1．了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题．

2．能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题．

考点1 数列与不等式、函数的综合问题

【例1】（2024·广东韶关二模）记R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足x_n＋1＝x_n－f(xn)f′(xn)(n∈N^*)的数列{x_n}称为函数f(x)的“牛顿数列”．已知数列{x_n}为函数f(x)＝x²－x的牛顿数列，且数列{a_n}满足a₁＝2，a_n＝ln xnxn－1，x_n>1.

(1)求a₂；

(2)求证：数列{a_n}是等比数列，并求a_n；

(3)设数列{a_n}的前n项和为S_n，若不等式(－1)ⁿ·tS_n－14≤S2n对任意的n∈N^*恒成立，求t的取值范围．

【解】　(1)因为f(x)＝x²－x，则f′(x)＝2x－1，从而有x_n＋1＝x_n－f(xn)f′(xn)＝x_n－2nx－xn2xn－1＝2nx2xn－1，

由a₁＝2，a_n＝ln xnxn－1，得2＝ln x1x1－1，则x1x1－1＝e²，解得x₁＝e2e2－1，则有x₂＝21x2x1－1＝e4e4－1，所以a₂＝ln x2x2－1＝4.

(2)证明：由x_n＋1＝2nx2xn－1，则xn＋1xn＋1－1＝2n2nx2xn－1x2xn－1＝2n2nxx－2xn＋1＝\a\vs4\al\co1(\f(xnxn－1))2，

所以a_n＋1＝ln xn＋1xn＋1－1＝ln \a\vs4\al\co1(\f(xnxn－1))2＝2ln xnxn－1＝2a_n(x_n>1)，

故an＋1an＝2（非零常数），且a₁＝2≠0，所以数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以a_n＝2×2^n-1＝2ⁿ.

(3)由等比数列的前n项和公式得S_n＝2(1－2n)1－2＝2ⁿ⁺¹－2，

因为不等式(－1)ⁿ·tS_n－14≤S2n对任意的n∈N^*恒成立，又S_n>0且S_n单调递增，所以(－1)ⁿ·t≤S_n＋14Sn对任意的n∈N^*恒成立，令g(x)＝x＋14x，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝1－14×2＝x2－14×2，

当x∈（0，14）时，g′(x)<0，g(x)是减函数，当x∈（14，＋∞）时，g′(x)>0，g(x)是增函数，

又2＝S₁<14<S₂＝6，且g(2)＝9，g(6)＝253，g(6)<g(2)，

则g(x)_min＝g(6)＝253，

当n为偶数时，原式化简为t≤S_n＋14Sn，所以当n＝2时，t≤253；

当n为奇数时，原式化简为－t≤S_n＋14Sn，所以当n＝1时，－t≤9，所以t≥－9.

综上可知，t的取值范围为－9≤t≤253.

数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项公式或前n项和公式，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明．

【对点训练1】（2024·江西鹰潭一模）设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知\f(Snn(n＋1)))是首项为12，公差为13的等差数列．

(1)求{a_n}的通项公式；

(2)令b_n＝(2n－1)anSn，T_n为数列{b_n}的前n项积，求证：T_n≤6^n-1.

解：(1)因为\f(Snn(n＋1)))是首项为12，公差为13的等差数列，

故Snn(n＋1)＝12＋13(n－1)＝n3＋16，即S_n＝\a\vs4\al\co1(\f(n16)n(n＋1)＝n(2n＋1)(n＋1)6，

当n≥2时，S_n－1＝n(2n－1)(n－1)6，

故S_n－S_n－1＝a_n＝n(2n＋1)(n＋1)6－n(2n－1)(n－1)6＝

n(2n2＋3n＋1－2n2＋3n－1)6＝n²，

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×26＝1，符合上式，

故a_n＝n².

(2)证明：由a_n＝n^2，S_n＝n(2n＋1)(n＋1)6，

得b_n＝(2n－1)anSn＝6(2n－1)n2n(2n＋1)(n＋1)＝6(2n－1)n(2n＋1)(n＋1)，则T_n＝b₁b₂…b_n＝6×1×13×2×6×3×25×3×6×5×37×4×…×6(2n－1)n(2n＋1)(n＋1)＝6n(2n＋1)(n＋1)，

因为(2n＋1)(n＋1)≥3×2＝6，故T_n≤6n6＝6^n-1.

考点2 数列的实际应用问题

【例2】“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的．所谓“现值”是指在n期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指n期后的本利和．它们计算的基点分别是存期的起点和终点．例如，在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则S＝A(1＋r)ⁿ，其中，S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值，即n期后的S元现在的价值为A＝S(1＋r)n.

现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案，

方案一：一次性付全款25万元；

方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完．

(1)已知一年期存款的年利率为2.5%，试讨论两种方案哪一种更好？（仅考虑“现值”或“终值”）

(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1 000元，参照第(1)问中的存款年利率2.5%，预计第十年房租到期后小明所获全部租金的终值．（精确到百元）

参考数据：(1＋2.5%)¹⁰≈1.28.

【解】　(1)方法一（从终值来考虑）　若全款购置，则25万元10年后的价值为25×(1＋2.5%)¹⁰≈32.00（万元），

若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值为S＝3×(1＋2.5%)¹⁰＋3×(1＋2.5%)⁹＋…＋3×(1＋2.5%)≈34.44（万元）.

因此，方案一更好．

方法二（从现值来考虑）每年初付款3万元的10年现值之和为

Q＝3＋31＋2.5%＋3(1＋2.5%)2＋…＋3(1＋2.5%)9⇒1.025¹⁰Q＝3×1.025×1－1.025101－1.025⇒Q≈3×41×0.281.28≈26.91（万元），

比购置一次付款25万元多，故方案一更好．

(2)由题意，设第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为T万元，

T＝2×(1＋2.5%)¹⁰＋2.1×(1＋2.5%)⁹＋…＋2.9×(1＋2.5%)，

记1＋2.5%＝q，a_n＝－0.1n＋3，则

T＝a₁q＋a₂q²＋…＋a₉q⁹＋a₁₀q¹⁰，

qT＝a₁q²＋a₂q³＋…＋a₉q¹⁰＋a₁₀q¹¹，

两式相减可得(1－q)T＝2.9q－0.1(q²＋q³＋…＋q¹⁰)－2q¹¹⇒(1－q)T＝3q－0.1(q＋q²＋q³＋…＋q¹⁰)－2q¹¹⇒T＝3·q1－q－0.1·q(1－q10)(1－q)2－2·q111－q≈27.88（万元）.

即第十年房租到期后小明所获全部租金的终值为27.88万元．

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