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第 6 章 实数（培优篇）
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1． 的立方根是 （ ）
A．2 B． 2 C．8 D．-8
2．一个自然数的一个平方根是 ，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． =﹣4 B． =±4 C． =﹣4 D． =﹣4
4．用计算器探索：已知按一定规律排列的20个数：1， ， ，…， ， ．如
果从中选出若干个数，使它们的和＜1，那么选取的数的个数最多是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
5．已知 表示取三个数中最小的那个数．例如：当 时，
，当 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，若 ，则A，B，C，D四个
点中可能是原点的为（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
7．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为 时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为 ；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中错误的是（ ）
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
8．满足 >0.99的最小整数n的值是( )
A．48 B．49 C．50 D．51
9．设a= ，b= ，c= ，则a，b，c之间的大小关系是（
）
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b
10．无理数 在两个相邻的整数之间的是 ( )
A．5和6 B．4和5 C．3和4 D．2和3
11．设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则[ ]+[ ]+[ ]+…+[ ]=（
）
A．132 B．146 C．161 D．666
12．观察下列算式： ， ，，…，它有一定的规律性，把第 个算式的结果记为 ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．若（a﹣1）2与 互为相反数，则a2018+b2019＝_____．
14．已知 的小数部分是 ， 的小数部分是 ，则 ________．
15．已知 ﹣2x﹣1＝0，则x＝_____．
16．如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为
半径，作圆交数轴于点 、 ，则点 表示的数为______.
17．对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ ]=1．现对72进行如
下操作：72 [ ]=8 [ ]=2 [ ]=1，类似地，只需进行3次操作后
变为1的所有正整数中，最大的是________．
18．将 按下列方式排列，若规定 表示第 排从左向右第 个数，则
（20，9）表示的数的相反数是___三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（8分）
（1）计算： ； （2）求式中的x：(x＋4)2＝81．
20．（8分）计算下列各题：
（1）计算： ； （2）计算：3× ﹣（2＋ ）（2﹣ ）＋| ﹣
|．
21．（10分）小丽想用一块面积为 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为
的长方形纸片，使它的长宽之比为 ．她的想法能实现吗？为什么？
22．（10分）解决问题：已知 是 的整数部分， 是 的小数部分．
（1）求 ， 的值；
（2）求 的平方根，提示： ．23．（12分）（1）表示实数 ， 的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式
的值．
（2）如果 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，求 的值．
24．（12分）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形
拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；
（2）请你参照上面的方法：
①把图3中 的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4
的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长 ___________．（注：小正方形
边长都为1，拼接不重叠也无空隙）②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及 ．（图中
标出必要线段的长）
参考答案
1．A
【详解】
先根据算术平方根的意义，求得 =8，然后根据立方根的意义，求得其立方根为2.
故选A.
2．D
【分析】
根据平方根定义得原数为a2，故相邻的下一个自然数是a2+1，再求得平方根即可.
【详解】
根据题意，平方根为a是数a2，则与它相邻的下一个自然数是a2+1，所以它的平方根是
，故此题选择D.
【点拨】此题考察平方根定义，这里准确确定被开方数是解题关键.
3．D
【详解】试题分析：根据二次根式的意义，可知被开方数为非负数，因此A不正确；根据算术平方
根是平方根中带正号的，故B不正确；根据二次根式的性质 可知
=4，故C不正确；根据立方根的意义可知 =-4，故D正确.
故选D
4．A
【详解】
用计算器对上述各数进行计算，部分计算结果列于下表中. (计算值精确到0.001)
原数 1 …
计算值 1.000 0.707 0.577 … 0.236 0.229 0.224
由计算结果可知，这20个数按题目中给出的顺序依次减小. 由于选出的数的和应小于1，
所以应该从最小的数开始依次选取若干个数才能满足选取的数的个数最多的要求.
因为 ，
而 ，
所以选取的数最多是4个.
故本题应选A.
点睛：
本题综合考查了计算器的使用和规律的分析与探索. 本题解题的关键在于结合各个数的计
算值总结出这一系列数的变化规律. 在解决这一类型题目的时候，要注意先分析规律再利
用所得的规律和题意寻找突破口. 盲目尝试不仅费时费力而且容易出错.
5．C
【分析】
本题分别计算 的x值，找到满足条件的x值即可．
【详解】解：当 时， ， ，不合题意；
当 时， ，当 时， ，不合题意；
当 时， ， ，符合题意；
当 时， ， ，不合题意，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分
类思想的运用．
6．D
【分析】
分①若原点的位置为A点时，②若原点的位置为B点或C点时，③若原点的位置为D点时，
结合有理数的加法法则和点在数轴上的位置分析即可得出正确选项．
【详解】
解：根据数轴可知 ，
①若原点的位置为A点时，x＞0，则 ， ， ，
∴ ，舍去；
②若原点的位置为B点或C点时， ，
则 或 ， ，
∴ ，舍去；
③若原点的位置为D点时，
则 ，
∴ ，符合条件，
∴最有可能是原点的是D点，
故选：D．【点拨】本题考查实数与数轴，有理数的加法法则，化简绝对值．熟记有理数的加法法则
是解题关键．
7．D
【分析】
根据运算规则即可求解．
【详解】
解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时， ，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说
法错误；
④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开
方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
8．【答案】C
【解析】由题意可知被开方数无限接近1，根据算术平方根的意义，可知
，当n=50时， ， ，因此可知最小整数n为50.
故选C.
9．A
解：∵a2=2000+2 ，
b2=2000+2 ，
c2=4000=2000+2×1000，
1003×997=1 000 000-9=999 991，
1001×999=1 000 000-1=999 999，
10002=1 000 000．
∴c＞b＞a．
故选A．【点拨】本题考查了估算无理数的大小及实数大小比较的知识，这里注意比较数的大小可
以用平方法，两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差
公式．
10．D
【详解】
试题分析：由题意分析可知，本题中主要考查 与相邻数字的知识，由题知，
，所以 ，故该无理数在2和3之间，
所以选D
考点：无理数大小的比较
点评：本题属于对无理数和整数的基本大小以及变换的基本知识的考查
11．B
【详解】
分析：先计算出1.52，2.52，3.52，4.52，5.52，即可得出[ ]+[ ]+[ ]+…+[ ]中有2
个1，4个2，6个3，8个4，10个5，6个6，从而可得出答案．
详解：1.52=2.25，可得出有2个1；
2.52=6.25，可得出有4个2；
3.52=12.25，可得出有6个3；
4.52=20.25，可得出有8个4；
5.52=30.25，可得出有10个5；
则剩余6个数全为6.
故[ ]+[ ]+[ ]+…+[ ]=1×2+2×4+3×6+4×8+5×10+6×6=146.
故选B.
点睛本题考查了估算无理数的大小.
12．C
【分析】
先通过观察找出第n个算式的规律为n(n+3)，写出所得代数式；再找出所求代数式的规律，
按照裂项法展开计算即可．
【详解】解：∵ =1×4+1，
=2×5+1，
=3×6+1，…，
观察以上各式发现规律，由规律可知：a=4×7+1，a=5×8+1，a=6×9+1，a=7×10+1
4 5 6 7
a=n·(n+3)+1
n
验证：a=
4
故依次为：a=5×8+1，a=6×9+1，a=7×10+1
5 6 7
∴a=n·(n+3)+1
n
∴
=
=
=
=
故选：C
【点拨】本题考查了规律型的数字在二次根式中的应用，观察出数字规律或正确计算出相
关项并采用裂项法是进行快速计算的关键．
13．0
【分析】
根据相反数的概念和非负数的性质列出方程，求出a、b的值，最后代入所求代数式计算即
可．
【详解】
解：由题意得，（a﹣1）2+ ＝0，则a﹣1＝0，b+1＝0，
解得，a＝1，b＝﹣1，
则a2018+b2019＝12018+（﹣1）2019＝1+（﹣1）＝0，
故答案为：0．
【点拨】本题考查了相反数的性质和算术平方根非负性的性质，正确运用算术平方根非负
性的性质是解答本题的关键．
14．1
【分析】
根据4＜7＜9可得，2＜ ＜3，从而有7＜5+ ＜8，由此可得出5+ 的整数部分是
7，小数部分a用5+ 减去其整数部分即可，同理可得b的值，再将a，b的值代入所求式
子即可得出结果．
【详解】
解：∵4＜7＜9，
∴2＜ ＜3，∴-3＜- ＜-2，
∴7＜5+ ＜8，2＜5- ＜3，
∴5+ 的整数部分是7，5- 的整数部分为2，
∴a=5+ -7= -2，b=5- -2=3- ，
∴ 12019=1．
故答案为：1．
【点拨】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各数的小数部分是解题关键．
15．0或﹣1或﹣
【分析】
将原方程变形得到 ＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1
或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案.
【详解】∵ ﹣2x﹣1＝0，
∴ ＝2x+1，
∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0，
解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣ ．
故答案为：0或﹣1或﹣ ．
【点拨】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关
键.
16． .
【分析】
利用正方形的面积公式求出正方形的边长，再求出原点到点A的距离（即点A的绝对值），
然后根据数轴上原点左边的数为负数即可求出点A表示的数.
【详解】
∵正方形的面积为3，
∴正方形的边长为 ，
∴A点距离0的距离为
∴点A表示的数为 .
【点拨】本题考查实数与数轴，解决本题时需注意圆的半径即是点A到1的距离，而求A
点表示的数时，需求出A点到原点的距离即A点的绝对值，再根据绝对值的性质和数轴上
点的特征求解.
17．255
【详解】
解：∵[ ]=1，[ ]=3，[ ]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，
最大的是255．故答案为255．
点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．18．
【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，
…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根
据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后
再计算．
【详解】
（20，9）表示第20排从左向右第9个数是从头开始的第1+2+3+4+…+19+9=199个数，
∵ ，即1， ， ， 中第三个数 ： ，
∴ 的相反数为
故答案为 ．
【点拨】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题
目找准变化是关键．
19．（1） ；（2） 或
【分析】
（1）分别计算算术平方根、立方根、绝对值，再进行加减即可；
（2）根据平方根的意义，计算出x的值．
【详解】
解：（1）原式
；
（2）由平方根的意义得：
或
∴ 或 ．
【点拨】本题考查了平方根意义和实数的运算．题目难度不大，掌握平方根、立方根、绝
对值的意义是解决本题的关键．
20．（1）2；（2）【分析】
（1）根据负指数幂，绝对值的性质和二次根式化简计算即可；
（2）根据平方差公式和二次根式的性质计算即可；
【详解】
（1）原式 ；
（2）原式 ；
【点拨】本题主要考查了实数混合运算，结合负指数幂，平方差公式，绝对值性质计算是
解题的关键．
21．能
【分析】
设裁出长方形纸片的长为 ，则它的宽为 ，根据面积公式列出方程解答即可求出 的值，
再代入长宽的表达式，看是否符合条件即可．
【详解】
解：能实现．
设裁出长方形纸片的长为 ，宽为 ，
则 ，
， ，
长方形的长为 ．
∵面积为 的正方形边长为 ，
∵
∴ ，
这一想法能实现．
【点拨】解答本题的关键是列出方程，根据算术平方根定义求出解后，对照题意比较裁出
长方形纸片的长与原正方形的边长大小即可．
22．（1） ， ；（2）±4【分析】
(1)先确定 在哪两个整数之间，再确定 ， 的值即可；
(2)把 ， 的值代入求出式子的值，再求平方根即可．
【详解】
解:(1)∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
(2) ，
∴ 的平方根是： ．
【点拨】本题考查了算术平方根的估算和求平方根，解题关键是准确的确定一个数的算术
平方根的整数部分和小数部分，注意：一个正数的平方根有两个．
23．（1） ；（2）
【分析】
（1）根据数轴上a的位置，判断出a，b的取值范围，然后代入所求的式子中进行化简；
（2）先估算出 与 的大小，从而得到a、b的值，然后代入计算即可．
【详解】
解：（1）由数轴知a-1＞0，a-2＜0，b＜0，
∴
；
（2）∵ ， ，
∴ ， ，∴ ．
【点拨】本题考查了估算无理数的大小及实数与数轴，熟练掌握估算无理数的方法以及会
根据数轴判定实数的大小是解题的关键．
24．（1） ， ；（2）①图见解析， ；②见解析
【分析】
（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数
（2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可；
（3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度
画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N．
【详解】
（1）由图1知，小正方形的对角线长是 ，
∴图2中点A表示的数是 ，点B表示的数是 ，
故答案是： ， ；
（2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，
∴正方形的边长是 ，
如图所示：
故答案是： ；
②如图所示：【点拨】本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方
法进行求解．
