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【满分秘诀】专题 08 整式乘法运算（满分突破）
1．已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是（ ）
A．8 B．±8 C．16 D．±16
【答案】D
【解答】解：根据题意，原式是一个完全平方式，
∵64y2＝（±8y）2，
∴原式可化成＝（x±8y）2，
展开可得x2±16xy+64y2，
∴kxy＝±16xy，
∴k＝±16．
故选：D．
2．已知a+b＝3，ab＝2，则a2+b2的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝2，
∴a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝32﹣2×2
＝5，故选：A．
3．观察下列各式及其展开式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
【答案】B
【解答】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；
（a+b）7＝a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；
第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；
第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；
第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，
则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．
故选：B．
4．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a
【答案】A
【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124
b＝2741＝（33）41＝3123；
c＝961＝（32）61＝3122．
则a＞b＞c．
故选：A．
5．已知a+ ＝3，则a2+ 的值是 ．
【答案】7
【解答】解：∵a+ ＝3，
∴a2+2+ ＝9，
∴a2+ ＝9﹣2＝7．
故答案为：7．
6．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b）6＝ ．
【答案】 a 6 +6 a 5 b +15 a 4 b 2 +20 a 3 b 3 +15 a 2 b 4 +6 ab 5 + b 6
【解答】解：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
故本题答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
7．（1）已知x+y＝3，xy＝2．求x2+y2、（x﹣y）2的值；
（2）已知x+2y＝3，xy＝1．求x2﹣xy+4y2的值．
【解答】解：（1）∵x+y＝3，xy＝2，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝32﹣2×2＝5；
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝（x+y）2﹣4xy＝32﹣4×2＝1；
（2）∵x+2y＝3，xy＝1，
∴x2﹣xy+4y2＝（x+2y）2﹣5xy＝32﹣5×1＝4．
8．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2得：
2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得2S﹣S＝22014﹣1
即S＝22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
【解答】解：（1）设S＝1+2+22+23+24+…+210，
将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+…+210+211，
将下式减去上式得：2S﹣S＝211﹣1，即S＝211﹣1，
则1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1；（2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n①，
两边同时乘3得：3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1②，
②﹣①得：3S﹣S＝3n+1﹣1，即S＝ （3n+1﹣1），
则1+3+32+33+34+…+3n＝ （3n+1﹣1）．
9．阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘 记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为
底8的对数，记为log 8（即log 8＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则
2 2
n叫做以a为底b的对数，记为log b（即log b＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81
a a
的对数，记为log 81（即log 81＝4）．
3 3
（1）计算以下各对数的值：
log 4＝ ，log 16＝ ，log 64＝ ．
2 2 2
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 4、log 16、log 64之间
2 2 2
又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
log M+log N＝ ；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
a a
（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义证明上述结论．
【解答】解：（1）log 4＝2，log 16＝4，log 64＝6；
2 2 2
（2）4×16＝64，log 4+log 16＝log 64；
2 2 2
（3）log M+log N＝log （MN）；
a a a
（4）证明：设log M＝b ，log N＝b ，
a 1 a 2
则 ＝M， ＝N，
∴MN＝ ，
∴b +b ＝log （MN）即log M+log N＝log （MN）．
1 2 a a a a
10．我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：m（a+b+c）＝ma+mb+mc（如图1），多项式乘多
项式的运算法则：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd（如图2），以及完全平方公式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图3）．
把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研
究数学问题的一种常用方法．
（1）请设计一个图形说明等式（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2成立（画出示意图，并标
上字母）
（2）如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形 EFGH
拼成的一个大正方形ABCD．如果每个直角三角形的较短的边长为a，较长的边长为b，
最长的边长为c，试用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，你能发现直角三角形
的三边长a、b、c的什么数量关系？（注：写出解答过程）
【解答】解：（1）（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2，
（2）a2+b2＝c2．理由如下：
∵S正方形ABCD ＝（a+b）2＝a2+b2+2ab，
S正方形ABCD ＝ ab×4+c2，
∴a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
11．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图
1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式 ．
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ ．
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为
a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝ ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） ∵ 正 方 形 的 面 积 ＝ （ a+b+c ） 2 ； 正 方 形 的 面 积 ＝
a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）证明：（a+b+c）（a+b+c），
＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，
＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，
＝102﹣2（ab+ac+bc），
＝100﹣2×35，
＝30．
故答案为：30；
（4）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，
∵（5a+7b）（9a+4b），
＝45a2+20ab+63ab+28b2，
＝45a2+28b2+83ab，
∴x＝45，y＝28，z＝83．
∴x+y+z＝45+28+83＝156．
故答案为：156．
12．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab﹣b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例
如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴（a+b）2＝9，2ab＝2．
∴a2+b2+2ab＝9．
∴a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）①若x+y＝8，x2+y2＝40，则xy＝ ；
②若2a+b＝5，ab＝2，则2a﹣b＝ ；
③若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2 ；
（2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正
方形的面积和S +S ＝16，求△AFC的面积．
1 2
【解答】解：（1）①∵（x+y）2﹣2xy＝x2+y2，x+y＝8，x2+y2＝40，
∴82﹣2xy＝40，
∴xy＝12，
答：xy的值为12；
②∵（2a﹣b）2＝（2a+b）2﹣8ab，2a+b＝5，ab＝2，
∴（2a﹣b）2＝52﹣8×2＝9，
∴2a﹣b＝± ＝±3，
故答案为：±3；
③根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab可得，
（4﹣x）2+x2＝[（4﹣x）+x]2﹣2（4﹣x）x，
又∵（4﹣x）x＝5，
∴（4﹣x）2+x2＝42﹣2×5＝6，
故答案为：＝6；
（2）设AC＝m，CF＝n，∵AB＝6，
∴m+n＝6，
又∵S +S ＝16，
1 2
∴m2+n2＝16，
由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴62＝16+2mn，
∴mn＝10，
∴S△AFC ＝ mn＝5，
答：△AFC的面积为5．
13．阅读理解：若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．
解：设（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣
x）+（x﹣60）＝20，所以（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30
＝340．
解决问题：
（1）若x满足（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值；
（2）若x满足（2017﹣x）2+（2015﹣x）2＝4038，求（2017﹣x）（2015﹣x）的值；
（3）如图，正方形 ABCD的边长为 x，AE＝10，CG＝20，长方形 EFGD的面积是
500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积
（结果必须是一个具体的数值）．
【解答】解：（1）设（30﹣x）＝a，（x﹣20）＝b，
则（30﹣x）（x﹣20）＝ab＝﹣10，a+b＝（30﹣x）+（x﹣20）＝10，
所以（30﹣x）2+（x﹣20）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102+2×10＝120；
（2）设（2017﹣x）＝a，（2015﹣x）＝b，则a﹣b＝（2017﹣x）﹣（2015﹣x）＝2，
因为（2017﹣x）2+（2015﹣x）2＝4038，
所以（2017﹣x）2+（2015﹣x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝4038，
即22+2×（2017﹣x）（2015﹣x）＝4038，
（2017﹣x）（2015﹣x）＝2017；
（3）设正方形ABCD的边长为x，
由题意DE＝x﹣10，DG＝x﹣20，则（x﹣10）（x﹣20）＝500，
设a＝x﹣10，b＝x﹣20，则a﹣b＝10，ab＝500，
∴S阴 ＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×500＝2100．
