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期末高频能力提升必杀（22 题）
一．选择题
1．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝
4×3×2×1，…，则 的值为（ ）
A． B．99! C．9900 D．2！
【答案】C
【解答】解：∵100！＝100×99×98×…×1，98！＝98×97×…×1，
所以 ＝100×99＝9900．
故选：C．
二．填空题
2．观察下列各式：
13＝12
13+23＝32
13+23+33＝62
13+23+33+43＝102
…
猜想13+23+33+…+103＝ ．
【答案】 55 2
【解答】解：根据数据可分析出规律为从1开始，连续n个数的立方和＝（1+2+…+n）
2
所以13+23+33+…+103＝（1+2+3…+10）2＝552．
3．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝3，…
（2）f（ ）＝2，f（ ）＝3，f（ ）＝4，f（ ）＝5，…
利用以上规律计算：f（ ）﹣f（2008）＝ ．
【答案】1【解答】解：观察（1）中的各数，我们可以得出f（2008）＝2007，
观察（2）中的各数，我们可以得出f（ ）＝2008．
则：f（ ）﹣f（2008）＝2008﹣2007＝1．
故答案为：1．
4．为了求 1+2+22+23+…+2100的值，可令 S＝1+2+22+23+…+2100，则 2S＝2+22+23+24+…
+2101，因此2S﹣S＝2101﹣1，所以S＝2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100＝2101﹣1，仿照以
上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是 ．
【答案】
【解答】解：设M＝1+3+32+33+…+32014 ①，
①式两边都乘以3，得
3M＝3+32+33+…+32015 ②．
②﹣①得
2M＝32015﹣1，
两边都除以2，得
M＝ ，
故答案为： ．
5．已知 + ＝0，则 的值为 ．
【答案】 ﹣ 1
【解答】解：∵ + ＝0，
∴a、b异号，
∴ab＜0，
∴ ＝ ＝﹣1．
故答案为：﹣1．6．将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四
个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表．则 a ＝ ．（用含n的代数
n
式表示）
所剪次数 1 2 3 4 … n
正三角形个 4 7 10 13 … a
n
数
【答案】 3 n +1
【解答】解：故剪n次时，共有4+3（n﹣1）＝3n+1．
7．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲
点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们
第2015次相遇在边 上．
【答案】AB
【解答】解：设正方形的边长为a，因为甲的速度是乙的速度的3倍，时间相同，甲乙
所行的路程比为3：1，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，甲行的路程为2a× ＝ ，乙行的路程为2a×
＝ ，在CD边相遇；
②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为 4a，甲行的路程为4a× ＝3a，乙行
的路程为4a× ＝a，在AD边相遇；③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为 4a，甲行的路程为4a× ＝3a，乙行
的路程为4a× ＝a，在AB边相遇；
④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为 4a，甲行的路程为4a× ＝3a，乙行
的路程为4a× ＝a，在BC边相遇；
⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为 4a，甲行的路程为4a× ＝3a，乙行
的路程为4a× ＝a，在CD边相遇；
…
因为2015＝503×4+3，所以它们第2015次相遇在边AB上．
故答案为：AB．
8．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动 90°
算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是 ．
【答案】3
【解答】解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，
∵2014÷4＝503…2，
∴滚动第2014次后与第二次相同，
∴朝下的点数为3，
故答案为：3
三．解答题
9．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬
纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．
A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
（1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
【解答】解：（1）∵裁剪时x张用A方法，
∴裁剪时（19﹣x）张用B方法．
∴侧面的个数为：6x+4（19﹣x）＝（2x+76）个，
底面的个数为：5（19﹣x）＝（95﹣5x）个；
（2）由题意，得
，
解得：x＝7，
经检验，x＝7是原分式方程的解，
∴盒子的个数为： ＝30．
答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子．
10．某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的
倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）
甲 乙
进价（元/件） 22 30
售价（元/件） 29 40
（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，
乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价
打几折销售？
【解答】解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（ x+15）件，
根据题意得：22x+30（ x+15）＝6000，
解得：x＝150，
∴ x+15＝90．
答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件．
（2）（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元．
（3）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，
根据题意得：（29﹣22）×150+（40× ﹣30）×90×3＝1950+180，
解得：y＝8.5．
答：第二次乙商品是按原价打8.5折销售．
11．某地的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，
每吨利润4000元，经精加工后销售，每吨利润7000元．当地一家公司现有这种蔬菜
140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工 16吨，如果
对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但每天两种方式不能同时进行．受季节等条件的
限制，必须用15天时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕．为此，公司研制了三种方
案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售；
方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天完成．
如果你是公司经理，你会选择哪一种方案，说说理由．
【解答】解：方案一：4000×140＝560000（元）；
方案二：15×6×7000+（140﹣15×6）×1000＝680000（元）；
方案三：设精加工x吨，则 ；
解得：x＝60，
7000×60+4000×（140﹣60）＝740000（元）；答：选择第三种．
12．某市水果批发部门欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，
运输过程中的损耗均为200元/时．其它主要参考数据如下：
运输工具 途中平均速度 运费 装卸费用
（千米/时） （元/千米） （元）
火车 100 15 2000
汽车 80 20 900
（1）如果选择汽车的总费用比选择火车费用多1100元，你知道本市与A市之间的路程
是多少千米吗？请你列方程解答．
（2）如果A市与某市之间的距离为S千米，且知道火车与汽车在路上耽误的时间分别
为2小时和3.1小时，你若是A市水果批发部门的经理，要想将这种水果运往其他地区
销售．你将选择哪种运输方式比较合算呢？
【解答】解：（1）选择汽车的费用＝200x÷80+20×x+900，
选择火车费用＝200x÷100+15×x+2000，
题中等量关系是：火车的运费比汽车运费少1100元，
设本市与A市之间的路程是x千米，
所以可以列出方程：200x÷80+20×x+900﹣（200x÷100+15×x+2000）＝1100，
解得：x＝400．
答：本市与A市之间的路程是400千米；
（2）选择汽车的费用＝22.5S+1520，选择火车费用＝17S+2400，
当两者相等时，S＝160，
即当S＞160时，选择火车合算，
当S＜160时，选择汽车合算．
13．为发展校园足球运动，某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发
现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个
足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买
十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八
折．
（1）求每套队服和每个足球的价格是多少？
（2）若城区四校联合购买100套队服和a（a＞10）个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；
（3）假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？
【解答】解：（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，根据题意得
2（x+50）＝3x，
解得x＝100，
x+50＝150．
答：每套队服150元，每个足球100元；
（2）到甲商场购买所花的费用为：150×100+100（a﹣ ）＝100a+14000（元），
到乙商场购买所花的费用为：150×100+0.8×100•a＝80a+15000（元）；
（3）当在两家商场购买一样合算时，100a+14000＝80a+15000，
解得a＝50．
所以购买的足球数等于50个时，则在两家商场购买一样合算；
购买的足球数多于50个时，则到乙商场购买合算；
购买的足球数少于50个时，则到甲商场购买合算
14．在数学活动中，小明为了求 的值（结果用n表示）．设计如
图所示的几何图形．
（1）请你利用这个几何图形求 的值为 （ 1 ﹣ ） ．
（2）请你利用下图，再设计一个能求 的值的几何图形．【解答】解：（1）设总面积为：1，最后余下的面积为： ，
故几何图形 的值为： ．
故答案为： ．
（2）如图
等．
15．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
（1）王老师一次性购物600元，他实际付款 53 0 元．
一次性购物 优惠办法
少于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 九折优惠
500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500
元部分给予八折优惠
（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付
款 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 元．（用含x的代数式表示）．
（3）如果王老师两次购物货款合计 820元，第一次购物的货款为 a元（200＜a＜
300），用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？
【解答】解：（1）500×0.9+（600﹣500）×0.8＝530；
（2）0.9x；500×0.9+（x﹣500）×0.8＝0.8x+50；
（3）0.9a+0.8（820﹣a﹣500）+450＝0.1a+706．
16．某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．“国庆
节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的90%付款．
现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款 元．（用含x的代数式表示）若该客户
按方案二购买，需付款 元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
【解答】解：（1）客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．
方案一费用：200x+16000，
方案二费用：180x+18000．
故答案为：（200x+16000），（180x+18000）．
（2）当x＝30时，方案一：200×30+16000＝22000（元），
方案二：180×30+18000＝23400（元），
所以，按方案一购买较合算．
（3）先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买10条领带．
则20000+200×10×90%＝21800（元）．
17．如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个
小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方
形，如此循环进行下去；
（1）填表：
剪的次数 1 2 3 4 5正方形个
数
（2）如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？
（3）如果剪了n次，共剪出多少个小正方形？
（4）观察图形，你还能得出什么规律？
【解答】解：（1）结合图形，不难发现：在4的基础上，依次多3个．即剪n次，共有
4+3（n﹣1）＝3n+1．
填表：
剪的次数 1 2 3 4 5
正方形个 4 7 10 13 16
数
（2）根据图形，还可以发现：每个小正方形的边长都是上一次的一半，面积是上一次
的正方形的面积的 ．
如果剪了100次，共剪出3×100+1＝301个小正方形；
（3）如果剪了n次，共剪出3n+1个小正方形；
（4）观察图形，还能得出的规律是：剪了n次，小正方形的边长为原来的 ，面积是
原来的 ．
18．数学问题：计算 + + +…+ （其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一
个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算 + + +…+ ．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 +
；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为
+ + +…+ ，最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分割图可得等式： + + +…+ ＝1﹣ ．
探究二：计算 + + +…+ ．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 +；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为
+ + +…+ ，最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分割图可得等式： + + +…+ ＝1﹣ ，
两边同除以2，得 + + +…+ ＝ ﹣ ．
探究三：计算 + + +…+ ．
（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
解决问题：计算 + + +…+ ．（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）
根据第n次分割图可得等式： + + + … + ＝ 1 ﹣ ，
所以， + + +…+ ＝ ﹣ ．
拓广应用：计算 + + +…+ ．
【解答】解：探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，
其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
…，
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为： + + +…+ ，
最后的空白部分的面积是 ，
根据第n次分割图可得等式： + + +…+ ＝1﹣ ，两边同除以3，得 + + +…+ ＝ ﹣ ；
解决问题： + + +…+ ＝1﹣ ，
+ + +…+ ＝ ﹣ ；
故答案为： + + +…+ ＝1﹣ ， ﹣ ；
拓广应用： + + +…+ ，
＝1﹣ +1﹣ +1﹣ +…+1﹣ ，
＝n﹣（ + + +…+ ），
＝n﹣（ ﹣ ），
＝n﹣ + ．
19．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，（1）若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数；
（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵∠ECB＝90°，∠DCE＝35°
∴∠DCB＝90°﹣35°＝55°
∵∠ACD＝90°
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝145°．
（2）∵∠ACB＝140°，∠ACD＝90°
∴∠DCB＝140°﹣90°＝50°
∵∠ECB＝90°
∴∠DCE＝90°﹣50°＝40°．
（3）猜想得∠ACB+∠DCE＝180°（或∠ACB与∠DCE互补）
理由：∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90°
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB
∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB
∴∠ACB+∠DCE＝180°．
20．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角
板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周．在旋转的过程
中，假如第t秒时，OA、OC、ON三条射线构成相等的角，求此时t的值为多少？
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转图2，使ON在∠AOC的内部，请探究：
∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转，
∴第t秒时，三角板转过的角度为10°t，
当三角板转到如图①所示时，∠AON＝∠CON，
∵∠AON＝90°+10°t，∠CON＝∠BOC+∠BON＝120°+90°﹣10°t＝210°﹣10°t，
∴90°+10°t＝210°﹣10°t
即t＝6；
当三角板转到如图②所示时，∠AOC＝∠CON＝180°﹣120°＝60°，
∵∠CON＝∠BOC﹣∠BON＝120°﹣（10°t﹣90°）＝210°﹣10°t，
∴210°﹣10°t＝60°
即t＝15；
当三角板转到如图③所示时，ON与OC重合，∠AON＝∠AOC＝60°，
∴10°t＝120+90°＝210°，
即t＝21；
当三角板转到如图④所示时，∠AON＝∠CON＝ ，
∵∠CON＝∠BON﹣∠BOC＝（10°t﹣90°）﹣120°＝10°t﹣210°∴10°t﹣210°＝30°
即t＝24；
当三角板转到如图⑤所示时，ON与OA重合，∠CON＝∠AOC＝60°，
∴10°t＝270°，
即t＝27；
当三角板转到如图⑥所示时，∠AON＝∠AOC＝60°
∵∠AON＝10°t﹣180°﹣90°＝10°t﹣270°
∴10°t﹣270°＝60°
即t＝33．
故t的值为6、15、21、24、27、33．
（2）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°
21．已知长方形纸片 ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将
∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在
直线EF上的点A′处，得折痕EN．
（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；
（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；
（3）若∠MEN＝ ，请直接用含 的式子表示∠FEG的大小．
【解答】解：（1）α ∵EN平分∠AαEF，EM平分∠BEF
∴∠NEF＝ ∠AEF，∠MEF＝ ∠BEF
∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝ ∠AEF+ ∠BEF＝ （∠AEF+∠BEF）＝ ∠AEB
∵∠AEB＝180°
∴∠MEN＝ ×180°＝90°（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG
∴∠NEF＝ ∠AEF，∠MEG＝ ∠BEG
∴∠NEF+∠MEG＝ ∠AEF+ ∠BEG＝ （∠AEF+∠BEG）＝ （∠AEB﹣∠FEG）
∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°
∴∠NEF+∠MEG＝ （180°﹣30°）＝75°
∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°
（3）若点G在点F的右侧，∠FEG＝2 ﹣180°，
若点G在点F的左侧，∠FEG＝180°﹣2α ．
22．如图1，直线DE上有一点O，过点Oα在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板
AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边
OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10⁰的速度逆时针旋转一周，设旋转
时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图 2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与
∠BOE之间有何数量关系？并说明理由．
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．
①则当旋转时间t＝ 秒时，边AB所在的直线与OC平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是
另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，
请说明理由．
③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3），求∠AOC﹣∠BOE的值．
【解答】解：（1）∠BOC＝∠BOE，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OA平分∠COD，∴∠AOD＝∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOE；
（2）①∵∠COE＝140°，
∴∠COD＝40°，
如图1，当AB在直线DE上方时，
∵AB∥OC，
∴∠AOC＝∠A＝30°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝70°，即t＝7；
如图2，当AB在直线DE下方时，
∵AB∥OC，
∴∠COB＝∠B＝60°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝20°，
则∠AOD＝90°+20°＝110°，
∴t＝ ＝25，
故答案为：7或25；
②当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC，即10t＝20，解得t＝2；
当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠COD，即10t﹣40＝40，解得t＝8；
当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360﹣10t＝40，解得：t＝32；综上，t的值为2、8、32；
③∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝140°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠AOC﹣∠BOE＝（140°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝50°，
∴∠AOC﹣∠BOE的值为50°．
