文档内容
（北师大版）七年级上册数学《第 4 章 基本平面图形》
4.1 线段、射线、直线
线段、射线、直线相关概念
知识点一
◆1、线段、射线、直线
（1）线段：绷紧的琴弦、筷子可以近似的看作线段.线段有两个端点，不能向任何方向延伸.
（2）射线：射向空中的光可以近似的看作是射线.在几何上，我们把线段向一个方向无限延长就形成了射
线.
射线有一个端点，可以向一个方向延伸.
（3）直线：向远方延伸的铁轨、公路可以近似的看作是直线.在几何上，我们把线段向两个方向无限延长
就形成了直线.直线没有端点，可以向两个方向延伸.
◆2、线段、射线、直线三者的联系：
（1）将线段向一个方向无限延长就形成了射线.
（2）将线段向两个方向无限延长就形成了直线.
（3）线段和射线都是直线的一部分.
◆3、线段、射线、直线的表示方法、联系与区别
直线 射线 线段
图形
用两个大写字母表示： 用它的端点和射线上 用表示端点的两个大写字母
直线AB或（直线BA） 的另一点来表示：射 表示：线段 AB ( 或线段
1
线OA BA )
表示方法
用一个小写字母表示： 用一个小写字母表 用一个小写字母表示：
2 直线m 示： 线段 a
射线d
端点个数 0个 1个 2个
伸展性 向两个方向无限延伸 向一个方向无限延伸 不能延伸
度量 不可度量 不可度量 可度量
1◆4、点与直线的位置关系
（1）点在直线上，也可以说直线经过该点.
（2）点在直线外，也可以说直线不经过该点.
示例：点与直线的位置关系
如图，点 A 在直线 l 上，点 B 在直线 l 外.
或者说：直线 l 经过点 A， 直线 l 不经过点 B (点 B 不在直线 l 上).
◆5、基本事实：经过两点有且只有一条直线.简述为：两点确定一条直线.
两点之间线段最短
知识点二
◆1、线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短 .
◆2、两点之间的距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.
比较两条线段的长短
知识点三
◆比较两条线段的长短
方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较；
方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较；
利用尺规作图把其中的一条的线段移到另一条线段上作比较
图1 图2 图3
①如图1若点 A 与点 C 重合，点 B 落在C，D之间，那么 AB ＜CD.
②如图2若点 A 与点 C 重合，点 B 与点 D重合，那么 AB = CD.
③如图3若点 A 与点 C 重合，点 B 落在 CD 的延长线上，那么 AB＞ CD.
作一条线段等于已知线段
知识点四
◆1、用尺规作图的方法可以将一条线段移到另一条线段上.在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规
2作图，这就是尺规作图.
◆2、线段的画法：作一条线段（AB）等于已知线段（a）的作法：
①画射线AC；②在射线AC上截取AB=a.
◆3、线段的和、差、倍、分
（1）线段的和、差的意义及画法
在直线上画出线段AB=a，再在AB的延长线上画线段BC=b，线段AC就是 a与 b的和，记作AC= a＋b
，如果在AB上画线段BD=b，那么线段AD就是a 与b 的差，记作AD= a－b.
（2）线段倍、分的意义：如图，线段 AB 上有 M、N、P 三点，它们的长度关系是：
1 2
AM＝ MN ＝NP=PB，则AN=2AM，AP=3AM，MN= AN，NP= AP等.
2 3
线段的中点及等分点的概念
知识点五
◆1、线段的中点：
如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点.
◆2、等分线段
（1）把一条线段分成三条相等的线段的点，叫做线段的三等分点.
1
如图点M、N是线段AB三等分点,则 AM ＝MN ＝BN ＝ AB .
3
（2）类似的，把一条线段分成四条相等的线段的点，叫做线段的四等分点.
1
如图点M、N、P是线段AB四等分点，则AM＝ MN ＝NP＝PB＝ AB .
4
3题型一 直线、射线、线段的表示方法
解题技巧提炼
直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表
示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母
表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前
边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端
点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
1．（2023秋•三元区期末）下列各图中，表示“射线CD”的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据射线的图上表示方法即可求解．
【解答】解：观察图形可知，表示“射线CD”的是 ．
4故选：B．
【点评】本题主要考查的是直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的表示方法是解题的关键．
2．（2023秋•孝南区期末）如图，下列说法不正确的是（ ）
A．直线AB与直线BA是同一条直线
B．线段AB与线段BA是同一条线段
C．射线OA与射线OB是同一条射线
D．射线OA与射线AB是同一条射线
【分析】根据直线的表示方法可对选项A进行判断；根据线段的表示方法对选项B进行判断；根据射线
的表示方法可对选项C，D进行判断，综上所述可得出答案．
【解答】解：∵直线AB与直线BA是同一条直线，
∴选项A正确，不符合题意；
∵线段AB与线段BA是同一条线段，
∴选项B正确，不符合题意；
∵射线OA与射线是同一条射线，
∴选项C正确，不符合题意；
∵射线OA与射线AB不是同一条射线，
∴选项D不正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要线段、射线、直线，准确识图，熟练掌握线段、射线、直线的概念及其表示方法是解
决问题的关键．
3．（2023秋•卢龙县期中）如图中射线OA与OB表示同一条射线的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据射线的端点相同，方向相同的两条射线是同一条射线，可得答案．
【解答】解：A、方向相反，不是同一条射线，故本选项不符合题意；
B、端点相同，方向相同，是同一条射线，故本选项符合题意；
C、端点相同，方向不同，不是同一条射线，故本选项不符合题意；
5D、方向相反，不是同一条射线，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了射线，注意射线的端点，射线的方向．
4．（2023秋•襄城县期末）如图，小轩同学根据图形写出了四个结论：
①图中共有2条直线；
②图中共有7条射线；
③图中共有6条线段；
④图中射线BD与射线CD是同一条射线．
其中结论错误的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【分析】根据直线、线段、射线的区别逐项分析判断即可．
【解答】解：①图中只有1条直线BD，故错误；
②以B、C为端点可以各引出两条射线，以D为端点可以引出3条射线，以A端点可以引出1条射线，
则图中共有2×2+3+1＝8条射线，故错误；
③图中共有6条线段，即线段AB、AC、AD、BC、BD、CD，故正确；
④图中射线BD与射线CD不是同一条射线，故错误；
∴错误的有①②④．
故选：D．
【点评】本题考查了直线、线段、射线的区别与联系，理解三者的区别是解题的关键．
5．（2023秋•泊头市期末）如图，已知三点A，B，C画直线AB，画射线AC，连接BC，按照上述语句画
图正确的是（ ）
A． B．
6C． D．
【分析】依据直线、射线和线段的画法，即可得出图形．
【解答】解：画直线AB，画射线AC，连接BC，如图所示：
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线、射线和线段，掌握直线、射线和线段的区别是解决问题的关键．
题型二 点与直线的位置关系
解题技巧提炼
点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明
点在直线外．
1．如图，下列说法中，错误的是（ ）
A．点B在直线MC上
B．点A在直线BC外
C．点C在线段MB上
D．点M在线段CB的延长线上
【分析】根据直线、线段的概念求解即可．
【解答】解：A．点B在直线MC上，正确，不符合题意；
B．点A在直线BC外，正确，不符合题意；
C．点C在线段MB上，正确，不符合题意；
D．点M在线段BC的延长线上，原表述不正确，符合题意；
故选：D．
7【点评】本题主要考查直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线和线段的概念．
2．下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．如图1所示，点C在线段BA上
B．如图2所示，射线BC经过点A
C．如图3所示，延长线段AB到点C
D．如图4所示，图中共有4条射线
【分析】根据直线、射线和线段的性质逐项进行判定即可．
【解答】解：A．如图1，点C在射线BA上，故该选项不正确，不符合题意；
B．如图2所示，射线BC不经过点A，故该选项不正确，不符合题意；
C．如图3所示，延长线段BA到点C，故该选项不正确，不符合题意；
D．如图4所示，图中共有4条射线，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了直线、射线和线段的性质，关键是直线、射线和线段性质定理的应用．
3．（2023秋•鞍山期末）如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（ ）
A．点P在直线AB外 B．点C在直线AB外
C．直线AC不经过点M D．直线AC经过点B
【分析】由点和直线的位置关系，即可判断．
【解答】解：A、点P在直线AB外，正确，故A不符合题意；
B、点C在直线AB上，故B符合题意；
C、直线AB不经过点P，正确，故C不符合题意；
D、直线AB经过点B，正确，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查点和直线的位置关系，关键是掌握点和直线位置关系．
4．（2023秋•栾城区期中）下列说法错误的是（ ）
8A． 直线l经过点A
B． 直线a，b相交于点A
C． 点C在线段AB上
D． 射线CD与线段AB有公共点
【分析】点与直线的位置关系为：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线
外；两条不重合的直线存在相交和平行两种位置关系，据此进行判断即可．
【解答】解：A、由图可得，点A在直线l上，故直线l经过点A；
B、由图可得，点A为直线a，b的公共点，故直线a，b相交于点A；
C、由图可得，点C在线段AB的上方，故点A不在线段AB上，即C选项错误；
D、由图可得，射线CD与线段AB有交点，故射线CD与线段AB有公共点．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线、射线、线段的概念，解题时注意：直线向两端无限延伸，射线向一段无
限延伸，而线段有两个端点．
5．（2023秋•朝阳区期末）（1）读语句，并画出图形：三条直线AB，BC，AC两两相交，在射线AB上
取一点D（不与点A重合），使得BD＝AB，连接CD．
（2）在（1）的条件下，回答问题：
①用适当的语句表述点D与直线BC的关系： ；
②若AB＝3，则AD＝ ．
【分析】（1）根据语句画出图形即可；
（2）①根据点与直线的位置关系：点在直线上或点在直线外可求解；
②由作图可得AD＝AB+BD＝2AB，进而可求解．
【解答】解：（1）如图所示；
9（2）①点D在直线BC外；
②∵AB＝3，BD＝AB，
∴AD＝AB+BD＝2AB＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查直线，射线，线段，理解直线，射线，线段的概念是解题的关键．
题型三 两条直线相交
解题技巧提炼
两条直线相交：当两条直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公
共点叫做它们的交点.
1．（2023秋•汉阳区期末）如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据直线、射线、线段的特征逐一判断即可．
【解答】解：∵直线没有端点，可以向两方无限延长，
射线只有一个端点，可以向一方无限延长，
线段有两个端点，不能向两方无限延长，
∴A，B，D不符合题意，C符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，熟练掌握它们的特征是解题的关键．
2．（2023秋•天元区期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
10A．如图1所示，延长线段BA到点C
B．如图2所示，射线BC经过点A
C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A
D．如图4所示，射线CD和线段AB没有交点
【分析】直接利用延长线段以及直线或射线相交和过一点画直线的作法分别分析得出答案．
【解答】解：A．如图1所示，延长线段BA到点C，几何图形与相应语言描述不相符；
B．如图2所示，射线BC不经过点A，几何图形与相应语言描述不相符；
C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A，几何图形与相应语言描述相符；
D．如图4所示，因为射线CD可以延伸，会有交点，几何图形与相应语言描述不相符；
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线、射线、线段，正确把握相关图形画法是解题的关键．
3．（2023春•钢城区期末）如图，下列表述不正确的是（ ）
A．直线AC和直线BC相交于点C
B．点D在直线AB外
C．线段BD和射线AC都是直线CD的一部分
D．直线BD不经过点A
【分析】根据直线、射线与线段的定义，结合图形解答．
【解答】解：A、直线AC和直线BC相交于点C，此选项正确，故不符合题意；
B、点D在直线AB外，此选项正确，故不符合题意；
C、线段BD是直线CD的一部分，射线AC不是直线CD的一部分，此选项错误，故符合题意；
D、直线BD不经过点A，此选项正确，故不符合题意，
11故选：C．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义，注意它们之间的
区别与联系．
4．直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，则下列语句：
①点B在直线BC上；②直线AB经过点C；③直线AB，BC，CA两两相交；④点B是直线AB，BC的交
点，以上语句正确的有 （只填写序号）
【分析】依据点与直线的位置关系进行判断，即可得到正确结论．
【解答】解：由图可得，①点B在直线BC上，正确；
②直线AB不经过点C，错误；
③直线AB，BC，CA两两相交，正确；
④点B是直线AB，BC的交点，正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说
明点在直线外．
5．根据下列语句，画出图形．
已知四点A、B、C、D．
①画直线AB；
②连接AC、BD，相交于点O；
③画射线AD、BC，交于点P．
【分析】根据直线、线段和射线的定义作出即可．
【解答】解：如图所示．
12【点评】本题考查了直线、射线、线段，主要是对文字语言转化为图形语言的能力的培养．
题型四 线段的尺规作图问题
解题技巧提炼
1、尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规
作图.
2、做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，
再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段
等于已知线段．
1．（2023秋•灞桥区校级期中）尺规作图：如图，已知线段a，b，请用尺规做一条线段MN，
使MN＝2b﹣a．
【分析】先在射线MP上依次截取MA＝AB＝b，然后在BM上截取BN＝a，则线段MN满足条件．
【解答】解：如图，MN为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形
的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
2．（2023秋•碑林区校级期末）如图，已知线段a,b,请用尺规求作线段AB，使得AB=2a+b（不写作法，
保留作图痕迹）．
【分析】作射线AM，在射线AM上截取线段AC=2a,CB=b即可．
【解答】解：如图，线段AB即为所求．
13【点评】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属
于中考常考题型．
3．尺规作图：如图，已知线段a,b（a＞2b），求作线段AB，使得AB=a﹣2b.（不写作法，但要保留作
图痕迹）
【分析】作射线AM，在射线AM上截取AC，使得AC=a,在线段CA上取一点B，使得CB=2b,线段AB
即为所求．
【解答】解：如图，线段AB即为所求．
【点评】本题考查作图-复杂作图，线段的和差定义等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于
中考常考题型．
4．（2023秋•灞桥区校级期中）尺规作图：如图，已知线段a，b，请用尺规做一条线段MN，使MN＝2b﹣
a．
【分析】先在射线MP上依次截取MA＝AB＝b，然后在BM上截取BN＝a，则线段MN满足条件．
【解答】解：如图，MN为所作．
14【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形
的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
5．如图，平面上有射线AP和点B，C，请用尺规按下列要求作图：
（1）连接AB，并在射线AP上截取AD＝AB；
（2）连接BC，并延长BC到E，使CE＝2BC．
【分析】（1）由题意画出图形即可；
（2）由题意画出图形即可．
【解答】解：（1）连接AB，并在射线AP上截取AD＝AB；
如图1所示：
（2）连接BC，并延长BC到E，使CE＝2BC．
如图2所示．
【点评】本题考查了线段的画法；熟练掌握尺规作图是解题的关键．
15题型五 直线的基本事实的应用
解题技巧提炼
直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
1．（2023秋•越秀区期末）小明想在墙上钉一根细木条，要使细木条固定，至少需钉的钉子个数是
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据直线的性质，即可解答．
【解答】解：小明想在墙上钉一根细木条，要使细木条固定，至少需钉的钉子个数是2个，
故选：B．
【点评】本题考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的关键．
2．（2024•新城区模拟）如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用
数学知识解释他这样操作的原因，应该是（ ）
A．过一点有无数条直线
B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
【解答】解：因为“两点确定一条直线”，所以他在衣架两端各用一个钉子进行固定．
故选：C．
【点评】本题考查的是直线的性质，即两点确定一条直线．
3．（2023秋•霍林郭勒市期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释
的是（ ）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
16③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【分析】直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案．
【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条
直线”来解释．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．
4．（2023秋•长垣市期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一
条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ．
【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线即可得．
【解答】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线，
故答案为：两点确定一条直线．
【点评】本题主要考查直线的性质，掌握直线的性质：两点确定一条直线是解题的关键．
5．（2023秋•慈利县期末）开学整理教室时，卫生委员总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依
次摆中间的课桌，一会儿一列课桌就摆在一条线上，整整齐齐，其运用的数学原理是 ．
【分析】利用直线的性质进而分析得出即可．
【解答】解：其运用的数学原理是两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
【点评】此题主要考查了直线的性质：两点确定一条直线，正确将实际生活知识与数学知识联系是解题
关键．
题型六 线段的基本事实的应用
17解题技巧提炼
1、线段的性质：两点之间线段最短
2、线段公理：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段
等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
1．（2023秋•罗庄区期末）如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原
树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有无数条直线
【分析】根据线段的性质解答即可．
【解答】解：用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，
能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选：B．
【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
2．（2023秋•晋州市期中）如图所示，从学校到公园有①②③④四条路线可走，其中最短的路线是（
）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】应用两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段
最短．进行判定即可得出答案．
18【解答】解：根据题意可得，
从学校到公园有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是③．
故选：C．
【点评】本题主要考查了线段的性质，熟练掌握线段的性质进行求解是解决本题的关键．
3．（2023秋•遵化市期中）下列说法中，不能用“两点之间，线段最短”来解释的有（ ）
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③把弯曲的公路改直就能缩短路程．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】3个现象依据是两点之间，线段最短和两点确定一条直线，据此作出判断．
【解答】解：用“两点之间，线段最短”来解释的有③；①②的依据是两点确定一条直线．
故选：A．
【点评】本题主要考查了线段的性质：两点之间线段最短定理的应用，正确确定现象的本质是解决本题
的关键．
4．（2024•船营区一模）如图，利用隧道，把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学
道理是 ．
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，解答即可．
【解答】解：由线段的性质可知：
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【点评】本题主要考查了线段的性质，即两点之间线段最短．
5．（2023秋•安乡县期末）如图，从教室到图书馆总有少数同学不走人行道而横穿草坪，虽然明知不对，
可他们还是要这样做，用我们所学的数学知识可以解释他们的动机： ．
19【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答．
【解答】解：从教室到图书馆总有少数同学不走人行道而横穿草坪，虽然明知不对，可他们还是要这样
做，用我们所学的数学知识可以解释他们的动机：两点之间线段最短；
故答案为：两点之间线段最短．
【点评】此题主要考查了线段的性质，题目比较简单．
题型七 线段的和、差、倍、分
解题技巧提炼
1、线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．
2、线段的和、差、倍、分
1
如图，AC＝BC，C为AB 中点，AC= AB，AB＝2AC，D 为CB 中点，则 CD＝
2
1 1
DB= CB= AB，
2 4
AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分．
1．（2023秋•深圳期末）如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，其中正确的是（ ）
A．A′B′＞AB
B．A′B′＝AB
C．A′B′＜AB
D．没有刻度尺，无法确定
【分析】根据比较线段的长短进行解答即可．
【解答】解：由图可知，A′B′＜AB；
故选：C．
20【点评】本题主要考查了比较线段的长短，解题的关键是正确比较线段的长短．
2．（2024•滦南县校级模拟）如图AB＝CD，则AC与BD的大小关系是（ ）
A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．无法确定
【分析】根据AB＝CD两边都加上线段BC得出AB+BC＝CD+BC，即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∴AC＝BD，
故选：C．
【点评】本题考查了比较线段的长度的应用，主要考查学生的推理能力．
3．（2023秋•铁西区期末）如图，C是线段AB的中点，D是线段CB上一点，下列说法错误的是（ ）
A．CD＝AC﹣BD B．CD＝AD﹣BC
1 1
C．CD= BC D．CD= AB﹣BD
2 2
【分析】根据CD＝BC﹣BD和CD＝AD﹣AC两种情况和AC＝BC对各选项分析后即不难选出答案．
【解答】解：∵C是线段AB的中点，
1
∴AC＝BC= AB，
2
A、CD＝BC﹣BD＝AC﹣BD，正确；
B、CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，正确；
1
C、D不一定是BC的中点，故CD= BC不一定成立；
2
1
D、CD＝BC﹣BD= AB﹣BD，正确．
2
故选：C．
【点评】本题主要考查线段中点的定义和等量代换，只要细心进行线段的代换便不难得到正确答案．
4．（2023秋•柘城县期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上任意一点，则下列表示线段
关系的式子不正确的是（ ）
A．AB＝2AC B．AC+CD+DB＝AB
1 1
C．CD＝AD− AB D．AD= （CD+AB）
2 2
211
【分析】根据线段中点的定义对A进行判断；根据图形直接对B进行判断；根据AC= AB，则CD＝
2
1 1
AD﹣AC＝AD− AB可对C进行判断；根据AD＝AC+CD= AB+CD可对D进行判断．
2 2
【解答】解：A、由点C是线段AB的中点，则AB＝2AC，正确，不符合题意；
B、AC+CD+DB＝AB，正确，不符合题意；
1 1
C、由点C是线段AB的中点，则AC= AB，CD＝AD﹣AC＝AD− AB，正确，不符合题意；
2 2
1
D、AD＝AC+CD= AB+CD，不正确，符合题意．
2
故选：D．
【点评】本题考查了比较线段的长短：线段上一点把这条线段分成两条线段，这两条线段的和等于原线
段．也考查了线段中点的定义．
1
5．（2023秋•官渡区期末）已知A、B、C三点在同一条直线上，则下列：①AC+BC＝AB；②AC=
2
AB；③AC＝BC；④AB＝2BC．可以判断点C是线段AB中点的有（ ）
A．③ B．②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据线段中点的定义逐项分析可得答案．
【解答】解：①当AC+BC＝AB时，点C不一定是AB中点，故①错误；
1
②当AC= AB时，点C不一定在线段AB上，故②错误；
2
③当AC＝BC时，点C一点是AB的中点，故③正确；
④当AB＝2BC时，点C不一定在线段AB上，故④错误．
故选：A．
【点评】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义是解题关键．
6．（2023秋•定远县期末）如图，点 C是AB的中点，点D是BC的中点，则下列等式中成立的有
（ ）
1
①CD＝AD﹣BD；②CD＝AD﹣BC；③2CD＝2AD﹣AB；④CD= AB
3
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【分析】根据线段中点的性质、结合图形解答即可．
【解答】解：∵点C是AB的中点，点D是BC的中点，
221 1
∴AC＝BC= AB，CD＝BD= BC，
2 2
则CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，①不符合题意；②符合题意；
2AD﹣AB＝2AC+2CD﹣AB＝2CD，③符合题意；
1
CD= AB，④不符合题意；
4
故选：B．
【点评】本题考查的是两点间的距离，掌握线段中点的概念和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关
键．
7．如图，C，D是线段AB上两点，M，N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AM＝BN，则
AC＝BD；②若AB＝3BD，则AD＝BM；③AB﹣CD＝2MN；④AC﹣BD＝3（MC﹣DN）．其中正
确的结论是 （填序号）．
【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形进行分析．
【解答】解：∵M，N分别是线段AD，BC的中点，
∴AD＝2AM，BC＝2BN，
∵AM＝BN，
∴AD＝BC，
∴AD﹣CD＝BC﹣CD，
即AC＝BD；
①正确；
∵M是线段AD的中点，
∴AM＝MD，
∵AB＝3BD，
∴AM＝MD＝BD，
∴AD＝BM，
故②正确；
∵2MN＝2MC+2CN，MC＝MD﹣CD，
∴2MN＝2（MD﹣CD）+2CN，
1 1
∵MD= AD，CN= BC，
2 2
231 1
∴2MN＝2（ AD+ BC﹣CD）＝AD﹣CD+BC﹣CD＝AB﹣CD，
2 2
故③正确；
∵AC﹣BD＝AD﹣BC，
∴AC﹣BD＝2MD﹣2CN＝2（MC﹣DN），故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了两点间的距离，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键．
题型八 线段的计算问题
解题技巧提炼
1、求线段的长，通常先将待求线段转化成其它线段的和或差，在转化时尽可能
向已知长度的线段或与中点相
关联的线段.
2、当已知几条线段之间的比的关系或倍、分关系时，通常采用设未知数列方程
的方法求解线段的长.
3、当点的位置不确定时，我们要分情况画图分类讨论，确定所有可能的情况，
然后根据中点的概念以及图形进行相关计算．
1．（2023秋•兴隆县期中）如图所示，点C是线段AB上的一点，点D是线段BC的中点，若AB＝10，AC
＝6，则CD＝（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
1
【分析】因为点D是线段BC的中点，所以CD= BC，而BC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，即可求得．
2
【解答】解：∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，
又∵点D是线段BC的中点，
1 1
∴CD= BC= ×4＝2．
2 2
故选：B．
【点评】准确解决此类问题的关键是数形结合，提高读图能力和分析能力．
2．已知线段AB＝8cm，点P在直线AB上，AP＝2cm，则线段BP的长是（ ）
A．6cm B．10cm C．12cm D．6cm或10cm
24【分析】根据题意，显然此题要分情况讨论：点P在线段AB上，点P在线段AB的延长线上．因为AB
大于AP，所以点P不可能在线段BA的延长线上．
【解答】
解：（1）当点P在线段AB上时，则BP＝AB﹣AP＝6；（上图1）
（2）当点P在线段AB的延长线上时，BP＝AB+AP＝10；（上图2）
故选：D．
【点评】要根据题意正确画出图形，然后根据线段的和与差计算即可．
3．（2023秋•深圳期末）如图所示，若C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA＝6，DB＝4，则CD的
长度是 ．
1
【分析】由已知条件知AB＝DA+DB，AC＝BC= AB，故CD＝AD﹣AC可求．
2
【解答】解：∵线段DA＝6，线段DB＝4，
∴AB＝10，
∵C为线段AB的中点，
∴AC＝BC＝5，
∴CD＝AD﹣AC＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了两点间的距离．利用中点性质转化线段之间的长短关系是解题的关键．
1
4．（2023秋•九龙坡区期末）线段AB＝12cm，点C在线段AB上，且AC= BC，M为BC的中点，则AM
3
的长为 cm．
1
【分析】根据点C在线段AB上，且AC= BC，可得BC＝3AC，再根据M为BC的中点，即可求得AM
3
的长．
【解答】解：如图，
∵点C在线段AB上，
1
AC= BC，即BC＝3AC，
3
∴AC+BC＝AB＝12
25即4AC＝12
AC＝3
∴BC＝9
∵M为BC的中点，
1
∴CM= BC＝4.5
2
∴AM＝AC+CM＝7.5cm．
故答案为7.5．
【点评】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用线段中点定义．
5．（2023秋•文山市期末）如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点．
（1）若AM＝1，BC＝4，求MN的长度．
（2）若AB＝6，求MN的长度．
【分析】（1）由已知可求得CN的长，从而不难求得MN的长度；
（2）由已知可得AB的长是NM的2倍，已知AB的长则不难求得MN的长度．
【解答】解：（1）∵N是BC的中点，M是AC的中点，AM＝1，BC＝4
∴CN＝2，AM＝CM＝1
∴MN＝MC+CN＝3；
（2）∵M是AC的中点，N是BC的中点，AB＝6，
1
∴NM＝MC+CN= AB＝3．
2
【点评】本题主要考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选
用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，此类题还要注意不要漏掉单位．
3
6．（2023秋•随县期末）如图，点C为线段AB上一点，AC＝12cm，AC= CB，D、E分别为AC、AB
2
的中点，求DE的长．
3
【分析】根据AC＝12cm，AC= CB，可得CB的长，根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点
2
的性质，可得AD、AE的长，再根据线段的和差，可得答案．
263
【解答】解：∵AC＝12cm，AC= CB，
2
2 2
∴CB= AC= ×12=8cm，
3 3
∴AB＝AC+CB＝12+8＝20cm，
∵D、E分别为AC、AB的中点，
1 1
∴AD= AC=6cm，AE= AB=10cm，
2 2
∴DE＝AE﹣AD＝10﹣6＝4cm．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．
7．（2023秋•伊川县期末）线段AB＝12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．
（1）若点C恰好是AB中点，求DE的长？
（2）若AC＝4cm，求DE的长．
【分析】（1）根据题意和图形可以求得DC和CE的长，从而可以求得DE的长；
（2）根据题意和图形可以求得DC和CE的长，从而可以求得DE的长．
【解答】解：（1）∵AB＝12cm，点C恰好是AB中点，
∴AC＝BC＝6cm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴CD＝3cm，CE＝3cm，
∴DE＝CD+CE＝6cm，
即DE的长是6cm；
（2）∵AB＝12cm，AC＝4cm，
∴CB＝8cm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴DC＝2cm，CE＝4cm，
∴DE＝DC+CE＝6cm，
即DE的长是6cm．
【点评】本题考查两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2023秋•河池期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝12cm，CB＝8cm，D、E分别是AC、
AB的中点．求：
27（1）求AD的长度；
（2）求DE的长度；
（3）若M在直线AB上，且MB＝6cm，求AM的长度．
【分析】（1）直接根据D是AC的中点可得答案；
（2）先求出AB的长，然后根据E是AB的中点求出AE，做好应AE﹣AD即为DE的长；
（3）分M在点B的右侧、M在点B的左侧两种情况进行计算即可．
1
【解答】解：（1）由线段中点的性质，AD= AC＝6（cm）；
2
（2）由线段的和差，得AB＝AC+BC＝12+8＝20（cm），
1
由线段中点的性质，得AE= AB=10（cm），
2
由线段的和差，得DE＝AE﹣AD＝10﹣6＝4（cm）；
（3）当M在点B的右侧时，AM＝AB+MB＝20+6＝26（cm），
当M在点B的左侧时，AM＝AB﹣MB＝20﹣6＝14（cm），
∴AM的长度为26cm或14cm．
【点评】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分
是解本题的关键．
题型九 类比线段计数规律解决实际问题
解题技巧提炼
n(n−1)
1.直线的条数：过平面上 n（n≥2）个点中的任意两点画直线，最多可以画
2
条
.
n(n−1)
2.线段的条数:线段上共有 n（n≥2）个点（包含两个端点）时，共有条 线
2
段.
n(n−1)
3.交点的个数 ：n（n≥2）条直线相交，最多有 个交点.
2
1．往返于甲、乙两地的火车，中途停靠三站，每两站间距离各不相等，需要准备（ ）种不同的车票．
A．4 B．8 C．10 D．20
【分析】A、E两点代表甲、乙两地，中途停靠的三站分别是B、C、D，数出线段的条数即可得出车票的
种类．
28【解答】解：如图所示，A、E两点代表甲、乙两地，中途停靠的三站分别是B、C、D，
∴不同的线段数就是车票的种类，
从甲到乙的线段有：AB，AC，AD，AE；BC，BD，BE；CD，CE；DE；
∴4+3+2+1＝10（种），
∵往返车票不同，
∴需要准备车票种类：10×2＝20（种）．
故选：D．
【点评】考查了线段，运用数学知识解决生活中的问题，解题的关键是掌握正确数线段的方法．
2．（2023秋•定西期末）由西安北站到兰州西站的D2681号动车，运行途中停靠的车站依次是西安北—岐
山—宝鸡南—天水南—定西北—兰州西，则铁路运营公司要为这条线路（往返路线都包括）制作的车票
共 种．
【分析】求出单程车票的种类，即可得到答案．
【解答】解：由题意知这条线路有 6个站点，每两个站点都要有车票，单程车票有 5+4+3+2+1＝15
（种），
∴往返的车票共有15×2＝30（种）．
故答案为：30．
【点评】本题考查直线，射线，线段，关键是注意求的是往返路线的车票．
3．（2023秋•振兴区校级期中）某高铁线路为往返于 A市和E市，全长106千米，全线共设A、B、C、
D、E五个车站，任意两站之间的距离都不相等，高铁集团要为乘客准备 种车票，有 种
票价．
【分析】根据线段的定义以及线段条数的计算方法进行解答即可．
【解答】解：如图：
高铁集团要为乘客准备：（4+3+2+1）×2＝20（种）车票；
不同的票价有1+2+3+4＝10（种），
故答案为：20；10．
【点评】本题考查直线、射线、线段，理解线段的定义，掌握线段条数的计算方法是正确解答的前提．
4．（2023秋•宜城市期末）【观察思考】如图，线段AB上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点
的线段共有 条．
【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 条线段．
29【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比
赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？
【分析】根据直线上点的个数与线段条数之间的关系进行计算即可．
【解答】解：【观察思考】3+2+1＝6（条），
故答案为：6；
m(m−1)
【模型构建】1+2+3+……+（m﹣1）= ，
2
m(m−1)
故答案为： ；
2
【拓展应用】把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段，由题知，
m(m−1) 10×(10−1)
当m＝10时， = =45．
2 2
【点评】本题考查直线、射线、线段，掌握直线上点的个数与线段条数之间的关系是解决问题的关键．
5．（2023秋•宜城市期末）【观察思考】如图，线段AB上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端
点的线段共有 条．
【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 条线段．
【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比
赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？
【分析】根据直线上点的个数与线段条数之间的关系进行计算即可．
【解答】解：【观察思考】3+2+1＝6（条），
故答案为：6；
m(m−1)
【模型构建】1+2+3+……+（m﹣1）= ，
2
m(m−1)
故答案为： ；
2
【拓展应用】把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段，由题知，
m(m−1) 10×(10−1)
当m＝10时， = =45．
2 2
【点评】本题考查直线、射线、线段，掌握直线上点的个数与线段条数之间的关系是解决问题的关键．
30题型十 动点问题
解题技巧提炼
解决线段的动点运动问题关键是化动为静，以不变应万变，查找突破口（动点速
度，运动的路程等），设出未知数，建立所求的的等量关系式，求出未知数等
等，有时还需要分类讨论.一般的步骤：①画图形；②表线段；③列方程；④求
正解.
1．如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是﹣4，﹣2，3．
（1）若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动 个单位；
（2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒a个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C
分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒：
①点A、B、C表示的数分别是 、 、 （用含a、t的代数式表示）；
②若点B与点C之间的距离表示为d ，点A与点B之间的距离表示为d ，当a为何值时，5d ﹣3d 的
1 2 1 2
值不会随着时间t的变化而改变，并求此时5d ﹣3d 的值．
1 2
【分析】（1）由AB＝2，结合数轴即可得出点C向左移动的距离；
（2）①结合路程＝时间×速度写出答案；
②先求出d ＝3t+5，d ＝3t+2，从而得出d ﹣d ＝2．
1 2 1 2
【解答】解：（1）由数轴可知：A、B两点的距离为2，B点、C点表示的数分别为：﹣2、3，
所以当C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍时，需将点C向左移动1或9个单位；
故答案为：1或9；
（2）①点A表示的数是﹣4﹣at；点B表示的数是﹣2+2t；点C所表示的数是3+5t．
故答案为：﹣4﹣at；﹣2+2t；3+5t；
②∵点A以每秒a个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度
向右运动，
∴d ＝3t+5，d ＝（a+2）t+2，
1 2
∴5d ﹣3d ＝5（3t+5）﹣3[（a+2）t+2]＝（9﹣3a）t+19，
1 2
9﹣3a＝0，
解得a＝3，
故当a为3时，5d ﹣3d 的值不会随着时间t的变化而改变，此时5d ﹣3d 的值为19．
1 2 1 2
31【点评】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，
二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学
思想．
2．如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，
M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．
（1）当PB＝2AM时，求x的值；
（2）当P在线段AB上运动时，2BM﹣BP＝ ，请填空并说明理由；
（3）如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN
的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．
【分析】（1）根据 PB＝2AM建立关于 x 的方程，解方程即可；
（2）将 BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x代入2BM﹣BP 后，化简即可得出结论；
（3）利用 PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN＝；PB＝x﹣12，分别表示出 MN 及 MA+PN 的长
度，即可作出判断．
【解答】解：（1）M 是线段AP的中点，
1
∴AM= AP＝x，
2
PB＝AB﹣AP＝24﹣2x．
∴PB＝2AM，
∴24﹣2x＝2x，
解得 x＝6；
（2）∵AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x，
2BM﹣BP＝2（24﹣x ）﹣（24﹣2x）＝24，即2BM﹣BP为定值；
故答案为：24．
（3）当P在AB延长线上运动，当点P在B点右侧，
1
∵PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN= PB＝x﹣12，
2
①MN＝PM﹣PN＝x﹣（x﹣12）＝12是定值；
32②MA+PN＝x+x﹣12＝2x﹣12，是变化的．
【点评】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度．
3．（2023秋•广州期末）如图，线段AB＝20cm，C为AB的中点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线
段AB向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段AB向左运动，到点A停止．若
P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s．
（1）AC＝ cm．
（2）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求
出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据线段AB＝20cm，C为AB的中点即可得AC的长；
（2）依题意得：AP＝2x cm，BQ＝x cm，AC＝BC＝10cm，然后分三种情况讨论如下：①当点C为
PQ的中点时，②当点P为CQ的中点时，③当点Q为PC的中点时，再根据每一种情况画出图形，利
用线段中点的定义列出方程求出x即可．
【解答】解：（1）∵线段AB＝20cm，C为AB的中点，
1 1
∴AC＝BC= AB= ×20＝10（cm），
2 2
故答案为：10．
（2）存在．
依题意得：AP＝2x cm，BQ＝x cm，
由（1）可知：AC＝BC＝10cm，
分三种情况讨论如下：
①当点C为PQ的中点时：则PC＝QC，如图1所示：
∵PC＝AC﹣AP＝（10﹣2x）cm，QC＝BC﹣BQ＝（10﹣x）cm，
∴10﹣2x＝10﹣x，
解得：x＝0（不合题意，舍去）；
②当点P为CQ的中点时，则PC＝PQ，如图1所示：
∵PC＝AP﹣AC＝（2x﹣10）cm，
33∴BP＝AB﹣AP＝（20﹣2x）cm，
∴PQ＝BP﹣BQ＝20﹣2x﹣x＝（20﹣3x）cm，
∴2x﹣10＝20﹣3x，
解得：x＝6；
③当Q为PC的中点时，则PC＝2CQ，如图2所示：
∵PC＝AP﹣AC＝（2x﹣10）cm，CQ＝BC﹣BQ＝（10﹣x）cm，
∴2x﹣10＝2（10﹣x），
解得：x＝7.5．
综上所述：当x＝6s或7.5s时，C，P，Q三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点．
【点评】此题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，根据线
段中点的定义进行分类讨论，并列出方程是解决问题的关键．
4．（2023春•罗湖区校级期末）如图，已知数轴上点 A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB＝10，动
点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，
（1）写出数轴上点B所表示的数 ；
（2）点P所表示的数 ；（用含t的代数式表示）；
（3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，
说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
【分析】（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表
示的数；
（2）动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，
所以点P所表示的数是6﹣6t；
1
（3）可分两种情况，通过计算表示出线段MN的长都为 AB，所以得出结论线段MN的长度不发生变化．
2
【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA＝6，
则OB＝AB﹣OA＝4，
点B在原点左边，
34所以数轴上点B所表示的数为﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）点P运动t秒的长度为6t，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6﹣6t，
故答案为：6﹣6t；
（3）线段MN的长度不发生变化，
理由：
分两种情况：
①当点P在A、B两点之间运动时，如图
1 1 1
MN＝MP+NP= BP+ PA= AB＝5
2 2 2
②当点P运动到B的左边时，如图
1 1 1
MN＝MP﹣NP= AP− PB= AB＝5
2 2 2
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5…（10分）
【点评】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关
键．
5．如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线
段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．
（1）一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）．
（2）【深入研究】
如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20．若点M从点B的位置开始．以每秒3cm的速度向点A运动，
当点M到达点A时停止运动．设运动的时间为t秒．
①点M在运动的过程中表示的数为 （用含t的代数式表示）．
②求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”．
35③同时点N从点A的位置开始．以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M
是线段AN的“二倍点”时t的值．
【分析】（1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断；
（2）①点M向左运动，运动的路程为3t，表示的数为20﹣3t；
②用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”的意义，分三种情况讨论即可；
③用含t的代数式分别表示出线段AN、NM、AM，然后根据“二倍点”的意义，分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，该线段等于 2倍的中点两侧的小线段
的长，
所以一条线段的中点是这条线段的二倍点．
故答案为：是．
（2）①点M向左运动，运动的路程为3t，表示的数为20﹣3t，
故答案为：20﹣3t；
10
②当AM＝2BM时，30﹣3t＝2×3t，解得：t= ；
3
当AB＝2AM时，30＝2×（30﹣3t），解得：t＝5；
20
当BM＝2AM时，3t＝2×（30﹣3t），解得：t= ；
3
10 20
答：t为 或5或 时，点M是线段AB的二倍点；
3 3
15
③当AN＝2MN时，2t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t= ；
2
90
当AM＝2NM时，30﹣3t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t= ；
13
90
当MN＝2AM时，2t﹣（30﹣3t）＝2（30﹣3t），解得：t= ；
11
15 90 90
答：t为 或 或 时，点M是线段AN的二倍点．
2 13 11
【点评】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的解法、线段的和差，题目需根据二倍点的定义分类
讨论，做到不重不漏是解决本题的关键．
36
