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【满分秘诀】专题 06 轴对称（满分突破）
1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图
中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：如上图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
2.如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球
孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反弹），那么该球最后将落
入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【答案】B
【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：故选：B．
3.如图，在第1个△A BC中，∠B＝30°，A B＝CB；在边A B上任取一点D，延长CA 到
1 1 1 1
A ，使A A ＝A D，得到第2个△A A D；在边A D上任取一点E，延长A A 到A ，使
2 1 2 1 1 2 2 1 2 3
A A ＝A E，得到第3个△A A E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A 为顶点
2 3 2 2 3 n
的底角度数是（ ）
A．（ ）n•75° B．（ ）n﹣1•65°
C．（ ）n﹣1•75° D．（ ）n•85°
【答案】C
【解答】解：∵在△CBA 中，∠B＝30°，A B＝CB，
1 1
∴∠BA C＝ ＝75°，
1
∵A A ＝A D，∠BA C是△A A D的外角，
1 2 1 1 1 2
∴∠DA A ＝ ∠BA C＝ ×75°；
2 1 1
同理可得，
∠EA A ＝（ ）2×75°，∠FA A ＝（ ）3×75°，
3 2 4 3
∴第n个三角形中以A 为顶点的底角度数是（ ）n﹣1×75°．
n
故选：C．
4.如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、
O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：如上图：①OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；
②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个．
综上所述，符合条件的点P的个数共4个．
故选：C．
5.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上
的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝ ∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN＝5，
∴DM+CN+MN＝5，
即CD＝5＝OP，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°；
故选：B．
6.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交
AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM
周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC ＝ BC•AD＝ ×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝AD+ BC＝8+ ×4＝8+2＝10．
故选：C．
7.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一
点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解答】解：过P作PM∥BC，交AC于M；
∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，
∴△APM是等边三角形；
又∵PE⊥AM，
∴AE＝EM＝ AM；（等边三角形三线合一）
∵PM∥CQ，
∴∠PMD＝∠QCD，∠MPD＝∠Q；
又∵PA＝PM＝CQ，
在△PMD和△QCD中
∴△PMD≌△QCD（AAS）；
∴CD＝DM＝ CM；∴DE＝DM+ME＝ （AM+MC）＝ AC＝ ，故选：B．
8.如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当
△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交
CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝50°，
∴∠DAB＝130°，
∴∠HAA′＝50°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，
∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°，
故选：D．
9.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱
形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝ ∠ABC，∠BAC＝ ∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°．
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
故选：D．
10.的对称点P ，P ，连接P P 交OA于M，交OB于N，P P ＝15，则△PMN的周长为
1 2 1 2 1 2
15 ．
【答案】15
【解答】解：∵P点关于OA的对称是点P ，P点关于OB的对称点P ，
1 2
∴PM＝P M，PN＝P N．
1 2
∴△PMN的周长为PM+PN+MN＝MN+P M+P N＝P P ＝15．
1 2 1 2
故答案为：15
11.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
【答案】63°或27°【解答】解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．
①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，
底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；
②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，
此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．
所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．
故答案为：63°或27°．
12.如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正
△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下
五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．
恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上）
【答案】 ①②③⑤
【解答】解：①∵正△ABC和正△CDE，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，（故①正确）；②又∵CD＝CE，∠DCP＝∠ECQ＝60°，∠ADC＝∠BEC，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴CP＝CQ，
∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，
∴∠QPC＝∠BCA，
∴PQ∥AE，（故②正确）；
③∵△CDP≌△CEQ，
∴DP＝QE，
∵△ADC≌△BEC
∴AD＝BE，
∴AD﹣DP＝BE﹣QE，
∴AP＝BQ，（故③正确）；
④∵DE＞QE，且DP＝QE，
∴DE＞DP，（故④错误）；
⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，（故⑤正确）．
∴正确的有：①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
13.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D
为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN
的周长为 ．【答案】6
【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°
∴∠BCD＝∠DBC＝30°
∵△ABC是边长为3的等边三角形
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°
∴∠DBA＝∠DCA＝90°
延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，
在Rt△BDF和Rt△CDN中，BF＝CN，DB＝DC
∴△BDF≌△CDN，
∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN
∵∠MDN＝60°
∴∠BDM+∠CDN＝60°
∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM为公共边
∴△DMN≌△DMF，
∴MN＝MF
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6．
14.如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB＝10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一
些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管
根．【答案】8
【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB＝10°，
∴∠GEF＝∠FGE＝20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，
即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是
50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．
故答案为：8．
15.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长
AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），又∵BE⊥AF，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC+CF，
∵AD＝CF（已证），
∴AB＝BC+AD（等量代换）．
16.如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接
CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE＝CE，OE＝OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD＝OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝∠BOE＝30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，
∴∠EDF＝30°，
∴DE＝2EF，
∴OE＝4EF．
17.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、
点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；
若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交
点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵ ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…（6分）（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7
分）
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．
18.已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出
结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交
AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，
若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，
如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，
∵AB＝1，AE＝2，
∴BE＝1，
∵DB＝FC＝FB+BC＝2，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
19.（烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一
动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关
系？并说明理由．【答案】详见解答
【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
