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专题 03 圆中最值之一箭穿心、瓜豆原理与相
切
一箭穿心得最值
圆外一定点A到圆上一动点P的距离最值，分两种情况：（核心---AP所在直线过圆心）
A O
A O P
P AP最大 A P O
AP最小
瓜豆原理之圆
一、模型：A为圆外一定点，当点P在圆O上运动时，则AP中点M（如上图）的运动轨迹为：
以AO中点O’为圆心，O‘M为半径的圆。
P P
M M
O O
A A O'
二、模型结论：
1.轨迹：点M的轨迹是个圆。
2.圆心：O'是AO的中点。
1
3.O’M= OP。
2
三、模型的五种常考图
O' O O'
M O
A
A
M P
P
两圆相离 两圆相外切
00'>R+r 00'=R+rO' O'
O' O A O
M
A M M
P
P P
两圆相离 两圆相内切 两圆相内含
00'>R+r
00'=R-r 00'<R-r
典例分析：
典例1
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，P是△ABC所在
平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为 √5− 1 ≤ PC ≤√5+ 1 ．
解题思路：据条件可知线段AB是定值且AB所对的张角∠APB是定值，根据直径所对圆周角为
直角可知，动点P的运动轨迹在过点A、B、P三点的圆周上（不与A、B重合），（隐圆）连接
CO并延长交圆O分别为P 、P ，PC的在P C最小，P C最大，（一箭穿心）
1 2 1 2
答案详解：解：∵PA⊥PB，即∠APB＝90°，AB＝BC＝2，
∴点P在以AB为直径、AB的中点O为圆心的 O上，
⊙
如图，连接CO交 O于点P ，并延长CO交 O于点P ，
1 2
1 ⊙ ⊙
∵BO= AB＝1、BC＝2，∠ABC＝90°，
2∴CO ，
=√BC2+BO2=√22+12=√5
当点P位于点P 时，PC的长度最小，此时PC＝OC﹣OP=√5−1；
1
当点P位于点P 时，PC的长度最大．此时PC＝OC+OP=√5+1；
2
∴√5−1≤PC≤√5+1，
所以答案是：√5−1≤PC≤√5+1．
典例2
如图，已知线段OP交 O于点B，且OB＝PB＝4，点A是 O上的一个动
⊙ ⊙
点，那么点B到直线AP距离的最大值为 2 ．
试题分析：如图，过点B作BH⊥AP于H，过点O作OT⊥AP于T．利用三角形中位线定理证明
1
BH= OT，求出OT的最大值即可解决问题．
2
答案详解：解：如图，过点B作BH⊥AP于H，过点O作OT⊥AP于T．
∵∠BHP＝∠OTB＝90°，
∴BH∥OT，
∵BP＝OB，
∴TH＝HP，
1
∴BH= OT，
2
当PA与 O相切时，OT＝4，此时BH的值最大，最大值为2，
所以答案⊙是：2．实战训练
一．最值之一箭穿心类
1．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿
MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）
A．2√3 B．√3+1 C．2√7−2 D．3
2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以A为圆心，1为半径画 A，E是圆 A上一动点，P
是BC上一动点，则PE+PD最小值是（ ） ⊙ ⊙
A．2 B．3 C．4 D．2√3
3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，P是△ABC所在平面内一点，且
满足PA⊥PB，则PC的取值范围为 ．
二．最值之瓜豆原理
4．如图，在直角坐标系中， A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C
是 A上的动点，点P是B⊙C的中点，则OP的范围是 ．
⊙5．如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD
的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为 ．
6．如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的 B经过原点O，
BC⊥x轴于点C，点D为 B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大⊙值为 ．
⊙
7．如图，A是 B上任意一点，点C在 B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则
△BCD的面积⊙的最大值为（ ） ⊙
A．4√3+4 B．4 C．4√3+8 D．6
三．最值之相切类
8．如图，等边三角形ABC的边长为4， C的半径为√3，P为AB边上一动点，过点P作 C的切
线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（⊙ ） ⊙A．3 B．2√3 C．3√2 D．√19
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为 O直径，
作AD交 O于点E，连BE，则BE的最小值为（ ） ⊙
⊙
A．6 B．8 C．10 D．12
10．如图，已知 O的直径AB为8，点M是 O外一点，若MB是 O的切线，B为切点，且MB
＝3，Q为 O⊙上一动点，则MQ的最小值为⊙ ． ⊙
⊙
11．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，点P在线段AC上，以P为圆心，PA长为半径的
圆与边AB相交于另一点D，点Q在直线BC上，且DQ是 P的切线，则PQ的最小值为
． ⊙
12．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，点O为BC上的点， O的半径
OC＝1，点D是AB边上的动点，过点D作 O的一条切线DE（点E为切点），则⊙线段DE的
最小值为 ． ⊙
