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第 9 章 不等式与不等式组（培优篇）
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t（℃）的变化范围是（ ）
A．t＞33 B．t≤24 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33
2．已知实数 、 ，若 ，则下列结论中，不成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．在数轴上表示不等式﹣1≤x＜3，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
5．如果关于 的方程 的解是负值，那么 与 的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．若方程组 的解满足 ，则k的值可能为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
7．已知关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣2 B．a＞3 C．﹣2＜a＜3 D．a＜﹣2或a＞3
8．若关于 的方程 有负分数解，关于 的不等式组的解集为 ，则符合条件的所有整数 的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
9．如果数m使关于x的不等式组 有且只有三个整数解，那么符合条件的所
有整数m的和是（ ）
A．9 B．10 C． D．
10．若不等式组 的最大整数解与最小整数解的差为3，则m的值可能为
（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
11．关于x的不等式组 有解，则a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
12．北京2022冬奥会吉样物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这
两种吉祥物礼品，借价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如
果设购买冰墩墩礼品 件，则能够得到的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．已知 的最小值为a， 的最大值为b，则a-b=________．
14．方程 的正整数解是________．15．已知点 在第四象限，那么a的取值范围是________．
16．定义：对于实数a，b，符号max{a，b}表示：当a≥b时，max{a，b}= a，当a＜b
时，max{a，b}= b．例如max{-3，5}=5，max{2，1}=2．若关于x的函数y = max{x-2，-
2x+1}，则该函数的最小值为______．
17．已知 那么|x-3|+|x-1|=_____．
18．已知关于x、y的二元一次方程组 的解满足x＞y，且关于x的不等式
组 无解，那么所有符合条件的整数a的和为 _____．
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（8分）当 取何正整数时，代数式 与 的值的差大于1
20．（10分）解不等式2x﹣3＜ ，并把解集在数轴上表示出来．21．（10分）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
22．（10分）如图，“开心”农场准备用 的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩
形花园的长为 ，宽为 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）受场地条件的限制， 的取值范围为 ，求 的取值范围．
23．（10分）．某班为开展劳动教育实践活动需要购买喷水壶和铲子，购买3只喷水
壶和2把铲子需要94元，购买1只喷水壶和4把铲子需要98元．
(1)求喷水壶和铲子的单价；
(2)班长原计划用250元购买喷水壶和铲子，且恰好全部用完．现遇到商店打折促销，
购买的喷水壶和铲子均可打八折，在不额外增加费用的情况下，最多能在原计划的基础上
多购买几把铲子？、
24．（12分）自学下面材料后，解答问题．
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如： 等 ．那么如何
求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达
式为：
（1）若a＞0，b＞0，则 ＞0；若a＜0，b＜0，则 ＞0；
（2）若a＞0，b＜0，则 ＜0 ；若a＜0，b＞0，则 ＜0．
反之：（1）若 ＞0则
（2）若 ＜0，则__________或_____________．
根据上述规律，求不等式 的解集．参考答案
1．D
【分析】
已知某市最高气温和最低气温，可知该市的气温的变化范围应该在最高气温和最低气
温之间，且包括最高气温和最低气温．
解：由题意，某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，说明其它时间的气温介于两者
之间，
∴该市气温t（℃）的变化范围是：24≤t≤33；
故选：D．
【点拨】本题的关键在于准确理解题意，理解到当天的气温的变化范围应在最低气温
和最低气温之间．
2．D
【分析】
根据实数、不等式的性质对各个选项逐个计算，即可得到答案．
解：∵
∴ ， ， ，
∴ ，
∴不成立的是：
故选：D．
【点拨】本题考查了实数、不等式的知识；解题的关键是熟练掌握实数运算、不等式的性质，从而完成求解．
3．D
【分析】
把不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
解：∵﹣1≤x＜3，
∴在数轴上表示为：
故选：D．
【点拨】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法
则是解题的关键．
4．C
【分析】
把两个等式相减得 ，结合 ，可得关于a的不等式，结合完全平
方公式，即可求解．
解：∵ ①， ②，
∴①-②得： ，即 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，解得：a=3．
故选C．
【点拨】本题主要考查不等式以及完全平方式的非负性，掌握完全平方公式是解题的
关键．
5．D
【分析】
先解出方程的解，再根据解是负值列式求出a与b的关系．解： ，
，
，
，
∵解是负值，∴ ，即 ．
故选：D．
【点拨】本题考查解一元一次方程和解不等式，解题的关键是根据一元一次方程的解
是负值，列式求a与b的不等量关系．
6．D
【分析】
将两个方程组相加得到： ，再由 即可求出 进而求解．
解：由题意可知： ，
将①+②得到： ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故选：D．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解法及不等式的解法，解题关键是求出
，进而求出k的取值范围．
7．B
【分析】
根据大大小小无解找，确定a的值即可．
解：∵关于x的不等式组 无解，∴a＞3，
故选：B．
【点拨】本题考查了不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解集确定方法是
解题的关键．
8．B
【分析】
把a看作已知数表示出不等式组的解集，根据已知解集确定出a的范围，将a的整数
解代入方程，检验方程解为负分数确定出所有a的值，即可求出积．
解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组的解集为 ，
，
解得 ，
解方程 得， ，
∵方程 有负分数解，
∴ ，
∴ ，
∴ 的取值为 ，
∴整数 的值为-3，-2，-1，0，1，2，3，
把 代入方程得： ，即 ，符合题意；
把 代入方程得： ，即 ，不符合题意；
把 代入方程得： ，即 ，符合题意；
把 代入方程得： ，即 ，不符合题意；
把 代入方程得： ，即 ，符合题意；
把 代入方程得： ，即 ，不符合题意；把 代入方程得： ，即 ，符合题意．
符合条件的整数 取值为 ， ，1，3，
故选：B．
【点拨】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次方程，熟练掌握解不等式
组和方程的基本技能是解本题的关键．
9．D
【分析】
根据一元一次不等式组的解法求出不等式组的解集，再利用不等式组有且只有三个整
数解得到关于m的不等式，进而确定出m的值，即可求解．
解：在 中
由①得 ，
由②得 ，
∴不等式组的解集为 ．
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值为：-4，-3，-2，-1，0，
则它们的和为： ．
故选：D．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的整数解，根据不等式组有且只有三个整数解
列出关于 的不等式是解答本题的关键．
10．C
【分析】
先解出不等式组 的解集 ，再由不等式组的最大整数解与最小整数解的差为3，可得 ，再进行判断．
解：解不等式组 ，
得 ．
∵此不等式组的最大整数解与最小整数解的差为3，
∴ ，
解得 ，
故选∶C．
【点拨】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一
次不等式的能力，并根据不等式组最大整数解与最小整数解的差得出m的范围．
11．C
【分析】
先求出不等式组的解集 ，再利用不等式有解判断出 ，计算即可．
解：解不等式组 得： ，
∵不等式组有解，
∴ ，解之得： ，
故选：C．
【点拨】本题考查解不等式组，由不等式组解的情况求参数，解题的关键是求出不等
式解集，根据不等式有解找出a的范围．
12．D
【分析】
设购买冰墩墩礼品x件，那么雪容融为（10-x）件，由冰墩墩每个100元和雪容融每个
80元，总共花费不超过900元，可得不等式．
解：设购买冰墩墩礼品x件，那么雪容融为（10-x）件，根据题意得：100x+80(10−x)≤900，
故选：D．
【点拨】本题考查了不等式的应用，解题的关键是弄清之间关系，列出不等式．
13．-7
【分析】
解答此题要理解“≥”“≤”的意义，判断出a和b的最值即可解答．
解：因为 的最小值是a，a=-3；
的最大值是b，则b=4；
则a-b=-3-4=-7，
故答案为：-7．
【点拨】此题考查不等式的定义，解题关键在于掌握 时，x可以等于-3；
时，x可以等于4．
14．
【分析】
由 ，可得出 ， ，又由 均为正整数，分析即
可得到正确答案．
解：∵ ，
∴
∴
∴ ，
同理可得：
又∵ 均为正整数
∴满足条件的解有且只有一组，即故答案为：
【点拨】本题考查三元一次方程的变式，牢记相关的知识点并能够灵活应用是解题关
键．
15．
【分析】
点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，根据题意列出不等式组即可
求解．
解：∵点（2-a，3a）在第四象限，
∴ ，
解得a＜0，
故答案为：a＜0．
【点拨】坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特
点，列出不等式组是解题的关键．
16．-1
联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a，b}的意义
即可得出函数的最小值．
解：联立两函数解析式成方程组，得：
，
解得： ．
∴当x＜1时，y=max{x-2，-2x+1}=-2x+1＞-1；
当x≥1时，y=max{x-2，-2x+1}=x-2≥-1．
∴函数y=max{x-2，-2x+1}最小值为-1．
故答案为-1．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，联立两函数解析
式成方程组求出交点坐标是解题的关键．17．2
【分析】
先求出不等式组的解集，再根据x的取值化简绝对值即可求解．
解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为： ，
∴x-3＜0，x-1＞0，
∴ ．
故答案为：2
【点拨】本题考查了求不等式组的解集和绝对值的化简，正确求出不等式组的解集，
正确化简绝对值是解题关键．
18．
【分析】
解二元一次方程组，根据x＞y列出不等式，即可求得 ，解不等式组，根据不等
式组无解求得 ，进而根据题意求得符合条件的整数 ，求和即可
解：
①+②得
解得 ，
将 代入②得：
解得
解得
由解不等式③得：
解不等式④得：
不等式组无解
解得
则所有符合条件的整数a为： ,其和为
故答案为：7
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，
根据题意求得符合题意的整数 是解题的关键．
19．1，2，3，4
【分析】
根据题意，列一元一次不等式并求解，即可得到 的取值范围；结合 为正整数，通
过计算即可得到答案．
解：根据题意得： ，
解得：
∵ 为正整数，
∴ 为1，2，3，4时，代数式 与 的值的差大于1．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的性
质，从而完成求解．
20．x＜2，
【分析】
根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示解集.
解：3（2x﹣3）＜x+1
6x﹣9＜x+1
5x＜10
x＜2∴原不等式的解集为x＜2，
在数轴上表示为：
21． ；数轴见分析．
【分析】
首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集规律：大小小大中间找确
定解集即可．
解：解不等式5x＞x−10，得：x＞−2.5，
解不等式 ，得：x≤3，
所以不等式组的解集是−2.5＜x≤3，
将解集表示在数轴上如下：
【点拨】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．也考查了用数轴表示不等式组的解集．
22．（1）b=15；（2）
【分析】
（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求
出b的值；
（2）由（1）可得a,b之间的关系式，用含有b的式子表示a,再结合 ，列出
关于b的不等式组，接着不等式组即可求出b的取值范围.
解：（1）由题意，得 ，
当 时， ．
解得 ．
（2）∵ ， ，
∴
解这个不等式组，得 ．
答：矩形花园宽的取值范围为 ．【点拨】此题主要考查了列代数式，正确理解题意得出关系式是解题关键．还考查了
解不等式组，难度不大.
23．(1)喷水壶的单价是18元；铲子的单价是20元
(2)在不额外增加费用的情况下，最多能在原计划的基础上多购买3把铲子
【分析】
（1）设喷水壶的单价是x元，铲子的单价是y元．根据题意列出二元一次方程组并求
解即可．
（2）设在不额外增加费用的情况下，能在原计划的基础上多购买m把铲子．根据题
意列出一元一次不等式并求解即可．
(1)
解：设喷水壶的单价是x元，铲子的单价是y元．
根据题意得
解得
答：喷水壶的单价是18元，铲子的单价是20元．
(2)
解：设在不额外增加费用的情况下，能在原计划的基础上多购买m（m为正整数）把
铲子．
根据题意可得 ．
解得 ．
因为多购买的铲子的数量必须是正整数，
所以m最大可以取3．
答：在不额外增加费用的情况下，最多能在原计划的基础上多购买3把铲子．
【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握这些知
识点是解题关键．
24．（1） ， （2）x＞2或x＜-1．
【分析】（1）由 可知：a、b异号，所以分两种情况，（2）类比 的情况，可得不等
式 中x-2与x+1同号，也分两种情况解不等式组即可．
解：（1） ，
（2）根据（1）的规律可知： 或
所以x＞2或x＜-1．
