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专题 02 平方根与立方根的六种考法全攻略
类型一、平方根的非负性
例1．已知 ，则 的平方根为____________．
例2．若 ，则 的值为______．
【变式训练1】当 时，化简 的结果为_________________．
【变式训练2】若实数x，y满足|x﹣3|＋ ＝0，则（x＋y）2的平方根为_______．
【变式训练3】已知 与 互为相反数，求 的平方根．
【变式训练4】若 ，其中a，b均为整数，则 ______．
类型二、利用数轴化简根式
例．已知数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简： 的结果
是（ ）A． B． C． D．0
【变式训练1】已知：如图，化简代数式 ______
【变式训练2】（1）填空： __________； __________；
（2）猜想： __________；
（3）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，请化简： ．
【变式训练3】若实数 、 、 依次在数轴上的对应点如图所示，试化简：
．
【变式训练4】已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简：
．
类型三、探究性规律问题
例1．观察下列有规律的一组等式：
，即 ； ，即
．(1)猜想： ______， ______．
(2)你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含 （ 为正整数）的式子表示这一
规律，并验证所写式子的正确性．
例2．(1)已知 , ， ，则 ____；
(2)已知 , ， ，则 ____；
(3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向
___移动____位；
(4)如果 ，则 ___， ____．
【变式训练1】我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如 等，有些数则不能直
接求得，如 ，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用
规律求得，请你观察下表：
a … 0.04 4 400 40000 …
… x 2 y z …
(1)表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时， ＝ ；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知 ，则① ≈ ；② ≈ ．
【变式训练2】(1)填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规
律：
a 0.0036 0.36 36 3600___________ ___________ ___________ ___________
(2)根据你发现的规律填空：
① 已知： 2.775， 8.775.则 ___________， ___________；
② 已知： 5.385，若 53.85.则x=___________．
(3)将你发现的规律用文字语言表述出来.
【变式训练3】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
① ，
② ，
③ ，
④ ．
(1)观察算式规律，计算 ＝______； ＝______．
(2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律并证明．
【变式训练4】为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算
术平方根，并将结果填在了下表中．
(1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整；
表 ．
第 第
第 组 第 组 第 组 第 组 第 组
组 组______ ______ ______
(2)请你仿照表 中的规律，将表 补充完整．
表 ．
第 第
第 组 第 组 第 组 第 组
组 组
______ ______ ______
(3)通过表 和表 ，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现．
（提示：如果没有思路，你可以先观察第 组、第 组、第 组、第 组中的被开方数和结
果，再观察第 组、第 组、第 组中的被开方数和结果）．
类型四、整数部分问题
例1．已知 ．若 为整数且 ，
则 的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
例2定义 为不大于x的最大整数，如 ， ， ，则满足 ，则
的最大整数为__________．
【变式训练1】若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 _________， _________．
【变式训练2】已知 的算术平方根是 ， 的平方根是 ， 是 的整数部分，
求 的平方根．【变式训练3】阅读下面的文字，解答问题：大家都知道 是无理数，而且 ，
即 ，无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，
于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示
方法是有道理，因为 的整数部分是 ，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：①∵ ，即 ，∴ 的整数部分为 ，小数部分为 ．
②∵ ，即 ，∴ 的整数部分为 ，小数部分为 ．
请解答：
如果 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，求 的值；
【变式训练4】如图，每个小正方形的边长均为 ，阴影部分是一个正方形．
（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；
（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
（3） 为阴影正方形边长的小数部分， 为 的整数部分，求 的值．
类型五、平方根与立方根的实际应用
例．如图，琦琦想用一块面积为900cm2的正方形纸片．沿着边的方向裁出一块面积为
800cm2的纸片，使它的长宽之比为5：4，琦琦能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请通
过计算说明．
【变式训练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，
（1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？（直接写结果）
（2）求图中阴影部分的面积．（3）若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y﹣ ）x的值．
【变式训练2】教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得
到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无
理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．
（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A表示的数为________；
（2）迁移应用：
请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正
方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．
②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 的点，并比较它
们的大小．
【变式训练3】某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t（h）可以用公式 来估计，
其中d（km）是雷雨区域的直径．
（1）如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到
0.1h）
（2）如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到
0.01km）类型六、平方根与立方根的综合运用
例．如果 为 的算术平方根， 为 的立方根，求 的
平方根与立方根．
【变式训练1】已知2的平方等于 ， 是27的立方根， 表示3的平方根．
(1)求 ， ， 的值；
(2)求多项式： ．
【变式训练2】计算下列各题，
(1)已知 的平方根为 ， 的算术平方根为4，求 的立方根；
(2)已知 ， ，求 ．
【变式训练3】已知 的平方根是 ， 的立方根是2， ．
（1）求 的值；
（2）求 的算术平方根．
