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专题17 期末复习绝对值专题（解析版）
第一部分 教学案
类型一 利用绝对值的性质求值
例1 （2022秋•江岸区校级月考）已知|x|＝3，|y|＝5．
（1）若x＜y，求x+y的值；
（2）若xy＜0，求x﹣y的值．
思路引领：由题意可知x＝±3，y＝±5，
（1）由于x＜y时，有x＝3，y＝5或x＝﹣3，y＝5，代入x+y即可求出答案；
（2）由于xy＜0，x＝﹣3，y＝5或x＝3，y＝﹣5，代入x﹣y即可求出答案．
解：由题意知：x＝±3，y＝±5，
（1）∵x＜y，
∴x＝±3，y＝5，
∴x+y＝2或8；
（2）∵xy＜0，
∴x＝﹣3，y＝5或x＝3，y＝﹣5，
∴x﹣y＝±8．
总结提升：本题考查有理数的运算，绝对值的性质，涉及代入求值，分类讨论的思想，
属于基础题型．
变式训练
1．（2022秋•方城县校级月考）已知|x|＝3，|y|＝7．
（1）若x＜y，求x+y的值；
（2）若x＞y，求x﹣y的值．
思路引领：（1）先求得x＝±3，y＝±7，再根据条件求出x、y即可求解；
（2）根据条件求得x、y，进而求解即可．
解：（1）∵|x|＝3，|y|＝7，
∴x＝±3，y＝±7，
∵x＜y，
∴x＝﹣3，y＝7或x＝3，y＝7，
当x＝﹣3，y＝7时，x+y＝﹣3+7＝4；
当x＝3，y＝7时，x+y＝3+7＝10，
∴x+y的值为4或10；
（2）∵x＞y，
∴x＝﹣3，y＝﹣7或x＝3，y＝﹣7，
当x＝﹣3，y＝﹣7时，x﹣y＝﹣3+7＝4，
当x＝3，y＝﹣7时，x﹣y＝3+7＝10，∴x﹣y的值为4或10．
总结提升：本题考查代数式求值、绝对值的性质，根据题设求得对应的 x、y是解答的
关键．
类型二 利用绝对值的性质去绝对值
a
例2 已知a＜﹣b，且 ＞0，化简|a|﹣|b|+|a+b|+|ab|＝ ．
b
思路引领：根据题中的条件判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，
去括号合并即可得到结果．
a
解：∵a＜﹣b，且 ＞0，
b
∴a+b＜0，a，b同号，都为负数，
则原式＝﹣a+b﹣a﹣b+ab＝﹣2a+ab．
故答案为：﹣2a+ab
总结提升：此题考查了整式的加减，以及绝对值，判断出绝对值里边式子的正负是解本
题的关键．
例3（2021秋•渝中区校级期中）已知有理数a，b，c在数轴上面的位置如图所示：
化简|a+b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝ ．
思路引领：根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义
化简，去括号合并即可．
解：由图可知b＜0＜a＜c，
则a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴原式＝﹣a﹣b﹣c+a﹣b+c
＝﹣2b．
故答案为：﹣2b．
总结提升：本题考查了整式的加减、数轴及绝对值的知识，掌握数轴上右边的数总比左
边的数大是解答本题的关键．
变式训练
1．（2022秋•江岸区期中）如图，数轴上的点A、B、C、D对应的数分别为a、b、c、d，
且这四个点满足每相邻的两点之间的距离相等．
（1）化简|a﹣c|﹣|b﹣a|﹣|b﹣d|．
（2）若|a|＝|c|，b﹣d＝﹣4，求a的值．
思路引领：（1）根据数轴得到a＜b＜c＜d，得到a﹣c＜0 b﹣a＞0 b﹣d＜0，根据绝
对值的性质和去括号法则计算；
（2）根据题意得到B点为原点，即b＝0，根据数轴的概念解答．解：（1）由图可知：a＜b＜c＜d
∴a﹣c＜0 b﹣a＞0 b﹣d＜0，
∴原式＝﹣（a﹣c）﹣（b﹣a）﹣[﹣（b﹣d）]
＝﹣a+c﹣b+a﹣d+b
＝c﹣d；
（2）∵|a|＝|c|，a＜c，AB＝BC
∴B点为原点，
∴b＝0，
∵b﹣d＝﹣4，
∴d＝4，
∴a＝﹣2．
总结提升：本题考查的是数轴和绝对值，掌握绝对值的性质，数轴的概念是解题的关键．
2．（2021秋•贡井区期中）如图，数轴上的点A，B，C，D，E对应的数分别为a，b，c，
d，e，且这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等．
（1）填空：a﹣c 0，b﹣a 0，b﹣d 0（填“＞“，“＜“或“＝“）；
（2）化简：|a﹣c|﹣2|b﹣a|﹣|b﹣d|；
（3）若|a|＝|e|，|b|＝3，直接写出b﹣e的值．
思路引领：（1）根据数轴得出a＜b＜c＜d＜e，再比较即可；
（2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可；
（3）先求出b、e的值，再代入求出即可．
解：（1）从数轴可知：a＜b＜c＜d＜e，
∴a﹣c＜0，b﹣a＞0，b﹣d＜0，
故答案为：＜，＞，＜；
（2）原式＝|a﹣c|﹣2|b﹣a|﹣|b﹣d|
＝﹣a+c﹣2（b﹣a）﹣（d﹣b）
＝﹣a+c﹣2b+2a﹣d+b
＝a﹣b+c﹣d；
（3）|a|＝|e|，
∴a、e互为相反数，
∵|b|＝3，这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等，
∴b＝﹣3，e＝6，
∴b﹣e＝﹣3﹣6＝﹣9．
总结提升：本题考查了数轴，绝对值，相反数和有理数的大小比较等知识点，能根据数
轴得出a＜b＜c＜d＜e是解此题的关键．
类型三 利用绝对值的非负性求值例4（2009秋•新华区校级月考）已知|a+2|+|b﹣3|＝0，求a和b的值．
思路引领：直接根据非负数的性质进行解答即可．
解：∵|a+2|+|b﹣3|＝0，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
解得a＝﹣2，b＝3．
总结提升：本题考查的是非负数的性质，根据绝对值的性质得出 a+2＝0，b﹣3＝0是解
答此题的关键．
变式训练
1．（2020秋•洪山区校级月考）已知|a﹣1|＝3，|b﹣3|与（c+1）2互为相反数，且a＜b，
求代数式2a﹣b+c﹣abc的值．
思路引领：利用绝对值的代数意义，非负数的性质确定出各自的值，代入原式计算求出
值．
解：∵|a﹣1|＝3，|b﹣3|与（c+1）2互为相反数，且a＜b，
∴a﹣1＝3或a﹣1＝﹣3，|b﹣3|+（c+1）2＝0，
解得：a＝4或﹣2，
∵a＜b，
∴a＝﹣2，b＝3，c＝﹣1，
原式＝2×（﹣2）﹣3+（﹣1）﹣（﹣2）×3×（﹣1）＝﹣14．
总结提升：此题考查了有理数的混合运算，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解
本题的关键．
类型四 类型问题
例 5 （2022 秋•隆昌市校级月考）阅读下列材料并解决有关问题，我们知道|x|
{ x(x＞0)
x x x x
= 0(x=0) ，当x＞0时， = =1，当x＜0时， = =-1．且当x＞0，y
|x| x |x| -x
-x(x＜0)
＜0时，xy＜0．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：
a b
（1）已知a，b是有理数，当a＜0，b＞0时， + = ．
|a| |b|
a b
（2）已知a，b是有理数，当ab≠0时， + = ．
|a| |b|
b+c a+c a+b
（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求 + + 的值．
|a| |b| |c|
x x x x
思路引领：（1）根据“当x＞0时， = =1，当x＜0时， = =-1”进行计
|x| x |x| -x
算即可；
（2）分三种情况进行解答，即a、b同正，同负，一正一负进行解答即可；（3）由 a+b+c＝0 可得 a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，进而将原式变为
a b c
- - - ，再根据（1）的解法进行计算即可．
|a| |b| |c|
解：（1）∵a＜0，
∴|a|＝﹣a，
a a
∴ = =- 1，
|a| -a
又∵b＞0，
∴|b|＝b，
b b
∴ = = 1，
|b| b
a b
∴ + = 0；
|a| |b|
故答案为：0；
a b
（2）当a＞0，b＞0时， + =1+1＝2，
|a| |b|
a b
当a＞0，b＜0时， + =1﹣1＝0，
|a| |b|
a b
当a＜0，b＞0时， + =-1+1＝0，
|a| |b|
a b
当a＜0，b＜0时， + =-1﹣1＝﹣2，
|a| |b|
故答案为：﹣2或0或2；
（3）∵a+b+c＝0，
∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，
a b c
∴原式=- - - ，
|a| |b| |c|
又∵a+b+c＝0，abc＜0，
∴a、b、c中有一个负数，两个正数，
a b c
∴原式=- - -
|a| |b| |c|
＝﹣1﹣1+1
＝﹣1，
b+c a+c a+b
答： + + 的值为﹣1．
|a| |b| |c|
x x
总结提升：本题考查绝对值，理解“当 x＞0 时， = =1，当 x＜0 时，
|x| x
x x
= =- 1”是解决问题的关键．
|x| -x变式训练
b+c c+a a+b
1．（2017秋•邛崃市期末）设a+b+c＝0，abc＞0，则 + + 的值是 ．
|a| |b| |c|
思路引领：由a+b+c＝0，abc＞0，可知a、b、c中二负一正，将b+c＝﹣a，c+a＝﹣
-a -b -c
b，a+b＝﹣c代入所求代数式，可判断 ， ， 中二正一负．
|a| |b| |c|
解：∵a+b+c＝0，abc＞0，
∴a、b、c中二负一正，
又b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c，
b+c c+a a+b -a -b -c
∴ + + = + + ，
|a| |b| |c| |a| |b| |c|
-a -a
而当a＞0时， =-1，当a＜0时， =1，
|a| |a|
-a -b -c
∴ ， ， 的结果中有二个1，一个﹣1，
|a| |b| |c|
b+c c+a a+b
∴ + + 的值是1．
|a| |b| |c|
故答案为：1．
总结提升：此题考查的知识点是绝对值，判断a、b、c的符号是解题的关键．
类型五 多绝对值问题
例6 （2020秋•恩施市月考）已经知道|x|的几何意义是数轴上数x所对应的点与原点之间
的距离，即|x﹣0|，也就是说，表示数轴上的数x与数0之间的距离，这个结论可以推广
为，|x ﹣x |表示数x 与数x 对应点之间的距离．
1 2 1 2
例1：已知|x|＝2，求x的值．
解：在数轴上与原点的距离为2的点表示的数为﹣2和2，所以x的值为2或者﹣2．
例2：已知|x﹣1|＝2，求x的值．
解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和﹣1，所以x的值为3或者﹣
1．根据两个例子，求解：
（1）|x﹣1|＝5，求x．
（2）|x+1|＝5，求x．
（3）|x+3|+|x﹣3|＝6，找出所有符合条件的整数x．
思路引领：通过对例题的理解，根据数轴的性质，找到在数轴上对应的点，即可求解．
解：（1）在数轴上与1对应的点的距离为5的点表示的数为﹣4和6，所以x的值为﹣4
或者6；
（2）在数轴上与（﹣1）对应的点的距离为5的点表示的数为4和﹣6，所以x的值为4
或者﹣6；
（3）在数轴上与（﹣3）对应的点的距离加上在数轴上与3对应的点的距离之和为6，因为（﹣3）到3的距离为6，
所以x只有在（﹣3）与3之间可以满足表达式，x可以取：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
3．
总结提升：本题主要考查了数轴结合绝对值的应用，绝对值性质在数轴上双向表示方法
是解决问题的关键．
类型六 绝对值最值问题
例7 （2018秋•雨花区校级月考）同学们都知道，|2﹣（﹣1）|表示2与﹣1的差的绝对值，
实际上位可理解为在数轴上正数2对应的点与负数﹣1对应的点之间的距离，试探索：
（1）|2﹣（﹣1）|＝ ；如果|x﹣1|＝2，则x＝ ．
（2）求|x﹣2|+|x﹣4|的最小值，并求此时x的取值范围；
（3）由以上探索已知（|x﹣2|+|x+4|）+（|y﹣1|+|y﹣6|）＝20，则求x+y的最大值与最小
值；
（4）由以上探索及猜想，计算|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2017|+|x﹣2018|的最小值．
思路引领：（1）根据绝对值的意义直接计算即可；
（2）把|x﹣2|+|x﹣4|理解为：在数轴上表示x到﹣4和2的距离之和，根据两点间的距离
公式，点在线段上，可得最小值，从而得结论；
（3）先确定x、y的取值范围，再分类讨论．
（4）观察已知条件可以发现，|x﹣a|表示x到a的距离．要使题中式子取得最小值，则
应该找出与最小数和最大数距离相等的x的值，此时式子得出的值则为最小值．
解：（1）|2﹣（﹣1）|＝|2+1|＝3，
|x﹣1|＝2，
x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2
x＝3或﹣1
故答案为：3，3或﹣1；
（2）∵|x﹣2|+|x﹣4|理解为：在数轴上表示x到4与2的距离之和，
∴当x在2与4之间的线段上（即2≤x≤4）时，|x﹣2|+|x﹣4|的值有最小值，最小值为4
﹣2＝2，此时x的取值范围为：2≤x≤4．
（3）因为x﹣2＝0，x+4＝0时，x＝2或﹣4，y﹣1＝0，y﹣6＝0时，y＝1或6．
当x＜﹣4时，|x﹣2|+|x+4|＝2﹣x﹣x﹣4＝﹣2x﹣2；当﹣4≤x≤2时，|x﹣2|+|x+4|＝2﹣
x+x+4＝6；当x＞2时，|x﹣2|+|x+4|＝x﹣2+x+4＝2x+2；
当y＜1时，|y﹣1|+|y﹣6|＝1﹣y+6﹣y＝﹣2y+7；当1≤y≤6时，|y﹣1|+|y﹣6|＝y﹣1+6﹣
y＝5；当y＞6时，|y﹣1|+|y﹣6|＝y﹣1+y﹣6＝2y﹣7；
当x＜﹣4，y＜1时，x+y取最小值，
此时（﹣2x﹣2）+（﹣2y+7）＝2015
x+y=-
2
当x＞2，y＞6时，x+y取最大值，
此时（2x+2）+（2y﹣7）＝20
25
x+y=
2
25 15
所以x+y的最大值是 ，最小值是- ．
2 2
（4）由已知条件可知，|x﹣a|表示x到a的距离，只有当x到1的距离等于x到2018的
距离时，式子取得最小值．
1+2018
∴当x= =1009.5时，式子取得最小值，
2
此时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2017|+|x﹣2018|
＝|1009.5﹣1|+|1009.5﹣2|+|1009.5﹣3|+…+|1009.5﹣2016|+|1009.5﹣2017|+|1009.5﹣2018|
＝2（1008.5+1007.5+…+2.5+1.5+0.5）
＝2×[0.5×1009+（1+2+3…+1008）]
1008(1+1008)
＝2×（504.5+ ）
2
＝1018081．
总结提升：本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
变式训练
1．（2022秋•灌南县校级月考）认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5，3在数轴上
对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两
点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，
A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可表示为|a﹣b|．
（1）如果A，B，C三点在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么点A到点B的距
离与点A到点C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）；
（2）利用数轴探究：
①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的值是 ，
②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的取值在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，
而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的取值在 的范围时，|x|+|x﹣2|的最
小值是 ；
（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时x的值；
（4）若|x﹣3|+|x﹣2|+|x﹣1|+|x|≥a对任意有理数x都成立，求a的最大值．
思路引领：（1）根据两点间的距离公式，可得答案；（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；
（3）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|＝（|x﹣3|+|x+1|）+|x﹣2|，根据问题（2）中的探究②可知，要
使|x﹣3|+|x+1|的值最小，x的值只要取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数，要
使|x﹣2|的值最小，x应取2，显然当x＝2时能同时满足要求，把x＝2代入原式计算即
可；
（4）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案．
解：（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|．
故答案为：|x+2|+|x﹣1|；
（2）①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是﹣2、4．
故答案为：﹣2，4；
②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，
而且是p的最小值，这个最小值是4；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|
x﹣2|取得最小值，这个最小值是2；
故答案为：4；不小于0且不大于2；2；4，2；
（3）由分析可知，
当x＝2时能同时满足要求，把x＝2代入原式＝1+0+3＝4；
（4）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|＝（|x﹣3|+|x+2|）+（|x﹣2|+|x+1|），
要使|x﹣3|+|x+2|的值最小，x的值取﹣2到3之间（包括﹣2、3）的任意一个数，要使|x
﹣2|+|x+1|的值最小，x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数，显然当x取﹣1到
2之间（包括﹣1、2）的任意一个数能同时满足要求，不妨取x＝0代入原式，得|x﹣3|+|
x﹣2|+|x+1|+|x+2|＝3+2+1+2＝8；
方法二：当x取在﹣1到2之间（包括﹣1、2）时，|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|＝﹣（x﹣
3）﹣（x﹣2）+（x+1）+（x+2）＝﹣x+3﹣x+2+x+1+x+2＝8．
总结提升：本题考查了列代数式、数轴、绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意
义是解题的关键．
第二部分 配套作业
1．（2020秋•江汉区校级期末）下列说法：①|a|＝﹣a，则a为负数；②数轴上，表示
a、b两点的距离为a﹣b；③|a+b|＝a﹣b，则a＞0，b＝0或a＝0，b＜0；④|a+b|＝|a|
﹣|b|，则ab≤0．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
思路引领：根据绝对值的性质，数轴的概念计算，判断即可．
解：|a|＝﹣a，则a为非正数，①错误；
数轴是表示a、b两点的距离为|a﹣b|，②错误；
|a+b|＝a﹣b，则a＞0，b＝0或a＝0，b＜0或a＝0，b＝0，③错误；
|a+b|＝|a|﹣|b|，则ab≤0．④正确；
故选：A．总结提升：本题考查的是数轴的概念，绝对值的性质，掌握绝对值的性质，灵活运用分
情况讨论思想是解题的关键．
2．（2022秋•江岸区校级期中）下列说法正确的个数为（ ）
①如果|a|＝a，那么a＞0；②使得|x﹣1|+|x+3|＝4的x的值有无数个；③用四舍五入法
把数2005精确到百位是2000；④几个数相乘，积的符号一定由负因数的个数决定，当
负因数的个数为偶数时积为正
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
思路引领：根据绝对值的性质可判断①，②，利用四舍五入法可直接求解判断③，根
据有理数乘法的性质可判断求解④．
解：①如果|a|＝a，那么a≥0，故原说法不符合题意；
②当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x+x+3＝4，故x的值有无数个，故原说法符合题意；
③用四舍五入法把数2005精确到百位是2.0×103，故原说法不符合题意；
④几个非0的数相乘，积的符号一定由负因数的个数决定，当负因数的个数为偶数时积
为正，故原说法不符合题意．故有1个．
故选：B．
总结提升：本题主要考查有理数的乘法，绝对值的性质，近似数，掌握相关性质是解题
的关键．
3．（2021秋•涪城区校级月考）下列说法：①若a为有理数，且a≠0，则a＜a2；②若
1
=a，则a＝1；③若a3+b3＝0，则a、b互为相反数；④若|a|＝﹣a，则a＜0；⑤若b
a
＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝﹣|a|+|b|，其中正确说法的有 ．
思路引领：各式利用相反数，绝对值，倒数的定义，乘方的意义，以及加法法则判断即
可．
解：①若a为有理数，且a≠0，则a不一定小于a2，说法错误；
1
②若 =a，则a＝1或﹣1，说法错误；
a
③若a3+b3＝0，则a、b互为相反数，说法正确；
④若|a|＝﹣a，则a≤0，说法错误；
⑤若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝﹣|a|+|b|，说法正确．
故答案为：③⑤．
总结提升：此题考查了有理数的乘方，相反数，绝对值，倒数，以及有理数的加法，熟
练掌握运算法则及各自的性质是解本题的关键．
4．（2022秋•蒲江县校级期中）已知：|a|＝2，|b|＝3且a＞b，求a+b的值．
思路引领：计算绝对值要根据绝对值的定义求解，注意在条件的限制下 a，b的值剩下2
组．a＝2时，b＝﹣3或a＝﹣2时，b＝﹣3，所以a+b＝﹣1或a+b＝﹣5．
解：∵|a|＝2，|b|＝3，
∴a＝±2，b＝±3．∵a＞b，
∴当a＝2时，b＝﹣3，则a+b＝﹣1．
当a＝﹣2时，b＝﹣3，则a+b＝﹣5．
总结提升：本题是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案一般有2个．两个绝对值
条件得出的数据有4组，再添上a，b大小关系的条件，一般剩下两组答案符合要求，
解此类题目要仔细，看清条件，以免漏掉答案或写错．
5．（2022秋•安岳县校级月考）（1）已知|a|＝5，|b|＝3，且a＞b，求a﹣b的值；
（2）已知|a+2|+|b﹣4|+|c﹣5|＝0，求式子a﹣2b﹣（﹣c）的值．
思路引领：（1）根据绝对值的意义，可得a、b的值，根据有理数的减法，可得答案；
（2）根据绝对值的和为零，可得每个绝对值为零，根据代数式求值，可得答案．
解：（1）由|a|＝5，|b|＝3，且a＞b，得
a＝5，b＝±3．
当a＝5，b＝3时，a﹣b＝5﹣3＝2，
当a＝5，b＝﹣3时，a﹣b＝5﹣（﹣3）＝5+3＝8；
（2）由|a+2|+|b﹣4|+|c﹣5|＝0，得
a+2＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0．
解得a＝﹣2，b＝4，c＝5．
当a＝﹣2，b＝4，c＝5时，a﹣2b﹣（﹣c）＝﹣2﹣2×4﹣（﹣5）＝﹣2﹣8+5＝﹣5．
总结提升：本题考查了代数式求值，利用绝对值的意义得出a、b、c的值，再利用代数
式求值．
6．（2021秋•新洲区期中）已知|x+1|＝4，（y+2）2＝4，若x+y≥﹣5，求x﹣y的值．
思路引领：根据条件求出x，y的值，根据x+y≥﹣5，分三种情况分别计算即可．
解：∵|x+1|＝4，（y+2）2＝4，
∴x+1＝±4，y+2＝±2，
∴x＝﹣5或3，y＝0或﹣4，
∵x+y≥﹣5，
∴当x＝﹣5，y＝0时，x﹣y＝﹣5；
当x＝3，y＝0时，x﹣y＝3；
当x＝3，y＝﹣4时，x﹣y＝7；
综上所述，x﹣y的值为﹣5或3或7．
总结提升：本题考查了绝对值，有理数的加减法，考查分类讨论的数学思想，根据
x+y≥﹣5，分三种情况分别计算是解题的关键．
7．（1）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a+b|﹣2|c﹣b|+|c﹣a|﹣|a+c|
（2）已知a＜0，ab＞0，|c|﹣c＝0，化简：|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|．
思路引领：（1）由题意可得c＜a＜0＜b，则a+b＞0，c﹣b＜0，c﹣a＜0，a+c＜0，根据绝对值的定义化简可得．
（2）由题意可得b＜0，c是非负数，则a+b＜0，c﹣b＞0，a﹣c＜0，再根据绝对值的
定义化简可得．
解：（1）由题意可得c＜a＜0＜b
∴a+b＞0，c﹣b＜0，c﹣a＜0，a+c＜0
∴|a+b|﹣2|c﹣b|+|c﹣a|﹣|a+c|＝a+b﹣2b+2c+a﹣c+a+c＝3a﹣b+2c
（2）∵a＜0，ab＞0，|c|﹣c＝0，
∴b＜0，c是非负数
∴a+b＜0，c﹣b＞0，a﹣c＜0
|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|＝﹣b+a+b﹣c+b+c﹣a＝b
总结提升：本题考查了数轴和绝对值，利用|a|＝a（a＞0），|a|＝﹣a（a＜0），|a|＝0
（a＝0）化简是本题的关键．
8．（2021 秋•西城区校级期中）已知 |ab﹣2|与|b﹣1|互为相反数，求式子
1 1 1 1
+ + +⋯+
的值．
ab (a+1)(b+1) (a+2)(b+2) (a+2021)(b+2021)
思路引领：由题意可知，|ab﹣2|+|b﹣1|＝0，根据绝对值的非负性可得|ab﹣2|＝0，|b﹣1|
＝0，进而求出a和b的值，再代入所求式子即可．
解：由题意可知，|ab﹣2|+|b﹣1|＝0，
∴|ab﹣2|＝0，|b﹣1|＝0，
∴b＝1，a＝2，
1 1 1 1
∴
+ + +⋯+
ab (a+1)(b+1) (a+2)(b+2) (a+2021)(b+2021)
1 1 1 1
= + + +⋯+
2×1 (2+1)(1+1) (2+2)(1+2) (2+2021)(1+2021)
1 1 1 1 1 1 1
＝1- + - + - +⋯+ -
2 2 3 3 4 2022 2023
1
＝1-
2023
2022
= ．
2023
1 1 1
总结提升：本题考查了代数式求值，绝对值的非负性，得出 = - ，以及
n(n+1) n n+1
抵消法的运用是解题的关键．
9．阅读材料：我们知道：|x|的几何意义为数轴上表示数x的点到原点的距离，点A，B在
数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之
间的距离AB＝|a﹣b|，所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点
之间的距离．
根据上述材料，回答下列问题：（1）数轴上表示数﹣2的点与表示数5的点之间的距离为 ；
（2）等式|x﹣2|＝3的几何意义是 ，x的值为 ；
（3）若|x﹣3|＝|x﹣5|，求x的值；
（4）求式子|x﹣1|+|x﹣3|的最小值．
思路引领：（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）根据|x ﹣x |的几何意义求解可得；
1 2
（3）先去绝对值，再解方程即可求解；
（4）由题意知|x﹣1|+|x﹣3|表示数x到1和3的距离之和，当数x在两数之间时式子取得
最小值．
解：（1）数轴上表示数﹣2的点与表示数5的点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7．
故答案为：7；
（2）等式|x﹣2|＝3的几何意义是表示到数2的距离为3的点，x的值为﹣1或5．
故答案为：表示到数2的距离为3的点，﹣1或5；
（3）|x﹣3|＝|x﹣5|，
x﹣3＝±（x﹣5），
解得x＝4．
故x的值为4；
（4）式子|x﹣1|+|x﹣3|表示数x到1和3的距离之和，
当x＜1时，原式＝﹣x+1﹣x+3＝﹣2x+4＞2，
当1≤x≤3时，原式＝x﹣1﹣x+3＝2，
当x＞3时，原式＝x﹣1+x﹣3＝2x﹣4＞2，
故式子|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2．
总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理
解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
10．（2022秋•安阳期中）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的
几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的
距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示﹣10和﹣5的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和﹣3的两点A，B之间的距离是 ．
（3）说出|x+2|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值是 ．
（4）结合数轴求|x﹣1|+|x|+|x+2|+|x﹣4|的最小值为 ．此时符合条件的整数x为
．
思路引领：（1）利用两点距离公式|﹣10﹣（﹣5）|计算即可；
（2）利用两点距离公式|x﹣（﹣3）|计算即可；
（3）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示数轴上一点到﹣2，2，4
的距离之和，据此解答即可；（4）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示数轴上一点到1，0，﹣
2，4的距离之和，此时符合条件的整数x为1或0．
解：（1）根据结论：数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距
离为AB＝|a﹣b|可得，
数轴上表示﹣10和﹣5的两点之间的距离是|﹣10﹣（﹣5）|＝|﹣5|＝5．
故答案为：5；
（2）∵数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离是|x+3．
故答案为：|x+3|；
（3）|x+2|+|x﹣2|+|x﹣4|表示数轴上一点到﹣2，2，4的距离之和，
∴当x为2时，距离和最小为4﹣（﹣2）＝6．
故答案为：6．
（4）|x﹣1|+|x|+|x+2|+|x﹣4|表示数轴上一点到1，0，﹣2，4的距离之和，此时符合条件
的整数x为1或0．
故答案为：7，1或0．
总结提升：此题综合考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的有关内容，解题的关
键是正确理解题意给出的距离的定义．
11．（2022秋•祁阳县校级期中）我们知道，在数轴上，|a|表示a到原点的距离，这是绝对
值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之
间的距离为：AB＝|a﹣b|利用此结论．
回答以下问题：
（1）数轴上表示﹣10和﹣5的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣3的两点A，B之间的距离是 ；
（3）式子|x+2|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值是 ．
思路引领：（1）利用两点距离公式|﹣10﹣（﹣5）|计算即可；
（2）利用两点距离公式|x﹣（﹣3）|计算即可；
（3）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示数轴上一点到﹣2，2，4
的距离之和，据此解答即可．
解：（1）根据结论：数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距
离为AB＝|a﹣b|可得，
数轴上表示﹣10和﹣5的两点之间的距离是|﹣10﹣（﹣5）|＝|﹣5|＝5，
故答案为：5；
（2）∵数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离是|x+3|，
故答案为：|x+3|；
（3）|x+2|+|x﹣2|+|x﹣4|表示数轴上一点到﹣2，2，4的距离之和，
∴当x为2时，距离和最小为4﹣（﹣2）＝6，
故答案为：6．
总结提升：此题综合考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的有关内容，解题的关键是正确理解题意给出的距离的定义，本题属于基础题型．
13．（2020秋•公安县期中）探究活动：
【阅读】
我们知道，|﹣5|表示数轴上表示﹣5的点到原点的距离，|a|表示数轴上表示a的点到原
点的距离，这是绝对值的几何意义．
【探索】
（1）数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离是 ，数轴上表示2和﹣3的两点之
间的距离是 ；数轴上两个点A、B，分别用数a、b表示，那么A、B两点之间的
距离为AB＝ ．
（2）数轴上表示﹣2和x的两点A、B之间的距离是 ，如果AB＝3，那么x的值
为 ．
（3）若|x﹣2|+|x+3|＝7，试求x的值；
（4）当x为何值时，式子|x+2020|+|x﹣1|取最小值，最小值是多少．
思路引领：（1）根据数轴上两点间的距离求法求解即可；
（2）由题意可得|x+2|＝3，求解x即可；
（3）|x﹣2|+|x+3|＝7表示数轴上表示x的点到表示2的点的距离与到﹣3的点的距离之
和，当﹣3≤x≤2时，（3）|x﹣2|+|x+3|的值最小为5，结合题意可知，当表示x的点在
表示2的点的右边时，x的值为3；当表示x的点在表示﹣3的点的左边时，x的值为﹣
4；
（4）|x+2020|表示数轴上表示x的点到表示﹣2020的点的距离，|x﹣1|表示数轴上表示x
的点到表示1的点的距离，
由（3）的分析可知，﹣2020≤x≤1时，距离之和最小是2021．
解：（1）数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离是|﹣1﹣（﹣5）|＝4，
数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是|2﹣（﹣3）|＝5，
AB＝|a﹣b|，
故答案为：4，5，|a﹣b|；
（2）表示﹣2和x的两点A、B之间的距离是|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，
∵AB＝3，
∴|x+2|＝3，
解得x＝1或x＝﹣5，
故答案为：|﹣2﹣x|，﹣5或1；
（3）|x﹣2|+|x+3|＝7表示数轴上表示x的点到表示2的点的距离与到﹣3的点的距离之
和，
∵表示x的点在表示2和﹣3的两个点之间时，距离之和为5，
∴当表示x的点在表示2的点的右边时，若|x﹣2|+|x+3|＝7，则x的值为3；当表示x的点在表示﹣3的点的左边时，若|x﹣2|+|x+3|＝7，则x的值为﹣4；
∴x的值为3或﹣4；
（4）∵|x+2020|表示数轴上表示x的点到表示﹣2020的点的距离，|x﹣1|表示数轴上表
示x的点到表示1的点的距离，
由（3）的分析可知，当表示x的点在表示﹣2020和1的两个点之间时，距离之和最小，
∴当﹣2020≤x≤1时，式子|x+2020|+|x﹣1|取最小值，最小值是2021．
总结提升：本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关
键．
