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2022-2023学年度第一学期期末模拟（二）
七 年 级 数 学
（考试时间：120分钟 满分：150分）
班级： 姓名： 得分：
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．在数轴上﹣3与3之间的有理数有（ ）个．
A．4 B．5 C．6 D．无数个
2．2020年国庆档电影《我和我的家乡》通过讲述中国东西南北中五大地域的家乡故事，
抒发人们的家国情怀，展示脱贫攻坚成果．该电影上映第一天票房为10500万元，则数
字10500用科学记数法可表示为（ ）
A．10.5×103 B．1.05×104 C．1.05×105 D．105×102
3．按下面长度，A、B、C不在同一直线上的为（ ）
A．AB＝5cm，BC＝15cm，AC＝20cm
B．AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm
C．AB＝11cm，BC＝21cm，AC＝10cm
D．AB＝30cm，BC＝16cm，AC＝14cm
4．将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中∠ABC的度数是（ ）
A．120° B．135° C．145° D．150°
5．如图，将4×3的网格图剪去5个小正方形后，图中还剩下7个小正方形，为了使余下的
部分（小正方形之间至少要有一条边相连）恰好能折成一个正方体，需要再剪去1个小
正方形，则应剪去的小正方形的编号是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
6．下列变形错误的是（ ）
A．若a＝b，则3﹣2a＝3﹣2b B．若ac＝bc，则a＝b
a b
C．若a＝b，则ac＝bc D．若 = ，则a＝b
c c
7．已知∠1＝37°36′，∠2＝37.36°，则∠1与∠2的大小关系为（ ）A．∠1＜∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＞∠2 D．无法比较
8．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原
树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线 B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短 D．以上答案都不对
9．已知x＝2是关于x的方程x﹣7m＝2x+5的解，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．7 D．﹣7
10．当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角，此时是（ ）
A．9点钟 B．8点钟
C．4点钟 D．8点钟或4点钟
二、填空题：（本大题共8小题，第11、12每小题3分，第13～18每小题4分，共30
分）
1
11．已知2x6y2和- x3myn 是同类项，则m﹣n的值是 ．
3
12．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a+b|﹣|b﹣2|﹣|c﹣a|﹣|c﹣2|＝ ．
13．已知数轴上点A，B分别对应数a，b．若线段AB的中点M对应着数15，则a+b的值
为 ．
14．已知一个锐角为32°51'，则它的余角的度数为 ．
15．关于x的方程||x﹣2|﹣1|＝a恰有三个整数解，则a的值为 ．
16．将1，2，3，⋯100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组中的两
a+b-|a-b|
个数记为a，b代入 中进行计算，求出结果，可得到50个值，则这50个
2
值的和的最大值为 ．
1
17．用符号[a，b]表示a，b两数中的较大者，则[-1，- ]的值为 ．
2
18．按照下面的程序计算：
若输入数据为30，则输出的结果为151；若开始输入的数据x为非负整数，最后输出的
结果为156，则开始输入的数x为 ．（写出所有可能的数）
三、解答题：（本大题共8小题，共90分）19．计算或化简（每小题5分，共20分）
1 5 1
（1）( - + )×(-36)；
3 2 6
1 1
（2）(-1) 2022×3-23+(- ) 2÷|- |．
4 25
（3）3x2﹣[7x﹣（4x﹣3）﹣2x2]
1 1
（4）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b），其中a = ，b=- ．
2 3
20．解方程：（每小题5分，共10分）
（1）4（x﹣1）＝1﹣x；
x-1 x-5
（2） -1= ．
2 3
21．（本题8分）如图，点C在∠AOB的边OA上，选择合适的画图工具按要求画图．
（1）反向延长射线OB，得到射线OD，画∠AOD的角平分线OE；
（2）在射线OD上取一点F，使得OF＝OC；
（3）在射线OE上作一点P，使得CP+FP最小；
（4）写出你完成（3）的作图依据： ．
22．（本题8分）已知k≠0，将关于x的方程kx+b＝0记作方程☆．
（1）当k＝3，b＝﹣2时，方程☆的解为 ．
（2）若方程☆的解为 x＝﹣5，写出一组满足条件的k，b值：k＝ ，b＝
；
（3）若方程☆的解为x＝3，求关于y的方程k（2y﹣5）﹣b＝0的解．
23．（本题8分）如图，已知AB＝2，点D是AB的中点，点C在直线AB上，且2BC＝
3AB．
（1）补全图形；
（2）求CD的长．
24．（本题12分）疫情后为了复苏经济，龙岗区举办了“春暖龙城，约惠龙岗”的促消费
活动，该活动拿出1.1亿元，针对全区零售，餐饮，购车等领域出台优惠政策．为配合区的经济复苏政策，龙岗天虹超市同时推出了如下促销活动：
龙岗天虹超市促销活动方案：
①购物不足500元优惠15%（打8.5折）；
②超过500元，其中500元优惠15%（打8.5折），超过部分优惠20%（打8折）．
（1）小哲在促销活动时购买了原价为200元商品，他实际应支付多少元？
（2）小哲在第一次购物后，在“龙岗发布”微信公众号中参与摇号抢到了一张满300
减100的购物券（即微信支付300元以上自动减100元），又到龙岗天虹超市去购物，
用微信实际支付了381元，他购买了原价多少元的商品？
25．（本题10分）如图，已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与
A、B重合），点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．
（1）如图1，点C在线段AB上，求PQ的长；（用含m的式子表示）
（2）如图 2，若点 C 在点 A 左侧，同时点 P 在线段 AB 上（不与端点重合），求
2AP+CQ﹣ 2PQ 的 值 ．
26．（本题14分）如图1，已知∠MON＝140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB，
（1）在图1中，若∠AOC＝40°，则∠BOC＝ °，∠NOB＝ °．
（2）在图1中，设∠AOC＝ ，∠NOB＝ ，请探究 与 之间的数量关系（ 必须写出
推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；
α β α β
（3）在已知条件不变的前提下，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图2的位置，此时
与 之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时
与 之间的数量关系．
α β
α β2022年12七上期末
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在数轴上﹣3与3之间的有理数有（ ）个．
A．4 B．5 C．6 D．无数个
【分析】根据有理数分为整数与分数，判断即可得到结果．
【解答】解：在数轴上﹣3与3之间的有理数有无数个．
故选：D．
【点评】此题考查了数轴，熟练掌握有理数的定义是解本题的关键．
2．2020年国庆档电影《我和我的家乡》通过讲述中国东西南北中五大地域的家乡故事，
抒发人们的家国情怀，展示脱贫攻坚成果．该电影上映第一天票房为10500万元，则数
字10500用科学记数法可表示为（ ）
A．10.5×103 B．1.05×104 C．1.05×105 D．105×102
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：数字10500用科学记数法可表示为1.05×104，
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．按下面长度，A、B、C不在同一直线上的为（ ）
A．AB＝5cm，BC＝15cm，AC＝20cm
B．AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm
C．AB＝11cm，BC＝21cm，AC＝10cm
D．AB＝30cm，BC＝16cm，AC＝14cm
【分析】根据两点间的距离公式对各选项进行逐一解答即可．
【解答】解：A、∵AB＝5cm，BC＝15cm，AC＝20cm，
∴AB+BC＝AC，故本选项正确；
B、∵AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm，
∴AC+BC≠AB，故本选项错误；
C、∵AB＝11cm，BC＝21cm，AC＝10cm，
∴AB+AC＝BC，故本选项正确；
D、∵AB＝30cm，BC＝16cm，AC＝14cm，
∴BC+AC＝AB，故本选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知同一直线上两点间的距离公式是解答此题的
关键．
4．将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中∠ABC的度数是（ ）A．120° B．135° C．145° D．150°
【分析】根据直角三角板的度数，再根据角的和差关系可得∠ABC的度数．
【解答】解：∵∠ABD＝45°，∠CBD＝90°
∴∠ABC＝45°+90°＝135°
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，以及角的计算，关键是掌握三角形内角和
为180°．
5．如图，将4×3的网格图剪去5个小正方形后，图中还剩下7个小正方形，为了使余下的
部分（小正方形之间至少要有一条边相连）恰好能折成一个正方体，需要再剪去1个小
正方形，则应剪去的小正方形的编号是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．注意只要有“田”字格
的展开图都不是正方体的表面展开图．
【解答】解：根据只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图，应剪去的小
正方形的编号是5．
故选：C．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记正方体展开图的各种情形．
6．下列变形错误的是（ ）
A．若a＝b，则3﹣2a＝3﹣2b B．若ac＝bc，则a＝b
a b
C．若a＝b，则ac＝bc D．若 = ，则a＝b
c c
【分析】根据等式的性质解答即可．
【解答】解：A、等式a＝b两边都乘﹣2，再加3，即3﹣2a＝3﹣2b，原变形正确，故
此选项不符合题意；
B、若c＝0时，等式m＝n不一定成立，原变形错误，故此选项符合题意；
C、等式a＝b两边都乘c，即ac＝bc，原变形正确，故此选项不符合题意；
a b
D、等式 = 两边都乘c，即a＝b，原变形正确，故此选项不符合题意．
c c故选：B．
【点评】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：等式的两边加或都减
同一个数，结果仍是等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
7．已知∠1＝37°36′，∠2＝37.36°，则∠1与∠2的大小关系为（ ）
A．∠1＜∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＞∠2 D．无法比较
【分析】根据1°等于60′，把分化成度，比较大小可得答案．
【解答】解：∵37°36′＝37.6°，
37.6°＞37.36°，
∴∠1＞∠2．
故选：C．
【点评】本题考查了角的大小比较和度分秒的换算，在比较角的大小时有时可把分化为
度来进行比较．
8．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原
树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线 B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短 D．以上答案都不对
【分析】利用线段的性质可得答案．
【解答】田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比
原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选：C．
【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
9．已知x＝2是关于x的方程x﹣7m＝2x+5的解，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．7 D．﹣7
【分析】根据方程的解得概念将x＝2代入方程得出关于m的方程，解之可得．
【解答】解：根据题意将x＝2代入方程x﹣7m＝2x+5，得：2﹣7m＝4+5，
解得：m＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查一元一次方程，解题的关键是熟练掌握方程的解的概念：使一元
一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解及解一元一次方程的能力．
10．当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角，此时是（ ）
A．9点钟 B．8点钟
C．4点钟 D．8点钟或4点钟
【分析】根据钟表上每一个大个之间的夹角是30°，当分针指向12，时针这时恰好与分
针成120°的角，应该得出，时针距分针应该是4个格，应考虑两种情况．【解答】解：∵钟表上每一个大个之间的夹角是30°，
∴当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角时，距分针成120°的角时针应该有
两种情况，即距时针4个格，
∴只有8点钟或4点钟是符合要求．
故选：D．
【点评】此题主要考查了钟面角的有关知识，得出距分针成 120°的角时针应该有两种情
况，是解决问题的关键．
二．填空题（共8小题）
1
11．已知2x6y2和- x3myn 是同类项，则m﹣n的值是 0 ．
3
【分析】根据同类项得定义得出m、n的值，继而代入计算可得．
【解答】解：根据题意知3m＝6，即m＝2、n＝2，
所以m﹣n＝2﹣2＝0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查同类项，解题的关键是熟练掌握同类项得定义．
12．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a+b|﹣|b﹣2|﹣|c﹣a|﹣|c﹣2|＝ ﹣ 4 ．
【分析】首先根据数a，b，c在数轴上的位置，可得b＜﹣2＜a＜0＜c＜2，据此判断出
a+b、b﹣2、c﹣a、c﹣2的正负；然后根据整式的加减运算方法，求出算式|a+b|﹣|b﹣2|
﹣|c﹣a|﹣|c﹣2|的值是多少即可．
【解答】解：根据图示，可得b＜﹣2＜a＜0＜c＜2，
∴a+b＜0，b﹣2＜0，c﹣a＞0，c﹣2＜0，
∴|a+b|﹣|b﹣2|﹣|c﹣a|﹣|c﹣2|
＝﹣（a+b）+（b﹣2）﹣（c﹣a）+（c﹣2）
＝﹣a﹣b+b﹣2﹣c+a+c﹣2
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】此题主要考查了数轴，绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是
要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝
对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
13．已知数轴上点A，B分别对应数a，b．若线段AB的中点M对应着数15，则a+b的值
为 3 0 ．
【分析】由线段AB的中点对应的数为15，可知点A、B两点分别在点M的两侧，画出
符合题意的图形，由数轴上两点之间的距离和点与数的对应关系求出a+b的值为30．
【解答】解：如图所示：∵点A、B对应的数为a、b，
∴AB＝a﹣b，
a-b
∴a- =15，
2
解得：a+b＝30，
故答案为30．
【点评】本题综合考查了数轴上的点与数的对应关系，两点之间的距离，线段的中点等
相关知识点，重点掌握数轴相关知识点．
14．已知一个锐角为32°51'，则它的余角的度数为 57°9 ' ．
【分析】根据和为90度的两个角互为余角，列式计算即可求解．
【解答】解：根据余角的定义，38度的余角度数是90°﹣32°51′＝57°9′．
故答案为：57°9′．
【点评】考查了余角和补角，此题属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的
和为90度．
15．关于x的方程||x﹣2|﹣1|＝a恰有三个整数解，则a的值为 1 ．
【分析】根据绝对值的性质可得|x﹣2|﹣1＝±a，然后讨论x≥2及x＜2的情况下解的情
况，再根据方程有三个整数解可得出a的值．
【解答】解：①若|x﹣2|﹣1＝a，
当x≥2时，x﹣2﹣1＝a，解得：x＝a+3，a≥﹣1；
当x＜2时，2﹣x﹣1＝a，解得：x＝1﹣a；a＞﹣1；
②若|x﹣2|﹣1＝﹣a，
当x≥2时，x﹣2﹣1＝﹣a，解得：x＝﹣a+3，a≤1；
当x＜2时，2﹣x﹣1＝﹣a，解得：x＝a+1，a＜1；
又∵方程有三个整数解，
∴可得：a＝﹣1或1，根据绝对值的非负性可得：a≥0．
即a只能取1．
故答案为1．
【点评】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的
解集的求法是关键．
16．将1，2，3，⋯100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组中的两
a+b-|a-b|
个数记为a，b代入 中进行计算，求出结果，可得到50个值，则这50个
2
值的和的最大值为 250 0 ．
a+b-|a-b|
【分析】设a＞b，将代数式化简 =b；可知：将每组中的两个数a，b，分
2
别代入代数式后计算的结果等于两个数中较小的数．
如果求这50个值的和的最大值，每组中的两个数应为相邻的两数，且像1和2，3和4，5 和 6，••••••，99 和 100 这样分组，则这 50 个值的和的最大值为：99+
+97+95+•••+1，计算这个算式即可得出结论．
【解答】解：每组中的两个数记为a，b，设a＞b，
a+b-|a-b| a+b-(a-b) a+b-a+b
则 = = =b．
2 2 2
∴将每组中的两个数a，b，分别代入代数式后计算的结果等于两个数中较小的数．
∴如果求这50个值的和的最大值，每组中的两个数应为相邻的两数，
这样，这50个值的和的最大值为：
(99+1)×50
99++97+95+•••+1= =2500．
2
故答案为：2500．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，若求和的最大值，找出分组的规律是解题的关
键．
1 1
17．用符号[a，b]表示a，b两数中的较大者，则[-1，- ]的值为 - ．
2 2
【分析】先比较出各数的大小，进而可得出结论．
1
【解答】解：∵1＞ ，
2
1
∴﹣1＜- ．
2
1
故答案为：- ．
2
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解题的关键．
18．按照下面的程序计算：
若输入数据为30，则输出的结果为151；若开始输入的数据x为非负整数，最后输出的
结果为156，则开始输入的数x为 0 或 1 或 6 或 3 1 ．（写出所有可能的数）
【分析】根据题意进行分类讨论即可求解．
【解答】解：当输入第一次就直接输出结果时：5x+1＝156，则x＝31；
当输入第二次就直接输出结果时：5x+1＝31，则x＝6；
当输入第三次就直接输出结果时：5x+1＝6，则x＝1；
当输入第四次就直接输出结果时：5x+1＝1，则x＝0；
当输入第五次就直接输出结果时：5x+1＝0，则x＝﹣0.2＜0，不符合题意，舍去此种情
况；
所以x的取值可取0或1或6或31，故答案为：0或1或6或31．
【点评】本题主要考查了代数式的求值以及有理数的混合运算，理解题意掌握有理数的
混合运算法则是解题的关键，运用了分类讨论的数学思想．
三．解答题（共9小题）
19．计算：
1 5 1
（1）( - + )×(-36)；
3 2 6
1 1
（2）(-1) 2022×3-23+(- ) 2÷|- |．
4 25
【分析】（1）根据乘法分配律计算即可；
（2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可．
1 5 1
【解答】解：（1）( - + )×(-36)
3 2 6
1 5 1
= ×（﹣36）- ×（﹣36）+ ×（﹣36）
3 2 6
＝﹣12+90+（﹣6）
＝72；
1 1
（2）(-1) 2022×3-23+(- ) 2÷|- |
4 25
1 1
＝1×3﹣8+ ÷
16 32
1
＝1×3﹣8+ ×32
16
＝3﹣8+2
＝﹣3．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键，
注意乘法分配律的应用．
20．解方程：
（1）4（x﹣1）＝1﹣x；
x-1 x-5
（2） -1= ．
2 3
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解：（1）去括号，可得：4x﹣4＝1﹣x，
移项，可得：4x+x＝1+4，
合并同类项，可得：5x＝5，
系数化为1，可得：x＝1．（2）去分母，可得：3（x﹣1）﹣6＝2（x﹣5），
去括号，可得：3x﹣3﹣6＝2x﹣10，
移项，可得：3x﹣2x＝﹣10+3+6，
合并同类项，可得：x＝﹣1．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步
骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
21．计算或化简
（1）3x2﹣[7x﹣（4x﹣3）﹣2x2]
1 1
（2）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b），其中a = ，b=- ．
2 3
【分析】（1）首先去括号，然后合并同类项即可化简；
（2）首先去括号，然后合并同类项即可化简，然后代入数值计算即可．
【解答】解：（1）原式＝3x2﹣[7x﹣4x+3﹣2x2]
＝3x2﹣3x﹣3+2x2
＝5x2﹣3x﹣3；
（2）原式＝15a2b﹣5ab2﹣ab2﹣3a2b
＝12a2b﹣6ab2，
1 1
当a= ，b=- 时，
2 3
1 1 1 1 1 4
原式=12×( ) 2×(- )-6× ×(- ) 2=-1- =- ．
2 3 2 3 3 3
【点评】此题主要考查了整式的加减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：整式的
加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
22．如图，点C在∠AOB的边OA上，选择合适的画图工具按要求画图．
（1）反向延长射线OB，得到射线OD，画∠AOD的角平分线OE；
（2）在射线OD上取一点F，使得OF＝OC；
（3）在射线OE上作一点P，使得CP+FP最小；
（4）写出你完成（3）的作图依据： 两点之间，线段最短 ．
【分析】（1）、（2）根据几何语言画出对应的几何图形；（3）连接CF交OE于P；
（4）利用两点之间线段最短求解．
【解答】解：（1）如图，OD、OE为所作；
（2）如图，点F为所作；
（3）如图，点P为所作；
（4）连接FC交OE于P，则根据两点之间，线段最短可判断此时PC+PF最小．
答案为：两点之间，线段最短．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，
一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图
形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
23．已知k≠0，将关于x的方程kx+b＝0记作方程☆．
2
（1）当k＝3，b＝﹣2时，方程☆的解为 x= ．
3
（2）若方程☆的解为x＝﹣5，写出一组满足条件的k，b值：k＝ 1 ，b＝ 5 ；
（3）若方程☆的解为x＝3，求关于y的方程k（2y﹣5）﹣b＝0的解．
【分析】（1）代入后解方程即可；
（2）只需满足b＝5k即可；
（3）介绍两种解法：
b
方法一：将x＝3代入方程☆：得 =-3，整体代入即可；
k
方法二：将将x＝3代入方程☆：得b＝﹣3k，整体代入即可．
【解答】解：（1）当k＝3，b＝﹣2时，方程☆为：
3x﹣2＝0，
2
x= ．
3
2
故答案为：x= ；
3
（2）答案不唯一，如：k＝1，b＝5．（只需满足b＝5k即可）
故答案为：1，5；
（3）方法一：依题意：3k+b＝0，
∵k≠0，
b
∴ =- 3，．
k
b
解关于y的方程：2y﹣5= ，
k
∴2y﹣5＝﹣3．
解得：y＝1．
方法二：
依题意：3k+b＝0，
∴b＝﹣3k．
解关于y的方程：k（2y﹣5）﹣（﹣3k）＝0，
2ky﹣2k＝0，
∵k≠0，
∴2y﹣2＝0．
解得：y＝1．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程是关键．
24．如图，已知AB＝2，点D是AB的中点，点C在直线AB上，且2BC＝3AB．
（1）补全图形；
（2）求CD的长．
【分析】注意分情况讨论A，B，C三点的位置关系，即点C在线段AB的延长线上，点
C在线段AB的反向延长线上．
【解答】解：（1）如图：点C在线段AB的延长线上（图1），点C在线段AB的反向
延长线上（图2），
（2）∵AB＝2，D是AB的中点，
1
∴AD＝DB= AB＝1．
2
∵2BC＝3AB，
∴BC＝3．
当点C在线段AB的延长线上时（如图1），
CD＝DB+BC＝4．
当点C在线段BA的延长线上时（如图2），CD＝CB﹣DB＝2．
【点评】考查了两点间的距离，在未画图类问题中，正确画图很重要．本题渗透了分类
讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
25．疫情后为了复苏经济，龙岗区举办了“春暖龙城，约惠龙岗”的促消费活动，该活动
拿出1.1亿元，针对全区零售，餐饮，购车等领域出台优惠政策．为配合区的经济复苏
政策，龙岗天虹超市同时推出了如下促销活动：
龙岗天虹超市促销活动方案：
①购物不足500元优惠15%（打8.5折）；
②超过500元，其中500元优惠15%（打8.5折），超过部分优惠20%（打8折）．
（1）小哲在促销活动时购买了原价为200元商品，他实际应支付多少元？
（2）小哲在第一次购物后，在“龙岗发布”微信公众号中参与摇号抢到了一张满300
减100的购物券（即微信支付300元以上自动减100元），又到龙岗天虹超市去购物，
用微信实际支付了381元，他购买了原价多少元的商品？
【分析】（1）根据促销活动方案列出算式计算即可求解；
（2）可设他购买了原价x元的商品，根据用微信实际支付了381元，列出方程计算即可
求解．
【解答】解：（1）200×（1﹣15%）＝170（元）．
故他实际应支付170元；
（2）设他购买了原价x元的商品，依题意有
500×（1﹣15%）+（1﹣20%）（x﹣500）﹣100＝381，
解得x＝570．
故他购买了原价570元的商品．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解打折的意义是解题关键．
26．如图，已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与A、B重合），点
P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．
（1）如图1，点C在线段AB上，求PQ的长；（用含m的式子表示）
（2）如图 2，若点 C 在点 A 左侧，同时点 P 在线段 AB 上（不与端点重合），求
2AP+CQ﹣ 2PQ 的 值 ．
【分析】（1）根据题意设 AQ＝a，BP＝b，可得 CQ＝2a，CP＝2b，由 AB＝
AQ+CQ+CP+PB，可计算出a+b的值，再根据PQ＝CQ+CP＝2a+2b＝2（a+b），代入计
算即可得出答案；
（2）设AQ＝x，BP＝y，可得出CQ＝2x，CP＝2y，由AP＝CP﹣CA，PQ＝CP﹣CQ，
再代入2AP+CQ﹣2PQ中应用整式的加减运算计算即可得出答案．
【解答】解：（1）设AQ＝a，BP＝b，则CQ＝2a，CP＝2b，
因为AB＝AQ+CQ+CP+PB＝a+2a+b+2b＝3a+3b＝m，
m
所以a+b= ，
3
2m
所以PQ＝CQ+CP＝2a+2b＝2（a+b）= ；
3
（2）设AQ＝x，BP＝y，
则CQ＝2x，CP＝2y，
所以AP＝CP﹣CA＝2y﹣3x，PQ＝CP﹣CQ＝2y﹣2x，
所以2AP+CQ﹣2PQ＝2（2y﹣3x）+2x﹣2（2y﹣2x）＝4y﹣6x+2x﹣4y+4x＝0．
所以2AP+CQ﹣2PQ的值为0．
【点评】本题主要考查了两点间的距离、线段的和差及整式的加减运算，熟练应用两点
间距离、线段的和差及整式的加减法则进行求解是解决本题的关键．
27．如图1，已知∠MON＝140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB，
（1）在图1中，若∠AOC＝40°，则∠BOC＝ 5 0 °，∠NOB＝ 4 0 °．
（2）在图1中，设∠AOC＝ ，∠NOB＝ ，请探究 与 之间的数量关系（ 必须写出
推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；
α β α β
（3）在已知条件不变的前提下，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图2的位置，此时
与 之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时
与 之间的数量关系．
α β
【分析】（1）先根据余角的定义计算∠BOC＝50°，再由角平分线的定义计算∠BOM＝
α β
100°，根据角的差可得∠BON的度数；
（2）同理先计算∠MOB＝2∠BOC＝2（90°﹣ ）＝180°﹣2 ，再根据∠BON＝∠MON
﹣∠BOM列等式即可；
α α
（3）同理可得∠MOB＝180°﹣2 ，再根据∠BON+∠MON＝∠BOM列等式即可．
【解答】（10分）
α
解：（1）如图1，∵∠AOC与∠BOC互余，
∴∠AOC+∠BOC＝90°，
∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝50°，
∵OC平分∠MOB，∴∠MOC＝∠BOC＝50°，
∴∠BOM＝100°，
∵∠MON＝40°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣100°＝40°，
故答案为：50，40；…（4分）
（2）解： ＝2 ﹣40°，理由是：
如图1，∵∠AOC＝ ，
β α
∴∠BOC＝90°﹣ ，
α
∵OC平分∠MOB，
α
∴∠MOB＝2∠BOC＝2（90°﹣ ）＝180°﹣2 ，…（5分）
又∵∠MON＝∠BOM+∠BON，
α α
∴140°＝180°﹣2 + ，即 ＝2 ﹣40°；（7分）
（3）不成立，此时此时 与 之间的数量关系为：2 + ＝40°，（8分）
α β β α
理由是：如图2，∵∠AOC＝ ，∠NOB＝ ，
α β α β
∴∠BOC＝90°﹣ ，
α β
∵OC平分∠MOB，
α
∴∠MOB＝2∠BOC＝2（90°﹣ ）＝180°﹣2 ，
∵∠BOM＝∠MON+∠BON，
α α
∴180°﹣2 ＝140°+ ，即2 + ＝40°，
答：不成立，此时此时 与 之间的数量关系为：2 + ＝40°，（10分）
α β α β
【点评】本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求出注意利
α β α β
用数形结合的思想，熟练掌握角的和与差的关系．
