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2025 年高考第一次模拟考试
高三数学（上海卷）02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．设集合 ， ，则 ．
2．直线 的倾斜角的大小为 ．
3．已知 、 不共线，向量 ， ，且 ，则 ．
4．若随机变量 ，且 ，则 的值是 ．
5．若 且满足 ，则 的最小值为 ．
6．已知 ，方程 一个虚根为 ，则 ．
7．在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，且 ，则 ．
8．抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A：n次中既有正面朝上又有反
面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A与事件B是独立的，则n的值为 ．
9．正方体 的棱长为2， 为棱 的中点， 以 为轴旋转一周，则得到的旋转
体的表面积是 ．10．若曲线 得右顶点 ，若对线段 上任意一点 ，端点除外，在 上存在关于 轴
对称得两点 、 使得三角形 为等边三角形，则正数 得取值范围是 ．
11．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.三角
垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，从第二层开始，每层球
数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的
个数最少为 ．
12．已知函数 ，若对任意实数 ，方程 有解，方
程 也有解，则 的取值集合为 ．
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正
确选项)
13．函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
14．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件15．已知定义在 上的奇函数 的导函数为 ，当 时， ，
且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
16．已知 是正方体 的中心，过点 的直线 与该正方体的表面交于 、 两点，现有如
下命题：①线段 在正方体6个表面的投影长度为 ，则 为定值；②直线 与正方
体12条棱所成的夹角的 ，则 为定值.下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．如图，在四棱锥 中， . 为棱 的中点，异
面直线 与 所成角的大小为 .
(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18．已知函数 ，若函数 的图像与函数 的图像关于 轴
对称.（1）求函数 的解析式；
（2）若存在 ，使等式 成立，求实数 的取值范围.
19．某数学学习小组的5位学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考
试的成绩如下表所示（满分100分）
学生1 学生2 学生3 学生4 学生5
第一
82 89 78 92 81
次
第二
83 90 75 95 76
次
(1)在5位学生中依次抽取3位学生．在前2位学生中至少有1位学生第一次成绩高于第二次成绩的条
件下，求第三位学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；
(2)设 （ ，2，…，5）表示第i位学生第二次考试成绩减去第一次考试成绩的值．从数学学习小
组5位学生中随机选取2位，得到数据 ，定义随机变量X如下：
求X的分布列和数学期望EX和方差．
20．已知椭圆 为椭圆 的右焦点，过点 的直线 交椭圆 于 、 两点.
(1)若直线 垂直于 轴，求椭圆 的弦 的长度；
(2)设点 ，当 时，求点 的坐标；
(3)设点 ，记 、 的斜率分别为 和 ，求 的取值范围.21．已知函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 时 恒成立，求实数a的取值范围．
(3)定义函数 ，对于数列 ，若 ，则称 为函数 的“生
成数列”， 为函数 的一个“源数列”．
①已知 为函数 的“源数列”，求证：对任意正整数 ，均有 ；
②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试
问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．
