文档内容
专题 05 乘法公式与因式分解七大重难考点
实战训练
一．平方差公式的灵活运用
1．下列运算中，不能用平方差公式运算的是（ ）
A．（﹣b﹣c）（﹣b+c） B．﹣（x+y）（﹣x﹣y）
C．（x+y）（x﹣y） D．（x+y）（2x﹣2y）
2．计算：20192﹣2017×2021＝ ．
3．利用乘法公式简便计算．
（1）2020×2022﹣20212．
（2）3.6722+6.3282+6.328×7.344．
4．某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差
公式计算：
3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．
1 1 1 1 1
请借鉴该同学的经验，计算：(1+ )(1+ )(1+ )(1+ )+ ．
2 22 24 28 2155．阅读下面的材料并填空：
1 1 1 1 1 1 1 3
①（1− ）（1+ ）＝1− ，反过来，得1− =（1− ）（1+ ）= ×
2 2 22 22 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
②（1− ）（1+ ）＝1− ，反过来，得1− =（1− ）（1+ ）＝ ×
3 3 32 32 3 3
1 1 1 1 3 5
③（1− ）（1+ ）＝1− ，反过来，得1− = = ×
4 4 42 42 4 4
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
1 1 1 1 1 1
（1− ）（1− ）（1− ）……（1− ）（1− ）（1− ）
22 32 42 20162 20172 20182
二．完全平方公式的灵活运用
6．在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨．请你阅读例题的解题思路：
例：已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×3＝10．
请结合例题解答问题．
若a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值．
7．阅读下列解答过程：
1
已知：x≠0，且满足x2﹣3x＝1．求：x2+
的值．
x2
解：∵x2﹣3x＝1，∴x2﹣3x﹣1＝0
1 1
∴x−3− =0，即x− =3．
x x
1 1
∴x2+ =(x− ) 2+2= 32+2＝11．
x2 x
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣7，
求：（1）
a2+
1 的值；（2） a2 的值．
a2 5a4+a2+5
8．若m+n＝7，mn＝12，求m2﹣mn+n2的值．
9．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2与xy的值．
10．回答下列问题1 1 1
（1）填空：x2+ =（x+ ）2﹣ ＝（x− ）2+
x2 x x
1 1
（2）若a+ =5，则a2+ = ；
a a2
1
（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+ 的值．
a2
三．数形结合----多项式与图形的面积的美妙融合
11．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如
图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝6，ab+bc+ac＝8，求a2+b2+c2
的值．
12．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如
图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求
a2+b2+c2的值；
（3）小明同学打算用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张相邻两边长为分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（5a+8b）（7a+4b）长方形，那么他总共需要多少张纸片？
13．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四
块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）图2中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图2请你写出 （a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
9
（3）根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y= ，则x﹣y＝ ；
4
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？ ．
四．因式分解--一提净，二公式，三十字，四分组
14．请先观察下列算式，再填空：
32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2．
①72﹣52＝8× ；
②92﹣（ ）2＝8×4；
③（ ）2﹣92＝8×5；
④132﹣（ ）2＝8× ；
…
（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．
（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？
15．因式分解：（1）16x4﹣1．
（2）（m﹣n）（x+3y）﹣（n﹣m）（x﹣y）．
16．（1）若3a＝6，9b＝2，求32a+4b的值；
1 1
（2）已知xy＝8，x﹣y＝2，求代数式 x3y﹣x2y2+ xy3的值．
2 2
五．阅读类---化归思想
17．阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足 q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
18．阅读以下材料
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答
下列问题：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ ；
（2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4；
（3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．
19．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多
项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，
再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的
数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问
题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x
﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x
＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ ．
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．
（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值，并求出这个最小值．20．【阅读学习】做整式的乘法运算时借助图形，可以由图形直观的获取结论．
例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac．
例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
借助几何图形，利用几何直观的方法在解决整式运算问题时经常采用．
【问题解决】
（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为 a+b+c的正方形．从中你
发现的结论用等式表示为 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 a+b+c＝12，ab+bc+ac＝48．求
a2+b2+c2的值．
【拓展应用】
（3）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图 4，将两个边长分别为a和b的正方
形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝
10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．
六．规律类----类比思想
21．有足够多的长方形和正方形卡片，分别记为1号，2号，3号卡片，如图1所示．
（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请你用2种不同的方法表示阴影
部分的面积．
①方法1： 方法2：②请写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，4mn这三个代数式之间的等量关系： ．
（2）解决问题：若|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，求（a﹣b）2的值．
（3）如果选取1张1号，2张2号，3张3号卡片，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画
出这个拼出的长方形，根据图形的面积关系得到的等式是： ．
22．王老师在黑板上写下了四个算式：
①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1；
②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2；
③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3；
④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4；
…
认真观察这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题：
（1）112﹣92＝ ；132﹣112＝ ．
（2）小华发现上述算式的规律可以用文字语言概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，
如果设两个连续奇数分别为2n+1和2n﹣1（n为正整数），请你用含有n的算式验证小华发现的
规律．
23．阅读下面材料，并回答相应的问题：
通过学习，我们了解了因式分解的两种基本方法：提公因式法，公式法．下面我们将探索因式
分解的其它方法．
（1）请运用多项式乘以多项式的法则填空：
（x+2）（x+3）＝ ，（x+2）（x﹣3）＝ ，
（x﹣2）（x+3）＝ ，（x﹣2）（x﹣3）＝ ．
从特殊到一般，探索规律进行推导，过程如下：
（x+p）（x+q）＝＝x2+ x+
（2）因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用（1）中的规律，我们可以得到一种因式分
解的新方法： （用字母等式表示）．
利用这种方法，请将下列各式因式分解：
x2+4x+3＝ ，x2+4x﹣5＝ ，2x2﹣5x+2＝ ，3x2﹣x﹣2＝ ．
24．老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列
问题：
请观察以下算式：
①32﹣12＝8×1；
②52﹣32＝8×2；
③72﹣52＝8×3；
………
试写出符合上述规律的第五个算式；
验证：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），并说明它们的平方差是8的倍数；
七．乘法公式的综合应用
25．你能化简 （a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？
我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝ ；（a﹣1）（a2+a+1）＝ ；（a﹣1）
（a3+a2+a+1）＝ ；…
由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝
（2）利用这个结论，请你解决下面的问题：
①求2199+2198+2197+…+22+2+1 的值；
②若a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a等于多少？
26．分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提
取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的
分解因式了，过程为：
x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法
叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．27．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的
最大边c的值；
（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．
