文档内容
【满分秘诀】专题 03 全等三角形（考点突破）
【思维导图】【常见考法】
【真题分点透练】
【考点1 全等图形定义与性质】
1．（2022春•盐湖区期末）下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．【答案】C
【解答】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形，
故选：C．
2．（2021秋•信都区期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为
（ ）
A．100° B．90° C．60° D．45°
【答案】B
【解答】解：在△ABC和△FDE中，
，
∴△ABC≌△FDE（SAS），
∴∠1＝∠EDF，
∵∠EDF+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：B．
【考点2 全等三角形定义及性质】
3．（2021秋•高阳县期末）如图，已知△ABC≌△DCB，∠A＝75°，∠DBC＝40°，则
∠DCB的度数为（ ）A．75° B．65° C．40° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∠A＝75°，
∴∠D＝∠A＝75°，
∵∠DBC＝40°，
∴∠DCB＝180°﹣75°﹣40°＝65°，
故选：B．
4．（2021秋•重庆期末）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝56°，则∠AED
的大小为（ ）
A．34° B．56° C．62° D．68°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，AB＝AE，
∴∠BAE＝∠1＝56°，
∴∠B＝∠AEB＝ （180°﹣56°）＝62°，
∴∠AED＝∠B＝62°，
故选：C．
5．（2022春•沙坪坝区期末）如图，点B，E，C，F在同一直线上，△ABC≌△DEF，BC
＝8，BF＝11.5，则EC的长为（ ）A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【答案】B
【解答】解：∵BC＝8，BF＝11.5，
∴CF＝BF﹣BC＝3.5，
∵△ABC≌△DEF，BC＝8，
∴EF＝BC＝8，
∴EC＝EF﹣CF＝8﹣3.5＝4.5，
故选：B．
6．（2022春•招远市期末）如图所示，△ABC≌△AEF．在下列结论中，不正确的是（
）
A．∠EAB＝∠FAC B．BC＝EF C．CA平分∠BCF D．∠BAC＝∠CAF
【答案】D
【解答】解：∵△ABC≌△AEF，
∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAC﹣∠EAE＝∠EAF﹣∠EAC，
∴∠EAB＝∠FAC，故A不符合题意；
∵△ABC≌△AEF，
∴BC＝EF，故B不符合题意；
∵△ABC≌△AEF，
∴AC＝AF，∠ACB＝∠F，
∴∠ACF＝∠F＝∠ACB，
∴CA平分∠BCF，故C不符合题意；
∵△ABC≌△AEF，
∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAC＞∠CAF，故D符合题意，
故选：D．
7．（2022 春•通川区期末）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，若△ABC≌△A′B′C，且点A′恰好落在AB上，则∠ACA′的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
∵△ABC≌△A′B′C，
∴CA′＝CA，
∴△ACA′为等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，
故选：D．
8．（2021秋•民权县期末）如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝94°，则∠BAC
的度数的值为（ ）
A．84° B．60° C．48° D．43°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠EAD，AB＝AD，
∵∠BAD＝94°，
∴∠ADB＝∠ABD＝ （180°﹣∠BAD）＝43°，
∵AE∥BD，
∴∠EAD＝∠ADB＝43°，
∴∠BAC＝∠EAD＝43°，
故选：D．9．（2021秋•句容市期末）如图，Rt△AOB≌Rt△CDA，且点A、B的坐标分别为（﹣1，
0），（0，2），则OD长是（ ）
A．2 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（0，2），
∴OB＝2，OA＝1，
∵Rt△AOB≌Rt△CDA，
∴AD＝OB＝2，
∴OD＝OA+AD＝1+2＝3，
故选：D．
10．（2021秋•温州期末）如图，△ABC≌△DEF，点A，B分别对应点D，E．若∠A＝
70°，∠B＝50°，则∠1等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，
则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠1＝∠C＝60°
故选：B．
11．（2021秋•巢湖市期末）如图，△ACB≌△A′CB'，∠BCB'＝30°，则∠ACA'的度数为
（ ）A．20° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【解答】解：∵△ACB≌△A′CB'，
∴∠ACB＝∠A′CB'，
∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB'﹣∠A′CB，
∴∠ACA'＝∠BCB'＝30°，
故选：B
【考点3全等三角形判定】
12．（2021秋•合肥期末）下列三角形与如图全等的三角形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：180°﹣51°﹣49°＝80°，
A．只有两边相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项
不符合题意；
B．只有两边相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项
不符合题意；
C．符合全等三角形的判定定理SAS，能推出两三角形全等，故本选项符合题意；D．只有两边相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项
不符合题意；
故选：C．
13．（2021秋•大连期末）如图，DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E，F，DE＝DF．则
△BDE≌△BDF的依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．HL
【答案】D
【解答】解：∵DE⊥BA，DF⊥BC，
∴∠BED＝∠BFD＝90°，
在Rt△BDE和△Rt△BDF中，
，
∴Rt△BDE≌△Rt△BDF（HL），
故选：D．
14．（2021秋•汇川区期末）如图，AB∥DE，AB＝DE，添加下列条件，仍不能判断
△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC＝DF B．BF＝CE C．∠A＝∠D D．AC∥DF
【答案】A
【解答】解：∵AB＝DE，
∵AB∥DE
∴∠B＝∠E，
当AC＝DF时，不能判定△ABC≌△DEF，
当AB＝DE时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“SAS”可证△ABC≌△DEF，
当∠A＝∠D时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“AAS”可证△ABC≌△DEF，当AC∥DF时，∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠E，由“AAS”可证△ABC≌△DEF，
故选：A．
15．（2021秋•西宁期末）下列四个三角形中，与图中的△ABC全等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：△ABC中，∵∠B＝72°，∠C＝58°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，
∴根据“SAS”可判断△ABC下面的三角形全等．
故选：C．
16．（2022春•盐湖区期末）如图，∠1＝∠2，添加下列条件，不能使△ABC≌△BAD的
是（ ）A．∠CAB＝∠DBA B．AC＝BD C．∠C＝∠D D．AD＝BC
【答案】B
【解答】解：∵∠1＝∠2，AB＝BA，
∴当添加∠CAB＝∠DBA时，根据“ASA”可证明△ABC≌△BAD，所以A选项不符合
题意；
当添加AC＝BD时，不能判断△ABC≌△BAD，所以B选项符合题意；
当添加∠C＝∠D时，根据“AAS”可证明△ABC≌△BAD，所以C选项不符合题意；
当添加AD＝BC时，根据“SAS”可证明△ABC≌△BAD，所以D选项不符合题意；
故选：B．
17．（2022春•西安期末）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．
如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻
度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造
全等三角形的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】A
【解答】解：由题意可得，
OC＝OD，MC＝MD，
又∵OM＝OM，
∴△OMC≌△OMD（SSS），
故选：A．
18．（2022春•文登区期末）如图，若∠B＝∠C，下列结论正确的是（ ）A．△BOE≌△COD B．△ABD≌△ACE C．AE＝AD D．∠AEC＝∠ADB
【答案】D
【解答】解：∵∠B＝∠C，∠CAE＝∠BAD，
∴∠AEC＝∠ADB，所以D选项符合题意；
∵不能确定BE＝CD，AE＝AD，
∴不能判断△BOE≌△COD、△ABD≌△ACE，所以A、B、C选项不符合题意．
故选：D．
19．（2022春•宁德期末）如图，已知 AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．则△ABC≌△DEF
的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
【答案】C
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
故选：C
【考点4 全等三角形判定与性质综合应用】
20．（2022春•子洲县期末）如图，点E是△ABC的边AC的中点，过点C作CF∥AB，连
接FE并延长，交AB于点D，若AB＝9，CF＝6，则BD的长为（ ）A．2 B．2.5 C．3 D．4.5
【答案】C
【解答】证明：∵CF∥AB，
∴∠ADE＝∠F，∠FCE＝∠A，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝6，
∵AB＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣6＝3，
故选：C．
21．（2022春•通川区期末）如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长线于点E，
AB＝5，AC＝7，则AD的取值可能是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
∵CE∥AB，
∴∠DCE＝∠DBA，
在△CDE和△BDA中，，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC＝AB＝5，
∵7﹣5＜AE＜7+5，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6，
故选：A．
22．（2022春•兰州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点，连接
AD、BD、CD，且 BD交AC 于点 O，在 BD上取一点 E，使得 AE＝AD，∠EAD＝
∠BAC，若∠ABC＝62°，则∠BDC的度数为（ ）
A．56° B．60° C．62° D．64°
【答案】A
【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，
即：∠BAE＝∠CAD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD （SAS），
∴∠ABD＝∠ACD，
∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，
∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ABC＝∠ACB＝62°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∴∠BDC＝∠BAC＝56°，
故选：A．
22．（2022春•温县校级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC与点E，BE
与AD交于点F，若AD＝BD＝5，CD＝3，则AF的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．2.5 D．2
【答案】D
【解答】解：∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠AEB＝∠ADC＝∠BDF＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，∠FBD+∠BDF+∠BFD＝180°，∠AEB+∠AFE+∠DAC＝180°，
∴∠DAC＝∠DBF，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴DF＝CD＝3，
∵AF+DF＝AD＝5，
∴AF＝2，
故选：D．
23．（2021 秋•卧龙区期末）如图，E 是∠AOB 平分线上的一点，EC⊥OA 于点 C，
ED⊥OB于点D，连结CD，若∠ECD＝25°，则∠AOB＝（ ）A．50° B．45° C．40° D．25°
【答案】A
【解答】解：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠ODE＝∠OCE＝90°，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴OC＝OD，
∵ED＝EC，
∴点O与点E都在CD的垂直平分线上，
∴OE是CD的垂直平分线，
∴∠AOE+∠OCD＝90°，∠OCD+∠DCE＝90°，
∴∠AOE＝∠ECD＝25°，
∴∠AOB＝2∠AOE＝50°，
故选：A．
24．（2021秋•偃师市期末）如图，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一
块完全一样的玻璃，最简单的办法是（ ）
A．只带①去 B．带②③去 C．带①③去 D．只带④去
【答案】D
【解答】解：第①块和第②③块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中
的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第④块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据 ASA来配一块一样
的玻璃．应带④去．
故选：D．
25．（2022春•沙坪坝区校级期末）如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，
在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE
＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】B
【解答】证明：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
故选：B．
26．（2021秋•南宁期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，
AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：AC∥DF；
（2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠F，
∴AC∥DF；
（2）解：由（1）得∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，
∴∠DEF＝∠B＝65°，∠ACB＝∠F＝35°，
在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC＝180°，
∴∠EOC＝180°﹣∠DEF﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣35°＝80°．
27．（2022春•五华县期末）如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的
一点，若DE＝AB，DC＝AE．
（1）判断CE与BE的关系是 ．
（2）如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保
持CD＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
【解答】解：（1）CE＝BE且CE⊥BE，理由如下：
∵CD⊥AD，
∴∠CDE＝90°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠CDE＝∠EAB，
在△CDE和△EAB中，，
∴△CDE≌△EAB（SAS），
∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA，
∵∠EBA+∠BEA＝90°，
∴∠CED+∠BEA＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∴CE＝BE且CE⊥BE．
（2）（1）中结论成立，理由如下：
∵CD⊥AD，
∴∠CDE＝90°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠CDE＝∠EAB，
在△CDE和△EAB中，
，
∴△CDE≌△EAB（SAS），
∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA，
∵∠EBA+∠BEA＝90°，
∴∠CED+∠BEA＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∴CE＝BE且CE⊥BE．
28．（2022春•永定区期末）如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）若∠ABC＝31°，求∠CAO的度数．【解答】（1）证明：∵∠D＝∠C＝90°，
∴△ABC和△BAD都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
（2）解：
∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABC＝∠BAD＝31°，
∵∠C＝90°，
∴∠BAC＝59°，
∴∠CAO＝∠CAB﹣∠BAD＝28°．
29．（2022春•通川区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，BE平分∠CBA，连接AE
，若AD＝AE，∠DAE＝∠CAB．
（1）求证：△ADC≌△AEB；
（2）若∠CAB＝36°，求证：CD∥AB．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠CAB，
∴∠DAE﹣∠CAE＝∠CAB﹣∠CAE．
∴∠DAC＝∠EAB．
在△DAC和△EAB中
∵
∴△DAC≌△EAB（SAS）
（2）证明：∵AB＝AC，∠CAB＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°−36°）＝72°，
∵BE平分∠CAB，∴∠ABE＝ ∠ABC＝36°．
∴∠ABE＝∠BAC＝36°．
∵△DAC≌△EAB，
∴∠DCA＝∠EBA＝36°．
∴∠DCA＝∠BAC＝36°．
∴CD∥AB．
30．（2022春•泗阳县期末）如图，AB＝AE，AC＝DE，AB∥DE．
（1）求证：AD＝BC；
（2）若∠DAB＝70°，AE平分∠DAB，求∠B的度数．
【解答】（1）证明：如图，
∵AB∥DE，
∴∠E＝∠CAB．
在△ABC与△EAD中
．
∴△ABC≌△EAD（SAS）．
∴AD＝BC．
（2）解：∵∠DAB＝70°，AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAC＝35°．
由（1）知，△ABC≌△EAD，
∴∠B＝∠DAE＝35°．31．（2022春•新化县期末）如图，已知∠C＝∠F＝90°，BC＝EF，AE＝DB，BC与EF交
于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝50°，求∠COE的度数．
【解答】（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，
即AB＝DE，
∵∠C＝∠F＝90°，
∴△ABC和△DEF是直径三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，
∴∠DEF＝40°，
∴∠COE＝∠ABC+∠BEF＝40°+40°＝80°．
32．（2022春•鲤城区校级期末）如图，已知AB＝AC，点D，E分别是AC，AB的中点，
求证：∠B＝∠C．
【解答】证明：∵AB＝AC，点D，E分别是AC，AB的中点，
∴AE＝AD，在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠C．
33．（2022春•城阳区期末）已知：点 A，D，C，B在同一条直线上，DF∥CE，DF＝
CE，AD＝BC．
求证：（1）CF＝DE；
（2）AF∥EB．
【解答】证明：（1）∵DF∥CE，
∴∠FDC＝∠ECD，
在△FDC和△ECD中，
，
∴△FDC≌△ECD（SAS），
∴CF＝DE；
（2）∵△FDC≌△ECD，
∴∠FCD＝∠EDC，
∵AD＝BC，
∴AD+DC＝BC+DC，
∴AC＝BD，
在△FAC和△EBD中，
，
∴△FAC≌△EBD（SAS），
∴∠A＝∠B，∴AF∥EB．
34．（2022春•城阳区期末）已知：OA＝OB，OC＝OD．
（1）求证：△OAD≌△OBC；
（2）若∠O＝85°，∠C＝25°，求∠BED的度数．
【解答】（1）证明：在△OAD和△OBC中，
，
∴△OAD≌△OBC（SAS）；
（2）解：∵∠O＝85°，∠D＝∠C＝25°，
∴∠OBC＝180°﹣85°﹣25°＝70°，
∴∠BED＝∠OBC﹣∠D＝70°﹣25°＝45°．
35．（2022春•兴宁区期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上
的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE＝∠DCF，
在△BDE和△CDF中，，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵AE＝13，AF＝7，
∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∵DE+DF＝EF＝6，
∴DE＝3．
36．（2022春•长沙期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是边BC上一点，CD＝
AB，点E在边AC上．
（1）若∠ADE＝∠B，求证：
①∠BAD＝∠CDE；
②BD＝CE；
（2）若BD＝CE，∠BAC＝70°，求∠ADE的度数．
【解答】（1）证明：①∵在△ABC中，∠BAD+∠B+∠ADB＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，
又∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
且∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE；
②由①得：∠BAD＝∠CDE，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；（2）解：在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CDE，
又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，
∴∠ADE＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝∠B，
在△ABC中，∠BAC＝70°，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝ （180°﹣∠BAC）＝ ×110°＝55°，
∴∠ADE＝55°
【考点5 角平分线性质】
37．（2021秋•汇川区期末）如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，DE＝6，
∠A＝30°，则AD的长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【解答】解：如图所示，过D作DF⊥AB于F，
∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE＝DF＝6，
∵∠A＝30°，
∴AD＝2DF＝12，
故选：C．
38．（2021秋•威县期末）下列各点中，到∠AOB两边距离相等的是（ ）A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】B
【解答】解：由图形可知，点Q在∠AOB的角平分线上，
∴点Q到∠AOB两边距离相等，
故选：B．
39．（2021秋•木兰县期末）如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，
OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（ ）
A．28 B．14 C．21 D．7
【答案】A
【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，
∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，
∴OD＝OE＝OF＝2，
∴S△ABC ＝S△OAB +S△OAC +S△OBC
AB•OE+ AC•OF+ BBC•OD
＝ （AB+AC+BC）•OD＝ ×28×2＝28，
故选：A．
40．（2022春•平远县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB
于点D，如果AC＝7cm，DE＝3cm，那么AE等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】C
【解答】解：∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴ED＝EC，
∴AE＝AC﹣EC＝AC﹣ED＝7﹣3＝4（cm），
故选：C．
41．（2022春•岳麓区校级期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于
E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC ＝ ×AB×DE+ ×AC×DF＝30（cm2），即 ×13×DE+ ×7×DF＝30，
解得DE＝DF＝3cm，
故选：A．
42．（2022春•兰州期末）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，
如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（ ）A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处
【答案】A
【解答】解：∵这个砂石场到三条公路的距离相等，砂石场在三条公路围成的三角形平
地内，
∴这个砂石场为三条公路所围成的三角形的内角平分线的交点，
∴可供选择的地址仅有一处．
故选：A．
43．（2022春•港北区期末）如图，已知△ABC的周长是36cm，∠ABC和∠ACB的角平分
线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）
A．48cm2 B．54cm2 C．60cm2 D．66cm2
【答案】B
【解答】解：如图，过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，连接OA，
∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，
∴OD＝OE＝OF＝3（cm），
∴S△ABC ＝S△AOB +S△BOC +S△AOC
＝ ×AB×OF+ ×BC×OD+ ×AC×OE＝ ×OD×C△ABC
＝ ×3×36
＝54（cm2）．
故选：B．
44．（2022春•汉寿县期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F，△ABC的面积是20cm2，AB＝15cm，AC＝5cm，则DF的长为（ ）
A．10cm B．5cm C．4cm D．2cm
【答案】D
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵△ABC的面积是20cm2，
∴ •AB•DE+ AC•DF＝20，
即 ×15×DF+ ×5×DF＝20，
解得DF＝2．
故选：D．
45．（2020秋•饶平县校级期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝
180°，请说明CD＝DB的理由．
【答案】略
【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N
则∠CMD＝∠BND＝90°，∵AD是∠EAF的平分线，
∴DM＝DN，
∵∠ACD+∠ABD＝180°，
∠ACD+∠MCD＝180°，
∴∠MCD＝∠NBD，
在△CDM和△BDN中，
∠CMD＝∠BND＝90°，
∠MCD＝∠NBD，
DM＝DN，
∴△CDM≌△BDN，
∴CD＝DB．
46.（2021秋•阳江期末）如图，点 P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点
B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．
【答案】略
【解答】证明：∵∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB，
∵PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，
∴P点在∠MON的平分线上，
∴OP平分∠MON．
47.（2021秋•红桥区期末）在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别
是E，F．
（1）若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．（2）若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．
【答案】（1） 略（2）略
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△DCF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线；
（2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF
【考点6 角平分线的判定与性质综合应用】
48.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．【解答】（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
49．（2022春•临漳县期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝ ，∠BCD＝180°﹣ ，
α αBD平分∠ABC．
（1）如图1，若 ＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得 DA＝CD，这个性质是
角平分线上的点到α角的两边距离相等
（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；
（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：
BD+AD＝BC．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，
∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；
（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
在△DEA和△DFC中，
∴△DEA≌△DFC（AAS），
∴DA＝DC；
（3）如图，在BC时截取BK＝BD，连接DK，
∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK＝ ∠ABC＝20°，
∵BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，由（2）的结论得AD＝DK，
∵∠BKD＝∠C+∠KDC，
∴∠KDC＝∠C＝40°，
∴DK＝CK，
∴AD＝DK＝CK，
∴BD+AD＝BK+CK＝BC．
