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专题 07 圆易错题
圆，期末必考。圆与其它不同是，圆中隐含条件多，圆的题解不出，往往不是由于条件不够，
更多的是由于条件太多，而我们由于对模型运用不够熟练，基础知识掌握不牢造成的。本专题精选
期末圆的易错试题，并配以详细的解答，为你复习迎考助力！
圆中易错两种情况
1.平行弦间距
AB∥ CD,AB=10,CD=8,圆的半径是5，
则AB与CD之间的距离是____
E
B A
O B O A
F
D F C D E C
EF=OE+OF=4+3=7 EF=OE-OF=4-3=1
2.点到圆上点的距离最大与最小：
点P到圆上一点的最大距离是6cm，最小距离是4cm，圆的半径是___
A P B A B P
6+4 6-4
r= =5 r= =1
2 2
3.弦对圆周角：
在半径是2的⊙O中，弦AB=2 3,则AB所对的圆周角_____.
P
2
1.画出示意图。
2.作OEAB，垂足为E。
O 3.可得：
BE= 3,OB=2
1
易证：1=60°，AOB=120°
A B
E
所以：P =60°，P =120°
2 1
P
1
4.相切的上下左右简记：
上切下切
左切右切
线段直线
分类讨论
实战训练
一．选择题
1．如图，△ABC与△ACD中，AD=AC=DC=2√3，∠BAC：∠B：∠ACB＝1：2：3，则△ABC
的外心与△ACD的内心之间的距离为（ ）
A．2 B．√3+1 C．2√3 D．3
2．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是平面上的一个点，连换AP，BP，已知∠P
始终为直角，则线段CP长的最大值为（ ）
A．6 B．√29 C．√13+2 D．5
3．给出下列结论：
①有一个角是100°的两个等腰三角形相似．
②三角形的内切圆和外接圆是同心圆．
③圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线．
④等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两弧．
⑥过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线．其中正确命题有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，△ABC 和△AMN 都是等边三角形，点 M 是△ABC 的外心，那么 MN：BC 的值为
（ ）
2 √3 1 4
A． B． C． D．
3 3 4 9
5．如图，在平面直角坐标系中，以 M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于
A，C两点，则AC的长为（ ）
A．4 B．2√5 C．2√13 D．6
6．如图，AB是 O的弦，PO⊥OA交AB于点P，过点B的切线交OP的延长线于点C，若 O的
半径为√5，O⊙P＝1，则BC的长为（ ） ⊙
5
A．2 B．√6 C． D．√5
2
7．如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是
（ ） ⊙A．56° B．58° C．60° D．62°
8．如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦，连接BD、BC，若∠ABD＝56°，则∠BCD的度数为
（ ） ⊙ ⊙
A．34° B．56° C．68° D．102°
9．如图，线段AB是 O的直径，点C在圆上，∠AOC＝60°，点P是线段AB延长线上的一点，连
结PC，则∠APC的⊙度数不可能是（ ）
A．30° B．25° C．10° D．5°
10．下列语句：①长度相等的弧是等弧；②过平面内三点可以作一个圆；③平分弦的直径垂直于
弦；④90°的圆周角所对的弦是直径；⑤等弦对等弧．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，点A，B，C，D都在圆上，线段AC与BD交于点M，MB＝MD，当点B，D，M保持不
变，点A在圆上自点B向点D运动的过程中（点A不与点B，点D重合），那么线段MA与MC
的乘积（ ）A．不变 B．先变大，后变小
C．变大 D．先变小，后变大
二．填空题（共28小题）
12．如图，半圆O的直径DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半
圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．
设运动时间为t（s），运动开始时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．当t＝ 时，
Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
13．已知点M（2.0）， M的半径为1，OA切 M于点A，点P为 M上的动点，当P的坐标为
时，△POA是等腰三⊙角形． ⊙ ⊙
14．已知三角形ABC是锐角三角形，其中∠A＝30°，BC＝4，设BC边上的高为h，则h的取值范
围是 ．
15．如图，已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上
的动点，且∠CPQ＝90°，则线段CQ的取值范围是 ．
16．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连
接DF．若OE＝2√3，DF＝1，则△ABC的周长为 ．17．如图，D为△ABC的内心，点E在AC上，且AD⊥DE，若DE＝2，AD＝CE＝3，则AB的长
为 ．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1，点P从点A出发沿AB方向运动，到
达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A'，连结A'C，A'P．点P到达点B
时，线段A'P扫过的面积为 ．
19．点M是半径为5的 O内一点，且OM＝4，在过M所有 O的弦中，弦长为整数的弦的条数
为 ． ⊙ ⊙
20．AB＝AC＝AD，∠CAB＝100°，则∠BDC＝ ．
21．如图，AB是 O的弦，AB=2√2，点P是优弧APB上的动点，∠P＝45°，连接PA，PB，AC
是△ABP的中线⊙．
（1）若∠CAB＝∠P，则AC＝ ；
（2）AC的最大值＝ ．22．如图，已知点A（3，0）、B（﹣1，0）点Q是y轴上一点，当∠AQB＝135°时点Q的坐标是
．
23．已知等腰△ABC的外心是O，AB＝AC，∠BOC＝100°，则∠ABC＝ ．
24．已知 O中，两弦AB和CD相交于点P，若AP：PB＝2：3，CP＝2cm，DP＝12cm，则弦AB
的长为⊙ cm．
25．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，高AD＝4.8，设能完全覆盖△ABC的圆的半径为r，则r的最小
值为 ．
26．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3）则△ABC
外接圆半径的长度为 ．
27．如图，AB是 O的直径，AD、BC是 O的切线，P是 O上一动点，若AD＝3，AB＝4，BC
＝6，则△PDC⊙的面积的最小值是 ⊙ ． ⊙
28．如图， O既是正△ABC的外接圆，又是正△DEF的内切圆，则内外两个正三角形的相似比是
． ⊙29．如图，点C在以O为圆心的半圆内一点，直径AB＝4，∠BCO＝90°，∠OBC＝30°，将△BOC
绕圆心逆时针旋转到使点C的对应点C′在半径OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）面
积为 .（结果保留 ）
π
30．如图，C、D是 O上两点，位于直径AB的两侧，设∠ABC＝24°，则∠BDC＝ °．
⊙
31．某园林单位要在一个绿化带内开挖一个△ABC的工作面，使得∠ACB＝60°，CD是AB边上的
高，且CD＝6，则△ABC的面积最小值是 ．
32．如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD的中点，点P是边AB上的一个动点，连接PE，以P
为圆心，PE的长为半径作 P．当 P与正方形ABCD的边相切时，则AP的长为 ．
⊙ ⊙33．如图，在扇形AOB中，OA＝2，点P为^AB上一动点，过点P作PC⊥OA于点C，PD⊥OB于
点D，连接CD，当CD取得最大值时，扇形OAB的周长为 ．
34．如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦
心距是 ．
35．已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm，若这圆的半径是5dm，则两条平行弦之间的距离为
．
36．如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的
点共有 个．
37．在 O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于 °．
38．圆⊙中一条弦所对的圆心角为60°，那么它所对的圆周角度数为 度．
39．一圆中两弦相交，一弦长为2a且被交点平分，另一弦被交点分成1：4两部分，则另一弦长为
．
三．解答题
40．如图，CD为 O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC．
⊙（1）求∠B的度数；
（2）若CE＝4√3，求圆O的半径．
41．如图，AB是 O的直径，点C，D是 O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点
E，F． ⊙ ⊙
（1）求证：点D为^AC的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求 O的直径．
⊙
42．如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝35°，
（1）求∠D的⊙度数；
（2）若∠ACD＝65°，求∠CEB的度数．
43．如图，AB是 O的直径，点C为 O上一点，D为弧BC的中点，过D作DF⊥AB于点E，交
O于点F，交⊙弦BC于点G，连接⊙CD，BF．
⊙（1）求证：BC＝DF．
（2）若BC＝8，BE＝2，求 O的半径．
⊙44．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是^AC上任意一点，连接AD，AG，GD．
（1）若∠ADC⊙＝70°，求∠AGD的度数；
（2）若OE＝3，CD＝8，求 O的半径r．
⊙
45．如图，在圆O中，弦AB的垂直平分线OE交弦BG于点D，OE交圆O于点C、F，连接OG，
OB，圆O的半径为r．
（1）若∠AGB＝60°，求弦AB的长（用r的代数式表示）；
（2）证明：∠E＝∠OBD；
（3）若D是CO中点，求EF的长（用r的代数式表示）．
46．如图，在△ABC中，以AB为直径的 O分别与AC，BC交于点E，D，且BD＝CD．
（1）求证：∠B＝∠C． ⊙
（2）过点D作DF⊥OD，过点F作FH⊥AB，若AB＝5，CD=√5，求AH的值．47．如图，△ABC是 O的内接三角形，直径AB＝4，CD平分∠ACB交 O于点D，交AB于点
E，连接AD、BD．⊙ ⊙
（1）若∠CAB＝25°，求∠AED的度数；
（2）求AD的长．
48．已知△ABC内接于 O，AB为 O直径，弦CD与AB相交于点E，∠BAC＝36°．
（Ⅰ）如图①，若C⊙D平分∠AC⊙B，连接BD，求∠ABC和∠CBD的大小；
（Ⅱ）如图②，过点D作 O的切线，与AB的延长线交于点P，若AE＝AC，求∠P的大小．
⊙
49．如图，BE为 O的直径，点A和点D是 O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交
BE的延长线于⊙点C，使∠EAC＝∠EDA． ⊙
（1）求证：AC是 O的切线；
（2）若AD⊥BC于⊙点F，DE＝4，OF＝2，求图中阴影部分的面积．50．如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，过 O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于
点G，交AB于点E，交⊙ O于点F，⊙连接DB，CF，⊙∠A＝∠D．
（1）求证：BD与 O相⊙切；
（2）若AE＝OE，⊙CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．
