2024年高考数学试卷（理）（全国甲卷）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（陕西）数学高考真题

绝密★启用前 2024 年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷理科数学 使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮 擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．   i z+z = z =5+i 1. 设 ，则 （ ） A. 10i B. 2i C. 10 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由z =5+iÞ z =5-i,z+z =10，则iz +z=10i. 故选：A   2. 集合A=1,2,3,4,5,9,B= x xÎA ，则ð AÇB=（ ） A A. 1,4,9 B. 3,4,9 C. 1,2,3 D. 2,3,5 【答案】D 【解析】 【分析】由集合B的定义求出B，结合交集与补集运算即可求解.   【详解】因为A=1,2,3,4,5,9,B= x xÎA ，所以B=1,4,9,16,25,81 ， 则A I B=1,4,9 ，ð A A I B=2,3,5 故选：D 第1页/共20页 学科网（北京）股份有限公司ì4x-3y-3³0 ï 3. 若实数x,y满足约束条件íx-2y-2£0 ，则z = x-5y的最小值为（ ） ï 2x+6y-9£0 î 7 1 A. 5 B. C. -2 D. - 2 2 【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得. ì4x-3y-3³0 ï 【详解】实数x,y满足íx-2y-2£0 ，作出可行域如图： ï 2x+6y-9£0 î 1 1 由z = x-5y可得 y = x- z ， 5 5 1 1 1 即z的几何意义为 y = x- z 的截距的- ， 5 5 5 则该直线截距取最大值时，z有最小值， 1 1 此时直线 y = x- z 过点A， 5 5 ì 3 ì4x-3y-3=0 ïx= æ3 ö 联立í ，解得í 2，即A ç ,1 ÷， î2x+6y-9=0 ï îy =1 è2 ø 3 7 则z = -5´1=- . min 2 2 故选：D. 4. 等差数列 a  的前n项和为S ，若S =S ，a =1，则a =（ ） n n 5 10 5 1 7 A. -2 B. C. 1 D. 2 3 【答案】B 【解析】 【分析】由S =S 结合等差中项的性质可得a =0，即可计算出公差，即可得a 的值. 5 10 8 1 【详解】由S -S =a +a +a +a +a =5a =0，则a =0， 10 5 6 7 8 9 10 8 8 第2页/共20页 学科网（北京）股份有限公司a -a 1 æ 1ö 7 则等差数列 a  的公差d = 8 5 =- ，故a =a -4d =1-4´ ç - ÷ = . n 3 3 1 5 è 3ø 3 故选：B. y2 x2 5. 已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F 0,4,F 0,-4 ，点P-6,4 在该双曲 a2 b2 1 2 线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由焦点坐标可得焦距2c，结合双曲线定义计算可得2a，即可得离心率. 【详解】由题意，F 0,-4 、F 0,4 、P-6,4 ， 1 2 则 FF =2c=8， PF = 62 +4+42 =10， PF = 62 +4-42 =6， 1 2 1 2 2c 8 则2a = PF - PF =10-6=4，则e= = =2. 1 2 2a 4 故选：C. ex +2sinx 6. 设函数 f x= ，则曲线y = f x 在 0,1 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） 1+x2 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3 【答案】A 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点 0,1 处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其 面积.  ex +2cosx  1+x2 -  ex +2sinx  ×2x 【详解】 f¢x= ，  1+x22  e0 +2cos0 1+0-  e0 +2sin0  ´0 则 f¢0= =3， 1+02 即该切线方程为y-1=3x，即y= 3x+1， 1 令x=0，则y =1，令y=0，则x=- ， 3 第3页/共20页 学科网（北京）股份有限公司1 1 1 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S = ´1´ - = . 2 3 6 故选：A. 7. 函数 f x=-x2 +  ex -e-x sinx在区间[-2.8,2.8]的大致图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入x=1可得 f 1>0，可排除D. 【详解】 f -x=-x2 +  e-x -ex sin-x=-x2 +  ex -e-x sinx= f x ， 又函数定义域为 -2.8,2.8 ，故该函数为偶函数，可排除A、C， æ 1ö æ 1ö π e 1 1 1 又 f 1=-1+ ç e- ÷ sin1>-1+ ç e- ÷ sin = -1- > - >0， è eø è eø 6 2 2e 4 2e 故可排除D. 故选：B. cosa æ πö 8. 已知 = 3，则tan ç a+ ÷ =（ ） cosa-sina è 4ø 3 A. 2 3+1 B. 2 3-1 C. D. 1- 3 2 【答案】B 【解析】 cosa 【分析】先将 弦化切求得tana，再根据两角和的正切公式即可求解. cosa-sina 第4页/共20页 学科网（北京）股份有限公司cosa 【详解】因为 = 3， cosa-sina 1 3 所以 = 3，Þtana=1- ， 1-tana 3 æ pö tana+1 所以tança+ ÷= =2 3-1， è 4ø 1-tana 故选：B. r r 9. 已知向量a =x+1,x,b=x,2，则（ ） r r r r A. “x=-3”是“a ^b”的必要条件 B. “x=-3”是“a//b”的必要条件 r r r r C. “x=0”是“a ^b”的充分条件 D. “x=-1+ 3”是“a//b”的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. r r r r 【详解】对A，当a ^b时，则a×b=0， 所以x×(x+1)+2x=0，解得x=0或-3，即必要性不成立，故A错误； 对C，当x=0时，a r =1,0,b r =0,2，故a r ×b r =0， r r 所以a ^b，即充分性成立，故C正确； r r 对B，当a//b时，则2(x+1)= x2，解得x=1± 3，即必要性不成立，故B错误； r r 对D，当x=-1+ 3时，不满足2(x+1)= x2，所以a//b不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 10. 设a、b是两个平面，m、n是两条直线，且a I b=m.下列四个命题： ①若m//n，则n//a或n//b ②若m^n，则n^a,n^b ③若n//a，且n//b，则m//n ④若n与a和b所成的角相等，则m^n 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 第5页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当nÌa，因为m//n，mÌb，则n//b， 当nÌb，因为m//n，mÌa，则n//a， 当n既不在a也不在b内，因为m//n，mÌa,mÌb，则n//a且n//b，故①正确； 对②，若m^n，则n与a,b不一定垂直，故②错误； 对③，过直线n分别作两平面与a,b分别相交于直线s和直线t， 因为n//a，过直线n的平面与平面a的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知n//s， 同理可得n//t，则s//t，因为sË平面b，t Ì平面b，则s//平面b， 因为sÌ平面a，a b=m，则s//m，又因为n//s，则m//n，故③正确； I 对④，若aÇb=m,n与a和b所成的角相等，如果n//a,n//b，则m//n，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. π 9 11. 在 ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c，若B= ，b2 = ac，则sinA+sinC =（ ） V 3 4 3 7 3 A. B. 2 C. D. 2 2 2 【答案】C 【解析】 1 13 【分析】利用正弦定理得sinAsinC = ，再利用余弦定理有a2 +c2 = ac，再利用正弦定理得到 3 4 sin2 A+sin2C 的值，最后代入计算即可. p 9 4 1 【详解】因为B= ,b2 = ac，则由正弦定理得sinAsinC = sin2 B= . 3 4 9 3 第6页/共20页 学科网（北京）股份有限公司9 由余弦定理可得:b2 =a2 +c2 -ac = ac， 4 13 13 13 即:a2 +c2 = ac，根据正弦定理得sin2 A+sin2C = sin AsinC = ， 4 4 12 7 所以(sin A+sinC)2 =sin2 A+sin2C+2sin AsinC = ， 4 7 因为A,C 为三角形内角，则sin A+sinC >0，则sin A+sinC = . 2 故选：C. 12. 已知b是a,c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2 + y2 +4y-1=0交于A,B两点，则 AB 的最小 值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2 5 【答案】C 【解析】 【分析】结合等差数列性质将c代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c，c=2b-a，代入直线方程ax+by+c=0得 ìx-1=0 ìx=1 ax+by+2b-a =0，即ax-1+by+2=0，令í 得í ， îy+2=0 îy =-2 故直线恒过 1,-2 ，设P1,-2 ，圆化为标准方程得：C:x2 +y+22 =5， 设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC ^ AB时， AB 最小， PC =1, AC = r = 5，此时 AB =2 AP =2 AC2 -PC2 =2 5-1=4. 故选：C 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分． 10 æ1 ö 13. ç + x ÷ 的展开式中，各项系数的最大值是______． è3 ø 第7页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【答案】5 【解析】 ì æ1ö 10-r æ1ö 9-r ïCr ç ÷ ³Cr+1 ç ÷ ï 10 è3ø 10 è3ø 【分析】先设展开式中第r+1项系数最大，则根据通项公式有í ，进而求出r即 10-r 11-r ï æ1ö æ1ö Cr ³Cr-1 ï î 10 ç è3 ÷ ø 10 ç è3 ÷ ø 可求解. 10-r æ1ö 【详解】由题展开式通项公式为T =Cr xr ，0£r £10且rÎZ， ç ÷ r+1 10 è3ø ì æ1ö 10-r æ1ö 9-r ïCr ç ÷ ³Cr+1 ç ÷ ï 10 è3ø 10 è3ø 设展开式中第r+1项系数最大，则í ， 10-r 11-r ï æ1ö æ1ö Cr ³Cr-1 ï î 10 ç è3 ÷ ø 10 ç è3 ÷ ø ì 29 r ³ ï ï 4 29 33 Þí ，即 £r £ ，又rÎZ，故r =8， 33 4 4 ï r £ ïî 4 2 æ1ö 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C8 =5. ç ÷ 10 è3ø 故答案为：5. 14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r 和r ，母线长分别为2r -r  和3r -r  ，则两个圆台 1 2 2 1 2 1 V 的体积之比 甲 =______． V 乙 6 【答案】 4 【解析】 【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可 得解. 【详解】由题可得两个圆台的高分别为h = é2r -r ù 2 -r -r 2 = 3r -r ， 甲 ë 1 2 û 1 2 1 2 h = é3r -r ù 2 -r -r 2 =2 2r -r ， 乙 ë 1 2 û 1 2 1 2 第8页/共20页 学科网（北京）股份有限公司1  S +S + S S h 所以 V 甲 = 3 2 1 2 1 甲 = h 甲 = 3r 1 -r 2  = 6 . V 1  h 2 2r -r  4 乙 S +S + S S h 乙 1 2 3 2 1 2 1 乙 6 故答案为： . 4 1 1 5 15. 已知a >1， - =- ，则a =______． log a log 4 2 8 a 【答案】64 【解析】 【分析】将log a,log 4利用换底公式转化成log a来表示即可求解. 8 a 2 1 1 3 1 5 【详解】由题 - = - log a=- ，整理得log a2 -5log a-6=0， log a log 4 log a 2 2 2 2 2 8 a 2 Þlog a=-1或log a=6，又a >1， 2 2 所以log a=6=log 26，故a=26 =64 2 2 故答案为：64. 16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过 1 的 2 概率是______． 7 【答案】 15 【解析】 【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为 a,b，第三个球的号码为 c，则 a+b-3£2c£a+b+3，就c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A3 =120种， 6 a+b+c a+b 1 设前两个球的号码为a,b，第三个球的号码为c，则 - £ ， 3 2 2 故 2c-(a+b) £3，故-3£2c-(a+b)£3， 故a+b-3£2c£a+b+3， 若c=1，则a+b£5，则 a,b 为： 2,3,3,2 ，故有2种， 第9页/共20页 学科网（北京）股份有限公司若c=2，则1£a+b£7，则 a,b 为： 1,3,1,4,1,5,1,6,3,4 ， 3,1,4,1,5,1,6,1,4,3 ，故有10种， 当c=3，则3£a+b£9，则 a,b 为： 1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5 ， 2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4 ， 故有16种， 当c=4，则5£a+b£11，同理有16种， 当c=5，则7£a+b£13，同理有10种， 当c=6，则9£a+b£15，同理有2种， 1 共m与n的差的绝对值不超过 时不同的抽取方法总数为22+10+16=56， 2 56 7 故所求概率为 = . 120 15 7 故答案为： 15 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17 题~第 21 题为必 考题，每个考题考生必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60分． 17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进 行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 （1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 第10页/共20页 学科网（北京）股份有限公司乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品 的优级品率存在差异？ （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率 p =0.5，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果 p(1- p) p > p+1.65 ，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认 n 为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ 150 »12.247） n(ad-bc)2 附：K2 = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P  K2 ³k  0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）答案见详解 （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算K2，并与临界值对比分析； p(1- p) （2）用频率估计概率可得 p=0.64，根据题意计算 p+1.65 ，结合题意分析判断. n 【小问1详解】 根据题意可得列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 15026´30-24´702 75 可得K2 = = =4.6875， 50´100´96´54 16 因为3.841<4.6875<6.635， 第11页/共20页 学科网（北京）股份有限公司所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品 的优级品率存在差异. 【小问2详解】 96 由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为 =0.64， 150 用频率估计概率可得 p=0.64， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率 p =0.5， p1- p 0.51-0.5 0.5 则 p+1.65 =0.5+1.65 »0.5+1.65´ »0.568， n 150 12.247 p(1- p) 可知 p > p+1.65 ， n 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 18. 记S 为数列 a  的前n项和，且4S =3a +4． n n n n （1）求 a  的通项公式； n （2）设b =(-1)n-1na ，求数列 b  的前n项和为T ． n n n n 【答案】（1）a =4×(-3)n-1 n （2）T =(2n-1)×3n +1 n 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求 a  的通项公式． n （2）利用错位相减法可求T . n 【小问1详解】 当n=1时，4S =4a =3a +4，解得a =4． 1 1 1 1 当n³2时，4S =3a +4，所以4S -4S =4a =3a -3a 即a =-3a ， n-1 n-1 n n-1 n n n-1 n n-1 a 而a =4¹0，故a ¹0，故 n =-3， 1 n a n-1 ∴数列 a  是以4为首项，-3为公比的等比数列， n 所以a =4×-3n-1 . n 第12页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】 b =(-1)n-1×n×4×(-3)n-1 =4n×3n-1, n 所以T n =b 1 +b 2 +b 3 + L +b n =4×30 +8×31+12×32 + L +4n×3n-1 故3T =4×31+8×32 +12×33+ +4n×3n n L 所以-2T =4+4×31+4×32 + +4×3n-1-4n×3n n L =4+4× 3  1-3n-1 -4n×3n =4+2×3×  3n-1-1  -4n×3n 1-3 =(2-4n)×3n -2， \T =(2n-1)×3n +1. n 19. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形， BC //AD,EF //AD，AD=4,AB= BC = EF =2，ED= 10,FB=2 3，M 为AD的中点． （1）证明：BM / /平面CDE； （2）求二面角F -BM -E的正弦值． 【答案】（1）证明见详解； 4 3 （2） 13 【解析】 【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证BM//CD，进而得证； （2）作BO ^ AD交AD于O，连接OF ，易证OB,OD,OF三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公 式即可求解. 【小问1详解】 因为BC//AD,EF =2,AD=4,M 为AD的中点，所以BC//MD,BC = MD， 第13页/共20页 学科网（北京）股份有限公司四边形BCDM 为平行四边形，所以BM//CD，又因为BM Ë 平面CDE， CDÌ平面CDE，所以BM//平面CDE； 【小问2详解】 如图所示，作BO ^ AD交AD于O，连接OF ， 因为四边形ABCD为等腰梯形，BC//AD,AD=4, AB= BC =2，所以CD=2， 结合（1）BCDM 为平行四边形，可得BM =CD=2，又AM =2， 所以 ABM 为等边三角形，O为AM 中点，所以OB= 3， V 又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD中点，所以EF =MD,EF//MD， 四边形EFMD为平行四边形，FM = ED= AF ， 所 以 △AFM 为 等 腰 三 角 形 ， ABM 与 △AFM 底 边 上 中 点 O重 合 ， OF ^ AM ， V OF = AF2 -AO2 =3， 因为OB2 +OF2 = BF2，所以OB^OF ，所以OB,OD,OF互相垂直， 以OB方向为 x轴，OD方向为y轴，OF 方向为z轴，建立O-xyz空间直角坐标系，   uuuur   uuur   F0,0,3 ，B 3,0,0 ,M 0,1,0,E0,2,3 ，BM = - 3,1,0 ,BF = - 3,0,3 ， u B u E ur =  - 3,2,3  ，设平面BFM 的法向量为m r =x ,y ,z  ， 1 1 1 平面EMB的法向量为n r =x ,y ,z  ， 2 2 2 uuuur 则 ì ï í m r ×BM =0 ，即 ì ï í - 3x 1 + y 1 =0 ，令x = 3，得y =3,z =1，即m r =  3,3,1  ， r uuur 1 1 1 ïîm×BF =0 ïî - 3x +3z =0 1 1 uuuur ì ïn r ×BM =0 ì ï- 3x + y =0 则í ，即í 2 2 ，令x = 3，得y =3,z =-1， r uuur 2 2 2 ïîn×BE =0 ïî - 3x +2y +3z =0 2 2 2 r r m×n 11 11 即n r =  3,3,-1  ，cosm r ,n r = r r = = ，则sinm r ,n r = 4 3 ， m × n 13× 13 13 13 4 3 故二面角F -BM -E的正弦值为 . 13 第14页/共20页 学科网（北京）股份有限公司x2 y2 æ 3ö 20. 设椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F ，点Mç1, ÷在C上，且MF ^x轴． a2 b2 è 2ø （1）求C的方程； （2）过点P4,0 的直线与C交于A,B两点，N 为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证 明：AQ^ y轴． x2 y2 【答案】（1） + =1 4 3 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设Fc,0 ，根据M 的坐标及MF ^ x轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设 AB: y =k(x-4)， Ax ,y  ， Bx ,y  ，联立直线方程和椭圆方程，用 A,B的坐标表示 1 1 2 2 y - y ，结合韦达定理化简前者可得y - y =0，故可证AQ^ y轴. 1 Q 1 Q 【小问1详解】 b2 3 a2 -1 3 设Fc,0 ，由题设有c=1且 = ，故 = ，故a=2，故b= 3， a 2 a 2 x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 【小问2详解】 直线AB的斜率必定存在，设AB: y =k(x-4)，Ax ,y  ，Bx ,y  ， 1 1 2 2 第15页/共20页 学科网（北京）股份有限公司ì3x2 +4y2 =12 由í 可得  3+4k2 x2 -32k2x+64k2 -12=0， îy =k(x-4) 1 1 故Δ=1024k4 -4  3+4k2 64k2 -12  >0，故- 0时， f¢(x)>0， 故 f x 在x=0处取极小值且极小值为 f 0=0，无极大值. 【小问2详解】 1-ax a+1x f¢x=-aln1+x+ -1=-aln1+x- ,x>0， 1+x 1+x a+1x 设sx=-aln1+x- ,x>0， 1+x -a a+1 ax+1+a+1 ax+2a+1 则s¢x= - =- =- ， x+1 1+x2 1+x2 1+x2 1 当a£- 时，s¢x>0，故sx 在 0,+¥ 上为增函数， 2 故sx>s0=0，即 f¢x>0， 所以 f x 在 0,+¥ 上为增函数，故 f x³ f 0=0. 1 2a+1 当- 0，故a< 1， 3 \ AB = s -s = s +s 2 -4ss = 8a-12 -8(a2 -1) =2，解得a= . 1 2 1 2 1 2 4 ìy = x+a 法2：联立í ，得x2 +(2a-2)x+a2 -1=0， îy2 =2x+1 Δ=(2a-2)2 -4  a2 -1  =-8a+8>0，解得a< 1， 设Ax ,y ,Bx ,y  ,\x +x =2-2a,x x =a2 -1， 1 1 2 2 1 2 1 2 则 AB = 1+12 × x +x 2 -4x x = 2× (2-2a)2 -4  a2 -1  =2， 1 2 1 2 3 解得a= 4 [选修 4-5：不等式选讲] 23. 实数a,b满足a+b³3． （1）证明：2a2 +2b2 >a+b； （2）证明： a-2b2 + b-2a2 ³6． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用2a2 +2b2 ³(a+b)2即可证明. （2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明. 第19页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】 因为2a2 +2b2 -a+b2 =a2 -2ab+b2 =a-b2 ³0， 当a =b时等号成立，则2a2 +2b2 ³(a+b)2， 因为a+b³3，所以2a2 +2b2 ³(a+b)2 >a+b; 【小问2详解】 a-2b2 + b-2a2 ³ a-2b2 +b-2a2 = 2a2 +2b2 -(a+b) =2a2 +2b2 -(a+b)³(a+b)2 -(a+b)=(a+b)(a+b-1)³3´2=6 第20页/共20页 学科网（北京）股份有限公司