文档内容
第 4 章 基本平面图形章末（核心素养提升+中考能力提升+过关检
测）
知识点一 、线段、射线、直线
1.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段a；线段
AB.
2.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的要给大写字母，前面必须加“射线”两字
1
学科网（北京）股份有限公司l
3.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线 ；直线m，直线
AB；直线CD
基本概念：
名称 直线 射线 线段
图形 a a a
A B A B A B
端点个数 无 一个 两个
直线a 射线a 线段a
表示法
直线AB（BA） 射线AB 线段AB（BA）
作线段a
作直线a 作射线a
作法叙述 作线段AB
作直线AB 作射线AB
连接AB
延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长
（2）直线的性质：
经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线.
两条直线相交，只有一个交点.
知识点二、比较线段的长短
线段的两种度量方法：
(1)直接用刻度尺.
(2)圆规和刻度尺结合使用.
（1）两点的所有连线中，线段最短。 简称：两点之间，线段最短。
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
（2）线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.
知识点三、角的定义
定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
2
学科网（北京）股份有限公司定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．
射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角.终边继续旋转，当它又和始边重合时，
所成的角叫做周角.1平角=180°，1周角=360°.
单位转换：
1度=60分，符号表示：1°=60′.
1分=60秒，符号表示：1′=60″
知识点四、角的表示方法
表示方法 图例 记法 适用范围
A AOB
用三个大写字母 任何情况下都适应.表示端点的字
O
表示 母必须写在中间.
或BOA
B
用一个大写字母 A
A 以这个点为顶点的角只有一个.
表示
用数字表示 1 1
任何情况下都适用.但必须在靠近
顶点处加上弧线表示角的范围，
并注上数字或希腊字母.
用希腊字母表示
知识点五、钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分
钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
知识点六、方向角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏
西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．
3
学科网（北京）股份有限公司知识点七、角的大小比较
角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB 和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝
∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
角的和、差关系
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
角平分线定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，
∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
1
∠AOC＝∠BOC = ∠AOB．
2
4
学科网（北京）股份有限公司余角和补角
（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
（2）性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．
知识点八、多边形和圆的初步认识
多边形：三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形.连接多边形不相邻的两个顶点之间的线段叫做多边形
的对角线.
圆：如下图，平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆.固定的端点O
称为圆心.线段OA称为半径.圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作 ，读作“圆弧AB”或“弧
AB”.由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA、OB所组成的图形叫做扇形；顶点在圆心的角叫做圆心角.
考点1：线段、射线、直线
【例题1】（23-24七年级上·全国·单元测试）下列说法中，错误的是（ ）
A．过两点有且只有一条直线
B．两点之间的线段的长度，叫做两点之间的距离
C．两点之间，线段最短
D．在线段、射线、直线中直线最长
【答案】D
5
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了直线，射线，线段，根据直线，射线，线段的定义和性质解答即可．
【详解】解：因为过两点有且只有一条直线，所以A正确；
因为两点之间的线段的长度，叫做两点之间的距离，所以B正确；
因为两点之间，线段最短，所以C正确；
因为直线是向两方无限延伸的，没有长度，所以D错误；
故选：D
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．射线 和射线 是同一条射线 B．直线 的长度是
C．直线 相交于点M D．线段 与射线 在同一条直线上
【答案】D
【分析】根据直线、射线、线段的性质对各选项分析判断后利用排除法．本题主要考查了直线、射线、线段的特性，
是基础题，需熟练掌握．本题考查了直线、射线的定义及表示方法：直线可用一个小写字母表示，如：直线 ，或用
两个大写字母（直线上的）表示，如直线 （或直线 ．射线是直线的一部分，可用一个小写字母表示，如：射
线 ；或用两个大写字母表示，端点在前，如：射线 ．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．直线与射
线都是无限长，不能度量．也考查了直线的性质公理．
【详解】解：A、射线 和射线 不是同一条射线，故本选项说法是错误；
B、直线是无限长的，测量不了长度，故本选项说法是错误；
C、直线不能用两个小写字母表示，故本选项说法是错误；
D、两点确定一条直线，线段 与射线 在同一条直线上是正确的．
故选：D．
【变式2】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．右图是贵州一座横跨峡谷的
大桥，天堑变通途，径直的大桥极大程度地缩短了大桥两端的路程，其中“径直的大桥缩短了大桥两端的路程”所蕴
含的数学原理是 ．
6
学科网（北京）股份有限公司【答案】两点之间线段最短
【分析】本题考查了线段的性质，根据两点之间线段最短解答即可．
【详解】解：“径直的大桥缩短了大桥两端的路程”所蕴含的数学原理是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有下列结论：①以C为端点的射线共有4条；②射线 和射线
是同一条射线；③直线 和直线 是同一条直线；④射线 的端点相同．其中正确的结论是
（填序号）．
【答案】③④
【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟记概念以及表示方法是解题的关键．
根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解．
【详解】解：以C为端点的射线共有3条，故①错误；
因为射线 和射线 的端点不同，方向也不同，所以不是同一条射线，故②错误；
直线 和直线 是同一条直线，故③正确；
射线 的端点相同，都为点A，故④正确．
综上所述，其中正确的结论是：③④．
故答案为：③④
考点2：线段的相关计算与作图
【例题2】（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段 ，点C在线段AB上，P，Q是线段 的三等分
点，M，N是线段 的三等分点，则线段 的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
7
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了两点间的距离，n等分点的定义，数形结合是解题的关键．由三等分点的定义得 ，
，然后由两点间的距离求解即可．
【详解】解：∵P，Q是线段 的三等分点，M，N是线段 的三等分点，
∴ ， ，
∴ ．
故选C．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，C是线段 上一点，D为 的中点，且 ．
若点E在直线 上，且 ，则 的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题主要考查线段中点的性质及线段的和差关系，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质及和差关系；由题
意易得 ，则有 ，然后分当点E在点A右侧时和当点E在点A左侧时，进而求解即
可
【详解】解：因为D为 的中点， ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
如图①，当点E在点A右侧时．
因为 ，所以 ，
所以 ；
8
学科网（北京）股份有限公司如图②，当点E在点A左侧时
因为 ，
所以 ．
综上所述， 的长为 或 ；
故选D．
【变式2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图线段 ，要求尺规作图，在直线 上找一点 ，作
，则 _______ ．
【答案】图形见解析， 或
【分析】本题主要考查线段和尺规作图，分两种情况：点 位于点 的左侧和点 位于点 的右侧．
【详解】分两种情况：点 位于点 的左侧和点 位于点 的右侧，如图所示．
点 位于点 的左侧时， ．
点 位于点 的右侧时， ．
故答案为： 或
【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）尺规作图：已知线段 （保留作图痕迹，不写作法）．
(1)作线段 ，使 ；
(2)作线段 ，使 ．
【答案】(1)图见详解
9
学科网（北京）股份有限公司(2)图见详解
【分析】本题考查了画线段的和差，熟练掌握线段的尺规作图是解题关键．
（1）先画一条射线 ，再以点A为圆心，在射线 上顺次截取 ，即可得 ；
（2）先画一条直线m，在直线m上截取 ,在线段 上，顺次截取 即可得 ．
【详解】（1）解：画一条射线 ，以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线 于点E，在射线 上顺次
截取 ，线段 ，即为所求作的；
（2）解：画一条直线m，在直线m上任取一点C,截取 ,在线段 上，顺次截取 ，线段
即为所求作的．
考点3：角及角的相关计算
【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列关于角的说法中，正确的个数为（ ）
①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端
点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查角的知识，首先正确理解角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，注意不要忽略
“公共端点”，还应注意角的大小与边的长短无关，与度数的大小一致；然后结合角的定义的理解，对选项进行一一
分析，排除错误答案即可．
【详解】解：角是由有公共端点的两条射线所构成的图形，故①②③正确；
角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故④错误．
故选D．
【变式1】（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图， 是平角， ， 分别是
的平分线，则 （ ）
10
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的性质，求一个角度数可以看成两个或者多个角度的和求解是解题的关键
． 、 分别是 、 的平分线，结合 ， 可得 ，再由平角的定
义即可求得 的度数．
【详解】解： 、 分别是 、 的平分线， ， ,
,
,
．
故选：B．
【变式2】（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，已知 平分 平分
．则 的度数为 ．
【答案】 /50度
【分析】本题考查了有关角平分线的计算，求出 ，再根据角平分线的定义分别求出 和 的度
数，由角的和差关系可得答案．
【详解】解： ， ，
11
学科网（北京）股份有限公司，
平分 ， 平分 ．
， ，
，
故答案为： ．
【变式3】（22-23七年级上·北京·期末）已知：如图， ，在 的外部引射线 ，使 ，
再画出 的角平分线 ．
(1)请借助直尺和量角器补全图形；
(2)求 的度数．
以下是求 的度数的解题过程，
请你补充完整．
解：∵ ， ，
∴ ①_________ ．
∵ 平分 ，
∴ ②_________（③_________）（填写推理依据）．
∴ ④_________ ．
∴ ⑤_________ ．
【答案】(1)见解析
12
学科网（北京）股份有限公司(2)见解析
【分析】（1）利用量角器和直尺画图；
（2）根据角平分线的定义和角的和差求解．
【详解】（1）解：如图：
射线 ， 即为所求；
（2） ， ，
．
平分 ，
（角平分线的定义）．
．
．
【点睛】本题考查了作图和角平分线的定义，角的和差是解题的关键．
考点4：探究线段、角的数量
【例题4】（23-24七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，图中以 为一个端点的线段共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【分析】根据线段的定义即可判断．本题主要考查线段的概念，关键是要牢记线段的定义．
13
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：以 为端点的线段有 、 、 ，共三条，
故选：B．
【变式1】（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如图， 是直线，O是 上一点， ，
平分 ，则图中与 互补的角有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题主要几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义，先根据已知条件证明 ，再
由平角的定义推出 ， ，据此证明 ，进而利用角平分线的定义得到
，则可证明 ，得到 ，据此可得答案．
【详解】解；∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
同理可得 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴
∵ ，
14
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴图中与 互补的角有 ， ，共2个，
故选：C．
【变式2】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，图中线段共有 条．
【答案】
【分析】根据线段和直线的性质，熟练掌握线段和直线的性质是解题的关键；
根据图形结合线段的性质求解即可；
【详解】本图中的线段有： ， ， ， ， ， ，共 条线段；
故答案为：
【变式3】（23-24七年级上·全国·课后作业）归纳与猜想：
（1）观察上图填空：图 中有个 角；图 中有 个角；图 中有 个角；
（2）根据（1）题猜想：在一个角内引 条射线可组成 个角．
【答案】
【分析】根据角的定义，固定一条射线，剩余射线的条数即为可以与这条固定射线组成的角的个数．
【详解】
15
学科网（北京）股份有限公司如图 所示，射线 可以与射线 ， 组成 个角，射线 可以与射线 组成 个角，所以图 中共有 个角．
如图 所示，射线 可以与射线 ， ， 组成 个角，射线 可以与射线 ， 组成 个角，射线 可
以与射线 组成 个角，所以图 中共有 个角．
如图 所示，射线 可以与射线 ， ， ， 组成 个角，射线 可以与射线 ， ， 组成 个角，
射线 可以与射线 ， 组成 个角，射线 可以与射线 组成 个角，所以图 中共有 个角．
在一个角内引 条射线，则共有 条射线，可以组成的角的个数 ．
故答案为： ， ， ， ．
【点睛】本题主要考查角的定义，牢记角的定义（有公共端点的两条射线组成的图形叫做角）是解题的关键．
考点5：多边形与圆的初步认识
【例题5】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）在如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查多边形定义，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．
【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，
是多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，
故选：B．
【变式1】（22-23七年级上·黑龙江大庆·期中）在一张长12厘米，宽6厘米的长方形纸中，最多可以剪（ ）个直
径为3厘米的圆．
16
学科网（北京）股份有限公司A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】沿长方形的长可以剪出 个，沿宽可以剪出 个，据此解答
【详解】
故选B
【点睛】此题考查长方形，圆，抓住在长方形内剪切圆的方法是解题关键
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知正六边形的周长是 ，则这个多边形的边长等于 ．
【答案】6
【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟
知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键．
【详解】解：∵正六边形的周长是 ，
∴这个多边形的边长为 ，
故答案为：6．
【变式3】（21-22七年级上·湖北孝感·阶段练习）求出下图阴影部分的周长和面积．单位：厘米（圆周率用π表示）
【答案】阴影部分的周长为（6π+16）厘米，面积为（48-9π）平方厘米
【分析】根据阴影部分的周长＝一个圆的周长+矩形长的2倍，阴影部分的面积＝矩形的面积﹣一个圆面积计算即可．
【详解】解：由题意知，周长＝π×6+2×8＝6π+16（厘米）；
17
学科网（北京）股份有限公司面积＝8×6﹣π× ＝48﹣9π（平方厘米），
答：阴影部分的周长为（6π+16）厘米，面积为（48-9π）平方厘米．
【点睛】本题主要考查圆的周长和面积公式，熟练掌握圆的周长和面积公式是解题的关键．
考点6：三种思想
思想1：方程思想
【例题6】（23-24七年级上·福建龙岩·期末）如图，点 依次在同一条直线上，点 分别是
的中点，若 ，则 的长为（ ）
A．32 B．24 C．21 D．19
【答案】B
【分析】本题主要考查线段和差关系和中点，设 ，根据已知可求得 和 ，以及 和 ，利用给定
即可求得 ．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ， ，
则 ，
∵点M、N分别是AB、CD的中点，
∴ ， ，
∴ ，解得k=1，
∴ ．
故选：B．
【变式1】（22-23七年级上·四川绵阳·期末）已知线段 ，点 在线段 上， ，反向延长线段 至 ，
使 ，若 ， ，则 的值为（ ）
18
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段的和与差，正确画出图形，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．先画出图形，设 ，
则 ， ，再根据 可得 ，从而可得 ，由此即可得．
【详解】解：由题意，画出图形如下：
设 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，一条线段 ，E，F分别是线段 的中点，
且 ，则线段 的长为 ．
【答案】 /8厘米
【分析】本题考查了两点之间的距离，关键是根据线段关系设未知数求解．设 ，由点 ，
19
学科网（北京）股份有限公司分别是 ， 的中点可得 的长，已知 ，可列方程解得 的值，可得 的长．
【详解】解： ，可设 ，
点 ， 分别是 ， 的中点，
，
，
又 ，
，解得 ，
（ ），
即线段 的长为 ．
故答案为： ．
【变式3】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图， 是线段 的中点，点 在线段 上， 是线段 的中点．
(1)若 ， ，求 的长；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点，找准线段之间的关系是解此题的关
键．
（1）由线段中点的定义得出 ，再结合 计算即可得解；
（2）设 ，则 ．由线段中点的定义得出 ，根据 求出 ，再结合
即可得解．
【详解】（1）解： 是线段 的中点， ，
20
学科网（北京）股份有限公司．
，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴设 ，则 ．
是线段 的中点，
∴ ．
∵ ，即 ，
解得 ．
∵ ，
．
思想2：数形结合思想
【例题7】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，直线 交于点O， 平分 ，若 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平角结合角平分线的定义，求出 的度数，再根据平角的定义，进行
计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
21
学科网（北京）股份有限公司∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
故选：C
【变式1】（23-24七年级上·陕西汉中·期末）如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且
， ，若A，D两点表示的数分别为 和5，E为线段 的中点，则点E表示的数为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】本题考查数轴、数轴上两点之间的距离，线段中点的含义，根据A、D两点在数轴上所表示的数，求得
的长度，然后根据 ， ，求得 、 的长度，从而找到 的中点E所表示的数．
【详解】解：如图，∵ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵E为线段 的中点，
22
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴点E所表示的数是： ．
故选：D．
【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）如图， 是平角， 是射线， 、 分别是 、 的平
分线，若 ，则 的度数为 ．
【答案】 /62度
【分析】本题考查角平分线的定义，平角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
根据角平分线的定义求出 ，推出 ，再根据角平分线的定义求解即可．
【详解】解： 平分 ，
．
．
平分 ，
．
故答案为： ．
【变式3】（24-25七年级上·全国·单元测试）已知点M在数轴右侧，到原点的距离等于4．将点M向左平移7个单位
长度后得到点N．
(1)在数轴上标出点M和点N．
(2)求线段 的长度．
(3)如果点A到点M和点N的距离相等，写出点A所表示数的相反数．
23
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)M表示数为4，N表示数为 ，数轴见详解
(2)7
(3)
【分析】本题考查了数轴和有理数的加减法；
（1）根据题意可知M、N在数轴上表示的数，在数轴上标出即可；
（2）由点M向左平移7个单位长度后得到点N，可知 的长度；
（3）点A到点M和点N的距离相等，可知点A在 的正中间，在数轴上标出点A，可知点A表示的数，再写出其
相反数即可．
【详解】（1）点M在数轴右侧，到原点的距离等于4，即点M表示的数是4；
将点M向左平移7个单位长度后得到点N，则点N表示的数是 ；
在数轴上标出点M和点N，如图：
（2）点M向左平移7个单位长度后得到点N，则点M到点N的距离为7，线段 的长度为7；
（3）∵点A到点M和点N的距离相等，
∴ ，
∴点M向左平移 个单位长度得到点A，
∴A表示的数为 ，
∴0.5的相反数为 ．
思想3：分类讨论思想
【例题8】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）已知线段 ，点C是 的中点，点D在线段 上且
，则线段 的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
24
学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【分析】本题考查线段中点的定义，理解题意，考虑问题要全面是解题的关键．
根据线段中点的性质求出 ，根据题意求出 ，分点 在线段 上，点 在线段 上两种情况计算即可．
【详解】∵ ，点C是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图，当点 在线段 上时，
∴ ，
如图，当点 在线段 上时，
∴ ，
故选： D．
【变式1】（22-23七年级上·江西抚州·阶段练习）若 ， 是不同于 的射线， 平分 ，
平分 ，则 的大小为 ．
【答案】 /45度
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，注意“数形结合”数学思想在解题过程中的应用．当射线 在 的
内部时，根据角平分线的定义求得 ， ，然后根据图形中的角与角间的和差关系来
求 的度数．当射线 在 的外部时，同理可求 的度数．
【详解】解：当射线 在 的内部时，如图所示：
25
学科网（北京）股份有限公司∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴
；
当射线 在 的外部时，如图所示
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
26
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
又∵ ，
∴
．
故答案为： ．
【变式2】（22-23七年级上·河南南阳·期末）已知 ， ， 平分 ， 平分 ，
则 ．
【答案】 或
【分析】本题考查与角平分线有关的角的运算．分类讨论是解答此题的关键．
分射线 在 内部和外部两种可能来解答．
【详解】解：当射线 在 内部时，如图，
， 平分 ，
，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
；
当射线 在 外部时，如图，
27
学科网（北京）股份有限公司， 平分 ，
，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
，
故答案为： 或 ．
【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）已知线段 ，在直线AB上作线段 ，使得 ．若D是线段
的中点，求线段AD的长．
【答案】3或1
【分析】根据题意可分为两种情况，①点C在线段 上，可计算出 的长，再由D是线段 的中点，即可得出
答案；② 在线段 的延长线上，可计算出 的长，再由D是线段 的中点，即可得出答案．
【详解】解：根据题意分两种情况，
①如图1，
∵ ， ，
∴ ，
∵D是线段 的中点，
∴ ；
②如图2，
∵ ， ，
∴ ，
28
学科网（北京）股份有限公司∵D是线段 的中点，
∴ ．
∴线段 的长为1或3．
故答案为：3或1
一、单选题
1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，
让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
【答案】C
【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．
【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的一段圆弧，
故选：C．
2．（2023·山东临沂·中考真题）下图中用量角器测得 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
29
学科网（北京）股份有限公司【分析】由图形可直接得出．
【详解】解：由题意，可得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．
3．（2021·广西百色·中考真题）已知∠α＝25°30′，则它的余角为（ ）
A．25°30′ B．64°30′ C．74°30′ D．154°30′
【答案】B
【分析】根据互为余角相加等于 以及度分秒的进率计算即可．
【详解】解：∵∠α＝25°30′，
∴它的余角为 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查余角的性质以及度分秒的计算，熟知度分秒的进率为60是解题的关键．
4．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段 ，在直线AB上作线段BC，使得 ．若D是线段AC的中点，则
线段AD的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
【答案】C
【分析】先分C在AB上和C在AB的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计
算即可．
【详解】解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2,
∴AD= AC=1
如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6,
∴AD= AC=3
30
学科网（北京）股份有限公司故选C．
【点睛】本题主要考查了线段的和差、中点的定义以及分类讨论思想，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键．
5．（2022·山东临沂·中考真题）如图， ， 位于数轴上原点两侧，且 ．若点 表示的数是6，则点 表示
的数是（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
【答案】B
【分析】根据 ，点 表示的数是6，先求解 再根据A的位置求解A对应的数即可．
【详解】解：由题意可得：点 表示的数是6，且B在原点的右侧，
，
在原点的左侧，
表示的数为
故选B
【点睛】本题考查的是线段的和差倍分关系，数轴上的点所对应的数的表示，熟悉数轴的组成与数轴上数的分布是解
本题的关键．
6．（2021·江苏南京·中考真题）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（ ）
A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2
【答案】D
【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．
【详解】A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；
31
学科网（北京）股份有限公司B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误；
C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；
D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而较短的两边
的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的
线段即可．
二、填空题
7．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道
理是 ．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．
【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，
其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短
故答案为：两点之间，线段最短．
8．（2024·四川巴中·中考真题）过五边形的一个顶点有 条对角线．
【答案】2
【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出n边形从一
个顶点出发可引出 条对角线．
【详解】从五边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的2个顶点引对角线，即能引出2条对角线，
32
学科网（北京）股份有限公司故答案为：2．
【点睛】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出 条对角线．
9．（2023·四川乐山·中考真题）如图，点O在直线AB上， 是 的平分线，若 ，则 的度
数为 ．
【答案】 /20度
【分析】根据邻补角得出 ，再由角平分线求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】题目注意考查邻补角及角平分线的计算，找准各角之间的关系是解题关键．
10．（2023·湖北十堰·中考真题）一副三角板按如图所示放置，点A在 上，点F在 上，若 ，则
．
【答案】 /100度
【分析】根据直角三角板的性质，得到 ， ，结合 得到 ，利用平
角的定义计算即可．
33
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如图，根据直角三角板的性质，得到 ， ，
∵ ，
∴ ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角板的性质，直角三角形的性质，平角的定义，熟练掌握三角板的性质，直角三角形的性质是
解题的关键
一、单选题
1．（22-23七年级上·河南郑州·期末）下列说法错误的是（ ）
A．经过一点可以画无数条直线
B．经过两点的直线有且只有一条
C．射线 和射线 是同一条射线
D．连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离
【答案】C
【分析】此题考查直线、线段、射线，根据直线、射线、线段的定义以及两点间的距离的定义即可得到结论．
【详解】解：A、经过一点可以画无数条直线，说法正确，故本选项不符合题意；
B、根据直线的性质：两点确定一条直线可知经过两点的直线有且只有一条，说法正确，故本选项不符合题意；
C．射线 和射线 不是同一条射线，原说法错误，故本选项符合题意；
34
学科网（北京）股份有限公司D、连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了度分秒的换算，根据“1度 分，即 ，1分 秒，即 ”进行度分秒的换算和度
分秒间的加减计算．
【详解】解：A、 ，计算正确，故本选项不符合题意．
B、 ，计算正确，故本选项不符题意．
C、 ，计算正确，故本选项不符合题意．
D、 ，计算错误，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法错误的是（ ）
A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形
B．周角的一半叫平角
C． 可转化为
D．直线 是平角
【答案】D
【分析】本题考查了角的相关概念及度分秒的换算，熟练掌握角的相关概念及度分秒的换算是解题的关键．根据角的
相关概念及度分秒的换算逐项分析判断，即可判断答案．
【详解】A、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，此说法正确，不符合题意；
35
学科网（北京）股份有限公司B、周角的一半是平角，此说法正确，不符合题意；
C、 ，所以此说法正确，不符合题意；
D、直线不是平角，此说法不正确，符合题意．
故选D．
4．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图， 是 的平分线， ，则
的度数为（ ）
A． B． C．60° D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，根据角平分线的定义得到 是解题的关键．
【详解】解：∵
∴ 是 的平分线，
又∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
故选：D
5．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列三种说法：①因为 ，所以 是 的中点；②在线段 的延
长线上取一点 ，如果 ，那么 是 的中点；③因为 是 的中点，所以 ．其中正
确的是（ ）
A．①③ B．① C．②③ D．①②③
【答案】C
36
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查线段中点定义，根据中点定义，数形结合理解即可得到答案，熟记线段中点定义是解决问题的关键．
【详解】解：若 三点不在一条直线上，即使 ， 也不一定是 的中点，故①错误，不符合题意；
线段 的延长分两种情况：
在线段 的延长线上取一点 ，如图所示：
如果 ，那么 是 的中点，故②正确，符合题意；
因为 是 的中点，所以 ，故③说法正确，符合题意；
综上所述，正确的说法是②③，
故选：C．
6．（2024七年级上·全国·专题练习）下列图形中，是四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了四边形的判断，根据四边形的定义解答即可．即由四条线段首位顺次相接，就组成了四边形．
【详解】解：图B是四边形，符合题意．
故选：B．
7．（23-24七年级上·山东济宁·期中）点 ， ， 在直线 上的位置如图所示，下列结论中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了比较线段的长短，根据直线上 ， ， 的位置，判断即可．
37
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A、由图可知 ，故A选项正确，不符合题意；
B、由图可知 ，故B选项正确，不符合题意；
C、由图可知 ，故C选项正确，不符合题意；
D、由图可知 ，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
8．（24-25七年级上·全国·单元测试）过2个点可以画出1条线段，过3个点可以画3条线段，过10个点可以画（
）条线段．
A．10 B．54 C．45 D．无数条
【答案】C
【分析】本题主要考查线段的数量问题，根据题意已知条件找到对应的规律，将所求点代入即可；
【详解】解：过2个点可以画： ；
过3个点可以画： ；
过n个点可以画： ；
则过10个点可以画 ；
故选：C．
9．（2023七年级上·浙江·专题练习）如图，点C是线段 的中点，点N是线段 的三等分点．若线段 的长为
12，则线段 的长度是（ ）
A．10 B．8 C．7或9 D．8或10
【答案】D
【分析】本题主要考查了线段和差倍分的计算，解题关键是熟练掌握线段与线段之间的和差倍分关系．
先根据已知条件求出 和 的长，然后根据点 的位置，分两种情况讨论，画出图形，利用已知条件，求出
的值即可．
38
学科网（北京）股份有限公司【详解】解： ，点 是 中点，
，
分两种情况讨论：
①点 的位置如图所示：
点 是线段 的三等分点，
，
；
②点 位置如图所示：
点 是线段 的三等分点，
，
；
综上可知： 的长度为8或10，
故选：D．
10．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知线段 ，延长 至点C，使 ，点D、E均为线段 延长
线上两点，且 、N分别是线段 、 的中点，当点C是线段 的三等分点时， 的长为（ ）
A． B． C． 或 D． m或
【答案】C
【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．
由点C是线段 的三等分点，可知分两种情况进行讨论，画出图形，结合线段的比例关系，及线段中点的性质即可
求解．
【详解】解：∵ 是线段 的中点，
39
学科网（北京）股份有限公司，
①若 ，如图1所示：
，
，
，
，
，
∵ 是线段 的中点， 是线段 的中点，
∴ ．
∴ ；
②若 ，如图：
，
，
，
，
∵ 是线段 的中点， 是线段 的中点，
，
40
学科网（北京）股份有限公司，
故选：C．
二、填空题
11．（24-25七年级上·河北保定·期中）下列四种实践方式：①木匠弹墨线；②打靶瞄准；③弯曲公路改直；④拉绳插
秧．其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（填序号） ．
【答案】①②④
【分析】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．接利用直线的性质以及线段的
性质分析得出答案．
【详解】解：①木匠弹墨线；②打靶瞄准；④拉绳插秧，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，③弯曲公路
改直，利用的是“两点之间，线段最短”的知识．
故答案为：①②④．
12．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】 8 45 36 0.15
【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握单位之间的换算关系是解题的关键．
（1）根据 ， 进行换算即可；
（2）根据 进行换算即可．
【详解】解：（1） ， ，
所以 ，
故答案为：8，45，36；
（2） ，
故答案为：0.15．
13．（24-25七年级上·全国·课后作业）连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的 ．
【答案】对角线
41
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查多边形对角线的概念：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，据此解答即可
【详解】解：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，
故答案为：对角线．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，A，B，C三点共线，M，N分别是 的中点．若 ，
则 ．
【答案】13
【分析】此题考查了线段的中点，线段的和差，根据题意可得 ， ，由 即
可求出线段 的长．
【详解】解： 分别是 的中点， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
15．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图， ， ，则 的度数是 ．
【答案】30°/30度
【分析】本题考查了角的计算，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据 即可选出正确答案．
【详解】解： ， ，
，
故答案为：
42
学科网（北京）股份有限公司16．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，若C为线段 的中点，D在线段 上， ，则 的
长度是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了两点间的距离．利用中点性质转化线段之间的长短关系是解题的关键．由已知条件知
， ，由 即可求得结果．
【详解】∵线段 ，线段 ，
∴ ，
∵C为线段 的中点，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
17．（2024七年级上·全国·专题练习）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则这个多边形的对角线
共有 条．
【答案】20
【分析】本题主要考查了多边形的对角线，根据多边形边数与过一个顶点的对角线的条数可知该多边形为8边形，再
根据对角线的条数等于 计算即可．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，由题意，得
，
解得 ，
所以这个多边形的对角线共有 （条）．
故答案为：20．
18．（2024七年级上·全国·专题练习）已知点 都在同一条直线上， 分别为 的中点．若
，则 的长为 ．
43
学科网（北京）股份有限公司【答案】8或16/16或8
【分析】本题主要考查与中点有关的线段和差计算，分两种情况：点C在点B的左边时，点C在点B的右边时，再根
据相应线段的关系进行解答即可．
【详解】解：当点C在点B的左边时，如图所示．
∵ 分别为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当点C在点B的右边时，如图所示．
∵ 分别为 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
44
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述， 的长为8或16，
故答案为：8或16．
三、解答题
19．（2024七年级上·全国·专题练习）如图， 是 的平分线， 是 的平分线，且 ，求：
(1) 的度数；
(2) 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的定义，角的和差，
（1）根据角平分线的定义得 ， ，代入数据计算即可；
（2）结合图形可得 ，代入数据计算即可；
解题的关键是掌握角平分线的定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角
的平分线．
【详解】（1）解：∵ 是 的平分线，且 ，
∴ ， ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
45
学科网（北京）股份有限公司∴ 的度数为 ；
（2）由（1）知： ， ，
∴ ，
∴ 的度数为 ．
20．（2024七年级上·全国·专题练习）如下图， 为线段 上一点， 为 的中点， 为 的中点，其中
， ．若 为 上一点，且满足 ，试说明： 是线段 的中点．
【答案】说明见解析
【分析】本题考查线段的中点，线段的和差，由线段的中点定义及线段的和差得 ，再根据线段中点的定
义及 表示出 ，即可说明问题．解题的关键是理解线段的中点定义：一条线段的中点只有一
个；某一点要成为一条线段的中点必须同时满足两个条件：点必须在这条线段上；它把这条线段分为相等的两条线段．
【详解】解：∵ 为 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由题意及图形知：点 在线段 上，
即 是线段 的中点．
21．（2024七年级上·全国·专题练习）已知点O为直线 上一点， ，在 内部作射线 ，且
恰好平分 ．
46
学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查角平分线的意义、互补、互余的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是得出正确结论的
关键．
（1）先根据余角的定义求出 ，再根据角平分线的定义求出 ，然后根据 计算即可；
（2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解．
【详解】（1）解：如图：
，
，
平分 ，
，
；
（2）解： ， 平分 ，
，
，
，
47
学科网（北京）股份有限公司，
，
．
22．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图， 平分 ， 三等分 ，已知 ，求
的度数．
【答案】90°
【分析】本题考查了角平分线及三等分线的定义，角的和差，由角平分线及三等分线的定义可得 ，
，进而得 ，据此即可求解，掌握角平分线及三等分线的定义是解
题的关键．
【详解】解： 平分 ，
∴ ，
又∵ 三等分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
23．（2024七年级上·全国·专题练习）如图， 是 的平分线， 是 的平分线．
48
学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差运算等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键．
（1）由角平分线的定义可得 ，进而得到 ，再由角平分线的定义可得 最
后根据角的和差即可解答；
（2）由角平分线的定义可得 ，进而得到 ，再由角平分线的定义可得
，最后根据角的和差即可解答．
【详解】（1）解：∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的平分线，
∴
∴ ．
（2）解：∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ．
∵OD是 的平分线，
49
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ．
24．（2024七年级上·全国·专题练习）在数轴上，点 为原点，点 表示的数为 ，动点 在数轴上移动（点 在
点 右侧），总保持 （ 大于 且小于 ），设点 表示的数为 ．
(1)如图1，当动点 在线段 上移动时，
①若 ，且 为 中点时，则点 表示的数为 ___________；
②若 ，求多项式 的值；
(2)当线段 在射线 上移动时，且 ，用含 的式子表示 ．
【答案】(1)① ；②
(2) 或
【分析】本题主要考查了列代数式和数轴，解题的关键是找到等量关系，列出代数式，注意运用分类讨论的数学思想
解答（2）题．
（1）①运用两点间的距离公式求解；②根据 得到 ，然后整体代入求值；
（2）分类讨论：点 在线段 上和点 在线段 上两种情况．
【详解】（1）解：①∵点 表示的数为 ， 为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 表示的数为 ，
50
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ；
②∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图1，
当点 位于原点左侧时， ， ， ，
由题意，得： ，
解得： ；
如图2，
当点 位于原点右侧时，由题意，得：
，
解得： ；
综上可知， 或 ．
25．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图，已知 ，点C为线段 上的一个动点，D、E分别是 、
的中点；
51
学科网（北京）股份有限公司①若点C恰为 的中点，则 ；
②若 ，则 ；
（2）如图，点C为线段 上的一个动点，D、E分别是 的中点；若 ，则 ；
【答案】（1）①6；② 6；（2）
【分析】本题考查了两点间的距离、线段的和差、线段的中点等知识点，掌握同一条直线上的两条线段的中点间的距
离等于这两条线段和的一半成为解题的关键．
（1）①根据线段的中点性质可得 、 、 ,然后根据线段的和差即可解答；
②由线段的和差可得 ，再根据线段的和差可得 , ,然后根据线段的和差即可
解答；
（2）根据线段的中点性质可得 ，再根据线段的和差即可解答．
【详解】解：（1）①∵ ，点C恰为 的中点，
∴ ,
∵D、E分别是 、 的中点,
∴ , ,
∴ ；
②∵ ， ，
∴ ,
∵D、E分别是 、 的中点,
∴ , ,
∴ ，
52
学科网（北京）股份有限公司故答案为：6，6；
（2）∵点D、E分别是 、 的中点，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
26．（24-25七年级上·全国·期中）如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点
右侧， ．
(1)当 ， 时，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
(2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段 的中点，点N是线段 的中点．
当点C与点D重合时，探究 与 的数量关系，并说明理由．
当 时，直接写出 的长度（用m，n表示）．
【答案】(1) ，
(2) 或 或
【分析】本题考查了数轴上点的表示，线段中点的相关计算，数轴上动点问题；
（1）由线段关系可求 ， ，即可求解；
（2） 分类讨论：当 在 的左边时，当 在 、 之间时，当 在 之间右边时，即可求解；
当 、 在 的左边，且 在 的左边，由线段的中点得 ， ，由线段和差得
，由 ，即可求解； 、 其它不同位置情况同理可求；
掌握线段的中点，能根据动点不同位置进行分类讨论是解题的关键．
53
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解： ， ，
，
，
点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
故答案： ， ；
（2）解： ，理由如下：
如图，当 在 的左边时，
点M是线段 的中点，点N是线段 的中点，
， ，
；
如图，当 在 、 之间时，
点M是线段 的中点，点N是线段 的中点，
54
学科网（北京）股份有限公司， ，
；
如图，当 在 之间右边时，
点M是线段 的中点，点N是线段 的中点，
， ，
；
综上所述： ；
第一种情况，如图，当 、 在 的左边，且 在 的左边，
点M是线段 的中点，点N是线段 的中点，
， ，则 ，
55
学科网（北京）股份有限公司；
；
第二种情况，如图，当 、 在 的左边，且 在 的右边，
∵点M是线段 的中点，点N是线段 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
；
第三种情况，如图，当 、 在 的右边，且 在 的左边，
∵点M是线段 的中点，点N是线段 的中点，
56
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴
；
第四种情况，如图，当 、 在 的右边，且 在 的右边，
∵点M是线段 的中点，点N是线段 的中点，
∴ ， ，
∴
；
第五种情况，如图，当 、 在 的右边，且 在 的左边，
∵点M是线段 的中点，点N是线段 的中点，
57
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，则 ，
∴
；
第六种情况，如图，当 、 在 的右边，且 在 的右边，
∵点M是线段 的中点，点N是线段 的中点，
∴ ， ，
∴
；
综上所述， 或 或 ．
58
学科网（北京）股份有限公司
