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七年级下学期【考点易错题型专训】
一．平方根（共4小题）
1．（2023秋•洛阳期末）平方根等于它本身的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【分析】根据平方根的性质计算．
【解答】解：平方根等于它本身的数是0．
故选：B．
2．（2023秋•南海区校级月考）若a2＝（﹣2）2，则a是（ ）
A．2 B．21 C．﹣2或2 D．4
【分析】根据平方根的定义解答．
【解答】解：∵（﹣2）2＝4，
∴a2＝4，
解得：a＝±2．
故选：C．
3．（2023秋•仁寿县期末）若a2＝9，b3＝﹣8，且ab＞0，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣1或5
【分析】根据平方根和立方根的定义解答即可．
【解答】解：∵a2＝9，b3＝﹣8，
∴a＝±3，b＝﹣2，
∵ab＞0，
∴a＝﹣3
∴a﹣b＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1．
即a﹣b的值为﹣1．
故选：A．
4．（2023春•路北区期中）若2x﹣4与3x﹣1是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．1
【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，以及相反数相加和为 0，求出x的值，即可求
解．
【解答】解：∵2x﹣4与3x﹣1是同一个数的两个不相等的平方根，
∴2x﹣4+（3x﹣1）＝0，解得：x＝1，∴2x﹣4＝2﹣4＝﹣2，
∴这个数是（﹣2）2＝4，
故选：C．
二．算术平方根（共4小题）
5．（2023秋•鼓楼区校级期末）若 ＝3.5﹣x，则x的值不能是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据算术平方根是非负数得出3.5﹣x≥0，即可求出x的取值范围，从而进行判断．
【解答】解：若 ＝3.5﹣x，
则3.5﹣x≥0，
解得x≤3.5，
∴x的值不能是4，
故选：A．
6．（2023秋•任丘市期末）若一个数的算术平方根等于它的本身，则这个数是（ ）
A．1或﹣1 B．0或1 C．0或﹣1 D．0或1或﹣1
【分析】根据算术平方根的定义进行解题即可．
【解答】解：一个数的算术平方根等于它的本身数是1或0．
故选：B．
7．（2023秋•新乡期末） 的算术平方根是 2 ．
【分析】根据算术平方根的概念进行解题即可．
【解答】解：∵ ＝8，
∴ 的算术平方根是 ＝2 ．
故答案为：2 ．
8．（2023秋•永修县校级期末） 的算术平方根是 4 ．
【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案．
【解答】解： ＝16，则 的算术平方根是4，
故答案为：4．
三．立方根（共4小题）
9．（2023秋•靖江市期末）若a满足 ，则a的值为（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．0或1或﹣1
【分析】只有0和1的算术平方根与立方根相等．
【解答】解：当a＝0时， ；
当a＝1时， ；
即a的值为0或1．
故选：C．
10．（2023秋•覃塘区期末）若 ＝a，则a的值不可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．3
【分析】根据立方根的概念进行解答，可以设这个数为x，根据立方根是它本身，求出这个数．
【解答】解：因为 ＝a，
所以a＝0，﹣1，1，
即a的值不可能是3．
故选：D．
11．（2023秋•高青县期末）已知 ≈0.7937， ≈1.7100，那么下列各式正确的是（ ）
A． ≈17.100 B． ≈7.937
C． ≈171.00 D． ≈79.37
【分析】根据立方根的规律解答即可．
【解答】解：∵ ；
故选：B．
12．（2023秋•上蔡县校级月考）若实数x，y，z满足 +（y﹣4）2+|z+8|＝0，则xyz的立方根是（）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【分析】根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性、绝对值的非负性、立方根的定义是解决本题的关
键．
【解答】解：∵ ≥0，（y﹣4）2≥0，|z+8|≥0，
∴当 +（y﹣4）2+|z+8|＝0，则x+2＝0，y﹣4＝0，z+8＝0．
∴x＝﹣2，y＝4，z＝﹣8．
∴xyz＝（﹣2）×4×（﹣8）＝64．
∴xyz的立方根是 ＝4．
故选：C．
四．实数的性质（共2小题）
13．（2023秋•高邮市期末）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．﹣3与 B．﹣3与
C．3与﹣ D．|﹣3|与3
【分析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，再利用互为相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：A．﹣3与 ＝3，两数是互为相反数，故此选项符合题意；
B．﹣3与 ＝﹣3，两数相等，故此选项不合题意；
C．3与﹣ ，两数不是互为相反数，故此选项不合题意；
D．|﹣3|＝3与3，两数相等，故此选项不合题意；
故选：A．
14．（2023秋•潼南区期中）已知a，b为实数，下列说法：
①若a，b互为相反数，则 ；
②若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；
③若a+b＜0，ab＞0，则|a+3b|＝﹣a﹣3b；
④若|a|＞|b|，则（a+b）×（a﹣b）＞0；⑤若a＞b，ab＜0且|a﹣2|＜|b﹣2|，则a+b＞4．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．④⑤
【分析】运用相反数、绝对值等知识进行逐一辨别．
【解答】解：∵若a，b互为相反数，当a≠0且b≠0时， ，
当a＝b＝0时， 无意义，
∴说法①不符合题意；
∵若|a﹣b|+a﹣b＝0，
∴|a﹣b|＝﹣（a﹣b），
∴a﹣b≤0，
即b≥a，
∴说法②不符合题意；
∵若a+b＜0，ab＞0，
则a＜0，b＜0，
∴a+3b＜0，
|a+3b|＝﹣（a+3b）＝﹣a﹣3b，
∴说法③符合题意；
∵若|a|＞|b|，当a＞0时，a+b＞0，a﹣b＞0，
∴（a+b）×（a﹣b）＞0；
当a＜0时，a+b＜0，a﹣b＜0，
∴（a+b）×（a﹣b）＞0，
∴说法④符合题意；
∵若a＞b，ab＜0，则a＞0，b＜0，
当a≥2时，若|a﹣2|＜|b﹣2|，
则a﹣2＜2﹣b，
∴a+b＜4；
当a＜2时，若|a﹣2|＜|b﹣2|，
则2﹣a＜2﹣b
∴a＞b，
∴a+b＞4错误，∴说法⑤不符合题意，
故选：C．
五．实数与数轴（共3小题）
15．（2023秋•文山市期末）如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若
AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（ ）
A． ﹣1 B． +1 C．﹣ +1 D．
【分析】先求出张方形的边长AD，再根据向右动就用加法计算求解．
【解答】解：正方形ABCD的边长为： ，
∴点E所表示的数为：﹣1+ ，
故选：A．
16．（2023秋•献县期末）正方形纸板ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为1和0，
若正方形纸板ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与 2021对应的点是（
）
A．D B．C C．B D．A
【分析】由图可知正方形边长为1，顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转则点 A落在1，点B落在2，
点C落在3，点D落在4，可知其四次一循环，由此可确定出2021所对应的点．
【解答】解：当正方形在转动第一周的过程中，点A落在1，点B落在2，点C落在3，点D落在4，∴
四次一循环，
∵2021÷4＝505…1，
∴2021所对应的点是A，
故选：D．
17．（2023秋•桥西区期末）正方形ABCD的边长AB＝2，其顶点A在数轴上且表示的数为﹣1，若点E也
在数轴上且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）A．﹣3 B．3 C．﹣3或1 D．﹣3或3
【分析】根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数即可．
【解答】解：由题意得AB＝AE＝2，
当点E在点A的左边时，点E所表示的数为﹣1﹣2＝﹣3，
当点E在点A的右边时，点E所表示的数为﹣1+2＝1，
故选：C．
六．实数大小比较（共2小题）
18．（2023秋•金湾区期末）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．把a，﹣a，b，﹣b
按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．﹣b＜﹣a＜a＜b B．﹣a＜﹣b＜a＜b C．﹣b＜a＜﹣a＜b D．b＜﹣a＜a＜﹣b
【分析】通过观察数轴可知b＜﹣1，0＜a＜1，据此把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列即可．
【解答】解：∵b＜﹣1，
∴﹣b＞1，
∵0＜a＜1，
∴﹣1＜﹣a＜0，
∴把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列为：b＜﹣a＜a＜﹣b．
故选：D．
19．（2023秋•邵阳期末）已知a＝2﹣ ，b＝ ﹣ ，c＝ ﹣1．那么a，b，c的大小关系是（
）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【分析】首先分别求出a、b、c的倒数，比较出a、b、c的倒数的大小关系，然后根据：几个正实数，
倒数越大这个数越小，判断出a，b，c的大小关系即可．
【解答】解：∵a＝2﹣ ，b＝ ﹣ ，c＝ ﹣1，
∴ ＝ ＝2+ ， ＝ ＝ + ， ＝ ＝ +1，
∵2+ ＞ + ＞ +1，
∴ ＞ ＞ ，∴a＜b＜c．
故选：A．
七．估算无理数的大小（共3小题）
20．（2024•南海区一模）若a﹣1＜ ＜a，且a为整数，则a的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先估算 在哪两个整数之间，然后根据已知条件，求出a即可．
【解答】解： ，即 ，
∵a﹣1＜ ＜a，
∴a＝4，
故选：A．
21．（2024•浙江一模）无理数a﹣ （a＞1且为正整数）的整数部分是b，小数部分是c，则下列关系式
中一定成立的是（ ）
A．c﹣b＜0 B．a﹣b＞0 C．a＝b+c D．a﹣c＝2
【分析】根据已知条件，求出a的取值范围，然后分两种情况讨论：①当a＝2，②a＞2时，分别判
断各个选项中的式子的正负，然后再逐一进行判断即可．
【解答】解：∵ ，a＞1且为正整数，
∴a≥2且为整数，
当a＝2时， 的整数部分b＝0，c＝ ，
∴c﹣b＝ ，a﹣b＝2＞0， ，b+c＝ ≠a，
当a＞2时，
∴c﹣b＜0，a﹣b＞0， ，a﹣c＝ ≠2，
综上可知：A，C，D选项不成立，B选项一定成立，
故选：B．
22．（2023秋•驿城区校级期末）一个正方形的面积是17，它的边长在两个相邻整数之间，则这两个整数
是（ ）A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
【分析】由正方形的面积等于边长的平方，可求出正方形的边长为 ，由16＜17＜25可得 的取
值范围．
【解答】解：设正方形的边长为a，
由正方形的面积为17得：a2＝17，
又∵a＞0，
∴a＝ ，
∵16＜17＜25，
∴4＜ ＜5．
故选：C．
八．实数的运算（共2小题）
23．（2023 秋•泰山区期末）定义一种运算：对于任意实数 a，b，都有 a*b＝（a﹣1）2﹣b2，则
＝ ﹣ 1 ．
【分析】根据题意列式计算即可．
【解答】解：原式＝（ +1﹣1）2﹣（﹣ ）2
＝5﹣6
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
24．（2023秋•新都区期末）用“&”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a&b＝b2﹣ab，例如4&1＝
12−4×1＝﹣3，那么5&[3&（﹣2）]＝ 5 0 ．
【分析】根据新运算列式计算即可．
【解答】解：原式＝5&[（﹣2）2﹣3×（﹣2）]
＝5&（4+6）
＝5&10
＝102﹣5×10
＝100﹣50
＝50，故答案为：50．
九．点的坐标（共5小题）
25．（2024•碑林区校级一模）已知a+b＜0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的
坐标可能是（ ）
A．（a，b） B．（a，﹣b） C．（﹣a，b） D．（﹣a，﹣b）
【分析】因为ab＞0，所以a、b同号，又a+b＜0，所以a＞0，b＞0，观察图形判断出小手盖住的点在
第二象限，然后解答即可．
【解答】解：∵a+b＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0．
A、（a，b）在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
B、（a，﹣b）在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；
C、（﹣a，b）在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
D、（﹣a，﹣b）在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
故选：B．
26．（2023秋•宿松县期末）直角坐标系中，点P（a2，﹣| |）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据题意可得：a≠0，从而可得a2＞0，﹣| |＜0，然后根据平面直角坐标系中，第四象限点
的坐标特征（+，﹣），即可解答．
【解答】解：由题意得：a≠0，
∴a2＞0，﹣| |＜0，
∴点P（a2，﹣| |）在第四象限，
故选：D．
27．（2023秋•宁阳县期末）若点P（a，b）在第二象限，则M（ab，﹣a）应在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数确定出 a、b的正负情况，再求出ab，﹣a
的正负情况，然后确定出点M所在的象限，即可得解．
【解答】解：∵点P（a，b）在第二象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，﹣a＞0，
∴点M（ab，﹣a）在第二象限．
故选：B．
28．（2023秋•鹰潭期末）在平面直角坐标系中，点 M（m﹣3，m+1）在 x轴上，则点 M的坐标为
（ ）
A．（﹣4，0） B．（0，﹣2） C．（﹣2，0） D．（0，﹣4）
【分析】根据x轴上的点的纵坐标等于0列式求出m的值，即可得解．
【解答】解：∵点M（m﹣3，m+1）在平面直角坐标系的x轴上，
∴m+1＝0，
解得m＝﹣1，
∴m﹣3＝﹣1﹣3＝﹣4，
点M的坐标为（﹣4，0）．
故选：A．
29．（2023秋•新民市期末）已知点P的坐标为（a，b），其中a，b均为实数，若a，b满足3a＝2b+5，
则称点P为“和谐点”．若点M（m﹣1，3m+2）是“和谐点”，则点M所在的象限是（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【分析】直接利用“和谐点”的定义得出m的值，进而得出答案．
【解答】解：点M在第三象限，
理由如下：
∵点M（m﹣1，3m+2）是“和谐点”，
∴3（m﹣1）＝2（3m+2）+5，
解得m＝﹣4，
∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，
∴点M在第三象限．
故选：B．
一十．坐标与图形性质（共2小题）30．（2023秋•沙坪坝区校级期末）在平面直角坐标系中，若A（m+3，﹣1），B（1﹣m，3），且直线
AB∥y轴，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，建立方程求解即可得答案．
【解答】解：∵直线AB∥y轴，
∴m+3＝1﹣m，
∴m＝﹣1．
故答案为：A．
31．（2023秋•镇江期末）已知点M（﹣3，﹣2），MN∥y轴，且MN＝2，则点N的坐标是（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣1，﹣2）
C．（﹣3，0）或（﹣3，﹣4） D．（﹣1，﹣2）或（﹣5，﹣2）
【分析】根据M（﹣3，﹣2），MN∥y轴，可求得点N的横坐标，再根据MN＝2，即可求得点N的纵
坐标．
【解答】解：∵M（﹣3，﹣2），MN∥y轴，
∴点N的横坐标是﹣3，
∵MN＝2，
∴点N的纵坐标是﹣4或0，
∴点N的坐标是（﹣3，0）或（﹣3，﹣4），
故选：C．
一十一．相交线（共4小题）
32．（2023秋•绥棱县校级月考）平面内两两相交的4条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则
m+n等于（ ）
A．6 B．11 C．7 D．17
【分析】4条直线两两相交，有3种位置关系，画出图形，求出m、n的值，再代入进行解答．
【解答】解：若4条直线两两相交，其位置关系有3种，如图所示：
则交点有1个，或4个，或6个．
故m＝1，n＝6，
m+n＝1+6＝7．故选：C．
33．（2023秋•佛山期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了（ ）个部分．
A．7或8 B．8 C．8或9 D．10
【分析】根据题意画出图形即可．
【解答】解：如图，
所以，平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了8或9个部分，
故选：C．
34．（2023秋•从江县校级期中）平面内有7条直线，这7条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少
可以得到b个交点，则a+b的值是（ ）
A．16 B．22 C．20 D．18
【分析】分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线⋯的交点个数，找出规律即可得出答案．
【解答】解：2条直线相交最多有1个交点，最少有1个交点，
3条直线相交最多有1+2＝3个交点，最少有1个交点，
4条直线相交最多有1+2+3＝6个交点，最少有1个交点，
⋯n条直线相交最多有（1+2+3+⋯n）个交点，最少有1个交点，
因为1+2+3+4+5+6＝21，
所以7条直线相交最多有21个交点，最少有1个交点，
故a＝21，b＝1，
所以a+b＝22；
故选：B．
35．（2023秋•邹城市期末）如图：①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；
③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有 4 5 ．【分析】根据直线的条数与交点个数之间的变化关系进行解答即可．
【解答】解：2条直线相交，最多有1个交点，
3条直线相交，最多有3个交点，即1+2＝3，
4条直线相交，最多有6个交点，即1+2+3＝6，
5条直线相交，最多有10个交点，即1+2+3+4＝10，
……
10条直线相交，最多有45个交点，即1+2+3+4+…+7+8+9＝45，
故答案为：45．
一十二．垂线段最短（共3小题）
36．（2023秋•玄武区期末）如图，AC⊥BC，垂足为C，AC＝6，BC＝8，AB＝10．P是线段AB上一点，
连接PC，PC的长不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】作CH⊥AB于H，由三角形面积公式得到△ABC的面积＝ AC•BC＝ AB•CH，而AC＝6，
BC＝8，AB＝10，即可求出CH＝4.8，又PC≥CH＝4.8，即可得到答案．
【解答】解：作CH⊥AB于H，
∵AC⊥BC，
∴△ABC的面积＝ AC•BC＝ AB•CH，
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴CH＝4.8，
∵PC≥CH＝4.8，∴PC的长不可能4．
故选：A．
37．（2023•余杭区二模）点A为直线BC外一点，AC⊥BC于点C，AC＝6．点P是直线BC上的动点，则
线段AP长可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【分析】利用垂线段最短得到AP≥AC，然后对各选项进行判断．
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴AP≥AC，
即AP≥6．
故选：D．
38．（2023秋•南昌期末）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动
点，连接PT，则（ ）
A．PT＜PQ B．PT＞PQ C．PT≤PQ D．PT≥PQ
【分析】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论．
【解答】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，
∴PT≥PQ，
故选：D．
一十三．点到直线的距离（共3小题）
39．（2023春•开福区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝3cm，则
点C到AB的距离为（ ）A．4cm B．3cm C．2.4cm D．2.5cm
【分析】设点C到AB的距离为h，依据三角形面积，即可得到点C到AB的距离．
【解答】解：设点C到AB的距离为h，
∵∠ACB＝90°，
∴ AC•BC＝ AB•h，
∴h＝ ＝2.4，
故选：C．
40．（2023秋•西山区校级期末）P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，PA＝5，PB＝4，PC＝
3，则点P到直线m的距离（ ）
A．不大于3 B．等于3 C．小于3 D．不小于3
【分析】根据垂线段最短和点到直线的距离的定义得出即可．
【解答】解：根据垂线段最短得出点P到直线m的距离是不大于3，
故选：A．
41．（2023春•宝坻区校级月考）P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，
PC＝6cm，则点P到直线m的距离（ ）
A．等于5cm B．等于4cm C．小于4cm D．不大于4cm
【分析】根据垂线段最短和点到直线的距离的定义得出即可．
【解答】解：根据垂线段最短得出点P到直线m的距离是不大于4cm，
故选D．
一十四．平行公理及推论（共2小题）
42．（2023春•新民市期中）已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，则直线a和c应满足的位置关系是（
）
A．在同一个平面内 B．不相交
C．平行或重合 D．不在同一个平面内
【分析】根据平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得答案．
【解答】解：当a∥c时，a∥b，c∥d，得b∥d；当a、c重合时，a∥b，c∥d，得b∥d，
故C正确；
故选：C．
43．（2023春•南宁月考）a、b、c是直线，下列说法正确的是（ ）
A．若a⊥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a∥b，b⊥c，则b∥c D．若a∥b，b∥c，则a∥c
【分析】根据平行公理以及平行线的性质判断即可．
【解答】解：A、在同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥c，原说法错误，不符合题意；
B、在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，原说法错误，不符合题意；
C、在同一平面内，若a∥b，b⊥c，则a⊥c，原说法错误，不符合题意；
D、若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，符合题意．
故选：D．
一十五．平行线的判定（共4小题）
44．（2023秋•长治期末）下列各图中，能画出AB∥CD的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【分析】根据平行线的判定定理进行判断即可．
【解答】解：由同位角相等两直线平行可知：①正确；由垂直于同一条直线的两条直线平行可知②、
③正确；根据内错角相等两直线平行线可知④正确．
故选：D．
45．（2023秋•德惠市期末）如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具，木条 a，b，c在同一平面内．
经测量∠1＝70°，要使木条a∥b，则∠2的度数应为（ ）
A．20° B．70° C．110° D．160°【分析】根据邻补角互补和平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：∠2的度数应为110°．
证明：如图，
∵∠2＝110°，
∴∠3＝180°﹣110°＝70°，
∴∠1＝∠3，
∴a∥b．
故选：C．
46．（2023秋•修水县期末）一副直角三角板中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，现将直角顶点C
按照如图方式叠放，点E在直线AC上方，且0°＜∠ACE＜180°，能使三角形ADC有一条边与EB平行
的所有∠ACE的度数为 45 ° 或 135 ° 或 165 ° ．
【分析】旋转三角形ADC，使其三边分别与BE形成平行状态，根据平行线的判定定理分情况讨论求解
即可．
【解答】解：当∠ACE＝∠E＝45°时，AC∥BE，理由如下，如图所示：
∵∠ACE＝∠DCB＝45°，∠B＝45°，
∴BE⊥CD．
又∵AC⊥CD，
∴AC∥BE；当∠ACE＝135°时，BE∥CD，理由如下，如图所示：
∵∠ACE＝135°，
∴∠DCE＝135°﹣90°＝45°，
∵∠E＝45°，
∴∠DCE＝∠E，
∴BE∥CD；
当∠ACE＝165°时，BE∥AD．理由如下：
延长AC交BE于F，如图所示：
∵∠ACE＝165°，
∴∠ECF＝15°，
∵∠E＝45°，
∴∠CFB＝∠ECF+∠E＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠A＝∠CFB，
∴BE∥AD，
综上，三角形ADC有一条边与EB平行的所有∠ACE的度数的为：45°或135°或165°．
故答案为：45°或135°或165°．
47．（2023秋•台江区期末）如图，直线a、c固定，∠1＝70°，直线b绕着点O旋转，当旋转到使∠2＝
70 °时，有a∥b．【分析】由平行线的判定得出当∠1＝∠2＝70°，a∥b．
【解答】解：当a∥b，
∴∠2＝∠1＝70°，
∴∠2＝70°时，∠2＝∠1，
∴a∥c，
故答案为：70．
一十六．平行线的性质（共6小题）
48．（2024•大东区模拟）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，
当∠ABM＝35°时，∠DCB的度数是（ ）
A．55° B．70° C．60° D．35°
【分析】由反射定律得到：∠OBC＝∠ABM＝35°，由平角定义求出∠ABC＝110°，由平行线的性质推
出∠BCD+∠ABC＝180°，即可求出∠BCD＝70°．
【解答】解：由反射定律得到：∠OBC＝∠ABM＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD+∠ABC＝180°，
∴∠BCD＝70°．
故选：B．
49．（2024•吐鲁番市一模）如图，a∥b，点A在直线b上，点C在直线a上，AB⊥BC．若∠2＝140°，则
∠1的度数为（ ）A．140° B．130° C．120° D．150°
【分析】过点B作BD∥a，则有BD∥b，由平行线的性质可得∠2+∠CBD＝180°，∠1+∠ABD＝180°，
再由∠ABC＝90°，即可求解．
【解答】解：过点B作BD∥a，如图，
则BD∥b，
∴∠2+∠CBD＝180°，∠1+∠ABD＝180°，
∵∠2＝140°，
∴∠CBD＝180°﹣∠2＝40°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠CBD＝50°，
∴∠1＝180°﹣∠ABD＝130°．
故选：B．
50．（2024•平舆县一模）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝130°，∠D＝120°，
则∠C的度数为（ ）
A．120° B．110° C．140° D．90°
【分析】过点C作CF∥AB，由平行线性质可得∠B，∠D，∠BCF，∠DCF的关系，进而求得∠C．
【解答】解：如图所示：过点C作CF∥AB．∵AB∥DE，
∴DE∥CF；
∴∠BCF＝180°﹣∠B＝50°，∠DCF＝180°﹣∠D＝60°；
∴∠C＝∠BCF+∠DCF＝110°．
故选：B．
51．（2023秋•建平县期末）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝135°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．30° B．35° C．36° D．40°
【分析】过点A作l 的平行线，过点B作l 的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，
1 2
∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠MAB+∠ABN＝180°，然后计算即可得解．
【解答】解：如图，过点A作l 的平行线AM，过点B作l 的平行线BN，
1 2
则∠3＝∠1，∠4＝∠2，
∵l ∥l ，
1 2
∴AM∥BN，
∴∠MAB+∠ABN＝180°，
∵∠CAB＝135°，∠ABD＝85°
∴∠3+∠4＝135°+85°﹣180°＝40°，
∴∠1+∠2＝40°．
故选：D．52．（2023秋•齐河县期末）如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角∠B＝120°，第二次拐角∠C
＝140°，为了保持公路AB与DE平行，则第三次拐角∠D的度数应为（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【分析】先延长BC，ED交于点F，根据平行线的性质，得出∠F＝∠B＝120°，再根据∠BCD＝140°，
可得∠DCF＝40°，根据∠CDE＝∠F+∠DCF进行计算即可．
【解答】解：如图，延长BC，ED交于点F，
∵AB∥EF，
∴∠F＝∠B＝120°，
∵∠BCD＝140°，
∴∠DCF＝40°，
∴∠CDE＝∠F+∠DCF＝120°+40°＝160°，
故选：D．
53．（2023秋•上杭县期末）如图，已知长方形纸片ABCD中，点E、F、G分别在边AD、AB、CD上．将
三角形AEF沿EF翻折，点A落在点A 处，将三角形DEG沿EG翻折，点D落在点D 处．有以下四个
1 1
结论：（1）若∠A ED＝2n°，则∠AEF＝（90﹣n）°；（2）若∠FEG＝90°，则A 、D 、E三点不一定
1 1 1
在同一直线上；（3）若∠FEG＝m°（m＞90），则∠A ED ＝（2m﹣180）°；（4）若∠FEG＝m°（m
1 1
＜90），则∠A ED ＝（180﹣2m）°．其中正确的结论个数有（ ）
1 1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用折叠的性质，再结合角与角的和差关系逐项判断
【解答】解：由折叠的性质，得∠AEF＝∠A EF，∠DEG＝∠D EG，
1 1
对于（1），若∠A ED＝2n°，
1
∵∠AEF+∠FEA +∠A ED＝180°，
1 1
整理得2∠AEF+2n°＝180°，
∴∠AEF＝（90﹣n）°，故（1）正确；
对于（2），若∠FEG＝90°，则∠FEA +∠GED ＝90°，
1 1
∴∠AEF+∠FEA +∠GED +∠DEG＝180°，
1 1
∵点E在边AD上，
∴点A D E三点一定在同一直线上，故（2）错误；
1 1
对于（3），若∠FEG＝m°（m＞90），则∠AEF+∠FEG+∠DEG＝180°，
∴∠AEF+∠DEG＝180°﹣m°，则∠AED ＝180°﹣（∠AEF+∠A EF）﹣（∠DEG+∠D EG）＝180°﹣2
1 1 1
（∠AEF+∠DEG）＝（2m﹣180）°，故（3）正确；
对于（4），若∠FEG＝m2（m＜90），则∠AEF+∠FEG+∠DEG＝180°，
得∠AEF+∠DEG＝180°﹣m°，
则∠AED ＝（∠AEF+∠FEA ）+（∠DEG+∠GED ）﹣180°＝2（∠AEF+∠DEG）﹣180°＝（180﹣
1 1 1
2m）°，故（4）正确．
故选：C．
一十七．命题与定理（共3小题）
54．（2023秋•义乌市期末）下列选项中可以用来说明命题“若 x2＞1，则x＞1”是假命题的反例是
（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【分析】根据有理数的乘方法则、假命题的概念解答．
【解答】解：（﹣2）2＝4＞1，﹣2＜1，
∴当x＝﹣2时，说明命题“若x2＞1，则x＞1”是假命题，
故选：D．
55．（2023秋•蒙城县期末）对于命题“若a2＞b2，则a＞b．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命
题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣3，b＝2 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝3
【分析】要找出命题是假命题的选项，即是找出满足条件，不满足结论的选项；本题中条件为a2＞b2，
结论为a＞b，即需找出满足a2＞b2，但不满足a＞b的选项；从选项中先找出满足a2＞b2的选项，再从
中找出不满足a＞b的选项，问题即可解答．
【解答】解：根据题意可知，当a＝﹣3，b＝2时，a2＞b2，但不满足a＞b．
故选：B．
56．（2023秋•射洪市期末）已知下列命题：①若a≤0，则|a|＝﹣a；②若m＞n，则ma2＞na2；③对顶
角相等；④两直线平行，内错角相等．其中为真命题的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．0个
【分析】由对顶角的性质，平行线的性质，绝对值的意义，即可判断．
【解答】解：①若a≤0，则|a|＝﹣a，正确，故①符合题意；
②若m＞n，如果a＝0，那么ma2＝na2，故②不符合题意；
③对顶角相等，正确，故③符合题意；
④两直线平行，内错角相等，正确，故④符合题意．
∴其中为真命题的个数是3个．
故选：B．
一十八．平移的性质（共3小题）
57．（2023秋•河口区期末）如图，将直角三角形 ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点
H，CH＝2cm，EF＝5cm，则阴影部分的面积为（ ）A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
【分析】由平移的性质可知BC＝EF，BE＝AD＝2cm，∠ABC＝∠E＝90°，进而得出BH的长，根据S阴
影
＝S直角梯形BEFH ，即可得出答案．
【解答】解：由平移的性质可知BC＝EF＝5cm，BE＝AD＝2cm，∠DEC＝∠B＝90°，S阴影 ＝S直角梯形
，
BEFH
∴BH＝BC﹣CH＝3cm，
∴S阴影 ＝S直角梯形BEFH
＝（3+5）×2×
＝8（cm2）．
故选：B．
58．（2023秋•朝阳区校级期末）如图，△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，
AB＝6，DH＝4，平移距离为7，则阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．16 C．28 D．24
【分析】由S△ABC ＝S△DEF ，推出S四边形ABEH ＝S阴 即可解决问题．
【解答】解：∵平移距离为7，
∴BE＝7，
∵AB＝6，DH＝4，
∴EH＝6﹣4＝2，
∵S△ABC ＝S△DEF ，
∴S四边形ABEH ＝S阴 ，
∴阴影部分的面积为＝ ×（6+2）×7＝28．
故选：C．
59．（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝2cm，将△ABC沿BC方向平移a cm
（0＜a＜5），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 1 1 cm．【分析】根据平移的性质得到DE＝AB＝4cm，AD＝BE＝a cm，根据周长公式计算，得到答案．
【解答】解：由平移的性质可知：DE＝AB＝4cm，AD＝BE＝a cm，
∴EC＝（5﹣a）cm，
∴阴影部分的周长＝AD+EC+AC+DE＝a+（5﹣a）+2+4＝11（cm），
故答案为：11．
