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专题 03 实数的四种特殊考法
类型一、比较大小与实数估算
例1．比较大小： __________ ．
【答案】
【详解】解：∵ ， ,
∴ ，即 ，
故答案为： ．
例2.比较下列实数的大小 ___________ ．
【答案】
【详解】解：∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【变式训练1】设a= ，b= ，c=3，则a，b，c的大小关系为_______．
【答案】a＜c＜b
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
故答案为：
【变式训练2】比较大小 ______ ．【答案】<
【详解】解：
，
，
．
故答案为： ．
【变式训练3】比较大小： _____ ； _____ （填“＞”或“＜”或
“＝”）
【答案】 < <
【详解】解： ，
∴ ，
∵ ．
∴ ．
故答案为：＜，＜．
【变式训练3】比较 与 的大小．
【答案】
【详解】解： ，
，
， ，
，
．
类型二、整数部分问题
例．阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，
因此 的小数部分我们不可能全部写出来，∵ ，∴ ．于是可以用
来表示 的小数部分，又例如：∵ ，即 ，∴ 的整数部
分是2，小数部分是 ．请解答下列问题：(1) 的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)已知a是 的整数部分，b是其小数部分，求 的值．
【答案】(1)4， ；(2)
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为4，小数部分为 ，
故答案为：4； ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的整数部分是5，小数部分是 ，
∴ ，
∴ ．
【变式训练1】阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循
环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 来表示 的小数
部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数
部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是这个数的小数部分，又例如： ，即
，所以 的整数部分为2，小数部分为 ，请解答：
(1) 的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求 的值；
(3)已知：x是 的整数部分，y是其小数部分，请直接写出 的值的相反数．
【答案】(1) ；(2)2；(3)
【详解】（1）解：
的整数部分是3，小数部分是 ，
故答案为： ；
（2）的整数部分是1，小数部分为
，
的整数部分为3，小数部分为
，
（3）
由题意得，
的值的相反数为： ．
【变式训练2】材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是
得来的，类比来看， 是无理数，而 ，所以 的整数部分是1，于是可用
来表示 的小数部分．
材料2：若 ，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即 ， 要满足
， ．
根据以上材料，完成下列问题：
(1) 的整数部分是________，小数部分是__________；
(2) 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为 ，求 的算术平方根．
(3)若 ，则 ________， ________．
【答案】(1)4，
(2)3
(3) ， ．
【详解】（1）解： ，
的整数部分为4，小数部分为 ，
故答案为：4， ；
（2） ，
，也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为 ，
， ，
，
的算术平方根为 ；
（3） ，即 ，
， ，
故答案为： ， ．
【变式训练3】规定： 表示实数x的整数部分．如 ， ，在此规定下解
决下列问题．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【答案】(1)6
(2)16
(3)160
【详解】（1）解：
；
（2）∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴
；
（3）∵ ， ， ， ，
∴ ，
，，
∴
【变式训练4】规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[ ]＝0，[ ]＝3，[ ]＝
1，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题：
(1)[ ]＝ ， 的小数部分为 ；
(2)已知a，b分别是 的整数部分和小数部分，求 的值．
【答案】(1)2，
(2)
【详解】（1）解：
4，
∵36＜40＜49，
∴6 7，
∴2 4＜3，
∴原式的整数部分是2，小数部分为 ，
故答案为：2， ；
（2）解：∵4＜5＜9，
∴2 3，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
．类型三、新定义问题
例．定义：若无理数 （ 为正整数）： （其中 为满足不等式的最大整数，
为满足不等式的最小整数），则称无理数 的“雅区间”为 ．例如：因为
，所以 ，所以 的“雅区间”为 ，所以 的雅区间为 ．
解答下列问题：
(1) 的“雅区间”是___________； 的“雅区间”是___________．
(2)若无理数 （ 为正整数）的“雅区间”为 ， 的“雅区间”为 ，
求 的值．
【答案】(1) ，
(2)2或
【详解】（1）解： ，
，
的雅区间为 ，
，
，
的雅区间为 ，
故答案为： ， ；
（2）解： 无理数 （ 为正整数）的“雅区间”为 ， ，即
，
可能为5,6,7,8，
又 的“雅区间”为 ，
即 ，
为7或8，
当 时， ，
当 时， ．
【变式训练1】若 是一个大于11两位数，与它相邻的11的整数倍的数为它的“邻居
数”，与它最接近的“邻居数”为“最佳邻居数”， 的“最佳邻居数”记作 ，令
；若 是一个大于111的三位数，它的“邻居数”则为111的整数倍，依此
类推．例如：50的“邻居数”为44与55， ， ，∵ ，55为50的
“最佳邻居数”，∴ ，再如：492的“邻居数”为444和555， ， ，
∵ ，∴444是492的“最佳邻居数”，∴ ．
(1)求 和 的值；
(2)若 为一个两位数，十位数字为 ，个位数字为 ，且 ．求
的值．
【答案】(1) ，
(2)73或94
【详解】（1）∵83的邻居数为77和88，
∴ ， ，
∵ ，
∴88是83的邻居数，
∴ ，
∵144的邻居数为111和222，
∴ ， ，
∵ ，
∴111是144的邻居数，
；
（2）∵ ，且 ， ，
∴ 必大于33，
∴ 不会再300与366之间，∴ ，
情况1，当 的最佳邻居数为333时， ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，且为整数，∴ ，∴ ，
情况2，当 的最佳邻居数为444时，
，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
综上所述， 的值为73或94．
【变式训练2】对任意一个三位正整数n，如果n满足百位上的数字小于十位上的数字，且
百位上的数字与十位上的数字之和等于个位上的数字，那么称这个数n为“望岳数”．“望岳数”n的各个数位上的数字之和的算术平方根的结果记为 ．例如： ，满
足 ，且 ，所以134是“望岳数”， ；例如： ，
满足 ，但是 ，所以237不是“望岳数”；再如： ，满足 ，但是
，所以415不是“望岳数”．
(1)判断347和157是不是“望岳数”，并说明理由；
(2)若t是“望岳数”，且t的3倍与t中十位数字的4倍的和能被11整除，求满足条件的
“望岳数”t以及 的最大值．
【答案】(1)347是“望岳数”，157不是“望岳数”，理由见解析
(2)综上，满足条件的“望岳数”t有145，459， 的最大值为
【详解】（1）解：347是“望岳数”；理由如下：
∵ ，且 ，
∴347是“望岳数”；
157不是“望岳数”，理由如下：
∵ ，但 ，
∴157不是“望岳数”；
（2）解：设t的百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为 ，
则 ，
t的3倍与t中十位数字的4倍的和为：
，
由题可知， ，且 ，a，b均为正整数，
①当 时，
∵ 能被11整除，
∴ ，
此时 ， ，
②当 时，
没有b值使 能被11整除，
③当 时，
没有b值使 能被11整除，
④当 时，
∵ 能被11整除，
∴ ，
此时 ， ，综上，满足条件的“望岳数”t有145，459， 的最大值为 ．
【变式训练3】下面是小明探索 的近似值的过程：
我们知道面积是2的正方形的边长是 ，易知 ．因此可设 ，画出如下示
意图．
由图中面积计算，
另一方面由题意知
所以
略去 ，得方程 ．
解得 ．即 ．
(1)仿照上述方法，探究 的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
(2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若 ，且 ，请估算
___________．（用a、b的代数式表示）
【答案】(1)2.25，见解析
(2)
【详解】（1）解：面积是5的正方形的边长是 ，
设 ，如图，面积为5的正方形分成2个小正方形和2个矩形，
∵ ，
而 ，
∴ ，
略去 ，得方程 ，解得 ，
即 ．（2）解：设 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
解得 ，∴ ，故答案为： ．
类型四、规律性问题
例．对于实数a，我们规定，用符号 表示不大于 的最大整数，称 为a的根整数，
例如： ， ，
(1)仿照以上方法计算： _____； =_____；
(2)计算： ；
(3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，例如，对10连续求根整数2次，即
，这时候结果为1，那么只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的
所有正整数中，最大的是______．
【答案】(1)2；6
(2)131
(3)255
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2；6；
（2）解：∵ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，∴ ， ， ， ，
∴ 刚好经过4次操作后的结果为1，
∵ ， ， ，
∴ 刚好经过3次操作后的结果为1，
∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255，
故答案为：255．
【变式训练1】先观察下列等式，再回答问题：
① ；
② ；
③ ．
(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想 ______．
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可 表示不超过a的最大整数，如 ， ，计算：
的值
【答案】(1)
(2) ，49
【详解】（1）解： ；
（2）由题干信息归纳可得：
，
∴．
【变式训练2】观察表格，回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
(1)表格中 ________， ________；
(2)从表格中探究a与 数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知 ，则 ________；
②已知 ，若 ，用含m的代数式表示b，则 ________；
(3)试比较 与a的大小．
当________时， ；当________时， ；当________时， ．
【答案】(1)0.1；10；
(2)①31.6；② ；
(3) ， 或0， ．
【详解】（1）解： ， ．
故答案为：0.1；10；
（2）解：①根据题意得： ．
②结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，
．
故答案为：31.6； ；
（3）解：当 或1时， ；
当 时， ；
当 或0时， ；
当 时， ，
故答案为： ， 或0， ．
【变式训练3】我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂
志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算
的奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗?
下面是小超的探究过程，请补充完整：
(1)求 ；①由 ， ，可以确定 是___________位数；
②由24389的个位上的数字是9，可以确定 的个位上的数字是___________；
③如果划去24389后面的三位389得到数24，而 ， ，可以确定 的十位
上的数字是___________；由此求得 ____________．
(2)已知185193也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得 ___________．
【答案】(1)两；9；2、29
(2)57
【解析】（1）
解：① ，
，
是两位数；
② 24389的个位上的数字是9，数字0-9中只有数字9的立方的个位数是9，
个位上的数字是9；
③ ， ， ，
十位上的数字是2，
．
（2）
，
，
是两位数；
185193的个位上的数字是3，数字0-9中只有数字7的立方的个位数是3，
个位上的数字是7；
划去185193后面的三位193得到数185，
， ， ，
十位上的数字是5，
，
故答案为：57．
