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【满分秘诀】专题 07 整式乘法运算（考点突破）
【思维导图】【常见考法】
【真题分点透练】【考点1 幂运算】
1．计算（﹣a2）3的结果是（ ）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
【答案】D
【解答】解：（﹣a2）3＝﹣a2×3＝﹣a6．
故选：D．
2．计算（a2）3的结果是（ ）
A．a5 B．a6 C．a8 D．3 a2
【答案】B
【解答】解：（a2）3＝a6．
故选：B．
3．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．x3•x3＝x6 B．3x2+2x2＝5x4
C．（x2）3＝x5 D．（x+y）2＝x2+y2
【答案】A
【解答】解：A、x3•x3＝x6，本选项正确；
B、3x2+2x2＝5x2，本选项错误；
C、（x2）3＝x6，本选项错误；
D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，本选项错误，
故选：A．
4．已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为（ ）
A．9 B． C．12 D．
【答案】C
【解答】解：∵xm＝6，xn＝3，
∴x2m﹣n＝（xm）2÷xn＝62÷3＝12．
故选：C．
5．计算2x2•（﹣3x3）的结果是（ ）
A．﹣6x5 B．6x5 C．﹣2x6 D．2x6
【答案】A
【解答】解：2x2•（﹣3x3），＝2×（﹣3）•（x2•x3），
＝﹣6x5．
故选：A．
6．（1）若am＝2，an＝5，求a3m+2n的值．
（2）若3×9x×27x＝321，求x的值．
【解答】解：（1）当am＝2，an＝5，
a3m+2n＝a3m•a2n
＝（am）3•（an）2
＝23×52
＝8×25
＝200．
（2）3×9x×27x＝3×32x×33x＝36x，
36x＝321，
6x＝21，
x＝ ．
7．计算：（2a2）2﹣a•3a3+a5÷a．
【解答】解：（2a2）2﹣a•3a3+a5÷a＝4a4﹣3a4+a4＝2a4；
【考点2 整式乘除法运算】
8．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【答案】A
【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，
又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，
∴3+m＝0，
解得m＝﹣3．
故选：A．
9．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（ ）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【答案】C
【解答】解：长方形的面积等于：2a（a+b），
也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab＝2a2+2ab，
即2a（a+b）＝2a2+2ab．
故选：C．
10．先化简，再求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝ ，b＝﹣1．
【解答】解：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），
＝a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2，
＝﹣2ab，
当a＝ ，b＝﹣1时，原式＝﹣2× ×（﹣1）＝1；
11．先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣y（2x+y）]÷2x，其中x＝2，y＝﹣1．
【解答】解：原式＝（4x2﹣4xy+y2﹣2xy﹣y2）÷2x
＝（4x2﹣6xy）÷2x
＝2x﹣3y．
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×2﹣3×（﹣1）＝7．
12．先化简，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x＝﹣1．
【解答】解：原式＝4（x2﹣2x+1）﹣（4x2﹣9）
＝4x2﹣8x+4﹣4x2+9
＝﹣8x+13，
当x＝﹣1时，原式＝8+13＝21．
13．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将
阴影部分进行绿化，中间将修建一处底座边长为（a+b）米的正方形雕像，则绿化的面
积是多少平方米？并求出当a＝5，b＝2时的绿化面积．【解答】解：S阴影 ＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝（5a2+3ab）平方米，
∴绿化的面积是（5a2+3ab）平方米；
当a＝5，b＝2时，
原式＝5×25+3×5×2
＝125+30
＝155（平方米），
∴当a＝5，b＝2时的绿化面积为155平方米．
14．如图，某中学校园内有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校
计划在中间留一块长为（2a﹣b）米、宽为2b米的小长方形地块修建一座雕像，然后将
阴影部分进行绿化．
（1）求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）
（2）当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积．
【解答】解：（1）∵（3a+2b）×（2a+b）＝（6a2+7ab+2b2）平方米，
∴长方形地块的面积为（6a2+7ab+2b2）平方米；
（2）∵绿化部分的面积为6a2+7ab+2b2﹣（4ab﹣2b2）＝（6a2+3ab+4b2）平方米；
∴当a＝3，b＝1时，
6a2+3ab+4b2
＝6×3×1+3×1×3+4×1×1
＝31（平方米），∴绿化部分的面积为31平方米．
15．某学校教学楼前有一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，
如图所示，空白的A、B两正方形区域是草坪，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均
为（a+b）米．
请你求出要铺地砖的面积是多少？
【解答】解：（6a+2b）（4a+2b）﹣2（a+b）2
＝24a2+20ab+4b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2
＝（22a2+16ab+2b2）米2，
答：要铺地砖的面积是（22a2+16ab+2b2）米2．
【考点3 公式法有关计算及应用】
16．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的
部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证
（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
【答案】C
【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
177．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a
＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为
（ ）
A．（2a2+5a）cm2 B．（6a+15）cm2
C．（6a+9）cm2 D．（3a+15）cm2
【答案】B
【解答】解：矩形的面积是：（a+4）2﹣（a+1）2
＝（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）
＝3（2a+5）
＝6a+15（cm2）．
故选：B．
18．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下
部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于 a、b的恒
等式为（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）
【答案】C
【解答】解：正方形中，S阴影 ＝a2﹣b2；梯形中，S阴影 ＝ （2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；
故所得恒等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
19．x2+kx+9是完全平方式，则k＝ ．
【答案】±6
【解答】解：中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，
故k＝±6．
20．若m2﹣n2＝6，且m﹣n＝2，则m+n＝ ．
【答案】3
【解答】解：m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝（m+n）×2＝6，
故m+n＝3．
故答案为：3．
21．【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影
部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可
以得到乘法公式 ．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【解答】解：
【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12，
∵（2m+n）•（2m﹣n）＝4m2﹣n2，
∴2m﹣n＝3．
故答案为3．
（2）20192﹣2020×2018
＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）
＝20192﹣（20192﹣1）
＝20192﹣20192+1
＝1；
【拓展】
1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×
（2﹣1）
＝199+195+…+7+3
＝5050．
22．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，
然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 ；
（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，则x﹣y＝ ；
（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？
（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）＝m2+4mn+3n2．
【解答】解：（1）（m﹣n）2（3分）
（2）（m﹣n）2+4mn＝（m+n）2（3分）
（3）±5（3分）
（4）（m+n）（2m+n）＝2m2+3mn+n2（3分）（5）答案不唯一：（4分）
例如：
23．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一
个长方形（如图2）
（1）探究：上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9x2﹣4y2＝24，3x+2y＝6，求3x﹣2y的值；
②计算： ．
【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是 a2﹣b2，第二个图形的面积是
（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案是B；
（2）①∵9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y），
∴24＝6（3x﹣2y）
得：3x﹣2y＝4；②原式＝（1﹣ ）（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）…（1﹣ ）（1+
），
＝ × × × × × ×…× × × × ，
＝ × ，
＝ ．
【考点4 因式分解】
24．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A．a （x+y）＝a x+a y
B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x
【答案】C
【解答】解：A、a （x+y）＝ax+ay，是整式的乘法运算，故此选项不合题意；
B、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故此选项不合题意；
C、10x2﹣5x＝5x（2x﹣1），正确，符合题意；
D、x2﹣16+3x，无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：C．
25．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
【答案】B
【解答】解：因式分解是指将一个多项式化为几个整式的乘积，
故选：B．
26．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9
【答案】D
【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；
C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；
D、﹣x2+9＝﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．
故选：D．
27．分解因式：x3﹣4x＝ ．
【答案】 x （ x +2 ）（ x ﹣ 2 ）
【解答】解：x3﹣4x，
＝x（x2﹣4），
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
28．因式分解：2x2﹣8＝ ．
【答案】 2 （ x +2 ）（ x ﹣ 2 ）
【解答】解：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．
29．分解因式：2a2﹣8＝ ．
【答案】 2 （ a + 2 ）（ a ﹣ 2 ）
【解答】解：2a2﹣8
＝2（a2﹣4），
＝2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
30．分解因式：x3﹣2x2+x＝ ．
【答案】 x （ x ﹣ 1 ） 2
【解答】解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
31．已知x+y＝6，xy＝4，则x2y+xy2的值为 ．
【答案】24
【解答】解：∵x+y＝6，xy＝4，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝4×6＝24．
故答案为：24．
32．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 ．【答案】70
【解答】解：∵a+b＝7，ab＝10，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝70．
故答案为：70．
33．若ab＝2，a﹣b＝﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于 ．
【答案】-2
【解答】解：∵ab＝2，a﹣b＝﹣1，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝2×（﹣1）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
34．把下列多项式分解因式．
（1）a3﹣9ab2；
（2）3x2﹣12xy+12y2．
【解答】解：（1）a3﹣9ab2
＝a（a2﹣9b2）
＝a（a﹣3b）（a+3b）；
（2）3x2﹣12xy+12y2
＝3（x2﹣4xy+4y2）
＝3（x﹣2y）2．
35．因式分解：
（1）x2﹣x﹣6；
（2）﹣3ma2+12ma﹣12m．
【解答】解：（1）原式＝（x﹣3）（x+2）；
（2）原式＝﹣3m（a2﹣4a+4）
＝﹣3m（a﹣2）2．
36．因式分解
（1）﹣2a3+12a2﹣18a
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）【解答】解：（1）原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）＝﹣2a（a﹣3）2；
（2）原式＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
37．把下列多项式因式分解：
（1）x（y﹣3）﹣（2y﹣6）；
（2）4xy2﹣4x2y﹣y3．
【解答】解：（1）x（y﹣3）﹣（2y﹣6）
＝x（y﹣3）﹣2（y﹣3）
＝（y﹣3）（x﹣2）；
（2）4xy2﹣4x2y﹣y3
＝y（4xy﹣4x2﹣y2）
＝﹣y（4x2﹣4xy+y2）
＝﹣y（2x﹣y）2．
