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期末高频能力提升必杀（22 题）
一．选择题
1．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝
4×3×2×1，…，则 的值为（ ）
A． B．99! C．9900 D．2！
二．填空题
2．观察下列各式：
13＝12
13+23＝32
13+23+33＝62
13+23+33+43＝102
…
猜想13+23+33+…+103＝ ．
3．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝3，…
（2）f（ ）＝2，f（ ）＝3，f（ ）＝4，f（ ）＝5，…
利用以上规律计算：f（ ）﹣f（2008）＝ ．
4．为了求 1+2+22+23+…+2100的值，可令 S＝1+2+22+23+…+2100，则 2S＝2+22+23+24+…
+2101，因此2S﹣S＝2101﹣1，所以S＝2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100＝2101﹣1，仿照以
上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是 ．
5．已知 + ＝0，则 的值为 ．
6．将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四
个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表．则 a ＝ ．（用含n的代数
n
式表示）
所剪次数 1 2 3 4 … n正三角形个 4 7 10 13 … a
n
数
7．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲
点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们
第2015次相遇在边 上．
8．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动 90°
算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是 ．
三．解答题
9．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬
纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．
A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
（1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
10．某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的
倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）
甲 乙
进价（元/件） 22 30
售价（元/件） 29 40
（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，
乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品
都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价
打几折销售？
11．某地的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，
每吨利润4000元，经精加工后销售，每吨利润7000元．当地一家公司现有这种蔬菜
140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工 16吨，如果
对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但每天两种方式不能同时进行．受季节等条件的
限制，必须用15天时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕．为此，公司研制了三种方
案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售；
方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天完成．
如果你是公司经理，你会选择哪一种方案，说说理由．
12．某市水果批发部门欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，
运输过程中的损耗均为200元/时．其它主要参考数据如下：
运输工具 途中平均速度 运费 装卸费用（千米/时） （元/千米） （元）
火车 100 15 2000
汽车 80 20 900
（1）如果选择汽车的总费用比选择火车费用多1100元，你知道本市与A市之间的路程
是多少千米吗？请你列方程解答．
（2）如果A市与某市之间的距离为S千米，且知道火车与汽车在路上耽误的时间分别
为2小时和3.1小时，你若是A市水果批发部门的经理，要想将这种水果运往其他地区
销售．你将选择哪种运输方式比较合算呢？
13．为发展校园足球运动，某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发
现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个
足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买
十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八
折．
（1）求每套队服和每个足球的价格是多少？
（2）若城区四校联合购买100套队服和a（a＞10）个足球，请用含a的式子分别表示
出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；
（3）假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？
14．在数学活动中，小明为了求 的值（结果用n表示）．设计如
图所示的几何图形．
（1）请你利用这个几何图形求 的值为 （ 1 ﹣ ） ．（2）请你利用下图，再设计一个能求 的值的几何图形．
15．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
（1）王老师一次性购物600元，他实际付款 53 0 元．
一次性购物 优惠办法
少于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 九折优惠
500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500
元部分给予八折优惠
（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付
款 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 元．（用含x的代数式表
示）．
（3）如果王老师两次购物货款合计 820元，第一次购物的货款为 a元（200＜a＜
300），用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？
16．某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．“国庆
节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的90%付款．现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款 元．（用含x的代数式表示）若该客户
按方案二购买，需付款 元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
17．如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个
小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方
形，如此循环进行下去；
（1）填表：
剪的次数 1 2 3 4 5
正方形个
数
（2）如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？
（3）如果剪了n次，共剪出多少个小正方形？
（4）观察图形，你还能得出什么规律？
18．数学问题：计算 + + +…+ （其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一
个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化
的策略来进行探究．探究一：计算 + + +…+ ．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 +
；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为
+ + +…+ ，最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分割图可得等式： + + +…+ ＝1﹣ ．
探究二：计算 + + +…+ ．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 +；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为
+ + +…+ ，最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分割图可得等式： + + +…+ ＝1﹣ ，
两边同除以2，得 + + +…+ ＝ ﹣ ．
探究三：计算 + + +…+ ．
（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
解决问题：计算 + + +…+ ．（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）
根据第n次分割图可得等式： + + + … + ＝ 1 ﹣ ，
所以， + + +…+ ＝ ﹣ ．
拓广应用：计算 + + +…+ ．
19．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，
（1）若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数；
（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．
20．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角
板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周．在旋转的过程
中，假如第t秒时，OA、OC、ON三条射线构成相等的角，求此时t的值为多少？
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转图2，使ON在∠AOC的内部，请探究：
∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．21．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将
∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线
EF上的点A′处，得折痕EN．
（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；
（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；
（3）若∠MEN＝ ，请直接用含 的式子表示∠FEG的大小．
α α
22．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边
OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10⁰的速度逆时针旋转一周，设旋转
时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图 2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与
∠BOE之间有何数量关系？并说明理由．
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．
①则当旋转时间t＝ 秒时，边AB所在的直线与OC平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是
另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，
请说明理由．
③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3），求∠AOC﹣∠BOE的值．
