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专题09 算术平方根与立方根的综合运用
【例题讲解】
已知4是 的算术平方根， 的立方根为 ．
(1)求 和 的值；(2)求 的平方根．
【详解】（1）解：∵4是 的算术平方根，∴ ，∴ ，
∵ 的立方根为 ，∴ ，∴ ，
∴ ．
（2）解： ，64的平方根为 ，
∴ 的平方根为 ．
【综合解答】
1．已知 ，那么 的立方根是( )
A．-1 B．1 C．3 D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据非负数的性质，得出a，b的值，再代入计算即可．
【详解】
：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴a=-4，b=3，
∴ =1，
∴ 的立方根为1，
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了非负数的性质和立方根，掌握非负数的性质是解题的关键．2． 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据算术平方根和立方根的意义分别进行计算，然后根据有实数的运算法则求解即可.
【详解】
原式
；
故答案为：A.
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握据算术平方根和立方根的意义.
3．若 ， ，那么 等于（ ）
A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552
【答案】C
【解析】
【分析】
根据立方根的运算法则即可．
【详解】
解： ，
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了立方根的运算，解题的关键是对 进行正确的拆分．
4．下列计算正确的是（ ）．A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据立方根、算术平方根、绝对值等知识逐项进行计算即可求解．
【详解】
A. ，故原选项计算错误，不合题意；
B. ，故原选项计算错误，不合题意；
C. ，故原选项计算错误，不合题意；
D. ，故原选项计算正确，符合题意．
故选：D
【点睛】
本题考查了立方根、算术平方根等知识，理解立方根、算术平方根的意义并正确计算化简是解题
关键．
5．一般地，如果 （n为正整数，且 ），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的
是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而
增大
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案．
【详解】
A. ， 16的4次方根是 ，故不符合题意；B. ， ， 32的5次方根是2，故不符合题意；
C.设
则
且
当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；
D.由 的判断可得： 错误，故不符合题意．
故选 ．
【点睛】
本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x是
否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．
6．已知a的算术平方根是12.3，b的立方根是 ，x的平方根是 ，y的立方根是456，则
x和y分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，x的算术平方根和-b的立方根，然后根据x的算术平方根和a的算术平方根即可求出x
与a的关系，根据-b的立方根和y的立方根关系即可求出y与b的关系．
【详解】
解：∵a的算术平方根是 ，b的立方根是 ，x的平方根是 ，y的立方根是456，
∴x的算术平方根是 ，-b的立方根是
∵ = × ，456=10×∴ = ，y=103（-b）
即
故选C．
【点睛】
此题考查的是平方根、算术平方根和立方根，根据两数算术平方根的关系推出这两数的关系和两
数立方根的关系推出这两数的关系是解题关键．
7．实数a在数轴上的位置如图所示，则 化简后为___________．
【答案】8
【解析】
【分析】
先根据数轴的定义可得 ，从而可得 ，再计算算术平方根和立方根即可得．
【详解】
由数轴的定义得： ，
则 ，
所以 ，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了数轴、算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键．
8．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，求 ＝_____．
【答案】0．
【解析】
【分析】
根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．
【详解】
∵a、b互为倒数，
∴ab＝1，
∵c、d互为相反数，∴c+d＝0，
∴ ＝﹣1+0+1＝0．
故答案为：0．
【点睛】
此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
9．已知 的平方根是±3，b+2 的立方根是2，则 的算术平方根是___________
【答案】1
【解析】
【分析】
先根据平方根，立方根的定义列出关于a、b的方程，求出a、b后再代入进行计算求出 的值，
然后根据算术平方根的定义求解．
【详解】
解：根据题意得，2a-1=（±3）2=9，b+2 =23,
∴a=5,b=6,
∴b-a=1，
∴ 的算术平方根是1，
故答案是：1.
【点睛】
本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键．
10．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3，求a+b的算术平方根 ___．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3得出 ，解之求出a、b的值，
再利用算术平方根定义得出答案．
【详解】
解：∵2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3，
∴ ，解得a＝5，b＝2，
∴a＋b＝7，
则a＋b的算术平方根为 ．
【点睛】
本题主要考查立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是掌握立方根、平方根、算术平方根的
定义．
11．已知2a-1的平方根是±3，3a+b-9的立方根是2，c是 的整数部分，则a+2b+c的算术平方
根为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
由题意首先根据平方根与立方根的概念可得2a-1与3a+b-9的值，进而可得a、b的值，然后估计
的大小，可得c的值，进而可得a+2b+c，根据算术平方根的求法可得答案．
【详解】
解：根据题意，可得2a-1=9，3a+b-9=8；
解得：a=5，b=2；
又有7＜ ＜8，
可得c=7；
则a+2b+c=16；
则16的算术平方根为4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，熟练掌握二次根式的基
本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法是解题的关键．
12．若 的立方根是A， 的算术平方根为B，则A＋B＝________．
【答案】
【解析】
【详解】因为 ，所以A= ，B= ，则A+B= ，故答案为 .
三、解答题
13．(1) ．
(2)已知∶2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值．
(3)已知a为 的整数部分，b-3是400的算术平方根，求 ．
【答案】(1) ；(2)m+2n=13；(3) =6
【解析】
【分析】
(1)首先进行开方和乘方运算，再进行有理数的加减运算，即可求得；
(2)根据平方根的定义得出方程，解方程即可分别求得m、n的值，据此即可解答；
(3) 根据无理数的估算和算术平方根的定义，即可求得a、b的值，据此即可解答．
【详解】
解：(1)
(2) 2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，
，3m+n+1=25，
解得m=7，n=3，
；
(3) ，
，
的整数部分为13，
，
又 b-3是400的算术平方根，400的算术平方根是20，，解得b=23，
．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减混合运算，平方根和算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值
问题，熟练掌握和运用各运算法则和方法是解决本题的关键．
14．已知4是 的算术平方根， 的立方根是2．C是 的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ， ，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据算术平方根和立方根的定义列出式子，解出a，b，c的值即可．
（2）将（1）中所求数值代入，并计算平方根即可．
(1)
解：由题有 ，
解得： ； ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即： ， ， ；
(2)
（2）解：把 ， ， ，代入 得
，
，
∴ 的平方根是 ．
【点睛】
本题考查算术平方根，平方根，立方根的定义，无理数的整数部分，熟练理解平方根，算术平方
根，立方根的定义是解题的关键．
15．（1）计算：①
②
（2）求方程中的 的值
①
②
【答案】（1）① ；② （2）① 或 ；②
【解析】
【分析】
（1）根据算术平方根以及立方根进行计算即可；
（2）根据算术平方根以及立方根解方程即可．
【详解】
（1）①解：原式＝
②解：原式＝
（2）①
解得 或
②解得
【点睛】
本题考查了算术平方根以及立方根，掌握算术平方根以及立方根的定义是解题的关键．平方根：
如果一个数的平方等于 ，那么这个数就叫 的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方
根．立方根：如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根．
16．（1）一个正数m的两个平方根分别为 和 ，求这个正数m．
（2）已知 的立方根是3， 的算术平方根是4，c是 的整数部分，求 的
平方根．
（3） ，求 的立方根．
【答案】（1）49；（2） ；（3）－1
【解析】
【分析】
（1）根据一个正数的平方根互为相反数列式子求解即可；
（2）根据立方根和算术平方根的定义及无理数的估算列出关于a、b、c的式子求值，再计算平方
根即可；
（3）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，从而得出a的值，再计算两数的和，从而得出立
方根．
【详解】
解：（1）解：依题意： ，解得 ，
， ．
（2）解依题意： ， ，
解得 ， ，
，16的平方根是
（3）解：依题意 ，得 ，
代入 ，得
， 的立方根是－1．【点睛】
本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握含义列出式子是解题的关键．
17．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1） 1.414， 14.14， 141.4… 0.1732， 1.732， 17.32…由
此可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动 位；
（2）已知 2.236， 7.071，则 ， ；
（3） 1， 10， 100…小数点变化的规律是：
．
（4）已知 2.154， 4.642，则 ， ．
【答案】（1）两，右，一；（2）0.7071，22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其
立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54，﹣0.4642
【解析】
【分析】
（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；
（2）利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）归纳总结得到规律，写出即可；
（4）利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】
（1） 1.414， 14， 141.4…
0.1732， 1.732， 17.32…
由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位，
（2）已知 2.236， 7.071，则 0.7071， 22.36，
（3） 1， 10， 100…
小数点变化的规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动
一位；
（4）∵ 2.154， 4.642，∴ 21.54， 0.4642．
故答案为：（1）两；一；（2）0.7071；22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立
方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54；﹣0.4642
【点睛】
此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．
18．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1） ， ， ，……
， ， ，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______
位．
（2）已知 ， ，则 _____； ______．
（3） ， ， ，……
小数点的变化规律是_______________________．
（4）已知 ， ，则 ______．
【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其
立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01
【解析】
【分析】
（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；
（2）利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）归纳总结得到规律，写出即可；
（4）利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】
解：（1） ， ， ，……
， ， ，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．
故答案为：两；右；一；（2）已知 ， ，则 ； ；
故答案为：12.25；0.3873；
（3） ， ， ，……
小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动
一位；
（4）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴y=-0.01．
【点睛】
此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．
