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2026 数量关系理论刷题讲义
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目
录
第一章
工程问题...........................................................................................................................1
1. 赋值型..................................................................................................................................1
2. 综合条件型..........................................................................................................................3
3. 相对效率型..........................................................................................................................4
第二章
经济利润问题...................................................................................................................5
1. 基本公式..............................................................................................................................5
2. 分段计费..............................................................................................................................6
3. 二次函数类..........................................................................................................................7
第三章
最值构造问题...................................................................................................................8
1. 数列构造..............................................................................................................................8
2. 最不利..................................................................................................................................9
第四章
行程问题.........................................................................................................................10
1. 基本公式............................................................................................................................10
2. 火车过桥............................................................................................................................10
3. 流水行船............................................................................................................................11
4. 相遇、追及........................................................................................................................11
5. 多次（两端、单端）........................................................................................................12
6. 比例差值型........................................................................................................................13
7. 匀变速运动........................................................................................................................14
第五章
和差倍比问题.................................................................................................................15
1. 标记结构、关系词............................................................................................................15
2. 整体与部分........................................................................................................................17
第六章
倍数特性与不定方程.....................................................................................................18
1. 比例倍数型........................................................................................................................18
2. 赋值型................................................................................................................................19
3. 不定方程............................................................................................................................20
4. 不等式................................................................................................................................21
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第七章排列组合问题...................................................................................................................23
1. 分步型................................................................................................................................23
2. 分类分步型........................................................................................................................24
3. 反向思维............................................................................................................................25
4. 捆绑法................................................................................................................................25
5. 插空法................................................................................................................................26
6. 插板法................................................................................................................................26
7. 平均分组............................................................................................................................26
8. 错位排列............................................................................................................................27
第八章
概率问题.........................................................................................................................28
1. 基本概率............................................................................................................................28
2. 多概率型............................................................................................................................29
第九章
几何问题.................................................................................................................31
1. 几何公式............................................................................................................................31
2. 均值不等式........................................................................................................................34
3. 等比例放缩........................................................................................................................35
第十章
容斥问题.........................................................................................................................37
1. 两集合型............................................................................................................................37
2. “只”符合........................................................................................................................38
3. 三集合“两层”型............................................................................................................38
4. 三集合“既又”型............................................................................................................38
第十一章
时间类问题.................................................................................................................40
1. 星期日期问题....................................................................................................................40
2. 年龄问题............................................................................................................................41
3. 钟表问题............................................................................................................................41
第十二章
等差数列与溶液问题.................................................................................................43
1. 等差数列............................................................................................................................43
2. 等比数列............................................................................................................................44
3. 溶液问题............................................................................................................................44
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1
第一章
工程问题
基本公式：工作总量=工作效率×工作时间
解题套路：一量赋值先后、总，擅长相对后帮忙
1. 赋值型
【例1】（2016 广东）一批零件若交由赵师傅单独加工，需要10 天完成；若交由孙师
傅单独加工，需要15 天完成。两位师傅一起加工这批零件，需要（
）天完成。
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【例2】（2021 广东）为支持“一带一路”建设，某公司派出甲、乙两队工程人员出
国参与一个高铁建设项目。如果由甲队单独施工，200 天可完成该项目；如果由乙队单独
施工，则需要300 天。甲、乙两队共同施工60 天后，甲队被临时调离，由乙队单独完成剩
余任务，则完成该项目共需（
）天。
A. 120
B. 150
C. 180
D. 210
【例3】（2024 联考）有一批零件，如果甲车间单独完成需要50 小时，乙车间单独完
成需要30 小时，在甲车间单独完成若干小时后，由于要承担其他紧急任务，剩余的任务由
乙车间继续完成，这样一共用了42 小时。问乙车间完成的零件量占这批零件总量的：
A. 3/4
B. 3/5
C. 2/5
D. 1/3
【例4】（2024 联考）甲、乙两工厂共同完成某个生产订单需要12 天。现两工厂共同
生产8 天后，再由乙单独生产7 天，一共完成了订单总量的90%。若整个订单由乙单独生
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产，那么需要多少天完成？
A. 20
B. 23
C. 26
D. 30
【例5】（2025 联考）甲生产线的效率是乙生产线的2 倍，是丙生产线的3 倍。某日
8：00 甲生产线先开始生产，此后乙、丙生产线也依次开始生产，9：00 时甲的当日产量是
乙的6 倍，10：00 时乙的当日产量是丙的4 倍。问丙是几点开始生产的？
A. 9：30
B. 9：20
C. 9：15
D. 9：10
【例6】（2020-725 联考）某医疗器械公司为完成一批口罩订单生产任务，先期投产
了A 和B 两条生产线，A 和B 的工作效率之比是2∶3，计划8 天可完成订单生产任务。
两天后公司又投产了生产线C，A 和C 的工作效率之比为2∶1。问该批口罩订单任务将提
前几天完成?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【例7】（2021 北京）农场使用甲、乙两款收割机各1 台收割一片麦田。已知甲的效
率比乙高25%，如安排甲先工作3 小时后乙加入，则再工作18 小时就可以完成收割任务。
问如果增加1 台效率比甲高40%的丙，3 台收割机同时开始工作，完成收割任务的用时在
以下哪个范围内？
A. 8 小时以内
B. 8—10 小时之间
C. 10—12 小时之间
D. 12 小时以上
【例8】（2018 江西）甲、乙、丙三人工作的效率比为7∶9∶8，现将A、B 两项工作
量相同的工程交给这三个人，甲负责A 工程，乙负责B 工程，丙作为机动参与A 工程若干
天后转而参与B 工程，两项工程同时开工，耗时8 天同时结束，问丙在A 工程中参与施工
多少天？
A. 3
B. 4
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3
C. 5
D. 6
【例9】（2021 年四川下）某项工程，甲、乙、丙三个工程队如单独施工，分别需要
12 小时、10 小时和8 小时完成。现按“甲—乙—丙—甲……”的顺序让三个工程队轮班，每
队施工1 小时后换班，问该工程完成时，甲工程队的施工时间共计：
A.2 小时54 分
B.3 小时
C.3 小时54 分
D.4 小时
2. 综合条件型
【例10】（2025 联考）某单位接到一项任务，探访所在辖区的商户了解相关信息。
原计划由5 人10 天完成探访200 家商户工作任务，工作5 天后，由于工作调整，需要增加
探访辖区的300 家商户。假定所有人工作效率相同，若仍要求在原计划时间之内完成，则
需要增加的人数为：
A. 10 人
B. 15 人
C. 20 人
D. 25 人
【例11】（2025 国家）甲、乙、丙3 台收割机每小时均能收割2 亩小麦，三台机器上
午先后开始收割工作，12：00 时甲收割的面积是乙的1.5 倍，且比丙多收割6 亩，16：00
时3 台收割机共收割了50 亩，问乙是何时开始工作的？
A. 6：00
B. 7：00
C. 8：00
D. 9：00
【例12】（2025 联考）假定地球每年新生成的资源固定不变且人均资源消耗量恒定，
则地球上的资源可供100 亿人消耗100 年或可供80 亿人消耗300 年。为保证人类的可持续
发展，要使地球上的资源可供人类永久消耗，最多可供人数为：
A. 50 亿人
B. 60 亿人
C. 65 亿人
D. 70 亿人
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4
【例13】（2020 浙江）火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分钟增
加排队购票的乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，若开放3 个窗口，需
耗时90 分钟，若开放5 个窗口，则需耗时45 分钟。问如果开放6 个窗口，需耗时多少分
钟?
A. 36
B. 38
C. 40
D. 42
3. 相对效率型
【例14】（2020 江苏）梳理甲、乙两个案件的资料，张警官单独完成，分别需要2 小
时、8 小时；王警官单独完成需要1 小时、6 小时。若两人合作完成，要的时间至少是：
A. 3 小时
B. 4 小时
C. 5 小时
D. 6 小时
【例15】（2025 国家）某种机械由3 个A 模块和2 个B 模块组成。甲车间每天可生
产6 个A 模块或3 个B 模块，乙车间每天可生产1 个A 模块或2 个B 模块。现两车间合
作生产40 台该机械所需模块，问至少需要多少天？
A. 24
B. 26
C. 28
D. 30
参考答案：BDCDA
ACCCB
CDABC
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5
第二章
经济利润问题
解题套路：经济四式分段点，一多一少0 平均
1. 基本公式
（1）进价（成本）+利润=售价
（2）进价（1+利润率）=售价
（3）定价×折扣=售价
（4）总价=单价×数量
【例1】（2023 联考）某商场柜台出售一款小家电，如果按定价打九折出售可获得利
润70 元，如果按定价打九五折出售可获得利润100 元，这款小家电进货价格所在区间是
A.400-450 元
B.450-500 元
C.500-550 元
D.550-600 元
【例2】（2021 广东）某书店以每本30 元的价格购进一批书籍，按照每本50 元的价
格出售。售出
3
4后，某单位以每本40 元的价格将剩余书籍全部买下。经核算，书店出售这
批书籍共赚得420 元，则这批书籍总共有（
）本。
A.16
B.20
C.24
D.25
【例3】（2024 联考）某商家购进一批商品，每件成本为27 元，最初将商品定价为每
件40 元，该商家经过百分率相等的连续两次降价后，每件商品的利润率不超过20%。问每
次降价的百分率至少是：
A. 20%
B. 15%
C. 10%
D. 5%
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2. 分段计费
特征：不同阶段，收费标准不同
套路：先定分段点，再讨论范围
【例4】（2021 联考）假设个人出版著作所得稿费纳税方法如下：（1）稿费不超过
800 元不纳税；（2）超过800 元但不超过4000 元的部分纳税10%；（3）超过4000 元的
部分纳税15%。已知张教授出版一部著作，纳税620 元，则张教授的这笔稿费是多少元？
A. 9000
B. 8000
C. 7000
D. 6000
【例5】（2023 联考）某智慧公共停车场的收费标准如下：停车不超过15 分钟，不收
费；超过15 分钟但不超过60 分钟，按1 小时计，收费5 元；超过1 小时后，超过的部分
按每30 分钟4 元收费（不足30 分钟，按30 分钟计）。若李先生支付停车费17 元，则他
停车的时长可能为：
A.2 小时
B.2 小时15 分钟
C.2 小时45 分钟
D.3 小时
【例6】（2019 北京）王先生购买的医疗保险报销规定为：当年花费1300 元（含）以
内的部分全部自付，超出1300 元部分自付10%，其余部分由保险支付。王先生在2018 年
第一次到医院看病时，自己支付了960 元，第二次看病自付了520 元，则王先生第二次看
病时医院共收费：
A. 1800 元
B. 1960 元
C. 2140 元
D. 2600 元
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3. 二次函数类
特征：一多一少，问最值
套路：N次调整列最值，赋0平均得最值
【例7】（2025 联考）某商场开展减价促销活动，每件商品进价5 元，售价10 元，
销出5 件。若每降价1 元，则销量增加5 件。问降价多少元后，总利润不变？
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【例8】（2020 江苏）某商品的进货单价为80 元，销售单价为100 元，每天可售出
120 件，已知销售单价每降低1 元，每天可多售出20 件。若要实现该商品的销售利润最大
化，则销售单价应降低的金额是：
A. 5 元
B. 6 元
C. 7 元
D. 8 元
【例9】（2022 联考）北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十分畅销。
销售期间某商家发现，进价为每个40 元的“冰墩墩”，当售价定为44 元时，每天可售出
300 个，售价每上涨1 元，每天销量减少10 个。现商家决定提价销售，若要使销售利润达
到最大，则售价应为：
A.51 元
B.52 元
C.54 元
D.57 元
参考答案：BCCDB
CDCD
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8
第三章
最值构造问题
1. 数列构造
识别特征：总数不变，……排名最高（最低、第N 名）的……至少（至多）
解题步骤：定位、构造、加和
注意：相同、不同、小数取整
口诀：排名第N 问最值，定位构造算加和
【例1】（2019 江西）某高校计划招聘81 名博士，拟分配到13 个不同的院系，假定
院系A 分得的博士人数比其他院系都多，那么院系A 分得的博士人数至少有多少名？
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【例2】（2018 四川下）企业今年从全国6 所知名大学招聘了500 名应届生，从其中
任意2 所大学招聘的应届生数量均不相同。其中从A 大学招聘的应届生数量最少且正好为
B 大学的一半。从B 大学招聘的应届生数量为6 所大学中最多的，则该企业今年从A 大学
至少招聘了多少名应届生？
A. 48
B. 47
C. 46
D. 45
【例3】（2023 联考）某小区物业准备了230 盒口罩免费派发给10 栋楼，要求任意两
栋楼派发的口罩数量都不相同，但最多相差不超过1 倍。假设口罩不拆盒发放，那么派发
口罩数量最少的那栋楼最少可派发口罩∶
A.18 盒
B.15 盒
C.14 盒
D.12 盒
【例4】（2020-725 联考）从某物流园区开出6 辆货车，这6 辆货车的平均装货量为
62 吨，已知每辆货车载重量各不相同且均为整数，最重的装载了71 吨，最轻的装载了54
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吨。问这6 辆货车中装货第三重的卡车至少装载了多少吨?
A. 59
B. 60
C. 61
D. 62
【例5】（2024 联考）部队射击比赛中，5 名参赛的战士共击中了88 次目标。已知任
意2 人击中的目标数量均互不相同，问射击成绩排前两名的战士至少击中了多少次目标？
A. 37
B. 39
C. 58
D. 82
2. 最不利
识别特征：有N 种分类，至少……保证（一定）有某种情况出现
解题步骤：（所有）不利值+1
口诀：至少保证最倒霉，不利所有再加1
【例6】（2023 山东）一个袋子里装了50 个苹果，5 个香蕉，30 个橘子和50 个梨，
若每次从袋子里随机取出1 个水果，问至少需要取多少次能肯定拿出10 个相同种类的水
果？
A.10
B.35
C.33
D.32
【例7】（2023 浙江）某部门举行年会抽奖活动。抽奖箱里有80 个抽奖券，共20 个
不同的数字，每个数字均出现4 次，且分别对应一份礼品，不同的数字对应的礼品不同。
每人当天限抽1 次。那么最少多少人当天参加抽奖活动，才能保证至少有3 人领取的礼品
相同?
A.41
B.42
C.61
D.62
参考答案：CBCBB
CA
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10
第四章
行程问题
1. 基本公式
基本公式：路程= 速度× 时间
【例1】（2022 四川下）从甲地到乙地全程为9 千米。其中前
1
6为下坡路；剩下路程中，
前
2
3为平路，后
1
3为上坡路。小张从甲地到乙地，下坡路转平路、平路转上坡路时各休息5
分钟，下坡路、平路和上坡路的用时之比为1：4：5（休息时间不计）。已知他走上坡路
的速度为2 千米/小时，则其全程用时为：
A.2 小时
B.2 小时30 分钟
C.2 小时40 分钟
D.3 小时
【例2】（2025 国家）张某8：00 开车从A 地出发，在A、B 两地之间往返行驶。8：
30 第一次到达A、B 之间的C 点时加速30%继续行驶，并于9：00 第二次到达C 点。问
AC 距离是BC 距离的多少倍？
A. 10/13
B. 13/10
C. 20/13
D. 13/5
2. 火车过桥
1. 完全通过桥（隧道等）的距离为：S桥+ S车
2. 完全在桥上（隧道内）的距离为：S桥- S车
【例3】（2023 联考）某公路隧道长1500 米，一辆公共汽车匀速从隧道通过，测得公
共汽车从开始进入隧道到车身完全驶出隧道用时151 秒，整辆公共汽车完全在隧道里的时
间为149 秒，则公共汽车的车身长度和行驶速度分别为：
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11
A.8 米；5 米／秒
B.10 米；10 米／秒
C.10 米；15 米／秒
D.12 米；20 米／秒
3. 流水行船
顺水航行：路程S = (V船+ V水) × t顺
逆水航行：路程S = (V船−V水) × t逆
【例4】（2020 广东）A、B 两座港口相距300 公里且仅有1 条固定航道，在某一时刻
甲船从A 港顺流而下前往B 港，同时乙船从B 港逆流而上前往A 港，甲船在5 小时之后
抵达了B 港，停留了1 小时后开始返回A 港，又过了6 小时追上了乙船。则乙船在静水中
的时速为（
）公里。
A. 20
B. 25
C. 30
D. 40
4. 相遇、追及
相遇问题：共同S = (V甲+ V乙) × t相遇
追及问题：追及S = (V甲−V乙) × t追及
【例5】（2019 新疆兵团）甲、乙两车分别以30 公里/小时和40 公里/小时的速度同时
匀速从A 地开往B 地，丙车以50 公里/小时的速度匀速从B 地开往A 地。A、B 两地距离
120 公里。问丙车遇到乙车后多久会遇到甲车？
A. 8 分钟
B. 10 分钟
C. 12 分钟
D. 15 分钟
【例6】（2024 联考）c 地为a、b 两地直线道路上的一点，甲、乙两人9：00 分别自
a、b 两地同时出发匀速相向而行，甲的速度是乙的1.5 倍，甲9：40 到达c 地休息10 分钟
后继续向b 地前进；乙全程不休息，在10：40 到达c 地，问甲、乙相遇的时间为：
A. 10：00
B. 10：10
C. 10：20
D. 10：30
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12
【例7】（2025 国家）甲和乙从环形跑道的同一点出发，向相反方向匀速慢跑，乙的
速度是甲的一半。两人3 分钟后第一次相遇，此后乙加速又跑了正好半圈后和甲第二次相
遇。问两人第一次到第二次相遇间隔了多长时间？
A. 2 分10 秒
B. 2 分15 秒
C. 2 分20 秒
D. 2 分30 秒
【例8】（2019 国家）甲车上午8 点从A 地出发匀速开往B 地，出发30 分钟后乙车
从A 地出发以甲车2 倍的速度前往B 地，并在距离B 地10 千米时追上甲车。如乙车9 点
10 分到达B 地，问甲车的速度为多少千米/小时？
A. 30
B. 36
C. 45
D. 60
5. 多次（两端、单端）
两端出发：共同S = (2n −1) × SAB
单端出发：共同S = (2n) × SAB
【例9】（2019 江西）甲、乙两公司相距2000 米，某日上午8：30 小明从甲公司出发
到乙公司，小华同时从乙公司出发到甲公司，两人到达对方公司后分别用8 分钟时间办事，
然后原路返回。假设小明的速度为4km/h，小华的速度为5km/h，则两人第二次相遇的时间
是几点？
A. 9：18
B. 9：22
C. 9：24
D. 9：28
【例10】（2021 广东）小王和小李沿着绿道往返运动，绿道总长度为3 公里。小王每
小时走2 公里；小李每小时跑4 公里。如果两人同时从绿道的一端出发，则当两人第7 次
相遇时，距离出发点（
）公里。
A. 0
B. 1
C. 1.5
D. 2
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13
【例11】（2019 青海）A、B 二人开车同时从甲地到乙地，A 到达乙地后立即返回，
在距乙地64 千米处与B 相遇，已知A 每小时行40 千米，B 每小时行24 千米，求甲乙两
地相距多少千米？
A. 192
B. 256
C. 320
D. 512
【例12】（2023 联考）为加快推进县域交通基础设施内畅外联、互联互通，A、B 两
地新修建了一条高速公路。甲、乙两辆汽车在这条高速公路上同时从A、B 两地相向开出，
甲车每小时行驶74 千米，乙车每小时行驶65 千米，两车在距中点18 千米处相遇。这条连
通A、B 两地的高速公路全长是
A.139 千米
B.256 千米
C.278 千米
D.556 千米
6. 比例差值型
1.比例关系：1.时间相同，路程与速度成正比
2.速度相同，路程与时间成正比
3.路程相同，速度与时间成反比
2.识别特征：比例关系（一般为速度）+差值（一般为时间）
3.解题步骤：先求速度比，再求时间比，利用时间差求时间，最后求其他
【例13】（2023 广东）小明骑车从甲镇前往乙镇。如果骑车的速度为每小时20 千米，
那么将准时到达。如果骑车的速度为每小时24 千米，那么将提早5 分钟到达。则甲镇到乙
镇的距离为（
）千米。
A.8
B.10
C.12
D.16
【例14】（2023 北京）从A 地到B 地是下坡路，一辆车从A 地开往B 地需要三小时，
从B 地开往A 地需要四小时。已知这辆车下坡速度比上坡速度快15 千米/小时，则A、B
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14
两地之间的距离是多少千米？
A.120
B.180
C.240
D.300
7. 匀变速运动
识别特征：匀加速、匀减速
解题套路：初末速度求平均
【例15】（2025 联考）甲乙两辆车相距200 米，同向同时沿直线出发，乙保持5 米/
秒的速度匀速前行，甲从速度为零起步做匀加速运动追赶乙，10 秒后恰好追上乙，则甲在
追上乙时的速度为：
A. 10 米/秒
B. 30 米/秒
C. 50 米/秒
D. 70 米/秒
【例16】（2025 联考）小张和小赵分别从甲、乙两地同时出发前往对方的出发地。
小张出发时的速度是小赵的一半，两人匀速行进1 小时后迎面相遇。此后小张开始均匀加
速，最终比小赵晚到达1 小时。问小张到达时的速度是小赵到达时速度的多少倍？
A.
B.
C.
D.
参考答案：CCBCB
BBAAD
BDBBC
C
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15
第五章
和差倍比问题
1. 标记结构、关系词
一、加法
特征：加、和、共、A比B多、快、高、贵、增加、扩大、上涨、上升N……
特定词汇：加入、放入、调入、添加……
二、减法
特征：减、差、相差、A比B少、慢、低、便宜、减少、下跌、缩小、下降N、除了……
外、以外、未、不是、非、剩下……
特定词汇：消耗、损毁、提前、取出、调出、退出、用掉、离开、外出、请假、休息、
缺少、节省、抛锚……
三、乘法
特征：乘、积、翻番、平均、每、是（为）n倍（n%）、的比例为%、
比……[增加（减少）、上升（下降）、上涨（下跌）、快（慢）、多（少）、高（低）、
扩大（缩小）]n%
四、除法
特征：除、整除、商、（部分）占（整体）的b/a、n%
五、不等
特征：大于、小于、超过、不到、至少、至多、不高于、不低于、最大、最小、最多、
最少……
口诀：加减乘除做标记，条件并列和总分
【例1】（2022 联考）某方舱医院配有1000 张床位，现已接收新冠确诊患者200 名，
并按床护比（护士数与床位数的比值）0.6：1 配齐了护士人员。因疫情发展迅速，该医院
又收治了700 名患者，此时床护比下调为0.2：1，那么还需增加护士：
A.80 人
B.60 人
C.40 人
D.20 人
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16
【例2】（2024 国考）某地为工业企业提供相当于营业额2%的税收优惠。当地的A
工厂原本预计当年会产生相当于营业额0.8%的亏损，在享受优惠政策后预计可以盈利300
万元。问A 工厂当年的预计营业额为多少亿元？
A. 2.5
B. 3
C. 3.6
D. 4
【例3】（2025 国家）运送一批货物，第一趟派出10 辆大车，第二趟又增派15 辆小
车，运输量比第一趟高50%。问每辆大车的载货量是小车的多少倍？
A. 3
B. 2.5
C. 2
D. 1.5
【例4】（2025 联考）某产品甲、乙两个经销商第一季度销售总额为200 万元。第二
季度，甲、乙的销售额比第一季度分别高20%、25%，且甲的销售额比乙高44 万元。问上
半年甲的销售额比乙高多少万元？
A. 72
B. 76
C. 80
D. 84
【例5】（2025 国家）某企业今年3 月节电量是1 月的1.2 倍、2 月的1.5 倍，已知2
月节电量比1 月少4 万度，问今年一季度企业节电量为多少万度？
A. 48
B. 52
C. 56
D. 60
【例6】（2024 联考）某农产品基地对外供应一批农副产品。假设这批农副产品每天
都有定量的自然损耗，如果提货方每天运走1.5 吨产品，则50 天运完；如果提货方每天运
走2 吨产品，则40 天运完。那么这批农副产品有多少吨?
A. 75
B. 80
C. 100
D. 110
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17
【例7】（2025 联考）甲、乙、丙3 名研究生本学期已阅读了159 篇本专业的学术论
文。已知甲的阅读量比乙的一半多28 篇，丙的阅读量比甲和乙的平均阅读量多18 篇。问
乙本学期至少还要再阅读多少篇，阅读量才能比丙多50%以上？
A. 42
B. 48
C. 54
D. 60
【例8】（2025 联考）甲乙两部门组织户外团建，共设A、B、C 三项活动。甲部门
每人三项活动均参加1 次，乙部门每人任选2 项不同活动各参加1 次。已知A、B、C 三项
活动分别有18 人、16 人、15 人参加，问甲部门成员至多有多少人?
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
2. 整体与部分
【例9】（2020-725 联考）春节期间，省图书馆邀请多位书法老师免费为读者书写春
联。现场书写的春联中有188 幅不是A 老师书写的，有219 幅不是B 老师书写的，A、B
两位老师今年一共书写了311 幅春联。问B 老师今年一共书写了多少幅春联?
A. 208
B. 171
C. 140
D. 126
【例10】（2025 浙江）农学院学生采集了甲、乙两个品种的水稻样本各若干份，其中
36 份为有效样本。已知乙品种采集样本30 份，那么甲品种的有效样本比乙品种的无效样
本：
A. 多6 份
B. 多12 份
C. 少6 份
D. 少12 份
【例11】（2021 浙江）某次考试有n 名考生参加，所有考生的成绩都不同。成绩比小
张好的考生和成绩比小李差的考生人数之和为x，成绩比小张差的考生和成绩比小李好的
考生人数之和为1.5x。问n 的值为：
A. 1.25x－1
B. 1.25x＋1
C. 1.25x－2
D. 1.25x＋2
参考答案：BAADD
CCCCA
B
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18
第六章
倍数特性与不定方程
1. 比例倍数型
甲
乙=
�
�等价于甲= 乙×
�
�，则甲是�的倍数，乙是�的倍数
（甲＋乙）是(�+ �)的倍数，（甲－乙）是(�−�)的倍
【例1】（2021 联考）不超过100 名的小朋友站成一列。如果从第一人开始依次按1，
2，3，……，9 的顺序循环报数，最后一名小朋友报的是7；如果按1，2，3，……，11 的
顺序循环报数，最后一名小朋友报的是9，那么一共有多少名小朋友？
A. 98
B. 97
C. 96
D. 95
【例2】（2024 联考）某单位为解决职工暑期“带娃难”的问题，开设了暑托班。开班
时男孩与女孩的比例为3：4，后来有2 个男孩、1 个女孩退出暑托班，此时男孩与女孩的
比例为2：3。那么开班时女孩有多少人?
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
【例3】（2025 国家）甲、乙、丙、丁四个部门共有210 名员工，且甲部门员工数比
丁部门多10 人。现乙部门调动20 名员工到丙部门且其剩余员工并入丁部门后，甲、丙、
丁三个部门的员工数之比为3：3：4。问原乙部门有多少名员工？
A. 41
B. 46
C. 51
D. 56
【例4】（2025 联考）某绿色有机农场把61600 平方米耕地划分为玉米、大豆、稻谷
三个作物区，玉米和大豆的面积比是7：2，大豆和稻谷的面积比是6：1，则玉米的面积是
多少平方米？
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19
A. 46200
B. 47200
C. 48200
D. 49200
【例5】（2024 联考）在一次选举中，某候选人需得到全部选票的才能当选。当统计
到的选票时，他已得到当选所需的。问他若能当选还要得到剩下选票中的：
A.
B.
C.
D.
【例6】（2024 联考）一堆粮食第一天取走原计划的
3
10，第二天取走剩余的
2
3，第三天
取走50 吨，最终比原计划多取走15 吨，问这批粮食原计划要取走多少吨？
A．50
B．100
C．120
D．150
2. 赋值型
【例7】（2006 北京）小明和小方各走一段路程，小明走的路程比小方多1
5，小方用的
时间比小明多1
8，小明和小方的速度之比是：
A. 37:14
B. 27:20
C. 24:9
D. 21:4
【例8】（2024 联考）甲、乙二人在某项工作结束后，统计数据显示：甲比乙的工作
量多，乙比甲所用的时间多，问甲、乙二人工作效率的比值所在范围的区间是：
A. (1，1.5]
B. (1.5，2]
C. (2，2.5]
D. (2.5，3]
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20
3. 不定方程
识别特征：1个等式，至少2个未知数
解题套路：优先代入排除；不利于代入时，则看系数倍数（2、3、5）特性
【例9】（2023 联考）某学校组织学生分组参观红色教育基地，租赁了若干辆客车。
其中，一辆大型客车可容纳5 个小组，一辆中型客车可容纳3 个小组，大型客车比中型客
车多容纳16 个小组，那么至少租赁了大型客车和中型客车各多少辆？
A.3；5
B.5；3
C.4；3
D.5；6
【例10】（2020 广东）某部门正在准备会议材料，共有153 份相同的文件，需要装到
大小两种文件袋里送至会场，大的每个能装24 份文件，小的每个能装15 份文件。如果要
使每个文件袋都正好装满，则需要大文件袋（
）个。
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
【例11】（2025 联考）某公司搬家需打包运走电脑主机和显示器各n 台。有两种打
包方式：一种是一箱装入6 台主机和4 台显示器，另一种是一箱装入3 台主机和8 台显示
器。已知公司所有的电脑主机和显示器正好装满若干箱，问n 可能的最小值为：
A. 18
B. 24
C. 30
D. 36
【例12】（2025 联考）甲和乙两个科研单位共有99 名工作人员。其中甲单位研究人
员占本单位工作人员总数的75%，乙单位研究人员占本单位工作人员总数的88%。问甲单
位的非研究人员比乙单位的非研究人员：
A. 少不到5 人
B. 少5 人以上
C. 多不到5 人
D. 多5 人以上
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【例13】（2022 江苏）某企业年终评选了30 名优秀员工，分三个等级，分别按每人
10 万元、5 万元、1 万元给与奖励。若共发放奖金89 万元，则获得1 万元奖金的员工有：
A.14 人
B.19 人
C.20 人
D.21 人
【例14】（2024 联考）商店销售甲、乙、丙、丁四种商品，每件分别盈利15 元、9
元、4 元和1 元。某日销售这四种商品共40 件，共盈利201 元。四种商品每种至少销售1
件，且甲、丁商品销量相同。问当天丙商品的销量为多少件？
A. 21
B. 27
C. 29
D. 31
4. 不等式
解题套路：倍数特性定范围
【例15】（2025 联考）某工程项目要招聘100 名甲乙两个岗位的工人，月工资分别
为3000 元和4000 元，且招聘的乙岗位工人数不少于甲岗位的2 倍。为使月付工资最少，
则甲乙两个岗位招聘工人数分别为：
A. 31 人，69 人
B. 32 人，68 人
C. 33 人，67 人
D. 34 人，66 人
【例16】（2008 湖南）某班学生不到50 人，在一次考试中，有1
7 人得优，1
3 人得良，
1
2 人及格，其余的均不及格，那么不及格的人数是：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【例17】（2024 联考）大学生创业主要集中在高科技、智力服务、连锁加盟和自媒体
运营四个领域。某学院今年选择创业的大学毕业生不到50 人，其中选择智力服务领域、连
锁加盟领域和自媒体运营领域的分别占1
7 ，1
2 和1
3 。那么该学院今年选择高科技领域创业的
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22
大学毕业生有多少人?
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
参考答案：BDCAA
DBABA
DABDC
AA
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23
第七章
排列组合问题
1. 区分排列、组合：
第一步：先从（整体m）中选出（符合条件n）的部分
第二步：再任选两个互换位置，在符合的条件下
若有区别，则用排列表示，记为Am
n ；若无区别，则用组合表示，记为Cm
n
2. 计算规则：
Am
n = m × (m −1) × (m −2) × ⋯(m −n + 1)，从m 开始，连续n 个数相乘
Cm
n =
Am
n
n×(n−1)×⋯×1，分母为连续n 个数相乘
【例1】（2019 广东）乡镇干部小李今天有3 项不同的工作要完成，则他今天完成工
作的顺序有（
）种。
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
1. 分步型
乘法原理：完成一件事若需要N步（先……再……），则将多步的值相乘
【例2】（2023 联考）冬奥会短道速滑比赛，有3 个国家4 名运动员参加比赛，其中
2 名中国运动员，已知中国运动员始终处于领滑位置，则运动员的排序共有：
A.12 种
B.16 种
C.18 种
D.20 种
【例3】（2020-822 联考）某公司现有6 箱不同的水果，安排三个配送员送到A、B、
C 三个不同的仓储点，其中A 地1 箱，B 地2 箱，C 地3 箱，问配送方式有：
A. 60 种
B. 180 种
C. 360 种
D. 420 种
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24
【例4】（2021 联考）A、B、C 三个社区需要建设若干个5G 基站，三个社区可供选
择的建设基站地点分别有2 个、4 个、5 个，现从A、B、C 三个社区分别选取1、2、3 个
地点随机分配给甲、乙、丙三个施工队进行建设，要求每个施工队只能承接一个社区，则
承建方式有：
A. 720 种
B. 480 种
C. 360 种
D. 120 种
2. 分类分步型
加法原理：
完成一件事若分为多种情况（可以……可以……），则将多种情况的值相加
【例5】（2025 联考）某风景区内有5 个收费景点，门票分别为10 元、10 元、20 元、
20 元、20 元。老李花了40 元购买门票，依次游览了不同景点。那么可能的游览方式有多
少种？
A. 6
B. 18
C. 24
D. 60
【例6】（2025 联考）某研究机构对不同蔬果的代谢质量进行评分，分数越高代表代
谢质量越高。现有13 种蔬果，其中2 种蔬果为5 分，4 种蔬果为4 分，3 种蔬果为3 分，4
种蔬果为2 分，那么从中选取3 种蔬果得分总和不低于13 分的组合共有多少种？
A. 21
B. 19
C. 16
D. 13
【例7】（2024 联考）为弘扬耕读文化，某校打造多样化“校外+校内”耕读文化教育基
地，有种植、绘画、编织、美食四个主题基地供同学们选学。假设每位学生选择1 个主题
基地参与学习，那么甲、乙、丙、丁4 名学生中至少有3 名学生选择不同主题基地的方法
有多少种？
A. 24
B. 60
C. 144
D. 168
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25
【例8】（2025 国家）某竞赛由5 道次序固定的判断题组成，参赛者起始为0 分，每
答对1 题加1 分，每答错1 题扣1 分。小王作答了所有试题，答完每道题时当前的得分都
不低于1 分。问他的答题情况有多少种不同的可能？
A. 7
B. 6
C. 4
D. 3
3. 反向思维
若正向分析麻烦，则逆向思考
识别特征：一般出现“至少”
计算公式：符合情况数=总情况数- 不符合情况数
【例9】（2022 联考）滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、自由式滑
雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项是滑雪大项中的6 个分项，短道速滑、速
度滑冰和花样滑冰是滑冰大项中的3 个分项。小林打算去现场观看比赛，共选择6 个项目，
并且每个大项不少于1 个，若所有项目比赛时间均不交叉，则不同的观赛方式有：
A.83 种
B.84 种
C.92 种
D.102 种
4. 捆绑法
捆绑法：相邻、在一起、挨着
解题步骤：先捆绑，再排列，注意内部是否有顺序
【例10】（2024 联考）某公司开展迎新春三分球投篮比赛。3 个部门分别派出2、4、
4 个选手共计10 人参加。规则要求同一个部门的选手顺序相连、全部投完再安排另一个部
门的人员，则这10 人不同的投篮顺序种数的范围是：
A. 小于1000
B. 1000~5000
C. 5001~10000
D. 10000 以上
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5. 插空法
插空法：不相邻、不在一起
解题步骤：先排其他，再插空
【例11】（2020-822 联考）某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收藏分享、
论坛交流、考试答题五个部分组成。某学员要先后学完这五个部分，若观看视频和阅读文
章不能连续进行，该学员学习顺序的选择有：
A. 24 种
B. 72 种
C. 96 种
D. 120 种
6. 插板法
识别特征：将m 个相同元素分给n 个不同单位，问至少一个
解题公式：Cm−1
n−1
【例12】（2020-822 联考）某城市一条道路上有4 个十字路口，每个十字路口至少有
一名交通协管员，现将8 个协管员名额分配到这4 个路口，则每个路口协管员名额的分配
方案有：
A. 35 种
B. 70 种
C. 96 种
D. 114 种
7. 平均分组
若整体平均分成n 组，则结果=总的分组情况数÷An
n
【例13】（2020 上海）小王等6 名学生参与了某展览会志愿者活动。他们被安排到两
个不同的会场服务。如果要求每个会场都至少有2 名志愿者，则对小王等人共有（
）种
不同的安排方式。
A.20
B.30
C.50
D.360
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8. 错位排列
错位排列数：0、1、2、9、44……
【例14】（2020 事业单位）某个为期2 天的会议有8 名发言人，每人在每天都要发言
1 次。已知第1 天的发言次序固定，第2 天要求仅有3 名发言人的发言次序与第1 天一样，
且另有2 人正好交换发言次序，问共有多少种不同的安排方式?
A.不到500 种
B.500~1000 种之间
C.1000~2000 种之间
D.超过2000 种
参考答案：DACAC
BDBAC
BACC
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28
第八章
概率问题
1. 基本概率
概率=符合条件的情况数÷总情况数
【例1】（2024 联考）中秋节前夕，小赵买了6 个外观相同的月饼，其中有3 个是蛋
黄馅的。回到家后，小赵从中任取3 个月饼，里面恰好有1 个是蛋黄馅的概率是：
A.
B.
C.
D.
【例2】（2024 联考）某社区服务中心拟引入优质资源为本社区45 名老人提供居家养
老服务。已知老人的年龄构成如下（设老人的年龄为x）：
有17 人，
有12 人，
有11 人，90 岁及以上有5 人。现从该社区中随机抽取两名老人了解居
家养老服务情况，那么这两名老人恰好都在80 岁以上（含80 岁）的概率是：
A.
B.
C.
D.
【例3】（2023 国家）某单位有甲和乙2 个办公室，分别有职工5 人和4 人。每周从
这9 名职工中随机抽取1 人下沉社区担任志愿者（同一人有可能被连续、重复选中）。问
7 月前2 周的志愿者均来自甲办公室的概率在以下哪个范围内？
A.不到25%
B.25%~35%之间
C.35%~45%之间
D.超过45%
【例4】（2025 国家）小王计划在7 天假期自学甲、乙两门在线课程，每门课程需要
连学2 整天。如在所有可能的安排中随机选择1 种，不用学习的3 天均不相邻的概率为：
A. 1/7
B. 1/8
C. 1/9
D. 1/10
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【例5】（2025 联考）某公司甲部门男性员工比女性多2 人，乙部门女性员工比男性
多3 人。已知甲、乙两部门女性员工共6 人，问从甲、乙两部门中随机选出4 人，恰好选
到2 名男员工和2 名女员工的概率是：
A.
B.
C.
D.
2. 多概率型
多个概率之间，分步（且关系）用乘法，分类（或关系）用加法
【例6】（2023 联考）如果3 个学生一起报名，且3 个学生都通过科目一考试，那么
就可以减免1 个学生的报名费。他们3 人不能通过科目一考试的概率分别为1/2、1/3、1/4，
则减免1 个学生报名费资格的概率为：
A.3/4
B.2/3
C.1/3
D.1/4
【例7】（2025 联考）某企业到A 大学招聘，小张、小李和小王3 位毕业生前去应
聘。若小张、小李2 人中至少有1 人签约的概率是3/4，小王签约的概率是1/3，那么3 人
中至少有1 人签约该企业的概率是多少？
A. 1/4
B. 1/2
C. 2/3
D. 5/6
【例8】（2025 联考）某种农作物一年一熟，每次种植均有0.2 的概率歉收，有0.3
的概率丰产。问该农作物连续3 年丰产的概率是连续3 年歉收概率的多少倍？
A. 2.5 以下
B. 2.5~3 之间
C. 3~4.5 之间
D. 4.5 以上
【例9】（2021 新疆兵团）天气预报对未来五天的天气情况进行了预测，每天晴天的
概率都是0.7，不晴天的概率是0.3。那么这5 天中恰好3 天睛天的概率是多少？
A. 0.031
B. 0.343
C. 0.185
D. 0.309
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30
【例10】（2021 联考）两个大人带四个孩子去坐只有六个位置的圆型旋转木马，那么
两个大人不相邻的概率为：
A. 2/5
B. 3/5
C. 1/3
D. 2/3
【例11】（2021 江苏）某次圆桌会议共设8 个座位，有4 个部门参加，每个部门2 人，
排座位时，要求同一部门的两人相邻，若小李和小王代表不同部门参加会议，则他们座位
相邻的概率是：
A. 1/48
B. 1/24
C. 1/12
D. 1/6
【例12】（2025 浙江）某班级只有两个宿舍的男生，每宿舍4 人。每周从这8 人中随
机抽取一人担任周管理员，同一人不连续两周担任管理员。问开学前三周的管理员都来自
同一宿舍的概率在以下哪个范围？
A. 0%-10%
B. 10%-20%
C. 20%-30%
D. 30%-40%
【例13】（2025 联考）三名射击运动员甲、乙、丙依次独立射击，一轮三枪，每人
一枪，直至目标被射中，比赛结束。已知甲、乙、丙射中目标的概率分别为0.3、0.5、0.8，
则在一轮内，乙结束比赛概率是丙结束比赛概率的：
A. 1 倍
B. 1.25 倍
C. 1.5 倍
D. 2 倍
【例14】（2025 联考）
21 分制的羽毛球比赛，每赢一球得1 分，下一球由上一球
得分方发球，20：20 平局以后，先多得2 分的一方获胜，若甲发球时甲得分的概率为0.6、
乙发球时乙得分的概率为0.7，各球的结果相互独立，乙将比分追成20：20 平后，甲最终
以23：21 的比分获胜的概率在以下哪个范围？
A. 0.05-0.1
B. 0.1-0.15
C. 0.15-0.2
D. 0.2-0.25
参考答案：AABDB
DDCDB
DBBA
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31
第九章
几何问题
注：扇形面积=（
�
360 ）πr2（n 为扇形对应的圆心角）
注：圆锥体表面积=底面积πr2 + 侧面积πrl（l 母线长）
1. 几何公式
【例1】（2024 联考）甲、乙两个圆柱容器底面积之比为3：4，分别盛有7 厘米高和
10 厘米高的液体，现在向两个容器内注入同样多的液体，直至两个容器内液体的高度相等，
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问甲容器内液面上升至：
A. 9 厘米
B. 12 厘米
C. 15 厘米
D. 19 厘米
【例2】（2020-822 联考）野外生存需要用一个简易的圆锥型过滤器（如下图所示）
装满溪水进行过滤。过滤器的底面直径为20 厘米，高为6 厘米。问全部过滤完毕后，在不
考虑损耗的情况下，可使底面半径为5 厘米，高为15 厘米圆柱型容器的水面高度达到：
A. 4 厘米
B. 6 厘米
C. 8 厘米
D. 12 厘米
【例3】（2025 国家）一个长方体零件最大面的面积是最小面的3 倍，次大面的面积
是最大、最小面面积平均值的9/16。问该零件最小面的长是其宽的多少倍？
A. 7/3
B. 7/6
C. 8/3
D. 4/3
【例4】（2023 联考）厦门鼓浪屿海滨覆鼎岩上屹立着一尊郑成功雕像。为了测量石
像的高度，某测量小组选取的测量点A 与覆鼎岩底部D 在同一水平线上，如下图所示。已
知覆鼎岩高CD 为24 米，在A 处测得石像头顶部B 的仰角为45°，石像底部C 的仰角为
31°（参考数据：
），则石像BC 的高度约为：
A.20 米
B.18 米
C.16 米
D.14 米
【例5】（2023 联考）边长为10 厘米的正方形ABCD 如下图所示，E 为正方形中某一
点，已知AE 长8 厘米，BE 长6 厘米，问三角形ADE 的面积为多少平方厘米？
A.24
B.32
C.44
D.48
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【例6】（2019 江苏）某民营企业新建一个四边形的厂区，按对角线将整个厂区分为
四个功能区，如图所示。已知生产、仓储和营销三个功能区的面积分别为26 亩、18 亩和
13 亩，若保留休闲区的12 亩天然小湖泊，则休闲区可利用的陆地面积是：
A. 36 亩
B. 26 亩
C. 24 亩
D. 23 亩
【例7】（2023 国家）公园里有一片四边形草坪，沿对角线修建的小道相交于O 点，
O 到四个顶点A、B、C、D 的距离之比正好为1：2：3：4，一名工人花费1 天正好完成
AOB 区域的修剪，问第二天至少需要额外增加多少名效率相同的工人一起工作，才能在当
天内完成剩余草坪的修剪？
A.8
B.10
C.11
D.12
【例8】（2025 浙江）一块四边形田地ABCD 如下图所示，已知△AOD、△AOB 和
△COD 的面积分别为9 平方千米、15 平方千米和12 平方千米，CD 长8 千米。问B 点到
CD 的距离为多少千米？
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【例9】（2023 联考）为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三角形ABC
区域内建设新能源产业园区（如下图所示），三角形DEF 是中央工厂区，已知BD：DE：
EC=1 : 2 : 3，F 为AE 的中点，则新能源产业园区总面积是中央工厂区面积的
A.7 倍
B.6 倍
C.5 倍
D.4 倍
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【例10】（2025 国家）某厂区如图所示，其中ABCD 为矩形，ABEF 为直角梯形，
AB 与DE 相交于G 点，其中阴影区域ADGF 为涉密区域。已知AD、AF、AB 长度分别为
240 米、150 米、100 米，问涉密区域的面积为多少万平方米？
A. 1.2
B. 1.3
C. 1.4
D. 1.5
2. 均值不等式
1. 和（a+b）为定值，当a=b时，乘积（ab）有最大值；
2. 乘积（ab）为定值，当a=b时，和（a+b）有最小值。
【例11】（2018 联考）某地市区有一个长方形广场，其面积为1600 平方米。由此可
知，这个广场的周长至少有：
A. 160 米
B. 200 米
C. 240 米
D. 320 米
【例12】（2023 联考）某村拟建造一个容积为144 立方米，深度为4 米的长方体无盖
蓄水池。经测算，蓄水池底部造价为260 元/平方米，侧面造价为180 元/平方米。那么该水
池的最低总造价为：
A.11440 元
B.25920 元
C.26640 元
D.31680 元
【例13】（2024 联考）某公园绿化管理部门采购了100 片围栏，每片长1 米且不可弯
折。现拆分拟围成5 块周长相等且互不相邻的矩形花卉区域。若不考虑拼接间隙，那么这
5 块区域的最大与最小面积最多可相差多少平方米？
A. 10
B. 12
C. 16
D. 25
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3. 等比例放缩
一个图形的尺寸扩大为原来的n 倍，则面积为原来的n2 倍；体积为原来的n3 倍。
【例14】（2020 新疆）某演播大厅的地面形状是边长为100 米的正三角形，现要用边
长为2 米的正三角形砖铺满（如图所示）。问，需要用多少块砖？
A. 2763
B. 2500
C. 2340
D. 2300
【例15】（2022 联考）商家门口摆放了一把正四棱锥形（底面为正方形，侧面为四个
全等的等腰三角形）的遮阳伞，第一次伞撑开到图1 所示的位置，伞柄与伞骨成角∠CPQ
为30°，继续撑开到如图2 所示的位置，伞柄与伞骨成角∠C＇PQ＇变为60°，那么第二
次伞撑开后形成的正方形A＇B＇C＇D＇是第一次撑开后正方形ABCD 面积的：
A.3/2 倍
B.
倍
C.2 倍
D.3 倍
【例16】（2023 联考）某餐馆承诺25 分钟内上齐一桌菜，若超时则未上的菜品免单。
每张餐桌上都有一个装满后正好25 分钟漏完的圆锥形沙漏（如下图所示）。某位顾客在等
待的过程中发现沙漏内上方沙子的高度为原先的一半，此时还差一道菜未上，则再过多久
还未上菜，这位顾客将享受免单服务：
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A.不到3 分钟
B.3—4 分钟之间
C.4-5 分钟之间
D.超过6 分钟
【例17】（2025 联考）一个空的倒置的圆锥形容器，倒入1 瓶固定容量的水后，水
的高度恰好为容器高度的一半。若要使容器盛满水，则需要再倒入水的瓶数为：
A. 5 瓶
B. 7 瓶
C. 8 瓶
D. 10 瓶
【例18】（2025 国家）一个容器的下部分为高12 厘米的倒立圆锥体，上部分为圆柱
体，且圆锥和圆柱的底面半径相等。现匀速向容器中注入水，1 分钟后液面高6 厘米，又
过30 分钟后注满。问整个容器的高度为多少厘米？
A. 22
B. 22.5
C. 23
D. 23.5
参考答案：DCCCB
CBCBA
ACCBD
BBD
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第十章
容斥问题
1.识别特征：
符合条件A，符合条件B，两个条件都符合，都不符合值，……
2. 解题方法：
（1）公式法：总数=符合A的+符合B 的-两个都符合的+两个都不符合的
（2）画图法（糊窗纸法）：窗框面积=内部各部分的面积之和。
1. 两集合型
【例1】（2022 广东）某单位计划从全部80 名员工中挑选专项工作组成员，要求该组
成员须同时有基层经历和计算机等级证书。已知，单位内有40 人有基层经历，有46 人有
计算机等级证书，既没有基层经历又未获得计算机等级证书的有10 人。那么能够进入工作
组的员工有（
）人。
A.16
B.40
C.46
D.54
【例2】（2023 浙江）某班级对70 多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有12%的
学生两个科目均不及格。已知有
2
3的学生英语及格，数学及格的学生比英语多10 人，那两
科均及格的学生有多少人？
A.31
B.37
C.41
D.44
【例3】（2025 国家）某研发小组员工中，60％的人参与了A 项目，45％的人参与了
B 项目，两个项目都参与的人比两个项目都不参与的多2 人。问该研发小组有多少人？
A. 100
B. 50
C. 40
D. 20
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2. “只”符合
【例4】（2018 联考）某试验室通过测评Ⅰ和Ⅱ来核定产品的等级：两项测评都不合
格的为次品，仅一项测评合格的为中品，两项测评都合格的为优品。某批产品只有测评Ⅰ
合格的产品数是优品数的2 倍，测评Ⅰ合格和测评Ⅱ合格的产品数之比为6∶5。若该批产
品次品率为10%，则该批产品的优品率为：
A. 10%
B. 15%
C. 20%
D. 25%
3. 三集合“两层”型
题型特征：……，符合条件A的，符合条件B的，符合条件C的，符合两个条件的，符合
三个条件的，三个条件都不符合的，……
公式：总数=条件A +条件B +条件C -符合两个-符合三个×2+三个都不符合
【例5】（2019 新疆兵团）某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别安排了三场
讲座。该机关共有139 人，有42 人报名参加第一场讲座，51 人报名参加第二场讲座，88
人报名参加第三场讲座，三场讲座都报名的有12 人，只报名参加两场讲座的有30 人。问
没有报名参加其中任何一场讲座的有多少人？
A. 12
B. 14
C. 24
D. 28
4. 三集合“既又”型
题型特征：……，符合条件A的，符合条件B的，符合条件C的，符合条件AB的，符合
条件AC的，符合条件BC的，三个都符合的，三个条件都不符合的，……
公式：总数=条件A +条件B +条件C -条件AB -条件AC -条件BC+条件ABC+三个条件都不符
合
【例6】（2018 陕西）有关部门对120 种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化
剂达标的有68 种，防腐剂达标的有77 种，漂白剂达标的有59 种，抗氧化剂和防腐剂都达
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标的有54 种，防腐剂和漂白剂都达标的有43 种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35 种，三
种食品添加剂都达标的有30 种，那么三种食品添加剂都不达标的有多少种？
A. 14
B. 16
C. 18
D. 20
参考答案：ADCCA
C
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第十一章
时间类问题
1. 星期日期问题
年：
平年365 天（2 月28 天），闰年366 天（2 月29 天）
注：可以简记为52 周零1 天（闰年零2 天）
闰年判别法则：
（1）若年份数的末尾有两个0，且年份数是400 的倍数，则该年份为闰年
（2）若年份数的末尾没两个0，且年份数是4 的倍数，则该年份为闰年
月：
1、3、5、7、8、10、12 月份31 天，2 月28 天（闰年29 天），其余30 天
注：每个月都必然有4 周
【例1】（2025 国家）某门店星期一至星期五的日营业额均为1 万元，星期六和星期
日的日营业额均为2 万元。某月1-16 日的总营业额为22 万元，问该月8 日为：
A. 星期三
B. 星期四
C. 星期五
D. 星期六
【例2】（2025 浙江）单位每周三组织篮球活动。已知2024 年1 月1 日是周一，那
么2024 年组织5 次活动的月份有几个？
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【例3】（2025 国家）小张每周一到周四夜跑，周五到周日休息，已知某年2 月他夜
跑17 次，3 月夜跑19 次，问4 月他夜跑多少次？
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
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【例4】（2022 黑龙江）甲乙丙三个志愿者共同照顾李奶奶，甲每4 天去一次，乙每
5 天去一次，丙每6 天去一次。如果他们三个于5 月5 日在李奶奶家同时见面，则他们三
人下次在李奶奶家同时见面的时间是：
A.7 月4 日
B.7 月5 日
C.9 月1 日
D.9 月2 日
2. 年龄问题
年龄：
过1 年长1 岁（默认的年龄都为周岁）
注意：年龄若为负数，表示小孩还未出生
【例5】（2025 联考）今年甲和乙的年龄和为26 岁，5 年后甲的年龄是乙的3 倍。
若干年后，甲的年龄是乙的2 倍，则此时乙的年龄为（）。
A. 12 岁
B. 16 岁
C. 18 岁
D. 20 岁
【例6】（2025 国家）2024 年甲、乙、丙三人的年龄之和与2034 年甲的年龄相同，
且甲、乙的年龄之差大于乙、丙的年龄之差。已知乙的年龄小于甲但大于丙，问2024 年甲
的年龄最小可能为多少岁？
A. 13
B. 11
C. 10
D. 9
3. 钟表问题
指针速度：分针速度=6°/分钟、时针速度=0.5°/分钟
快慢表：利用行程将快表、慢表、正常表看成甲乙丙三人
【例7】（2021 联考）张爷爷早晨5 点多外出晨练，出门时钟表上的时针和分针的夹
角是110 度，不到6 点进门时，钟表上的时针和分针的夹角还是110 度，则张爷爷外出时
间是多少分钟？
A. 30
B. 35
C. 40
D. 45
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【例8】（2019 青海）一个时钟每小时慢4 分钟，照这样计算，早上6：00 对准标准
时间后，当日晚上该时钟指向8：00 时，标准时间是多少？
A. 20：56
B. 21：00
C. 21：30
D. 21：56
参考答案：DDAAC
DCB
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第十二章
等差数列与溶液问题
等差数列
通项公式：��= �1 + (�−1)�，d 表示等差数列的公差
求和公式：��=
�(�1+��)
2
= �中× �= 平均数× �
注：数列为奇数项时，第�中项真实存在；数列为偶数项时，第�中项可看成是中间两项
等比数列
通项公式：��= �1 × ��−1，q 表示等比数列的公比
求和公式：��= �1 ×
1−��
1−�
1. 等差数列
【例1】（2020 新疆）某阶梯会议室有16 排座位，后一排比前一排多2 个，最后一排
有40 个座位。这个阶梯会议室共有多少个座位？
A. 300
B. 350
C. 400
D. 440
【例2】（2021 联考）送奶工人给11 楼住户送牛奶，由于小区停电导致电梯无法使用。
如果他走楼梯从第1 层到第2 层需要5 秒，以后每多走一层需多花2 秒，其中走到5 层以
后每多走一层需多休息5 秒，那么他走到11 层需要多少秒？
A. 210
B. 215
C. 220
D. 235
【例3】（2025 国家）某种商品在定价基础上打八折销售，打折之前每天卖40 件，开
始打折第一天起，每天都比前一天多卖10 件。打折销售15 天的利润总额与打折之前销售
20 天的利润总额相同，问这种商品的成本是定价的：
A. 60%
B. 64%
C. 70%
D. 75%
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2. 等比数列
【例4】（2023 山东）某人甲状腺机能减退，为维持血液中甲状腺素的浓度，医生为
他开了处方，每8 小时服用60 毫克甲状腺素片。若他的肾脏8 小时后能够过滤掉60%的药
量，问10 天后此人体内含药量的范围？
A.30 毫克
B.40 毫克
C.50 毫克
D.60 毫克
3. 溶液问题
基本公式：浓度=溶质的量÷溶液的量（×100%）
线段法：
解题步骤
先标浓度的数据，再做差值，得到两条线段的长度c-a、b-c，最后反比例，
�
�=
�−�
�−�。
注意：混合浓度C%给定时，用线段法计算量少
【例5】（2021 联考）现有一杯浓度为20%的糖水200 克，加入6 克糖，再加入24 克
水后，此时的糖水与原来相比：
A. 不如原来甜
B. 比原来甜
C. 一样甜
D. 无法确定
【例6】（2018 联考）现有一种浓度为15%的盐水30 千克，如果用50 千克浓度更高
的盐水和它混合，混合后的盐水浓度将大于20%，而小于35%。据此可知，后加入的盐水
的浓度（假设浓度为x）范围是：
A. 23%＜x＜47%
B. 15%＜x＜35%
C. 15%＜x＜23%
D. 23%＜x＜50%
【例7】（2017 天津）一份溶液，加入一定量的水后，浓度降到3%，再加入同样多的
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水后，浓度降为2%，该溶液未加水时浓度是：
A. 6%
B. 4%
C. 5%
D. 4.5%
【例8】（2018 江西）从一瓶浓度为52%的酒精溶液中倒出1/3，加满纯净水，再倒出
1/3，又加满纯净水，此时酒精溶液的浓度是多少？
A. 5.8%
B. 23.1%
C. 17.3%
D. 31.5%
参考答案：CBBBC
AAB
