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【满分秘诀】专题 02 三角形满分突破
1．（2022春•永年区校级期末）如图，在△CEF中，∠E＝78°，∠F＝47°，AB∥CF，
AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．47° C．55° D．78°
【答案】C
【解答】解：延长EC交AB于点H，如图所示：
∵∠E＝78°，∠F＝47°，
∴∠ECF＝180°﹣∠E﹣∠F＝55°，
∵AB∥CF，AD∥CE，
∴∠BHE＝∠ECF＝55°，∠BHE＝∠A，
∴∠A＝55°．
故选：C．
2．（2022春•海陵区校级期末）如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图，若∠A＝
60°，∠1＝95°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．35°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC沿EF翻折，
∴∠BEF＝∠B'EF，∠CFE＝∠C'FE，∴180°﹣∠AEF＝∠1+∠AEF，180°﹣∠AFE＝∠2+∠AFE，
∵∠1＝95°，
∴∠AEF＝ （180°﹣95°）＝42.5°，
∵∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣60°﹣42.5°＝77.5°，
∴180°﹣77.5°＝∠2+77.5°，
∴∠2＝25°，
故选：C．
3．（2022春•海州区校级期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且
A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝122°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．116° B．100° C．128° D．120°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC纸片沿DE折叠，
∴△AED≌△A′ED，
∴∠ADE＝∠EDA′，∠AED＝∠DEA′，
∴∠1+∠2＝180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠AED
＝180°﹣（∠ADE+∠AED）+180°﹣（∠ADE+∠AED）
＝2∠A，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝122°，
∴∠A'BC＝ ∠ABC，∠A'CB＝ ∠ACB，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣122°＝58°，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠A'BC+∠A'CB）＝2×58°＝116°，
∴∠A＝180°﹣116°＝64°，
∴∠1+∠2＝2∠A＝2×64°＝128°，
故选：C．4．（2022春•澄海区期末）如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，∠DAB和
∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系为（
）
A．∠P＝2（∠B﹣∠D） B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
∵∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，
∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②，
∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，
∴2∠P＝∠D+∠B，
即∠P＝ （∠D+∠B）．
故选：B．
5．（2022春•宽城县期末）如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC和∠ACD的平分线交
于点A ，得∠A ，∠A BC和∠A CD的平分线交于点A ，得∠A ，同理可得∠A ，则
1 1 1 1 2 2 3
∠A ＝（ ）度．
3
A．26° B．15° C．10° D．6.5°
【答案】D【解答】解：∵∠BA 是∠ABC的平分线，CA 是∠ACD和∠ACD的平分线，
1 1
∴∠ABA ＝∠A BC＝ ∠ABC，∠ACA ＝∠A CD＝ ∠ACD，
1 1 1 1
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A CD＝∠A +∠A BC，
1 1 1
∴∠A ＝ ∠A，
1
同理可得，∠A ＝ ∠A ，∠A ＝ ∠A ，
2 1 3 2
∴∠A ＝ ∠A＝ ×52°＝6.5°，
3
故选：D．
6．（2022春•嵩县期末）在△ABC中，
（1）如图（1）．∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P．
若∠A＝60°，则∠BPC＝ ．
若∠A＝n°，则∠BPC＝ ．
（2）如图（2），在ABC中的外角平分线相交于点Q，∠A＝n°．求∠BQC的度数．
（3）如图（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，它们的外角平分线相
交于点Q．直接回答：∠BPC与∠BQC具有怎样的数量关系？
（4）如图（4）．△ABC中的内角平分线相交于点P，外角平分线相交于点Q，延长线
段BP．QC交于点E．△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的 2倍，请直接写出
∠A的度数．
【解答】解：（1）如图1，
∵BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠ABP＝∠PBC＝ ∠ABC，∠ACP＝∠PCB＝ ∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣ （180°﹣∠BAC）
＝90°+ ∠BAC；
当∠A＝60°时，∠BPC＝90°+ ×60°＝120°；
当∠A＝n°时，∠BPC＝90°+ n°；
故答案为：120°，90°+ n°；
（2）如图2，
∵BQ、CQ分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，
∴∠DBQ＝∠QBC＝ ∠DBC，∠FCQ＝∠QCB＝ ∠FCB，
∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB
＝180°﹣ （∠DBC+∠FCB）
＝180°﹣ （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°﹣ （180°+∠A）
＝90°﹣ ∠A
＝90°﹣ n°；
（3）如图3，
由（1）得，∠BPC＝90°+ ∠A，
由（2）得，∠BQC＝90°﹣ ∠A，
∴∠BPC+∠BQC＝180°；
（4）如图4，
∵BQ是∠ABC的外角平分线，BP是∠ABC的平分线，∴∠QBE＝ ×180°＝90°，
∴∠E＝180°﹣∠QBE﹣∠Q
＝180°﹣90°﹣（90°﹣ ∠A）
＝ ∠A，
①当∠QBE＝2∠E时，即90°＝2∠E，
∴∠A＝2∠E＝90°；
②当∠QBE＝2∠Q时，即90°＝2×（90°﹣ ∠A），
∴∠A＝90°；
③当∠Q＝2∠E时，即90°﹣ ∠A＝2× ∠A，
∴∠A＝60°；
④当∠E＝2∠Q时，即 ∠A＝2（90°﹣ ∠A），
∴∠A＝120°；
综上所述，当△BQE的一个内角等于另一个内角的 2倍时，∠A的度数为60°，90°，
120°．
7．（2022春•新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了
自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于 180°．小颖通过
探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形
的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：
（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作
EF∥BC．
（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关
系： ；
（3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、
AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明
理由．
【解答】（1）证明：过A作EF∥BC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；
（2）解：根据（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°，
又∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（3）解：2∠P＝∠D+∠B．
根据（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②，
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，
∴2∠P＝∠D+∠B．
8．（2022春•张家川县期末）如图，∠MON＝90°，点A、B分别在直线OM、ON上，BC
是∠ABN的平分线．
（1）如图1，若BC所在直线交∠OAB的平分线于点D时，尝试完成①、②两题：
①当∠ABO＝40°时，∠ADB＝ °；当∠ABO＝70°时，∠ADB＝ °；
②当点A、B分别在射线OM、ON上运动时（不与点O重合），试问：随着点A、B的
运动，∠ADB的大小会变吗？如果不会，请求出∠ADB的度数；如果会，请求出∠ADB
的度数的变化范围；（2）如图2，若BC所在直线交∠BAM的平分线于点C时，将△ABC沿EF折叠，使点
C落在四边形ABEF内点C′的位置、求∠BEC′+∠AFC′的度数．
【解答】解：（1）①∵∠ABO＝40°，
∴∠OAB＝50°，∠ABN＝140°，
∵BC是∠ABN的平分线，AD是∠OAB的平分线，
∴∠DAB＝ ∠OAB＝25°，∠ABC＝ ∠ABN＝70°，
∴∠ADB＝∠ABC﹣∠DAB＝45°；
∵∠ABO＝70°，
∴∠OAB＝20°，∠ABN＝110°，
∵BC是∠ABN的平分线，AD是∠OAB的平分线，
∴∠DAB＝ ∠OAB＝10°，∠ABC＝ ∠ABN＝55°，
∴∠ADB＝∠ABC﹣∠DAB＝45°；
故答案为：45；45；
②随着点A、B的运动，∠ADB的大小不变．
设∠ABO＝ ，
∵∠MON＝α90°，
∴∠BAD＝45°﹣ ，∠ABC＝90°﹣ ，
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝90°+ ，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝45°；
（2）∵∠MON＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝ （∠BAM+∠ABN）＝135°，
∴∠C＝45°，
∴∠CEC′+∠CFC′＝2（180°﹣∠C）＝270°，
∴∠BEC′+∠AFC′＝360°﹣（∠CEC′+∠CFC′）＝90°．
