文档内容
【满分秘诀】专题 09 分式（考点突破）
【思维导图】【常见考法】
【真题分点透练】
【考点1 分式概念及性质】
1．下列式子中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解： 、 、 的分母中不含有字母，不是分式； 的分母中含
有字母，是分式．故选：C．
2．下列各式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；
B、原式＝ ，不符合题意；
C、原式＝ ，不符合题意；
D、原式＝6，不符合题意．
故选：A．
3．要使分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝7 B．x＞7 C．x＜7 D．x≠7
【答案】D
【解答】解：由题意得：x﹣7≠0，
解得：x≠7，
故选：D．
4．不论x取何值，分式都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、当2x+1＝0，即x＝﹣ 时，分式 无意义，本选项不符
合题意；
B、当2x﹣1＝0，即x＝ 时，分式 无意义，本选项不符合题意；
C、当x＝0时，分式 无意义，本选项不符合题意；
D、∵2x2+1＞0，∴不论x取何值，分式 都有意义，本选项符合题意；
故选：D．
5．下列分式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A、 ≠ ，故A不符合题意；
B、 ＝ （c≠0），故B不符合题意；
C、 ＝ ，故C符合题意；
D、 ≠ ，故D不符合题意；
故选：C．
6．如果把 的x与y都扩大到原来的5倍，那么这个代数式的值将（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．扩大10倍
【答案】B
【解答】解：由题意得：
＝ ＝ ，
∴如果把 的x与y都扩大到原来的5倍，那么这个代数式的值将扩大5倍，
故选：B．
7．把分式 中的x，y都扩大5倍，则分式的值（ ）
A．扩大5倍 B．扩大10倍 C．缩小一半 D．不变【答案】D
【解答】解：∵ ＝ ＝ ，
∴把分式 中的x，y都扩大5倍，则分式的值不变，
故选：D
【考点2分式加减】
8.化简 ﹣ 的结果是（ ）
A．m+3 B．m﹣3 C． D．
【答案】A
【解答】解：原式＝ ＝ ＝m+3．
故选：A．
9.（2018•淄博）化简 的结果为（ ）
A． B．a﹣1 C．a D．1
【答案】B
【解答】解：原式＝ +
＝
＝a﹣1
故选：B．
【考点3 分式乘除】
10.计算 • 的结果是（ ）A． B． C． D．0
【答案】C
【解答】解： • ＝ ．
故选：C．
11.（2022春•石狮市期末）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：原式＝ ．
故选：B．
12.（2022•和平区二模）化简： •（x+2）＝（ ）
A． B．x C． D．x﹣2
【答案】C
【解答】解：原式＝ •（x+2）
＝ ，故选C
【考点4 分式化简求值】
13.先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中a＝3．
【解答】解：（ ﹣ ）÷＝
＝
＝ ，
当a＝3时，原式＝ ＝4．
14．先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中x＝2．
【解答】解：（ + ）÷
＝（ + ）•
＝ •
＝x﹣1，
当x＝2时，运算＝2﹣1＝1．
15．先化简，再求值： ÷ +1，在0，1，2三个数中选一个合适的，
代入求值．
【解答】解： ÷ +1
＝ ÷ +1
＝ × +1＝ +1
＝ ，
当x＝0或2时，分式无意义，
故x只能等于1，
原式＝ ．
【考点5 （解）分式方程】
16．解分式方程 ﹣4＝ 时，去分母正确的是（ ）
A．1﹣4（x﹣3）＝﹣2 B．1﹣4（x﹣3）＝2
C．1﹣4（3﹣x）＝﹣2 D．1﹣4（3x）＝2
【答案】A
【解答】解：分式方程整理得： ﹣4＝﹣ ，
去分母得：1﹣4（x﹣3）＝﹣2．
故选：A．
17．解分式方程：
（1） ；
（2） ＝ ﹣1．
【解答】解：（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），
得x+2＝4，
解得x＝2．
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2不是原方程的解．
∴原分式方程无解．
（2）方程两边同乘（x﹣2）（x+3），
得6（x+3）＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）（x+3）．
整理，得6x+18＝﹣3x+6．解这个方程，得x＝﹣ ．
检验：当x＝﹣ 时，（x﹣2）（x+3）＝（﹣ ﹣2）（﹣ +3）
＝（﹣ ）×
＝﹣ ．
∴原分式方程的解为x＝﹣ ．
18．解方程： ．
【解答】解：方程两边都乘3（x+1），
得：3x﹣2x＝3（x+1），
解得：x＝﹣ ，
检验：当x＝﹣ 时，3（x+1）≠0，
∴x＝﹣ 是方程的解，
∴原方程的解为x＝﹣ ．
19．解方程： ．
【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2），
得：x﹣3+（x﹣2）＝﹣3，
解得x＝1，
检验：x＝1时，x﹣2≠0，
∴x＝1是原分式方程的解．
【考点6 分式方程应用】
20．已知水流速度为3千米/时，轮船顺水航行120千米所需的时间与逆水航行
90千米所需的时间相同，求轮船在静水中的速度，设轮船在静水中的速度为
x千米/时，可列方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：∵水流速度为3千米/时，轮船在静水中的速度为x千米/时，
∴轮船顺水航行的速度为（x+3）千米/时，轮船逆水航行的速度为（x﹣3）
千米/时．
根据题意得： ＝ ．
故选：A．
21．在创建文明县城的进程中，我县为美化县城环境，计划植树 20万棵，由于
志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前3天完成任务，设
原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意可得，
＝3，
故选：A．
22．某服装店购进一批甲、乙两种款型衬衫，甲种款型共用了 7800元，乙种款
型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件
的进价比乙种款型每件的进价少30元．问甲、乙两种款型的衬衫各购进多少
件？设乙种款型的衬衫购进x件，所列方程为（ ）
A． ﹣30＝ B． ＝ ﹣30
C． +30＝ D． ﹣30＝
【答案】C
【解答】解：∵购进甲种款型的件数是乙种款型件数的 1.5倍，且乙种款型的衬衫购进x件，
∴甲种款型的衬衫购进1.5x件，
依题意得： +30＝ ．
故选：C．
23．为抗击新型冠状病毒，某药店计划购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知
一袋甲种口罩的进价与一袋乙种口罩的进价和为 40元，用90元购进甲种口
罩的袋数与用150元购进乙种口罩的袋数相同，求每袋甲种口罩的进价是多
少元？设每袋甲种口罩的进价是x元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设每袋甲种口罩的进价为 x元，则每袋乙种口罩进价为（40﹣
x）元，
依题意得： ＝ ．
故选：A．
24．“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平培育的杂交水稻解决了
全球多个国家的温饱问题．某试验基地现有 A、B两块试验田，分别种植甲、
乙两种杂交水稻，今年两块实验田分别收获了24吨和30吨水稻．已知甲种
杂交水稻的亩产量是乙种杂交水稻的亩产量的1.2倍，A块试验田比B块试验
田少 10 亩，设乙种杂交水稻的亩产量是 x 吨，则可列得的方程为
．
【答案】 ﹣ ＝ 1 0
【解答】解：∵甲种杂交水稻的亩产量是乙种杂交水稻的亩产量的 1.2倍，
乙种杂交水稻的亩产量是x吨，
∴甲种杂交水稻的亩产量是1.2x吨．
依题意得： ﹣ ＝10．故答案为： ﹣ ＝10．
25．第24届冬奥会将于2022年2月4日在北京市和张家口市举行，某经销商预
测有“冰墩墩”吉祥物标志的甲、乙两种纪念品能畅销．经核算，用 1650元
购买甲种纪念品的数量比用4400元购买乙种纪念品的数量多10个，且乙种
纪念品的单价是甲种纪念品的4倍．
（1）求甲、乙两种纪念品的单价；
（2）现该经销商计划购买甲、乙两种纪念品共2100个，购买甲种纪念品的
数量不超过800个，且甲种纪念品的数量不低于乙种纪念品的数量的一半，
求购买甲种纪念品的数量的取值范围．
【解答】解：（1）设甲种纪念品的单价为x元，则乙种纪念品的单价为 4x
元，
由题意得： ﹣ ＝10，
解这个分式方程得：x＝55，
经检验，x＝55是原方程的解，且符合题意，
∴4x＝4×55＝220，
答：甲种纪念品的单价为55元，乙种纪念品的单价为220元；
（2）设购买甲种纪念品的数量为a个，则购买乙种纪念品的数量为（2100﹣
a）个，
由题意得： ，
解这个不等式组得：700≤a≤800，
∴甲种纪念品的数量a的取值范围为700≤a≤800，且a为正整数．
26．某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个
工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积
的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使
这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意
得：
﹣ ＝4，
解得：x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：
0.4y+ ×0.25≤8，
解得：y≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．
27．荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比
购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则
购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半．
（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电
筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且
该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过 670元，那么荣庆公司最多可购买
多少个该品牌台灯？
【解答】解：（1）设购买该品牌一个手电筒需要 x元，则购买一个台灯需要
（x+20）元．
根据题意 得 ＝ ×
解得 x＝5
经检验，x＝5是原方程的解．
所以 x+20＝25．
答：购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元；（2）设公司购买台灯的个数为 a，则还需要购买手电筒的个数是（2a+8﹣
a）
由题意得 25a+5（2a+8﹣a）≤670
解得 a≤21
∴荣庆公司最多可购买21个该品牌的台灯．
答：每件衬衫的标价至少是150元．
28．某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单
价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个
数相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）该校打算用1000元购买篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、
足球都买有的购买方案有哪几种？
【解答】解：（1）设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，由题意得：
＝ ，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原分式方程的解，
则x+40＝100，
答：篮球和足球的单价各是100元，60元；
（2）设恰好用完1000元，可购买篮球m个和购买足球n个，
由题意得：100m+60n＝1000，
整理得：m＝10﹣ n，
∵m、n都是正整数，
∴①n＝5时，m＝7，②n＝10时，m＝4，③n＝15，m＝1；
∴有三种方案：
①购买篮球7个，购买足球5个；
②购买篮球4个，购买足球10个；
③购买篮球1个，购买足球15个．
