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专题 06 函数动点之图形的存在性
典例分析：典例1
1
= x2+
如图，抛物线y 2 bx+c与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B
（6，0），C（0，﹣6）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当 m取何值时，△PBC的面积最大？并求出
△PBC面积的最大值；
（3）在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确
定一点N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐
标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
1
解题思路：（1）把B（6，0），C（0，﹣6）代入y= x2+bx+c，用待定系数法可得该抛物线
2
1
的函数表达式为y= x2−2x﹣6；
2
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，由B（6，0），C（0，﹣6）可得直线BC解析式为y＝x﹣
1 1 1
6，根据P（m， m2﹣2m﹣6），Q（m，m﹣6），得PQ=− m2+3m，即得S△PBC = PQ•|x
B
﹣
2 2 2
1 1 3 27
x |= （− m2+3m）×6=− （m﹣3）2+ ，由二次函数性质得当m取3时，△PBC的面积最
C
2 2 2 227
大，△PBC面积的最大值是 ；
2
15 1
（3）由（2）知，m＝3，P（3，− ），由 x2−2x﹣6＝0可得 A （﹣ 2 ， 0 ），设 M （ 2 ，
2 2
1
p ）， N （ q ， q 2 ﹣ 2 q ﹣ 6 ）， 点 分三种情况：①若PA，MN为对角线，则PA，MN的中点重合，
2
{
3−2=2+q
7
有
−
15
+0=p+
1
q2−2q−6
（线式）即中点重合，可得N（﹣1，−
2
），②若PM，AN为
2 2
9
对角线，同理可得N（7， ），③若PN，AM为对角线，同理可得N（﹣3，3）．
2
1
答案详解：解：（1）把B（6，0），C（0，﹣6）代入y= x2+bx+c得：
2
{1
×36+6b+c=0
2 ，
c=−6
{b=−2
解得 ，
c=−6
1
∴该抛物线的函数表达式为y= x2−2x﹣6；
2
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，如图：
由B（6，0），C（0，﹣6）可得直线BC解析式为y＝x﹣6，1
∵n= m2﹣2m﹣6，
2
1
∴P（m， m2﹣2m﹣6），则Q（m，m﹣6），（点）
2
1 1
∴PQ＝（m﹣6）﹣（ m2﹣2m﹣6）=− m2+3m，（线）
2 2
1 1 1 3 3 27
∴S△PBC = PQ•|x
B
﹣x
C
|= （− m2+3m）×6=− m2+9m=− （m﹣3）2+ ，（式）
2 2 2 2 2 2
3
∵− ＜0，
2
27
∴m＝3时，S△PBC 取最大值，最大值为 ，
2
27
∴当m＝3时，△PBC的面积最大，△PBC面积的最大值是 ；
2
15
（3）由（2）知，m＝3，P（3，− ），
2
1
由 x2−2x﹣6＝0得x ＝﹣2，x ＝6，
1 2
2
∴A（﹣2，0），点
−2
1 =− =
抛物线y= x2−2x﹣6的对称轴是直线x 1 2，
2 2×
2
1
设M（2，p），N（q， q2﹣2q﹣6），点
2
①若PA，MN为对角线，则PA，MN的中点重合，
{
3−2=2+q
∴ 15 1 ，（线式）即中点重合
− +0=p+ q2−2q−6
2 2
{p=−4
解得 ，
q=−1
7
∴N（﹣1，− ），
2
{p=12
②若PM，AN为对角线，同理可得 ，
q=7
9
∴N（7， ），
2{p=−3
③若PN，AM为对角线，同理可得 ，
q=−3
∴N（﹣3，3），
7 9
综上所述，点N的坐标为（﹣1，− ）或（7， ）或（﹣3，3）．
2 2
典例2
如图，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，抛物线y＝﹣
2x2+bx+c经过点A、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍．求
出点Q的坐标；
（3）点M是直线y＝﹣2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原点除外）上
是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标及对应的点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）根据直线y＝﹣2x+4求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析
式解答即可；
（2）根据抛物线解析式求出点P的坐标，过点P作PD⊥y轴于D，根据点P、C的坐标求出
PD、CD，然后根据S△APC ＝S梯形APDO ﹣S△AOC ﹣S△PCD ，列式求出△APC的面积，再根据抛物线
解析式求出点B的坐标，从而得到AB的长度，然后利用三角形的面积公式求出△ABQ的点Q的
纵坐标的值，然后代入抛物线求解即可得到点Q的坐标；
（3）根据点E在x轴上，根据点M在直线y＝﹣2x+4上，设点M的坐标为（a，﹣2a+4），然后分①∠EMF＝90°时，利用点M到坐标轴的距离相等列式求解即可；②∠MFE＝90°时，根据
等腰直角三角形的性质，点M的横坐标的长度等于纵坐标长度的一半，然后列式进行计算即可
得解．
答案详解：解：（1）令x＝0，则y＝4，
令y＝0，则﹣2x+4＝0，解得x＝2，
所以，点A（2，0），C（0，4），
∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A、C，
{−2×4+2b+c=0
∴ ，
c=4
{b=2
解得 ，
c=4
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；
1 9
（2）∵y＝﹣2x2+2x+4＝﹣2（x− ）2+ ，
2 2
1 9
∴点P的坐标为（ ， ），
2 2
如图，过点P作PD⊥y轴于D，
又∵C（0，4），点
1 9 1
∴PD= ，CD= −4= ，线
2 2 2
∴S△APC ＝S梯形APDO ﹣S△AOC ﹣S△PCD
1 1 9 1 1 1 1
= ×（ +2）× − ×2×4− × × 式
2 2 2 2 2 2 2
45 1
= −4−
8 8
3
= ，
2
令y＝0，则﹣2x2+2x+4＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝2，
1 2
∴点B的坐标为（﹣1，0），
∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，
设△ABQ的边AB上的高为h，∵△ABQ的面积等于△APC面积的4倍，
1 3
∴ ×3h＝4× ，
2 2
解得h＝4，
9
∵4＜ ，
2
∴点Q可以在x轴的上方也可以在x轴的下方，
即点Q的纵坐标为4或﹣4，
当点Q的纵坐标为4时，﹣2x2+2x+4＝4，
解得x ＝0，x ＝1，
1 2
此时，点Q的坐标为（0，4）或（1，4），
当点Q的纵坐标为﹣4时，﹣2x2+2x+4＝﹣4，
1+√17 1−√17
解得x = ，x = ，
1 2
2 2
1+√17 1−√17
此时点Q的坐标为（ ，﹣4）或（ ，﹣4），
2 2
1+√17 1−√17
综上所述，存在点Q（0，4）或（1，4）或（ ，﹣4）或（ ，﹣4）；
2 2
（3）存在．
理由如下：如图，∵点M在直线y＝﹣2x+4上，
∴设点M的坐标为（a，﹣2a+4），点
①∠EMF＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|＝|﹣2a+4|，线式
即a＝﹣2a+4或a＝﹣（﹣2a+4），
4
解得a= 或a＝4，
3
4 4 4
∴点F坐标为（0， ）时，点M的坐标为（ ， ），
3 3 3
点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；
②∠MFE＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
1
∴|a|= |﹣2a+4|，线式
21
即a= （﹣2a+4），
2
解得a＝1，
﹣2a+4＝2×1＝2，
此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），
1
或a=− （﹣2a+4），
2
此时无解，
4 4 4
综上所述，点F坐标为（0， ）时，点M的坐标为（ ， ），
3 3 3
点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；
点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．
实战训练
一．平行四边形
1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的
四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，
有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点 E，交x轴于点F，AB＝
4，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AE、CE，当△ACE的面积最大时，求出△ACE的最大面积和点D的坐标；
（3）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1 9
3．如图，抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（ ， ），与x轴交于点 A、点B（2，0），与
2 4
y轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积；
（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在抛物线上，是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点
的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二．相似三角形
4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），过点A的直线y＝﹣x﹣1与该
抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线
AC于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线AC的下方，且PE＝2DE时，求点P的坐标；
（3）当直线PD为x＝1时，在直线PD上是否存在点Q，使△ECQ与△EDA相似？若存在，请
求出点Q坐标；若不存在，请说明你的理由．
7 9
5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（ ，− ）两点，直线AB与x轴相交于
2 4
点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点 P，点D的
坐标．6．如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）与x轴交于点A、点B，与y轴交于
点C，且OB＝2OA．过点A的直线y＝x+4与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一
个动点，过点P作PH⊥AE于点H．
（1）抛物线的表达式中，a＝ ，b＝ ；
（2）在点P的运动过程中，若PH取得最大值，求这个最大值和点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似．
三．面积关系
7．如图，抛物线y＝﹣（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B与点C关于该抛物线的对称轴对
称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（3，0）及C点．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）当自变量x满足 时，一次函数的函数值不大于二次函数的函数值．
（3）在直线AC下方的抛物线上是否存在点P，使S△ACP ＝S△ACB ？（点P不与点B重合）若存
在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y＝ax2+x+c交y轴于点A（0，2），交x轴于点B（﹣1，0）及点C．
（1）填空：a＝ ，c＝ ，点C的坐标为 ；
（2）把△ABO逆时针旋转90°得△A′B'O'（其中点A与A′，B与B′分别是对应点），当
△A′B'O'恰好有两点落在抛物线上时，求点A的坐标；
（3）点P（m，n）是位于x轴上方抛物线上的一点，△PAB的面积记为S ，△PAC的面积记为
1
S ，△PBC的面积记为S ，若满足S +S ＝S ，求m的值．
2 3 1 2 3
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两点，与y轴
相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S△POC ＝4S△BOC ，求点P的坐标；
（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．四．等腰三角形
10．如图，已知抛物线y＝mx2+4x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过
B，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三
角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直
线x＝1．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）D是对称轴上一点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，直接写出
点D的坐标．12．已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛
物线上一个动点，且点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在BC上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂
足为E，交BC于点D，过点P作BC的垂线，垂足为Q，若△PQD≌△BED，求m的值；
（3）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x
轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写
出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．
13．如图，直线y＝x+4与x轴交于A点，与y轴交于C点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点，
与x轴的另一个交点为B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一动点P，过点P作PD⊥x轴于点D，使得以点B、P、D为顶点的三
角形是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．五．等腰直角三角形
14．如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B两点，与
x轴的另一个交点为C（2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作x轴的垂线，交线段 AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接
DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由．
15．抛物线与x轴交于A、B两点，其中点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3），其对称
轴为直线x＝1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是x轴上方抛物线上任意一点，点Q在直线x＝﹣1上，△BPQ能否成为以∠BPQ
为直角的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣4），点A的坐标为（﹣1，0），P为直线BC
下方抛物线上一点，连接PC，PB．
（1）求抛物线的解析式．
（2）△CPB的面积是否有最大值？如果有，请求出最大值和此时点P的坐标；如果没有，请说
明理由．（3）Q为y轴右侧抛物线上一点，D为对称轴上一点，若△CQD是以点Q为直角顶点的等腰直
角三角形，请直接写出点Q的坐标．
六．综合类
1
17．如图，点A（4，3），二次函数y=− x2+x+3的图象顶点为B，与y轴交于点C，连接AC，过
4
点A作AD⊥x轴于点D，点E是线段AC上的动点（点E不与A、C两点重合）．
（1）直接写出顶点B和点C的坐标；
（2）若直线BE将四边形ACOD分成周长相差为4的两个四边形，求点E的坐标；
（3）如图，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点
F也恰好落在二次函数的图象上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．
18．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，
﹣3），已知AB＝4，对称轴在y轴左侧．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点N在对称轴上，则抛物线上是否存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形，若
存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；3
（3）若点P在抛物线上，且S△PBC = ，请直接写出点P的坐标．
2
