圆中最值：一箭穿心

同学们好！前面几讲的动点都在直线上跑。今天换个场景——动点跑到圆上去了。别慌，工具还是上一讲那件（三边关系），只是这次要多用一条线：连心线。

一、问题是怎么来的

如图，⊙O 的半径为 r，点 P 是圆外一点，A 是 ⊙O 上的动点。问：A 滑到哪儿时 PA 最短？滑到哪儿时 PA 最长？

二、核心思路：连心线一穿，近小远大

把 P 和圆心 O 连起来，这条连心线穿过 ⊙O，会交圆于两点：

- 靠近 P 的那个交点 A₁（近点）； 

- 远离 P 的那个交点 A₂（远点）。

结论非常干脆：

PA 的最小值 = PA₁ = PO − r

PA 的最大值 = PA₂ = PO + r

为什么？ 用上一讲的三角形三边关系就能证明：

- 对任意圆上点 A，在 △POA 中（或三点共线时），恒有 PA ≥ PO − OA = PO − r， 当且仅当 A 落在线段 PO 上（即 A = A₁）时取等号； 

- 同理恒有 PA ≤ PO + OA = PO + r， 当且仅当 A 落在 PO 的延长线上（即 A = A₂）时取等号。

你看，不用作任何辅助线，连上圆心，两个最值就同时出来了。这就是"一箭穿心"。

三、解题三步法

1. 连心线：连接定点 P 与圆心 O。 

2. 找两点：直线 PO 与 ⊙O 交于两点——近点 A₁、远点 A₂。 

3. 下结论：PA₁ = PO − r 为最小值，PA₂ = PO + r 为最大值。

一句话：圆上动点求最值，连上圆心一箭穿心，近小远大。

顺带记两个变式：

- 点 P 在圆内（PO < r）：最小值 = r − PO，最大值 = r + PO（同样在连心线上取到）。 - 圆上一点 A 到定直线 l 的距离：过 O 作 l 的垂线，交圆于两点， 则最小距离 = |d − r|，最大距离 = d + r（其中 d = 圆心 O 到直线 l 的距离）。

四、小试牛刀

例题：如图，⊙O 的半径为 3，点 P 在圆外且 OP = 5，点 A 是 ⊙O 上的动点。求 PA 的最小值和最大值。

做法：

- 连 PO，交 ⊙O 于近点 A₁ 和远点 A₂； 

- 由一箭穿心：

PA 最小值 = PO − r = 5 − 3 = 2

PA 最大值 = PO + r = 5 + 3 = 8

- 答：PA 的最小值为 2，最大值为 8。

小贴士：这类题常和"切线""直角三角形"一起考。见到"圆上动点 + 到定点的距离"，

第一反应就应该是**连圆心**——不要去作切线，也不要去设角度，连心线一步到位。

五、今日小结

- 圆中最值的本质：连心线与三边关系的组合，把"圆上动点"问题拉回"共线取等"。 

- 口诀：圆上动点求最值，一箭穿心连心线；近点最小，远点最大。

- 它再次印证了第 5 讲的道理：三边关系是所有"和最小、差最大"问题的共同依据， 圆只是给动点换了个跑道，底层逻辑没变。

把今天的思路在草稿纸上画一遍，你就真正掌握了。我们明天见！

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