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第 7 章 平面直角坐标系（提高篇）
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．如图的棋盘中，若“帅”位于点 (1，－2)上， “相”位于点(3，－2)上，则 “炮”
位于点 ( )上．
A．(2，1) B．(－2，1) C．(－1， 2) D．(1，－2)
2．如果点 在第三象限，点 关于原点的对称点在（ ）．A．第一
象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如果点 在第四象限，那么m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．下列说法不正确的是（ ）
A．x轴上的点的纵坐标为0
B．点P（﹣1，3）到y轴的距离是1
C．若xy＜0，x﹣y＞0，那么点Q （x，y）在第四象限
D．点A（﹣a2﹣1，|b|）一定在第二象限
5. 如图，如图，平面直角坐标系中，已知定点 和 ，若动点C在x轴上运动，则
使 为等腰三角形的点C有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知点A（1，﹣3），点B（2，﹣1），将线段AB平移至AB．若点A（a，1），点
1 1 1
B（3，﹣b），则a﹣b的值为（ ）
1
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
7．如图，△OAB的边OB在x轴的正半轴上，点B的坐标为（3，0），把△OAB沿x轴向
右平移2个单位长度，得到△CDE，连接AC，DB，若△DBE的面积为3，则图中阴影部分
的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．
8．如图，点 、 的坐标分别是为 ， ，若将线段 平移至 的位置，
与 坐标分别是 和 ，则线段 在平移过程中扫过的图形面积为（ ）
A．18 B．20 C．28 D．36
9．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点
已知点A 的伴随点为A，点A 的伴随点为A，点A 的伴随点为A，…，这样依次得到点
1 2 2 3 3 4
A，AA，…，An，…若点A 的坐标为（2，4），点A 的坐标为（ ）
1 2 3 1 2017
A．（﹣3，3） B．（﹣2，﹣2） C．（3，﹣1） D．（2，4）
10．已知 为实数,则点P( )落在（ ）.
A．第二象限 B．第二象限或x轴的负半轴C．第三象限或x轴的负半轴 D．第三象限
11．若点M的坐标为( ,|b|+1),则下列说法中正确的是 ( )
A．点M在x轴正半轴上 B．点M在x轴负半轴上
C．点M在y轴正半轴上 D．点M在y轴负半轴上
12．如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b，0)，C(b，4)三点，其中a，b满足关
系式a＝ ＋2.若在第二象限内有一点P(m，1)，使四边形ABOP的面积与
三角形ABC的面积相等，则点P的坐标为( )
A．(－3，1) B．(－2，1) C．(－4，1) D．(－2.5，1)
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．李明的座位在第5排第4列，简记为（5，4），张扬的座位在第3排第2列，简记为
，若周伟的座位在李明的前面相距2排，同时在他的右边相距2列，则周伟的座位可
简记为___________________．
14．在平面直角坐标系中，点 到 轴的的距离与到y轴的距离相等，则
_______．
15．在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b满足|a﹣2|＋（b﹣3）2
＝0．点M的坐标为（ ，1），点N是坐标轴的负半轴上的一个动点，当四边形ABOM
的面积与三角形ABN的面积相等时，此时点N的坐标为___________________．
16．点 不在第________象限．如果点B坐标为 且 轴，则
线段 的中点C的坐标为__________．17．已知当m，n都是实数，且满足2m﹣n＝8时，称P（m﹣1， ）为“和谐点”．
若点A（a，2a﹣1）是“和谐点”，则点A在第____象限．
18．如图，点 、 的坐标分别为 、 ，若将线段 平移至 ，点 对应点
，点 对应点 ，则 的值为_______．
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（10分）已知点 ，解答下列各题．
(1)点P在x轴上，求出点P的坐标；
(2)点Q的坐标为= ，直线 轴；求出点P的坐标；
(3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求 的值．
20．（8分）如图，长方形ABCD在坐标平面内，点A的坐标是A( ，1)，且边AB，
CD与x轴平行，边AD，BC与y轴平行，AB＝4，AD＝2.
(1)求B，C，D三点的坐标；
(2)怎样平移，才能使A点与原点O重合？21．（8分）如图，已知在平面直角坐标系中xOy中，点A（﹣4，0），点B（2n﹣10，
m+2），当点A向右平移m（m＞0）个单位，再向上平移n（n＞0）个单位时，可与点B
重合．
(1)求点B的坐标；
(2)将点B向右平移3个单位后得到的点记为点C，点C恰好在直线x＝b上，点D在直线x
＝b上，当△BCD是等腰三角形时，求点D的坐标．
22．（10分）已知 ， ， ．
（1）在所给的平面直角坐标系中作出 ；
（2）求 ABC的面积23．（12分）如图， ， ，点 在 轴上，且 .
(1)求点 的坐标，并画出 ;
(2)求 的面积;
(3)在 轴上是否存在点 ，使以 三点为顶点的三角形的面积为10?若存在，请直接
写出点 的坐标;若不存在，请说明理由.
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A(a，0)，C(b，2)，且满足（a+2）2+|b﹣2|＝
0，过C作CB⊥x轴于B．(1)求 ABC的面积．
(2)若过B作BD AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED
的度数．
(3)在y轴上存在点P使得 ABC和 ACP的面积相等，请直接写出P点坐标．
参考答案
1．B
【分析】根据已知两点的坐标可确定平面直角坐标系，再判断其它各点的坐标．
解：依题意，坐标系的原点是从下数第3行与从左数第4列的交点，故炮的坐标为（-2，
1）．
故选B．
【点拨】本题主要考查类比点的坐标及学生解决实际问题和阅读理解的能力，解决此类问
题需要先确定原点的位置，建立平面直角坐标系，再求未知点的位置，或者直接利用坐标
系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．
2．B
【分析】由点 在第三象限，可得 ，点 关于原点的对称点
为 ，结合 的范围即可判断出其对称点的象限；解：∵点 在第三象限，
∴ ，
∵点 关于原点的对称点为 ，
∴ ， ，
∴点 在第二象限；
故选择：B
【点拨】本题考查的是象限内点的坐标特点，关于原点对称的点的坐标特点，不等式的基
本性质，掌握以上知识是解题的关键．
3．D
【分析】横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限．
解：∵点p（m，1-2m）在第四象限，
∴m＞0，1-2m＜0，解得：m＞ ，故选D．
【点拨】坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，
该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题
中求m的取值范围．
4．D
【分析】根据坐标轴上点的坐标特点，点的坐标到坐标轴的距离及各个象限内点的坐标符
号特点逐一判断可得．
解：A．在x轴上的点的纵坐标为0，说法正确，故本选项不合题意；
B．点P（﹣1，3）到y轴的距离是1，说法正确，故本选项不合题意；
C．若xy＜0，x﹣y＞0，则x＞0，y＜0，所以点Q（x，y）在第四象限，说法正确，故本选
项不合题意；
D．﹣a2﹣1＜0，|b|≥0，所以点A（﹣a2﹣1，|b|）在x轴或第二象限，故原说法错误，故本
选项符合题意．
故选D．
【点拨】本题主要考查平面直角坐标系的性质，正确理解平面直角坐标系的性质是本题的
解题关键．
5．D【分析】分BC=AC，BC=AB和AB=AC三种情况进行讨论即可得出点C的位置，从而可得
出点C的个数．
解：∵A（1，0）、B（0，1），
∴OA=OB=1，AB= ，
设C点坐标为（x，0），则AC=|x-1|
当BC=AC时，可知点C在线段AB的垂直平分线上，可知点C在O点，即此时点C为
（0，0）；
当BC=AB时，此时∠BCA=∠BAC=45°，可求得OC=1，此时点C为（-1，0）；
当AB=AC时，即|x-1|= ，可解得x= +1或x=1- ，此时C点坐标为（1+ ，0）或
（1- ，0）；
综上可知点C的位置有4个，
故选：D．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的判定，分三种情况进行讨论是解题的关键．
6．C
【分析】利用平移的规律求出a，b即可解决问题．
解：由题意得：a﹣1＝3﹣2，﹣b﹣（﹣1）＝1﹣（﹣3），
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a﹣b＝5，
故选：C．
【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识，属于中考常考题型．
7．A
【分析】设A（m，n），利用三角形面积公式求出n的值，再求出BC，可得结论．
解：设A（m，n），
∵B（3，0），
∴OB＝3，
由平移的性质可知，OC＝BE＝2，
∴BC＝OB﹣OC＝1，∵S DBE＝ ×2×n＝3，
△
∴n＝3，
∴S ACB＝ ×1×3＝ ，
△
故选：A．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形的面积等知识点，解题的关键是求出点
A的纵坐标．
8．A
【分析】根据点的坐标确定平移规律，然后分割计算图形的面积即可．
解：∵点A的坐标为(-3，1)， 的坐标为(m，4)，
∴线段先向上平移4-1=3个单位，
∴n+2=3，
∴n=1，
∵点B的坐标为(-1，-2)， 坐标为(3，n)，
∴线段再向右平移3-（-1）=4个单位，
∴-3+4=m，
∴m=1，
连接A ，
∴ 的坐标为(1，4)， 坐标为(3，1)，
∴A ∥x轴，
∴A =3-（-3）=6，过点 作 C⊥ A ，垂足为C，过点B作BD⊥ A ，垂足为D，
∴DB=1-（-2）=3， C=4-1=3，
∴线段 在平移过程中扫过的图形面积为： =18，
故选A．
【点拨】本题考查了坐标的平移，图形面积的分割法计算，熟练掌握根据点的坐标确定平
移规律是解题的关键．
9．D
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循
环，用2017除以4，根据商和余数的情况确定点A 的坐标即可．
2017
解：∵点A 的坐标为（2，4），
1
∴A（-4+1，2+1）即（-3，3），A（-3+1，-3+1）即（-2，-2），A（2+1，-2+1）即
2 3 4
（3，-1），A（2，4），
5
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2017÷4=504余1，
∴点A 的坐标与A 的坐标相同，为（2，4）；
2017 1
故选D．
【点拨】本题考查了点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个
点为一个循环组依次循环是解题的关键．
10．B
【分析】根据算术平方根非负数和绝对值非负数的性质分析判断即可．
解：∵a2≥0，
∴- ＜0，
当b=1时，|b-1|=0，点P（- ，|b-1|）落在x轴负半轴，
当b≠1时，|b-1|＞0，点P（- ，|b-1|）落在第二象限，
综上所述，点P（- ，|b-1|）落在第二象限或x轴的负半轴．故选B．
【点拨】本题考查算术平方根非负数的性质，点的坐标，解题关键是分情况判断出点P的
横坐标与纵坐标的正负情况．
11．C
【分析】首先根据二次根式的定义及绝对值的性质分别判断出点M的横、纵坐标的符号；
然后根据坐标轴上点的坐标特征进行分析即可作出判断.
解：∵ 有意义，则－a2≥0，
∴a＝0.
∵|b|≥0，
∴|b|＋1＞0，
∴点M在y轴的正半轴上.
故选C.
【点拨】本题考查的是点的坐标的知识，解题关键是熟练掌握坐标轴上点的坐标特征.
12．A
解：分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求出b，再求出a，从而得到A、
B、C的坐标，再求出BC的长度，然后求出△ABC的面积，根据S
四边形
ABOP=S AOP+S AOB列式计算，然后列出方程求出m的值，从而得解．
详解： △ △
由题意得，b2-9≥0且9-b2≥0，
解得，b2≥9且b2≤9，
所以，b2=9，
解得b=±3，
又∵b+3≠0，
解得b≠-3，
所以b=3，
a=2，
∴点A（0，2），B（3，0），C（3，4），
∴点B、C的横坐标都是3，
∴BC∥y轴，
∴BC=4-0=4，△ABC的面积= ×4×3=6，
∵OA=2，点P（m， ）在第二象限，
∴S ABOP=S AOP+S AOB，
四边形
△ △
= ×2（-m）+ ×2×3，
=-m+3，
∵四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，
∴-m+3=6，
解得m=-3，
所以，点P（-3， ）．
故选A．
点睛：考查了坐标与图形性质，三角形的面积，二次根式有意义的条件，关键在于判断出
BC∥y轴和把四边形ABOP的面积分成两个三角形的面积求解．
13．（3，6）
【分析】先求出周伟所在的排数与列数，再根据第一个数表示排数，第二个数表示列数解
答．
解：∵周伟的座位在李明的前面相距2排，同时在他的右边相距2列，
∴周伟在第3排第6列，
∴周伟的座位可简记为（3，6）．
故答案为：（3，6）．
【点拨】本题考查坐标确定位置，读懂题目信息，理解有序数对的两个数的实际意义是解
题关键．
14．-1或-2
【分析】根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等可得2a+3=1或2a+3=-1，据此解出a
的值．
解：∵A到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴2a+3=1或2a+3=-1，
解得a=-1或a=-2．
故答案为：-1或-2．
【点拨】本题考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的
距离等于横坐标的绝对值．15．（0，﹣1）或（﹣1.5，0）
【分析】分点N在x轴的负半轴上或y轴的负半轴上两种情况讨论即可．
解：∵|a﹣2|＋（b﹣3）2＝0．
∴a＝2，b＝3，
∴A（0，2），B（3，0），
∵点M的坐标为（ ，1），
∴四边形ABOM的面积＝S AMO＋S ABO 2 2×3 ，
△ △
当点N在y轴的负半轴上时， •AN•OB ，
∴AN＝3，ON＝AN﹣OA＝1，
∴点N的坐标为（0，﹣1），
当点N在x轴负半轴上时， •BN•AO ，
∴BN＝4.5，ON＝BN﹣OB＝1.5，
∴点N的坐标为（﹣1.5，0），
综上所述，满足条件的点N的坐标为（0，﹣1）或（﹣1.5，0）．
故答案为：（0，﹣1）或（﹣1.5，0）．
【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，非负数的性质，多边形面积等知识，关键是学会
利用分割法求四边形的面积，用分类讨论思想思考问题．
16． 二 ．
【分析】根据 解得 即可判断点A不在第二象限，由 轴，可得
，由此求解即可．
解：当 ，
解得 ，∴此时a不存在，即点 不在第二象限；
∵点B坐标为 且 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴中点C的横坐标 ，
∴ ，
故答案为：二； ．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，根据点的坐标判断点所在的象限，解不等式组，解
题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
17．三
【分析】先设 将“和谐点”的定义进行改写，再根据“和谐点”的定义
求出 的值，由此即可得．
解：设 ，
则 ，
，
当 时， ，
因此，“和谐点”的定义可改写为：已知当 都是实数，且满足 时，称
为“和谐点”．
点 是“和谐点”，
，
解得 ，
则点 的坐标为 ，位于第三象限，故答案为：三．
【点拨】本题考查了点坐标，正确将“和谐点”的定义进行改写是解题关键．
18．3
【分析】先根据线段AB平移后的对应点的坐标确定平移方式，进而可求出a、b的值，最
后求出a+b的值即可．
解：∵ 、 的坐标为 、 ，平移后点 对应点 ，点 对应点 ，
∴线段AB的平移方式是先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
∴a=1，b=2，
∴a+b=3．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，根据平移前后点的坐标确定平移方式是
解答本题的关键．
19．(1) ；
(2) ；
(3)
【分析】（1）利用x轴上P点的纵坐标为0求解即可得；
（2）利用平行于y轴的直线上的点的横坐标相等列方程求解即可；
（3）在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等的点的横纵坐标互为相反数，再利用相反数
的性质列方程求解可得 ，将其代入代数式求解即可．
(1)
解： 点P在x轴上，
P点∵的纵坐标为0，
∴ ，
∴解得： ，
，
∴
．
∴
(2)解： 直线 轴，
∵
，
∴解得： ，
，
∴
．
∴
(3)
解： 点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，
∵ ．
∴解得： ．
∴
，
的值为2020．
∴
【点拨】本题主要考查平面直角坐标系内点的坐标特点．分别考查了坐标轴上点的坐标特
点、平行于坐标轴的直线上点坐标的特点、到坐标轴距离相等的点的坐标特点，理解题意，
熟练掌握坐标系中不同条件下的坐标特点是解题关键．
20．(1)B (4＋ ，1)， C (4＋ ，3)， D ( ，3)；(2)见解析.
【分析】(1)根据长方形的对边平行且相等求出BC到y轴的距离，CD到x轴的距离，然后
写出点B、C、D的坐标即可；
(2)根据图形写出平移方法即可．
解：(1)∵A( ，1)，AB＝4，AD＝2，
∴BC到y轴的距离为4＋ ， CD到x轴的距离2＋1＝3，
∴点B的坐标为(4＋ ，1)，点C的坐标为(4＋ ，3)，点D的坐标为( ，3)；
(2)由图可知，先向下平移1个单位长度，再向左平移 个单位长度(或先向左平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度)．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质，坐标与图形变化-平移，熟练掌握长方形的对边平行
且相等并准确识图是解题的关键．
21．(1)B的坐标（-2，4）
(2)D的坐标（1，7）或（1，1）
【分析】（1）向右平移m（m＞0）个单位，横坐标加m，向上平移n（n＞0）个单位，纵
坐标加n，根据点B（2n-10，m+2），列出二元一次方程组，得到m、n的值，即可得到点
B的坐标；
（2）先求出点C的坐标和直线x＝b中b的值，设点D（1，x），根据 ，列出方
程 ，求解即可得到D的坐标．
(1)
解：∵点A（-4，0），当点A向右平移m（m＞0）个单位，再向上平移n（n＞0）个单位
时，可与点B重合，
∴点B（-4+m，0+n），
又∵点B（2n-10，m+2），
∴ ，解得 ，
∴点B（-2，4）．
(2)
解：∵点B（-2，4），点B向右平移3个单位后得到的点记为点C，
∴点C（1，4），
∵点C恰好在直线x＝b上，
∴b＝1，直线x＝1，
∵点D在直线x＝1上，
∴ ，
设点D（1，x），
∵△BCD是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，解得 或 ，∴D的坐标（1，7）或（1，1）．
【点拨】本题考查点的平移引起的点的坐标变化规律．点左右平移只影响横坐标的变化，
点上下平移只影响纵坐标的变化．具体如下：设一个点的坐标为（m，n），①若把这个点
向左平移k（k>0）个单位后，坐标变为（m-k，n）；若把这个点向右平移k个单位后，坐
标则变为（m+k，n）．②若把这个点向上平移k（k>0）个单位后,坐标变为（m，n+k）；
若把这个点向下平移k个单位后,坐标则变为（m，n- k）．
22．（1）见解析；（2）5．
【分析】（1）将A、B、C画出来，顺次连接即可；
（2）△ABC的面积等于长为4，宽为4的正方形的面积减去三个三角形的面积．
解：(1)如图即为所求作的△ABC，
(2) ∵A(3，5)，B(−1，2)，C(1，1)，
∴S ABC=4×4－ ×2×1- ×3×4- ×4×2=16-1-6-4=5；
△
【点拨】本题考查坐标和图形的关系以及三角形的面积，找到各点的对应点是解题的关键．23．(1) 点的坐标为 ， ，画图见解析；(2) 6；(3) 点的坐标为 或
【分析】（1）分点B在点A的左边和右边两种情况解答；
（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）利用三角形的面积公式列式求出点P到x轴的距离，然后分两种情况写出点P的坐标
即可．
解：（1）点B在点A的右边时，-1+3=2，
点B在点A的左边时，-1-3=-4，
所以，B的坐标为（2，0）或（-4，0），
如图所示：
（2） ABC的面积= ×3×4=6；
△
（3）设点P到x轴的距离为h，
则 ×3h=10，
解得h= ，
点P在y轴正半轴时，P（0， ），
点P在y轴负半轴时，P（0，- ），
综上所述，点P的坐标为（0， ）或（0，- ）．【点拨】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论．
24．(1)4；
(2)45°；
(3)P点的坐标为（0，-1）或（0，3）．
【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值即可解决问题；
（2）如图甲，过E作EF∥AC．利用平行线的性质以及角平分线的定义解决问题即可；
（3）分两种情形：①当P在y轴正半轴上时，如图3-1中．②当P在y轴负半轴上时，如
图3-2，分别求解即可．
(1)
解：∵（a+2）2+|b-2|=0，
∴a+2=0，b-2=0，
∴a=-2，b=2，
∴A（-2，0），C（2，2）．
∵CB⊥AB，
∴B（2，0），
∴AB=4，CB=2，则S ABC= ×4×2=4；
三角形
(2)
解：如图2中，过E作EF∥AC．
∵CB⊥x轴，
∴CB∥y轴，∠CBA=90°，
∴∠ODB=∠6．
又∵BD∥AC，
∴∠CAB=∠5，∴∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=180°-∠CBA=90°．
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4．
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3= ∠CAB，∠4= ∠ODB，
∴∠AED=∠1+∠2=∠3+∠4= （∠CAB+∠ODB）=45°；
(3)
解：①当P在y轴正半轴上时，如图3-1中．
设点P（0，t），分别过点P，A，B作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，交于点M，N，则
AN=t，CM=t-2，MN=4，PM=PN=2．
∵S ABC=4，
三角形
∴S ACP=S MNAC-S ANP-S CMP=4，
三角形 梯形 三角形 三角形
∴ ×4（t-2+t）- ×2t- ×2（t-2）=4，解得t=3，即点P的坐标为（0，3）；
②当P在y轴负半轴上时，如图3-2，同①作辅助线．设点P（0，a），则AN=-a，CM=-a+2，PM=PN=2．
∵S ACP=S MNAC-S ANP-S CMP=4，
三角形 梯形 三角形 三角形
∴ ×4（-a+2-a）- ×2•（-a）- ×2（2-a）=4，
解得a=-1，
∴点P的坐标为（0，-1）．
综上所述，P点的坐标为（0，-1）或（0，3）．
【点拨】本题考查了非负数的性质、三角形的面积公式，平行线的性质，依据三角形的面
积公式、梯形的面积公式依据图形中相关图形之间的面积关系列出关于a和t的方程是解
题的关键．
