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期中复习与测试（2）
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．二次根式 中字母x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≠2 C．x≥2 D．x≤2
2．如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点 ．“馬”位于点 ，
则“兵”位于点（ ）
A． B．
C． D．
3．如图， ， ， 平分 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（11·柳州）在平面直角坐标系中，将点A (－2，1)向左平移2个单位到点Q，则点Q
的坐标为
A．(－2，3) B．(0，1) C．(－4，1) D．(－4，－1)
5．下列各数中，与 的积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系 中，将四边形 向下平移，再向右平移得到四边形，已知 ，则点 坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，
那么∠2的度数是（ ）
A．30° B．25°
C．20° D．15°
8．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示 的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
9．如图，一束光线 先后经平面镜 ， 反射后，反射光线 与 平行，当
时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．10．如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．36° B．34° C．32° D．30°
11．已知a＝ ﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜＜5
12．将一副三角尺如图摆放，点E在 上，点D在 的延长线上，
，则 的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13． =_________ ．
14．如图： ， ， ， ，则 __．
15．如图，在 中，D，E，F分别是 上的点，且 ． 把
分成 的两部分． ，则 的度数是__________．16．如图，在三角形ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上的高AD＝4，若点P在边AC上
（不与点A，C重合）移动，则线段BP最短时的长为_________________．
17．已知： ，其中x是整数，且0<y<1，则x-y=______．
18．如图，在平面直角坐标系中，从点P(-2,0)，P(-2,-2)，P(2,-2)，P(2,2)，P(-4,2)，
1 2 3 4 5
P(-4,-4)，…，依次扩展下去，则P 的坐标为 _____．
6 2021
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（10分）（1）计算： （2）计算：20．（8分）我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段
作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根
据图形回答下列问题：
(1)线段OA的长度是多少?(要求写出求解过程)
(2)这个图形的目的是为了说明什么?
(3)这种研究和解决问题的方式体现了 的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横
线上)
A．数形结合 B．代入 C．换元 D．归纳
21．（10分）推理填空．
如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°．
将求∠AGD的过程填写完整．
因为EF∥AD，
所以∠2＝____________（___________________________）
又因为∠1＝∠2
所以∠1＝∠3（____________）
所以AB∥____________（____________）
所以∠BAC＋____________＝180°（____________）
因为∠BAC＝70°所以∠AGD＝____________
22．（10分）如图，将 向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到
．
（1）请画出平移后的图形 ．
（2）并写出 各顶点的坐标．
（3）求出 的面积．
23．（10分）如图，已知 ，且 与 ， 分别交于A，B两点，点P在直线AB上.
（1）当点P在A，B两点之间运动时，求 ， ， 之间的数量关系，并说明理由.
（2）如果点P在A，B两点外侧运动，试探究 ， ， 之间的数量关系（点P与A，
B不重合），并说明理由.24．（12分）如图、在平面直角坐标系中，点 、 的坐标分别为 、 ，且实
数 ， 满足 ．
（1）求 、 两点的坐标；
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点 ， 同时出发， 点从 点出发沿 轴负方向以每
秒2个单位长度的速度匀速移动， 点从 点出发沿 轴正方向以每秒1个单位长度的速
度匀速移动，点 到达 点整个运动随之结束， 的中点 的坐标是 ，设运动时间
为 秒，是否存在这样的 ，使得 的面积等于 面积的2倍?若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，若 ，点 是第二象限中一点，并且 轴
平分 ，点 是线段 上一动点，连接 交 于点 ，当点 在线段 上运动的过程中，探究 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内
角和为180°可以直接使用）．
参考答案
1．C
【解析】
根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【详解】
由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：C．
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式
无意义．
2．C
【解析】
【详解】
试题解析：如图，“兵”位于点(−3,1).
故选C.
3．B
【解析】
【分析】
由题意易得 ，然后根据角平分线的定义可得 ，进而根据平行
线的性质可求解．
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
【点拨】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及角平分
线的定义是解题的关键．
4．C
【解析】
【详解】
由题意可知：平移后点的横坐标为-2-2=-4；纵坐标不变，∴平移后点的坐标为（-4，1）．
故选C．
5．C
【解析】
【分析】
根据实数运算的法则对各选项进行逐一计算作出判断．
【详解】解： A、 ，是无理数，故本选项错误；
B、 ，是无理数，故本选项错误；
C、 ，是有理数，故本选项正确；
D、 ，是无理数，故本选项错误．
故选C．
6．B
【解析】
【分析】
根据A和A 的坐标得出四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边
1
形 ，则B的平移方法与A点相同，即可得到答案．
【详解】
图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化. A（－3，5）到A
1
（3，3）得向右平移3－（－3）＝6个单位，向下平移5－3＝2个单位.所以B（－4，3）
平移后B （2，1）.
1
故选B.
【点拨】此题考查图形的平移.，掌握平移的性质是解题关键
7．B
【解析】
【详解】
根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，
8．C
【解析】
【详解】
试题分析：2．62=6．76；2．72=7．29；2．82=7．84；2．92=8．41．
∵ 7．84＜8＜8．41，∴2．82＜8＜2．92，∴2．8＜ ＜2．9，
所以 应在③段上．故选C
考点：实数与数轴的关系
9．B
【解析】
【分析】
过点B作 ，过点C作 ， 与 相交于点E；根据余角性质计算得
；根据平行线性质，得 ，结合角平分线性质，计算得 ；再根据余角性
质计算，即可得到答案．
【详解】
如下图，过点B作 ，过点C作 ， 与 相交于点E
∵ ，
∴
∴
∵ 与 平行
∴
∵ ，
∴
∴
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线、角平分线、垂线、余角的知识；解题的关键是熟练掌握平行
线的性质，从而完成求解．
10．A
【解析】
【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出
∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直
线平行，内错角相等”可求出∠C的度数．
【详解】
解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠A＝54°，
∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．
又∵EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF＝36°．
故选：A．
【点拨】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
11．B
【解析】
【分析】
先估算出 的范围，即可求得答案．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ 在2和3之间，即2＜a＜3．
故选：B．
【点拨】本题考查了估算无理数的大小，能估算出 的范围是解题关键．
12．A【解析】
【分析】
根据三角板的特点可知∠ACB=45°、∠DEF=30°，根据 可知∠CEF=∠ACB=45°，最
后运用角的和差即可解答．
【详解】
解：由三角板的特点可知∠ACB=45°、∠DEF=30°
∵
∴∠CEF=∠ACB=45°，
∴∠CED=∠CEF-∠DEF=45°-30°=15°．
故答案为A．
【点拨】本题考查了三角板的特点、平行线的性质以及角的和差，其中掌握平行线的性质
是解答本题的关键．
13．
【解析】
【分析】
根据绝对值的意义化简即可．
【详解】
解：∵ ＜0，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了无理数的估算，解题关键是判断绝对值符合内的数是正是负，再进行
化简．
14．
【解析】
【分析】
利用两直线平行，同旁内角互补，垂直的定义，方程的思想求解即可．
【详解】
解：连接 ，设 ， ， ， ，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，方程的思想，熟练应用平行线的性质，
科学引入未知数是解题的关键．
15． 或150°
【解析】
【分析】
分∠BFD：∠DFE=2：3和∠DFE：∠BFD =2：3两种情况分别求解．
【详解】
解：∵ 把 分成 的两部分，
∴①∠BFD：∠DFE=2：3时，
设∠BFD=2x，∠DFE=3x，
∴∠AFE=180-5x，∵∠CDE=∠B，
∴DE∥AB，
∴∠BFD=∠FDE=2x，
又∵∠FDE+3∠AFE=180°，
即2x+3（180-5x）=180，
解得：x= ，
∴∠BFE=5x= ；
②∠DFE：∠BFD =2：3时，
设∠BFD=3x，∠DFE=2x，
∴∠AFE=180-5x，
∵∠CDE=∠B，
∴DE∥AB，
∴∠BFD=∠FDE=3x，
又∵∠FDE+3∠AFE=180°，
即3x+3（180-5x）=180，
解得：x=30，
∴∠BFE=5x=150°，
综上：∠BFE的度数为 或150°，
故答案为： 或150°．
【点拨】本题考查了平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，分类
讨论解决问题，属于中考常考题型．
16．
【解析】
【分析】
根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，利用面积
法即可求出此时BP的长．
【详解】
解：根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP最短，∵S ABC＝ ×BC×AD＝ ×AC×BP，
△
∴6×4＝5BP，
∴PB＝ ，
即BP最短时的值为： ．
故答案为： ．
【点评】
此题考查了垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握线段的性质是解本题的关键．
17． ##
【解析】
【分析】
先确定 的大小，依据已知条件得到x的值，即可求出y的值，由此计算得出答案．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，其中， 是整数， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查无理数的大小估值，实数的加减法计算法则，正确确定 的大小是解题
的关键．
18．【解析】
【分析】
根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二
象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，点P 在第二象限，再
2021
根据第二象限点的规律即可得出结论．
【详解】
解：由规律可得， ，
∴点P 在第二象限，
2021
∵点P(-4,2)，点P(-6,4)，点P (-8,6)，
5 9 13
∴第二象限Pn的坐标为 ，
∴点P 的坐标为 ，即为 ，
2021
故答案为： ．
【点拨】本题考查了规律型：点的坐标，是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的
关键是首先确定点所在的大致位置，该位置处点的规律，然后就可以进一步推得点的坐标．
19．（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据有理数的乘方，绝对值，算术平方根，立方根的计算法则进行求解即可；
（2）根据绝对值，算术平方根，立方根的计算法则进行求解即可．
【详解】
解：
；
（2）原式=．
【点拨】本题主要考查实数的混合运算，掌握算式平方根，立方根以及绝对值的概念，是
解题的关键．
20．(1) OA = ；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A.
【解析】
【分析】
（1）首先根据勾股定理求出线段OB的长度，然后结合数轴的知识即可求解；
（2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解；
（3）本题利用实数与数轴的对应关系即可解答．
【详解】
解：(1)OB2＝12+12＝2，
∴OB＝ ，
∴OA＝OB=
(2)数轴上的点和实数是一一对应关系
(3) 这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．
故选A.
【点拨】本题主要考查了实数与数轴之间的关系，此题综合性较强，不仅要结合图形，还
需要熟悉平方根的定义．也要求学生了解数形结合的数学思想．
21．∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；
∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得 ，故∠1＝∠3，根据平行线的判定可得 ，再利用
平行线的性质即可求解．
【详解】
解：因为 ，
所以 （两直线平行，同位角相等），
又因为∠1＝∠2，
所以∠1＝∠3（等量代换），所以 （内错角相等，两直线平行），
所以∠BAC＋∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
因为∠BAC＝70°，
所以∠AGD＝110°，
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；
∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110°．
【点拨】本题考查平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定和性质是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）A′（4，0），B′（1，3），C′（2，-2）；（3）6
【解析】
【分析】
（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；
（2）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可；
（3）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
【详解】
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）由图可知，A′（4，0），B′（1，3），C′（2，-2）；
（3）S ABC=5×3- ×1×5- ×2×2- ×3×3=6．
′ ′ ′
△
【点拨】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
23．（1） ，见解析；（2） 或 ，见解析.
【解析】
【分析】
（1）过点P作l 的平行线，根据平行线的性质进行解题；
1
（2）当点P在下侧时，过点P作l 的平行线PQ，由平行线的性质可得出l∥l∥PQ，由此即
1 1 2
可得出结论．【详解】
（1） .
理由如下：如图所示，过点P作 .
，
，
， .
，
.
（2） 或 .
理由如下：如图所示，当点P在下侧时，过点P作 的平行线PQ.
，
，
， ，
.
当点P在上侧时，同理可得 .【点拨】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
24．（1）A（16，0），B（0，12）；（2）存在t= 时，使得△OCP的面积是△OCQ的
面积2倍；（3）2∠GOB+∠BAE=∠OHA，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用非负性即可求出a，b即可得出结论；
（2）先表示出OQ，OP，利用三角形面积，建立方程求解即可得出结论；
（3）先判断出∠OBC=∠BOC，进而判断出OG∥AB，即可判断出∠FHA=∠BAE，同理
∠FHO=∠GOC，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴a-2b+8=0，2a-b-20=0，
∴a=16，b=12，
∴A（16，0），B（0，12）；
（2）由（1）知，A（16，0），B（0，12），
∴OA=16，OB=12，
由运动知，OQ=t，AP=2t，
∴OP=16-2t，
∵C（8，6），
∴S OCQ= OQ×|xC|=4t，
△
S OCP= OP×|yC|= (16-2t)×6=48-6t，
△
∵△OCP的面积是△OCQ的面积2倍，
∴2×4t=48-6t，
∴t= ，
∴存在t= 时，使得△OCP的面积是△OCQ的面积2倍；
（3）∴2∠GOB+∠BAE=∠OHA，理由如下：
∵x轴⊥y轴，∴∠BOA=∠COA+∠BOC=90°，
∴∠OBA+∠BAO=90°，
又∵∠COA=∠CAO，
∴∠OBA=∠BOC，
∵y轴平分∠GOC，
∴∠GOB=∠BOC，
∴∠GOB=∠OBA，
∴OG∥AB，
如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，
∴HF∥AB，
∴∠FHA=∠BAE，
同理∠FHO=∠GOC，
∴∠GOC+∠BAE=∠FHO+∠FHA，
即∠GOC+∠BAE=∠OHA，
∴2∠GOB+∠BAE =∠OHA．
【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，角平分线
的定义，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
