【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学提高版word讲义第19讲弧度制、任意角的三角函数-夜雨聆风

【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学提高版word讲义第19讲弧度制、任意角的三角函数

第四章　三角函数与解三角形

第19讲　弧度制、任意角的三角函数

链教材　夯基固本

激活思维

1. (人A 必一P176T7(2))若α为第一象限角，则α2是(　D　)

A. 第一象限角B. 第二象限角

C. 第一或第二象限角D. 第一或第三象限角

【解析】因为α为第一象限角，所以2kπ＜α＜2kπ＋π2，k∈Z，所以kπ＜α2＜kπ＋π4，k∈Z.当k＝2n，n∈Z时，2nπ＜α2＜2nπ＋π4，属于第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，2nπ＋π＜α2＜2nπ＋5π4，属于第三象限角，所以α2是第一或第三象限角．

2. 下列各式不正确的是(　C　)

A. －210°＝－7π6B. 405°＝9π4

C. 335°＝23π12D. 705°＝47π12

【解析】对于A，－210°＝－210×π180＝－7π6，故A正确；对于B，405°＝405×π180＝9π4，故B正确；对于C，335°＝335×π180＝67π36，故C错误；对于D，705°＝705×π180＝47π12，故D正确．

3. 当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是(　C　)

A. 1B. 0　

C. 2D. －2

【解析】因为α为第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α＋cos αcos α＝2.

4. (多选)已知角θ的终边上有一点P(a，2a)，若a＜0，则(　BD　)

A. sin θ＝－5)5B. sin θ＝－5)5

C. tan θ＝－12D. tan θ＝2

【解析】由题知sin θ＝2a\r(a2＋4a2)＝2a－\r(5)a＝－5)5，tan θ＝2aa＝2.

5. (人A必一P175练习T6改)已知圆心角为π6的扇形所对的弧长为2π，则该扇形的面积为_12π_．

【解析】因为α＝π6，l＝αr，所以r＝2ππ6＝12，所以扇形面积S＝12lr＝12×2π×12＝12π.

聚焦知识

1. 角的概念的推广

定义	平面内一条射线绕着_端点_从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形
分类	按旋转方向	_正角_、_负角_、_零角_
按终边位置	_象限角_、轴线角
终边相同的角	所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β\|β＝α＋2kπ，k∈Z}

2. 弧度制的定义和公式

定义	长度等于_半径长_的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad
公式	角α的弧度数公式	\|α\|＝lr(l表示弧长)
角度与弧度的换算	①1°＝π180 rad； ②1 rad＝\a\vs4\al\co1(\f(180π))°
弧长公式	l＝_\|α\|r_
扇形面积公式	S＝_12lr_＝_12\|α\|r²_

注意：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．

3. 任意角的三角函数

三角函数	正弦	余弦	正切
定义	设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O 的距离为r
sin α＝yr	cos α＝xr	tan α＝yx (x≠0)
各象限符号	Ⅰ	＋	＋	＋
Ⅱ	＋	－	－
Ⅲ	－	－	＋
Ⅳ	－	＋	－
三角函数线	有向线段_MP_为正弦线	有向线段_OM_为余弦线	有向线段_AT_为正切线