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2025 年高考第二次模拟考试 ．
高三数学（上海卷）01 9．第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志
愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
率为 ．（结果用分数表示）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
10．设数列 的前 项和为 ，若 ， 对任意正整数 恒成立，则 ．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 11．修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足 ，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打
算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道 、 以及
1．已知全集 ，则 .
MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米.
2．若复数 满足 ，则 ．
3．设 ，不等式 的解集为 ．
4．设随机变量 服从二项分布 ，则 .
5．设 若 ，则 ．
12．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描
述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面
6．已知甲乙两组数据如茎叶图所示，其中 ，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则
的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线 与它的渐近线以及
．
直线 所围成的图形，将此图形绕 轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为
．
7．已知抛物线 上有一点 到准线的距离为 ，点 到 轴的距离为 ，则抛物线的焦点坐标
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确
为 ．
选项)
8．在 中， ， ， 的平分线交BC于点D，若 ，则
13．已知a，b都是实数，那么“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件14．设函数 图像的一条对称轴方程为 ，若 、 是函数 的两个不同的 ， .
零点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在正方体 中， 分别是 的中点.下列结论错误的是（ ）
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 为线段 上一点，且 ，求二面角 的余弦值.
18．已知在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ．
(1)若 ，求 的面积 ；
(2)求 的最大值，并求其取得最大值时 的值．
A．
19．垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类
基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程
B． 平面
度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表：
C． 与 所成的角为
男生 女生 总计
A B C D
1 1 1 1 A等级 40 20 60
D． 平面
B等级 20 20 40
16．如果数列同时满足以下四个条件：（1） （ ）；（2）点 在函数 的图像
总计 60 40 100
(1)根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平 ）？
上；（3）向量 与 互相平行；（4） 与 的等差中项为 （ ）；那
附： ，其中 ， ．
(2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人
么，这样的数列 ， ， ， 的个数为（ ）
A和B轮流提问，先赢 局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为
A．78 B．80 C．82 D．90
，主持人B提问甲赢的概率为 ，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
提问．
17．如图，在以 为顶点的五面体中，四边形 与四边形 均为等腰梯形， （i）求比赛只进行3局就结束的概率；（ii）设 为结束比赛时甲赢的局数，求 的分布和数学期望 ．
20．已知双曲线 的焦距为4，直线l： 与 交于两个不同的点
D､E，且 时直线l与 的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；
(3)设A､B分别是 的左､右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线
段PQ在x轴上的射影长为定值.
21．设 是定义在区间 上的函数，其导函数为 .如果存在实数 和函数 ，其
中 对任意的 都有 ，使得 ，则称函数 具有性质 .
(1)设函数 ，其中 为实数.
（ⅰ）判断函数 是否具有性质 ，请说明理由；
（ⅱ）求函数 的单调区间.
(2)已知函数 具有性质 .给定 ， ，设 为实数， ，
，且 ， ，若 ，求 的取值范围.
