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专题13 角综合运算（知识大串讲）
【知识点梳理】
考点1 角的概念
1．角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两
条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二 图 ：1一条射线绕着它的端点旋转而形成 图 的图2 形，射线旋转时经过的平面部分是角
的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起
始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
注意：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直
线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
注意：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或
小写希腊字母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．考点2 角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成 360等份，每一份就是1°的角，
1°的 为1分，记作“1′”，1′的 为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单
位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
注意：
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除
的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位
得数大于60时要向高一位进位．
考点3 钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，
时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的
计算问题．
考点4 方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏
东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方
向的角，就叫做方位角．
注意：
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东 60°”一般不说成“东偏北
30°” ．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，
确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
考点5 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如
图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC = ∠AOB．注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
考点6 角的运算
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，
记作：∠1＝∠AOB-∠2．
注意：
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一
边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以
画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
考点7 角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图
(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
考点8 余角
（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称
其中的一个角是另一个角的余角．
（2）余角的性质：同角(等角)的余角相等．
（3）数学语言表示：若∠1+∠2=90°，则∠1 与∠2 互余，若∠1 与∠2 互余，则
∠1+∠2=90°.
考点9 补角
（1）定义：一般地，如果两个角的和等于180°（平角），我们就说这两个角互为补角，
称其中一个角是另一个角的补角．
（2）补角的性质：同角（等角）的补角相等．（3）数学语言表示：若∠1+∠2=180°，则∠1 与∠2 互补，若∠1 与∠2 互补，则
∠1+∠2=180°.
【典例分析】
【考点1 度分秒换算】
1．用度、分、秒表示20.21°为（ ）
A．20°12' B．20°21' C．20°12'36″ D．20°21″
2．若∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30″，∠C＝20.25°，则（ ）
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B
3．把15°30′化成度的形式，则15°30′＝ 度．
4．计算：15°37′+42°51′＝ ．
5．计算：50°﹣15°30′＝ ．
【考点2角的概念】
6．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列结论正确的是（ ）
A．直线比射线长
B．过两点有且只有一条直线
C．过三点一定能作三条直线
D．一条直线就是一个平角
8．用量角器测得∠MON的度数，下列操作正确的是（ ）A． B．
C． D．
【考点3 钟面角】
9．在时刻8：30，时钟上的时针和分针之间的夹角为（ ）
A．85° B．75° C．70° D．60°
10．9时45分时，时钟的时针与分针的夹角是 ．
11．由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是 度．
【考点4 方位角】
12．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那
么∠AOB的大小为（ ）
A．69° B．111° C．141° D．159°
13．一个人从A点出发向北偏东60°的方向走到B点，再从B出发向南偏西15°方向走到C
点，那么∠ABC等于（ ）
A．75° B．105° C．45° D．135°
14．已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°
方向上，符合条件的示意图是（ ）A． B．
C． D．
15．学校，电影院，公园在平面图上的标点分别是A，B，C，电影院在学校的正东方向，
公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的∠CAB等于（ ）
A．115° B．155° C．25° D．65°
16．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航
行，此时的航行方向为（ ）
A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
【考点5 角平分线及有关运算】
17．一副三角板不能画出角的度数为（ ）
A．15° B．75° C．165° D．175°
18．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于 O，则∠AOC+∠DOB＝
（ ）
A．90° B．120° C．160° D．180°
19．把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（ ）A．70° B．90° C．105° D．120°
20．如图，OB是∠AOC 的角平分线，OD是∠COE 的角平分线，如果∠AOB＝40°，
∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
21．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD
的度数是（ ）
A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°
22．如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果
BD为∠A′BE的平分线，则∠CBD＝（ ）
A．80° B．90° C．100° D．70°
23．如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且OB恰好平分∠COD，则∠AOD
的度数是 度．
24．如图所示，点O是直线AB上的点，OC平分∠AOD，∠BOD＝30°，则∠AOC＝
度．25．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD＝110°，则∠COB＝ 度．
26．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．试求∠COE的度
数．
27．如图所示，OE，OD分别平分∠AOB和∠BOC，且∠AOB＝90°；
（1）如果∠BOC＝40°，求∠EOD的度数；
（2）如果∠EOD＝70°，求∠BOC的度数．
【考点6 角的大小比较】
28．若∠1＝50°5'，∠2＝50.5°，则∠1与∠2的大小关系是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠2＞∠1 C．∠1＞∠2 D．无法确定
29．如图．∠AOB＝∠COD，则（ ）
A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2
C．∠1＜∠2 D．∠1与∠2的大小无法比较
30．已知∠ ＝39°18′，∠ ＝39.18°，∠ ＝39.3°，下面结论正确的是（ ）
A．∠ ＜α∠ ＜∠ B．β∠ ＞∠ ＝∠γ C．∠ ＝∠ ＞∠ D．∠ ＜∠ ＜∠
31．如图，α 用三γ角板比β 较∠A与γ∠B的α大小，β 其中正确α的是（γ ）β γ α β
A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B
C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定
32．如图所示的网格是正方形网格，∠ABC ∠DEF（填“＞”，“＝”或“＜”）
【考点7 余角的性质】
33．一个角的度数是20°，则这个角的余角是（ ）
A．20° B．30° C．60° D．70°
34．如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，下列说法错误的是（ ）
A．∠1＝∠2相等 B．∠AOE与∠2互余C．∠AOD与∠1互补 D．∠AOD与∠COD互补
35．如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
36．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠ 与∠ 一定互余的是（ ）
α β
A． B．
C． D．
37．如果∠ 和∠ 互补，且∠ ＞∠ ，则下列表示∠ 的余角的式子中：①90°﹣∠ ；
α β α β β β
②∠ ﹣90°；③ （∠ +∠ ）；④ （∠ ﹣∠ ）．正确的有（ ）
A．4α个 B．α3个β αC．2个β D．1个
38．已知∠ 与∠ 互余，且∠ ＝35°18′，则∠ ＝ ° ′．
【考点8 补
α
角的
β
性质】
α β
39．若∠ ＝30°，则∠ 的补角是（ ）
A．30α° α B．60° C．120° D．150°
40．若∠ +∠ ＝90°，∠ +∠ ＝90°，则∠ 与∠ 的关系是（ ）
A．互α余 β Bβ．互γ补 α C．γ相等 D．∠ ＝90°+∠
41．若两个角互补，且度数之比为3：2，求较大角度数为 ． α γ
【考点9 利用补角和余角计算求值】
42．一个角的余角比它的补角的 还少40°，则这个角的度数为 度．
43．一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，则这个角＝ °．
44．一个角的余角比它的补角的 还少20°，求这个角．
【考点10 补角、余角和角平分线综合运算】45．如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．
（1）求出∠AOB及其补角的度数；
（2）请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
46．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；
（2）若∠DCE＝30°，求∠ACB的度数；
（3）猜想：∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系，并说明理由．
47．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板
的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线
AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰
好平分∠BOC．求∠BON的度数．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程
中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 11 或 47 （直接写出结
果）．
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究
∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．
