文档内容
专题 06 整式的加减规律题专项训练
代数字类规律性探索
1．对于正数x，规定 ，例如： ， ， ，
，计算：
（ ）
A．199 B．200 C．201 D．202
2．我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成 部分，2条直线将平面最多分成 部
分，3条直线将平面最多分成 部分，4条直线将平面形多分成 部分……，n条直线将平
面最多分成 部分，则 （ ）A． B． C． D．
3．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如 ， ，
，…若 分裂后，其中有一个奇数是1005，则m的值是（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
4．观察下列按一定规律排成的一组数：
，从左起第 个数记 ，则
， ．
5．在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃 共 张牌挑出，打乱顺序随机发给
了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌．已知甲的三张牌数字之和是 ，乙的三张牌数字之和与丙
的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数．写出甲的三张牌上的数字是 ，丙
的三张牌上的数字是 ．
6．观察下列等式，并解下列各题．
， ， ，
讲以上三个等式两边分别相加得：
(1)猜想并写出： __________；
(2)直接写出下列各式得计算结果： __________．
(3)探究并利用以上规律计算： ．
图形、图表类规律性探索
7．正整数按如图的规律排列，则2022位于哪一行，哪一列（ ）A．第45行 第4列 B．第4行 第45列
C．第46行 第3列 D．第3行 第46列
8．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一．如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1
开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，用 表示这个数列的第n
个数，则 ．
9．我国南宋数学家杨辉 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即
杨辉三角．现在将所有的奇数记“ ”，所有的偶数记为“ ”，则前 行如图②，前 行如图③，
求前 行“ ”的个数为 ．10．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成
两行，排列规则如下：
①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字
1摆在了标注字母 的位置，标注字母e的卡片写有数字 ．
11．如图，四边形 是矩形，点 是 边的三等分点， ，点 是 边的中点，连
接 ， ，得到 ；点 是 的中点，连接 ， 得到 ；点 是 的
中点，连接 ， ，得到 ；…按照此规律继续进行下去，若矩形 的面积等于
6，则 的面积是 ．12．下列图形都是由相同大小的 按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗 ，
第②个图形中一共有11颗 ，第③个图形中一共有21颗 ，……按此规律排列下去．
第⑩个图形中的 颗数为 ．
13．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做“平行四边形数”和“正六边形数”．设
第n个“平行四边形数”和“正六边形数”的和为 ．
14．（1）为了计算 的值，我们构造图形（图 ），共 行，每行依次比上一行多一
个点．此图形共有 个点．如图2，添出图形的另一半，此时共 行 列，有 个
点，由此可得 ．
用此方法，可求得 （直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：填空：① ；
② ．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．
15．（1）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图
1，在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰
子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是
（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
（2）如图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字．电子跳蚤每跳一次，可以从一
个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了
2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是______．
16．认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：． ． ．……；
下面我们依次对 展开式的各项系数进一步研究发现，当 取正整数时可以单独列成表中的
形式：
…………………………………………………1 1
………………………………………………1 2 1
……………………………………………1 3 3 1
…………………………………………1 4 6 4 1
………………………………………1 5 10 10 5 1
……………………………………1 6 15 20 15 6 1
……………………………………
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下
列问题：
(1)多项式 的第三项的系数 ______；
(2)请你预测一下多项式 展开式的各项系数之和 ______；
(3)拓展：①写出 展开式中含 项的系数为______；
② 展开式按 的升幂排列为： ，若 ，求
的值．
17．【问题提出】在由 个小正方形（边长为1）组成的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小
正方形个数与m，n有何关系？
【问题探究】
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手，再逐次递
进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
当m，n互质（m，n除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表：
图1
矩形横长m 2 3 3 5 4 5 …
公矩形纵长n 1 1 2 2 3 3 …
矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f 2 3 4 6 6 …
结论：当m，n互质时，在 的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与
m，n之间的关系式是________．
探究二：
当m，n不互质时，不妨设 ， （a，b，k为正整数，且a，b互质），观察图2并完成
下表：图2
a 2 3 3 5 2 3 …
b 1 1 2 2 1 1 …
k 2 2 2 2 3 …
矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f 4 6 8 6 …
结论：当m，n不互质时，若 ， （a，b，k为正整数，且a，b互质）．在 的矩形
网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a，b，k之间的关系式是________．
【模型应用】
一个由边长为1的小正方形组成的长为630，宽为490的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过
的小正方形个数是________个．
图3
【模型拓展】
如图3，在一个由48个棱长为1的小正方体组成的长方体中，经过顶点A，B的直线穿过的小正方
体的个数是________个．
