第22章二次函数（培优卷）（解析版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_06习题试卷_7期中期末复习专题_满分计划2022-2023学年九年级数学上册阶段性复习测试卷（人教版）

第22章 二次函数（培优卷）
一．选择题（每小题3分，共24分）
1.已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二
次函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】y＝2x﹣1是一次函数；y＝﹣2x2﹣1是二次函数；y＝3x3﹣2x2不是二次函数；
④y=2（x+3）2-2x2 ，不是二次函数；
y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数；
故二次函数有1个；
故答案选A．
2.函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】C
【解析】∵函数 的图象与 轴有交点，
当 时， ，解得： ，
当 时，一次函数 的图象与x轴有交点，故 ；
故答案选C．
3已知抛物线 的对称轴在 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1
个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则 的值是（ ）
A． 或2 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】解：函数 向右平移3个单位，得： ；
再向上平移1个单位，得： +1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴ +1即 解得： 或∵抛物线 的对称轴在 轴右侧∴ ＞0∴ ＜0∴
故选：B．
4.如图，已知抛物线 的顶点是 ，与x轴交于点 ，给出以下结论：① ；②
；③若 ，则 或 ；④ ．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向上，∴ ，
∵对称轴为直线 ，∴ ，
∵抛物线与y轴的交点在负半轴，∴ ，∴ ，故①错误；
∵抛物线与x轴交于 ，对称轴为 ，∴抛物线与x轴的另一个交点为 ，
当x=2时， 位于x轴上方，∴ ，故②正确；
根据抛物线的对称轴为直线x=-1可知，当y=c时，x=-2或0，
根据二次函数图象，若 ，则 或 ，故③正确；
当 时， ①，
当 时， ②，
+②得： ，即 ，
∵对称轴为直线 ，∴ ，∴ ，∴ ，
得： ，解得 ，
∴ ，即 ，故④正确；
综上分析可知，正确的有3个，故C正确．故选：C．
5.已知，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个．顶点分别在菱形的四边上，则矩形
PMNQ的最大面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】解：如图：
连接AC，BD交于点O，AC分别交PQ，MN于点E，F．
∵菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠ABD＝30°，∴AC＝AB＝6．
∵矩形MNQP，∴PQ∥BD，PM＝EF，PQ⊥AC．∴∠APE＝∠ABD＝30°，
设AP＝a，AE＝CF a，∴EF＝PM＝6﹣a．
由勾股定理得：PE ．∴PQ＝2PE a．
∴S PMNQ＝PM•PQ a×（6﹣a） （﹣a2+6a）
矩形
（a﹣3）2+9 ．
∵ 0，∴当a＝3时，矩形面积有最大值9 ．
故选：D．
6.二次函数 的图象与一次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】二次函数 的对称轴为 ，一次函数 的图像恒过定点 ，所
以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为 ，只有A选项符合题意．
故选A．
7.2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投
资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销
售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少
时，该消毒液的单日产销利润最大．（ ）
消毒 每瓶售价 每瓶成本
每日其他费用（元） 每日最大产销量（瓶）
液 （元） （元）
30 18 1200＋0.02x2 250
A．250 B．300 C．200 D．550
【答案】D
【解析】解：根据题意，得
∴ ，∴ ，
∵ ，∴抛物线的开口向下， 有最大值，
又∵ ，∴当 时， ，
故选：D
8.如图，等边 的边长为 ，动点P从点A出发，以每秒 的速度，沿A→B→C→A的方向运动，
当点P回到点A时运动停止．设运动时间为x（秒）， ，则y关于x的函数的图象大致为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：如图，过C作CD⊥AB于点D，
则 cm， cm，
当点P在AB上时， ， cm， cm，
∴ ，
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线 ；
当 时，即点P在线段BC上时， cm；
则 ，
∴该函数的图象是在 上的抛物线，且对称轴为 ；
当 时，即点P在线段CA上，此时， cm，
则 ，∴该函数的图象是在 上的抛物线，且对称轴为直线 ；
故选：C．
二．填空题（每小题2分，共16分）
9.有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线 ；乙：顶点到 轴的距离为
2．请你写出一个符合条件的解析式_________．
【答案】答案不唯一，如： 或
【解析】解：∵对称轴是直线 ，∴顶点坐标的横坐标为3，
∵顶点到 轴的距离为2，∴顶点坐标的纵坐标为2或-2，
∴抛物线的顶点坐标为（3，2）或（3，－2），
∴抛物线的解析式可设为 或 ，
其中的 可取任意不为0的数即可，这里令 ，
则抛物线的解析式为 或 ，
故答案为： 或 ，（答案不唯一）
10.二次函数 的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么平移后的函数解析式为
______．
【答案】
【解析】解：由题意得，平移后的函数解析式为： ，
故答案为： ．
11.二次函数 （ ，a，c均为常数）的图象经过 、 、 三点，则
， ， 的大小关系是______．【答案】
【解析】解：∵抛物线的对称轴为 ，
1.5-（-2）＞1.5-0＞2-1.5，故y<y<y，
1 3 2
故答案为y<y<y．
1 3 2
12.如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A、B、C的坐标分别为 、 、 ．若抛物
线 的图象与正方形 有公共点，则a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】解：∵正方形 的顶点A、B、C的坐标分别为 、 、 ，
∴点D的坐标为 ．
∵ 抛物线 开口向上，∴ ，
∴当抛物线 经过B点时，a取最大值，经过D点时，a取最小值．
将 代入 得 ，解得 ，
将 代入 得 ，解得 ，
∴若抛物线 的图象与正方形 有公共点，则a的取值范围是 ．
故答案为： ．
13.如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，
点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为___．【答案】4
【解析】解：如图，
当y=0时，x2+5x+4=0，解得x=-4，x=-1，则A（-4，0），B（-1，0），
1 2
当x=0时，y=x2+5x+4=4，则C（0，4），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-4，0），C（0，4）代入得
，解得 ，
∴直线AC的解析式为y=x+4，
设P（t，t+4）（-4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），
∴PQ=t+4-（t2+5t+4）=-t2-4t=-（t+2）2+4，
∴当t=-2时，PQ有最大值，最大值为4．
故答案为4．
14.已知y＝x2+2kx+k﹣1，当﹣1＜x＜2时，有最小值﹣1，则k的值为___．
【答案】0
【解析】解：∵ ，
∴抛物线y＝x2+2kx+k﹣1的对称轴为直线： ．
∵当﹣1＜x＜2时，y＝x2+2kx+k﹣1有最小值﹣1，∴ ，∴ ，
当 时， ，整理得 ，解得 或 ，
∵ ，∴ ，
故答案为：0．15.在平面直角坐标系中，点 和点 的坐标分别为 和 ，抛物线 与线
段 只有一个公共点，则 的取值范围是______．
【答案】 或
【解析】解：抛物线的对称轴为： ，当 时， ，故抛物线与 轴的交点坐标为 ，
顶点坐标为 ，直线CD的表达式 ，
当 时，且抛物线过点 时，
，解得 （舍去），
当 ，抛物线 与线段 只有一个公共点时，
即顶点在直线CD上，则 ，解得 ，
当 时，且抛物线过点 时，
，解得 ，
由抛物线的性质可知，当 越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段 只有一个公共点，
∴ ，且 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 或 ，
故答案为 或 ．
16.抛物线 的图象如图所示，点A，A，A，A…，A 在抛物线第一象限的图象上，点
1 2 3 4 2022
B ，B ，B ，B .．．，B 在y轴的正半轴上， 、 、…、 都是等腰直角三角
1 2 3 4 2022
形，则 ________．【答案】
【解析】解：设AB =x，
1 1
∵△OAB 是等腰直角三角形，∴OB =x，
1 1 1
则A 的坐标为（x，x），代入二次函数y= x2+ x，得x= x2+ x，解得x=1或x=0（舍），
1
设AB =m，
2 2
∵△B AB 腰是等腰直角三角形，∴B B =m，∴A 的坐标为（m，1+m），
1 2 2 1 2 2
代入二次函数y= x2+ x，得 m2+ m＝1+m，解得m=2或m=-1（舍），
同理可求出AB =3，AB =4，
3 3 4 4
∴B A =2022，根据勾股定理，得B A = ，
2022 2022 2021 2022
故答案为： ．
三．解答题（共60分）
17.（6分）如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象根据函数图象，“＞”、“＝”或“＜”填写下
列空格：
①a_________0；②4ac﹣b2 _________0；
③2a＋b_________0；④a＋b＋c_________ 0；
⑤当﹣1＜x＜3时，y_________0；⑥8a＋c_________0
【答案】 ＜ ＜ = ＞ ＞ ＜
【解析】解：① 二次函数图象开口向下， ，② 二次函数图象与 轴有2个不同的交点， 即
③根据图象的对称性可得对称轴为 ，即 ，
④ 时的函数值为 ，根据图象可知 时， ，即 ，
⑤根据函数图象在 时，函数图象位于 轴上方，即可判断函数值大于0，即 ，
⑥根据③可得 以及 时候的函数值 ， ，即
故答案为：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
18.（8分）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于
28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部
分数据如表：
每千克售价x
…… 20 22 24 ……
（元）
日销售量y
…… 66 60 54 ……
（千克）
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少
元？
【答案】(1)y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126
(2)当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420
元．
【解析】(1)解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由表中数据得： ，解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；
(2)设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，∴18≤x≤28，
∵﹣3＜0，∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大，最大值为420，
∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．19.（8分）如图，抛物线 （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点， ，
，点P为线段 上的动点，过P作 // 交 于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求 面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】(1) ；(2)2；P（-1，0）
【解析】(1)解：∵点A（1，0），AB=4，∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，解得：b=2，c=-3，∴抛物线的解析式为 ；
(2)解：由（1）得抛物线的解析式为 ，
顶点式为： ，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P ，
由 解得： ，
∵P在线段AB上，∴ ，∴n的取值范围为-6＜n＜2，则
∴当n=-2时，即P（-1，0）时， 最大，最大值为2．
20.（8分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面
0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，
并设抛物线的表达式为 ，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面
的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好
接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1) ；(2)2或6m
【解析】(1)解：根据题意可知抛物线的顶点为 ，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，得 ，解得 ，
抛物线的解析式为 ，
(2)由 ，令 ，
得 ，解得 ，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为 (m)，或 (m)．
21.（10分）已知抛物线
(1)若抛物线与直线 交于（1，0），（5，8）两点．
①求抛物线和直线的函数解析式；
②直接写出当 时自变量x的取值范围．
(2)若 ，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点
时，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)① ； ；② 或 ；(2) 或
【解析】(1)解：①把（1，0），（5，8）分别代入 可得
，解得 ，
∴抛物线的解析式为 .
把（1，0），（5，8）分别代入 可得
，解得 ，
直线的解析式为 .
②由题意得， ，解得： ，
∴当 时自变量x的取值范围是 或 .
(2) ， 抛物线的解析式为 .
∴抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为（2，a），
∵点A（0，3），B（3，3）
①当 时，抛物线的最小值为 ，与线段AB无公共点；②当 时，抛物线的顶点为（2，3），在线段AB上，此时抛物线与线段AB有一个公共点；
③当 时，抛物线最小值为a，与直线AB有公共点；
如果抛物线 经过点A，则 ，解得 ，
由抛物线的对称轴为直线 ，可知抛物线经过点（4，3），
点（4，3）不在线段AB上，此时抛物线与线段AB有一个公共点A；
如果抛物线 经过点B，则 ，解得 ，
由抛物线的对称轴为直线 ，可知抛物线经过点（1，3），
点（1，3）在线段AB上，此时抛物线与线段AB有两个公共点；
综上所述，当 或 时，抛物线与线段AB有唯一公共点．
22.（10分）如图1所示为某公司生产的A型活动板房，成本是每个395元，它由长方形和抛物线构成，长
方形的长AD4米，宽AB3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米．
(1)按如图1所示建立平面直角坐标系，求该抛物线的解析式．
(2)现将A型活动板房改为B型活动板房．如图2，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户框架
Mm,0
FGMN G M AD N F
，点 、 在 上，点 、 在抛物线上，长方形窗户框架的成本为10元/米，设 ，且
1
满足 m1，当窗户框架 的周长最大时，每个 型活动板房的成本是多少？（每个 型活动板房
2 FGMN B B
的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇长方形窗户框架FGMN成本）
(3)根据市场调查，以单价600元销售（2）中窗户框架周长最大时的B型活动板房，每月能售出100个，而
单价每降低10元，每月能多售出20个．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销
售B型活动板房所获利润W （元）最大？最大利润是多少？
1
【答案】(1)y x21；(2)每个 型活动板房的成本是450元
4 B(3)销售单价n（元）定为550元时，每月销售B型活动板房所获利润W （元）最大，最大利润是20000元
yax2c
【解析】(1)解：由题意，设该抛物线的解析式为 ，
∵长方形的长AD4米，宽AB3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米，
∴OH=AB=3，OD=OA=2，OE=EH-OH=1，∴E（0，1），D（2，0），
yax2c
将E（0，1），D（2，0）代入 ，得：
 1
a
4ac0  4

c1
，解得：
c1
，
1
∴抛物线的解析式为y x21．
4
1
(2)解： ∵M（m，0），∴N（m， m21），
4
1
由题意，MN=FG= m21，GM=FN=2OM=2m，
4
1 1 1
∴窗户框架 的周长为2（2m+ m21）= m24m2 (m4)210，
FGMN 4 2 2
1 1
∵ ＜0， m1，
2 2
∴当m=1时，周长最大，最大值为5.5，
此时，每个B型活动板房的成本是395+5.5×10=450元．
600n
(3)解：根据题意，得：W=(n450)(10020
10
)=
2n22200n585000
= 2(n550)220000，
∵-2＜0，∴当n=550时，W最大，最大值为20000，
故销售单价n（元）定为550元时，每月销售B型活动板房所获利润W （元）最大，最大利润是20000元．
23.（10分）如图，在平面直角坐标系．xOy中，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B
两点的抛物线交x轴于另一点C（﹣2，0）．
(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点F是直线AB下方抛物线上一动点，连接FA，FB，求出四边形FAOB面积最大值及此时点F
的坐标．
(3)如图2，在（2）问的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内任意一点M使得
以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
1
【答案】(1)y x2x4
2
(2)当t＝2时，S FAOB有最大值12，此时点F的坐标为（2，﹣4）
四边形
(3)存在，点Q的坐标Q（8，﹣2），Q（6，﹣6），Q（1，﹣1），Q（5，﹣3）
1 2 3 4
【解析】(1)解：∵直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当x=0时，y=-4；当y=0时，x=4，∴点A（4，0），点B（0，﹣4），
∵抛物线交x轴于点A（4，0），点C（﹣2，0）．
设抛物线解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，
1

∵抛物线交y轴于点B（0，﹣4），∴﹣4＝﹣8a，∴a ，
2
1 1 1 1
∴抛物线解析式为：y x2﹣2 x﹣8  x2﹣x﹣4；
2 2 2 2
(2)解：如图，过点F作FE∥y轴，交AB于点E，
1
设点F的横坐标为t，则F（t，2t2﹣t﹣4），
∵直线AB的解析式为y＝x﹣4，∴E（t，t﹣4），
1 1 1
S BFA OA•EF （4﹣0）×（t﹣4 t2+t+4）＝﹣t2+4t，
△ 2 2 2
1 1
∵S BOA OA•OB 4×4＝8，∴S FAOB＝S BFA+S BOA＝﹣t2+4t+8＝﹣（t﹣2）2+12，
△ 2 2 四边形 △ △
∴当t＝2时，S FAOB有最大值12，∴此时点F的坐标为（2，﹣4）；
四边形
(3)解：①当以AF为边时，如图，过点F作FS⊥x轴于点S，过点Q 作QT⊥x轴于点T，
1 1 (42)242  5
∵点A（4，0），点F的坐标为（2，﹣4），∴AF 2 ，SF＝4，AS＝4﹣2＝2，
5
∵四边形AQ MF是正方形，∴AQ ＝AF＝2 ，∠FAQ ＝90°，
1 1 1 1
∵∠SFA+∠SAF＝90°，∠SAF+∠TAQ ＝90°，∴∠SFA＝∠TAQ，
1 1
∵∠FSA＝∠ATQ ＝90°，∴△FSA≌△ATQ ，
1 1
∴AT＝SF＝4，TQ＝AS＝2，∴OT＝OA+AT＝8，∴Q（8，﹣2）；
1 1
同理可得：△QHQ ≌△ATQ ，∴QH＝AT＝4，QH＝TQ＝2，
1 2 1 1 2 1
∴OK＝OT﹣KT＝8﹣2＝6，QK＝HT＝4+2＝6，∴Q（6，﹣6）；
2 2
当四边形AFED是正方形时，点D在y轴上，点E在y轴左边，不合题意；
②连接AE，FD交于点Q，连接AQ 、FQ 交于点Q，此时，AF为对角线，四边形AQ FQ 是正方形，如
3 2 1 4 3 4
图：
∵Q 是FQ 的中点，Q（8，﹣2），F（2，﹣4），
4 1 1
82 2(4)
∵
5， 3，∴Q（5，﹣3）；
2 2 4
∵Q 是FD的中点，D（0，2），F（2，﹣4），
3
02 2(4)
∵ 1， 1，∴Q（1，﹣1）．
2 2 3
∴存在，点Q的坐标Q（8，﹣2），Q（6，﹣6），Q（1，﹣1），Q（5，﹣3）．
1 2 3 4