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第24章 圆（培优卷）
一．选择题（每小题3分，共24分）
1.在平面直角坐标系中，原点为O，点P在函数 的图象上，以点P为圆心，以OP为半径的圆与
直线 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．三种情况均有可能
【答案】B
【解析】解：设 ，
，
抛物线的顶点坐标为 ，
点在直线 的上方，
点到直线 的距离为 ，
点到直线 的距离等于圆的半径，
以点 为圆心，以 为半径的圆与直线 的位置关系是相切．
故选：B．
2.如图，一个圆弧形桥拱，其跨度 为10米，拱高 为1米．求桥拱的半径．（ ）
A．6 B．10 C．12 D．13
【答案】D
【解析】解：设半径为R，根据勾股定理得 ,
∵ ,∴ ，解得
故选D
3.如图， 是半圆 的直径， ，点 在线段 上运动，总保持 交⊙ 于点 ，则
的度数可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接BC，作 交半圆于点
由AC是圆O的直径，
∴∠ABC = 90°．
①当点P与点O重合时，有PM⊥AB，即OM⊥AB．
1
连接AM，则AO=OM
1 1．
∵∠BAC = 60°，∴∠AOM = 30°∴∠AMO = (180° - 30°) = 75°．
1
此时∠AMP=75°．
②当点P与点C重合时，则M与点B重合，此时∠AMP=∠ABC=90°．
2
∵对于线段OC上任意一点P，均有PM//BC
即∠MPA＝∠BCA=30°
∴∠AMP = 180°–∠MPA–∠MAP= 150°–∠MAP
随着P点从O运动到C，∠MAP逐渐变小，
因此∠AMP逐渐变大，∴75° ≤∠AMP ≤ 90°，可知76°符合题意．
故选：D．
4.如图，AB，CD是 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知 ， ，则 的度数是
（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°【答案】C
【解析】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ．
∴ 的度数20°．
故选：C．
5.如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若 ， ，则点C沿弧从
点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【解析】连接OC、OP，
∵OB=OC，∴△BOC为等腰三角形，
∵P为BC中点，∴OP⊥BC（三线合一），即∠OPB=90°，
∴点P是在以OB的中点D为圆心，BD为半径的圆上运动，如图所示，
当点C运动到点A时，点P到达 位置，
点P所经过的路径长为 ，
连接 ，∵D为OB中点， 为AB中点，∴ ∥OA，∴ = ，BD= OA=3，
∴ ，即点P所经过的路径长为 ，
故选：B．6.如图，⊙O的半径为1，点A、B、C、D在⊙O上，且四边形ABCD是矩形，点P是劣弧AD上一动点，
PB、PC分别与AD相交于点E、点F．当PA＝AB且AE＝EF＝FD时，AE的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：连接AC、BD，
∵PA＝AB，∴∠ABP＝∠APB，
∵∠ABP＝∠ACP，∠APB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ACP，
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ACP＝∠DAC，∴AF＝CF，
∵AE＝EF＝FD，∴AF=DE=CF，则FC＝2FD，
设FD＝x，则FC＝AF＝2x，
∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝∠ADC=∠BCD＝90°，∴AC为⊙O的直径，
在Rt△DFC中，FC＝2FD，∴∠DCF＝30°，∴∠ACB＝∠ACP＝30°，
∵⊙O的半径为1，∴AC＝2，
∴AB＝1，BC ，∴AD＝BC ，
∵AE＝EF＝FD，∴AE ．
故选：A.
7.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4 ，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点E，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4π﹣8 B．8π﹣8 C．8π﹣16 D．16π﹣16
【答案】C
【解析】过点A作AD⊥BC交于点D，如图所示，
∵∠BAC=90°，AB=AC= ，
∴点D为BC中点， ，∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=4，
∴ = = ，
故选：C．
8.如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线
段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0），
则点O是AA'的中点，
又∵点M是AC的中点，∴OM是△AA'C的中位线，∴OM= ，
∴当A'C最大时，OM最大，
∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，
∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动，
∴当A'C经过圆心B时，AC最大，即点C在图中C'位置．
A'C'＝AB+BC'＝3 ．
∴OM的最大值 ．
故选：A．
二．填空题（每小题2分，共16分）
9.如图，已知矩形 的边 ， ，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，
且至少有一点在圆外，那么 半径r的取值范围是_________．
【答案】6<r<10
【解析】解：连接AC，如图，∵ ， ，
由勾股定理可得： ，
∵ ， ，AC=10，
又∵B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，∴点B在 内，点C在 外，
∴6<r<10．
故答案为：6<r<10．
10.如图，△ABC内接于⊙O， 将 沿BC翻折， 交AC与点D， 连接BD， 若∠BAC＝68°，则
∠ABD＝____．
【答案】44°
【解析】解：∵将 沿BC翻折， 交AC与点D，
∴∠A+∠BDC=180°，
∵∠A=68°，∴∠BDC=112°，∴∠ADB=180°-∠BDC=68°，
∴∠ABD=180°-68°-68°=44°，
故答案为：44°．
11.如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2，以 AB为直径画半圆；以点B为圆心，BC长为
半径画弧，交AB于点D，则阴影部分面积为 ______．（结果保留π）
【答案】
【解析】解：如图，以 为直径的半圆圆心是 ，连接 ，过点 作 于 ，在 中， ， ， ，
， ， ，
， ， 是等边三角形，
，
．
故答案为： ．
12.如图，在半径为1的扇形AOB中， ，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合）
， ，垂足分别为C，D，则CD的长为________．
【答案】
【解析】解：连接AB，如图，
∵OA=OB=1，∠AOB=90°，∴AB= OA= ，
∵OC⊥AP，OD⊥BP，∴AC=PC，BD=PD，∴CD为△PAB的中位线，∴CD= AB= ．故答案为： ．
13.如图，已知点G是正六边形 对角线 上的一点，满足 ，联结 ，如果 的面
积为1，那么 的面积等于_______.
【答案】4
【解析】解：如图，连接CE，
， ，
六边形 是正六边形，
AB=AF=EF=BC， ，
， ，
， ，
四边形BCEF是平行四边形， ，
的面积为1， ， 的面积为 ，
故答案为4．
14.如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交于点E，则 的长为_____________．
【答案】
【解析】解：如图所示：连接 、 、 ，
∵ ，∴ 是直径， ∴ ，
根据网格图形可知：
， ，∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ， ，∴ ，
∴ 所对的圆心角是90°，∴ 的长为以 为直径的圆周长的 ，
即 ．
故答案为： ．
15.一动点 在二次函数 的图像上自由滑动，若以点 为圆心，1为半径的圆与坐标轴相切，
则点 的坐标为______．
【答案】 或 或
【解析】解：如图所示：则可分两种情况：
①当 与x轴相切时，则点P的纵坐标为1，令 ，
解得 ， ，
此时点P的坐标为： 或 ，
②当 与y轴相切时，点P的横坐标为1或-1，则此时点P的坐标为： 或 ，
综上所述：点P的坐标为： 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
16.如图，四边形ABCD是边长为 的正方形，曲线DABC DA …是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．
1 1 1 1 2
其中，弧DA 的圆心为A，半径为AD；弧AB 的圆心为B，半径为BA；弧BC 的圆心为C，半径为
1 1 1 1 1 1
CB ；弧C D 的圆心为D，半径为DC …．弧DA、弧AB、弧BC 、弧C D…的圆心依次按点A、B、
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
C、D循环，则弧C D 的长是___________（结果保留π）．
2022 2022
【答案】2022π
【解析】根据题意有： 的半径 ，
的半径 ，
的半径 ，的半径 ，
的半径 ，
的半径 ，
的半径 ，
的半径 ，
．．．
以此类推可知，故弧 的半径为： ，
即弧 的半径为： ，
即弧 的长度为： ，
故答案为： ．
三．解答题（共60分）
17.（6分）如图，以 的边 的长为直径作 ，交 于点D，若 ，求证： 是
的切线．
【答案】见解析
【解析】证明：∵BC为 的直径，∴∠BDC＝∠BDA＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°，
∵ ，∴ ，即 ，
∴AB⊥BC，∴ 是 的切线．
18.（8分）如图，在⊙O中，直径AB＝2， ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于点D，若∠C＝45°，求：(1)BD的长为多少？
(2)求阴影部分的面积．
【答案】(1) ；(2)1
【解析】解∶如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC．
又∵∠BAC＝90°，∠C＝45°，∴∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∴BD＝CD， ，
∴AD＝BD＝CD＝ ；
（2）解：∵AD=BD，
∴BD⏜=AD⏜，
∴弓形BD的面积＝弓形AD的面积，
∴阴影部分的面积＝Rt△ADC的面积＝ ．
19.（8分）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点
D作⊙O的切线交BC于点E．
(1)求证：AF=CE；(2)若BF=2， ，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】（1）证明：如图，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．
∵DE是⊙O的切线，∴∠ADE=90°．
∵AD∥BC，∴∠CED=∠ADE=90°．
∵AD是⊙O的直径，∴∠DFA=90°．∴∠AFD=∠CED=90°．
在△DAF和△DCE中， ，
∴△DAF≌△DCE（AAS）．∴AF=CE．
（2）解：如图，连接AH，DF，
∵AD是⊙O的直径，∴∠AHD=∠DFA=90°．
∵AD=AB， ，∴ ．
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
由勾股定理，得DF2=AD2－AF2，DF2=BD2－BF2，
∴AD2－AF2=BD2－BF2．∴AD2－（AD－BF）2=BD2－BF2．
∴ ．∴AD=5．
∴⊙O的半径为 ．
20.（8分）已知 内接于 ，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出 的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图1， 是 边的中点；
(2)如图2，直线 与 相切于点 ，且 ．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】(1)解：如图所示， 即为所求；
(2)解：如图所示， 即为所求．
21.（10分）如图， 是 的内切圆，切点分别是 、 、 ．已知 ， ，
(1)则 的度数 __________°．
(2)连接 、 ，则 的度数 __________°．
(3)连接 ，若 的周长为 ，求 的长．
【答案】(1)60；(2)120；(3)4cm【解析】(1)解：∵ 是 的内切圆，切点分别是 、 、
∴∠BDO=∠BEO=90°，∴∠BDO+∠BEO=180°
∵∠B=180°-∠A-∠C=180-100°-20°=60°，∴∠DOE=180°-∠B=180°-60°=120°，
又∵ ，∴∠DFE= ∠DOE=60°，
故答案为：60；
(2)如图，连接 ，
∵ 是 的内切圆，切点分别是 、 、 ，∴CE=CF，AD=AF，
∴∠FAO=∠DAO= ∠DAF=50°，∠FCO=∠ECO= ∠ECF=10°，
∴∠AOC=180°-∠FAO-∠FCO=120°，
故答案为：120；
(3)如图，连接DE，
∵ 是 的内切圆，切点分别是 、 、 ，
∴CE=CF，AD=AF，BD=BE，
设AD=AF=a，BD=BE=b，CE=CF=c，
∵ 的周长为 ，∴ ，a+c=6 ，
∴b=4 ，即BD=BE=4 ，
∵BD=BE， ∠B=60°，∴ 是等边三角形， =4 ．
22.（10分）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形
是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．已知点M、N是线段AB的勾股点．(1)若AM＝1，MN＝2，则BN＝ ；
(2)如图2，DE是△ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），连接CM、CN分别交DE
于点G、H．求证：G、H是线段DE的勾股点．
(3)如图3，C，D是线段AB的勾股点(AC<BD<CD)，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连接
PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．
【答案】(1) 或 ；(2)见解析；(3)
【解析】（1）解：∵点M、N是线段AB的勾股点，
∴ 或
∴BN的长为 ；
故答案为： ；
（2）证明：如图2，
∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，CD＝AD，CE＝BE，
∴CG＝GM，CH＝HN，∴DG＝ AM，GH＝ MN，EH＝ BN，
∵M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），∴BN2＝MN2+AM2，∴ BN2＝ MN2+ AM2，∴（ BN）2＝（ MN）2+（ AM）2，
∴EH2＝GH2+DG2，
∴G、H是线段DE的勾股点；
（3）解：如图3，连接PD，
∵AC＝PC，∴∠A＝∠APC，∴∠PCD＝2∠A，
∵C，D是线段AB的勾股点，∴AC2+BD2＝CD2，∴PC2+BD2＝CD2，
∵CD是⊙O的直径，∴∠CPD＝90°，∴PC2+PD2＝CD2，∴PD＝BD，∴∠PDC＝2∠B，
∵∠A＝2∠B，∴∠PDC＝∠A，
在Rt△PCD中，∵∠PCD+∠PDC＝90°，∴2∠A+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∴∠B＝ ∠A＝15°．
23.（10分）数学活动——旋转变换
(1)如图①，在 中， ，将 绕点C逆时针旋转50°得到 ，连接 ，求
的大小；
(2)如图②，在 中， ， ， ，将 绕点C逆时针旋转60°得到 ，连
接 ，以 为圆心， 长为半径作圆．
①猜想：直线 与 的位置关系，并证明你的结论；
②连接 ，线段 的长度为______．
【答案】(1)65°；(2)①直线 是 的切线，理由见解析；②
【解析】（1）解：如图①中，∵ 是由 旋转得到，∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．
（2）解：①结论：直线 是 的切线．
理由：如图②中，∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．
∴ ，∴直线 、是 的切线；
②在 中， ＝90°，B ＝BC＝5，A ＝AB＝3，
由勾股定理得， B＝ ．
