第23章旋转（培优卷）（解析版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_06习题试卷_7期中期末复习专题_满分计划2022-2023学年九年级数学上册阶段性复习测试卷（人教版）

第23章 旋转（培优卷） 一．选择题（每小题3分，共24分） 1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史，2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人 工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中 心对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A.是中心对称图形，故本选项符合题意； B.不是中心对称图形，故本选项不合题意； C.不是中心对称图形，故本选项不合题意； D.不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 2.如图将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△ABC，设点 的坐标为（a，b），则A的坐标为 （ ） A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b﹣2） 【答案】D 【解析】解： 将△ABC绕点C（0，﹣1）旋180°得到△ABC， 设 而 由中点坐标公式可得： ;解得： ;∴ A（﹣a，﹣b﹣2） 故选D 3.如图，将 绕点 顺时针旋转得到 ，且点 恰好在 上， ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意可知： ， 又∵ ,∴ 又∵ ,∴ ，∴ 故选：A． 4.如图， 中， ， ， ， 平行于 轴，以点 为旋转中心，将 逆时针旋转 ，得到 ，则点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：过点 向 作垂线，垂足为点 ，如图，∵ ， ，∴ ∵ 轴，∴ ，∴ ， 将 逆时针旋转 ，得到 ， ∴ ，∴ ，∴点 在y轴上， 由旋转的性质得， ，∴ , ∴ ∵ ， ∴ ,∴ 由勾股定理得， ∵点 在第二象限，∴点 的坐标为 故选：D． 5.如图， ，将 绕点B逆时针旋转至 处，点E，A分别是点D，C旋转后 的对应点，连接DE，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点， ∴∠CBD=∠ABE，BD=BE， ∵∠ABC=∠CBD+∠ABD，∠EBD=∠ABE +∠ABD，∠ABC=70°，∴∠EBD=∠ABC=70°， ∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE= ， 故选：A． 6.如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋 转60°，得点B．在 ， ， ， 四个点中，直线PB经过的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵点A（4，2），点P（0，2）， ∴PA⊥y轴，PA=4， 由旋转得：∠APB=60°，AP=PB=4， 如图，过点B作BC⊥y轴于C， ∴∠BPC=30°，∴BC=2，PC=2 ，∴B（2，2+2 ）， 设直线PB的解析式为：y=kx+b， 则 ，∴ ，∴直线PB的解析式为：y= x+2， 当y=0时， x+2=0，x=- ，∴点M（- ，0）不在直线PB上， 1 当x=- 时，y=-3+2=1，∴M（- ，-1）在直线PB上， 2 当x=1时，y= +2，∴M（1，4）不在直线PB上， 3 当x=2时，y=2 +2，∴M（2， ）不在直线PB上． 4 故选：B．7.如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则 S ABP+S BPC＝（ ）． △ △ A．20+16 B．24+12 C．20+12 D．24+16 【答案】D 【解析】如图，将 绕点B逆时针旋转 后得 ，连接 ， 根据旋转的性质可知，旋转角 ， ，∴ 为等边三角形， ， 由旋转的性质可知， ， 在 中， ，AP＝6，由勾股定理的逆定理得， 是直角三角形， ∵ ， ，∴ ． 故选：D． 8.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△ABC 的位置，点B、O分别落在点B、C 1 1 1 1 处，点B 在x轴上，再将△ABC 绕点B 顺时针旋转到△ABC 的位置，点C 在x轴上，将△ABC 绕点 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 C 顺时针旋转到△ABC 的位置，点A 在x轴上，依次进行下去…，若点A（3，0），B（0，4），则点 2 2 2 2 2 B 的横坐标为（ ） 2022 A．12120 B．12128 C．12132 D．12125【答案】C 【解析】解：∵点A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴ ， ∴OA＋AB＋BC ＝3＋5＋4＝12，∴B（12，4），B（24，4），B（36，4），…， 1 1 2 2 4 6 ∵2022÷2＝1011，∴1011×12＝12132， 故选：C． 二．填空题（每小题2分，共16分） 9.如果抛物线 的顶点关于原点对称点的坐标是（－1，－3），那么m的值是___． 【答案】5 【解析】∵抛物线y＝2x2−4x＋m的顶点关于原点对称点的坐标是（−1，−3）， ∴抛物线y＝2x2−4x＋m的顶点坐标是（1，3）， ∴3＝ ， 解得，m＝5； 故答案为：5． 10.如图，在平面直角坐标系中，点 ， ，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对 应点 坐标是______． 【答案】 或 【解析】解：∵A(-1，2)， OC= 4，∴ C(4，0)，B(3，2)，M(0，2)， BM = 3， AB//x轴，BM= 3．将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后， 由旋转得：OM=OM =OM =2，∠AOA =∠AOA =90° 1 2 1 2 BM=BM=BM=3，AB⊥x轴，AB⊥x轴， 1 1 2 2 1 1 2 2 ∴B 和B 的坐标分别为： (-2，3)， (2，-3)， 1 2 ∴B'即是图中的B 和B，坐标就是， B' (-2， 3)， (2，-3)， 1 2 故答案为： (-2，3)或 (2， -3)． 11.如图，△ABC中，∠ABC＝64°，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，使得AA′∥BC，则 ∠CBC′＝_________°． 【答案】52 【解析】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△BA′C′，∴BA′=AB，∴∠BAA′=∠BA′A， ∵AA′//BC，∴∠A′AB=∠ABC， ∵∠ABC=64°，∴∠A′AB=64°，∴∠ABA′=（180°-2×64°）=52°， ∵∠CBC′=∠ABA′，∴∠CBC′=52°． 故答案为：52． 12.如图，ΔABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（-1，0），现将ΔABC绕A点逆时针 旋转90°，再向右平移一个单位后点C的对应点C＇的坐标是__________．【答案】 【解析】ΔABC绕A点逆时针旋转90°后的图像如图： 观察图象，可知 对应的点 坐标为（-2，3）， ∴（-2，3）再向右平移一个单位后点C的对应点C＇的坐标是 故答案是： ． 13.如图，在 中， ， ， ，将 绕顶点 ，按顺时针方向旋转到 处，此时线段 与 的交点 恰好为 的中点， ，则线段 的长度为______． 【答案】1.5cm 【解析】∵在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm， ∴AB＝ ＝5cm，∴OD＝ AB＝2.5cm， ∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△AOB 处，∴OB＝OB＝4cm， 1 1 1 ∴BD＝OB-OD＝1.5cm． 1 1故答案为：1.5cm． 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠CAB=30º，BC=4．将△ABC绕点C逆时针旋转α度（0<α 180），得到△DEC，A，B的对应点分别为D，E． 边DC，DE分别交直线AB于F，G，当△DFG是直 角三角形时，则BD=__________． 【答案】 或 【解析】解：根据题意得：CD=AC，∠CDE=∠A=30°， 当∠DFG=90°时，如图： ∵∠ACB=90º，∠CAB=30º，BC=4．∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ； 当∠DGF=90°时，如图： ∵∠CDE=∠A=30°，∠DGB=90°，∴∠DFG=60°=∠ABC，∴点B与点F重合， ∴ ； 综上所述，BD的长为 或 ．故答案为： 或 15.如图，在平面直角坐标系 中， 为等腰三角形， ， ，点A与坐标原点重合， 点C在x轴正半轴上，将 绕点C顺时针旋转一定的角度后得到 ，使得点B对应点 在x轴上， 记为第一次旋转，再将 绕点 顺时针旋转一定的角度后得到 ，使得点 对应点 在x轴上， 以此规律旋转，则第2023次旋转后钝角顶点坐标为___________． 【答案】 【解析】过点A作AD⊥BC于点D， ∵AB=AC=5，BC=8,∴BD=CD= BC=4，∴ ， 由题意 ， ， ， ， ， ， ,…， 每3次是一个循环组， ， ∴ 在竖直方向的位置与 的位置相同，纵坐标为3， ∴第2023次旋转后钝角顶点的横坐标为 ， ∴第2023次旋转后钝角顶点坐标为 ． 故答案为（12141，3） 16.如图，在矩形ABCD中， ， ，点E是直线BC上的一个动点，连接DE，将线段DE绕着 点D顺时针旋转 得到线段DG，连接AG，则线段AG的最小值为_________．【答案】 【解析】解：如图所示，将线段DC绕点D顺时针旋转 得到线段 ，作直线 交AD于K，过点A 作 于点H． （SAS） 如图所示，当点E在直线BC上运动时，G在直线 上运动，即点G的运动轨迹是直线 ． 当点G运动到H时，AG最小，最小值即为AH的长度． ， 在 中， ， 则线段AG的最小值为故答案为： 三．解答题（共60分） 17.（6分）如图，在 中，AB＝BC，∠CBA＝60°，点E是BC上的一点，连接AE，将EA绕点E顺时 针旋转90°得到ED，点D恰好在AC的延长线上，若CE＝2，求AC的长． 【答案】 【解析】解：如图，过点E作EN⊥AC于点N， ∵AB＝BC，∠CBA＝60°，∴ 是等边三角形，∴∠BCA＝60°， ∵EN⊥AC，∴∠ENC＝90°， ， ∵CE＝2，∴ ， ， 由题可知 绕点E旋转90°得到ED，∴ 是等腰直角三角形， ∴ ，∴ ，∴ ． 18.（8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形， 的顶点均在格点上， 点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ． (1)先将 沿 轴正方向平移3个单位长度，再沿 轴负方向平移1个单位长度得到 ，画出，点 坐标是______； (2)将 ，绕点 逆时针旋转90°，得到 ，画出 ，点 的坐标是______． (3)我们发现点 ， 关于某点成中心对称，对称中心坐标是______． 【答案】(1)见解析， ；(2)见解析， ；(3) 【解析】(1)解：如图， 即为所求， 故答案为： (2)解：如图， 即为所求，点 坐标为 故答案为： (3)解：∵ ， ，∴ ， ，∴对称中心坐标是 ， 故答案为： ． 19.（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+2x与x轴的另一个交点为A，把该 抛物线在x轴及其下方的部分记作C ，将C 绕着点O旋转180°，得到C ，C 与x轴交于另一点B． 1 1 2 2(1)求抛物线C 的顶点E的坐标； 2 (2)将C 绕着点B旋转180°得到C ，连接C 与C 的最低点，则阴影部分图形的面积为______． 2 3 1 3 【答案】(1)(1，1)；(2)4 【解析】(1)设抛物线y＝x2+2x的顶点为G， ∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴G（﹣1，﹣1）， ∵将C 绕着点O旋转180°，得到C ，∴点G与点E关于原点O对称，∴E（1，1）； 1 2 (2)设C 的最低点为F， 3 令y＝0，则x2+2x＝0，解得：x＝0或x＝﹣2，∴A（﹣2，0）， 由题意：点A与点B关于原点O对称，∴B（2，0）， ∵将C 绕着点B旋转180°得到C ，∴点E与点F关于原点O对称，∴F（3，﹣1）， 2 3 过点G作GH⊥OA于点H，过点F作FK⊥BD于点K，过点E作EM⊥OB于点M，如图， ∵G（﹣1，﹣1），F（3，﹣1），∴GF∥HK，GH＝FK＝1， ∵GH⊥OA，FK⊥BD，∴四边形GHKF为矩形． ∵G（﹣1，﹣1），F（3，﹣1），∴HO＝1，OK＝3，∴HK＝OH+OK＝4， 根据旋转不变性可得：S ＝S GHKF， 阴影部分 矩形 ∴S ＝HK•HG＝4×1＝4， 阴影部分 故答案为：4． 20.（8分）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、 EF、FD之间的数量关系．(1)延长FD到点G使DG＝BE，连接AG，得到至△ADG，从而可以证明EF＝BE＋FD，请你利用图（1） 证明上述结论． (2)如图（2），四边形ABCD中， ，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上， 则当∠EAF与∠BAD满足______数量关系时，仍有EF＝BE＋FD，并说明理由． 【答案】(1)见解析；(2) ，理由见解析 【解析】(1)延长FD到点G使DG=BE，连接AG． 如图（1），在正方形ABCD中，AB=AD， 在 和 中， ≌ (SAS)， ， 在 和 中， ≌ ， (2) 理由如下：如图，延长CB至M，使BM=DF，连接AM， ， 在 和 中， ≌ ， ， ，在 和 中， ≌ ， ， 21.（10分）如图， 中， ， ，点 、 在 边上， ，将 绕 点 顺时针旋转 得 ． (1)求证： ； (2)连接 ，求证： ； (3)若 ， ，则 ______，四边形 的面积＝______． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) ； 【解析】(1)证明：∵将 绕点 顺时针旋转 得 ，∴ ， ∵在 中， ， ，∴ ， ∴ ，∴ ． (2)证明：∵将 绕点 顺时针旋转 得 ，∴ ， ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ， 在 和 中， ， ∴ ． (3)解：如图，过点 作 于 ， ∵将 绕点 顺时针旋转 得 ， ， ，∴ ， 由（1）得， ， 在 中， ， 由（2）得， ，∴ ， ，∴ ，∵在 中， ， ， ；∴ ， ∴ ，∴四边形 的面积： ． 故答案为： ； ． 22.（10分）△ABC和△DEC是等腰直角三角形， ， ， ． (1)【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想 线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系． (2)【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度 ，线段BD和线段AE的数 量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． (3)【拓展应用】如图3，在△ACD中， ， ， ，将AC绕着点C逆时针旋转90° 至BC，连接BD，求BD的长． 【答案】(1) ， ；(2)成立，理由见解析；(3) 【解析】(1) ， ，证明如下： 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；(2)成立，理由如下： ∵ ，∴ ，即 ， 在 和 中， ∵ ， ， ，∴ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ； (3) 如图，过点C作 ，垂足为C，交AD于点H， 由旋转性质可得： ， ， ∵ ，∴ ， ∵ ，且 ，∴ ， ∴ ，∴ ， 在 中： ， ∵ ，∴ ，即 ， 在 和 中， ∵ ， ， ，∴ ， ∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ 是直角三角形， 在 中， ． 23.（10分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直线BG与DE交于点H．(1)如图1，当点G在CD上时，请直接写出线段BG与DE的数量关系和位置关系； (2)将正方形CEFG绕点C旋转一周． BH DH  2CH ①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证： ； ②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长． 34 2 34 2 【答案】(1)BG＝DE，BG⊥DE；(2)①见解析；② 2 或 2 【解析】(1)解：BG＝DE，BG⊥DE，理由如下： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE， ∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE． ∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHD＝90°，即BGDE ． 综上可知BG和DE的关系为BG＝DE且BGDE ． 故答案为：BG＝DE且BGDE ； (2)①证明：如图，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK． ∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠GCE＝90°，CG＝CE， ∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴∠CBK＝∠CDH， ∵BK＝DH，BC＝DC，∴△BCK≌△DCH(SAS)，∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH， ∴∠BCK+∠KCD＝∠DCH+∠KCD，即∠KCH＝∠BCD＝90°，∴△KCH是等腰直角三角形， HK  2CH BH DH BH BK KH  2CH ∴ ，∴ ； ②如图，当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．由（1）同样的方法可知，BH＝DE， EH= 2CH  2 ∵四边形CEFG为正方形，∴CE＝CH＝1，∴ ． BD 2AB3 2 ∵AB＝3，∴ ， BH=DE=x 2 设DH＝x，则 ， BH2DH2=BD2 (x 2)2x2=(3 2)2 在Rt△BDH中， ，即 ， 34- 2 - 34- 2 解得：x  ，x  （舍） 1 2 2 2 34- 2 故此时DH  ； 2 如图，当H，E重合时，∠DEC＝45°，连接BD． 设DH＝x， BH=DH HG=x 2 ∵BG＝DH，∴ ， BH2DH2=BD2 (x 2)2x2 (3 2)2 在Rt△BDH中， ，即 34+ 2 - 34+ 2 解得： x  ，x  （舍） 1 2 2 2 34+ 2 故此时DH  ； 234- 2 34+ 2 综上所述，满足条件的DH的值为 2 或 2 ．