送带上移
动的货物、升降的电梯等(图12.1-1)。
图12.1-1
图12.1-2
我们曾利用直尺和三角板画平行线。如图12.1-2,在
移动过程中,三角板的形状、大小和位置是否发生变化?
在平面内,将一个图形上所有的点都沿着同一方向移
动相同的距离,图形的这种变化叫作平移(translation)。
平移前图形上的点与平移后它所到达的点叫作对应点。图
形平移后的位置由平移的方向与平移的距离确定。
在图12.1-2中,随着三角板的平移,点A 移动至点A',点A 与点A'是对
应点。
△ABC 平移的方向是射线AA'方向,平移的距离是线段AA'的长。
平移只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小。平移前后图形全等。
如图12.1-3,将挖去一个三角形的长方形硬纸板放在一张白纸上,紧贴直
尺,描出△ABC。然后,将硬纸板沿直尺平移一定的距离,描出△A'B'C',移
开直尺和硬纸板。
110
图12.1-3
(1)你能画出△ABC 平移的方向、量出它的平移距离吗?
(2)连接AA',BB',CC',这三条线段有什么位置关系和数量关系? 试说
明其中的道理。
平移时,因为图形上的所有点都
沿同一方向移动相同的距离,所以
AA'∥BB'∥CC',且AA'=BB'=CC'。
平移的基本性质 一个图形和它经过平移所得到的图形,两组对应点的
连线平行(或在同一条直线上)且相等。
图12.1-4
如图12.1-4,点A,B,P,Q 都在格点
上。将线段AB 沿射线PQ 的方向平移,平移距离为
线段PQ 的长,点A,B 的对应点分别是点A',B',
连接AA',BB'。判断四边形ABB'A'的形状,并说
明理由。
解:如图12.1-4,四边形ABB'A'是平行四边形。
理由如下:
因为点A,B 的对应点分别是点A',B',
所以AA'∥BB',且AA'=BB'(平移的基本性质)。
所以四边形ABB'A'是平行四边形。
111
如图12.1-5,平移△ABC,将点A 移动到点A'处,画出平移后的
△A'B'C'。
图12.1-5
图12.1-6
解:
如图12.1-6。
①
连接AA';
②
过点B 画AA'的平行线BD,在BD 上截取线段BB'=AA';
③
过点C 画AA'的平行线CE,在CE 上截取线段CC'=AA';
④
连接A'B',B'C',A'C'。
△A'B'C'即为平移后的三角形。
图12.1-7
如图12.1-7,A'是矩形ABCD 边
AD 上的一点,将△ABC 平移得到△A'B'C'。设
A'B'交AC 于点E,A'C'交CD 于点F。判断
△A'DF 与△CB'E 是否全等,并说明理由。
解:△A'DF≌△CB'E。理由如下:
因为△A'B'C'是由△ABC 平移得到的,
所以AA'=BB',∠B=∠EB'C,∠B'CE=∠C'。
因为四边形ABCD 是矩形,
所以AD=BC,∠B=∠D,AD∥BC。
所以A'D=CB',∠D=∠EB'C,∠DA'F=∠C'。
所以∠DA'F=∠B'CE。
在△A'DF 和△CB'E 中,
∠D=∠EB'C,A'D=CB',∠DA'F=∠B'CE,
所以△A'DF≌△CB'E(ASA)。
112
1.如图,把∠ABC 沿竖直方向向上平移2
cm 得到∠DEF。如果∠ABC
=52°,写
出∠DEF 的度数和BE 的长度。
(第1题)
(第2题)
2.如图,△ABC 平移后得到△DEF,指出图中平行的线段和相等的线段。
3.在例1中,改变点Q 的位置,再平移线段AB 至A'B',所得四边形ABB'A'可能
是矩形、菱形或正方形吗?
4.如图,平移△ABC,将点A 移动到点E 处,画出平移后的三角形。
(第4题)
5.两个全等的含30°角的直角三角形按图①的方式摆放在一起,固定Rt△BCD,将
Rt△ABD 沿射线BD 方向平移,得到△A'B'D',连接B'C,A'D。
(1)求证:△A'D'D≌△CBB';
(2)当点B'在线段BD 上的什么位置时,四边形A'B'CD 是菱形? 请说明理由。
① ②
(第5题)
113
我们学习了用坐标表达图形的轴对称变化,如何用坐标刻画图形的平移变化呢?
图12.1-8
如图12.1-8,在平面直角坐标系中,已知点A 的坐
标为(-2,1)。将点A 分别向左、向右平移1个单位长
度,描出平移后点的位置,写出它的坐标。如果将点A
分别向上、向下平移3个单位长度呢?
在平面直角坐标系中再找几个点,按照一定的方向
和距离平移。它们的坐标发生了什么变化?
(1)如果将点P(x,y)向右平移h(
h>0)个单位长度,点P 平移后的坐标
将发生怎样的变化? 向左平移h(
h>0)个单位长度呢?
(2)如果将点P(x,y)向上平移k(
k>0)个单位长度,点P 平移后的坐标
将发生怎样的变化? 向下平移k(
k>0)个单位长度呢?
我发现向左或向右平移只会改变点的横
坐标,向上或向下平移只会改变点的纵坐标。
(3)当点P(x,y)的平移方向与两坐标轴都不平行时,点P 平移后的坐标
将怎样变化?
这种平移可以看作是先向左或
向右平移,再向上或向下平移,点
的横坐标、纵坐标都会改变。
114
将平面直角坐标系中的点向右(或向左)平移h(h>0)个单位长度,点的
纵坐标不变,横坐标增加(或减少)
h 个单位。
将平面直角坐标系中的点向上(或向下)平移k(k>0)个单位长度,点的
横坐标不变,纵坐标增加(或减少)
k个单位。
如图12.1-9,△ABC 的顶点坐标分别为A(-3,2),B(1,2),
C(0,4)。现将△ABC 先向右平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,
得到△A'B'C'。
(1)求出点A',B',C'的坐标,画出△A'B'C';
(2)△A'B'C'能否由△ABC 经过一次平移得到? 若能,指出平移的方向和
距离。
图12.1-9
图12.1-10
解:(1)点A'的坐标为(-3+3,2-4),即A'(0,-2);
点B'的坐标为(
1+3,2-4),即B'(
4,-2);
点C'的坐标为(0+3,4-4),即C'(3,0)。
如图12.1-10,△A'B'C'即为所求。
(2)如图12.1-10,连接CC'。
△A'B'C'可以由△ABC 沿射线CC'方向经过一次平移得到。
因为CC'= OC
2+OC'
2= 4
2+3
2=5,
所以平移的距离为5个单位长度。
115
如图12.1-11,已知线段AB,直线a∥b,a 与b之间的距离为d。先画出
与AB 关于直线a成轴对称的线段A'B',再画出与A'B'关于直线b成轴对称的
线段A″B″。线段AB 和A″B″有什么关系? 运用数学软件画图探索,并证明你的
发现。
图12.1-11
四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(-2,2),B(-3,-2),C(3,-2),
D(2,2)。
(1)把这个四边形先向上平移3个单位长度,再向右平移4个单位长度,得到四边
形A'B'C'D'。写出它的各顶点坐标。
(2)如果四边形ABCD 各顶点的纵坐标保持不变,横坐标分别减2,得到四边形
A″B″C″D″各顶点的坐标。新图形与四边形ABCD 相比有什么变化? 如果四边形
ABCD 各顶点的横坐标保持不变,纵坐标分别减2呢?
116
(第4题)
复习巩固
1.如图,把三角板的斜边沿直尺向右平移,使顶点B 从刻度“5”平移到刻度
“10”。求顶点C 平移的距离。
(第1题)
2.如图,点A(2,1),将线段OA 先向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位
长度,得到线段O'A'。求点A 的对应点A'的坐标。
(第2题)
(第3题)
3.如图,将周长为8
cm的△ABC 沿BC 边向右平移2
cm,得到△DEF。求四边形
ABFD 的周长。
4.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 经过平移
后得到△DEF。已知点A,B,C,F 的坐标分
别为(-3,5),(-2,1),(-1,3),(4,0)。
求点D,E 的坐标。
117
(第5题)
拓展延伸
5.如图,边长为1的方格纸中有一个“弦月”形的部分
图形,它是由DG
︵,EB
︵和线段DE,GB 围成的,两
条弧的圆心分别是点F 和点A,半径都等于4。DG
︵经
过怎样的平移可以得到EB
︵? 这个图形的面积是多少?
6.如图,在Rt△ABC 中,∠CAB=90°,BC=5。点A,
B 的坐标分别为(1,0),(4,0)。将△ABC 沿x 轴向右平移,当点C 落在直线
y=2x-6上时,求线段BC 扫过的面积。
(第6题)
(第7题)
探索创新
7.如图,线段AB 与CD 交于点E,∠DEB=60°,AB=CD。探索线段AB,AC,
BD 的数量关系,并证明。
8.我们经常利用平移设计精美的图案。如图是“小金鱼”作品的绘制过程。请用类
似的方法设计一个图案。
(第8题)
118
与轴对称和平移变化一样,旋转也是生活中常见的变化。与轴对称和平移
相比,旋转有哪些相同和不同之处呢?
日常生活中,我们经常遇到物体旋转的场景,如转动的指针、工作的钟摆、
运行中的摩天轮、摇摆的秋千等(图12.2-1)。你还能举出其他旋转的例子吗?
图12.2-1
图12.2-2
如图12.2-2,将三角板绕点A 按逆时针方向转动
70°至△ADE 位置处。在转动过程中,三角板的形状、
大小和位置是否发生变化?
在平面内,将一个图形绕某一个定点按顺时针方向
或逆时针方向转动一定的角度,图形的这种变化叫作旋
转(rotation)。这个定点叫作旋转中心,这个角叫作旋转
角。旋转前图形上的点与旋转后它所到达的点叫作对应
点。经过旋转得到的图形的位置由旋转中心、旋转方向和旋转角确定。
如图12.2-2,以点A 为旋转中心,将三角板ABC 按逆时针方向旋转70°。
点B 与点D 是对应点,∠BAD=70°,可以用∠BAD 表示旋转角。
旋转只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小。旋转前后图形全等。
119
如图12.2-3,将挖去一个三角形的长方形硬纸板放在一张白纸上,在硬纸
板的点O 处按上一个图钉,描出△ABC。将硬纸板绕点O 顺时针转动角α,再
描出△A'B'C'。移开硬纸板,在白纸上的图钉钉痕处标上点O。
图12.2-3
(1)连接OA,OA',它们的长有什么关系? 连接OB,OB',OC,OC',
能得到类似的结论吗? 为什么?
(2)图中有哪些角等于旋转角α?
点A 与它的对应点A'都在以点O 为
圆心,OA 为半径的圆上,所以OA=OA'。
同理,OB=OB',OC=OC'。
△ABC 上每个点都绕点O 顺时针转动
了角α,所以∠AOA',∠BOB',∠COC'
都等于α。
120
旋转的基本性质 一个图形和它经过旋转得到的图形,对应点到旋转中
心的距离相等,对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。
如图12.2-4①,在等腰直角三角形ABC 中,∠BAC=90°
,点O
是BC 的中点。将一个三角板的直角顶点放在点O 处,并使三角板的两条直
角边分别经过点A 和点B。将三角板绕点O 按顺时针方向旋转,三角板的两
腰与Rt△ABC
的两腰AB,AC 的交点分别记为E,F,如图12.2-4②所示。
在旋转过程中,线段OE 与OF 有什么数量关系? 为什么?
①
②
图12.2-4
解:OE=OF。理由如下:
连接AO。
因为三角板绕点O 按顺时针方向旋转,
所以∠BOE=∠AOF(旋转的基本性质)。
因为在等腰直角三角形ABC 中,
∠BAC=90°,O 为BC 的中点,
所以∠B=45°,∠OAF=1
2∠BAC=45°,
BO=1
2BC,AO=1
2BC。
所以∠B=∠OAF,BO=AO。
在△BOE 与△AOF 中,
∠B=∠OAF,BO=AO,∠BOE=∠AOF,
所以△BOE≌△AOF(ASA)。
所以OE=OF。
121
如图12.2-5,在正方形ABCD 中,E,F 分别为边BC,DC 上的
点,∠EAF=45°。△ABE 绕某点顺时针旋转后到达△ADG 的位置。
图12.2-5
(1)指出旋转中心和旋转角度;
(2)若BE=2,DF=3,求EF 的长。
解:(1)旋转中心为点A,旋转角为90°。
(2)因为△ADG 是由△ABE 旋转得到的,
所以AE=AG,∠GAE=90°,
DG=BE=2,∠ADG=∠B。
因为四边形ABCD 是正方形,
所以∠B=∠ADC=90°。
所以∠ADG+∠ADC=180°。
所以点G,D,F 共线。
所以GF=GD+DF=2+3=5。
因为∠EAF=45°,
所以∠GAF=∠EAF=45°。
在△AEF 和△AGF 中,
AE=AG,∠EAF=∠GAF,AF=AF,
所以△AEF≌△AGF(SAS)。
所以EF=GF=5。
如图12.2-6,已知△ABC 绕某点旋转一定角度得到△A'B'C',请用尺规
作图法确定旋转中心。
图12.2-6
122
(第1题)
1.如图,△ABC 按逆时针方向旋转角α得到△ADE。
(1)指出图中的旋转中心;
(2)说出图中哪些角等于旋转角;
(3)写出图中相等的线段和相等的角。
2.如图,点O 为线段AB 外的一点,画出线段AB 绕点
O 按顺时针方向旋转90°所得的线段。
(第2题)
(第3题)
3. (1)纸类包装回收标志的图案如图所示。这个图案可以看作是由图中哪一个
“基础图案”经过旋转得到的? 请分析其形成的过程;
(2)请试着用(1)中的方法设计一个图案。
4.如图,D 是等腰直角三角形ABC 内一点,BC 是斜边。将△ABD 绕点A 按逆
时针方向旋转到△ACD'的位置,连接DD'。求∠ADD'的度数。
(第4题)
(第5题)
5.如图,把正方形ABCD 绕点A 按顺时针方向旋转,得到正方形AEFG,边FG
与BC 交于点H。
线段HG 与HB 相等吗? 请说明理由。
123
复习巩固
1.如图,一个等腰直角三角板ABC,在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转得
到△A'B'C,其中A,C,B'三点共线。求旋转角的度数。
(第1题)
(第2题)
2. 如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,AD 是△ABC 的高,F 是AD 上的点,
DF=DC,连接BF 并延长交AC 于点E。图中哪个三角形可以看作是由另一
个三角形旋转得到的? 请写出旋转中心和旋转角。
3.如图,连接正六边形的三条对角线,该图形能否绕某点旋转一定角度后与自身
重合? 若能,至少旋转多少度?
(第3题)
(第4题)
4.如图,将△ABC 绕点O 逆时针旋转后,顶点A 旋转到点A'处。
(1)请指出图中的旋转角;
(2)请画出旋转得到的△A'B'C'。
5.如图,在矩形ABCD 中,AD=2AB,E 是AD 的中点。将一个三角板的直角顶点
与点E 重合,绕点E 按顺时针方向旋转。当三角板的两直角边与AB,BC 分别相
交于点M,N 时,观察并测量EM 与EN 的长度。你有什么发现? 请说明理由。
(第5题)
124
(第8题)
拓展延伸
6.如图,在正方形方格纸中,△MNP 的顶点在格点处,将其绕某点旋转一定的角
度,得到△M1N1P1。请写出旋转中心、旋转方向和旋转角。
(第6题)
(第7题)
7.如图,已知点A(-2,5),B(-4,3),将线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线
段A'B',求点A',B'的坐标。
8.如图,点C 在线段BE 上,且BC>CE,分别
以BC,CE 为边,在BE 上方作等边三角形
ABC 和等边三角形DCE,连接AE,BD 交于
点F。
(1)图中哪两个三角形通过旋转可以重合?
(2)求∠AFB 的度数。
探索创新
9.运用旋转可以设计一些精美的图案。
图②和图③均是通过“基础图案”①旋转得
到的。选择不同的旋转中心和旋转角,旋转同一个图案能创作出不同的作品。
(1)请描述如何通过“基础图案”①得到图②和图③;
(2)通过旋转“基础图案”①再设计一个图案。
①
② ③
(第9题)
125
在研究了旋转的相关概念及其性质之后,我们再研究一类特殊的旋转。
图12.3-1
如图12.3-1,将△ABC 绕点O 顺时针旋转180°
至△A'B'C'的位置处,旋转后,△ABC 的形状、大
小和位置发生了什么变化? 逆时针旋转180°呢?
在平面内将一个图形绕着某一定点旋转180°,
图形的这种变化叫作中心对称(central
symmetry),
这个定点叫作对称中心。
如图12.3-1,如果将△A'B'C'看成△ABC 绕点O 旋转180°得到的图形,
那么这两个三角形中的一个经过中心对称后能与另一个重合吗?
一个图形经过中心对称能与另一个图形重合,就说这两个图形关于这个对
称中心成中心对称。其中对应点叫作关于对称中心的对称点。
在图12.3-1中,△ABC 与△A'B'C'关于点O 成中心对称,点O 是对称中
心。点A,B,C 与点A',B',C'分别是对称点。
(1)点P'是点P 关于点O 的对称点,点P,P',O 有什么关系?
根据中心对称的定义,可知OP=OP',
∠POP'=180°。也就是说,对称点P,P'的连
线PP'经过点O,线段PP'被点O 平分。
126
(2)平面上两个关于点O 成中心对称的图形有什么关系?
成中心对称的两个图形全等,两个图
形上关于点O 的对称点连线都过点O,
且被点O 平分。
中心对称的基本性质 成中心对称的两个图形中,对称点的连线经过对
称中心,且被对称中心平分。
如图12.3-2,已知四边形ABCD,点O 是线段AB 上一点(OA>OB)。
画出与四边形ABCD 关于点O 成中心对称的图形。
图12.3-2
图12.3-3
解:如图12.3-3。
①
延长AO 到A',使
OA'=OA;
②
在OA 上截取OB'=OB;
③
连接CO,DO,分别延长CO 到C',DO 到D',使OC'=OC,OD'=OD;
④
连接B'C',C'D',D'A'。
四边形A'B'C'D'就是所要画的四边形。
127
1.如图,已知线段AB 和点O。
(1)作出线段AB 关于点O 成中心对称的线段A'B';
(2)判断线段AB 与线段A'B'的位置关系,并说明理由。
(第1题)
(第2题)
2.在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),B(0,-2),C(-2,3),D(-3,2),
分别作出它们关于原点O 的对称点,并写出它们的坐标。由此你发现关于原点的
对称点的坐标有什么关系? 请运用数学软件验证你的发现。
一个图形经过中心对称变化,有可能与自身重合吗?
(1)你见过绕一个定点旋转180°后与自身重合的图形吗? 图12.3-4中为双
鱼剪纸、太阳神鸟和北京冬奥会的大雪花,这三个图案是否具有这种特点?
图12.3-4
图12.3-5
(2)如图12.3-5,点O 是线段AB 的中点。将线段
AB 绕点O 旋转180°后,能否与自身重合?
128
图12.3-6
(3)如图12.3-6,与▱ABCD 关于对角线交
点O 成中心对称的图形是哪个图形?
(1)如果一个图形与自身关于点O 成中心对称,那么这个图形上的任一点
P,关于点O 的对称点P'在这个图形上吗?
根据中心对称的定义,点P'在
这个图形上。
(2)一个图形若与自身成中心对称(比如,如图12.3-7所示的平行四边形),
过其对称中心作一条直线,这条直线将这个图形分成两部分,这两部分图形有
什么关系?
图12.3-7中的直线EF 过
对称中心O,所以EF 两侧的图
形关于点O 成中心对称,这两
部分图形全等。
图12.3-7
在平面内,如果一个图形经过中心对称能与自身重合,那么这个图形叫
作中心对称图形(central
symmetric
figure)。
经过对称中心的任一条直线,将中心对称图形分为两个全等的图形。
线段是中心对称图形,对称中心是中点。平行四边形是中心对称图形,对
称中心是对角线的交点。特别地,矩形、菱形和正方形都是中心对称图形。
129
图12.3-8
如图12.3-8,ABCD 是一块正方形的土地,
要在这块土地上修建两条笔直的、互相垂直的小路,把这
块土地分成面积相等的四部分。除了连接正方形的两条对
角线或两组对边的中点外,你还有什么方案? 请画出图形,
并说明理由。
解:如图12.3-9,过正方形的对称中心O,任意作两条互相垂直的直线
EG,HF,分别交BC,AD 于点E,G,交AB,CD 于点H,F,则EG 与
HF
可作为小路的位置。理由如下:
将四边形OGAH,OHBE,OECF,OFDG 的面积分别记为S1,S2,S3,
S4,正方形ABCD 的面积记为S。
因为EG 经过正方形ABCD 的对称中心O,
所以四边形GABE 与四边形ECDG 全等。
图12.3-9
所以S1+S2=S3+S4=1
2S。
同理S2+S3=S1+S4=1
2S。
所以S1=S3,S2=S4。
连接OA,OB。
因为四边形ABCD 是正方形,
所以OA=OB,∠GAO=∠HBO=45°,∠AOB=90°。
因为∠HOG=90°=∠AOB,
所以∠AOG=∠BOH。
在△AOG 和△BOH 中,
∠GAO=∠HBO,OA=OB,∠AOG=∠BOH,
所以△AOG≌△BOH。
同理△AOH≌△BOE。
所以S1=S△AOG+S△AOH=S△BOH+S△BOE=S2。
所以S1=S2=S3=S4,
即HF 和GE 把正方形ABCD 分成面积相等的四部分。
130
1.正三角形是中心对称图形吗? 正六边形呢? 有哪些正多边形是中心对称图形?
2.在如图所示的四个图形中,哪些是轴对称图形? 哪些是中心对称图形?
① ②
③ ④
(第2题)
复习巩固
1.观察第14届国际数学教育大会会标,它是中心对称图形吗?
(第1题)
(第2题)
2.如图,Rt△ABC 的顶点在方格纸的格点处,分别以点A,B,C 为中心,画出与
△ABC 成中心对称的图形。
3.如图,已知两个四边形成中心对称,作出它们的对称中心。
(第3题) (第4题)
4.如图,在四边形ABCD 中,△ABO 与△CDO 关于点O 成中心对称。
(1)判断四边形ABCD 的形状,并说明理由;
(2)当△ABO 分别满足什么条件时,四边形ABCD 为矩形、菱形?
131
拓展延伸
5.如图,将五个边长都为2
cm的正方形按如图方式摆放,点A,B,C,D 分别是
四个正方形的对称中心。求图中阴影部分面积的和。
(第5题)
(第6题)
6.如图,正方形ABCD 与正方形A1B1C1D1 关于某点成中心对称,已知A(0,4),
D(0,2),D1(0,3)。
(1)写出对称中心的坐标;
(2)写出点A1,
B1,C1 的坐标。
7.如图,在▱ABCD 中,BE⊥AF,AF⊥FD,垂足分别为E,F。已知AE=2,
AF=3,BE=4,FD=6,求▱ABCD 的面积。
(第7题)
探索创新
8.数轴上点A,B,C 表示的数分别为2m,
m-1和m+5。
(1)请写出一个m 值,使得A,B,C三个点中有两个点恰好关于另一个点成中心对称;
(2)线段B'C'与线段BC 关于原点成中心对称,当m 为何值时,点A 在B'C'上?
132
用图形变化创造艺术作品
在数学中,平移、旋转和轴对称是基本的图形变化方式。艺术家们经常
应用这些图形的变化进行创作。
荷兰艺术家埃舍尔(Maurits
Cornelis
Escher,1898—1972)就以应用图形
的变化创作艺术品而闻名。图12.3-10是埃舍尔的作品Imp
design。该作品
可以看成是由一个“基本图形”———戴帽子的卡通人物组成的。其中,同色
的卡通人物可以通过平移而得到;相邻不同颜色的卡通人物可以通过旋转而
得到,旋转角为120°,旋转中心为卡通人物的额头、膝盖或脚后跟上的一
点。在艺术上应用图形的变化进行创造,这让埃舍尔在20世纪的世界画坛
独树一帜。
图12.3-10
北京冬奥会开幕式上, 《构建一朵雪花》的节目也应用了图形的变化,
最终呈现的效果精彩绝伦。无论是整体造型(图12.3-11),还是细节构思(图
12.3-12),“大雪花”都给全球观众带来了极为震撼的审美体验。
图12.3-11
图12.3-12
(1)图12.3-11中的“大雪花”有什么特点?
(2)在图12.3-12中,若不考虑中间文字,两片相邻的
“小雪花”如何
由其中的一片通过变化得到另一片? 如何由部分图案得到全部图案?
133
1.请举出图形平移或旋转的例子。
2.平移和旋转的基本性质分别是什么?
3.在平面直角坐标系中平移图形,对应点的坐标如何变化?
4.中心对称的基本性质是什么? 两个图形成中心对称和中心对称图形有什
么区别和联系?
5.平移、旋转和轴对称有什么不同点和共同点?
6.通过对图形变化的学习,你对平移、旋转和轴对称有哪些新的理解?
134
复习巩固
1.如图,图②③④是由图①分别经过怎样的变化得到的?
① ② ③ ④
(第1题)
2.如图,将“笑脸”图标先向右平移4个单位,再向下平移2个单位。求点P 的对应
点P'的坐标。
(第2题)
(第3题)
3.如图,如何通过适当的图形变化将图案甲变为图案乙? 请写出操作过程。
4.如图,人民公园内一块长方形草地上原有一条1
m宽的笔直小路。现要将这条小路改
造成弯曲小路,弯曲小路的上边沿向下平移1
m就是它的下边沿。改造后小路的面积
是否发生变化?
(第4题)
(第5题)
5.如图,等边三角形ABC 沿射线AB 的方向平移后得到△BDE。△BDE 能否由
△ABC 经旋转得到? 如果能,请说明旋转方式。
135
6.如图,△ABC 和△A'B'C'关于某一点成中心对称,找出对称中心O,并补全△A'B'C'。
(第6题)
(第7题)
7.如图所示的图案由三个叶片组成,绕点O 旋转120°后可以和自身重合。若每个叶片
的面积为4
cm
2,∠AOB=120°,求图中阴影部分的面积。
8.将△ABC 绕它任意一边的中点旋转180°得到另一个三角形。
(1)这两个三角形拼成一个什么图形? 请说明理由。
(2)如果这两个三角形拼成的图形为菱形、矩形或正方形,那么△ABC 应分别满足
什么条件?
9.如图,▱ABCD 的对角线相交于点O,点E,F 在直线BD 上,且关于点O 成中心
对称。判断四边形AECF 的形状,并说明理由。
(第9题)
拓展延伸
10.如图,在五边形ABCDE 中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°。
(1)△ABC 绕点A 逆时针旋转,旋转角等于∠BAE,请作出旋转后的图形。
(2)判断DA 是否平分∠CDE,并说明理由。
(第10题)
136
11.如图,正方形OABC 在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(2,0)。将正方形OABC
绕点O 旋转,使点B 的对应点落在x 轴上,求点A 的对应点的坐标。
(第11题)
探索创新
12.如图是一块“L”型的板材示意图,如何用一条直线把它分割为面积相等的两部分?
请画图说明。
(第12题)
13.如图,已知线段AB,直线a,b相交于点O,先画出与AB 关于直线a成轴对称的
线段A'B',再画出与A'B'关于直线b 成轴对称的线段A″B″。你发现线段AB 和
A″B″在位置上有什么关系? 若要使得线段AB 和A″B″关于点O 成中心对称,需要添
加什么条件? 请说明理由。
(第13题)
第２章 有理数的运算
1
第13 章 数据的分析
内容提要
◆ 数据的集中趋势
◆ 数据的离散程度
◆ 随机现象的变化趋势
数据的分析
数据的收集
数据的描述
数据的整理
抽样与数据分析
……
数学 七年级 上册
2
某互联网公司为了激活数量可观的“沉默用户”，将这些用
户随机分成人数相等的两组，分别实施激活方案A 和方案B。
通过记录两组用户中每天被成功激活的数量，得到如图所示的
各种统计图表。如何比较这两种方案的实施效果呢？
时间
第1 天
第2 天
第3 天
第4 天
第5 天
第6 天
第7 天
A 方案激活人数/ 人
1 073
1 090
1 100
1 025
1 021
1 025
988
B 方案激活人数/ 人
1 022
910
1 280
920
1 292
1 022
876
我们已经学习了如何收集、整理和描述数据，本章将进一
步学习如何分析数据，从而作出更加科学、合理的决策。
139
平均数是一组数据的平均值,它能代表这组数据的集中趋势。怎样求一组
数据的平均数?
在“世界读书日”到来之际,某校八年级3班决定统计本班同学本学期到
图书馆借阅图书的情况。
(1)小莹统计了本组7名同学的图书借阅册
数,分别是:
1,4,2,6,5,0,3。
这7名同学本学期人均借阅多少册书?
根据平均数公式计算得
1+4+2+6+5+0+3
7
=3。
一组数据x1,
x2,
…,xn 的平均数x,是
指这n 个数之和除以n
得到的值,即
x=x1+x2+…+xn
n
。
(2)小亮整理了全班40名同学的图书借阅量的数据,如下表所示:
借阅册数/册
0
1
2
3
4
5
6
人数/人
5
12
10
7
1
3
2
全班同学本学期人均借阅多少册书?
小亮的算法如下:
平均每人借阅的册数为
0×5+1×12+2×10+3×7+4×1+5×3+6×2
40
=2.1。
140
(1)
对于问题(2),小莹的算法如下:
0×5
40+1×12
40+2×10
40+3×7
40+4×1
40+5×3
40+6×2
40=2.1。
这种算法合理吗?
其实跟我的算法一样,只是使
用了乘法分配律。
(2)如何理解比值5
40,12
40,10
40,7
40,1
40,3
40,2
40的意义?
这些比值就是某种借阅册数的
人数与全班总人数的比值,它们分
别反映了每个数据的重要程度。
在n个数据中,如果x1,x2,…,xk 分别出现了w1,w2,…,wk 次,
其中w1+w2+…+wk=n,则比值w1
n ,w2
n ,…,wk
n 分别叫作这k 个数据
x1,x2,…,xk 的权(weight)。相应地,称
x=x1w1+x2w2+…+xkwk
n
=x1·w1
n +x2·w2
n +…+xk·wk
n
为这k个数据的加权平均数(weighted
mean)。
上面的问题中,全班40名同学本学期人均借书册数可以看作是0,1,2,3,
4,5,6这7个数的加权平均数,它们的权分别为5
40,12
40,10
40,7
40,1
40,3
40,2
40。
141
某市为了解学生的体质健康情况,组织全市八年级学生进行了体质
健康测试。
(1)在参加测试的学生中,随机抽取了某校40名男生的成绩,如下表所示:
成绩/分
68
71
75
78
82
84
88
89
90
92
93
95 100
人数/人
1
2
1
1
1
6
8
7
5
2
3
2
1
计算这个样本的平均数(结果精确到0.01),并由此估计该校八年级男生的
体质健康测试的平均成绩;
(2)A学校有1
200人参加测试,平均成绩为88.32分;B学校有800人参
加测试,平均成绩为91.15分。求这两所学校八年级学生测试的平均成绩。
解:(1)x=68×1
40+71×2
40+75×1
40+78×1
40+82×1
40+84×6
40+88×8
40+
89×7
40+90×5
40+92×2
40+93×3
40+95×2
40+100×1
40
≈86.98。
所以,估计该校八年级男生的体质健康测试的平均成绩为86.98分。
(2)x=88.32×
1
200
1
200+800+91.15×
800
1
200+800=89.452①。
所以,这两所学校八年级学生测试的平均成绩为89.452分。
图13.1-1
某电影评分网站上,观众可对电
影进行星级评价。图13.1-1是该网站上某部电
影星级评价的统计数据。若将星级转换为分
数,其中5星,4星,3星,2星,1星分别转
换为10分,8分,6分,4分,2分,则这部
电影的平均评分是多少(结果精确到0.1)?
解:这部电影的评分中,10 分,8 分,6 分,4分,2分的权分别为
77.7%,18.7%,2.8%,0.4%,0.4%,计算加权平均数得:
x =10×77.7%+8×18.7%+6×2.8%+4×0.4%+2×0.4%=9.458
≈9.5。
所以,这部电影的平均评分为9.5分。
①这种算法在形式上是加权平均,在程式上是分别计算。这是分布式计算的一种简单形式。
142
某手机销售公司共有50名销售员,第一季度的销售量如图13.1-2
所示。
该公司销售员第一季度的平均销售量约是多少(结果保留整数)?
图13.1-2
对于频数分布直方图
的数据,通常取一个矩形
左右边界的横坐标的平均
数(也称“组中值”)作为
这组数据的平均数。
解:各组数据的组中值分别为144,154,164,174,184。
x=144×4+154×5+164×11+174×21+184×9
50
=169.2≈169。
所以,该公司销售员第一季度的平均销售量约为169台。
将一批数据分为两组,这批数据的平均数与这两组数据各自的平均数之间
有什么数量关系?
1.
一个射击爱好者连续射击20次,其中命中10环2次,命中9环7次,命中8环8
次,命中7环3次,求这20次射击的平均命中环数。
2.
有一道5分的试题,20%的考生得5分,40%的考生得4分,28%的考生得3分,
12%的考生得2分。这道题的平均得分为多少?
3.某商场宣布店庆期间A,B,C三种型号的彩电分别降价15%,10%,5%,该店
宣称三种彩电平均降价10%。这种说法正确吗? 为什么?
4.
为检测一批灯泡的使用寿命,检测人员随机抽查了50只灯泡,数据如下表所示:
使用寿命
x/h
600≤x<
1
000
1
000≤x<
1
400
1
400≤x<
1
800
1
800≤x<
2
200
2
200≤x<
2
600
灯泡数/只
3
10
12
17
8
这批灯泡的平均使用寿命是多长?
143
除平均数外,还有哪些统计量能刻画一组数据的集中趋势?
小亮所在的八年级3班组建了篮球队,包括小亮在内的11名队员的身高
(单位:cm)如下:
166 175 178 185 162 168 167 170 168 180 169
队员的平均身高约为171.6
cm,小亮的身高为169
cm,低于平均数,他的
身高在篮球队处于什么位置?
将这组数据按照从小到大的顺序重新排列:
162 166 167 168 168 169 170 175 178 180 185
此时,169排在第6,恰好在11个数据的中间,这表明小亮的身高在篮球
队内是居中的。
(1)如何判断一个数据在一组数据中的位置?
可以把这组数据先排序,然后
参照中间位置的数据进行判断。
(2)若篮球队中加入一名身高173
cm的新队员,请问在12名篮球队员中,
新队员的身高处于什么位置?
将12个数据重新排列,排在中间位置
的数有两个,
分别是169
和170。这两个数
的平均数为169.5。
因为173>169.5,所以,新队员的身
高在12名篮球队员中偏高。
144
一般地,将一组数据按大小顺序排列后,
如果数据的个数为奇数,那么处
于中间位置的一个数据是这组数据的中位数(median);如果数据的个数为偶
数,那么处于中间位置的两个数据的平均数是这组数据的中位数。
在按大小顺序排列后的一组数据中,由于中位数的位置居中,它能反映一
组数据的集中趋势。所以,通常也把中位数作为这组数据的代表。
某公司为调动销售员的积极性,准备对销售情况较好的销售员进行
奖励。
公司统计了全部30名销售员本月的销售额(单位:万元),数据如下:
17 18 16 13 24 15 28 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 14 15 26
15 32 23 17 15 15 28 28 16 19
(1)求这组数据的平均数和中位数;
(2)请问是以超过平均数还是以超过中位数作为奖励标准,能让更多的销
售员获得奖励?
解:利用频数分布表对数据进行整理:
销售额/万元13
14
15
16
17
18
19
22
23
24
26
28
30
32
人数/人
1
1
5
4
3
2
3
1
1
1
2
3
1
2
(1)这组数据的平均数为:
x=13×1
30+14×1
30+15×5
30+16×4
30+17×3
30+18×2
30+19×3
30+
22×1
30+23×1
30+24×1
30+26×2
30+28×3
30+30×1
30+32×2
30=20.3。
因为将这30个数从小到大排列后,第15个数和第16个数均为18,所以,
这组数据的中位数为18+18
2
=18。
(2)若以超过平均数20.3作为奖励标准,则有11名销售员获得奖励;若
以超过中位数18作为奖励标准,则有14名销售员获得奖励。所以,以超过中
位数作为奖励标准,能让更多的销售员获得奖励。
145
在一组数据中加入一个新数据,这组数据的平均数和中位数是否会改变,
为什么?
1.
世界环境日当天,某市在六个空气质量监测点测得空气主要污染物PM2.5浓
度(单位:μg/m
3)的数据分别是:
29 27 36 35 32 19
这组数据的中位数是多少?
2.
为了解某居民小区的用水情况,调查人员随机抽查了
20
户家庭的月用水量,如下
表所示:
月用水量/m
3
6
7
8
10
11
户数/户
4
5
7
3
1
求这20户家庭月用水量的中位数。
3.
质量技术监督部门为了检测甲、乙两个灯具厂生产的某种灯管的使用寿命,从两
个厂各抽取10只灯管进行检测,结果如下(单位:千小时):
甲 4 4 4 6 12 3 9 8 11 4
乙 4 5 7 7 5 7 8 6 6 5
(1)分别求这两组数据的平均数、中位数;
(2)如果两个厂家的产品售价一样,你会选购哪家生产的灯管? 为什么?
除平均数和中位数之外,还有可以代表一组数据的集中趋势的统计量吗?
(1)某鞋店一周内销售了某品牌女鞋60双,各种鞋码的销售量统计如下:
鞋码
35
36
37
38
39
40
41
42
销量/双
3
9
16
18
8
3
2
1
鞋店再次进货时,你觉得应多进哪种鞋码的女鞋呢?
146
销售鞋码中38出现次数
最多,应该多进38码的女鞋。
(2)2023年春分前后,某地区连续十天的日最高气温与上一年度同期的日
最高气温对比数据,如下表所示:
2023年气温/℃
15
17
19
19
21
21
21
21
23
25
2022年气温/℃
22
17
17
17
18
20
20
22
26
27
该地区这两年同期的日最高气温哪年总体较高?
2023年这十天的日最高气温的平均数是20.2,
2022年为20.6,所以可以认为2022年这十天的日最高
气温总体略高。2022年这10天中17
℃出现的次数最
多,有3天,而2023年21
℃出现的次数最多,有4天,
所以也可认为2023年这十天的日最高气温总体较高。
一组数据中出现次数最多的数据有什么意义? 你在生活中用它解决过问题吗?
一组数据中出现次数最多的数据
能够反映一组数据的集中趋势,在生
活中常作为决策和推断的依据。
问题(1)中,根据38码鞋子销售量最大,建议以后多进38码的鞋子;问题
(2)中,根据出现次数最多的温度可以推测同期的总体气温。
147
一般地,一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数(mode)。
一次演讲比赛中,10位评委给甲、乙两位演讲者的打分如下表所示:
甲得分/分
9
9
8
7
9
9
10
9
3
9
乙得分/分
9
8
8
9
8
8
8
8
7
9
(1)用恰当的统计图表整理、描述甲和乙的得分数据,分别求出平均数、
中位数和众数;
(2)根据评委打分,比较甲、乙的演讲水平。
解:(1)甲的得分整理如下:
得分/分
3
7
8
9
10
频数
1
1
1
6
1
乙的得分整理如下:
得分/分
7
8
9
频数
1
6
3
用条形统计图描述两人得分情况,如图13.1-3。
图13.1-3
甲得分的平均数为x甲=3×1+7×1+8×1+9×6+10×1
10
=8.2,
中位数为9,众数为9。
乙得分的平均数为x乙=7×1+8×6+9×3
10
=8.2,
中位数为8,众数为8。
148
(2)从平均数来看,两人的平均分相同,综合所有评委的评分,说明两人
具有同等演讲水平。
由于个别评委打分时显示出较强的偏好性,所以将中位数作为评价标准能
避免极端数据的影响。由于甲得分的中位数大于乙得分的中位数,所以可以认
为甲的演讲水平高。
从众数来看,甲得9分的次数最多,乙得8分的次数最多,所以可以认为
甲的演讲水平高于乙。
平均数、中位数和众数都能刻画一组数据的集中趋势,其中平均数容易受到
一些极端数据的影响。
我们经常看到一些评比中,有“去掉一个最高
分和一个最低分”的计分规则,这就是为了避免一
些极端数据对平均分产生较大影响。若根据这个规
则计算两人的平均分,则
x甲=7×1+8×1+9×6
8
=8.625,
x乙=8×6+9×2
8
=8.25。
根据不同的统计量可
能得出不同的结论,这些
结论并无对错之分,主要
看它能否客观地反映实际
情况。
可以认为甲的演讲水平高于乙。
1.
全国男子篮球联赛进行了一个阶段后,排名前十的球队获胜场数分别为:
35 33 32 28 26 26 25 23 22 21
求这十支球队获胜场数的平均数、中位数和众数。
2.
每年的8月8日是“全民健身日”。某中学为了解八年级学生的假期锻炼情况,随
机调查了50名学生在8月第二周参与体育锻炼的天数,统计结果如下表:
天数/天
0
1
2
3
4
人数/人
3
13
16
17
1
这50名学生8月第二周参与体育锻炼天数的平均数、中位数和众数分别是多少?
149
复习巩固
1.
从某水果商店购进的200箱苹果中随机抽取15箱,称得质量(扣除包装)如下表所示:
质量/kg
10.5
10.3
10
9.8
9.7
9.4
箱数/箱
2
3
4
2
3
1
如果每千克苹果的售价为8元,试估计这批苹果的销售金额(不考虑损坏)。
2.
某中学为表彰八年级优秀志愿者,准备购买一批容量相同的书包作为奖品。
为此,
老师随机调查了若干名八年级同学书包的容量,得到如下数据:
书包容量/L
19
21
23
25
27
29
频数
2
3
5
21
3
1
你认为学校应该购买多大容量的书包? 为什么?
3.
小亮为了解家庭用电情况,随机抽查了某个月10天的家庭用电量:
(第3题)
(1)求该样本数据的平均数、中位数和众数;
(2)如果每千瓦时电的价格为0.55元,估计小亮家一个月的电费支出是多少元
(按30天计算)。
4.
为了解八年级学生本学年的志愿服务情况,校记者团随机采访了八年级不同班级的
三名同学。
甲:“我累计志愿服务时长25小时,在我班恰好属于中等水平。”
乙:“我班累计志愿服务时长28小时的人数最多。”
丙:“我班人均累计志愿服务时长22小时。”
你能根据三位同学的描述比较他们所在班级的总体志愿服务时长吗? 请说明理由。
150
5.在学校的体育训练中,小亮和大刚分别投掷了八次实心球,小亮的前七次成绩和
大刚的平均成绩如下图。若小亮最后一次掷出了最好成绩,请回答下列问题:
(1)小亮和大刚谁的平均成绩更高?
(2)求小亮成绩的中位数;
(3)你认为小亮成绩的众数是多少?
(第5题)
拓展延伸
6.
某中学的物理老师把学生物理考试的笔试、实验操作两项成绩分别按60%和40%
计入学期总成绩。
小亮的实验操作成绩是81分,要想学期平均成绩不低于85分,
他的笔试成绩至少要达到多少分?
7.
质检部门对某品牌袋装食品的实际质量进行检测。
随机抽测20袋,超过和不足的
数量分别用正、负数表示,统计结果如下表:
与标准质量的差值/g
-5
-2
0
1
3
6
袋数/袋
3
4
1
4
5
3
(1)这组数据的平均数、中位数和众数分别是多少?
(2)你认为用哪个统计量代表这20袋食品的质量较为合理? 请说明理由。
8.
某公司销售部15人,7月份的销售业绩如下表所示:
销售件数/件
1
800
510
250
210
150
120
人数/人
1
1
3
5
3
2
(1)若该销售部把“8月份个人销售件数不低于7月份人均销售件数”作为销售
人员8月份能获得奖励的标准,同时每位员工8月份都能将个人销售件数提
升10%,预计8月份将有多少人获得奖励?
(2)在每位销售人员7、8两个月的销售量大致相同的情况下,若该销售部以“8
月份个人销售件数不低于x 件”作为销售人员8月份获得奖励的标准,有10
名员工能获得奖励。请写出一个x 的参考值。
151
探索创新
9.
2023年9月21日,神舟十六号飞行乘组的三位航天员在中国空间站进行第四次
太空授课。为弘扬航天精神,传播航天知识,某校举行了航天知识竞赛,从七、
八年级参赛学生中各随机抽取10名,他们的成绩如下:
七、八年级抽取的学生成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
七年级
92
93
b
八年级
92
c
100
八年级抽取的学生成绩扇形统计图
(第9题)
已知七年级10名学生的成绩是:96,80,96,86,99,96,90,100,89,82。
若成绩得分用x 表示,八年级10名学生的成绩分成四组:
A:80≤x<85; B:85≤x<90; C:90≤x<95; D:95≤x≤100
其中C组的数据是:94,90,92。
根据以上信息,解答下列问题:
(1)a=
,b=
,c=
;
(2)你认为本次竞赛哪个年级的成绩相对较好? 请说明理由;
(3)若该校八年级共200名同学参加了此次航天知识竞赛,估计此次活动成绩优
秀(x≥90)的学生人数。
152
平均数、中位数和众数只能描述一组数据的集中趋势,哪些统计量能较好
地刻画数据的分布情况?
八年级1班与3班篮球队队员身高如下(单位:cm):
1班 158 160 162 160 162 169 170 178 180 183 182 185
3班 166 162 167 168 168 169 170 175 173 178 180 185
如何比较两支球队队员的身高情况?
把两支球队队员身高排序后,可知两队队员身高的中位数都是169.5。同时
还可以看出:身高低于中位数的队员中,1班队员的身高总体低于3班队员,而
高于中位数的队员中,1班队员的身高总体高于3班队员。
(1)请描述两支球队队员身高的分布情况。
总体上,3班队员的身高更集中,
1班队员的身高比较分散。
(2)将1班队员的身高按照从小到大排序后,中位数169.5把这些数据分
为两组,每组都是6人。用什么量可以刻画高于(或低于)中位数的那些数据的
分布情况呢?
153
高于中位数的这部分数据的集中趋势,可以用它们的中位数来刻画,这个
中位数处于整组数据“四等分”的位置上。同样,低于中位数的那部分数据也
是如此。
161可以刻画1班前六名队员身高的集中趋势,181可以刻画后六名队员身
高的集中趋势。161,169.5,181这三个数可以较好地刻画1班队员身高的分布
情况。
将一组数据按照从小到大的顺序排列,中位数把这组数据分成数量相等
的两部分。前一半数据的中位数称为第一四分位数,后一半数据的中位数称
为第三四分位数,它们与中位数一起叫作整组数据的四分位数。
在1班队员的身高数据中,161,169.5,181这三个数值把所有数据分为个
数相等的四个部分。因此,将这三个数分别称为第一四分位数、中位数、第三
四分位数,为了更准确地反应它们在一组数据中的位置,也分别称为第25百分
位数、第50百分位数、第75百分位数。将一组数据按照大小顺序排列后,以
第25百分位数、第50百分位数和第75百分位数作为参照,可以直观看出某个
数据在这组数据中的大概位置。
为了更形象地展示两支篮球队的身高分布,我们可以制作两组数据的箱线
图(图13.2-1)。
图13.2-1
在箱线图中,上、下两条短横线分别表示整组数据的最大值和最小值;箱
体的下边缘、中间横线和上边缘分别表示整组数据的第一四分位数、中位数和
第三四分位数。箱体的高度越小,说明数据越集中;箱体的高度越大,说明数
据越分散。
从上图来看,八年级3班篮球队员的身高分布更为集中。
154
某银行有A和B两个理财经营团队。2020—2022年,这两个理财团
队分别负责经营12项理财产品,收益率(单位:%)如下:
A 4.77 3.98 4.87 4.89 2.15 3.85
3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60
4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
(1)分别计算A和B两个团队理财产品收益率数据的四分位数。
(2)图13.2-2是基于四分位数绘制的箱线图。请通过箱线图比较A和B两
个团队的经营水平。
图13.2-2
解:(1)把A团队理财产品收益率数据从小到大排序得:
2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.87 4.89
这组数据的中位数为3.915。它把这组数据分为两部分:
2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85与
3.98 4.10 4.11 4.77 4.87 4.89
这两组数据的中位数分别为3.195和4.440。
所以,A团队理财产品收益率数据的四分位数分别为3.195,3.915,4.440。
同理,可计算B团队理财产品收益率数据的四分位数分别为3.635,3.890,
4.125。
(2)从箱线图可以看出:A团队理财产品收益率的中位数与B团队的几乎
相等,但B团队的12项理财产品收益率明显比A团队更集中。所以,两个团队
经营效益基本一样,但B团队的经营水平比A团队要平稳得多。
155
某学校希望了解八年级学生的身高情况,随机抽取了27位学生的身高(单位:cm):
163 164 161 157 162 165 158 155 164
154 154 164 149 159 161 170 171 155
172 162 158 155 157 163 172 162 148
求该校八年级学生身高的四分位数。
复习巩固
1.
求下列这组数据的四分位数:
2.1 3.0 3.1 3.8 3.4 4.0 4.2 4.4 5.3 5.6
2.
参加数学竞赛的16名同学的成绩如下:
78 70 72 86 88 79 80 81 94 84 56 98 83 90 91 62
求这16名同学成绩的四分位数。
拓展延伸
3.
如图是根据学生体重绘制的箱线图。请通过箱线图比较两个班级学生的体重情况。
(第3题)
4.
某珍珠养殖公司从产品中随机抽取13颗珍珠,测得直径(单位:mm)如下:
7.9 9.0 8.9 8.6 8.4 8.5 8.5 10.2 8.5 9.9 7.8 8.3 8.0
求这组数据的四分位数。
156
探索创新
5.
根据下表信息,从中任选两个城市,画出它们2021年12个月平均相对湿度的箱
线图,并依据箱线图对这两个城市的平均相对湿度进行比较。
2021年部分城市平均相对湿度
城市1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月
北京
44
45
55
41
43
54
78
70
78
63
59
47
天津
48
48
56
46
48
60
79
75
81
69
67
54
上海
64
72
79
73
75
85
84
87
83
78
73
70
沈阳
61
57
51
46
59
72
78
81
82
68
75
56
济南
42
42
50
48
47
53
72
71
75
65
57
46
武汉
72
80
82
79
82
77
79
84
76
80
76
72
数据出自《中国统计年鉴2022》。
157
百分位数在阶梯电价问题中的应用
为了更有效地利用能源,某市计划对居民用电实施三档阶梯式电价制
度。第一档要求满足80%的居民用户用电需求,第二档要求满足95%的居
民用户用电需求。
通过随机抽样,获得80户居民用户的月均用电量数据(单
位:kW·h),从小到大排列如下:
22
42
49
57
60
61
62
63
65
67
71
76
77
78
80
82
83
84
88
90
96
96
98
98
100 100 101 105 107 107
109 110 110 112 113 115 120 121 124 127
130 131 132 133 134 135 135 137 138 139
144 146 151 154 159 162 163 165 169 170
178 182 187 191 192 194 201 202 203 213
224 247 250 253 258 265 274 304 320 339
市政府应如何确定阶梯电价的用电量分档标准?
分档标准应依据这组数据的第80百分位数和第95百分位数。
因为80×80%=64,80×(1-80%)=16,
所以这组数据的第80百分位数应使得这组数据中至少有64个数据不大
于这个值,且至少有16个数据不小于这个值。
所以第80百分位数是从小到大第64个和第65个数据的平均数,为191.5。
因为80×95%=76,80×(1-95%)=4,
所以这组数据的第95百分位数应使得这组数据中,至少有76个数据不
大于这个值,且至少有4个数据不小于这个值。
所以第95百分位数是从小到大第76个和第77个数据的平均数,为269.5。
市政府可确定分档标准为:每月不超过191.5
kW·h的用电量为第一
档,不超过269.5
kW·h的用电量为第二档。
158
在研究了一组数据的集中趋势之后,本节我们将研究一组数据的波动程度。
章引言中关于“激活沉默用户”的问题,两个方案实施7天的激活人数情
况如下表所示:
时间
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
A方案激活人数/人
1
073
1
090
1
100
1
025
1
021
1
025
988
B方案激活人数/人
1
022
910
1
280
920
1
292
1
022
876
哪个方案的效果好呢?
两个方案这7天激活人数的平均数都是
1
046。A方案激活人数的中位数为1
025,B方
案激活人数的中位数为1
022,二者相差不大。
画出两个方案的折线统计图(图13.3-1)。参照平均数可以看出,A方案的
数据更集中,B方案的数据差异较大,波动也较大。相比之下,
A
方案的数据更
稳定,效果更好。
图13.3-1
159
(1)研究一组数据的波动程度有什么实际意义?
一组数据波动程度的大小,反映了
这组数据差异的大小,可以说明这组数
据是比较分散还是比较集中。
(2)如何衡量一组数据的波动程度?
在折线统计图中,以这组数据的平均数
所表示的直线为参照,若表示这组数据的各
个点分布在直线附近,说明这组数据比较集
中,否则就说明这组数据比较分散。
一组数据的差异程度叫作这组数据的离散程度。
在统计中,通常需要综合分析一组数据的集中趋势和离散程度,数据的离
散程度一般用这组数据偏离其平均数的程度来衡量。
下表为某中学田径队的甲、乙两名运动员最近8次百米跑的成绩:
次序
1
2
3
4
5
6
7
8
甲的成绩/s
12.0
12.2
13.0
12.6
13.1
12.5
12.4
12.2
乙的成绩/s
12.2
12.4
12.7
12.5
12.9
12.2
12.8
12.3
(1)在这8次训练中,甲、乙两名运动员百米跑成绩的平均数、中位数、
众数分别是多少?
(2)分别在两个平面直角坐标系中,以次序为横坐标,成绩为纵坐标,描
出各点,并判断哪位运动员成绩更稳定。
160
解:(1)甲、乙两名运动员的百米跑成绩的平均数都是12.5,中位数都是
12.45,众数都是12.2。
(2)作图分别描出甲、乙两名运动员最近8次百米跑成绩如下(图13.3-2):
甲 乙
图13.3-2
作出表示12.5的水平直线,由各点相对于平均数的偏离程度可以判断,乙
的成绩更稳定。
(第1题)
1.
甲、乙两名同学本学期5次引体向上的测试
成绩(次数)如图所示,下列判断正确的是
(填入所有正确答案的序号)。
①
甲、乙成绩的平均数相同;
②
甲、乙成绩的中位数相同;
③
甲的成绩比乙稳定。
2.
某砖厂从生产的甲、乙两种水泥砖中,各随机抽取了10块,分别测量它们的抗断强
度,所得数据如下(单位:kg/cm
2):
甲 30.5 31.6 31.6 30.0 31.7 31.0 30.7 31.2 31.8 29.9
乙 31.0 29.5 32.0 33.0 29.3 30.3 29.9 31.3 32.8 30.9
(1)甲、乙两种砖的平均抗断强度分别是多少?
(2)在平面直角坐标系内描点表示甲、乙两种砖的抗断强度。由图可以看出,哪
种砖的抗断强度更稳定?
161
两组数据的离散程度不同时,应该用什么统计量来比较它们的离散程度呢?
在“激活沉默用户”的问题中,A,B两个方案的平均激活人数都是1
046,
分别计算两个方案每天的激活人数与它们的平均激活人数的差,得到两组数据
如下:
A组 27
44 54 -21 -25 -21 -58
B组 -24 -136 234 -126 246 -24 -170
在一组数据中,一个数据与这组数据的平均数的差叫作这个数据的离差
(deviation)。
离差可能是正数或负数,也可能是0。
离差的符号及其绝对值分别
反映了该数据偏离平均数的方向与大小。
(1)
能否利用所有数据的离差之和或离差的平均数表示一组数据的离散程
度呢?
通过计算,我发现两组数据的离差
之和都是0,不能简单地利用离差之和或
离差的平均数表示一组数据的离散程度。
我发现,无论数据如何变化,它们的离
差和都为零,所以为了解决离差符号对和的
影响,能否利用离差的平方和,来说明这组
数据偏离平均数的程度呢?
(2)你能概括出小莹的上述想法吗?
162
设n个数据x1,x2,…,xn 的平均数是x,各个数据离差的平方和叫作
这组数据的离差平方和(sum
of
squares
of
deviations),即
(x1-x)
2+(x2-x)
2+…+(xn-x)
2。
各数据离差的平方的平均数叫作这组数据的方差(variance),记作s
2,即
s
2=1
n[(x1-x)
2+(x2-x)
2+…+(xn-x)
2]。
离差平方和、方差都是刻画一组数据的离散程度的统计量。当一组数据的
离差平方和较大时,方差也较大;当一组数据的离差平方和较小时,方差也较
小。反过来也成立。方差刻画了一组数据平均偏离平均数的程度,克服了数据
量的影响,所以通常用于比较多组数据的离散程度。
分别计算A,B两组数据的方差:
s
2
A =1
7[27
2+44
2+54
2+(-21)
2+(-25)
2+(-21)
2+(-58)
2]
=10
452
7
;
s
2
B =1
7[(-24)
2+(-136)
2+234
2+(-126)
2+246
2+(-24)
2+(-170)
2]
=179
696
7
。
由s
2
A<s
2
B 可知,A方案7天的激活人数与B方案相比,波动较小,更加稳
定,这与前面直观判断的结果是一致的。
甲、乙两名篮球运动员本赛季出场次数分别为10次和9次,得分情
况为:
甲 12 15 28 15 26 19 11 10 8 6
乙 14 16 13 15 19 13 17 13 15
依照这些数据,如何评价这两名运动员本赛季的得分能力?
163
解:x甲=12+15+28+15+26+19+11+10+8+6
10
=15,
x乙=14+16+13+15+19+13+17+13+15
9
=15。
两名运动员在这个赛季的平均得分相同,说明他们的得分能力相当。
s
2
甲=1
10×[(12-15)
2+(15-15)
2+(28-15)
2+(15-15)
2+(26-15)
2+
(19-15)
2+(11-15)
2+(10-15)
2+(8-15)
2+(6-15)
2]=48.6,
s
2
乙=1
9×[(14-15)
2+(16-15)
2+(13-15)
2+(15-15)
2+(19-15)
2+
(13-15)
2+(17-15)
2+(13-15)
2+(15-15)
2]≈3.78。
由s
2
甲>s
2
乙可知,甲运动员在这个赛季的得分波动较大,乙运动员在这个赛
季的得分更稳定。
1.
八年级1班和2班各有10名同学参加人工智能应用能力测试,成绩如下表(满分
10分):
成绩/分
5
6
8
9
10
1班人数/名
1
1
4
3
1
2班人数/名
0
4
1
2
3
利用平均分和方差对两个班同学的测试成绩进行分析比较。
2.
甲、乙两名同学练习投篮,练习10次记为1组。他们最近6组投篮的命中次数分
别为:
甲 4 5 6 8 9 10
乙 4 6 9 10 8 5
谁的投篮命中情况更为稳定?
164
用电子表格求统计量
统计软件可以对数据进行整理、计算和分析,借助图表将数据可视化,辅
助用户决策。
以本节的例1为例,在电子表格软件中输入两名运动员的成绩:
在J2格中输入“=average(B
2:I
2)”,可以计算出甲8次成绩的平均数;
在K2格中输入“=median(B
2:I
2)”,可以计算出甲8次成绩的中位数;
在L2格中输入“=mode(B
2:I
2)”,可以计算出甲8次成绩的众数(注意:
如果一组数据中任何两个数都不相等,则计算结果为“#N/A”,表示众数不
存在);
在M2格中输入“=var.p(B
2:I
2)”,可以计算出甲8次成绩的方差。
此外,用max和min函数,可以分别计算出一组数据的最大值和最小值;
用quartile函数可以计算出一组数据的3个四分位数;用percentile函数可以计
算出一组数据的百分位数。
选中A
1:I
2 (或A
2:I
2)单元格区域,选择菜单栏中的“插入”— “推荐
的图表”— “所有图表”— “XY散点图”,就能得到如图13.3-2所示的甲成绩的
统计图;类似地,选中A
3:I
3单元格区域,可以得到乙成绩的统计图。
调整y轴
的显示范围使两图一致,可从图中直观地观察出乙的成绩更稳定,与计算方差得
到的结论一致。
165
现实中,我们经常需要对数据进行分组。用什么方法分组更合理呢?
在“激活沉默用户”的测试中,公司每天安排不同的客服人员解答用户提
出的问题。负责A方案的7位客服人员一天接待的用户人数,如下表所示:
客服人员编号
1
2
3
4
5
6
7
接待用户人数/人
178
204
192
165
157
143
148
为提高客服接待工作的有效性,公司计划将7位客服人员分为两组,使得
每组的客服人员接待的用户人数尽量接近。该如何分组呢?
以客服人员编号为横坐标,接待用户数量为纵坐标,在平面直角坐标系中
描点。
图13.3-3
(1)你建议怎么分组?
应该将接待用户人数较少的客服作为一组,接
待用户人数较多的作为另一组。我认为编号为1,
2,3的客服应在一组,其余的在另一组。不过编号
为4的客服好像也可以和编号为1,2,3的在一组。
166
(2)哪种分组方法能使得组内数据更为接近呢?
把7位客服接待的用户人数从小到大排列,得到:
143 148 157 165 178 192 204
将这些数据分为两组,有6种情况,计算每种分组方式下两个组的离差平
方和之和,计算结果如下表所示(保留1位小数):
分组方式
第一组数据的
离差平方和
第二组数据的
离差平方和
两个离差
平方和之和
第1个数为第一组,后6个为第二组
0.0
2
286.0
2
286.0
前2个数为第一组,后5个为第二组
12.5
1
474.8
1
487.3
前3个数为第一组,后4个为第二组
100.7
858.8
959.4
前4个数为第一组,后3个为第二组
284.8
338.7
623.4
前5个数为第一组,后2个为第二组
774.8
72.0
846.8
前6个数为第一组,最后1个为第二组
1
726.8
0.0
1
726.8
两个离差平方和之和最小的分组方式可以认为是最符合要求的。
按照“前4个数为第一组,后3个数为第二组”进行分组,即将编号为4,
5,6,7的客服分为一组,编号为1,2,3的客服分为另一组时,两组数据的离
差平方和之和最小。
将按从小到大顺序排列的n个数据x1,x2,…,xn 分为两组,x1,x2,…,
xm 为第一组,xm+1,xm+2,…,xn 为第二组,两组数据的离差平方和之和叫
作这n个数据的组内离差平方和(sum
of
squares
of
deviation
within
groups),记
作S
2
1,即
S
2
1=[(x1-x1)
2+…+(xm-x1)
2]+[(xm+1-x2)
2+…+(xn-x2)
2]。
其中x1=1
m(x1+x2+…+xm),x2= 1
n-m(xm+1+xm+2+…+xn)。
组内离差平方和表达了两个组内数据的离散程度。数据分组时,通常认为
“使得组内离差平方和S
2
1 的值最小”是一种合理的方法。
167
下表是某市2022年每个月的平均气温。
按照使组内离差平方和最小
的方法,将数据分为两组。
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均气温/℃0.8
2.3 11.8 15.4 23.2 28.9 28.7 25.6 23.2 16.1 9.9
3.1
解:将每个月的平均气温按从小到大的顺序排列,如下表:
月份
1
2
12
11
3
4
10
5
9
8
7
6
平均气温/℃0.8
2.3
3.1
9.9 11.8 15.4 16.1 23.2 23.2 25.6 28.7 28.9
运用电子表格软件,分别计算各种分组情况下的组内离差平方和,列表如下:
分组方法
组内离差平方和(结果精确到0.01)
第一组1个月,第二组11个月
919.33
第一组2个月,第二组10个月
679.21
第一组3个月,第二组9个月
414.22
第一组4个月,第二组8个月
338.30
第一组5个月,第二组7个月
276.62
第一组6个月,第二组6个月
289.34
第一组7个月,第二组5个月
276.62
第一组8个月,第二组4个月
456.82
第一组9个月,第二组3个月
588.75
第一组10个月,第二组2个月
754.42
第一组11个月,第二组1个月
974.51
按照使组内离差平方和最小的方法,将这些数据分为两组有两种方案。
方案一:1月,2月,12月,11月,3月为一组;4月,10月,5月,9月,
8月,7月,6月为一组。
方案二:1月,2月,12月,11月,3月,4月,10月为一组;5月,9月,
8月,7月,6月为一组。
将一组数据:1,2,3,4,8,9,按照使组内离差平方和最小的方法分为两组。
168
复习巩固
1.
甲、乙两班进行投篮比赛,每班各派
10
名同学参加,每人投
10
次,投中的次数
如下:
甲 7 8 6 8 6 5 4 9 10 7
乙 7 7 6 8 6 7 8 5 9 7
请依据这两组数据评价两个班的投篮水平。
2.
质检部门在甲、乙两种饮料中各抽取10瓶250
mL的果汁饮料,检测其中维生素
C的含量。
检测数据如下(单位:mg):
甲 90 93 89 91 92 92 89 92 91 91
乙 91 89 94 89 93 94 93 92 93 92
哪种饮料维生素C的含量高? 哪种饮料维生素C的含量比较稳定?
3.
下表记录了我国10个省份2020年人均GDP的数据。如果要把这10个省份按照
人均GDP的多少分为两个层次,应该如何划分? 请说明理由。
省份序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人均GDP/万元15.94 8.00 9.02 7.26 16.7612.73 7.33 11.05 9.61 11.04
拓展延伸
4.物理兴趣小组的两位同学练习用游标卡尺测量同一个零件。他们五次测得的尺寸
分别为(单位:mm):
甲 20.02 20.01 19.98 20.03 19.99
乙 19.97 20.02 20.00 19.99 20.01
(1)若以两组数据方差的大小,作为评价两位同学的测量水平的指标,哪位同学
的水平更高?
(2)小亮提议按照20±n的方式整理数据,得到两组新数据:
甲 +0.02 +0.01 -0.02 +0.03 -0.01
乙 -0.03 +0.02 0.00 -0.01 +0.01
他认为新数据的方差就是原数据的方差。
他的这种想法正确吗? 由此,你受到什么启发?
169
探索创新
5.
为缓解道路交通高峰的压力,某市实行错时上下班的制度。
为对比实行制度前后
的效果,随机抽取了某繁华路段实行制度前后各一个工作日的上班高峰期的汽车
流量,如下表所示:
时间段
7:00-7:30 7:30-8:00 8:00-8:30 8:30-9:00
实行前的汽车流量/辆
2
500
3
000
3
600
1
700
实行后的汽车流量/辆
2
000
2
500
3
000
2
700
该制度对于缓解道路交通高峰的压力是否有效?
再谈“数据分组”
将n个数据分为两组,我们希望每一组数据的离散程度都较小,还希望
第一组数据的平均数与第二组数据的平均数的差距尽量大。
但如果两组数据
的个数不同,如何刻画两组数据的平均数的差距呢?
无论怎样分组,所有数据的平均数x 是定值。
假设第一组数据有m 个,它
们的平均数是x1;第二组数据有(
n-m)个,它们的平均数是x2。定义
S
2
2=m(x1-x)
2+(
n-m)(x2-x)
2
为两组数据的组间离差平方和。S
2
2 越大,表示分组后两组数据之间的差异越
大,这样的分组也越合理。
数据分组时,既希望使组间离差平方和最大,又希望使组内离差平方和
最小,这二者有何关系呢?
以数据1,2,3,4,8,9为例。
这组数据的平均数为x=4.5,离差平
方和为S
2=53.5。
当将1,2,3,4分为第一组,8,9分为第二组时,两组数据的平均数
分别是x1=2.5,x2=8.5。相应地,组内离差平方和S
2
1=5.5,组间离差平
方和S
2
2=48。我们发现,S
2=S
2
1+S
2
2。
同学们可以尝试证明S
2=S
2
1+S
2
2 总是成立的。
也就是说,组间离差平
方和与组内离差平方和之和为定值。
因此,分组时只需考虑使组内离差平方
和达到最小即可。
170
我们学习了几种刻画一组数据基本特征的方法。本节研究如何刻画两组数
据之间的关系。
青少年的身高与体重有什么关系?
为了研究这个问题,八年级1班的一个小组在本年级随机抽取13名男生,
测量他们的身高(单位:cm)和体重(单位:kg),得到如下数据:
身高/cm
153 147 153 145 170 174 165 170 159 180 172 162 170
体重/kg
41
45
48
42
60
71
52
64
56
68
67
48
51
分别以身高为横坐标,体重为纵坐标,在平面直角坐标系中描出13个数对
对应的点。
图13.4-1
观察图13.4-1,13名男生的身高与体重有什么关系?
171
如图13.4-2,这些点分布在一个自左向右上
升的带型区域内,可以作一条自左向右上升的直
线,使各点尽可能均匀分布在直线两侧。可知高
个男生体重大的可能性较大。
图13.4-2
表达各点趋势的
直线可以画很多条,
一般来说,应选取使
各点到直线的距离之
和较小的那条。
某超市随机抽取了12天的日营业额与日利润,如下表所示:
日营业额/万元14.1 5.1 8.0 7.2 5.8 12.3 9.8 10.8 9.3 15.1 4.2 13.2
日利润/万元
2.8 1.0 1.4 1.3 1.4 2.2 2.0 1.8 1.9 2.3 1.1 2.3
(1)在平面直角坐标系中,以日营业额为横坐标,日利润为纵坐标,描出
这12个数对的对应点;
(2)在平面直角坐标系中,画出一条直线,使它能近似地反映这12天日利
润与日营业额的变化趋势;
(3)当这家超市的日营业额为16万元时,日利润约为多少万元(结果精确
到0.1万元)?
解:(1)将12个数对的对应点描在如图13.4-3所示的平面直角坐标系中。
图13.4-3
172
(2)在这个坐标系中画出的直线l即为所求。
(3)在直线l上取横坐标为16的点,其纵坐标为2.7。由此估计当这家超
市日营业额为16万元时,日利润约为2.7万元。
下表是某企业的一种产品的销售额与所投入的广告费的数据资料。
广告费/万元
5
4
8
2
5
7
销售额/万元
50
40
70
30
60
70
以广告费为横坐标,销售额为纵坐标,在平面直角坐标系中描点,并画一条直线近
似地反映销售额与广告费的变化趋势。
复习巩固
1.
某研究团队在某小区随机抽查了18户居民在去年第四季度的收入与支出情况,画
出了如图所示的数据图。在图中画出一条直线近似地表示这些居民收入与支出的
变化趋势。
(第1题)
拓展延伸
2.
某林场要了解某种乔木的树龄与胸径(指乔木离地面1.3
m处的直径)的关系,随
机抽取10株乔木调查,下表是这10株乔木的树龄和胸径的统计结果。
树龄/年
15
10
10
35
30
25
25
20
35
15
胸径/cm
15.0 11.1 10.8 33.6 29.1 24.3 24.9 19.8 33.0 15.9
以树龄为横坐标,胸径为纵坐标,在平面直角坐标系中描点,并画出能近似地
反映胸径与树龄之间变化趋势的一条直线,并利用这条直线估计树龄为40年时
这种乔木的胸径。
173
随机现象中变量之间的相关关系
随机现象中,各变量是相互联系的。变量之间的关系可能是确定关系,
也可能是不确定关系。函数关系就是一种确定关系。如在价格不变的情况
下,一种商品的销售额与销售量之间的关系;在银行利率不变的情况下,储
户利息与本金之间的关系等。在两个变量间的关系中,还有一种情况也很常
见:对于一个变量的取值,另一个变量的值与它有关,又不能完全确定。例
如,粮食作物产量与粮食作物施肥量之间的关系,人的身高、体重跟年龄的
关系,家庭支出与收入的关系,商店的销售额与顾客人数的关系等。针对两
个变量间的这种关系,人们展开了对它们相关性的研究。
对变量之间相关性的研究始于英国生物学家、统计学家高尔顿(Francis
Galton,
1822—1911)。他在研究人类身高的遗传问题时,发现矮个子父亲的
儿子比父亲高的可能性更大,而高个子父亲的儿子比父亲矮的可能性更大。
由此他提出儿子的身高有返回本种族平均身高的趋势。他把这一现象称为
“回归”,并在1886年正式提出了“回归”的概念,引发了人们对线性回归、
非线性回归等问题的进一步研究。
174
1.哪些统计量可以刻画一组数据的集中趋势? 哪些统计量可以刻画一组数
据的离散程度? 请举例说明它们的统计意义。
2.请举例说明加权平均数中“权”的含义,并谈谈加权平均数与以前学过
的平均数有何区别与联系?
3.箱线图是本章学习的一种新统计图,从箱线图中可以看到一组数据的哪
些信息?
4.如何对一组数据进行分组,可以使得组内数据尽量接近?
5.统计学中,常用样本估计总体,借助样本的哪些统计量可以估计总体的
哪些情况? 学完本章后,你对“用样本估计总体”有哪些新的理解?
6.用什么方式来反映随机现象的变化趋势? 把握随机现象的变化趋势有什
么意义?
175
复习巩固
1.
考察排气量相同的A,B,C三种品牌的汽车时,分别对价格、耗油量、最高车速、
外形这4项进行打分,得分情况如下表所示:
价格
耗油量
最高车速
外形
A
95
73
90
90
B
82
90
89
95
C
75
93
92
85
如果按40%,30%,20%,10%计总分,哪种品牌的汽车总分最高? 如果按
40%,
20%,20%,20%计总分呢?
2.
为了解学校在“爱我家园”绿化活动中新种植的100株树苗的生长情况,小亮和小莹
从中随机抽取了甲、乙两种树苗各10株,分别进行跟踪观察。1年后测量两种树苗
增长的高度(结果精确到1
cm),得到如下数据(单位:cm):
甲 14 13 15 14 13 11 13 10 13 14
乙 11 7 17 14 13 19 9 13 10 17
(1)分别计算两组数据的平均数、中位数、众数;
(2)哪种树苗的增长高度差异比较大?
3.
为了解某小区全民健身活动开展的情况,某志愿者随机调查了该小区50名成年居民
一周的体育锻炼时间,并将数据进行整理,绘制成如图所示的统计图。
(第3题)
求这50人一周体育锻炼时间的平均数、众数和四分位数。
176
4.
求数据10,13,12,16,14的平均数、离差平方和与方差。
拓展延伸
5.
蔬菜市场菠菜每千克的售价为:早上5元,中午4元,晚上3元。
如果某餐馆在早、
中、晚各从蔬菜市场买回60元钱的菠菜,则一天中买回的菠菜每千克平均多少元?
6.
某中学八年级共有
320
名学生,全部参加了晨跑健身计划。为了解锻炼的效果,随机
抽取了其中32名学生锻炼前后的长跑测试成绩,绘制成统计图(如图)。
(第6题)
看图回答下列问题:
(1)这32名学生锻炼前和锻炼后成绩的中位数所在等级分别是什么?
(2)这32名学生经过锻炼测试等级为“不合格”的百分比是下降还是上升?
(3)该校八年级学生中,锻炼后测试等级为“合格”与“优秀”的学生共约有多
少名?
探索创新
7.
某中学组织1
000名学生参加义务收集废旧电池的活动。
下表是对随机抽取的50名学
生收集废旧电池的数量进行统计的结果。
废旧电池数/节
3
4
5
6
8
人数/人
10
15
12
7
6
(1)这50名学生平均每人收集废旧电池多少节?
(2)据统计,本次收集的纽扣电池、7号电池、5号电池、1号电池的数量比为
3∶5∶8∶4。
另据资料显示,纽扣电池、7号电池、5号电池、1号电池每节产生
有害物质的量的比为1∶2∶3∶5,且一粒纽扣电池产生的有害物质最多能使500
吨水受到污染。本次活动中收集到的电池产生的有害物质最多能使多少吨水免受
污染?
8.你所在学校八年级学生的视力情况如何? 请设计调查方案,收集整理数据,并用恰当
的统计量加以分析说明。
177
漏刻计时器是历史最为悠久、使用时间最长的一种计时仪器,主要用于测
量时间的精确性。其原理基于容器内的水量随时间变化而改变,通过漏水时间
和水面高度的关系进行测量。“漏”是指留有小孔的漏壶,“刻”指的是时间刻
度。早期的漏刻计时器的设计较为简单,图1所示为考古挖掘出的汉代铜质泄
水型漏刻计时器。该漏刻计时器是一把带提梁的铜壶,壶的下边留一小孔,
上
部有一带刻度的漏箭,其透视结构如图2所示,托举漏箭的浮舟随壶中的水面
下降而下降,漏箭上的刻度显示时间。图3则是受水型漏刻计时器,该漏刻计
时器由一个泄水桶和一个受水壶构成,浮舟和计时浮箭均装在受水壶中,当水
流入时,计时浮箭随着水面的升高而显示相应的时间。
图1
图2
图3
精度是计时器质量的核心。如何确保漏刻计时器的计时精度呢?
活动1 简易漏刻计时器的制作与评价
请小组参考图1或图3所示的漏刻,用圆柱形、圆台形等容器(如矿泉水
瓶)制作一个简易漏刻计时器,要求该计时器至少能够计时5分钟。
记录计时器的漏水时间与水面高度的对应数据,并以漏水时间为横坐标,
178
水面高度为纵坐标建立平面直角坐标系,描出记录的数据点并用平滑曲线连接。
评价本组制作的漏刻计时器的计时精度,讨论计时精度高的漏刻计时器的
计时曲线特点,并分析影响漏刻计时器精度的因素。
活动2 高精度漏刻计时器的分析
图4
图4是元代“铜壶滴漏”。它由4个铜壶组成,从最顶
端自上而下的三个壶分别称为日壶、月壶和星壶,三个壶
均有出水孔;最下面的壶叫作受水壶,其上装有一铜尺,
铜尺上标有时辰刻度。在壶中放置一木制浮箭,随着水面
的上升可通过浮箭顶端与铜尺上的刻度对照而读出时间。
该铜壶制成于1316年,其精度达到了相当高的水平。
这个漏刻计时器计时精确度高的主要原因是什么? 请
结合本组的研究再制作一个简易漏刻计时器,检验该计时
器的精度。
展示本组制作的漏刻计时器。完成一份“漏刻计时器的制作与使用说
明”,说明中需要包括的内容有:
(1)材料与工具说明;
(2)制作程序说明;
(3)计时器使用说明。
从以下三个角度展开反思和评价:
(1)制作漏刻计时器前的分析与计划是否合理;
(2)记录实验数据的方法(包括小组合作的分工)是否可以优化;
(3)制作的漏刻计时器的实用性、美观性如何,能否提出改进和优化的建议。
在课堂上展示后,
结合老师评价、
同伴评价和自我评价,
进一步完善漏刻计
时器的制作方法、材料或工具,制作一个更完美的漏刻计时器。
179
“实施健康中国战略”是我国发展基本方
略中的重要内容,保持健康的体魄是国家、社
会、家庭及个人的共同责任。
适量的体育运动是保持健康的重要途径。
观察你身边的同学和亲友,他们经常做什么运
动? 他们的运动方案是否科学合理?
运动者在一定时间内的运动量及其承受的运动强度称为运动负荷。运动负
荷是体育与健康监测的重要内容,适当的运动负荷水平是科学运动的关键。运
动负荷过大,容易造成身体疲劳,引起厌烦和畏难情绪;运动负荷偏小,则无
法达到锻炼身体和增强体质的目的。
运动量和运动强度共同反映运动负荷的水平,而心率则是衡量运动强度的
重要指标。
心率与运动强度的关系
心率指的是每分钟心脏跳动的次数。有关研究证实,心率变化范围介
于110~180(单位:次/min)时,心率与运动强度之间的变化趋势是一致的。
因此,可以把运动时的心率作为描述运动强度的指标。
靶心率(也称目标心率)是判断有氧运动的运动强度的常用指标,其计算
公式为:
靶心率= [(HRmax-HRrest)×Q]+HRrest
①
180
在①中,HRmax 表示最大心率,常用估算公式为:HRmax=220-年龄;
HRrest表示安静时的心率,Q (0≤Q≤1)表示运动强度。一般分别计算Q
取60%和80%时靶心率的值,这两个值之间的范围是运动强度适宜的心率
范围。一般来说,若运动时心率低于靶心率的下限,则运动强度过低;若运
动时心率高于靶心率的上限,则运动强度过高,过高过低都不适宜。
活动1 身体基本数据
(1)收集个人基本数据,完成下表。
姓名
年龄身高体重肺活量HRrest HRmax
运动强度适宜的靶心率范围
(2)收集全班同学的基本数据,运用统计知识分析这些数据,初步评价全
班同学的身体状况,给出适合绝大多数(80%以上)同学运动的靶心率建议。
活动2 个人运动强度
每位同学选择分析不同运动项目的运动强度,
为自己以后的运动提供参考。
(1)记录自己在上体育课时的心率变化情况:
①
测量并记录课前安静心率;
②
记录不同类型运动后的即刻心率,即测量
运动结束后10
s的心跳次数,转换为一分钟
心率。
(2)如果有可穿戴监测设备,可利用其中的
数据绘制心率变化折线图,其中不同运动的折线
线型要有所区别。
目前市面上有很多可
穿戴监测设备(如智能手
环、智能手表等),都可以
有效地实时监测心率,这
得益于传感器技术的发
展。查阅互联网,了解更
多记录心率的方法。
(3)结合靶心率、运动强度、实测心率等数据,比较个人在不同运动项目
中的运动强度。
活动3 班级运动项目评价
在我国现行的《中小学生体育锻炼运动负荷卫生标准》中,规定测定学校
课内外体育运动是否符合健康标准的方法为:考虑身体发育、健康状况和体育
成绩将学生分为上、中、下三个群体,分别随机抽取1,3,1名,即共5名学
181
生,测定每名学生体育课和课外体育活动后的即刻10
s心率,换算成一分钟心
率。实测心率平均数在120~200 次/min 范围内为运动负荷适宜,低于
120次/min为运动负荷过小,高于200次/min为运动负荷过大。
班级分组选择体育课或课外体育活动的某项运动,参考上面的方法,收集
同学在该项运动后的心率数据。从健康的角度,用所学的统计知识对该项运动
进行分析与评估,并给出科学运动建议。
在课堂上展示“科学运动建议”,应包含以下内容:
(1)完整的数据收集、整理、描述、分析等过程;
(2)实践过程记录展示;
(3)个人和班级同学科学运动建议;
(4)活动感受和总结。
交流汇总,结合数据给出班级同学运动项目的科学化建议。
从运动强度的角度为某位家庭成员制定运动方案。
可以从以下三个角度展开反思:
(1)数据是否真实,数据分析方法是否合理;
(2)数据收集、描述、分析的完整过程能否优化;
(3)检验结果,提出改进方案。
在课堂上展示后,结合老师、同伴和自我的评价,进一步优化班级运动的
科学规划方案。
后记
本套教科书依据《义务教育数学课程标准(2022年版)》编写完成。
本套教科书全面贯彻党的教育方针,落实立德树人根本任务,践行《义务教
育数学课程标准(2022年版)》的课程理念,以“三会”为主线,注重培养学生的
学习兴趣和提升学生的核心素养。通过“观察与发现”“思考与交流”“概括与
表达”等栏目,引导学生用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实
世界、用数学的语言表达现实世界。本套教科书的编写凝聚了数学教育理论最
新成果和广大数学教育工作者的智慧。
在本套教科书的编写过程中,我们得到了关心教材建设的专家、学者以及
一线教师的悉心指导和倾力帮助。左丽华、姜仲平、冯树军、赵鹏等同志参与
了本书初稿的编写。我们通过多种渠道与教科书选用作品的作者进行了联系,
得到了他们的大力支持和配合。在此,我们一并表示衷心的感谢!
欢迎广大师生和家长在使用本套教科书的过程中,提出宝贵的意见和建议。
意见反馈请发邮箱:qingbanjiaocai@citymedia.cn。
编 者
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国
环
境
标
志
C
H
I
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A
E
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