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专题10 实数运算四个类型
类型一 程序设计与实数运算
1．根据图中的程序，当输入x为64时，输出的值是______．
2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入 为64时，则输出 的值是______．
3．有一个如图的数值转换器，当输入的数是64时，输出的数是______．
4．有一个数值转换器．原理如图．
（1）当输入的 为81时，输出的 是多少？
（2）是否存在输入有效的 值后，始终输不出 值？如果存在．请写出所有满足要求的 的值；
如果不存在，请说明理由；
（3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据
可能是什么情况？
（4）若输出的 是 ，试判断输入的 值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．类型二 新定义下的实数运算
5．现规定一种运算：a b＝ab＋a－b，其中a，b为实数，则 ____．
6．（1）用“*”表示一种新运算:对于任意正实数a,b,都有 .例如, ,那么
15*27＝__；（2）定义一种运算*,其规则为:当a≥b时,a*b＝b3;当a＜b时,a*b＝b2.根据这个规则,方
程3*x＝27的解是__.
7．我们规定： 表示不大于 的最大整数， 表示不小于 的最小整数．
例如： ， ； ， ．
(1)计算： ________； ________；
(2)若 ，满足题意的所有整数 的和为________；
(3)若 ， ，求 的平方根．
8．对于任意一个实数 ，我们用 表示小于 的最大整数．
例如： ， ； ．
（1）填空： ______， ______， ______；
（2）若 ， 都是整数，且 ， ；求 的平方根；
（3）如果 ，求 的取值范围．
类型三 实数运算实际应用
9．已知 ，其中 是整数， ，求 的值．
10．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活
动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下
面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足 ，求 的值．解：由题意得 ，
∵a，b都是有理数，
∴ 也是有理数，
∵ 是无理数，
∴ ，
∴ ，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足 ，求 的值．
11．阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a＝6，则|a|＝|6|＝6，故此时a的绝对值是它本身；
当a＝0时，|a|＝0，故此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a＝－6，则|a|＝|－6|＝6＝―(―6)，故此时a的绝对值是它的相反数．
因此综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：(1)请仿照上面的分类讨论的方法，分析实数 的各种展开的情况；
(2)猜想 与|a|的大小关系．
12．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
(1)表格中x＝ ；y= ;
(2)从表格中探究a与 数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知 ≈3.16，则 ≈ ；②已知 ＝1.8，若 ＝180，则a＝ ；
(3)拓展：已知 ，若 ，则z= ．
类型四 与实数运算有关的规律探究13．有个填写运算符号的游戏：在“ □ □ □ ”中的每个“口”内，填入+，-，×，÷中
的某一个（可重复使用），然后计算结果.
（1）计算：
（2）若 口 请推算“口”内的运算符号.
（3）在“ □ □ □ ”的“口”内填入运算符号后，使计算所得的数最小，直接写出这
个最小的数.
14．观察下列各式： ，
， ，…
（1）猜想① ．
② ，其中n为正整数．
（2）计算： ．
15．小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：
②
③
④
上面的推导过程中，从第_______ 步开始出现错误(填序号)；
写出该步的正确结果．
16．观察下列两组算式，解答问题：
第一组： ＝2， ＝2， 、 ， ＝0
第二组： ＝2， ＝3， ＝9， ＝16， ＝0（1）由第一组可得结论：对于任意实数a， ＝_____．
（2）由第二组可得结论：当a≥0时， ＝_____．
（3）利用（1）和（2）的结论计算： ＝_____， ＝_____．
