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【满分秘诀】专题 08 整式乘法运算（满分突破）
1．已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是（ ）
A．8 B．±8 C．16 D．±16
2．已知a+b＝3，ab＝2，则a2+b2的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．观察下列各式及其展开式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
4．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a
5．已知a+ ＝3，则a2+ 的值是 ．
6．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则（a+b）6＝ ．
7．（1）已知x+y＝3，xy＝2．求x2+y2、（x﹣y）2的值；
（2）已知x+2y＝3，xy＝1．求x2﹣xy+4y2的值．8．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2得：
2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得2S﹣S＝22014﹣1
即S＝22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
9．阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘 记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为
底8的对数，记为log 8（即log 8＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则
2 2
n叫做以a为底b的对数，记为log b（即log b＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81
a a
的对数，记为log 81（即log 81＝4）．
3 3
（1）计算以下各对数的值：
log 4＝ ，log 16＝ ，log 64＝ ．
2 2 2
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 4、log 16、log 64之间
2 2 2
又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
log M+log N＝ ；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
a a
（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义证明上述结论．
10．我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：m（a+b+c）＝ma+mb+mc（如图1），多项式乘多
项式的运算法则：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd（如图2），以及完全平方公式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图3）．
把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研
究数学问题的一种常用方法．
（1）请设计一个图形说明等式（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2成立（画出示意图，并标
上字母）
（2）如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形 EFGH
拼成的一个大正方形ABCD．如果每个直角三角形的较短的边长为a，较长的边长为b，
最长的边长为c，试用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，你能发现直角三角形
的三边长a、b、c的什么数量关系？（注：写出解答过程）
11．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图
1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式 ．
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ ．
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为
a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝ ．
12．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab﹣b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例
如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2．
∴a2+b2+2ab＝9．
∴a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）①若x+y＝8，x2+y2＝40，则xy＝ ；
②若2a+b＝5，ab＝2，则2a﹣b＝ ；
③若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2 ；
（2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正
方形的面积和S +S ＝16，求△AFC的面积．
1 2
13．阅读理解：若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．
解：设（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣
x）+（x﹣60）＝20，所以（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30
＝340．解决问题：
（1）若x满足（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值；
（2）若x满足（2017﹣x）2+（2015﹣x）2＝4038，求（2017﹣x）（2015﹣x）的值；
（3）如图，正方形 ABCD的边长为 x，AE＝10，CG＝20，长方形 EFGD的面积是
500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积
（结果必须是一个具体的数值）．
