文档内容
第 8 章 二元一次方程组（提高篇）
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 是二元一次方程组 的解，则m+3n的值为（ ）
A．7 B．9 C．14 D．18
3．若﹣2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，则m-n的值是（ ）
A．2 B．0 C．-1 D．1
4．如果二元一次方程组 的解是二元一次方程 的一个解,那么 的值
是( )
A．9 B．7 C．5 D．3
5．已知 ，则用含 的代数式表示 为（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于 ， 的方程组 给出下列结论：
①当 时，方程组的解也是 的解；
②无论 取何值， ， 的值不可能是互为相反数；
③ ， 都为自然数的解有 对．
正确的有几个（ ）
A． B． C． D．7．已知关于x，y的方程组 ，则下列结论中正确的有（ ）个
①当 时，方程组的解是 ； ②当x，y的值互为相反数时，
③不存在一个实数a使得 ； ④若 ，则 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．若实数满足（x+y+2）（x+y﹣1）=0，则x+y的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．2或﹣1 D．﹣2或1
9．若方程■x－2y＝x＋5是二元一次方程，■是被弄污的x的系数，请你推断■的值的情
况是( )
A．不可能是－1 B．不可能是－2 C．不可能是1 D．不可能是2
10．初一课外活动中，某兴趣小组80名学生自由组合分成12组，各组人数分别有5人、7
人和8人三种情况，那么8人组最多可能有几组（ ）
A．5组 B．6组 C．7组 D．8组
11．已知方程组 的解为 ，现给出另一个方程组 ，
它的解为（ ）
A． B． C． D．
12．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银
一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：
甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），
称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄
金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A． B．
C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．在二元一次方程3x+y＝12的解中，x和y是相反数的解是_______．
14．如果|x+y﹣3|+（x﹣y+5）2=0，那么x2﹣y2=___________．
15．三元一次方程组 的解是______ ．
16．若 为实数，且 ，则代数式 的最大值是_____．
17．对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b= ，例如4◆3，因为4＞3．所以
4◆3= =5．若x，y满足方程组 ，则x◆y=_____________.
18．一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为__________cm3.
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（8分）用消元法解方程组 时,两位同学的解法如下:
解法一: 解法二:由②，得 , ③
由①-②,得 . 把①代入③，得 .
（1）反思:上述两个解题过程中有无计算错误?若有误,请在错误处打“ ”.
（2）请选择一种你喜欢的方法,完成解答.20．（10分）解二元一次方程组：
（1） （2） ．
21．（10分）当m、n为何值时，方程组 与方程组 同解？
22．（10分）某商场投入 元资金购进甲、乙两种矿泉水共 箱，矿泉水的成本价
和销售价如表所示： 13800 500
类别 单价 成本价 销售价（元 箱）
甲 / /
乙 24 36
（ ）该商场购进33甲、乙两种矿4泉8水各多少箱？
（1）全部售完 箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
2 50023．（10分）阅读材料：小明在解方程组 时，采用了一种“整体代换”
解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5......③
把方程①代入③得：2×3+y=5，
y=-1
y=-1代入①得x=4
∴方程组的解为
请你解决以下问题：
(1)参考小明的“整体代换”法解方程组
(2)已知x，y满足方程组：
(i)求 的值；
(ii)求 的值.
24．（12分）我们用f（x）表示不大于x的最大整数，例如：f（2.3）=2，f（4）=4，f
（﹣1.5）=﹣2；用g（y）表示不小于y的最小整数．例如：g（2.5）=3，g（5）=5，g
（﹣3.5）=﹣3．解决下列问题：
（1）根据以上运算规律：f（﹣5.4）=______，g（4.5）=______．
（2）若f（x）=3，则x的取值范围是_______；若g（y）=﹣2，则y的取值范围是______．（3）已知x，y满足 ，求x，y的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】
根据二元一次方程组的基本形式及特点进行判断，即①含有两个二元一次方程，②方程都
为整式方程，③未知数的最高次数都为一次．
【详解】
解：A、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合
题意；
B、该方程组的第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；
D、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的
基本形式及特点．
2．B
【分析】
将 代入方程组 ，得到方程组 ，再将此方程组中的两个方程相
加即可求解．
【详解】
解：由题意，将 代入方程组 ，
得 ，
① ②得， ，故选：B．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解与二元一次方程组的关
系是解题的关键．
3．A
【分析】
根据同类项的定义可得关于m、n的方程组，解方程组即可求得答案.
【详解】
由题意得 ，
解得： ，
所以m-n=2，
故选A.
【点拨】本题考查了同类项、解二元一次方程组的应用，根据同类项的概念得出关于m、n
的方程组是解题的关键.
4．B
【分析】
先求出 的解，然后代入 可求出a的值．
【详解】
解： ，
由①+②，可得2x＝4a，
∴x＝2a，
将x＝2a代入①，得
2a-y=a，
∴y＝2a﹣a＝a，
∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，∴将 代入方程3x﹣5y﹣7＝0，可得6a﹣5a﹣7＝0，
∴a＝7，
故选B．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，
消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
5．A
【分析】
消去t，确定出x与y的关系式即可．
【详解】
解： ，
①×2+②得：2x+y=9，即y=-2x+9，
故选：A．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．
6．C
【分析】
①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程x+y=2a+1即可求解；
②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个
数相加为0即可求解；
③根据试值法求二元一次方程x+y=3的自然数解即可得结论．
【详解】
解：①将a=1代入原方程组，得 解得 ，
将x=3，y=0，a=1代入方程x+y=2a+1的左右两边，
左边x+y=3，右边2a+1=3，
当a=1时，方程组的解也是x+y=2a+1的解；故①正确；
②解原方程组，得 ，若x，y是互为相反数，则x+y=0，
即2a+1+2-2a=0，方程无解．
无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；故②正确；
③∵x+y=2a+1+2-2a=3，
∴x、y为自然数的解有 ， ， ， ．
∴x、y为自然数的解有4对，故③正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了消元法解二元一次方程组，确定二元一次方程的自然数解，解题关键
是用含字母的式子表示方程组的解．
7．B
【分析】
①把a＝5代入方程组求出解，即可作出判断；
②由题意得x+y＝0，变形后代入方程组求出a的值，即可作出判断；
③若x＝y，代入方程组，变形得关于a的方程，即可作出判断；
④根据题中等式得2a﹣3y＝7，代入方程组求出a的值，即可作出判断．
【详解】
解：①把a＝5代入方程组得：
，
由（2）得x＝2y，
将x＝2y代入（1）得：y＝10，
将y＝10代入x＝2y得：x＝20，
解得： ，故①错误；
②当x，y的值互为相反数时，x+y＝0，
即：y＝﹣x
代入方程组得： ，整理，得 ，
由（3）得： ，
将 代入（4），得： ，
解得：a＝20，故②正确；
③若x＝y，则有 ，
可得：a＝a﹣5，矛盾，
∴不存在一个实数a使得x＝y，故③正确；
④ ，
（5）－（6）×3，得： ，
将 代入（6），得： ，
∴原方程组的解为 ，
∵ ，
∴2a﹣3y＝7，
把y＝15﹣a代入得：
2a﹣45+3a＝7，
解得：a＝ ，故④错误；
∴正确的选项有②③两个．
故选：B．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的
未知数的值．本题属于基础题型，难度不大．
8．D
【详解】解：因为（x+y+2）（x+y﹣1）=0，所以（x+y+2）=0，或（x+y﹣1）=0．
即x+y=﹣2或x+y=1．故选D．
9．C
【详解】
如果是1，整理方程后变为-2y=5不是二元一次方程．
10．B
【分析】
设8人组有x组，7人组由y组，则5人组有（12﹣x﹣y）组，根据题意得方程8x+7y+（12
﹣x﹣y）×5＝80，于是得到结论．
【详解】
解：设8人组有x组，7人组由y组，则5人组有（12﹣x﹣y）组，
由题意得，8x+7y+（12﹣x﹣y）×5＝80，
∴3x+2y＝20，
当x＝1时，y＝ ，
当x＝2时，y＝7，
当x＝4时，y＝4，
当x＝6时，y＝1，
∴8人组最多可能有6组，
故选B．
【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
11．D
【详解】
分析：对比方程组可得： 解方程组即可.
详解：对比方程组可得：
解得：
故选D.
点睛：考查二元一次方程组的解法，熟练掌握整体代入法是解题的关键.12．D
【分析】
根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚
黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】
设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得： ，
故选D．
【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出
题目中的等量关系．
13．
【分析】
根据x和y是相反数可得x＝﹣y，然后代入原方程求解即可．
【详解】
解：∵x和y是相反数，
∴x＝﹣y，
把x＝﹣y代入原方程中，可得：﹣3y+y＝12，
解得：y＝﹣6，
∴x＝6，
∴在二元一次方程3x+y＝12的解中，x和y是相反数的解是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解和互为相反数的概念是解题关键．
14．-15
【详解】
【分析】根据非负数性质列出方程组，求解，再代入可得.
【详解】由|x+y﹣3|+（x﹣y+5）2=0，得，
解得
，
所以，x2﹣y2=1-16=-15.
故答案为-15
【点睛】本题考核知识点：非负数性质的运用.解题关键点：运用非负数性质.
15．
【详解】
分析：将方程组三个方程相加求出x+y+z的值，进而将每一个方程代入即可求出x，y，z
的值．
详解： ，
①+②+③得：2（x+y+z）=22，即x+y+z=11④，
将①代入④得：z=6，
将②代入④得：x=2，
将③代入④得：y=3，
则方程组的解为 ．
故答案为 .
点睛：本题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
加减消元法．
16．26．【分析】
先利用加减消元法求出y,x的值，再把x,y代入代数式 ，求出z的值，即可解答
【详解】
，
(1）﹣（2）得， ，
把 代入（1）得， ，
则 ，
当 时， 的最大值是26，
故答案为26．
【点拨】此题考查解三元一次方程，解题关键在于掌握运算法则
17．60
【详解】
分析：根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．
详解：由题意可知： ，
解得： ．
∵x＜y，∴原式=5×12=60．
故答案为60．
点睛：本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法
以及正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
18．800
【详解】
设长方体底面长宽分别为x、y，高为z，由题意得： ，解得： ，
所以长方体的体积为：16×10×5=800.
故答案为800.
点睛：此题考查三元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题目中的数据得出关于长
宽高的三元一次方程组，再由结果求得长方体的体积.
19．（1）解法一中的计算有误；（2）原方程组的解是
【分析】
利用加减消元法或代入消元法求解即可．
【详解】
（1）解法一中的计算有误（标记略）
（2）由①-②，得： ，解得： ，
把 代入①，得： ，解得： ，
所以原方程组的解是 ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．
20．(1) ;(2) .
【分析】
（1）根据代入消元法，可得方程组的解；
（2）根据加减消元法，可得方程组的解．
【详解】
解：（1） ，
把②代入，得
x+4x=10，解得x=2，
把x=2代入②，得y=4，原方程组的解为 ；
（2） ，
①+②，得
16x=﹣16，
解得x=﹣1，
把x=﹣1代入①，得
﹣7﹣2y=3，
解得y=﹣5，
原方程组的解为 ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，利用消元的思想是解题关键．
21．
【详解】
分析：根据方程组的解相同，可得两个新方程组，根据解方程组，可得x、y的值，根据方
程组的解满足方程，可得关于m、n的方程组，根据解方程组，可得答案．
详解：方程组 的解与方程组 的解相同得 ① ②，
解①得 ，
把 代入②得 ，
解得 ，
当m=1，n=2时，方程组 与方程组 同解．
∴m=1，n=2.点睛：本题考查了二元一次方程组的解，利用了方程组的解满足方程组．
22．（1）商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱（2）该商场共获得利润
6600元
【详解】
（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，
由题意得： ，
解得： ，
答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱；
（2）300×(36−24)+200×(48−33)=3600+3000=6600(元)，
答：该商场共获得利润6600元．
23．（1） ；（2）（i）17；（2）（ii）
【分析】
（1）模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可；
（2）方程组整理后，模仿小军的“整体代换”法，求出所求式子的值即可．
【详解】
解：(1)把方程②变形：3(3x-2y)+2y=19③
把①代入③得：15+2y=19，即y=2
把y=2化入①得：x=3，
则方程组的解为：
(2)(i)由①得： ，即 ③
把③化入②得： ，
解得：xy=2，则 ；
(ii) ，
∴∴x+2y=5或x+2y=-5
则 .
【点拨】考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．
24． ﹣6 5 3≤x＜4 ﹣3＜y≤﹣2
【分析】
（1）直接根据定义即可得；
（2）由定义可得 的范围；
（3）先解方程组求得 的值，再根据定义可得答案．
【详解】
(1)由题意,得：f(−5.4)=−6、g(4.5)=5，
故答案为−6、5；
(2)∵f(x)=3，
∴x的取值范围是
∵g(y)=−2，
∴y的取值范围是
故答案为
(3)解方程组得
∴x的取值范围为 y的取值范围为
【点拨】考查解二元一次方程组，有理数的混合运算，读懂题目中定义的新运算法则是解
题的关键.
