文档内容
【满分秘诀】专题 05 轴对称（考点突破）
【思维导图】【常见考法】
【真题分点透练】
【考点1 轴对称图形】
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【考点2 轴对称性质】
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠A＝∠A′＝50°，∠C＝∠C′＝30°；
∴∠B＝180°﹣80°＝100°．
故选：D．
4．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表
的实际时刻是 ．
【答案】 10 ： 21
【解答】解：电子表的实际时刻是10：21，可以把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过
来看到的读数就是实际读数．
故答案为10：21
【考点3 垂直平分线的性质】
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点
M，交 AB 于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，则 MN 的长为
（ ）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】C
【解答】解：
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，
∴AB＝ ＝2 cm＝AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE＝ AB＝ cm
同理CF＝ cm，
∴BM＝ ＝2cm，
同理CN＝2cm，
∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，
故选：C．
6．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的
周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）
A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm【答案】C
【解答】解：∵AB的垂直平分AB，
∴AE＝BE，BD＝AD，
∵AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，
∴△ABC的周长是9+2×3＝15cm，
故选：C．
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点
E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE
∴∠EAC＝∠C，
又∵∠B＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠AEB＝80°，
又∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，
∴∠C＝40°．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交 AB于点D，交边AC于点E，
△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【答案】C【解答】解：∵DE是边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE．
∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝18．
又∵BC＝8，
∴AC＝10（cm）．
故选：C．
9．与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．三边的垂直平分线的交点
【答案】D
【解答】解：如图：
∵OA＝OB，∴O在线段AB的垂直平分线上，
∵OB＝OC，∴O在线段BC的垂直平分线上，
∵OA＝OC，∴O在线段AC的垂直平分线上，
又三个交点相交于一点，
∴与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点．
故选：D．
【考点4 关于坐标轴对称的点的坐标性质】
10．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是 ．
【答案】 （﹣ 2 ，﹣ 3 ）
【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
11．已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），则ab的值为 ．
【答案】25【解答】解：∵点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），
∴ ，
解得： ，
则ab的值为：（﹣5）2＝25．
故答案为：25．
12．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n＝ ．
【答案】0
【解答】解：∵点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，
∴m+2＝4，3＝n+5，
解得：m＝2，n＝﹣2，
∴m+n＝0，
故答案为：0．
【考点5 画轴对称图形】
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求出△ABC的面积．
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A B C ．
1 1 1
（3）写出点A ，B ，C 的坐标．
1 1 1
【解答】解：（1）S△ABC ＝ ×5×3＝ （或7.5）（平方单位）．
（2）如图．
（3）A （1，5），B （1，0），C （4，3）．
1 1 1【考点6 等腰三角形的性质】
14．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
【答案】A
【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7＝17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
【答案】D
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点
∴∠B＝∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD＝∠CAD（故C正确）
无法得到AB＝2BD，（故D不正确）．
故选：D．
16．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．80°或20° B．80° C．80°或50° D．20°
【答案】A【解答】解：分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时，底角为 （180°﹣80°）＝
50°；
②当80°角为底角时，另一底角也为80°，顶角为20°；
综上所述：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是80°或20°；
故选：A．
17．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】A
【解答】解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝70°，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝110°，
∵AD＝CD，
∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣110°）÷2＝35°，
故选：A．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．60°
【答案】C
【解答】解：AB＝AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，
∵∠BAD＝35°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，
∴∠C＝ （180°﹣70°）＝55°．故选：C．
19．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．
【解答】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，
∴BP＝PC；
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．
20．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接
EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE＝5，求BC长．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AC，
∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；
（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，
∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，
∴∠BEC＝∠B，
∴BC＝EC＝5．
答：（1）∠ECD的度数是36°；
（2）BC长是5．
【考点7 等腰三角形的判定】
21．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于
M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，
∴BM＝ME，EN＝CN，
∴MN＝ME+EN，
即MN＝BM+CN．
∵BM+CN＝9
∴MN＝9，
故选：D．
22.如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是
（ ）A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝ ×72°＝36°，
∴∠ABD＝∠A，
∴△ABD为等腰三角形，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC为等腰三角形．
故选：D．
23．已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN∥BC，分别
交AB、AC于点M、N．
求证：MN＝BM+CN．
【解答】证明：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，
∴BM＝MO，ON＝CN，
∴MN＝MO+ON＝BM+CN．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，
BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝ （180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°25．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC
于点F．
求证：（1）∠B＝∠C．
（2）△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C；
（2）由（1）可得∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
【考点8 等边三角形的性质】
26.如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠BAE＝20°，则∠DCE等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B
【解答】解：过点E作EJ∥CD．
∵△ACE是等边三角形，
∴∠AEC＝60°，
∵AB∥CD，EJ∥CD，
∴AB∥EJ，
∴∠AEJ＝∠BAE＝20°，
∴∠CEJ＝60°﹣20°＝40°，
∴∠DCE＝∠CEJ＝40°，
故选：B．
27．如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD．
（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M；（不写作法，保留作图痕
迹）
（2）求证：BM＝EM．
【解答】（1）解：作图如下；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点
∴BD平分∠ABC（三线合一）
∴∠ABC＝2∠DBE
∵CE＝CD
∴∠CED＝∠CDE
又∵∠ACB＝∠CED+∠CDE
∴∠ACB＝2∠E又∵∠ABC＝∠ACB
∴2∠DBC＝2∠E
∴∠DBC＝∠E
∴BD＝DE
又∵DM⊥BE
∴BM＝EM．
【考点9 等边三角形的判定】
28.在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝
CQ．
（1）求证：△ABP≌△CAQ；
（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，AP＝AQ，∵∠BAP+∠CAP＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠CAP＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
29．如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 O，且 OD∥AB，
OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
【解答】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；
∴△ODE的周长＝BC＝10．
【考点10 含30°角的直角三角形的性质】
30．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝
PN，若MN＝2，则OM＝（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°＝ ＝ ，OP＝12，
∴OD＝6，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝ND＝ MN＝1，
∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．
故选：C．
31．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为 ．
【答案】2
【解答】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，
∵PC∥OA，
∴∠CPO＝∠POD，
又∠AOP＝∠BOP＝15°，
∴∠CPO＝∠BOP＝15°，
又∠ECP为△OCP的外角，
∴∠ECP＝∠COP+∠CPO＝30°，
在直角三角形CEP中，∠ECP＝30°，PC＝4，
∴PE＝ PC＝2，
则PD＝PE＝2．
故答案为：2．
