【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学提高版word讲义第43讲第1课时椭圆的概念及基本性质

研题型　素养养成

举题说法

椭圆的定义及应用

例1　(1) (2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x²＋y²＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　A　)

A. x216＋y24＝1(y＞0)　　　　

B. x216＋y28＝1(y＞0)

C. y216＋x24＝1(y＞0)　　　　

D. y216＋x28＝1(y＞0)

【解析】 设点M(x，y)，P(x，y₀)，P′(x，0)，因为M为PP′的中点，所以y₀＝2y，即P(x，2y).又P在圆x²＋y²＝16(y＞0)上，所以x²＋4y²＝16(y＞0)，即x216＋y24＝1(y＞0)，即点M的轨迹方程为x216＋y24＝1(y＞0).

(2) (2019·全国乙卷)已知椭圆C的焦点为F₁(－1，0)，F₂(1，0)，过F₂的直线与C交于A，B两点．若|AF₂|＝2|F₂B|，|AB|＝|BF₁|，则C的方程为(　B　)

A. x22＋y²＝1B. x23＋y22＝1

C. x24＋y23＝1D. x25＋y24＝1

【解析】 如图，设|F₂B|＝n，则|AF₂|＝2n，|BF₁|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF₁|＋|BF₂|＝4n，所以|AF₁|＝2a－|AF₂|＝2n.

(例1(2)答)

方法一：在△AF₁B中，由余弦定理推论得cos ∠F₁AB＝4n2＋9n2－9n22·2n·3n＝13.在△AF₁F₂中，由余弦定理得4n²＋4n²－2·2n·2n·13＝4，解得n＝3)2.从而2a＝4n＝23，则a＝3，b²＝a²－c²＝3－1＝2.故椭圆C的方程为x23＋y22＝1.

方法二：在△AF₁F₂和△BF₁F₂中，由余弦定理得4n2＋4－2·2n·2·cos ∠AF2F1＝4n2，n2＋4－2·n·2·cos ∠BF2F1＝9n2，)又∠AF₂F_1，∠BF₂F₁互补，所以cos ∠AF₂F₁＋cos ∠BF₂F₁＝0，两式消去cos ∠AF₂F₁，cos ∠BF₂F₁，得3n²＋6＝11n²，解得n＝3)2.从而2a＝4n＝23，则a＝3，b²＝a²－c²＝3－1＝2，故椭圆C的方程为x23＋y22＝1.

(1) 椭圆的定义具有双向作用，即若|PF₁|＋|PF₂|＝2a(2a＞|F₁F₂|)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a.

(2) 椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．

变式1(2021·新高考Ⅰ卷)已知F_1，F2是椭圆C：x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF₁|·|MF₂|的最大值为(　C　)

A. 13B. 12　

C. 9D. 6

【解析】 由椭圆C：x29＋y24＝1，得|MF₁|＋|MF₂|＝2×3＝6，则|MF₁|·|MF₂|≤\a\vs4\al\co1(\f(|MF1|＋|MF2|2))2＝3²＝9，当且仅当|MF₁|＝|MF₂|＝3时等号成立．

椭圆的标准方程

例2　(1) 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，过点A(3，0)，且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为_x29＋y²＝1或y281＋x29＝1_．

【解析】方法一：若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0).由题意得2a＝3×2b，90b2)＝1，解得a＝3，b＝1，)所以椭圆的标准方程为x29＋y²＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0).由题意得2a＝3×2b，09b2)＝1，解得a＝9，b＝3，)所以椭圆的标准方程为y281＋x29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x29＋y²＝1或y281＋x29＝1.

方法二：设椭圆的方程为x2m＋y2n＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由题意知\f(9mm)＝3×2\r(n)或\f(9mn)＝3×2\r(m)，解得m＝9，n＝1)或m＝9，n＝81，)所以椭圆的标准方程为x29＋y²＝1或y281＋x29＝1.

(2) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，点P\a\vs4\al\co1(\f(83\r(35)在椭圆上，|BP|＝165，则椭圆C的标准方程为_x24＋y23＝1_．

【解析】 由B(0，b)，P\a\vs4\al\co1(\f(83\r(35)，|BP|＝165，得\a\vs4\al\co1(－\f(85))2＋\a\vs4\al\co1(b＋\f(3\r(3)5))2＝\a\vs4\al\co1(\f(165))2，解得b＝3.又点P\a\vs4\al\co1(\f(83\r(35)在椭圆上，则\rc\2a2＋\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(32b2＝1，解得a＝2，所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.

求椭圆方程的两个基本方法

(1) 定义法：根据椭圆的定义确定a^2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆方程．

(2) 待定系数法：先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx²＋ny²＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．

椭圆的简单几何性质

视角1　离心率

例 3-1　(1) (2024·苏锡常镇二调)已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过E的右焦点且斜率为1的直线l交E于A，B两点，且原点O到直线l的距离等于E的短轴长，则E的离心率为(　A　)

A. 2)3B. 6)3

C. 3)3D. 13

【解析】 设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，右焦点为F(c，0)，所以直线l的方程为y＝x－c.因为原点O到直线l的距离等于E的短轴长，所以c\r(2)＝2b，得c²＝8b².又a²＝b²＋c²，所以c²＝8(a²－c²)，即8a²＝9c²，所以e＝ca＝2)3.

(2) (2024·湛江二模)已知F_1，F2是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足|PF₁|²＝19|PF₂|²，则C的离心率的取值范围是_\f(10－\r(19)9)，1)_．

【解析】 因为|PF₁|²＝19|PF₂|²，所以|PF₁|＝19|PF₂|，则2a＝|PF₁|＋|PF₂|＝(19＋1)|PF₂|，

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