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专题 04 胡不归与阿氏圆
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，
即可以转化为轴对称问题来处理;
2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换
思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和
点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
胡不归：
模型建立：
A
A C
P
C
B
P
α
图1
B E
D
图2
如图1：P是直线BC上的一动点，求PA+k·PB的最小值。
一、 作 ∠ CBE=α，使sinα =k,则PD=k·OP（图2）
二、 当AD最短，AD ⊥ BE时，则P为要求点。(图2) AD长即为PA+k·PB的最小
值.
简记: 胡不归,根据三角函数，作个角,再作高，求出长度就可以.
阿氏圆：
阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似
计算：PA+k∙PB的最小值。 A
第一步：确动点的运动轨迹（圆），
P
以点0为圆心、r为半径画圆；
（若圆已经画出则可省略这一步）
第二步：连接动点至圆心0 B C O
（将系数不为1的线段的固定端点
与圆心相连接），即连接OP,OB。
第三步：计算这两条线段长度的比k;
OC OP
第五步：在0B上取点C,使得OC= k·OP ; = =k, ∠O= ∠O，可得△ POC ∽ △ BOP可得：
OP OBOC PC
= =k, PC=k ·PB
OP PB
第六步：则PA+k∙PB ≥PA+PC ≥AC,即当A，P,C 三点共线时可得最小值。
［提升：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把 k提到 括号
1
外边，将其中一条线段的系数化成 ，再构造△相似进行计算.］
k
典例1
1
如图，矩形ABCD中AB＝3，BC=√3，E为线段AB上一动点，连接CE，则 AE+CE的最小值为 ．
2
思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易
1 1
证ET= AE，推出 AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题．
2 2
答案详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
CB √3
∴tan∠CAB= = ，
AB 3
∴∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝2√3，
在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．
∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，
1
∴ET= AE，
2
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2√3，
√3
∴CH＝AC•sin6°＝2√3× =3，
2
1
∵ AE+EC＝CE+ET≥CH，
2
1
∴ AE+EC≥3，
2
1
∴ AE+EC的最小值为3，
2
故答案为3．
典例2
如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形
1
AEF的^EF上任意一点，连接BP，CP，则 BP+CP的最小值是 √17 ．
2思路引领：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明△PAT∽△BAP，推出
PT AP 1 1 1
= = ，推出PT= PB，推出 PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
PB AB 2 2 2
答案详解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，
∴PA2＝AT•AB，
PA AB
∴ = ，
AT PA
∵∠PAT＝∠PAB，
∴△PAT∽△BAP，
PT AP 1
∴ = = ，
PB AB 2
1
∴PT= PB，
2
1
∴ PB+CP＝CP+PT，
2
∵PC+PT≥TC，
在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT ，
=√AT2+AC2=√17
1
∴ PB+PC≥√17，
2
1
∴ PB+PC的最小值为√17．
2
故答案为√17．
实战训练
一．阿氏圆
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作 C，P为 C
⊙ ⊙
1
上一动点，连接AP、BP，则 AP+BP的最小值为（ ）
3A．7 B．5√2 C．4+√10 D．2√13
2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任
√2
一动点，则PA+ PC的最小值是 ．
2
3．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的^EF上
1
任意一点，连接BP，CP，则 BP+CP的最小值是 ．
2
4．如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则
1
PD− PC的最大值为 ．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，
1
且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+ PB的最小值为 ．
4
6．如图， O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N， O半径为3，点A（0，1），点B
（2，0）⊙，点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的⊙最小值为 ．
7．如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝60°，则2AB+AC的最大值为 ．
8．问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6， C半径为2，P为圆上一
⊙
1
动点，连接AP、BP，求AP+ BP的最小值．
2
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接CP，在CB上取点
CD CP 1 PD 1
D，使CD＝1，则有 = = ，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴ = ，
CP CB 2 BP 2
1 1
∴PD= BP，∴AP+ BP＝AP+PD．
2 2
1
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+ BP的最小值为 ．
21
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， AP+BP的最小值为 ．
3
（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是C^D上一点，
求2PA+PB的最小值．
二．胡不归
1
9．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E为AC中点，D是BE上的一个动点，则CD+ BD的最
2
小值是（ ）
A．3 B．3√3 C．6 D．3+√3
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝6，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且
1
AM＝2，点P是线段BD上的一个动点，则MP+ PB的最小值是（ ）
2
A．2 B．2√3 C．4 D．4√3
11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连
1
接AE，AP，若AP+ BP的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（ ）
2A．AB B．AE C．BD D．BE
12．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运
动，则√2PC+PB的最小值为 ．
13．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA
4
= ，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的
3
速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是 s．
14．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，
√3
则 BP+CP的最小值是 ．
215．在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋
转90°得到BE，连接CE，交AB于点F．
（1）如图1，若∠ABE＝75°，BD＝4，求AC的长；
（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H．若∠ABD＝30°，猜想线段DC与线段
HG的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，若AB＝4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、
√2
A′D，当A′D+ A′C最小时，求S△A′BC ．
2
