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专题 11 压轴大题精选一（函数类）
1．抛物线C ：y＝x2﹣2ax+a的顶点A在某一条抛物线C 上，将抛物线C 向右平移b（b＞0）个单
1 2 1
位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线C 上．
2
（1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求a与b的关系式；
（3）抛物线C 的顶点为F，其对称轴与x轴的交点为D，点E是抛物线C 上不同于顶点的任意
2 2
1
一点，直线ED交抛物线C 于另一点M，直线EF交直线l：y= 于点N，求证：直线MN与x轴
2 2
互相垂直．
试题分析：（1）配方即可得顶点坐标；
（2）由A（a，﹣a2+a）得抛物线C 的解析式为：y＝﹣x2+x，再由点B仍在抛物线C 上得﹣
2 2
a2+a＝﹣（a+b）2+（a+b）整理得b2+2ab﹣b＝0，求出a与b的关系即可；
1
（3）先求出D（ ，0），设E（m，﹣m2+m），求出直线DE的解析式，再将抛物线C 与直线
2 2
m−1 1
DE联立，求出点M的横坐标为x= ，再由直线EF与直线y= 的交点为N，求出点N横
2m−1 2
m−1
坐标为x= ，即可证明直线MN与x轴互相垂直．
2m−1
答案详解：（1）解：∵y＝x2﹣2ax+a＝（x﹣a）2﹣a2+a，
∴顶点A的坐标为（a，﹣a2+a）；
（2）解：∵顶点A（a，﹣a2+a）在抛物线C 上，
2
令x＝a，则抛物线C 的解析式为：y＝﹣x2+x，
2
∵将抛物线C 向右平移b（b＞0）个单位，
1
∴所得抛物线顶点B的坐标为（a+b，﹣a2+a），
∵点B仍在抛物线C 上，
2
∴﹣a2+a＝﹣（a+b）2+（a+b）整理得b2+2ab﹣b＝0，即b（b+2a﹣1）＝0，
又∵b＞0，
∴b+2a﹣1＝0；
1 1
（3）证明：∵抛物线C ：y＝﹣x2+x①的顶点式为y＝﹣（x− ）2+ ，
2 2 4
1 1
∴顶点为F（ ， ），
2 4
1
∴抛物线C 的对称轴与x轴的交点D的坐标为（ ，0），
2 2
又∵点E是抛物线C 上不同于顶点F的任意一点，
2
1
∴设点E的坐标为（m，﹣m2+m），其中m≠ ，
2
1
把D（ ，0），E（m，﹣m2+m）代入y＝kx+b，得：
2
{ 1
k+b=0
2 ，
mk+b=−m2+m
{
2m2−2m
k=
1−2m
解得： ，
m2−m
b=
2m−1
2m2−2m m2−m
∴直线ED解析式为y= x+ ②，
1−2m 2m−1
m−1
联立①②，整理得（x﹣m）（x− ）＝0，
2m−1
m−1
解得x＝m或 ，
2m−1
∵点E与点M不重合，
m−1
∴点M的横坐标为x= ，
2m−1
1 1
∵E（m，﹣m2+m），F（ ， ），
2 41 1
∴直线EF解析式为y＝（ −m）x+ m，
2 2
1
∵直线EF与直线y= 的交点为N，
2
m−1
∴点N横坐标为x= ，
2m−1
∵点M的横坐标与点N横坐标相同，
∴直线MN与x轴互相垂直．
1 1
2．已知抛物线 y=− x2+mx+m+ 与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与 y轴交于点C
2 2
5
（0，− ），点
2
P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
1 1
（3）在（2）的条件下，抛物线y=− x2+mx+m+ 在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴
2 2
向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，
求图象M的顶点横坐标n的取值范围．
试题分析：（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）令y＝0，可求得：A（﹣5，0），B（﹣1，0），再运用待定系数法求得直线AC的解析式
1 5 1 5
为y=− x− ，如图1，设P（t，− t2﹣3t− ），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，则
2 2 2 2
1 5 5 5 125
PH=−
2
t2−
2
t，利用S△PAC ＝S△PAH +S△PCH =−
4
（t+
2
）2+
16
，即可运用二次函数求最值的方
法求得答案；
1
（3）运用翻折变换的性质可得图象G的函数解析式为：y= （x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，
2
1 1 7
﹣2），进而根据平移规律可得：图象M的函数解析式为：y= （x﹣n）2− n− ，顶点坐标
2 2 2
1 7 5
为（n，− n− ），当图象M经过点C（0，− ）时，可求得：n＝﹣1或n＝2，当图象M的
2 2 218 7
端点B在PC上时，可求得：n=− 或n= （舍去），就看得出：图象M的顶点横坐标n的取
5 5
18
值范围为：− ≤n≤﹣1或n＝2．
5
1 1 5
答案详解：解：（1）∵抛物线y=− x2+mx+m+ 与y轴交于点C（0，− ），
2 2 2
1 5
∴m+ =− ，
2 2
解得：m＝﹣3，
1 5
∴该抛物线的解析式为：y=− x2﹣3x− ；
2 2
1 5
（2）在y=− x2﹣3x− 中，令y＝0，
2 2
1 5
得：− x2﹣3x− = 0，
2 2
解得：x ＝﹣5，x ＝﹣1，
1 2
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
5
∵A（﹣5，0），C（0，− ），
2
{−5k+b=0
∴ 5 ，
b=−
2
1
{k=−
2
解得： ，
5
b=−
2
1 5
∴直线AC的解析式为y=− x− ，
2 2
1 5
如图1，设P（t，− t2﹣3t− ），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，
2 2
1 5
则H（t，− t− ），
2 2
1 5 1 5 1 5
∴PH=− t2﹣3t− −（− t− ）=− t2− t，
2 2 2 2 2 2∴S△PAC ＝S△PAH +S△PCH
1 1
= •PH•（x ﹣x ）+ •PH•（x ﹣x ）
2 P A 2 C P
1
= •PH•（x ﹣x ）
2 C A
1 1 5
= ×（− t2− t）×[0﹣（﹣5）]
2 2 2
5 25
=− t2− t
4 4
5 5 125
=− （t+ ）2+ ，
4 2 16
5 125
∴当t =−
2
时，S△PAC 取得最大值
16
，
5 15
此时，点P的坐标为（− ， ）；
2 8
1 5
（3）如图2，抛物线y=− x2﹣3x− 在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得
2 2
到图象G，
1 5 1
∵y=− x2﹣3x− =− （x+3）2+2，顶点为（﹣3，2），
2 2 2
1
∴图象G的函数解析式为：y= （x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），
2
1 7
∵图象G沿直线AC平移，得到新的图象M，顶点运动的路径为直线y=− x− ，
2 2
1 7
∴图象M的顶点坐标为（n，− n− ），
2 2
1 1 7
∴图象M的函数解析式为：y= （x﹣n）2− n− ，
2 2 2
5
当图象M经过点C（0，− ）时，
2
5 1 1 7
则：− = （0﹣n）2− n− ，
2 2 2 2
解得：n＝﹣1或n＝2，
当图象M的端点B在PC上时，7 5 5 1
∵线段PC的解析式为：y=− x− （− ≤x≤0），点B（﹣1，0）运动的路径为直线y=− x
4 2 2 2
1
− ，
2
7 5
{y=− x−
4 2
∴联立可得： ，
1 1
y=− x−
2 2
8
{x=−
5
解得： ，
3
y=
10
8
{x=−
5 1 1 7 1 8 1 7 3
将 代入y = （x﹣n）2− n− ，可得： （− −n）2− n− = ，
3 2 2 2 2 5 2 2 10
y=
10
18 7
解得：n=− 或n= （舍去），
5 5
18
∴图象M的顶点横坐标n的取值范围为：− ≤n≤﹣1或n＝2．
53．已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴
交于点C．顶点D不在第二象限，记△ABC的面积为S ，△ACD的面积为S ．
1 2
（1）当S ＝3时，求抛物线对应函数的解析式；
1
S
1
（2）判断 是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；
S
2
（3）当a取每一个确定的值时，把抛物线y＝ax2+2ax﹣3a向右平移a个单位后，得到函数y 的
1
图象．当0≤x≤a+1时，结合图象，求y 的最大值与最小值的平均数（用含a的式子表示）．
1
1
试题分析：（1）由题意得：S = ×AB×OC，即可求解；
1 2
（2）S
2
＝S梯形ADHO ﹣S△CDH ﹣S△ACO ＝3a，而S
1
＝6a，即可求解；
（3）分a﹣1≤0、a﹣1＞0两种情况，利用点和对称轴的位置关系，确定函数的最大值和最小
值，即可求解．
答案详解：解：y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数）与x轴交于A，B两点，
则令y＝ax2+2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3a，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3a），
则抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝ax2+2ax﹣3a＝﹣4a，
故点D的坐标为（﹣1，﹣4a）；
∵抛物线和x轴有两个交点，且顶点D不在第二象限，
则抛物线的顶点在第三象限，则a＞0，函数大致图象如下：1 1
（1）由题意得：S = ×AB×OC= ×4×3a＝6a＝3，
1 2 2
1
解得a= ，
2
1 3
故抛物线的表达式为y= x2+x− ；
2 2
（2）是定值2，理由：
过点D作DH⊥y轴于点H，
1 1 1
则S
2
＝S梯形ADHO ﹣S△CDH ﹣S△ACO =
2
（1+3）×4a−
2
×1×（﹣3a+4a）−
2
×3×3a＝3a，
由（1）知S ＝6a，
1
S
故
1=
2；
S
2
（3）∵抛物线y＝ax2+2ax﹣3a向右平移a个单位后，得到函数y 的图象，
1
根据平移的性质，y ＝a（x﹣a）2+2a（x﹣a）﹣3a＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a），
1
由平移的性质知，平移后的抛物线对称轴为直线x＝﹣1+a，
∵﹣1+a＜a+1，
故x＝a+1在新抛物线对称轴的右侧．①当x＝a﹣1≤0时，即x＝0在x＝a﹣1的右侧，即0＜a≤1，
当0＜a≤1时，则a+1＜2，则抛物线在x＝a+1时取得最大值，
而在x＝0时取得最小值；
当x＝a+1时，y ＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a）＝0，
1
当x＝0时，y ＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a）＝a3﹣2a2﹣3a，
1
1 1 3
则y 的最大值与最小值的平均数= （a3﹣2a2﹣3a）= a3﹣a2− a；
1 2 2 2
②当a﹣1＞0时，
则此时，顶点的横坐标0＜a﹣1≤a+1，
当x＝a﹣1时，y 取得最小值为y ＝a（a﹣1）2+2a（1﹣a）（a﹣1）+（a3﹣2a2﹣3a）＝﹣4a，
1 1
当a﹣1﹣0＜a+1﹣（a﹣1），即1＜a＜3，
则当x＝a+1时，y 的最大值为0，
1
−4a+0
∴y 的最大值与最小值的平均数= =−2a，
1 2
当a﹣1﹣0≥a+1﹣（a﹣1），即a≥3，
当x＝0时，y 取得最大值，此时y ＝a3﹣2a2﹣3a，
1 1
a3−2a2−7a
则y 的最大值与最小值的平均数= ；
1
2
1 3
{ a3−a2− a (0＜a≤1)
2 2
即y 的最大值与最小值的平均数= −2a (1＜a＜3)．
1
1
(a3−2a2−7a) (a≥3)
2
4．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣x﹣a2﹣a，其中a＞0．
（1）若函数y的图象经过点（1，﹣2），求函数y的解析式；
（2）若抛物线与x轴的两交点坐标为A，B（A点在B点的左侧），与y轴的交点为C，满足OC
＝2OB时，求a的值．
（3）已知点P（x ，m）和Q（1，n）在函数y的图象上，若m＜n，求x 的取值范围．
0 0
试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）由二次函数图象上点的坐标特征求得点A、B、C的坐标，根据OC＝2OB来求a的值；
（3）根据二次函数的性质，可得答案．
答案详解：解：（1）函数y 的图象经过点（1，﹣2），得
1﹣a2﹣a＝﹣2，
整理，得（a+1）（﹣a）＝﹣2，
解得a ＝﹣2，a ＝1，
1 2
函数y 的表达式y＝（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y＝x2﹣x﹣2；
1
函数y 的表达式y＝（x+1）（x﹣2）化简，得y＝x2﹣x﹣2，
1
综上所述：函数y的表达式y＝x2﹣x﹣2；
（2）当y＝0时x2﹣x﹣a2﹣a＝0
整理，得
（x+a）（x﹣a﹣1）＝0，
解得x ＝﹣a，x ＝a+1，
1 2
y的图象与x轴的交点是A（﹣a，0），B（a+1，0），
当x＝0时，y＝﹣a2﹣a．即C（0，﹣a2﹣a）
∵OC＝2OB，
∴|﹣a2﹣a|＝2|a+1|．
∵a＞0，
∴a2+a＝2a+2，
整理，得
a2﹣a﹣2＝0，
（a﹣2）（a+1）＝0，
解得a ＝2，a ＝﹣1（舍去）．
1 2
（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，
1
由m＜n，得0＜x ≤ ；
0 2
当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
1
由m＜n，得 ＜x ＜1，
2 0
综上所述：m＜n，所求x 的取值范围0＜x ＜1．
0 0
5．已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8），该抛物线的顶点为D．
（Ⅰ）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（Ⅱ）①直线CD的解析式为 y ＝ x + 8 ；
②过点D作DH⊥x轴于H，在线段DH上有一点P到直线CD的距离等于线段PO的长，求点P
的坐标；
（Ⅲ）设直线CD交x轴于点E．过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴
平移，使平移后的抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长
度？向下最多可平移多少个单位长度？
试题分析：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C坐标代入可求解；
（Ⅱ）①利用待定系数法可求解析式；
②过点P作PM⊥CD于M，由勾股定理可求PO2，PM2，即可求解；
（Ⅲ）抛物线向上平移或向下平移，可设解析式为y＝﹣x2+2x+8+m或y＝﹣x2+2x+8﹣m，把x＝
4或﹣8代入即可列出不等式，即可求出答案．
答案详解：解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
∵抛物线与y轴交于点C（0，8），
∴9＝﹣8a，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，
∴顶点D坐标（1，9）；
（Ⅱ）①设直线CD解析式为y＝kx+b，
{9=k+b
，
b=8
{k=1
∴ ，
b=8
∴直线CD的解析式为y＝x+8，
所以答案是y＝x+8；
②如图1，过点P作PM⊥CD于M，设点P（1，t），
∵直线CD与x轴的夹角为45°，
√2 √2
∴PM= PD= （9﹣t），
2 2
∵PM＝PO，
∴PM2＝PO2，
1
∴1+t2= （9﹣t）2，
2
∴t ＝﹣9+4√10，t ＝﹣9﹣4√10（舍去），
1 2
∴点P的坐标为（1，﹣9+4√10）；
（Ⅲ）如图2，∵直线CD交x轴于点E，
∴0＝x+8，
∴x＝﹣8，
∴点E（﹣8，0），
∵BF⊥x轴，
∴点F的横坐标为4，
∵点F在直线CD上，
∴点F（4，12），
①当抛物线向上平移，设平移后解析式为y＝﹣x2+2x+8+m（m＞0），
当x＝﹣8时，y＝﹣72+m，当x＝4时，y＝m，
∴﹣72+m≤0或m≤12，
∴0＜m≤72；
②当抛物线向下平移，设平移后解析式为y＝﹣x2+2x+8﹣m（m＞0），
{y=−x❑ 2+2x+8−m
联立方程组可得： ，
y=x+8
∴x2﹣x+m＝0，
∴△＝1﹣4m≥0，
1
∴m≤ ，
4
1
∴0＜m≤ ，
4
1
∴抛物线向上最多可平移72个单位长度，向下最多可平移 个单位长度．
4
1 5
6．如图，抛物线L：y= x2− x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
2 4
（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点
3
D，求PD+ AD的最大值，并求出此时点P的坐标；
5
1 5
（3）如图2，将抛物线L：y= x2− x﹣3向右平移得到抛物线L′，直线AB与抛物线L′交
2 4
于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L′的解析式．试题分析：（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式，通过配方法可求顶点坐
标；
3 3
（2）CD＝ADsin∠BAO= AD，则PD+ AD＝PD+DC＝PC为最大，即可求解；
5 5
3
（3）设点M（x ，y ），点N（x ，y ），则x +x ＝2（m+ ），而点A是MN的中点，故x +x
1 1 2 2 1 2 4 1 2
＝8，进而求解．
1 5
答案详解：解：（1）∵抛物线L：y= x2− x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，
2 4
∴点A（4，0），点B（0，﹣3），
设直线AB解析式为：y＝kx﹣3，
∴0＝4k﹣3，
3
∴k= ，
4
3
∴直线AB解析式为：y= x﹣3①，
4
1 5 1 5 121
∵y= x2− x﹣3= （x− ）2− ，
2 4 2 4 32
5 121
∴抛物线顶点坐标为（ ，− ）；
4 32
（2）∵点A（4，0），点B（0，﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB=√AO2+OB2=√16+9=5，OB 3 3
则sin∠BAO= = ，则CD＝ADsin∠BAO= AD，
AB 5 5
3
则PD+ AD＝PD+DC＝PC为最大，
5
当点P为抛物线顶点时，PC最大，
5 121
故点P的坐标为（ ，− ），
4 32
3 121
则PD+ AD的最大值＝PC为最大，最大值为 ；
5 32
1 121
（3）设平移后的抛物线L'解析式为y= （x﹣m）2− ②，
2 32
3 25
联立①②并整理得：x2﹣2（m+ ）x+m2− =0，
4 16
设点M（x ，y ），点N（x ，y ），
1 1 2 2
∵直线AB与抛物线L'交于M，N两点，
3 25
∴x ，x 是方程x2﹣2（m+ ）x+m2− =0的两根，
1 2 4 16
3
∴x +x ＝2（m+ ），
1 2 4
∵点A是MN的中点，
∴x +x ＝8，
1 2
3
∴2（m+ ）＝8，
4
13
∴m= ，
4
1 13 121 1 13 3
∴平移后的抛物线L'解析式为y= （x− ）2− = x2− x+ ．
2 4 32 2 4 2
7．如图，A，B分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的点，已知点B的坐标是（0，6），∠BAO＝
1
45°．过A，B两点的抛物线y= x2+bx+c与x轴的另一个交点落在线段OA上，该抛物线与直线
2
y＝kx+m（k＞0）在第一象限交于C，D两点，且点C的横坐标为1．
（1）求该抛物线的解析式；BE 1
（2）若直线CD与线段AB的交点记为E，当 = 时，求点D的坐标；
AE 2
（3）P是x轴上一点，连接PC，PD，当∠CPD＝90°时，若满足条件的点P有两个，且这两点
间的距离为1，求直线CD的解析式．
试题分析：①根据直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质求出 A的坐标，讲A，B点坐标
代入解析式，即可求解出解析式，
②过点E作EF⊥x轴于点F，根据△AEF∽△ABO，得到E的坐标，根据二次函数和一次函数
的解析式计算可得，
③过点E作EF⊥x轴交点F，根据直线和圆的性质，得到P点横坐标范围，结合一元一次方程
判别式、根与系数的关系求解可得．
答案详解：解：（1）∵B（0，6），
∴OB＝6，
∵∠ABO＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∴OA＝OB＝6，
∴A（6，0），
{18+6b+c=0
将A（6，0），B（0，6）代入解析得 ，
c=6
{b=−4
解得 ，
c=6
1
∴解析式为y= x2﹣4x+6，
2
1
故抛物线解析式为y= x2﹣4x+6；
2
（2）如图，过点E作EF⊥x轴于点F，∴∠AFE＝90°＝∠AOB，
∴EF∥BO，∠AEF＝∠ABO＝∠BAO＝45°，
OF BE 1
∴ = = ，OA＝OB＝6，
AF AE 2
1
∴OF= OA＝2，F（2，0），
3
∴FA＝4，
2
∴EF= OB＝4，E（2，4），
3
∵点C横坐标为1，并且在抛物线上，
∴将x＝1代入解析式可得，y＝2.5，
∴C（1，2.5），
3
∴由C（1，2.5），E（2，4）得直线CD的解析式为y= x+1，
2
3 1 1 3
将y= x+1代入y= x2﹣4x+6，得 x2﹣4x+6= x+1，
2 2 2 2
解得x ＝1，x ＝10，
1 2
∵C（1，2.5），
∴D的横坐标为10，
3
将x＝10代入y= x+1得y＝16，
2
∴D点的坐标为（10，16），
故点D的坐标为（10，16）；（3）由（2）的C（1，2.5），
设D（x ，y ），P（t，0），
D D
由题意可知，点D在点C的上方，点P是以CD为直径的圆与x轴的交点，
∴1＜t＜x ，
D
如图，分别过点C，D作x轴的垂线交于点H，I，
∴∠CHI＝∠DIH＝90°，
∴∠HCP+∠HPC＝90°，
∵∠CPD＝90°，
∴∠IPD+∠HPC＝90°，
∴∠IPD＝∠HCP，
∴△HCP∽△IPD，
CH HP
∴ = ，
PI ID
2.5 t−1
=
∴ ，（t﹣1）（x ﹣t）＝2.5y ①，
x −t y D D
D D
将点C（1，2.5）代入y＝kx+m中，得m＝2.5﹣k，
∴直线CD的解析式为y＝k（x﹣1）+2.5，
1
将y＝k（x﹣1）+2.5代入y= x2﹣4x+6，
2
整理可得x2﹣（2k+8）x+2k+7＝0，
解得x ＝1，x ＝2k+7，
C D∴D（2k+7，2k2+6k+2.5），
将D（2k+7，2k2+6k+2.5）代入①，
53
整理可得t2﹣（2k+8）t+5t2+17k+ =0，
4
Δ＝﹣16k2﹣36k+11，
因为满足条件的点P有两个，可设P点横坐标分别为t ，t ，且t ＜t ，
1 2 1 2
53
根据韦达定理可知t +t ＝2k+8，t t ＝5k2+17k+ ，
1 2 12 4
由题意得t ﹣t ＝1，
2 1
∴（t ﹣t ）2＝（t +t ）2﹣4t t ，
2 1 1 2 12
化简得8k2+18k﹣5＝0．
1 5
解得k = ，k =− ＜0（舍去），
1 4 2 2
1
当k= ，Δ＝﹣16k2﹣36k+11＞0，满足条件，
4
1 9
所以直线CD的解析式为y= x+ ，
4 4
1 9
故直线CD的解析式为y= x+ ．
4 4
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图的顶点为点D，与y轴交于点C，与x轴
交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当△PCD的周长最小时，求点P的坐标；
（3）如图，若点G（2，m）是该抛物线上一点，E是直线AG下方抛物线上的一动点，点E到
直线AG的距离为d，求d的最大值．试题分析：（1）由二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，求得其对称
轴，从而可得b的值，再将（﹣1，0）代入即可求得c的值，则可得抛物线的解析式；
（2）作点C关于x轴的对称点F，则F的坐标为（0，3），连接DF交x轴于顶点P，此时
△PCD的周长最小，用待定系数法求得直线DF的解析式，令y＝0，可得点P的横坐标，则问
题得解；
（3）先求得点G的坐标，再用待定系数法求得直线AG的解析式；作AG的平行线MN，交x轴
于点M，交y轴于点N，过点A作AH⊥MN于点H当直线MN与抛物线相切时，点E到直线AG
的距离d＝EK最大，设直线MN的解析式为y＝﹣x+n，将其与抛物线解析式联立，得出关于x
的一元二次方程，由交点个数与方程的判别式的关系可得Δ＝0，从而可得n的值，最后由三角
函数求得AH的值，即为所求的d的最大值．
答案详解：解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴对称轴为直线x＝1，
b
∴− = 1，
2
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+c，
将（﹣1，0）代入得：
0＝1+2+c，
∴c＝﹣3，
∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4），点C的坐标为（0，﹣3）．
作点C关于x轴的对称点F，则F的坐标为（0，3），连接DF交x轴于顶点P，此时△PCD的
周长最小，如图：设直线DF的解析式为y＝kx+b（k≠0），将D（1，﹣4），F（0，3）分别代入得：
{k+b=−4
，
b=3
∴y＝﹣7x+3，
3
当y＝0时，x= ，
7
3
∴点P的坐标为（ ，0）；
7
（3）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3，点G（2，m）是该抛物线上一点，
∴m＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴点G（2，﹣3），
设直线AG的解析式为：y＝px+q（p≠0），
将A（﹣1，0），G（2，﹣3）分别代入得：
{−p+q=0
，
2p+q=−3
{p=−1
解得 ，
q=−1
∴直线AG的解析式为：y＝﹣x﹣1，
作AG的平行线MN，交x轴于点M，交y轴于点N，过点A作AH⊥MN于点H，如图：当直线MN与抛物线相切时，点E到直线AG的距离d＝EK最大，
∵AG∥MN，
∴AH＝EK＝d．
设直线MN的解析式为y＝﹣x+n，将其与抛物线解析式联立得：
{y=x2−2x−3
，
y=−x+n
∴x2﹣2x﹣3＝﹣x+n，
整理得：x2﹣x﹣3﹣n＝0，
当MN与抛物线相切时，Δ＝0，
∴（﹣1）2﹣4（﹣3﹣n）＝0，
13
解得：n=− ，
4
13
∴直线MN的解析式为y＝﹣x− ，
4
13 13
∴点M的坐标为（− ，0），点N坐标为（0，− ），
4 4
13 9
∴AM＝﹣1﹣（− ）= ，
4 4
13
∵OM＝ON= ，
4
∴∠AMN＝45°，
∴AH＝AM•sin45°
9 √2
= ×
4 29√2
= ，
8
9√2
∴d的最大值为 ．
8
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，
0），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
PD
（2）连接BC与OP，交于点D，求当 的值最大时点P的坐标；
OD
（3）点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P的纵坐标为2时，过点P作直线PQ∥x
轴，点M为直线PQ上的一个动点，过点M作MN⊥x轴于点N，在线段ON上任取一点K，当
有且只有一个点K满足∠FKM＝135°时，请直接写出此时线段ON的长．
试题分析：（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）过点P作PG⊥x轴，交BC与G，先求出直线BC的解析式，设点P（p，﹣p2+2p+3），则
PD PG
点G坐标为（p，﹣p+3），可求PG的长，由平行线分线段成比例可得 = ，利用二次函
OD OC
数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，连接FM，以FM为斜边，作等腰直角△FHM，当以H为圆心FH为半
径作圆H，与x轴相切于K，此时有且只有一个点K满足∠FKM＝135°，设点H（x，y），由
“AAS”可证△FHE≌△HMQ，可得HE＝QM＝y﹣3，HQ＝EF＝x﹣2，由勾股定理可求y的值，
可求点M坐标，即可求解．
答案详解：解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），
{ 0=a−b+3
∴ ，
0=9a+3b+3{a=−1
解得： ，
b=2
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过点P作PG⊥x轴，交BC于G，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，
∴点C（0，3），
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
设点P（p，﹣p2+2p+3），则点G坐标为（p，﹣p+3），
∴PG＝﹣p2+2p+3﹣（﹣p+3）＝﹣p2+3p，
∵PG∥OC，
3 9
−(p− ) 2+
∴PD PG −p2+3p 2 4 ，
= = =
OD OC 3 3
3 PD
∴当p= 时， 的值有最大值，
2 OD
3 15
∴点P（ ， ）；
2 4
（3）当点M在点F的右侧，如图2，连接FM，以FM为斜边，作等腰直角△FHM，当以H为
圆心FH为半径作圆H，与x轴相切于K，此时有且只有一个点K满足∠FKM＝135°，连接HK，交PM于Q，延长CF交HK于E，则HK⊥x轴，
设点H（x，y），
∵点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，
∴点F（2，3），CF∥x轴，
∴CF∥PM，
∴HK⊥CF，HK⊥PM，
∴∠FEH＝∠HQM＝90°＝∠FHM，
∴∠FHE+∠QHM＝90°＝∠FHE+∠HFE，
∴∠QHM＝∠HFE，
又∵FH＝HM，
∴△FHE≌△HMQ（AAS），
∴HE＝QM＝y﹣3，HQ＝EF＝x﹣2，
∴y﹣2＝x﹣2，
∴x＝y，
∵FH2＝HE2+EF2，
∴y2＝（y﹣2）2+（y﹣3）2，
∴y＝2√3+5，
∴QM＝2√3+5﹣3＝2√3+2，
∴点M的坐标（4√3+7，2），
∵MN⊥x轴，∴ON＝7+4√3，
当点M在点F的左侧，同理可求ON＝3+4√3，
综上所述：线段ON的长为7+4√3或3+4√3．
1
10．如图，点A，B，C都在抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中− ＜a＜0）上，AB∥x轴，
4
∠ABC＝135°，且AB＝4．
（1）当m＝1时，求抛物线的顶点坐标；
（2）求点C到直线AB的距离（用含a的式子表示）；
（3）若点C到直线AB的距离为1，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．
试题分析：（1）由配方法可求顶点坐标；
（2）设点C到直线AB的距离为d，求出点C坐标，代入解析式可求解；
（3）先求出a值，分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，x＝2m﹣2时y取最大值，
利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之可求出m的值；②当
2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，x＝m时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可
得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，x＝2m﹣5时y
取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于 m的一元一次方程，解之可求出m的
值．综上即可得出结论．
答案详解：解：（1）当m＝1时，抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax+a﹣3，
∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3＝a（x﹣1）2﹣3，
∴顶点坐标为（1，﹣3）；
（2）如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，∵∠ABC＝135°，
∴∠CBD＝45°，
∵CD⊥AD，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∴BD＝CD，
∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5＝a（x﹣m）2+2m﹣5，
∴顶点坐标为（m，2m﹣5），
∵AB＝4，
∴点B的横坐标为m+2，
∵点B在抛物线y＝a（x﹣m）2+2m﹣5上，
∴y＝a（m+2﹣m）2+2m﹣5＝4a+2m﹣5，
∴点B（m+2，4a+2m﹣5），
设点C到直线AB的距离为d，
∴BD＝CD＝d，
∴点C（m+2+d，4a+2m﹣5﹣d），
∵点C在抛物线y＝a（x﹣m）2+2m﹣5上，
∴4a+2m﹣5﹣d＝，a（m+2+d﹣m）2+2m﹣5，
整理得：ad2+4ad+d＝0，
∵d≠0，
4a+1
∴d=− ，
a
4a+1
∴点C到直线AB的距离为− ；
a
（3）∵点C到直线AB的距离为1，4a+1
∴− = 1，
a
1
∴a=− ，
5
1
∴抛物线的解析式为y=− （x﹣m）2+2m﹣5．
5
分三种情况考虑：
1
①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有− （2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，
5
整理，得：m2﹣14m+39＝0，
解得：m ＝7−√10（舍去），m ＝7+√10（舍去）；
1 2
②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，
7
解得：m= ；
2
1
③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有− （2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，
5
整理，得：m2﹣20m+60＝0，
解得：m ＝10﹣2√10（舍去），m ＝10+2√10．
3 4
7
综上所述：m的值为 或10+2√10．
2
11．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）交x轴交于A（﹣1，0）和点B（3，0），交y轴于点C．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）如图1，点D是直线BC上一点，过点D作DE∥y轴，交抛物线于点E（点E在点D的上
方），再过点E作EF∥x轴，交直线BC于点F．当△DEF的面积取最大值时，求点E的坐标；
（Ⅲ）如图2，点M为抛物线对称轴l上的一点，点N为抛物线上的一点，当直线BC垂直平分MN时，求出点N的坐标．
试题分析：（Ⅰ）用待定系数法求函数的解析式即可；
（Ⅱ）由题意先确定△DEF是等腰直角三角形，设E（t，﹣t2+2t+3），则D（t，﹣t+3），可得
3 9 3
DE＝﹣t2+3t＝﹣（t− ）2+ ，当DE最大时，△DEF的面积就最大，又由当t= 时，DE有最
2 4 2
3 15
大值，可求此时E（ ， ）；
2 4
（Ⅲ）设M（1，m），直线BC与对称轴的交点为H（1，2），由题意可得△GHM是等腰直角
m m
三角形，求出G（2− ，1+ ），再由G点是MN的中点，可求N（3﹣m，2），将N点坐标
2 2
代入抛物线解析式即可求m的值，由此可求N点坐标．
答案详解：解：（Ⅰ）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
{ a−b+3=0
∴ ，
9a+3b+3=0
{a=−1
解得 ，
b=2
∴y＝﹣x2+2x+3；
（Ⅱ）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
{ b=3
∴ ，
3k+b=0
{k=−1
解得 ，
b=3
∴y＝﹣x+3，
∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵EF∥x轴，
∴∠EFD＝45°，
∵DE∥y轴，
∴∠FED＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，设E（t，﹣t2+2t+3），则D（t，﹣t+3），
3 9
∴DE＝﹣t2+3t＝﹣（t− ）2+ ，
2 4
3 9
当t= 时，DE有最大值 ，
2 4
1 1 81 81
∵S△DEF =
2
×DE2=
2
×
16
=
32
，
81
∴△DEF的面积取最大值为 ，
32
3 15
此时E（ ， ）；
2 4
（Ⅲ）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设M（1，m），
直线BC与对称轴的交点为H（1，2），
∴MH＝m﹣2，
∵∠GHB＝∠OBC＝45°，
∴△GHM是等腰直角三角形，
m m
∴G（2− ，1+ ），
2 2
∵直线BC垂直平分MN，
∴G点是MN的中点，
∴N（3﹣m，2），
∴2＝﹣（3﹣m）2+2（3﹣m）+3，
解得m＝2+√2或m＝2−√2，
∴N（1−√2，2）或（1+√2，2）．12．已知抛物线G：y ＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3，直线h：y ＝mx+3﹣2m，其中m≠0．
1 2
（1）当m＝1时，求抛物线G与直线h交点的坐标；
（2）求证：抛物线G与直线h必有一个交点A在坐标轴上；
（3）在（2）的结论下，解决下列问题：
①无论m怎样变化，求抛物线G一定经过的点坐标；
②将抛物线G关于原点对称得到的图象记为抛物线G'，试结合图象探究：若在抛物线G与直线
h，抛物线G'与直线h均相交，在所有交点的横坐标中，点A横坐标既不是最大值，也不是最小
值，求此时抛物线G的对称轴的取值范围．
试题分析：（1）把m＝1代入抛物线及直线解析式，并联立即可求解；
（2）联立方程组求解即可求证；
（3）①由（2）可直接得到；
②先求出抛物线G′，再联立抛物线G′和直线h，求出交点，再进行分类讨论即可．
答案详解：（1）解：当m＝1时，抛物线G：y ＝x2﹣1，直线h：y ＝x+1，
1 2
令x2﹣1＝x+1，解得x＝﹣1或x＝0，
∴抛物线G与直线h交点的坐标为（﹣1，0）或（0，1）；
（2）证明：令mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3＝mx+3﹣2m，整理得mx2﹣（4m﹣3）x+4m﹣6＝0，
2m−3
即（x﹣2）（mx﹣2m+3）＝0，解得x＝2或x= ，
m
2m−3
当x＝2时，y＝3；当x= 时，y＝0；
m
2m−3
∴抛物线G与直线h的交点分别为（2，3）和（ ，0），
m
∴必有一个交点在x轴上．
（3）①证明：由（2）可知，抛物线一定过点（2，3）；②解：抛物线G：y ＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3＝（mx﹣2m+3）（x﹣1），
1
2m−3
则抛物线G与x轴的交点为（1，0），（ ，0），
m
∵抛物线G与抛物线G′关于原点对称，
2m−3
∴抛物线G′过点（﹣1，0），（− ，0），
m
2m−3
∴抛物线G′的解析式为：y′＝﹣m（x+1）（x+ ）＝﹣mx2﹣（3m﹣3）x﹣2m+3，
m
令﹣mx2﹣（3m﹣3）x﹣2m+3＝mx+3﹣2m，整理得mx2+（4m﹣3）x＝0，
3−4m
∴x＝0或x= ，
m
2m−3 3−4m
即四个交点分别为：（0，3﹣2m），（2，3），A（ ，0），（ ，6﹣6m），
m m
2m−3 3
a．当0＜ ＜2时，m＞ ，符合题意；
m 2
2m−3 3
b．当 ＜0时，则0＜m＜ ，
m 2
3−4m 2m−3 3
若 ＜ ，可得m＜0或m＞1，此时1＜m＜ ；
m m 2
3−4m 2m−3
若 ＞ ，可得0＜m＜1，此时点A的横坐标为最小值，不符合题意；
m m
2m−3
c．当 ＞2时，解得m＜0，
m
3−4m 2m−3
若 ＜ ，可得m＜0或m＞1，此时点A的横坐标为最大值，不符合题意；
m m
3−4m 2m−3
若 ＞ ，可得0＜m＜1，无解，不符合题意；
m m
3
综上，m的取值范围为：m＞1且m≠ ，
2
3m−3 3m−3 1
∴ ＞0且 ≠ ．
2m 2m 2
3m−3 3m−3 1
即抛物线G对称轴的取值范围为： ＞0且 ≠ ．
2m 2m 2
1 3
13．如图，抛物线y=− x2+ x+2与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．
2 2
（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，点C在y轴右侧的抛物线上，且AC＝BC，求点C的坐标；
（3）如图2，将△ABO绕平面内点P顺时针旋转90°后，得到△DEF（点A，B，O的对应点分
别是点D，E，F），D，E两点刚好在抛物线上．
①求点F的坐标；
②直接写出点P的坐标．
试题分析：（1）令y＝0，可求A点坐标，令x＝0，可求B点坐标；
（2）由题意可知C点在AB的垂直平分线与抛物线的交点处，证明∠ABO＝∠HGA，再由三角
1 AH 1 3
函数 sin∠ABO = = ，可求 G 点坐标，进而求出直线 HC 的解析式 y=− x+ ，联立
√5 AG 2 4
1 3
{y=− x2+ x+2
2 2
即可求C点坐标；
1 3
y=− x+
2 4
1 3 1 3 1 3
（3）①设E（t，− t2+ t+2），则F（t﹣2，− t2+ t+2），D（t﹣2，− t2+ t+3），再由
2 2 2 2 2 2
D点在抛物线上，可求t＝3，则F（1，2）；
②过点P作PN⊥x轴交于点N，交EF于点M，证明△FMP≌△PNO（AAS），则PM+PN＝2，
设P（m，2﹣m），OP2＝2m2﹣4m+4，再由OF2＝2OP2，可得5＝2（2m2﹣4m+4），即可求P
3 1
（ ， ）．
2 2
1 3
答案详解：解：（1）令y＝0，0=− x2+ x+2，
2 2∴x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2）；
（2）∵AC＝BC，
∴C点在AB的垂直平分线上，
∵A（﹣1，0），B（0，2），
1
∴AB的中点H（− ，1），
2
∵∠AHG＝90°，
∴∠HAG+∠HGA＝90°，∠BAG+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠HGA，
∵AB=√5，
√5
∴AH= ，
2
AO 1
∵sin∠ABO = = ，
AB √5
1 AH
∴sin∠AGH = = ，
√5 AG
5
∴AG= ，
2
3
∴OG= ，
2
3
∴G（ ，0），
2
设直线HC的解析式为y＝kx+b，
3
{ k+b=0
2
∴ ，
1
− k+b=1
2
1
{k=−
2
∴ ，
3
b=
41 3
∴y=− x+ ，
2 4
1 3
{y=− x2+ x+2
2 2
联立 ，
1 3
y=− x+
2 4
√26
解得x＝2± ，
2
∵C点在y轴右侧，
√26
∴x＝2+ ，
2
√26 1 √26
∴C（2+ ，− − ）；
2 4 4
1 3
（3）①如图2，设E（t，− t2+ t+2），
2 2
∵OA＝1，OB＝2，
1 3 1 3
∴F（t﹣2，− t2+ t+2），D（t﹣2，− t2+ t+3），
2 2 2 2
∵D点在抛物线上，
1 3 1 3
∴− t2+ t+3 =− （t﹣2）2+ （t﹣2）+2，
2 2 2 2
∴t＝3，
∴F（1，2）；
②过点P作PN⊥x轴交于点N，交EF于点M，
∵∠OPF＝90°，
∴∠FPM+∠OPN＝90°，
∵∠FPM+∠MFP＝90°，FP＝OP，
∴△FMP≌△PNO（AAS），
∴FM＝PN，PM＝ON，
∵F（1，2），
∴PM+PN＝2，
设P（m，2﹣m），
∴OP2＝m2+（2﹣m）2＝2m2﹣4m+4，∵PO＝FP，
∴OF2＝2OP2，
∴5＝2（2m2﹣4m+4），
3 1
∴m= 或m= ，
2 2
3 1 1 3
∴P（ ， ）或P（ ， ），
2 2 2 2
∵①结论可知F（1，2），PO＝FP，
1 3
∴P（ ， ）舍去，
2 2
3 1
∴P（ ， ）．
2 21
14．已知直线y ＝kx+1（k＞0）与抛物线y = x2．
1 2 4
（1）当﹣4≤x≤3时，函数y 与y 的最大值相等，求k的值；
1 2
1
（2）如图①，直线y ＝kx+1与抛物线y = x2交于A，B两点，与y轴交于F点，点C与点F
1 2 4
关于原点对称，求证：S△ACF ：S△BCF ＝AC：BC；
1
（3）将抛物线y = x2先向上平移1个单位，再沿直线y ＝kx+1的方向移动，使向右平行移动
2 4 1
的距离为t个单位，如图②所示，直线y ＝kx+1分别交x轴，y轴于E，F两点，交新抛物线于
1
M，N两点，D是新抛物线与y轴的交点，当△OEF∽△DNF时，试探究t与k的关系．
1 1
试题分析：（1）当x＝﹣4时，函数y 有最大值，y = x2= ×（﹣4）2＝4．当x＝3时，函数
2 2 4 4
y 的最大值也是4．将x＝3，y＝4代入y ＝kx+1，得4＝3k+1，则可得出答案；
1 1
1 4 4
（2）求出C（0，﹣1）．依题意设A点坐标为（m， m2 ），求出点B的坐标为（− ，
4 m m2
）．分别过A，B两点作y轴的垂线AP与BQ，垂足分别为P，Q．证明△APC∽△BQC，由相
AC AP
似三角形的性质得出 = ，则得出结论；
BC BQ
1
（3）证明∠NDF＝∠EOF＝90°，得出DN⊥y轴，可证出y ＝y ，则
t2+kt+1＝kt+4k2+1．整
D N 4
理可得出结论．
1
答案详解：解：（1）∵抛物线y = x2的对称轴为y轴，
2 4
又﹣4≤x≤3，1 1
∴当x＝﹣4时，函数y 有最大值，y = x2= ×（﹣4）2＝4．
2 2 4 4
∵k＞0，
∴函数y ＝kx+1随x的增大而增大，
1
∴当x＝3时，函数y 的最大值也是4．
1
将x＝3，y＝4代入y ＝kx+1，得4＝3k+1．
1
∴k＝1；
（2）将x＝0代入y ＝kx+1得y ＝1，
1 1
∴F（0，1），
∵C点与F点关于原点对称，
∴C（0，﹣1）．
1
依题意设A点坐标为（m，
m2
），代入直线y ＝kx+1的解析式，
4 1
1 1 1
得 m2=mk+1，解得k= m− ．
4 4 m
1 1
∴y ＝（ m− ）x+1，
1 4 m
1 1
{y=( m− )x+1
4 m
由 得mx2﹣（m2﹣4）x﹣4m＝0．
1
y= x2
4
4 4
又由x +x ＝m− ，x ＝m，得x =− ，
1 2 m 1 2 m
4
∴y = ．
2 m2
4 4
∴B（− ， ）．
m m2
分别过A，B两点作y轴的垂线AP与BQ，垂足分别为P，Q．1 4 4
可得AP＝﹣m，PC= m2+1+1，BQ=− ，QC = + 1．
4 m m2
1
AP −m m2 m2+1
= = CP 4 m2
= =
∴BQ 4 4 ， ，
− CQ 4 4
m
+1
m2
AP CP
∴ = ．
BQ CQ
又∠APC＝∠BQC＝90°，
∴△APC∽△BQC，
AC AP
∴ = ，
BC BQ
1 1
∵S△ACF =
2
FC•AP，S△BCF =
2
FC•BQ，
∴S△ACF ：S△BCF ＝AC：BC；
1 1
（3）抛物线y = x2向上平移1个单位后为y = x2+1，再沿直线y ＝kx+1的方向，向右平移t
2 4 2 4 1
1
个单位，相当于再向上移动了kt个单位，平移后的抛物线为y= （x﹣t）2+（1+kt）……①，
4
1
则点D的坐标为（0，
t2+kt+1），M点的坐标为（t，1+kt）．
4
∴直线y＝kx+1……②，
将①②联立并整理，得x2﹣2xt﹣4kx+t2+4kt＝0，
∴x +x ＝2t+4k．
1 2
依题意，得x ＝x ＝t，
1 M∴x ＝x ＝t+4k，
2 N
则点N的坐标为（t+4k，kt+4k2+1）．
∵△OEF∽△DNF，
∴∠NDF＝∠EOF＝90°，
∴DN⊥y轴，
∴y ＝y ，
D N
1
∴ t2+ kt+1＝kt+4k2+1．
4
解得t＝4k（t＝﹣4k不合题意，舍去），
即t与k的关系式为t＝4k．
15．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OA＝OB，与y
轴交于点C．
（1）求证：b＝0；
（2）若a＝﹣1，点P是第二象限内抛物线上的一个动点，AP与y轴交于点D，连接BP，过点
A作AQ∥BP，与抛物线交于点Q，且AQ与y轴交于点E．
①求Q，P两点横坐标的差；（用含有c的式子来表示）
OD+OE
②求 的值．
OC
试题分析：（1）由A、B两点关于y轴对称，可求b＝0；
（2）①过点P作PG⊥x轴交于G点，过Q点作QH⊥x轴交于H点，求出A（−√c，0），B（
√c，0），设 P（p，﹣p2+c），Q（q，﹣q2+c），则有 GB=√c−p，AH＝q+√c，再由
−p2+c q2−c
= ，可得q﹣p＝2√c；
√c−p q+√c
②设P（p，﹣p2+c），Q（q，﹣q2+c），求出直线AP的解析式为y＝（√c−p）x﹣p√c+c，同
理可求AQ的直线解析式为y＝（√c−q）x﹣q√c+c，分别求出D（0，﹣p√c+c），E（0，﹣q
√c+c ） ， 即 可 得 OD ＝ ﹣ p√c+c ， OE ＝ ﹣ c+q√c， 再 求
OD+OE c−p√c−c+q√c q−p
= = = 2．
OC c √c
答案详解：解：（1）∵OA＝OB，
∴A、B两点关于y轴对称，b
∴− = 0，
2a
∴b＝0；
（2）①过点P作PG⊥x轴交于G点，过Q点作QH⊥x轴交于H点，
∵PB∥AQ，
∴∠PBG＝∠BAQ，
∵a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+c，
令y＝0，则﹣x2+c＝0，
∴x=±√c，
∴A（−√c，0），B（√c，0），
设P（p，﹣p2+c），Q（q，﹣q2+c），
∵P点在第二象限，
∴p＜0，
∴GB=√c−p，AH＝q+√c，
−p2+c q2−c
∴ = ，
√c−p q+√c
∴√c+p＝q−√c，
∴q﹣p＝2√c；
②设P（p，﹣p2+c），Q（q，﹣q2+c），
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
{ √ck+b=0
∴ ，
pk+b=−p2+c
{k=−p+√c
∴ ，
b=−p√c+c
∴y＝（√c−p）x﹣p√c+c，
同理可求AQ的直线解析式为y＝（√c−q）x﹣q√c+c，
∴D（0，﹣p√c+c），E（0，﹣q√c+c），
∴OD＝﹣p√c+c，OE＝﹣c+q√c，
OD+OE c−p√c−c+q√c q−p
∴ = = ，
OC c √c∵q﹣p＝2√c，
OD+OE
∴ = 2．
OC
16．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；
（2）证明△BCM与△ABC的面积相等；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）将抛物线化为顶点式y＝m（x﹣2）2﹣9m，则抛物线顶点M的坐标为（2，﹣
9m），令y＝0，解方程即可求出点A、B的坐标；
（2）分别表示出△BCM与△ABC的面积即可证明；（3）用含m的代数式分别表示出BC2、CM2、BM2，再根据△BCM为直角三角形，分三种情况：
当∠BMC＝90°时，CM2+BM2＝BC2；∠BCM＝90°时，BC2+CM2＝BM2；当∠CBM＝90°时，由
25+25m2＞4+16m2，9+81m2＞4+16m2，此种不存在，分别进行列方程计算即可得出答案．
答案详解：解：（1）∵y＝m（x﹣2）2﹣9m，
∴抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m），
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴当y＝0时，mx2﹣4mx﹣5m＝0，
∵m＞0，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝5，
1 2
∴A，B两点的坐标为（﹣1，0）、（5，0），
（2）当x＝0时，y＝﹣5m，
∴点C的坐标为（0，﹣5m），
1
∴S△ABC =
2
×|5﹣（﹣1）|×|﹣5m|＝15m，
过点M作MD⊥x轴于D，
则OD＝2，BD＝OB﹣OD＝3，MD＝|﹣9m|＝9m，
∴S△BCM ＝S△BDM +S梯形OCMD ﹣S△OBC ，
1 1 1
= BD•DM+ （OC+DM）•OD− OB•OC，
2 2 2
＝15m，
∴S△ABC ＝S△BCM ，
（3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线．
过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为直角三角形，CN＝OD＝2，DN＝OC＝5m，∴MN＝DM﹣DN＝4m，
∴CM2＝CN2+MN2＝4+16m2，
在Rt△OBC中，BC2＝OB2+OC2＝25+25m2，
在Rt△BDM中，BM2＝BD2+DM2＝9+81m2．
①如果△BCM是直角三角形，且∠BMC＝90°时，CM2+BM2＝BC2，
√6
即4+16m2+9+81m2＝25+25m2，解得 m=± ，
6
∵m＞0，
√6
∴m= ．
6
√6 2√6 5√6
∴存在抛物线y= x2− x− 使得△BCM是直角三角形；
6 3 6
②如果△BCM是直角三角形，且∠BCM＝90°时，BC2+CM2＝BM2．
√2
即25+25m2+4+16m2＝9+81m2，解得 m=± ，
2
∵m＞0，
√2
∴m= ．
2
√2 5√2
∴存在抛物线y= x2−2√2x− 使得△BCM是Rt△；
2 2
③∵25+25m2＞4+16m2，9+81m2＞4+16m2，
∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在，
√6 2√6 5√6 √2 5√2
综上，存在抛物线y= x2− x− 和y= x2−2√2x− 使△BCM是直角三角
6 3 6 2 2
形．
